Løsning af cup-afviklings-problemet ved hjælp af lift-and-project. Jens Kristian Jensen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Løsning af cup-afviklings-problemet ved hjælp af lift-and-project. Jens Kristian Jensen"

Transkript

1 Løsning af cup-afviklings-problemet ved hjælp af lift-and-project Jens Kristian Jensen

2 Indhold Forord 4 Indledning 5. Lineær programmering Facetter Ekstremal-punkter og ekstremal-retninger Optimum og dualitet Heltals-programmering Oversigt Disjunktiv programmering 5 2. Disjunktiv udvidelse af LP Normalformer Løft og projektion 9 3. Løftet beskrivelse af det konvekse hylster Projektion Polaritet 3 4. Algebraisk dualitet Den modsatte polar Trinvis konveksgørelse 37 6 Konstruktion af det konvekse hylster 4 6. Udledning af snit-planer Lift-and-project -fortolkning Normalisering Restriktion og løft Relateret arbejde Relation til andre typer snit Reduceret snit-udledning Flere snit pr. disjunktion Alternativ snit-udledning Basis-skift fra LP-optimum

3 7.4.2 Række-generering Eksperimenter Cup-afviklings-problemet Disjunktiv formulering Konstant-formulering Løftet formulering Sammenligning af de to {,}-formuleringer Instanser Implementation Test-kørsler Snit-strategi Disjunktionens betydning Snit-strategi fortsat Løsning af cup-afviklings-problemet Videre overvejelser Alternativ CAP-modellering Snit-udledning Snit-strategi Generalisering af cup-afviklings-problemet Konklusion 8 A OBK U5-M 83 A. Lodtrækningsskemaer A.2 Instans-data

4 Forord Dette speciale er udarbejdet som en del af datalogi-studiet ved Københavns Universitet i perioden 3. august 26 til 2. juli 27. Emnet er teorien bag en bestemt type disjunktive snit, lift-and-project -snit, og deres praktiske anvendelse i forbindelse med løsningen af en bestemt type problemstilling, cup-afviklings-problemet. Læserens forudsætninger forventes at svare til kurset Introduktion til optimering eller [27, 28], og det skal allerede her bemærkes, at de forskellige kapitler dikteret af deres indhold er af noget forskellig karakter: Det er tilstræbt, at de så vidt muligt skal kunne læses uafhængigt af hinanden (og specielt ikke nødvendigvis i den foreliggende rækkefølge); der henvises til den mere detaljerede oversigt sidst i kapitel. Endelig en stor tak til min vejleder, Martin Zachariasen, for gode råd og konstruktiv vejledning. Jens Kristian Jensen 2. juli 27 4

5 Kapitel Indledning Minimering eller maksimering af en funktion underlagt forskellige begrænsninger dækker over en uudtømmelig række af problemstillinger af stor praktisk relevans inden for grafer og netværksdesign, rute- og produktionsplanlægning, pakning og udskæring, placering af faciliteter, mandskabstildeling m.m. En forudsætning for løsningen af sådanne problemstillinger er en præcis beskrivelse af de aktuelle omstændigheder, og emnet for dette indledende afsnit er derfor en kort, uformel gennemgang af de mest anvendte formuleringer, begreber og resultater. Som baggrund for de efterfølgende kapitler opridser afsnit. og.2 nogle centrale begreber inden for henholdsvis lineær og heltals-programmering; herefter giver afsnit.3 en kort indføring i rapportens øvrige afsnit.. Lineær programmering I lineær programmering er både objektfunktionen (den funktion, der skal optimeres) såvel som venstresiden (de ikke-konstante led) af begrænsningerne lineære: max cx Ax b (LP) Her er koefficienterne til objektfunktionen angivet som vektoren c, koefficienterne til de forskellige begrænsninger som matricen A og højresiderne af begrænsningerne som vektoren b. For n variable, x,..., x n, og m begrænsninger skal formuleringen (LP) altså opfattes som en forkortelse for maksimering af underlagt begrænsningerne c x + c 2 x c n x n (.) a x + a 2 x a n x n b a 2 x + a 22 x a 2n x n b 2. a m x + a m2 x a mn x n b m (.2) 5

6 Det er typisk underforstået, at x, men i det følgende vil dette dog antages at være eksplicit udtrykt i begrænsningerne. For at lette læseligheden indføres også forkortelsen Ax = b, der skal ses som en sammentrækning af de to systemer Ax b Ax b (.3) Hver af begrænsningerne i (LP) svarer til en opdeling af rummet R n i to halv-rum: et afsluttet, hvor alle punkter overholder begrænsningen, og et åbent, hvor ingen punkter overholder begrænsningen; jvf. figur.. Den hyper-plan, der adskiller en begrænsnings to halvrum, og som udgør randen af den afsluttede del, vil i det følgende blive betegnet som begrænsningens rand-plan. x 2 x 2 x x x x (a) x x2 (b) 4x + x 2 5 (c) x 4x 2 Figur.: Afsluttede halv-rum og rand-planer / svarende til forskellige begrænsninger Fællesmængden af endeligt mange afsluttede halvrum kaldes et polyeder og betegnes i det følgende med P ; løsningsrummet til (LP) er altså polyederet givet ved P = {x R n Ax b} (.4) Figur.2 skitserer polyederet givet ved fællesmængden af begrænsningerne fra figur.. x Figur.2: P = { x R x x 2, 4x + x 2 5, x 4x 2 } Der er uendelig mange forskellige (ækvivalente) formuleringer af et polyeder, så i beregningsøjemed er man interesseret i at finde frem til en mindste (nødvendig og tilstrækkelig) blandt alle disse; afsnit.. og..2 præsenterer sådanne minimale beskrivelser fra forskellige x 6

7 synsvinkler. I afsnit..3 gennemgås nogle grundlæggende resultater vedrørende optimum. For en grundigere indføring i lineær programmering henvises til [8]... Facetter Optimeringsproblemer baserer sig ofte på håndgribelige størrelser, der i sagens natur ikke kan være negative. Dette kunne også være tilfældet for et problem med løsningsrum som i figur.2; men eksplicitte krav om x og x 2 vil tydeligvis være overflødige, idet dette jo allerede er en konsekvens af de tre begrænsninger. Givet en eksplicit beskrivelsen som i (.4) er man i beregningsøjemed interesseret i at kunne luge mest muligt ud i begrænsningerne, således at man kun står tilbage med de absolut nødvendige: Facetter Et polyeders facetter udgøres af de begrænsninger, hvor fællesmængden mellem rand-planen og polyederet netop er af dimension én mindre end dimensionen af polyederet selv. Den rumgeometriske fortolkning af en facet er altså en sideflade. I lineær algebra er dimensionen af et rum defineret ved antallet af lineært uafhængige vektorer, der udspænder rummet (dvs. udgør en basis). Definitionen af lineær uafhængighed underforstår imidlertid en bestemt placering af koordinatsystemets nul-punkt, og det gør begrebet uegnet til beskrivelse af dimensionen af andre punkt-områder end rummet selv (det giver jo ikke mening, at dimensionen af et område ændrer sig afhængig af, om området tilfældigvis indeholder eller ej som antydet på figur.3) (a) (2,4) og (4,2) er lineært uafhængige (b) (-,) og (,-) er ikke lineært uafhængige Figur.3: To punkter med samme relative beliggenhed inden for et -dimensionalt område men med forskellig lineær afhængighed i forhold til koordinatsystemet For at kunne beskrive dimensionen af en punktmængde indføres begrebet affin uaf- 7

8 hængighed: n punkter p,..., p n siges at være affint uafhængige, hvis n µ i p i = i= n µ i =, i =,..., n (.5) µ i = i= I forhold til lineær uafhængighed kræves hér altså også, at summen af koefficienterne skal være. Løst sagt betyder det, at ethvert punkt i det konvekse hylster af p,..., p n skal have en entydig fremstilling; jvf. figur.4. I modsat fald vil den ene fremstilling jo kunne trækkes fra den anden og give (nul) både som punkt og koefficient-sum uden at de enkelte koefficienter var ; jvf. figur.4(c) (a) (,), (2,4) og (4,2) er affint uafhængige (b) (-4,-2), (-2,2) og (, ) er affint uafhængige (c) (-3,-3), (-,), (,- 3) og (,-) er ikke affint uafhængige Figur.4: Affin uafhængighed afhænger ikke af koordinatsystemet Det følger nu, at en punktmængde er n-dimensional, hvis det største antal affint uafhængige punkter i mængden er n Ekstremal-punkter og ekstremal-retninger I dette afsnit beskrives en alternativ repræsentation af et polyeder: Med udgangspunkt i begrænsningernes rand-planer indføres i forlængelse af (.4): Ekstremalpunkter Et punkt ˆp P siges at være et ekstremalpunkt, hvis det er skæringspunkt for randplaner hørende til n lineært uafhængige begrænsninger. Den rumgeometriske fortolkning af et ekstremalpunkt er altså et hjørnepunkt, og markeres derfor i det følgende medˆ; mængden af ekstremalpunkter for P betegnes specielt ˆP. Det bemærkes, at ekstremalpunkterne som de eneste kan fjernes fra P, uden at området bliver ikke-konvekst. Ekstremalretninger En vektor r R n \ {} siges at være en ekstremalretning, hvis den ligger i skæringslinien mellem randplaner hørende til n lineært uafhængige begrænsninger, og hvis den kan placeres uden at pege ud af P : A r ; jvf. (.4). 8

9 x Figur.5: Ekstremalpunkterne ˆP = {( 26 {( 445, , 85 ) } 234, (4, ) ), ( 3 7, 5 7)} og ekstremalretningerne P = x Den rumgeometriske fortolkning af en ekstremalretning er altså en kant af uendelig udstrækning, og markeres derfor med ; mængden af ekstremalretninger for P betegnes specielt P. Det bemærkes, at positiv skalering af en ekstremalretning giver anledning til en ækvivalent ekstremalretning, og P udgøres altså reelt af repræsentanter for sådanne ækvivalensklasser Figur.5 illustrerer de to mængder for polyederet givet ved fællesmængden af de tre begrænsninger fra figur.; her befinder man sig i R 2, så:. Ekstremalpunkterne er skæringspunkter mellem to rand-planer. Det bemærkes, at randplanerne for begrænsningerne i figur.(a) og.(c) faktisk skærer hinanden, men at skæringspunktet ikke ligger i P og derfor heller ikke giver anledning til noget ekstremalpunkt. 2. Ekstremalretningerne ligger i (skæringlinien mellem) én randplan. Det bemærkes, at randplanen for begrænsningen i.(b) skærer randplanerne fra figur.(a) opad-til og.(c) nedad-til og derfor ikke giver anledning til nogen ekstremalretning. Begge de to mængder kan være tomme: Begrænsningerne illustreret i figur. er f.eks. polyederere i sig selv men har ingen ekstremalpunkter; modsat vil polyederet givet ved fællesmængden af begrænsningerne fra figur. og 3x + x 2 6 være begrænset (jvf. figur.6) og dermed ikke have nogen ekstremalretninger. Som modstykke til repræsentationen i (.4), der kan opfattes som en ekstern beskrivelse, kan et polyeder nu beskrives internt med kendskab til disse ekstremalpunkter og ekstremalretninger: Hvis ˆP (dette er som regel tilfældet, da de fleste optimeringsproblemer 9

10 begrænser sig til ikke-negative størrelser) vil P = x Rn x = ˆp λ i ˆp i + µ j r j, λ i, λ i =, µ j i ˆP r j P (.6) Et polyeder består altså af de punkter, der kan udtrykkes som en konveks linearkombination af ekstremalpunkterne forskudt langs en ikke-negativ linearkombination af ekstremalretningerne. Her skal det fremhæves, at det ikke er trivielt at skifte fra den ene repræsentation til den anden: Som antydet i punkt og 2 ovenfor kan det f.eks. ikke umiddelbart afgøres, hvilke kombinationer af randplaner der giver anledning til de forskellige ekstremalpunkter og ekstremalretninger; jvf. [8] for en mere indgående diskussion af dette forhold. Der henvises til [23] for en formel indføring...3 Optimum og dualitet Optimum til (LP) er karakteriseret ved, at der ikke findes en anden lovlig løsning til systemet Ax b, hvor objektfunktionen antager en større værdi. Da objektfunktionen er lineær, vil optimum hvis det er endeligt udnytte flere af begrænsningerne fuldt ud, og kandidaterne til optimum kan dermed indskrænkes til de forskellige ekstremalpunkter, ˆP. Der gælder endvidere, at der for ethvert ekstremalpunkt findes en lineær funktion, hvis optimum over P netop antages i det pågældende punkt. For at afgøre om optimum antages i et givet ekstremalpunkt, skal man altså vurdere, om løsningen er mindst lige så god som alle andre (lovlige) løsninger; dette gøres ofte indirekte ved at sammenligne værdien af løsningen med en grænseværdi for problemet som helhed: Hvis de to størrelser stemmer overens, er løsningen optimal. For at udgøre et reelt alternativ til en eksplicit gennemsøgning af hele løsningsrummet er det altså en forudsætning, at den beregnede grænseværdi på et tidspunkt kommer til at stemme overens med værdien af optimum, og jo større forskellen på disse to størrelser er generelt, jo mere af løsningsrummet skal gennemsøges (udelukkes) for at bevise, at en løsning er optimal. En simpel måde at udlede sådanne grænseværdier på er som ikke-negative linearkombinationer af problemets begrænsninger. Som eksempel herpå udledes i det følgende grænseværdier for problemet bestående i minimering af x underlagt begrænsningerne fra figur. og 3x + x 2 6; jvf. figur.6. Da minimering af x svarer til maksimering af x kan dette udtrykkes i rammerne af (LP) som max x x x 2 4x x 2 5 x 4x 2 3x + x 2 6

11 Det følger direkte af den første begrænsning, at optimum ikke kan overstige, idet x x x 2 for alle lovlige løsninger. En anden mulighed kunne være at lægge den anden og fjerde begrænsning sammen x = ( 4x x 2 ) + (3x + x 2 ) = men selv om summen af venstresiderne hér er præcis det samme som objektfunktionen, bliver grænseværdien tydeligvis ikke bedre. Det gør den til gengæld, hvis man kombinerer den første og den anden begrænsning som x = ( x x 2 ) ( 4x x 2 ) = hvilket også viser sig at stemme overens med værdien af optimum; jvf. figur.5. Skal denne fremgangsmåde give gode grænseværdier generelt, skal man altså sikre sig, at venstresiden af linearkombinationen tilnærmes objektfunktionen så tæt som som muligt samtidig med, at højresiden gøres så lille som mulig. Udledningen af en grænseværdi for (LP) kan dermed i sig selv ses som et optimeringsproblem og henvises til som den duale formulering til (LP): min by ya c y (DLP) Hvis værdien af optimum for (LP) er endelig, stemmer den altså overens med værdien af optimum for (DLP) og modsat. På tilsvarende måde kan man også formulere grænseværdier for (DLP) selv, og det giver således også mening at tale om den duale til (DLP); denne formulering viser sig igen at være ækvivalent med den oprindelige formulering, (LP)..2 Heltals-programmering I LP-formuleringen er det underforstået, at de indgående størrelser er så tilpas små, at de kan opfattes som kontinuerte; det er f.eks. tilfældet med olie, korn, elektricitet, penge m.m. Der er imidlertid mange problemstillinger, hvor sådanne antagelser ikke afspejler virkeligheden: Det giver f.eks. ikke mening at sende halvdelen af en flyvemaskine til eftersyn, mens halvdelen af piloten tager på ferie. Her er det nødvendigt at kunne angive, at størrelserne skal være udelelige ; dette krav leder frem til formuleringen af et heltals-program (eng. integer program ): max cx Ax b x Z n (IP)

12 x Figur.6: Løsningsrummet til begrænsningerne fra figur. og 3x + x 2 6 x Hvis kun udvalgte størrelser skal være heltallige, svarende til indeks-mængden I, taler man om et blandet heltals-program (eng. mixed integer program ): max cx Ax b x i Z, i I (MIP) Et vigtigt special-tilfælde af heltals-programmering opstår når de heltallige variabler begrænses til kun at kunne antage værdierne B = {, }: max cx Ax b x B n (BIP) De to værdier kan tolkes som sandt () eller falsk (), og man henviser derfor ofte til sådanne {, }-variabler som indikator-variabler eller beslutnings-variabler, idet de giver en række logiske modellerings-muligheder; jvf. [27]. Kravet om heltallighed gør, at optimum for (IP) ikke nødvendigvis stemmer overens med et ekstremalpunkt af begrænsningerne, som det fremgår af figur.7 og.8; her er det også antydet, at der både kan være stor forskel på, hvor optimum antages (figur.8(a)) og på værdien af optimum (figur.8(b)). Da (LP) er forholdsvis nemt at løse, er man således interesseret i at stramme begrænsningerne så meget, at afstanden mellem ekstremalpunkterne og de heltallige punkter bliver så lille som muligt. Det ideelle er en beskrivelse af det konvekse hylster til løsningsrummet for (IP): Her er alle ekstremalpunkter heltallige, og optimum vil dermed stemme overens med optimum for LP-relakseringen; jvf. figur.9. 2

13 Løsning af cup-afviklings-problemet ved hjælp af lift-and-project x x Figur.7: Heltalsløsninger ( ) underlagt begrænsningerne fra figur.6 x 2 x 6 4x + x 2 = x + 2x 2 = (a) Maksimum af 4x + x 2 antages for LP (2 2 2 ) i punktet (4, 3 ) men for IP (2) i punktet (4, 4) x (b) Maksimum af x + 2x 2 antages for LP (5 4 ) i punktet (3, ) men for IP (3) i punktet (3, 5) x Figur.8: Forskellige optimeringer over løsningsområdet fra figur.7.3 Oversigt I kapitel 2 introduceres først en generel lineær programmerings-model, disjunktiv programmering, der kan ses som en logisk fuldstændiggørelse af (LP). Herefter gennemgår kapitlerne 3, 4 og 5 nogle forskellige hovedresultater om det konvekse hylster af sådanne disjunktive programmer: Kapitlerne 3 og 4 indfører to forskellige måder at opnå en eksplicit 3

14 x Figur.9: Det konvekse hylster af løsningsrummet fra figur.7 x beskrivelse af det konvekse hylster på, mens kapitel 5 identificerer nogle omstændigheder, hvorunder en sådan beskrivelse kan udledes trinvist. Fremstillingen i disse fire kapitler baserer sig i overvejende grad på [7]. Kapitel 6 gennemgår, hvordan de tre hovedresultater kan bruges til at konstruere en algoritme til løsning af {,}-programmer (der er et specialtilfælde af disjunktiv programmering); samspillet mellem sætning, 7 og 9 er dog noget omstændigt, og det kan derfor anbefales, at man skimmer afsnit 6. umiddelbart efter kapitel 2. Fremstillingen er her baseret på [, ], og kapitel 7 beskriver kort andre relevante referencer. Kapitel 8 indfører først cup-afviklings-problemet fra [2] og forskellige modelleringer diskuteres. Herefter foretages en detaljeret eksperimentiel analyse i forsøg på af finde en egnet anvendelse af snitudledningen beskrevet i kapitel 6 til løsning af problemet. 4

15 Kapitel 2 Disjunktiv programmering En simpel måde at modellere betingede begrænsninger på er ved at tilføje betingelserne til begrænsningerne med passende vægte, således at begrænsningerne reelt er overflødige, når betingelserne ikke er opfyldt. Givet indikator-variablen δ B kunne problemet f.eks. bestå i at formulere de logiske forhold δ = A x b δ = A x b (2.) For passende store konstanter M og M kan dette formuleres som de blandede {,}- udtryk A x + ( δ)m b + M A x + δm b + M δ B (2.2) der altså dækker over de to situationer, hvor henholdsvis det ene og det andet sæt begrænsninger gøres overflødige: δ = : A x b (A x b + M ) δ = : (A x b + M ) A x b Så længe man holder sig til de to muligheder (δ = eller δ = ), er der ingen problemer; men hvis man laver den kontinuerte relaksering af heltals-formuleringen for at beregne en grænseværdi, ændrer situationen sig hurtigt: Den relakserede formulering tillader f.eks. A x + ( δ)m b + M A x + δm b + M δ [, ] (2.3) δ = 2 : A x b + 2 M A x b + 2 M hvilket slækker begge sæt begrænsninger, og det kan igen give anledning til et temmeligt optimistisk estimat, hvis konstanterne M og M ikke er valgt med omhu. Da vurderingerne af, hvorvidt udvalgte begrænsninger er overflødige eller ej, afhænger af de øvrige 5

16 x x x x (a) x + 4x 2 2 4x + x 2 2 (b) (4x + x 2 2) Figur 2.: Konjunktioner og negationer giver konvekse områder begrænsninger, kan bestemmelsen af sådanne konstanter hurtigt udvikle sig til en omstændig affære. 2. Disjunktiv udvidelse af LP I forhold til formuleringen (LP) er det man reelt har brug for blot at kunne angive, at udvalgte begrænsninger (herefter indekseret ved mængden Q) er disjunktive og altså ikke nødvendigvis skal være overholdt samtidig: [ A h x b h] (2.4) h Q Denne tilføjelse til den almindelige LP-formulering leder frem til en generel formulering af (lineær) disjunktiv programmering, der finder anvendelse en lang række steder, hvor problemstillingerne kan betragtes som separable. Denne nye model kan opfattes som en logisk fuldstændiggørelse af (LP), idet udvidelsen (2.4) arver de logiske operationer konjunktion ( ) og negation ( ) fra den almindelige LPformulering: Konjunktion kan opnås ved at tillade de enkelte led i Q at bestå af mere end én begrænsning. Negation af en enkelt(!) begrænsning opnås ved at vende ulighedstegnet. ( (A h x b h ) svarer egentlig til A h x > b h, så for at passe ind i formuleringen (LP) erstattes A h x > b h i praksis med A h x b h + ɛ for et passende lille ɛ) Som det fremgår, giver både konjunktioner og negationer af begrænsninger anledning til konvekse løsningsområder; jvf. figur 2.. Når det fremhæves, at der er tale om disjunktiv programmering, er det altså fordi, det er disjunktionerne, der er besværlige og kan gøre løsningsområdet ikke-konvekst; jvf. figur

17 x ( x + 4x 2 2 4x + x 2 2 ) svarer til (x + 4x 2 2) (4x + x 2 2) x Figur 2.2: Disjunktioner kan give ikke-konvekse områder Et disjunktivt program er altså af nedenstående form (DP) max cx Ax b [ A h x bh] (DP) h Q Det viser sig praktisk at tillade indeks-mængden Q at være ubegrænset, da (DP) så omfatter (IP) generelt, ligesom de enkelte led h Q også med fordel kan tillades at være tomme (se nedenfor). 2.2 Normalformer Den disjunktive udvidelse respekterer naturligvis de almindelige regneregler for logiske udtryk; jvf. f.eks. [27]. Det giver imidlertid hurtigt anledning til en forfærdelig masse ækvivalente formuleringer af det samme problem; i den forestående analyse bliver det kun nødvendigt at betragte de to yder-formuleringer svarende til, at det samlede udtryk enten er på konjunktiv eller disjunktiv normalform. Illustrationen af de to normalformer tager udgangspunkt i det rene {,}-program Ax b x B n (2.5) Konjunktiv normalform På den konjunktive normalform er alle logiske udtryk samlet under én stor konjunktion uden yderligere konjunktioner; hvert led i konjunktionen må altså kun bestå af disjunktioner. Da Ax b automatisk funger som konjunktioner over de forskellige begrænsninger, og da hvert af de disjunktive led kun må bestå af én enkelt begrænsning modsvares 7

18 (2.5) af Ax b x x h Q [x h x h ] Q = {,..., n} (2.6) Disjunktiv normalform På den disjunktive normalform er alle logiske udtryk samlet under én stor diskunktion uden yderligere disjunktioner. Det betyder, at hvert led skal indeholde alle begrænsninger herunder øvre og nedre grænser for alle variable. På disjunktiv normal-form modsvares (2.5) således af [ ] Ax b Q x = h = B n (2.7) h Q Her skal det bemærkes, at ikke alle sådanne sammensætninger af begrænsninger, øvre og nedre grænser nødvendigvis er samtidigt realisérbare; men i praksis er det for besværligt eksplicit at skulle sortere disse fra i beskrivelsen, og det virker derfor mest hensigtsmæssigt at tillade, at et led kan være tomt. 8

19 Kapitel 3 Løft og projektion Som beskrevet i afsnit.2 er man i optimeringsøjemed ofte interesseret i at finde en LP-beskrivelse af det konvekse hylster af løsningsområdet, da grænseværdien fra LPrelakseringen så stemmer overens med optimum. I dette kapitel gennemgås det, hvordan en sådan beskrivelse kan opnås for (DP) indført i afsnit 2. ved først at løfte (udvide) formuleringen til et højere-dimensionalt rum og derefter projicere den udvidede beskrivelse ned på det oprindelige rum igen. I afsnit 3. vises først hvordan (afslutningen af) det konvekse hylster af (DP) kan formuleres i rammerne af (LP); dernæst gennemgår afsnit 3.2 nogle teoretiske og praktiske aspekter forbundet med projektion. 3. Løftet beskrivelse af det konvekse hylster Indledningsvis bemærkes, at man bliver nødt til at arbejde med afslutningen af det konvekse hylster, da de enkelte led i disjunktionerne ikke nødvendigvis er begrænsede; dette er illustreret på figur 3.: Konvekse kombinationer af punkterne i 3.(a) giver anledning til området i 3.(b), der består af det positive kvadrant og ; området er imidlertid halvåbent og kan ikke formuleres i rammerne af (LP). Til sammenligning er afslutningen af det konvekse hylster svarende til det ikke-negative kvadrant, x vist i figur 3.(c). Givet en instans af (DP) tager de følgende betragtninger udgangspunkt i løsningsområdet opskrevet på den disjunktive normalform; jvf. afsnit 2.2: max cx h Q [ Ax b A h x b h ] (3.) For at lette beskrivelsen samles begrænsningerne for hvert led h Q i systemet D h x d h, og det tilsvarende løsningsrum betegnes P h { } { } P h = x R n D h x d h = x R n Ax b, A h x b h (3.2) Det samlede løsningsrum udgøres dermed af foreningsmængden F = P h (3.3) h Q 9

20 Løsning af cup-afviklings-problemet ved hjælp af lift-and-project x 2 6 x 2 x x x x (a) Disjunktionen [(x, x 2) = (, )] [(x, x 2) (, )] (b) Alle konvekse linearkombinationer af de to led i (a) udgør det positive kvadrant og (c) Afslutningen af det konvekse hylster vist i (b) udgør hele det ikke-negative kvadrant Figur 3.: Afslutningen af det konvekse hylster Indeksmængden Q antages desuden at være endelig; dette vil så også være tilfældet for indeksmængden for de ikke-tomme delmængder, der betegnes Q : Q = {h Q P h } (3.4) Et hvilket som helst punkt i det konvekse hylster af F (der altså kan være meget større end F selv) vil nu pr. definition kunne skrives som en konveks linearkombination over præcis ét punkt fra hver af de ikke-tomme delmængder: ( ) x conv(f ) h Q p h P h, λ h : x = λ h p h, λ h = (3.5) h Q h Q I den konvekse linearkombination af punkterne i (3.5) er hvert led imidlertid et produkt af to variable størrelser, og udtrykket passer således ikke ind i rammerne af den lineære formulering (LP). Dette problem kan dog omgås ved at skalere delmængderne mere præcist højresiden af begrænsningerne før man vælger punkterne; jvf. eksempel. Dette formaliseres i sætning. Eksempel Figur 3.2(a) viser løsningsrummet P P 2 for P = { x R 2 x, x x 2, x + x 2 7 } P 2 = { x R 2 x 2, x + x 2 2, x + x 2 7 } der altså svarer til disjunktionen x x x 2 x +x 2 7 x 2 x +x 2 2 x +x 2 7 (3.6) 2

21 Løsning af cup-afviklings-problemet ved hjælp af lift-and-project Angivet er også punktet (2 2, 4 ), der ligger på randen af conv(p P 2 ), idet (2 2, 4 ) = 4 (, 2) + 3 (3, ) 4 Figur 3.2(b) viser den tilsvarende skalering af P og P 2 dvs. højresiderne i (3.6) svarende til disjunktionen x 4 x x x 2 4 x +x x +x x +x Som vist giver denne skalering mulighed for at vælge repræsentanterne ( 4, 2 ) og (2 4, 3 4 ) hvis sum netop giver det ønskede punkt; jvf. figur 3.2(c). x 2 x 2 x P P P 3 4 P x x x (a) Punktet (2, ) 2 4 i conv(p P 2 ) fremstillet som (, 2) + 4 (3, ) 3 4 (b) Den tilsvarende konvekse skalering af P og P 2 (c) Konveks skalering og konveks linearkombination giver samme punkt Figur 3.2: Konveks skalering Sætning (Theorem 2. i [7]) conv(f ) = x R n x = h Q κ h D h κ h λ h d h, h Q λ h =, λ h h Q (3.7) Bevis: Idet højresiden af (3.7) betegnes S, er udsagnet, conv(f ) = S, ensbetydende med de to inklusioner conv(f ) S og S conv(f ), der hver især godtgøres nedenfor. 2

22 conv(f ) S : Da både conv(f ) og S er afsluttede, og da conv(f ) er den mindste afsluttede mængde, der indeholder conv(f ), er det tilstrækkeligt at godtgøre, at conv(f ) S. Ethvert x conv(f ) kan udtrykkes som en konveks linearkombination over et punkt fra hver af delmængderne P h ; jvf. (3.5): x = λ h p h, λ h = p h P h, λ h, h Q (3.8) h Q h Q Da p h P h kommer ud på, at D h p h d h, vil også D h (λ h p h ) λ h d h ; sættes κ h = λ h p h, svarer (3.8) altså nøjagtig til S. Hermed vil x conv(f ) x S, som ønsket. S conv(f ) : Inklusionen vises ved at godtgøre, at alle punkter i S kan udtrykkes som en konveks linearkombination af punkter i conv(f ) forskudt langs en ikke-negativ linearkombination af retninger for conv(f ); jvf. afsnit..2. Ethvert punkt x S vil være tilknyttet et punkt, κ h, og en skalar, λ h, for hvert h Q. Identifikationen af punkter og retninger i conv(f ) afhænger nu af værdierne af λ h, idet der skelnes mellem de to indeksmængder Q + = {h Q λ h > } og Q = {h Q λ h = } λ h Q + : Da Dh κ h λ h d h, vil også D h ( κ h kan så udtrykkes som κ h = λ h ˆp h i ˆP h θ h i ˆph i + λ h ) d h, og dermed κh λ h r h j P h µ h j rh j, θh i, µh i, P h. Punktet θ h i = (3.9) λ h Q : Da man ikke kan dividere med, er det ikke muligt at gentage konstruktionen ovenfor. κ h = kan dermed ikke nødvendigvis udtrykkes på baggrund af ekstremalpunkter og ekstremalretninger for P h ; men da sådanne punkter alligevel ikke bidrager til summen, kan de overspringes. Man koncentrerer sig derfor om de ikke-trivielle løsninger til D h κ h, som angivet ved Q = {h Q κ h } Disse punkter kan udtrykkes som ikke-negative linearkombinationer af ekstremalretningerne for P h κ h = r h j P h µ h j rh j, µh i (3.) Af (3.9) og (3.) følger nu x = λ h θi h ˆp h i + µ h j r h j + µ h j r h j, h Q + ˆp h i ˆP h r j h P h r j h P h h Q h Q + λ h ( θ h i ) = og dermed x S x conv(f ), som ønsket. 22

23 Som også tidligere bemærket er det noget upraktisk at skulle holde styr på, hvilke led af disjunktionen der er ikke-tomme og det er da heller ikke altid nødvendigt: Korollar 2 (Corollary 2.. i [7]) Hvis løsningsrummet til fællesbegrænsningerne {x R n Ax b} er begrænset, gælder sætning også for Q defineret i (3.4) erstattet med Q. Bevis: Den centrale erkendelse er, at hvis {x R n Ax b} er begrænset, så vil systemerne D h κ h λ h d h kun have den trivielle løsning, κ h =, λ h =, for h Q \ Q : Lad κ h, λ h være en løsning til D h κ h λ h d h for h Q \ Q ; hvis λ h vil D h ( κ h λ h ) d h, hvilket er i modstrid med, at løsningsrummet er tomt. λ h =, κ h vil D h κ h ; dette gælder imidlertid også for enhver ikke-negativ skalering af κ h, hvilket er i modstrid med, at {x R n Ax b} er begrænset. En løsning (x, κ, λ) under indeksmængden Q vil dermed kunne udvides til en løsning for indeksmængden Q ved blot at tilføje for de nye indices: (x, (κ, ), (λ, )). Modsat vil en løsning (x, (κ, ), (λ, )) til indeksmængden Q kunne indskrænkes til en løsning for indeksmængden Q ved kun at betragte (x, κ, λ). I forlængelse af eksempel har punktet vist i figur 3.3 uendelig mange forskellige modstykker i den løftede beskrivelse; f.eks. κ = (, 6) κ 2 = (5, 2) λ = 2 λ 2 = 2 Blandt alle disse punkter er κ = (2, 5) κ 2 = (5, 2) λ = 2 3 λ 2 = 3 κ = (3, 4) κ 2 = (, ) λ = λ 2 = κ = (2, 5) κ 2 = (6, ) λ = 3 4 λ 2 = 4 (3.) (3.2) endda et ekstremalpunkt i den løftede beskrivelse, selv om dette tydeligvis ikke er tilfældet for det viste punkt i conv(p P 2 ). Det rejser spørgsmålet om, hvorvidt der findes instanser, hvor optimum over de to formuleringer (den disjunktive og den løftede) ikke stemmer overens; det viser sig faktisk at være tilfældet som illustreret i eksempel 2 herunder. I sætning 3 gives en tilstrækkelig forudsætning for, at de to formuleringer er ækvivalente. Eksempel 2 Her betragtes instansen af (DP) givet ved max x +x 2 x x 2 = x x 2 [x x 2 ] [x + x 2 2] 23

24 x x Figur 3.3: Et randpunkt af det konvekse hylster der med løsningsrummet opskrevet på den disjunktive normalform svarer til max x + x 2 x x 2 = x x 2 x x 2 x x 2 = x x 2 x +x 2 2 Det bemærkes, at løsningsrummet til det første led i disjunktionen er tomt, og at optimum (punktet (,) med værdien 2) derfor antages i det andet led. I den løftede beskrivelse vil den konvekse skalering svarende til λ =, λ 2 = give anledning til disjunktionerne x x 2 = x x 2 x x 2 x x 2 = x x 2 x +x 2 2 men her er løsningsrummet til det første led ubegrænset, hvilket altså også er tilfældet for værdien af optimum! Sætning 3 (Corollary 2..2 i [7]) Hvis optimum over fællesbegrænsningerne Ax b er endeligt, er (3.) ækvivalent med det lineære program max cκ h h Q D h κ h λ h d h, h Q λ h = h Q (κ h, λ h ), h Q Idet P betegner løsningsrummet til (3.3) gælder mere præcist, at (3.3). hvis ˆx er et ekstremalpunkt af conv(f ), så eksisterer der et k Q, så η = (κ, λ) defineret ved (κ k, λ k ) = (ˆx, ) (κ h, λ h ) = (, ), h Q \ {k} er et ekstremalpunkt for P. 24

25 2. hvis ˆη = (ˆκ, ˆλ) er et ekstremalpunkt for P, så eksisterer der et k Q, hvor og x = κ k er et ekstremalpunkt for P k. ˆλ k = (κ h, λ h ) = (, ), h Q \ {k} 3. x er en optimal løsning til (3.), hvis og kun hvis η defineret som i punkt er en optimal løsning til (3.3). Bevis for : Antag at ˆx er et ekstremalpunkt for conv(f ); ˆx kan så ikke skrives som konveks linearkombination af andre punkter i conv(f ) og må derfor være indeholdt i mindst én af delmængderne P h. Dermed findes altså et k Q, så η = (κ, λ) givet ved (κ k, λ k ) = (ˆx, ) (κ h, λ h ) = (, ), h Q \ {k} er indeholdt i P. Dette η vil også være et ekstremalpunkt for P : I modsat fald vil η nemlig kunne skrives som en konveks linearkombination η = θ i η i, θi =, θ i af punkter η i P, η i η, hvoraf mindst ét θ i >. Men så vil noget tilsvarende også gælde for ˆx: Da κ k og λ k er de eneste komponenter af η, der ikke er tvunget til at være, må det samme nødvendigvis være tilfældet for alle de η i, hvor θ i > ; disse η i vil altså kun adskille sig fra η på komponenterne κ k i og λ ki. Men så vil κ k = ˆx være en konveks linearkombination af κ k i erne, og λ k = en konveks linearkombination af λ ki erne (der alle må være ). Dermed vil D k κ k i λ ki d k = d k, hvilket betyder, at κ k i P k ; men en sådan konveks linearkombination er i modstrid med, at ˆx er et ekstremalpunkt. Bevis for 2: Antag at ˆη = (ˆκ, ˆλ) er et ekstremalpunkt for P ; dermed findes et k Q, så ˆλ k =, for ellers vil ˆη jo være en konveks linearkombination af andre punkter i P. Hvis ˆλ h =, h Q \ {k}, vil også ˆκ h =, h Q \ {k}: I modsat fald vil alle ikkenegative skaleringer, µ h, af ˆκ h > nemlig overholde D h (µ hˆκ h ), og dermed vil ˆη kunne skrives som ˆη = 2 η + 2 η hvor η og η har samme komponenter som ˆη på alle andre pladser end ˆκ h, der i stedet er erstattet med henholdsvis og 2ˆκ h. Dette er imidlertid i modstrid med, at ˆη er et ekstremalpunkt. Hermed er det også udelukket, at ˆκ k kan skrives som en konveks linearkombination af andre ekstremalpunkter i P k forskudt langs en ikke-negativ linearkombination af ekstremalretninger for P k ; ˆκ k må altså selv være et ekstremalpunkt for P k. Bevis for 3: Hvis maksimum af cx over fællesbegrænsningerne Ax b er endeligt, og x en ikke-triviel løsning til A x, så vil c x. Dette gælder specielt også for systemerne D h x d h, så h Q cκh er opadtil begrænset på P. Af punkt og 2 følger desuden, at ˆx antager maksimum af cx over conv(f ), hvis og kun hvis (κ, λ) som defineret i antager maksimum af h Q cκh over P. 25

26 3.2 Projektion Den løftede beskrivelse i afsnit 3. baserer sig på et selvstændigt sæt variabler (og begrænsninger) for hvert led i løsningsrummet opskrevet på den disjunktive normalform; det gør formuleringen noget omstændig at arbejde med i praksis: Hvis det disjunktive udtryk f.eks. dækker over et rent {,}-problem (BIP), indføres der et selvstændigt sæt variabler for hvert element i løsningsrummet (og mere til, hvis man medregner de tomme led); jvf. (2.7). Givet en løftet beskrivelse af det konvekse hylster som i sætning er man derfor interesseret i at eliminere alle disse nye variabler, således at man står tilbage med en beskrivelse i det oprindelige rum; med andre ord vil man gerne projicere den løftede beskrivelse tilbage igen. Definition Projektionen af et punkt x på en hyperplan H defineres som det (entydigt bestemte) punkt x H, hvor x x står vinkelret på H, dvs. hvor x x H. For et område P = {(x, η) R n R n Ax + A η b} (3.4) udgøres projektionen af P ned på x underforstået hyperplanen (x, ) af punktmængden proj x (P ) = {x R n η R n : Ax + A η b} (3.5) I optimeringshenseende er det dog en noget halsløs gerning at skulle løse systemet A η b Ax blot for at afgøre, om punktet x er indeholdt i proj x (P ) eller ej; her er man interesseret i en direkte beskrivelse af projektionen på formen proj x (P ) = {x R n A x b } (3.6) Med udgangspunkt i den oprindelige beskrivelse (3.4) skal man således finde frem til en (lineær) omformulering, der eliminerer variablen η: det kommer ud på, at koeffientmatricen til η under den nye formulering skal være. På denne baggrund indføres projektions-keglen K x (P ) givet ved For y K x (P ) vil K x (P ) = {y R m y, ya = } (3.7) y(ax + A η) = yax + ya η = yax + x = yax yb (3.8) og det viser sig, at projektionen proj x (P ) kan beskrives som et system baseret på ekstremalretningerne for K x (P ): Sætning 4 (Theorem. i [9]) proj x (P ) = {x R n y K x (P ) : yax yb} (3.9) Bevis: Indledningsvis bemærkes, at K x (P ) kun har ét ekstremalpunkt:, så ethvert element i K x (P ) vil kunne udtrykkes som en ikke-negativ linearkombination af ekstremalretningerne for K x (P ); at et lineær betingelse er opfyldt for alle ekstremalretninger er 26

27 altså ensbetydende med, at betingelsen er opfyldt for alle elementer, og (3.9) er således ækvivalent med proj x (P ) = {x R n y K x (P ) : yax yb} (3.2) Idet højresiden af (3.2) betegnes K, er udsagnet, proj x (P ) = K, ensbetydende med de to inklusioner proj x (P ) K og K proj x (P ), der godtgøres nedenfor. proj x (P ) K : For ethvert x proj x (P ) eksisterer (pr. definition) et η, så A x + A η b. For ethvert y K x (P ) vil y(a x + A η) yb, og således også ya x yb, hvormed x K; jvf. (3.8). K proj x (P ) : Antag, at x opfylder ya x yb for alle y K x (P ); så vil løsningsrummet til systemet ya = y(b A x) < være tomt. Ifølge en variant af Farkas lemma (jvf. f.eks. Proposition 2.8 i [23]I.2) betyder det modsat, at løsningsrummet til systemet A η b A x vil være ikke-tomt, og dermed findes altså et η, så A x + A η b, hvormed x proj x (P ). Eksempel 3 Som eksempel på konstruktionen fra sætning 4 udledes her en beskrivelse af projektionen af løsningsrummet fra figur.6 ned på x ; her er P = (x, x 2 ) R Projektionskeglen er dermed givet ved K x (P ) = y R 4 x + y, y og udgøres mere kortfattet af de ikke-negative y R 4, hvor Heri omfattes elementerne 3 5 x 2 = y y 2 4y 3 + y 4 = (3.2) (3.22) 27

28 der repræsenterer de forskellige ekstremalretninger for K x (P ). Idet hver ekstremalretning giver anledning til en begrænsning, kan projektionen beskrives som løsningsrummet til systemet x der kan sammenfattes som x x x proj x (P ) = { x R svarende til x (3.23) svarende til x (3.24) svarende til x (3.25) svarende til x x 4 2 } 3 (3.26) Konstruktionen i sætning 4 er imidlertid ikke en velegnet fremgangsmåde til at udlede en beskrivelse af det konvekse hylster af løsningrummet til (DP) på generelt; det beror på flere forhold:. Som indledningsvis bemærket kommer den løftede beskrivelse i praksis til at bestå af en forfærdelig masse variabler og begrænsninger, hvilket også gør beskrivelsen af projektionskeglen omstændig. 2. Som bemærket i afsnit..2 er det ikke trivielt at bestemme ekstremalretningerne for projektionskeglen. 3. Som det fremgår af eksempel 3, er der ikke nogen garanti for, at ekstremalretningerne for projektionskeglen giver anledning til facetter for projektionen, og beskrivelsen risikerer derfor at blive oversvømmet med overflødige begrænsninger. I forlængelse af punkt 3 skal det dog bemærkes, at det faktisk er muligt at foretage en omformulering af det oprindelige område (før projektionen foretages) som bringer ekstremalretningerne for en bestemt projektionskegle i entydig korrespondance med facetterne for projektionen. Den generelle fremgangsmåde er beskrevet i [8], og tager udgangspunkt i en udvidet omformulering, P, af det oprindelige område, P ; den nye projektionskegle, 28

29 K x ( P ), projiceres så selv ned i rummet af alle uligheder, før begrænsningerne udledes. Med andre ord dannes begrænsningerne for proj x (P ) på baggrund af ekstremalretningerne for projektionskeglen K (Λπ,π )(K x ( P )), hvor punktet (Λ π, π ) R n+ repræsenterer uligheden πx π. Den løftede beskrivelse af (DP) fra sætning er imidlertid allerede på den ønskede form (svarende til P ), og som det fremgår af kapitel 4 viser det konvekse hylster sig at være så velstruktureret, at en tilsvarende beskrivelse og konstruktion af facetterne også kan opnås ad anden vej. 29

30 Kapitel 4 Polaritet Som beskrevet i kapitel 3 kan facetterne for det konvekse hylster af (DP) i princippet udledes ved først at løfte beskrivelsen og derefter projicere den tilbage igen. I dette kapitel udledes et lignende resultat baseret på algebraisk dualitet og indførelse af en bestemt delmængde, den modsatte polar, der under særlige forhold kan bruges til at beskrive facetterne for det konvekse hylster af (DP). Afsnit 4. beskriver først den grundlæggende struktur af algebraisk dualitet, hvorefter afsnit 4.2 gennemgår nogle centrale egenskaber for konstruktioner over den modsatte polar. 4. Algebraisk dualitet Som bemærket i afsnit. er (LP) blandt andet karakteriseret ved, at venstresiderne af begrænsningerne er lineære; mere abstrakt kan de hver især opfattes som en kontinuert, lineær funktional, dvs. en kontinuert, lineær afbildning af en vektor (R n ) ned i et skalarlegeme (R). For at fremhæve, at venstresiden af en ulighed πx π i det følgende betragtes uafhængigt af højresiden, indføres betegnelsen Λ : R n R (4.) og hvor det bliver nødvendigt med en eksplicit angivelse af koefficienterne, vil dette gøres som Λ π, π R n ; for x R n vil altså (parenteser omkring funktionsargumentet udelades også) Λ π x = π x + π 2 x π n x n (4.2) og (.2) kan dermed udtrykkes som Λ a x b Λ a2 x b 2. Λ am x b m (4.3) Givet u, v R n kan abstraktionen nu fortsættes, idet udtrykket u v + u 2 v u n v n (4.4) 3

31 både kan opfattes som en funktional af u (for fastholdt v) og som en funktional af v (for fastholdt u); men hvis udtrykket f.eks. fortolkes som Λ u v, kan det også tillæges en tredie betydning, nemlig som anvendelse af funktionalen Λ v : (R n R) R givet ved Λv (Λ u ) = Λ u v (4.5) hvis argument altså selv er en funktional, og resultatet er argumentet anvendt på vektoren v. Abstraktionen kan gentages i det uendelige, men man skal blot hæfte sig ved, at u og v frit kan skifte roller i (4.4): Når den ene beskriver en funktional, vil den anden beskrive argumentet. Definition 2 For et normeret vektorrum E defineres den algebraiske dual som vektorrummet E = L(E, R) af alle kontinuerte, lineære funktionaler på E. Da den algebraiske dual, E, også selv kan opfattes som et vektorrum, giver det altså også mening at tale om den algebraisk bi-duale, E, og ved passende indlejring vil E endvidere kunne opfattes som et underrum af E ; jvf. [22]. Disse forhold har afgørende betydning, idet sammenhængen mellem den algebraiske dual og det oprindelige rum viser sig at være så tæt, at man vil kunne udlede egenskaber for det oprindelige rum (vektorerne) gennem analyse af den algebraiske dual (funktionalerne). 4.2 Den modsatte polar I dette afsnit indføres en ( algebraisk ) dual beskrivelse af en konveks mængde, der kan opfattes som et sidestykke til (DLP). Ligesom værdien af optimum af en lineær funktion over et polyeder både kan formuleres på baggrund af de lovlige løsninger (LP) og de lovlige grænseværdier (DLP), kan også selve løsningrummet beskrives med forskelligt udgangspunkt: de lovlige punkter (den sædvanlige beskrivelse) eller de lovlige uligheder (som indføres nedenfor). Som bemærket i afsnit..3 er den duale formulering til (DLP) ækvivalent med den oprindelige formulering (LP), og der viser sig at gælde lignende forhold under den nye ( algebraiske ) dualitet (sætning 6). Mere specifikt vil det fremgå, at facetterne for det oprindelige løsningsrum vil kunne udledes på baggrund af ekstremalretningerne for en bestemt samling af uligheder, den modsat polære kegle, ikke ulig konstruktionen i sætning 4 og eksempel 3 men med et bedre udgangspunkt end projektionskeglen (sætning 7). Definition 3 For π R og delmængder F R n og G L(R n, R) defineres F (π ) = {Λ L(R n, R) Λx π, x F } (4.6) G (π ) = {x R n Λx π, Λ G} (4.7) Her siges F (π ) at være den modsatte polar (reverse polar) til F i L(R n, R) og tilsvarende G (π ) den modsatte polar til G i R n. 3

32 Løsning af cup-afviklings-problemet ved hjælp af lift-and-project Beskrivelsen af, hvori det modsatte består, bliver klart efter sætning 6. For en givet delmængde behøver man egentlig kun at betragte de modsatte polarer svarende til de tre forskellige π {,, }, idet en hvilket som helst ulighed vil være repræsenteret under præcis en af disse normaliseringer; i forbindelse med den senere udledning af facetterne for det konvekse hylster af F i kapitel 6 viser det sig imidlertid hensigtsmæssigt at kunne arbejde med forskellige normaliseringer. I det følgende skal konstanten π derfor blot læses som under passende normalisering, og i udledningen af de forskellige resultater skeles der således kun til fortegnet på π. Eksempel 4 For P og P 2 defineret som i eksempel udledes der her en beskrivelse af den modsatte polar (P P 2 ) ( 7). Det bemærkes først, at de to områder deler begrænsningen x + x 2 7, svarende til x x 2 7, der repræsenteres af funktionalen Λ (, ) under den aktuelle normalisering; jvf. figur 4.(a). Af figur 3.2(a) fremgår det desuden, at både x og x 2 er opadtil begrænset af 6; det svarer til begrænsningerne 7 6 x 7 og 7 6 x 2 7, der henholdsvis repræsenteres af funktionalerne Λ ( 7 6,) og Λ (, 7 ) illustreret i figur 4.(b). 6 Figur 4.(c) skitserer alle funktionalerne i den modsatte polar (P P 2 ) ( 7). π 2 π 2 π π - π - π (a) Λ (, ) (b) Λ ( 7 6,) og Λ (, 7 6 ) (c) (P P 2 ) ( 7) Figur 4.: Rummet L(R 2, R) af kontinuerte lineære funktionaler I forhold til definition 3 er det dog tilstrækkeligt med kendskab til ekstremalpunkterne og ekstremalretningerne for conv(f ): Sætning 5 (Theorem 3.3 i [7]) { F (π ) = Λ L(R n, R) Λˆp π }, ˆp conv(f ˆ ) Λ r, r conv(f ) (4.8) Bevis: Idet højresiden af (4.8) betegnes F, er udsagnet, F (π ) = F, ensbetydende med de to inklusioner F (π ) F og F F (π ), der godtgøres nedenfor. F (π ) F : Lad Λ F (π ). Da ˆp + µ r conv(f ) for alle ˆp conv(f ˆ ), r conv(f ) og µ, vil Λ(ˆp + µ r) π pr. definition; men da det gælder uanset størrelsen på µ, må nødvendigvis Λ r og Λˆp π, hvormed Λ F. 32

33 F F (π ) : Lad Λ F. Et hvilket som helst punkt x conv(f ) vil kunne skrives som en konveks linearkombination af ekstremalpunkter forskudt langs en ikke-negativ linearkombination af ekstremalretninger for conv(f ) x = λ i ˆp i + µ i r j, λ i, µ j, λ i = Men så vil ( Λx = Λ λi ˆp i + ) µ i r j = λ i (Λˆp i ) + µ i (Λ r j ) π λi + µ i = π hvormed Λ F (π ). Eksempel 5 I forlængelse af eksempel 4 er conv(p ˆ P 2 ) = {(, 2), (, 6), (3, ), (6, )} conv(p P 2 ) = og dermed er (P P 2 ) ( 7) ifølge sætning 5 givet ved de Λ (π,π 2 ), hvor π + 2π 2 7 π + 6π 2 7 3π + π 2 7 6π + π 2 7 hvilket netop stemmer overens med området i figur 4.(c). Da F (π ) som illustreret i eksempel 4 og 5 også selv kan opfattes som en delmængde af et vektorrum, giver det også mening at tale om den modsatte polar, (F (π )) (π ), til F (π ); denne modsatte bi-polar, der i det følgende kort betegnes som F (π ), viser sig at være tæt knyttet til det oprindelige område, F. Sætning 6 (Theorem 3.4 i [7]) Idet cone(f ) = {x R n µ i x i, µ i, x i F } betegner den konvekse kegle genereret af F, vil for F conv(f ) + cone(f ) hvis π > F (π ) = cone(f ) hvis π = conv(f {}) hvis π < Bevis: Ifølge definition 3 vil F (π ) = {x R n Λx π, Λ F (π )} } {{ } ( ) ( ) betyder specielt, at Λx π for det enkelte Λ F (π ), der ifølge sætning 5 igen er kendetegnet ved at være en løsning til systemet Λˆp π, ˆp conv(f ˆ ) Λ r, r conv(f ) (4.9) 33

34 Hermed vil altså [ ] Λˆp π, ˆp conv(f ˆ ) Λ r, r conv(f Λx π ) hvilket betyder, at Λx π er en lovlig ulighed for systemet (4.9); som bekendt er det ækvivalent med, at der kan laves en linearkombination af (4.9) hvor x = ρ i ˆp i + σ j r j og ρi π + σ j π, ρ i, σ i (4.) Som opsummering vil { F (π ) = x R n x = ρi ˆp i + σ j r j, } ρ i π π, ρ i, σ i (4.) Sættes ρ = ρ i, og (for ρ ) λ i = ρ i ρ, vil λ i = ; på højresiden af (4.) vil så x = ρ i ˆp i + σ j r j (4.2) = (ρλ i )ˆp i + σ j r j (4.3) ( = ρ λi ˆp i + ) σ j ρ r j (4.4) = ρ x, x conv(f ) (4.5) Den videre argumentation opdeles nu efter fortegnet for π : For π = er (4.5) ensbetydende med, at x cone(f ). π > vil ρ og dermed (ρ ) ; i forlængelse af (4.5) vil x = ( + (ρ )) x = x + (ρ ) x (4.6) hvilket er ensbetydende med, at x conv(f ) + cone(f ). π < vil ρ og dermed ( ρ) ; på højresiden af (4.) vil x = ( ρ) + ρ i ˆp i + σ j r j hvilket er ensbetydende med, at x conv(f {}). De tre tilfælde er illustreret i figur 4.2. I denne forbindelse bemærkes, at conv(f ) F (π ) = conv(f ) for π <, og i konveks-analytisk sammenhæng defineres den almindelige polar da også som F = {Λ L(R n, R) Λx, x F } (4.7) G = {x R n Λx, Λ G} (4.8) Til sammenligning med (4.6) og (4.7) vil F = F ( ), og G = G ( ), og det modsatte består således blot i, at ulighederne vender forskelligt. Som tidligere bemærket vil (nul) dog typisk ikke være indeholdt i de løsningsrum, man arbejder med i praksis, og her bliver man altså nødt til at tage foreningssmængden af de forskellige modsatte polarer i betragtning for at opnå en beskrivelse af afslutningen af det konvekse hylster: 34

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino

Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino 12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

Elementær Matematik. Mængder og udsagn

Elementær Matematik. Mængder og udsagn Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb

Mat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension

Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat! Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Affine og konvekse mængder

Affine og konvekse mængder Kapitel 3 Affine og konvekse mængder 3.1 Affine mænger Definition 3.1 LadXvære et vektorrum. En delmængde A Xer affin hvis λ 1 x 1 +λ 2 x 2 A for alle x 1, x 2 A og λ 1,λ 2 R med λ 1 +λ 2 = 1. (3.1) Udtrykket

Læs mere

Note om interior point metoder

Note om interior point metoder MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50

Læs mere

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.

Læs mere

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar) 1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

16. december. Resume sidste gang

16. december. Resume sidste gang 16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Pointen med Differentiation

Pointen med Differentiation Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

UGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f

UGESEDDEL 10 LØSNINGER. = f UGESEDDEL 10 LØSNINGER Theorem 1. Algoritme for løsning af max f(x, y) når g(x, y) c. Dan Lagrange-funktionen: L (x, y) = f(x, y) λ(g(x, y) c). Beregn de partielle afledte af L og kræv at de begge er nul:

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer 1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.

Læs mere

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 11. Lineær optimering. Jesper Michael Møller. Uge 46, 2010. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 11 Lineær optimering Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 46, 2010 Formålet med MASO Oversigt 1 Generelle lineære programmer 2 Definition Et generelt lineært

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )

GEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α ) GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder

Læs mere

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser

Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Matematiske metoder - Opgavesæt

Matematiske metoder - Opgavesæt Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid 6 april Løsning af N P -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Grænseværdier (repetition) Branch-and-bound algoritmens komponenter Eksempler

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Tirsdag 12. december David Pisinger

Tirsdag 12. december David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Tirsdag 12. december David Pisinger Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P = {L : L genkendes af en algoritme

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 6

ANALYSE 1, 2014, Uge 6 ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,

Læs mere

Hvad er formel logik?

Hvad er formel logik? Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Henrik Bulskov Styltsvig

Henrik Bulskov Styltsvig Introduktion til Fuzzy logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk

Læs mere

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2

Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2 fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere