Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65"

Transkript

1 Euklid

2 Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

3 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar før Chr. i Alexandria, som den gang var Midtpunktet for Grækernes aandelige Liv, og hvor lærelystne Ynglinge samledes fra de mange Egne, hvor det græske Folk havde nedsat sig. Han har givet yderst værdifulde Bidrag til sit Fags videre Udvikling; men frem for alt mindes han som den, der har samlet sin tids elementære Mathematik til en sammenhængende Lærebygning. Det er denne, som indeholdes i hans af 13 Bøger bestående Værk: Euklids Elementer." Dette er begyndelsen af prof. Zeuthens indledning til Thyra Eibes oversættelse (fra græsk til dansk) af Euklids Elementer. Hendes grundlag var J. L. Heibergs (og H. Menges) udgave fra 1880'erne, en udgave samlet fra mange kilder, bearbejdet og suppleret med en lettere tilgængelig oversættelse på latin. Thyra Eibes bog "Euklids Elementer I II" findes nu på Internettet (http://www.archive.org/stream/euklidselemente00euclgoog/euklidselemente00euclgoog_djv u.txt), men for at se den fulde tekst henvises til J.L. Heiberg: EUCLID S ELEMENTS OF GEOMETRY (Græsk tekst, oversat til engelsk af Richard Fitzpatrick) på hjemmesiden og til D. E Joyce Euclid's Elements: 1 Selvom den klassiske græske kultur har passeret Zenith, og Athen ikke længere er det rige, kulturelle centrum, er det 3. århundrede (før vor tidsregnings begyndelse) en periode, hvor matematikken udvikler sig: ikke mindst i Alexandria, hvor også Aristarchos og Eratosthenes og Apollonius fra Perga virkede. Vi ved meget lidt om Euklid og kender kun hans "bøger" gennem afskrifter af afskrifter med al den usikkerhed det giver, fra kommentarer og henvisninger i andre værker og ved at sammenligne og sammendrage forskellige kilder. Men han får æren for matematikkens udvikling til et aksiomatisk opbygget deduktivt system. Han begynder sit værk med at definere begreber (se nedenfor), opstille forudsætninger (postulater, grundlæggende sætninger eller aksiomer) samt almindelige begreber (slutningsregler om størrelser, aksiomer). Herefter bevises sætning efter sætning på dette grundlag - dog efterhånden suppleret med de beviste sætninger og senere indførte definitioner. Når man beviser sætninger er det vigtigt, at man ikke laver "cirkelslutninger". Det forhindrer Euklids metode: Man kan kun bevise nye sætninger med sætninger, der allerede er bevist eller er en del af grundlaget for teorien. Når man som læser kun ser nogle udvalgte sætninger og beviset for dem, er det nødvendigt at bemærke, hvor i rækkefølgen af sætninger, de dukker op. Ellers risikerer vi at bevise sætning m med sætning n, som først 1 Se Kilder side 91 67

4 Euklid senere bevises direkte eller indirekte med sætning m. Det ville være en cirkelslutning. I dette kapitel henviser sætningsnumre som fx VI.12 til Euklids nummerering: Altså i eksemplet bog 6, sætning

5 Konstruktioner Konstruktioner Klassiske konstruktioner udføres alene med passer og lineal (uden målestok.) De følgende øvelser udføres med programmet GeoGebra (eller tilsvarende programmer.) Formålet er tredobbelt: du skal lære at kende programmet, at forstå, hvad de omtalte begreber dækker over og du skal lære at udføre konstruktionerne. På et senere tidspunkt skal konstruktionernes rigtighed også bevises. En ligesidet trekant Lad der være givet to punkter A og B i planen. Du skal konstruere en trekant, hvor linjestykket AB er den ene side, og hvor de to andre sider har samme længde som AB. Tegn cirklen med A som centrum og AB som radius; tegn cirklen med B som centrum og BA som radius. Lad C være et af cirklernes skæringspunkter: tegn så linjestykkerne AC og BC. ΔABC er den ligesidede trekant. Lad GeoGebra vise sidelængderne på tegningen Flyt figuren i planen (med musen): noter, hvad der ændres Flyt A eller B og noter, hvad der ændres Hvilken forskel gør det, om et punkt er markeret med blå eller sort farve? 69

6 Euklid Vinkelhalveringslinjen Lad der være givet en vinkel med spids i punktet A og yderligere bestemt af punkterne B og C beliggende på hver sit vinkelben. Du skal konstruere en linje (halvlinje), der deler vinklen i to lige store vinkler. På det ene vinkelben vælges et vilkårligt punkt D. Tegn cirklen med A som centrum og AD som radius. Denne skærer det andet vinkelben i E. Konstruer så den ligesidede ΔDEF. Linjen gennem A og F er vinkelhalveringslinjen.. Lad GeoGebra vise størrelser på DAF og FAE. Eksperimenter med at flytte på punkterne, der bestemmer halvlinjerne. Hvad er virkningen? Skriv navne på tegningen: Vinkelspids, venstre vinkelben, højre vinkelben, vinkelhalveringslinjen Lad GeoGebra vælge den rigtige overskrift: Spids, ret, stump eller lige vinkel 70

7 Konstruktioner Halvering af et linjestykke Tegn to punkter A og B i planen. Du skal konstruere et punkt M på linjestykket AB, så AM = MB. Tegn en cirkel med A som centrum og AB som radius samt en cirkel med B som centrum og BA som radius. Disse cirkler skærer hinanden i punkterne C og D. Linjen gennem C og D tegnes. Skæringspunktet mellem denne linje og linjen gennem A og B er midtpunktet M. Lad GeoGebra beregne længderne af linjestykkerne AM og MB. Flyt punkterne A og B: ét af dem eller dem begge. Bemærk, hvad længderne af AM og MB er. Kunne man sige mere om linjen gennem C og D end at den skærer AB i midtpunktet M? 71

8 Euklid At oprejse den vinkelrette Tegn to punkter A og B i planen. Tegn den rette linje gennem punkterne. Tegn et punkt C et vilkårligt sted på linjen. Du skal konstruere en linje gennem C, der står vinkelret på linjen gennem A og B. D vælges som et vilkårligt punkt på linjen gennem A og B, men forskelligt fra C. Tegn en cirkel med C som centrum og CD som radius. Denne skærer linjen i D og E. Tegn en cirkel med E som centrum og ED som radius samt en cirkel med D som centrum og DE som radius. Disse cirkler skærer hinanden i punkterne F og G. Linjen gennem F og G tegnes. Denne linje går gennem C og står vinkelret på linjen gennem A og B. Eksperimenter med at flytte punkterne A og / eller B. Eksperimenter også med at placere D og C andre steder på linjen. 72

9 Konstruktioner At nedfælde den vinkelrette Tegn to punkter A og B i planen. Tegn den rette linje gennem punkterne. Tegn et punkt C et vilkårligt sted udenfor linjen. Du skal konstruere en linje gennem C, der står vinkelret på linjen gennem A og B. D vælges som et vilkårligt punkt på i halvplanen, der ikke indeholder C. Tegn en cirkel med C som centrum og CD som radius. Denne skærer linjen i E og F. Tegn en cirkel med E som centrum og EC som radius samt en cirkel med F som centrum og FC som radius. Disse cirkler skærer hinanden i punkterne C og G. Linjen gennem C og G tegnes. Denne linje går gennem C og står vinkelret på linjen gennem A og B. Eksperimenter med at flytte punkterne A og / eller B. Eksperimenter også med at placere D og C andre steder på linjen. 73

10 Euklid Euklids Elementer På de følgende 2 sider følger indledningen til 1. bog startende med definitioner. Gengivelsen stammer fra Thyra Eibes oversættelse. Definitioner 1. Et Punkt er det, som ikke kan deles. 2. En Linie er en Længde uden Bredde. 3. En Linies Grænser er Punkter. 4. En ret Linie er en Linie, som ligger lige mellem Punkterne paa den. 5. En Flade er det, som kun har Længde og Bredde. 6. En Flades grænser er linier. 7. En plan Flade er en Flade, som ligger lige mellem de rette linier i den. 8. En plan Vinkel er Heldningen mellem to linier, som ligge i samme plan, have et punkt fælles og ikke ligge på ret linie. 9. Naar de Linier, der indeslutte vinklen ere rette, kaldes vinklen retlinet. 10. Naar en ret Linie er oprejst paa en anden, saa at de ved siden af hinanden liggende vinkler blive ligestore, er enhver af de ligestore Vinkler ret; og den Linie, der er oprejst på den anden, kaldes lodret paa den anden En stump Vinkel er en, som er større end en ret. 12. En spids vinkel er en, som er mindre end en ret. 13. Omkreds er Grænsen for noget. 14. En Figur er det, som indesluttes af en eller flere Omkredse. 15. En Cirkel er en plan Figur, indesluttet af een saadan Linie (som kaldes Periferien), at alle de rette Linier, der kunne drages ud til den fra eet indenfor Figuren liggende Punkt, ere indbyrdes ligestore. 16. Dette Punkt kaldes Centrum i Cirkelen. 17. En Diameter i Cirkelen er en ret Linie, trukken gennem Centrum og begrænset til begge Sider af Cirkelperiferien; den halverer også cirkelen. 2 Nutidig sprogbrug erstatter "lodret på den anden" med "en normal". 74

11 Euklids Elementer 18. En Halvcirkel er en Figur, som indesluttes af en Diameter og den af Diameteren afskaarne Periferi. Halvcirkelens centrum er det samme som Cirkelens. 19. Retlinede Figurer ere saadanne, som indesluttes af rette Linier: tresidede, som indesluttes af tre, firsidede af fire, flersidede af flere end fire rette Linier. 20. Af tresidede Figurer kaldes den, der har alle sider ligestore, en ligesidet, som kun har to Sider ligestore, en ligebenet, og den som har alle tre sider uligestore, en skæv Trekant. 21. Af tresidede figurer kaldes endvidere den, som har en ret Vinkel, en retvinklet, den som har en stump Vinkel, en stumpvinklet, den, som har alle tre Vinkler spidse, en spidsvinklet Trekant. 22. Af firsidede Figurer kaldes den, som både er ligesidet og retvinklet, et Kvadrat, den, som er retvinklet, men ikke ligesidet, et Rektangel, den som er ligesidet, men ikke retvinklet, en Rhombe, den som har både modstående Sider og Vinkler ligestore, men hverken er ligesidet eller retvinklet, en Rhomboide; de øvrige Firsider kunne kaldes Trapezer Parallele ere de rette Linier, som ligge i samme Plan og, naar de forlænges ubegrænset til begge sider, ikke mødes til nogen af siderne. Forudsætninger Lad det være forudsat: 1. At man kan trække en ret Linie fra et hvilkensomhelst Punkt til et hvilkensomhelst Punkt. 2. At man kan forlænge en begrænset ret Linie i ret Linie ud i eet. 3. At man kan tegne en Cirkel med et hvilkensomhelst Centrum og en hvilkensomhelst Radius. 4. At alle rette Vinkler ere ligestore. 5. At, naar en ret Linie skærer 2 rette Linier, og de indvendige vinkler på samme side ere mindre end to rette, saa mødes de to Linier, naar de folænges ubegræset, paa den side, hvor de to vinkler ligge, der ere mindre end to rette. Almindelige Begreber 1. Størrelser, som ere ligestore med samme den samme, ere indbyrdes ligestore. 2. Naar ligestore Størrelser lægges til ligestore Størrelser, ere Summerne ligestore. 3 Nutidig sprogbrug definerer et trapez som en firkant, hvor to sider er parallelle. 75

12 Euklid 3. Naar ligestore Størrelser trækkes fra ligestore Størrelser, ere Resterne ligestore. 4. Størrelser, der kunne dække hverandre, ere indbyrdes ligestore. 5. Det hele er større end en Del af det. 76

13 Euklids Elementer Beviser Sætning I.1 Euklids første sætning handler om konstruktionen af den ligesidede trekant, se side 69. Sætningen siger: Givet linjestykket AB. Tegn cirklen med A som centrum og AB som radius; tegn cirklen med B som centrum og BA som radius. Lad C være et af cirklernes skæringspunkter: tegn så linjestykkerne AC og BC. ΔABC er den ligesidede trekant. Tilbage står at bevise, at påstanden er rigtig i alle tilfælde. Beviset Figur I Der er givet de to punkter: A og B Figur II Lad cirklen (grøn) være tegnet med A som centrum og AB som radius. Cirklen kan tegnes ifølge Forudsætning 3. 77

14 Euklid Figur III Lad cirklen (rød) være tegnet med B som centrum og BA som radius. Cirklen kan tegnes ifølge Forudsætning 3. Figur IV C er cirklernes skæringspunkt. (At der faktisk er 2 skæringspunkter ændrer ikke beviset; den samme argumentation kan benyttes uanset hvilket af punkterne, der vælges.) Figur V Punkterne forbindes med linjestykker. Linjestykkerne kan tegnes ifølge Forudsætning 1 AC = AB ifølge Definition 15 BC = BA ifølge Definition 15 AC = BC ifølge Almindelige Begreber 1 ΔABC er en ligesidet trekant ifølge Definition 20 78

15 Euklids Elementer Sætning I.4 Når to trekanter har to sider parvis lige store og også vinklen mellem disse sider er ens i de to trekanter, da vil også grundlinjerne være lige store, trekanterne vil være lige store og vinklerne overfor de lige store sider vil være parvis lige store. Bevis Når ABC lægges på DEF med punktet A på D og med det rette linjestykke AB på DE, vil punktet B træffe punktet E, fordi AB = DE. Men så vil også AC falde på DF, fordi BAC = EDF, og punkt C vil træffe F, fordi AC = DF. Heraf følger, at linjestykket BC dækker linjestykket EF og derfor er de ens. (ifølge Almindelige Begreber 4). Af samme grund er de to trekanter ens og tilsvarende gælder for de to vinkler. Kongruens Kongruente trekanter er trekanter, der kan dække hinanden og hvor trekanterne parvis har samme sidelængder, parvis har samme vinkelstørrelser og har samme areal. Det er ikke et begreb, Euklid anvender, men sætningen I.4 angiver et eksempel (SVS) på tilstrækkelige betingelser for kongruens. Tegningen til venstre viser én af to kongruente trekanter, hvor de størrelser, der skal 79

16 Euklid være ens, er farvet grønne. I sætning I.8 anføres et andet eksempel (SSS) på tilstrækkelige betingelser for kongruens: når to sider parvis er ens og grundlinjerne også er ens. På tegningen til højre er de størrelser, der skal være ens, farvet grønne. I sætning I.26 anføres et tredje eksempel (VSV / VVS) på tilstrækkelige betingelser for kongruens: når to vinkler parvis er ens og og en side er lig med en side: enten en side, der ligger mellem vinkelspidserne eller en side, der ligger overfor en af de lige store vinkler. Opgaver Renskriv beviser efter samme model som eksemplet med den ligesidede trekant (se side 77) for de andre konstruktions-sætninger (side 69 og følgende): Vinkelhalveringslinjen Hertil benyttes bl. a. sætningerne I.1, I.3, I.8 Benyt Halvering af et linjestykke Hertil benyttes bl. a. sætningerne I.1, I.4, I.9 Benyt At oprejse den vinkelrette Hertil benyttes bl. a. sætningerne I.1, I.3, I.8 Benyt 80

17 Euklids Elementer At nedfælde den vinkelrette Hertil benyttes bl. a. sætningerne I.8, I.10 Benyt Et overblik over alle sætninger i Bog I fås her: 81

18 Euklid Opgaver 1. Lad der være givet en vinkel BAC og dens vinkelhalveringslinje. P er et vilkårligt punkt på vinkelhalveringslinjen. Bevis, at afstandene fra P til hver af linjerne AB og AC er lige store. Formuler resultatet som en sætning. 2. Lad der være givet en vinkel BAC og et punkt Q, for hvilket afstandene fra Q til hver af linjerne AB og AC er lige store. Det vil sige: QF 1 = QF 2. Punkterne F 1 og F 2 benævnes ofte "fodpunkter". Bevis, at Q ligger på vinkelhalveringslinjen. Formuler resultatet som en sætning. Note: Vinkelhalveringslinjen er et eksempel på et "geometrisk sted"; dvs. en punktmængde, der opfylder en nærmere beskrevet betingelse. 3. Lad der være givet et linjestykke, som er halveret jævnfør konstruktionen side 71. Vis, at linjen CD står vinkelret på AB. 4. Lad der være givet et vilkårlig punkt P på CD. Bevis, at PA = PB. 5. Lad der være givet et vilkårligt punkt Q, hvor QA = QB. Bevis, at Q ligger på linjen CD. Note: Også midtnormalen er et geometrisk sted. 82

19 Euklids Elementer Andre sætninger Sætning IV.4 (Den indskrevne cirkel) Givet en vilkårlig trekant ABC. Tegn vinkelhalveringslinjerne til to af vinklerne. Lad skæringspunktet være O. Nedfæld den vinkelrette fra O til én af siderne. Lad F være skæringspunktet mellem siden og den vinkelrette: tegn så cirklen med centrum O og radius OF. Denne cirkel er trekantens indskrevne cirkel. Bevis Vinkelhalveringlinjerne kan tegnes ifølge sætning I.9 (se metode side 70). Skæringspunktet er O. Den vinkelrette kan nedfældes ifølge sætning I.12 (se metode side 73) For at vise, at O har samme afstand til alle sider, nedfældes den vinkelrette til en af de andre sider. Ved sammenligning af trekanterne AOF og AOG ses, at trekanterne er kongruente, da de har to vinkler ens og en fælles side (AO). Jævnfør sætning I.26 (se side 80). Derfor er OF = OG. Tilsvarende ses, at afstanden til den tredje side også er den samme: OF = OH. Ifølge Almindelige Begreber 1 er alle linjestykkerne lige lange. Derfor vil G og H også ligge på cirkelperiferien. (Jævnfør definitionen I.Def.15) Ifølge III.16 vil en linje, der står vinkelret på en diameter, falde udenfor cirklen. Derfor vil cirklen med centum i O og radius OF ikke skære trekantens sider. Derfor tangerer cirklen siderne og er den indskrevne cirkel. (Jævnfør definitionen IV.Def.5) 83

20 Euklid Øvelse Overvej, om du havde fåe den samme løsning (dvs. samme indskrevne cirkel), hvis du havde konstrueret cirklen ved at tegne et andet par af vinkelhalveringlinjer? 4 En ekstra overvejelse: hvordan ved man, at vinkelhalveringslinjerne skærer hinanden? Sætning IV.5 (Den omskrevne cirkel) Givet en vilkårlig trekant ABC. Tegn midtnormalerne til to af siderne. Lad skæringspunktet være O. Tegn linjestykkerne fra O til hver af vinkelspidserne. Tegn så cirklen med centrum O og radius OA. Denne cirkel er trekantens omskrevne cirkel. Bevis Tegn midtnormalerne hvilket kan gøres direkte eller som hos Euklid følge sætning I. 10 og Skæringspunktet er O. Det ses nemt at trekanterne ODA og ODB er kongruente, jævnfør sætning I.4. Derfor gælder OA = OB. Tilsvarende fås: OB = OC. Det vil sige, at afstandene fra O til alle tre vinkelspiser er ens, jævnfør Almindelige Begreber 1. Derfor er den tegnede cirkel den omskrevne cirkel: se definitionen IV.Def.6 4 Modstridsbevis: Hvis der med den tredje vinkelhalveringslinje dannes et nyt skæringspunkt, må det ligge udenfor én af vinkelhalveringslinjerne. Men det er ikke muligt! 84

21 Euklids Elementer Sætning VI.12 (Fjerdeproportionalen) Givet tre linjestykker med længderne a, b og c findes fjerdeproportionalen ved: At tegne en tilfældigt valgt vinkel med vinkelspidsen O, på det ene ben at afsætte punktet A (hvor a = OA )og punktet B (hvor b = AB ) og på det andet ben at afsætte et punkt C (hvor c = OC ). Linjestykket AC tegnes og gennem B tegnes en linje parallel med AC. Denne skærer vinklens andet ben i D. d = CD er fjerdeproportionalen, dvs. a b = c d Bevis Punkterne A, B og C kan afsættes ifølge sætning I.3. (Observer: man kan ikke bare løfte passeren!) Ifølge Forudsætninger 1 kan punkter forbindes og ifølge sætning I.31 kan den parallelle linje tegnes. Men fordi AC og BD er parallelle, gælder OA AB = OC CD ifølge sætning VI.2, men da OA = a, AB = b og OC = c, fås: a b = c d. Dvs. fjerdeproportionalen er d = CD 85

22 Euklid Sætning VI.13 (Mellemproportionalen) Givet to linjestykker med længderne a og b findes mellemproportionalen ved: At tegne et tilfældigt valgt (langt) linjestykke; vælg B som punkt på linjen. AB afsættes med længden a, BC afsættes med længden b. Halvcirklen over AC tegnes. Den vinkelrette oprejses i B. Denne skærer halvcirklen i D. Lad x = DB. Så er x mellemproportionalen; dvs.: a x = x b Bevis AB og BC kan afsættes ifølge sætning I.3. Midtpunktet M findes ifølge sætning I.10. Cirklen kan tegnes ifølge Forudsætning 3. Den vinkelrette kan oprejses ifølge sætning I.11. Ifølge sætning III.31 er vinkel ADC ret, da det er en periferivinkel der spænder over en diameter. Da trekant ADC er delt af DB (som står vinkelret på hypotenusen) i to trekanter, gælder ifølge sætning VI.8Cor., at x er mellemproportionalen. (Det følger også af, at de to deltrekanter er ligedannede!) 86

23 Euklids Elementer Øvelser 1. Lad a = 5, b = 3 og c= 12. Beregn fjerdeproportionalen (med hovedregning) og find derefter længden med en konstruktion i GeoGebra. 2. Find på samme måde mellemproportionalen af 2 og 8 ved beregning og ved konstruktion. 3. Find ved konstruktion med mellemproportional et linjestykke med længden Givet et tilfældigt rektangel konstrueres (alene med passer og lineal men gerne med GeoGebra) et kvadrat med samme areal. 87

24 Euklid Andre græske matematikere Eratosthenes og Aristarchos og noget af deres arbejde med at skabe et verdensbillede - er allerede omtalt i kapitlet om Ligedannede Trekanter. Pythagoras og den sætning, der bærer hans navn er kendt af mange. Han er flere hundrede år ældre end Euclid, som medtager hans sætning som I,47 i Elementerne. Sætningen og anvendelser af sætningen studeres nærmere i det næste kapitel: Beviser i Trigonometri. Apollonius fra Perga der bl.a. er kendt for sine studier af keglesnittene bliver lidt ufortjent kun lige nævnt her. Keglesnittene er de plane kurver, der fremkommer, når den rumlige figur keglen skæres af et plan. Afhængig af vinklen mellem keglens akse og det skærende plan kan kurven være en cirkel, en ellipse, en parabel eller en hyperbel. Arkimedes og π Arkimedes levede i Syrakus ( f.v.t.) beliggende på Sicilien, som dengang var en græsk koloni. Han gjorde sig gældende på mangfoldige områder, men er også kendt som én af de store matematikere. Bestemmelse af π Det lykkedes for Arkimedes at bestemme π som et tal i intervallet fra 3 1 /7 til 3 10 /71. Omskrives brøkerne og π til decimaltal, ses det nemt, at afstanden mellem intervalgrænserne er 21/ og at π ligger ca. midt i det angivne interval. Metoden, Arkimedes benyttede, var at beregne tilnærmede værdier for en cirkels omkreds ved at beregne omkredse for hhv. indskrevne og omskrevne polygoner. Jo flere sider polygonerne havde jo nøjagtigere blev beregningerne. 5 Bestemmelse af cirklens areal Arkimedes inddelte cirklen i trekanter, som det ses på figuren næste side. Ved at placere halvdelen på en ret linje i forlængelse af hinanden og den anden halvdel i de opståede mellemrum fås et parallelogram. Den ene sides længde (i parallelogrammet) er cirklens radius og den anden sidelængde er omtrent cirklens halve omkreds. Da trekantens sider er 5 En nærmere omtale af metoden findes på itech.fgcu.edu/faculty/clindsey/mhf4404/archimedes/archimedes.html 88

25 Andre græske matematikere korder i cirklen, er sidelængden lidt mindre end cirklens halve omkreds, men hvis antallet af trekanter vokser, bliver fejlen mindre og mindre. Fig. 1: Cirklen opdelt i trekanter Fig. 2: Halvdelen af trekanterne foroven, halvdelen forneden Hvis antallet af trekanter bliver meget stort, vil parallelogrammet nærme sig et rektangel. Samtidig bliver cirklens halve omkreds et mere og mere rigtigt mål for den ene sidelængde; den anden har konstant været lig med cirklens radius. Derfor fås: Cirklens areal = O 2 r=π r r=π r 2 hvor cirklens omkreds er O=2 π r ; r = cirklens radius. 6 Bestemmelse af kuglens areal At cylinderen har en overflade med arealet A=2 π r h, hvor r er radius i cylinderens grundflade og h er cylinderens højde, har været nemt at indse, da den krumme flade nemt kan udfoldes til en plan flade uden deformation. Men at indse, at en kugle har samme overflade som den cylinder, kuglen netop kan være indeni, er en bedrift. Lad mig benytte jorden som et eksempel på en kugle og lad jorden være omgivet af en cylinder, der rører jorden ved ækvator (og har sin akse fra pol til pol.) Forestil dig, at vi skærer både kugle og cylinder i tynde skiver (korte cylindere) på tværs af polaksen: Ved ækator er det klart, at kugleskive og den korte cylinder har samme overflade. Men andre steder er cylinderens omkreds større; til gengæld er højden af cylinderen mindre. 6 Se viden.jp.dk/binaries/an/8401.pdf (Artikel af Steen Markvorsen) 89

26 Euklid Øvelse Beregn jordens omkreds ved nordlig bredde 56, idet jordens radius sættes til 1. (Hjælp: Tegn et lodret snit gennem jorden.) Hvor mange gange større er den tilsvarende korte cylinders omkreds? Benyt tegningen herunder til de følgende spørgsmål I princippet er jordskiven så tynd, at kanten (blå, kaldet skivekant) er et ret linjestykke. Hvad er vinklen mellem radius og ækvator? Hvad er vinklen mellem skivens kant og radius? Hvad er vinklen mellem cylinderens akse og ækvator? Hvad er vinklen mellem skivens kant og cylinderens akse? Hvis skivens kant har længden a, hvad er så længden af den tilsvarende cylinders side? Begrund, hvorfor hver skive har samme overflade som den tilsvarende cylinder. Kuglen har altså overfladearealet O, hvor O=4π r 2 90

27 Kilder Kilder J.L. Heiberg: EUCLID S ELEMENTS OF GEOMETRY (Græsk tekst), oversat til engelsk af Richard Fitzpatrick Rudi Thomsen: "Verdenshistorie 1", Gyldendal 1963 D. E. Joyce: Euclid's Elements "Euklids Elementer" oversat af cand. mag Thyra Eibe. u.txt (Digital version) e/n7/mode/2up (Billed version) (Artikel af Steen Markvorsen)

28 Euklid Stikordsregister Apollonius fra Perga...88 Arkimedes...88 Centrum...74 Cirkel...74 cirkel...88 cirklens areal...88 cylinderen...89 Den indskrevne cirkel...83 Den omskrevne cirkel...84 Diameter...74 ellipse...88 Figur...74 firsidede...75 firsidede Figurer...75 Fjerdeproportionalen...85 Flade...74 flersidede...75 geometrisk sted...82 Halvcirkel...75 hyperbel...88 keglesnittene...88 Kvadrat...75 ligebenet trekant...75 ligesidet (tresidet figur)...75 ligesidet trekant...75 Linie...74 lodret paa den anden...74 Mellemproportionalen...86 Omkreds...74 parabel...88 Parallele linjer...75 Periferien...74 periferivinkel...86 plan Flade...74 plan Vinkel...74 Punkt...74 Rektangel...75 ret Linie...74 ret vinkel

29 Stikordsregister Retlinede Figurer...75 retlinet...74 retvinklet trekant...75 Rhombe...75 Rhomboide...75 skæv Trekant...75 spids vinkel...74 spidsvinklet Trekant...75 stump Vinkel...74 stumpvinklet trekant...75 Trapezer...75 tresidede...75 π

30 Indholdsfortegnelse Euklid...65 Indledning...67 Konstruktioner...69 En ligesidet trekant...69 Vinkelhalveringslinjen...70 Halvering af et linjestykke...71 At oprejse den vinkelrette...72 At nedfælde den vinkelrette...73 Euklids Elementer...74 Definitioner...74 Forudsætninger...75 Beviser...77 Sætning I Beviset...77 Sætning I Bevis...79 Kongruens...79 Opgaver...80 Opgaver...82 Andre sætninger...83 Sætning IV.4 (Den indskrevne cirkel)...83 Bevis...83 Øvelse...84 Sætning IV.5 (Den omskrevne cirkel)...84 Bevis...84 Sætning VI.12 (Fjerdeproportionalen)...85 Bevis...85 Sætning VI.13 (Mellemproportionalen)...86 Bevis...86 Øvelser...87 Andre græske matematikere...88 Arkimedes og π...88 Bestemmelse af π...88 Bestemmelse af cirklens areal...88 Bestemmelse af kuglens areal...89 Øvelse...90 Kilder...91 Stikordsregister...92 Indholdsfortegnelse...94

31

32 Dr. Friedrich Reidt: Die Elemente der Mathematik, Berlin 1881

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Projekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Geometri. Ib Michelsen

Geometri. Ib Michelsen Geometri Ib Michelsen Ikast 2008 Forsidebilledet Detalje fra Matematiker Johannes Meyers kort over Aabenraa Amt og Lundtofte Herred (1648) tilhørende Ib Michelsen. Version: 1.01 16-8 Version: 1.02 18-8

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Ib Michelsen. Matematik C. mimimi.dk

Ib Michelsen. Matematik C. mimimi.dk Ib Michelsen Matematik C mimimi.dk Matematik C Copyright Ib Michelsen, Ikast ISBN... mimimi.dk 23-08-10 Indhold Indhold...3 Forord...7 Geometri Arven fra Grækenland...11 Begreber og sprog...12 Hvad betyder

Læs mere

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210

1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210 1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre

Læs mere

Geometrisk tegning - Facitliste

Geometrisk tegning - Facitliste Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

KonteXt +5, Kernebog

KonteXt +5, Kernebog 1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:

Læs mere

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkaldte Firfarveproblem. For mere end 00 år siden fandt man ved sådanne undersøgelser frem til, at fire farver er nok

Læs mere

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse:

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Link Mål Kompetence mål: Modellering Færdighedsmål Eleven kan vurdere egne og andres modelleringsprocesser Videns mål Eleven har viden om

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde t system rod orden nøjagtig præcis

Læs mere

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: SEFTON PARK PALM HOUSE

MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: SEFTON PARK PALM HOUSE MATEMATIK, MUNDTLIG PRØVE TEMA: SEFTON PARK PALM HOUSE I den midtengelske by Liverpool ligger bydelen Sefton med Sefton Park - et parkanlæg, der bl.a. er kendt for det ottekantede palmehus, hvor man kan

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Det vigtigste element i denne videnskabelige tradition var arbejdet

Det vigtigste element i denne videnskabelige tradition var arbejdet er. Den kan være rund eller kantet eller ensfarvet eller prikket, det er ikke essentielt. Det essentielle er derimod det centrale uforanderlige, det som enten er eller ikke er. Koppen, der går i stykker,

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2 Opgave 1 Opgave 2 21 000 m 2 B. 125,66 m 2 C. 1200 m 2 D. 185 540 m 2 Opgave 3 Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden B. 22m 2 C. D. E. Hvis længdeforholdet ændres

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

MICHAEL THOMSEN. Aspekter af den ikke-euklidiske geometris historie Inspirationsmateriale til matematikinteresserede gymnasieelever

MICHAEL THOMSEN. Aspekter af den ikke-euklidiske geometris historie Inspirationsmateriale til matematikinteresserede gymnasieelever +LVWRU\RI6FLHQFH'HSDUWPHQW 8QLYHUVLW\RI$DUKXV MICHEL THOMSEN spekter af den ikke-euklidiske geometris historie Inspirationsmateriale til matematikinteresserede gymnasieelever +RVWD1R :RUNLQ3URJUHVV Hosta

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Geometri - Teori og opgaveløsning

Geometri - Teori og opgaveløsning Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Trekanter: kende navne for sider og vinkelspidser i trekanter, kunne konstruere bestemte trekanter ud fra givne betingelser

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

fortsætte høj retning benævnelse afstand form kort

fortsætte høj retning benævnelse afstand form kort cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde rundt system rod orden nøjagtig

Læs mere

matematik grundbog basis preben bernitt

matematik grundbog basis preben bernitt 33 matematik grundbog basis preben bernitt 1 matematik grundbog basis ISBN: 978-87-92488-27-5 2. udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk

Læs mere

Papirfoldning. en matematisk undersøgelse til brug i din undervisning.

Papirfoldning. en matematisk undersøgelse til brug i din undervisning. Papirfoldning en matematisk undersøgelse til brug i din undervisning. Når man folder og klipper figurer kan man blive irriteret over at skulle vende og dreje saksen. Hvor få klip kan man mon nøjes med?

Læs mere

Eksperimentel Matematik

Eksperimentel Matematik Eksperimentel Matematik 4 bidrag Ib Michelsen 2007 Trekanter - der ligner hinanden Ib Michelsen VUC Skive-Viborg ib.michelsen@mimimi.dk Geometri C 2 6 timer Faglige mål Ensvinklede og ligedannede trekanter

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Errata pr. 1. sept Rettelser til Ypsilon 1. udgave, 1. oplag

Errata pr. 1. sept Rettelser til Ypsilon 1. udgave, 1. oplag Errata pr. 1. sept. 2009 Rettelser til Ypsilon 1. udgave, 1. oplag Rettelserne herunder er foretaget i 2. oplag af bogen. Desuden forekommer der mindre rettelser i 2. oplag, som ikke er medtaget her, da

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

Sorø 2004. Opgaver, geometri

Sorø 2004. Opgaver, geometri Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne

Læs mere

Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie 2005 Grundskolen Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere