Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten"

Transkript

1 Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og notation Elementerne består af 13 bøger, der i al korthed har følgende indhold: Bog I: Elementære konstruktioner ( Trekantens geometri ) Bog II: Geometrisk Algebra ( Firkantens geometri ) Bog III: Cirklens Geometri Bog IV: Regulære Polygoner ( Femkantens geometri ) Bog V: Størrelseslæren ( Antikkens differential og integralregning ) Bog VI: Ligedannethed Bog VII IX: Talteori Bog X: Irrationale tal (Bygger på Theaitetos afhandling) Bog XI: Rumgeometri Bog XII: Areal og Volumen Bog XIII: Konstruktion af de 5 regulære polyedre Indholdsfortegnelsen giver et vist indtryk af, hvor omfattende et værk det er. Men det, som kom til at præge åndslivet siden, er strukturen i bøgerne. Euklid går frem på følgende måde: Forrest er alle de definitioner (3 i alt), han får brug for i bog I. Den første definition i bogen er simpelthen: 1. Et punkt er det, som ikke kan deles. Bang hverken forord eller anden snak, men lige på. Dernæst følger de postulater (aksiomer) (5 i alt), han mener, er nødvendige for denne geometri. Og endelig sætter han nogle almene aksiomer op (5 i alt), som danner grundlag både for geometrien og for al anden matematik. Den sidste gruppe giver en slags regler for, hvordan vi logisk argumenterer os frem. Herefter klør han på med sætning efter sætning, hvor han skelner mellem konstruktioner der afsluttes med hvilket skulle gøres, forkortet hsg og beviser der afsluttes med hvilket skulle bevises, forkortet hsb; den mere berømte latinske forkortelse qed, der står for quod erat demonstrandum anvendes stadig i mange matematikbøger. Øvelse 1 Prøv at overveje, hvor der er ligheder, og hvor der er forskelle mellem Euklids matematikbog og opbygningen af moderne matematikbøger. 01 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

2 Projekter: Kapitel EUKLIDS ELEMENTER 1 BOG 1 Definitioner 1. Et punkt er det, der ikke kan deles.. En linie er en længde uden bredde. 3. En linies begrænsninger er punkter. 4. En ret linie er en linie, som ligger lige mellem punkterne på den. 5. En flade er det, der kun har en længde og en bredde. 6. En flades begrænsninger er linier. 7. En plan flade er en flade, som ligger lige mellem de rette linier i den. 8. En plan vinkel er hældningen mellem to linier, der ligger i samme plan, har et punkt fælles og ikke ligger på en ret linie. 9. Når de linier, der indeslutter vinkler, er rette, kaldes vinklen retliniet. 10. Når en ret linie er oprejst på en anden, så at de ved siden af hinanden liggende vinkler bliver lige store, er enhver af de lige store vinkler ret; og denne rette linie, der er oprejst på den anden, kaldes vinkelret på denne. 11. En stump vinkel er en vinkel, som er større end en ret. 1. En spids vinkel er en vinkel, som er mindre end en ret. 13. En omkreds er begrænsningen af noget. 14. En figur er det, der indesluttes af en eller flere omkredse. 15. En cirkel er en plan figur, indesluttet af en sådan linie (som kaldes periferien), at alle de rette linier, der kan trækkes ud til den fra et inden for figuren liggende punkt, er indbyrdes lige store. 16. Dette punkt kaldes centrum i cirklen. 17. En diameter i cirklen er en ret linie, trykket gennem centrum og begrænset til begge sider af cirkelperiferien, og den halverer også cirklen. 18. En halvcirkel er en figur, som indesluttes af en diameter og den af diameteren afskårne periferi. Halvcirklens centrum er det samme som cirklens. 19. Retliniede figurer er sådanne, som indesluttes af rette linier: tresidede, som indesluttes af tre, firesidede af fire, flersidede af flere end fire rette linier. 0. Af tresidede figurer kaldes den, der har alle tre sider lige store, en ligesidet, den som kun har to sider lige store, en ligebenet, og den, som har alle tre sider ulige store, en skæv trekant. 1. Af tresidede figurer kaldes endvidere den, der har en ret vinkel, en retvinklet, den, der har en stump vinkel, en stumpvinklet, den, der har alle tre vinkler spidse, en spidsvinklet trekant.. Af firesidede figurer kaldes den, der både er ligesidet og retvinklet, et kvadrat, den, der er retvinklet, men ikke ligesidet, et rektangel, den, der er ligesidet, men ikke retvinklet, en rhombe, den, der både har modstående sider og vinkler lige store, men hverken er ligesidet eller retvinklet, en rhomboide, de øvrige firesider kunne kaldes trapezer. 3. Parallelle linier er rette linier, der ligger i samme plan, og som, når de forlænges ubegrænset til begge sider, ikke mødes til nogen af siderne. Forudsætninger Lad det være forudsat: 1. At man kan trække en ret linie fra et hvilket som helst punkt til et hvilket som helst andet punkt.. At man kan forlænge en begrænset linie i ret linie ud i eet. 3. At man kan tegne en cirkel med et hvilket som helst centrum og en hvilken som helst radius. 4. At alle rette vinkler er lige store. 5. At når en ret linie skærer to rette linier og de indvendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linier, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler, der er mindre end de to rette, ligger. Almindelige begreber 1. Størrelser, der er lige store med samme størrelse, er indbyrdes lige store.. Når lige store størrelser lægges til lige store størrelser, er summerne lige store. 3. Når lige store størrelser trækkes fra lige store størrelser, er resterne lige store. 4. Størrelser, der kan dække hverandre, er indbyrdes lige store. 5. Det hele er større end en del deraf. Notation Der henvises til de 5 aksiomer (almindelige begreber) med a1 (aksiom 1), a, a3, a4 og a5. Der henvises til Euklids egne sætninger med f.eks. I, 35: Bog I, sætning Fra Peter Wolff, Højdepunkter i matematikken, Steen Hasselbalchs forlag, 1967, s L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

3 Projekter: Kapitel 1. Euklids bevis for Pythagoras læresætning Sætning 1 (I, 35) Parallelogrammer på samme grundlinje mellem de samme paralleller er lige store. B C E F A D Vi viser først, at trekant ABE og trekant CDF er kongruente: AB CD, da de er modstående sider i et parallelogram. AE DF, da de er modstående sider i et parallelogram. Tilsvarende gælder, at BC AD, og AD EF, dvs. ifølge a1 er BC EF. Af a følger så, at BC CE EF CE, og hermed BE CF (se figur). Da trekanterne ABE og CDF har tre sider parvis ens, er de kongruente (kan dække hinanden ved en flytning). Vi ser på hele figuren ABFD. Fra denne figur fjernes først trekant ABE herved fremkommer parallelogrammet AEFD. Fra ABFD fjernes så trekant CDF herved fremkommer parallelogrammet ABCD. Da vi har fjernet lige meget fra ABFD, er resterne lige store (a3), dvs. de to parallelogrammer er lige store, som vi ønskede at vise. Sætning (I, 41) Når et parallelogram har samme grundlinje som en trekant og ligger mellem de samme paralleller, er parallelogrammet dobbelt så stort som trekanten. B C E F A D Vi tegner linjen gennem D parallel med AE, og punktet F fremkommer. Fra sætning 1 har vi, at parallelogrammerne ABCD og AEFD er lige store, og da AEFD er dobbelt så stor som trekant AED, har vi det ønskede. 01 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

4 Projekter: Kapitel Sætning 3 (I, 47) I en retvinklet trekant er kvadratet på den side, der ligger over for den rette vinkel, lig summen af kvadraterne på de sider, der indeslutter den rette vinkel. Vi bemærker, at dette er Pythagoras sætning! Vi konstruerer først kvadrater på 3 sider (se figur). Herefter tegnes linjerne EC, BD og højden fra C, og punkterne H og F fremkommer. Vi indser først, at trekant ABD og trekant ACE er kongruente: og (siderne i samme kvadrat). Vinkel A i de to trekanter er også ens, da de begge er en ret vinkel + vinkel A i trekant ABC. Heraf følger så, at trekanterne er kongruente (to sider og en mellemliggende vinkel parvis ens). Vi bemærker nu, at parallelogrammet AHFE og trekant ACE har samme grundlinje og ligger mellem de samme paralleller, altså er parallelogrammet dobbelt så stort som trekanten ifølge sætning. Det samme gælder om parallelogrammet ACGD og trekant ABD. Da trekant ABD og trekant ACE er kongruente, følger, at AHFE og ACGD er lige store, altså at rektanglet AHFE er lig kvadratet på AC. På samme måde kan vi vise, at rektanglet HBIF er lig kvadratet på CB (gør det selv ved at benytte nedenstående figur). Heraf følger så, at og hermed er det ønskede vist, da., 01 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

5 Projekter: Kapitel. Euklids konstruktion af det gyldne snit Sætning 4 (II, 6) Når en ret linje er halveret, og en anden ret linje er afsat i forlængelse af den, så er det rektangel, der indesluttes af hele linjen og dens forlængelse, samt kvadratet på halvdelen, lig kvadratet på den rette linje, der er sammensat af halvdelen og forlængelsen. Bemærk: Dette er et eksempel på det, vi kalder geometrisk algebra, dvs. en algebraisk sætning oversat til geometri. Sætningen virker meget uigennemskuelig; men indholdet er det samme som det, vi kalder kvadratet på en toleddet størrelse: ab a b ab Sætningen bliver brugt meget af Euklid i de næste sætninger, så det er en god idé at lære og forstå sætningens geometriske indhold. Den givne rette linje er AB, og forlængelsen er BC, og AB halveres i D. CE er afsat lig BC, og CF er afsat lig DC. Sætningen siger nu, at rektanglet bestemt af siderne AC og CE samt kvadratet på DB er lig med kvadratet på DC. Ved at se på figuren ser vi, at dette er det samme som at indse, at de to skraverede rektangler er ens (prøv selv at vise det!). Hvis vi sætter AD = a og BC = b, bliver det algebraiske indhold af sætningen: Rektanglet bestemt af AC og CE plus kvadratet på DB: ( ) Kvadratet på DC er ( ) a+ b. Altså siger sætningen: ( ) a+ b = a + b + ab. a b b a ab b a + + = + +. Inden vi går videre med Euklids næste sætning (II, 11), lidt om det gyldne snit : Definition Vi ser på et linjestykke AB. Linjestykket siges at være delt i det gyldne snit ved punktet H, hvis: AB AH AH BH 01 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

6 Projekter: Kapitel Bemærk: Vi ser, at dette er det samme som AH AB AH (vi har ganget overkors), eller som Euklid ville sige: Kvadratet på AH er lig med rektanglet bestemt af AB og HB. Bemærk: Hvis vi vil bestemme, hvor H skal ligge på linjestykket AB, kan vi gøre følgende: Vi sætter AB a (kendt tal) og sætter det søgte linjestykke AH x. Hermed er BH a x. Vi får nu ved at indsætte disse størrelser i x a ax x axa 0 Ved at løse denne andengradsligning, fås a 5a a 5 x x 1. x kan således bestemmes, når vi kender a. AH AB AH : Vi skal nu se, hvordan Euklid konstruerer punktet H, altså det punkt, der deler AB i det gyldne snit. Vi bemærker, at Euklid hermed faktisk har løst en andengradsligning geometrisk. (Hverken Euklid eller andre græske matematikere anvendte begrebet det gyldne snit, selv om de med stor sandsynlighed kendte og værdsatte dets egenskaber. Begrebet dukker først op i renæssancen (nogle steder: det guddommelige forhold, andre steder: den gyldne brøk ) for endelig at vinde fodfæste som et anerkendt begreb i det 19. århundrede). Sætning 5 (II, 11) At dele en given ret linje, således at det rektangel, der indesluttes af hele linjen, og det ene af stykkerne, er lig kvadratet på det andet stykke. Vi betegner det givne linjestykke med AB. Vi skal så bestemme et punkt H, således at AH AB AH Euklid går nu frem i følgende skridt (prøv selv at tegne figuren efterhånden): 1. Kvadratet ABCD konstrueres.. Siden AD halveres i punktet E. 3. AD forlænges ud over A. 4. Cirklen med centrum i E og radius EB tegnes. Denne cirkel skærer AD s forlængelse i F. 5. Cirklen med centrum i A og radius AF tegnes. Denne cirkel skærer AB i det søgte punkt H. 6. Kvadratet AFGH tegnes. 7. Linjen gennem G og H skærer DC i K. 01 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

7 Projekter: Kapitel Euklid gennemfører nu følgende kæde af omskrivninger. Argumentér selv for, hvordan man kommer fra et trin til det næste. Udnyt figuren. Starten af argumentationen er følgende: Vi ser, at DA er halveret i E, og AF er forlængelsen, dvs. ifølge sætning 4 gælder der, at DF AF AE EF da EF EB, fås DF AF AE EB DF AF AE AB AE Vi fjerner AE da trekant ABC er retvinklet, fås EB AB AE DF AF AB da AF FG, fås DF FG AB, som indsættes, og vi får fra begge sider og får Vi får således, at rektanglet bestemt af siderne DF og FG er lig med kvadratet på AB. Euklid fjerner nu fra disse lige store figurer rektanglet bestemt af siderne AD og AH (se figur). Resterne bliver da henholdsvis kvadratet på AH og rektanglet bestemt af siderne BC og BH, altså gælder: AH BC HB, og da BC AB, fås det ønskede: AH AB HB. 01 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

8 Projekter: Kapitel 3. Euklids sætninger om et punkts potens mht. en cirkel Sætning 6 (III, 36) Hvis der fra et punkt uden for en cirkel tegnes en linje, der rører cirklen i et punkt T (dvs. linjen er tangent til cirklen i T), og en vilkårlig linje, der skærer cirklen i R og S, så gælder det altid, at PR PS PT. Euklid viser først sætningen, når linjen, der skærer cirklen i R og S, også går gennem cirklens centrum C. Herefter benytter Euklid dette bevis til at vise, at det også gælder for en vilkårlig linje. Figur 1 Figur PS PR RC PC da RC TC PS PR TC PC PS PR PC TC PS PR PT (radier i cirklen), fås og hermed og da trekant PTC er retvinklet, fås af Pythagoras PT TC PC og hermed PT PC TC Linjen fra C til T tegnes (står vinkelret på tangenten i T). Vi ser nu, at RS er halveret af C, og PR er forlængelsen. Af sætning 4 følger da (gør selv nøje rede for hvert trin), at Vi tegner linjerne PC, RC, SC og CM, hvor M er bestemt som midtpunkt af RS. Vi bemærker nu, at trekant RCS er ligebenet, dvs. medianen CM bliver også højde i trekanten, altså er trekanterne RCM og PCM retvinklede. Af sætning 4 følger da (gør selv nøje rede for hvert trin), at PS PR RM PM ved at lægge CM til på begge sider, fås PS PR RM CM PM CM ved at anvende Pythagoras på trekant RCM og PCM PS PR RC PC Hermed er vi tilbage i tilfælde L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

9 Projekter: Kapitel Sætning 7 (III, 37) Hvis der fra et punkt A uden for en cirkel trækkes to linjer, hvor den ene skærer cirklen i punkterne R og S, og den anden har fællespunktet D med cirklen, og der yderligere gælder, at AR AS AD, da er linjen AD tangent til cirklen. Bemærk: Dette er den omvendte sætning til sætning 6. Vi tegner tangenten fra A til T (se figur) og får således, at AR AS AD (forudsætning) AR AS AT (fra sætning 6). Af dette fås, at AD AT, og hermed at AD AT. Vi tegner nu linjerne CD, CT og AC. Trekanterne ADC og ACT er kongruente (tre sider parvis ens). Heraf følger, at vinkel D er ret, og linjen AD er således tangent til cirklen. 4. Centervinkel, periferivinkel og kordetangentvinkel Definition Givet en cirkel. En centervinkel er en vinkel med toppunkt i cirklens centrum og begge ben som cirkelradier. En periferivinkel er en vinkel med toppunkt på cirkelperiferien og begge ben som korder i cirklen. 01 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

10 Projekter: Kapitel Sætning 8 En periferivinkel er halvt så stor som den bue, den spænder over. A v 180 v v O B C Beviset opdeles i tre dele: 1. Periferivinklen har et ben som diameter.. Periferivinklen har et ben på hver side af diameteren tegnet fra vinklens toppunkt. 3. Periferivinklen har begge ben på samme side af diameteren. Det viser sig nu, at når 1 er vist, kan dette bruges til bevis for og 3. Bevis for 1: Vi skal således vise, at buen BC er v (se figur). a) Vi ser først, at trekant OAB er ligebenet, dvs. vinklerne ved grundlinjen er lige store (v). b) Vinkel O er derfor 180 v. c) Altså er vinkel O i trekant OBC lig med v. d) Hermed er buen BC = v, som vi skulle vise. Bevis for og 3: Benyt selv figurerne og resultatet fra L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

11 Projekter: Kapitel Definition Ved en kordetangentvinkel forstås en vinkel med toppunkt på cirkelperiferien, og hvis ene ben er en korde, mens det andet ben er en tangent til cirklen. Sætning 9 En kordetangentvinkel er halvt så stor som den bue, benene spænder over. Antag først at kordetangentvinklen v er spids. Vi betragter figuren nedenfor og tegner cirkelradierne OA og OB. Da OA er vinkelret på cirkeltangenten i A, er OAB 90 v. Trekant OAB er ligebenet, så OBA OAB, hvorved AOB v. Hvis specielt kordetangentvinklen er ret, da er AOB lige, og sætningen gælder. Lad nu kordetangentvinklen være stump. Bemærk at dette er ækvivalent med at betragte supplementvinklen w til v; w180 v. Men da er den korresponderende centervinkel z360v w, hvilket afslutter beviset. 01 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

12 Projekter: Kapitel Sætning 10 (III, 3) Kordetangentvinklen er lig periferivinklen, som indesluttes af den bue, der bestemmes af korden og ligger til modsat side af. Da både periferivinklen og kordetangentvinklen er halvt så store, som den bue, de spænder over (som jo er den samme), er =. 5. Euklids konstruktion af den regulære femkant Sætning 11 (IV, 10) At konstruere en ligebenet trekant, hvori hver af vinklerne ved grundlinjen er dobbelt så store som topvinklen. Bemærk: I en sådan trekant er vinklerne hhv. 36, 7 og 7, idet x + x + x = 180, og hermed er x = 36. x x x Vi bemærker også, at Euklid hermed kan konstruere den regulere tikant og hermed også den regulære femkant (se figur nedenfor). 01 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

13 Projekter: Kapitel Euklid går frem i følgende skridt: 1. På det givne linjestykke AB konstrueres punktet C, så. Cirklen med centrum i A og diameter AB tegnes. 3. Korden BD konstrueres, så BD AC. 4. Linjerne AD og AC tegnes. AB CB AC (sætning 5). Euklid viser nu, at trekant ABD har den ønskede egenskab. Trekanten er klart ligebenet, så vi skal blot vise, at y = x (se figur nedenfor). A C B x y x D Euklid tegner nu trekant ACD s omskrevne cirkel og argumenterer på følgende måde: Vi har, at AB CB AC (sætning 5), og da AC BD, fås, at AB CB BD. Vi bemærker nu, at B er et punkt uden for trekant ACD s omskrevne cirkel, samt at vi har to linjer gennem B, som skærer cirklen (i C og A) og rører cirklen (i D). Af sætning 7 følger så, at BD er tangent til cirklen. Hermed er CDB en kordetangentvinkel, som spænder over samme bue som periferivinklen A. Af sætning 10 følger så, at A CDB x (se figur). For at indse, at y = x, laves en ny figur: A C B x y y 180 y ABD y, dvs. ADC y x y x x D I trekant ACD har vå så. at xyxc 180 C 180 y Af denne figur fremgår, at i trekant BCD er vinklerne ved grundlinjen lige store, altså er CD BD, og da AC BD, er AC CD, og trekant ACD er ligebenet. Altså er vinkel D = x i trekant ACD, og trekant ABD har den ønskede egenskab. 01 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

14 Projekter: Kapitel 6. Bilag om tangenter til cirkler Man har ikke kunnet finde Euklids definition på, hvad han forstår ved en tangent til en cirkel; men af hans arbejde fremgår, at den må ligge tæt på følgende definition: Definition Lad P være et punkt på en cirkel. En ret linje l siges da at være tangent til cirklen i punktet P, hvis 1. Cirklen og l kun har punktet P til fælles.. Der ikke findes nogen ret linje gennem P mellem l og cirklen. Sætning 1 Lad P være et punkt på cirklen med centrum i C. Den rette linje l, der går gennem P, og som står vinkelret på CP, er tangent til cirklen i P. Vi gør først rede for, at l kun kan have punktet P fælles med cirklen. Lad A være et vilkårligt punkt på l. Vi ser så på trekant CPA, hvor vinkel P = 90. Da vinkelsummen i en trekant er 180, er vinkel A mindre end vinkel P. Euklid har i sætning I, 19 vist, at i enhver trekant ligger der over for en større vinkel en større side, dvs. at CA er større end CP. Da nu CP er cirklens radius, må A ligge uden for cirklen, og hermed har vi gjort rede for punkt 1. For at vise punkt antager vi, at der findes en linje m gennem P mellem l og cirklen (indirekte bevis). Vi nedfælder den vinkelrette fra centrum C ned på m (fodpunktet kaldes A). Vi ser på trekant ACP, og ved igen sætning I, 19, kan vi slutte, at CA er mindre end CP (radius), og hermed at A ligger inde i cirklen. Hermed har vi modstriden, altså kan der ikke ligge nogen linje mellem l og cirklen. Litteratur Euklid, Elementer I IV, Trip, Asger Aaboe, Episoder fra matematikkens historie, Borgen, L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK 1148 København K Tlf:

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Projekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel. Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Projekt.3 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Sorø 2004. Opgaver, geometri

Sorø 2004. Opgaver, geometri Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne

Læs mere

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2

Opgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2 Opgave 1 Opgave 2 21 000 m 2 B. 125,66 m 2 C. 1200 m 2 D. 185 540 m 2 Opgave 3 Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden B. 22m 2 C. D. E. Hvis længdeforholdet ændres

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Geometri med Geometer II

Geometri med Geometer II hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal

Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Link Mål Kompetence mål: Modellering Færdighedsmål Eleven kan vurdere egne og andres modelleringsprocesser Videns mål Eleven har viden om

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Sæt 05 Geometri 01 Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 165 min. = 2,75 time

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Facitliste til elevbog

Facitliste til elevbog Facitliste til elevbog Algebra a 8x 4 b 6x c 7x 8 d 0 5x e x 54 f 8x 6 x a x 7x + 4 b 48a 4 + 8a c 56x + x d 6a 4 5a e 4x 80x f 6a 4 4a a 8(x + ) b 5x(4x 7) c 4( a) d 9a ( a) e 4( + 7a ) f 6(x + y) 4 a

Læs mere

Geometrisk tegning - Facitliste

Geometrisk tegning - Facitliste Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger

Læs mere

Tab.23. Fig.63 og Fig.64

Tab.23. Fig.63 og Fig.64 Thomas Bugge "De første grunde til den rene eller abstrakte mathematik. Tredje og sidste Deel. Den oekonomiske og den militaire Landmaaling". Kiøbenhavn 1814.. Fig.63 og Fig.64 76 Naar der gives en ret

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 2 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse COS, SIN, TAN og RETVINKLEDE TREKANTER... 3 Vinkler målt i radianer:... 6 Grundrelationen:... 8 Overgangsformler:...

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse:

Læs mere

Forslag til løsninger til opgaver i. Matematik En grundbog for lærerstuderende

Forslag til løsninger til opgaver i. Matematik En grundbog for lærerstuderende Forslag til løsninger til opgaver i Matematik En grundbog for lærerstuderende Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

Matematisk argumentation

Matematisk argumentation Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)

GeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på

Læs mere

MICHAEL THOMSEN. Aspekter af den ikke-euklidiske geometris historie Inspirationsmateriale til matematikinteresserede gymnasieelever

MICHAEL THOMSEN. Aspekter af den ikke-euklidiske geometris historie Inspirationsmateriale til matematikinteresserede gymnasieelever +LVWRU\RI6FLHQFH'HSDUWPHQW 8QLYHUVLW\RI$DUKXV MICHEL THOMSEN spekter af den ikke-euklidiske geometris historie Inspirationsmateriale til matematikinteresserede gymnasieelever +RVWD1R :RUNLQ3URJUHVV Hosta

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post

Læs mere

Formel- og tabelsamling

Formel- og tabelsamling Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens håndbogsserie 2005 Grundskolen Formel- og tabelsamling Folkeskolens afsluttende prøver i matematik Uddannelsesstyrelsens

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

KonteXt +5, Kernebog

KonteXt +5, Kernebog 1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Eksperimenter med areal og rumfang. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 5 Eksperimenter med areal og rumfang Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Areal og Rumfang 2 Red burhønsene. Vejledn. 3-7 Største

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

1. Eksperimenterende geometri og måling

1. Eksperimenterende geometri og måling . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkaldte Firfarveproblem. For mere end 00 år siden fandt man ved sådanne undersøgelser frem til, at fire farver er nok

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere