28 lektioner af 50 min

Transkript

1 Undervisningsbeskrivelse (Alle data) Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Tekst Registrering Termin August 2009 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUC Århus gsk Matematik B, stx Fra det administrative system: Emil Hedevang Lohse Sørensen Nicolaj Knudsen Yderligere tilknyttede lærere: Nicolaj Knudsen, eksaminator Hold ma90b7bv Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb Forløb (nr. 1) Simple variabelsammenhænge og væksttyper, andengradspolynomiet Forløb (nr. 2) Differentialregning Forløb (nr. 3) Integralregning Forløb (nr. 4) Trigonometri Forløb (nr. 5) Matematiske modeller via differentialkvotient Forløb (nr. 6) Statistik Beskrivelse af de enkelte undervisningsforløb på de næste sider: Forløb (nr. 1) Intern status: Synlig Simple variabelsammenhænge og væksttyper, andengradspolynomiet Fra Matema10k. Matematik for gymnasiet, Bind 2, B-niveau! af Thomas Jensen, Claus Variabel-sammenhænge s , Propertionalitet s.25-34, Vækstmodeller s , Funktionsteori s Beviserne for dele af stoffet, jf. Matema10k. Matematik for gymnasiet, Bind 2, B-niveau! af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen, Frydenlund, 2006: "Deduktive forløb" s samt s lektioner af 50 min Regning med tal, herunder: fortegnsregler, regnearternes hierarki, parentesregler, potensregler. Begrebet fremskrivningsfaktor, anvendt ved procentregning. Ligninger: simple lineære ligninger af én variabel, løst vha ligningsreglerne, og simple lineære ligninger af to variable (f.eks. tolket geometrisk som evt. skæring mellem to rette linjer). Simple begreber om funktioner (regneforskrift, definitionsmængde, værdimængde, graf) dvs variabel-sammenhænge mellem én uafhængig og en heraf afhængig variabel.

2 Nogle væksttyper: lineær vækst, eksponentiel vækst og potensiel vækst, hvor hver funktionstype skal kunne klassificeres ved hjælp af (1) format af regneforskriften (2) væksttypen ( til lige store absolutte/relative tilvækster svarer lige store absolutte/relative tilvækster ), (3) regression på CAS-værktøj til bestemmelse af funktionsforskrift; desuden formler (med bevis) til bestemmelse af regneforskriften ud fra to grafpunkter (for lineær vækst, eksponentiel vækst og potensvækst), samt metode til løsning af grundligning på formen f(x) = konstant. Brug af CAS-værktøj: udover almindelig talregning skal man kunne lave (lineær, eksponentiel) regression, og man skal kunne løse ligninger (typisk vha SOLVE) det forudsættes, at man læser relevante afsnit af sin CAS-grafregners brugsanvisning (som dog i mange tilfælde kan erstattes af læsning i den udleverede eksempelsamling til TI89 mv). Forløbet afsluttes med en rapport, der strukturerer og opsamler teorien for variabelsammenhænge og de ovennævnte væksttyper. Forløb (nr. 2) Intern status: Synlig Differentialregning Differentialregning s , dog uden de indlagte temabokse. Andengradspolynomiet s Beviserne i dele af ovenstående materiale. 47 lektioner af 50 min. Først et delforløb om andengradsligningen, dens løsning (med bevis), mulighed for faktorisering, hvis evt. rødder kendes, og den geometriske betydning af regneforskriftens konstanter monotoniforhold og toppunktets koordinater bestemmes (sidst i forløbet jf. s ) via differentialregning; generelle polynomier defineres, og deres rødder og/eller faktorisering bestemmes udelukkende ved hjælp af CAS-værktøj. Definition af differentialkvotienten som tangent til grafen for en funktion, herefter som grænseværdi af differenskvotienten. Bevis via tre-trins-reglen, bestemmelse af simple funktioners differentialkvotient (9 tilfælde som fremgår af tabellen s.128) og simple

3 regneregler til differentiation. Differentiation af vilkårlig funktion via CAS-værktøj. Tangentens ligning. Omtale af kontinuerte funktioner og deres største og mindste værdi på lukkede og begrænsede intervaller, samt at differentiable funktioner også er kontinuerte. Sammenhængen mellem en differentiabel funktions monotoni-forhold og fortegnet for differentialkvotienten (altid på intervaller) og bestemmelse af lokale ekstrema, samlet i et skema, altså en såkaldt monotoni-undersøgelse. Optimering (= bestemmelse af min eller max) via monotoni-undersøgelse, eller vha CASværktøj. Bevis for sammenhængen mellem lokale ekstrema og differentialkvotienten s Definition af naturlig logaritme-funktion og naturlig eksponential-funktion, og omtale af differentialkvotienten for ln(x), for vilkårlig eksponential funktion og for differentialkvotienten for vilkårlig potensfunktion uden bevis. Omtale af løsningerne til ligningen f (x) = kf(x) en viden som udnyttes i forløbet om matematiske modeller via differentialkvotient. Forløb (nr. 3) Intern status: Synlig Integralregning Integralregning s Beviserne i dele af ovenstående materiale. 26 lektioner af 50 min. Begrebet stamfunktion til (dvs ubestemt integral af) en kontinuert funktion f, jf. integrationsprøven. Kendskab til en stamfunktion på et interval giver kendskab til alle stamfunktioner på intervallet. Bestemmelse af stamfunktioner til simple funktioner. Arealfunktionen til en ikke-negativ kontinuert funktion f er en stamfunktion til f. Definition af det bestemte integral. Regneregler for bestemte og ubestemte integraler (jf. s. 134 & s. 138). Areal mellem funktionsgraf og førsteaksen (jf. tidligere omtalt arealfunktion), samt areal mellem to funktionsgrafer, bestemt ved integralregning. Bestemmelse af vilkårlige, ubestemte og bestemte integraler vha CAS-værktøj. Forløb (nr. 4) Intern status: Synlig Trigonometri

4 Trigonometri s Deduktive forløb s Beviserne i ovenstående materiale. 21 lektioner af 50 min. I ensvinklede trekanter er ensliggende sider parvis propertionale. Dette bevises ikke, men udnyttes i forbindelse med arbejdet med den retvinklede trekant, hvor vi beviser alle relevante formler: vinkelsummen, Pythagoras sætning, definition og formel for sinus, cosinus og tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant. Formlerne skal kunne udtrykkes vha bogstaver og ved beliggenhedsegenskaber ( hosliggende eller modstående / hinsidesliggende katete etc.) Desuden har vi arbejdet med beregning af sider og vinkler og arealer i generelle trekanter (og senere firkanter, via triangulering), idet vi først har bevist sinus-relationen (både hvis trekanten er spidsvinklet og stumpvinklet) og cosinus-relationen (i det spidsvinklede tilfælde). Vi benytter kun grader/degrees som vinkelmål. Vi benytter sommetider to henholdsvis tre bogstaver til betegnelse for sider og vinkler. Forløb (nr. 5) Intern status: Synlig Matematiske modeller via differentialkvotient Matematisk modellering s , kursorisk læst (regressioner på data s. 157 forud for kvalitative diskussioner af nogle mulige modeller, plus inspiration til eksplosionsagtig vækst ). 14 lektioner af 50 min. Vi har prøvet at definere en matematisk model som en beskrivelse af virkeligheden, hvor man abstraherer fra det meste, for at fokusere på det, man vil undersøge og indfører så matematiske begreber til at beskrive sammenhænge mellem de indgående størrelser. Via et simpelt hverdagseksempel, hvor meget vand bruger et brusebad, benytter vi systematiske redskaber til at opstille en model, og ender med at genfinde den lineære vækstmodel. Dernæst rettes opmærksomhed mod at benytte vores metoder til undersøgelse af mulige modeller for populationers udvikling, med udgangspunkt i et talmateriale om verdensbefolknings størrelse i årene

5 Først prøver vi med forskellige regressioner (lineær, eksponentiel, ) på data om verdens befolkningsudvikling, jv. talmaterialet s Da differentialkvotienten er grænseværdi af differenskvotienten, viser det sig, at man kan opstille en række traditionelle modeller for populationers udvikling via simple påstande om funktionstilvæksten. Vi har set på lineær vækst, eksponentiel vækst og eksplosionsagtig vækst. Disse modeller indføres igen, nu via førsteordens-differentialligninger (y =a, y =ay, y =ay^2), idet vi omtaler løsningerne til dissse ligninger. Vi kan dog ikke rigtig få modellerne til at passe med vores talmateriale for verdens befolkningstal , og beslutter at man nok må nøjes med at lave en stykkevis-eksponentiel model med begrænsede muligheder for prognoser. Forløb (nr. 6) Intern status: Synlig Statistik "Statistik" s s s lektioner af 50 min. Kort repetition af C-niveauets begreber fra den deskriptive statistik for grupperede såvel som ikke-grupperede observationer: (interval-)hyppighed, (interval-)frekvens, kumuleret/ summeret frekvens, histogram samt stolpediagram, sumkurve, middeltal, kvartilsæt, boxplot, jf. s Når man ser på mulige udfald af et eksperiment, kan der være et endeligt og på forhånd kendt antal muligheder (diskret stokastisk variabel svarende til ikke-grupperede observationer) eller der kan være ubegrænsede muligheder inden for et variationsinterval (kontinuert stokastisk variabel svarende til grupperede observationer). Vi har behandlet to typer fordelinger, en diskret type: binomial-fordelingen b(n,p), og en kontinuert type: Khi-ianden-fordelngen Khi-2(a,b,df). Begge typer fordelinger skal kunne benyttes i tests vha CAS-værktøj. Vi har først set på binomialfordelingen som en diskret stokastisk variabel, der registrerer antal gange, i en serie, et eksperiment (hver gang med de samme to mulige udfald, lykkes og lykkes ikke ) lykkes. Vi benyttede modellen til at finde sandsynligheden for at en kastet tegnestift lander "på hovedet" (50 kast med 25 tegnestifter som passer ind i en b(25;p)- fordeling). Vi undersøgte om man kan smage forskel på to typer cola, ved at beregne sandsynligheder i b(10;0,5). Har man kun én måling i et meget stort datasæt, kan man finde 95%-konfidensintervallet ved at "gætte" mulige sandsynlighedsparametre.

6 Vi så derpå på en metode til sammenligning af to talserier baseret på de samme felter (f.eks. partier til folketingsvalg eller persongrupper til eksamen), hvor hypotesen der undersøges er, om tallene har samme fordeling (f.eks. om vælgertilslutningen observeret i en stikprøve svarer til vælgertilslutningen til partierne ved sidste folketingsvalg). Ved undersøgelse af tal i et skema, der var lavet ud fra to andre (indbyrdes ret forskellige) skemaer, så vi også på, hvordan skjulte sammenhænge, hvis de afdækkes, kan revidere vores opfattelser (f.eks. om mænd og kvinder er lige gode til at bestå eksamen). Skemaerne hver for sig kan give andre konklusioner end skemaet med begge talsæt samlet (Simpsons paradoks). Arbejdsformer Klasseundervisnig, pararbejde.