Fysiknoter 1. Bølgebevægelser. Contents. Udbredelse af forstyrrelser

Transkript

1 Fysiknoter I denne første forelæsning vil vi indledningsvis se på generelt på bølgefænomener (6,,4), fortsætte med noget om lydbølger (7-4), og slutte med ultralyd, hvor vi skal se på kapitel og i denne bog: Contents Fysiknoter... Bølgebevægelser... Udbredelse af forstyrrelser... Bølgeligningen... Refleksion og Transmission... Sinusbølger... 3 Transverse og longitudinale bølger... 5 Lydbølger... 6 Lydens fart... 6 Periodiske lydbølger... 7 Trykændringen i en lydbølge; Eksempel Intensitet af en periodisk bølge... 9 db-skalaen... 0 Doppler effekten for lyd... Ultralyd... Blood flow måling med ultralyd... 3 Bølgebevægelser Udbredelse af forstyrrelser Man kan tænke på bølgebevægelser som en overførsel af energi gennem et medie. For at en mekanisk bælge kan bevæge sig skal det følgende forekomme: En kilde til forstyrrelse (perturbation) Et medie som bølgen kan udbredes igennem En fysisk egenskab som gennem hvilken elementer i mediet kan vekselvirke. Af velkendt bølgefænomener kan nævnes vandbølger, bølger i en kornmark, bølger på en snor, lydbølger, og de mere kontroversielle elektromagnetiske bølger. Elektromagnetiske (EM) bølger er noget anderledes. De behøver ikke et medie for at udbredes, men kan udbredes gennem vakuum fx lys, radiobølger. Forstyrrelsen og bølgeudbredningen sker gennem det elektromagnetiske felt. Bemærk at bølgemediet vender tilbage til sin oprindelige position efter at bølgen har passeret. Bølger er altså ikke en transport af mediet, men en udbredelse af energi gennem mediet. Fysiknoter af 3

2 Bølgeligningen En forstyrrelse som kan beskrives med funktionen y f ( x). Hvis bølgen bevarer sin form under udbredelsen siger man at den er ikke-dispersiv. Udbredelsen af sådanne bølger kan beskrives som: y( x, t) f ( x vt). (0.) Hvor v er farten af udbredelsen. NB. Man skal lige holde styr på retningskonventionerne og fortegnet foran v (for v > 0 bevæger bølgen sig i x-aksens retning). For at se hvordan ligning (0.) virker kan vi se på en bølge som bevæger sig med hastigheden v i x-aksens retning og har formen y( x, t 0) f ( x), (0.) klokken 0. Hvis vi ser på formen af bølgen til tiden får vi: y( x,) f ( x v), (0.3) hvilket bare er en forskydning af f(x) med afstanden v fordi y( x v, t ) y( x, t). (0.4) Funktioner af formen beskrevet i ligning (0.) opfylder netop differentialligningen u( x, t) u( x, t), (0.5) x v t som er kendt på bølgeligningen. Refleksion og Transmission Når en bølge møder en grænseflade mellem to medier vil en del af bølgen reflekteres og den resterende del vil transmitteres. En snorbølge der reflekterer på en mur inverteres, men hvis snorens ende kan bevæge sig frit inverteres den ikke. figur. (venstre) Reflektionen af en bølge ved en fastgjorte ende af en stram snor. Den reflekterede bølge er inverteret, men formen er ellers uændret. (højre) Reflektionen af en bølge ved en løse ende af en stram snor. Bølgen er ikke inverteret. Når en snorbølge møder en grænseflade mellem en tynd og en tyk snor, vil den reflekterede del blive inverteret, hvis overgangen sker fra en tynd til en tyk snor. Fysiknoter af 3

3 figur. (venstre) En bølge bevæger sig på en tynd snor som er sat sammen med en tyk snor. Den reflekterede bliver inverteret. Den resterende del transmitteres til gennem den tykke snor. (højre) En bølge bevæger sig på en tyk snor som er sat sammen med en tynd snor. Den reflekterede del er ikke inverteret, den resterende del transmitteres gennem den tynde snor. Udbredelsesfarten af en snorbølge er givet ved v, (0.6) hvor er snorspændingen,[] = N, og µ er massefylden pr. længde enhed, [ ]. v er således højest i den tynde snor, og reglen, om at den reflekterede bølge inverteres, hvis overgangen sker fra et medium med en højere udbredelsesfart til et medium med en laver udbredelsesfart gælder generelt for alle bølger, også elektromagnetiske bølger. Sinusbølger Sinusfunktionen er nok den simpleste bølge man kan forestille sig. Mere komplicerede bølger kan beskrives med en superposition af sinusbølger. At sinus bølgen bevæger sig i x-aksens retning betyder ikke at materialet bevæger sig i x- aksens retning. Her kommer lige lidt definitioner (se figur ): Bølgelængden, er afstanden mellem to toppe. Perioden, T er tiden mellem to toppe. Frekvensen, f, [f] = s - = Hz er givet ved f T kg m Fysiknoter 3 af 3

4 Amplitude, A er forskellen mellem ligevægt og det maksimale udsving. figur 3. Grafisk beskrivelse af bølgeudsving. (a) Et øjebliksbillede af bølgen til tiden t = t 0, : Bølgelængden er afstanden mellem to toppe, A: Amplituden er den maksimale forskydning fra ligevægt. (b) Den tidslige udvikling i punktet x = x 0. T: Perioden er tidsintervallet som det tager at bølgen at rejse en bølgelængde. Man kan vise at én løsning til bølgeligningen er: y( x, t) Asin ( x vt). (0.7) Dette er formelen for en sinus bølge, der bevæger sig i x-aksens positive retning. Sinus bølger kaldes harmoniske bølger netop fordi de opfylder ligningen for harmoniske bevægelser. Læg mærke til at ligningen har formen f(x - vt). Per definition bevæger en bølge sig afstanden på tiden T derfor er bølgens fart givet ved v. Og så lige lidt mere slang T Bølgetallet, k er givet ved k Den angulære frekvens, er givet ved. T Ligningen (0.7) antager at bølgen er 0 til tiden t = 0 i x = 0. Det betyder at den generelle ligning er givet ved y( x, t) Asinkx t (0.8) Fysiknoter 4 af 3

5 Hvor vi har indsat noget bølgelære slang og fasekonstanten. Fase kx t kaldes bølgens fase og angiver hvor langt bølgen er nået i sit udsving. er fasekonstanten eller mere sigende kaldes den ofte begyndelses fasen, altså den der definerer værdien y værdien til t = 0 og x = 0. Bølgen i ligning (0.8) bevæger sig i x-aksens positive retning. Hvis for bølger der bevæger sig i x-aksens negative retning skal et enkelt fortegn ændres sådan at forskriften bliver. y( x, t) Asinkx t (0.9) Cosinus Man kunne lige så vel have brugt cosinus funktionen til at beskrive sinus bølgerne. Ud over at det ville have været forvirrende med navnet, kan man vise at en cosinus funktion også ville kunne opfylde bølgeligningen, desuden vil det være de samme løsninger fordi sin kx t cos kx t cos kx t hvor. Altså skulle fasekonstanten drejes en kvart omgang. Vi skal senere se at sinusbølger er et meget brugbart redskab i beskrivelsen i mere komplicerede bølger. Transverse og longitudinale bølger En bølge med den specielle egenskab at den, at dens udsving er enten vinkelret på eller parallelt med bølgens udbredelses retning kaldes hhv. en transversal og en longitudinal bølge. En snorbølge er en transversal bølge, og en lydbølge er en longitudinal. Vandbølger er hverken eller (eller måske begge dele), idet vandmolekylerne (mediet) bevæger sig i en cirkulær bevægelse (figur 4). Når bølgen kommer på lavt vand hindres den cirkulære bevægelse og bølgen rejser sig og kammer over. Fysiknoter 5 af 3

6 Jordskælv udsendes som både transversale og longitudinal bølger, der udbreder sig med forskellig fart. Jordskælvets epicenter kan derfor bestemmes ved at sammenligne tidsrummet mellem den transversale og den longitudinale bølge. figur 4. Bølger på et dybt hav er en blanding af transverse og longitudinale bevægelser. Den resulterende bevægelse af vandmolekylerne i overfladen er en cirkulær bevægelse. Lydbølger En lydbølge er kendetegnet ved, at forstyrrelsen sker i form af ændringer i mediets tryk og massetæthed. Lydbølger kan således skabes ved at vibrationer i stemmebåndet, en guitarstreng eller et trommeskind overføres til luftens molekyler. Lydbølger i gasser (fx luft) og væsker er longitudinale, hvorimod bølger i fastestoffer indeholder både transversale og longitudinale komponenter pga. de stærke kræfter mellem molekyler og atomer i faste stoffer. Lydbølger inddeles i 3 kategorier efter frekvens. o Hørbar lyd (0 Hz 0 khz), som opfattes af det menneskelige øre. o Infralyd (< 0 Hz) o Bruges angiveligt af elefanter til at kommunikere over lange afstande. o Nogle mennesker generes af infralyde fra fx trafik eller vejarbejde. Det er formegentligt øret der er det væsentlige organ til at opfange infralyd. o Ultralyd (> 0 khz) o Bruges bl.a. til hundefløjter. Flagermus og delfiner bruger ultralyd som sonar til at orientere sig med. o Ultralyd bruges også til scanning af fx fostre, hvor de reflekterede lydbølger bruges til billeddannelse. Lydens fart Lydens fart er givet ved B P v, B, (0.0) V V hvor, [ kg ], er massefylden, og det såkaldte bulk modulus B, N 3 [ B], angiver m hvor svært det er at sammenpresse det pågældende medium. Bemærk ligheden med hastigheden for en snorbølge ligning (0.6). B og er begge udtryk elastiske egenskaber, og og µ angiver begge massefylden. / i m Fysiknoter 6 af 3

7 Da væskers mindre sammenpresselighed overgår deres større massefylde i forhold til gasser, er lydens fart større i vand (48 m/s ved 0 C) end i luft (343 m/s ved 0 C). I et fast stof som træ er lydens fart 400 m/s ved 0 C. Da både lydens B og afhænger af temperaturen gør lydens fart det også. For luft er sammenhængen 33 T C C 73 vt, [T C ] = C (0.) Et lynnedslag fører til en meget kraftig opvarmning af en luftsøjle, og den efterfølgende udvidelse af luften skaber en trykbølge som vi opfatter som et tordenskrald. Afstanden i km til et lynnedslag kan findes ved at dele antallet af sekunder mellem lysglimtet og lydbølgen med 3. I teorien er det ikke præcis 3 man skal dele med, men i praksis virker det. Man kan også beregne hvor varmt det skal være for at man kun skal dele med for at finde afstanden. Det er alle tiders underholdning de lange vinteraftner. C Periodiske lydbølger Lydbølger kan beskrives som en sammenpresning af fx luft. Forestiller man sig en cylinder indeholdende luft og med et stempel kan en lydbølge genereres hed at flytte stemplet hurtigt (figur 5 øverst). Umiddelbart foran stemplet vel trykket øges. Det øgede tryk vil propagere gemmen gassen (figur 5 næst øverst). Bemærk at lydbølgens fart ikke er den samme som stemplets fart. Fysiknoter 7 af 3

8 figur 5. En longitidunal bølge propagerer gennem et gasfyldt rør. Den mørke farve illustrerer et højere tryk. Kilden til bølgen er det oscillerende stempel til venstre. Man kan betragte en lydbølge på to måder, enten som en trykændring, P, som vist i figur 5, eller som en forskydning af molekylernes ligevægts position, s. Man kan beskrive denne forskydning af molekylernes position som s( x, t) smax cos( kx t), (0.) hvor s max er den maksimale forskydning af et element i forhold til dets ligevægt. Det kaldes ofte for forskydningsamplituden. Trykændringen i en lydbølge; Eksempel 7.3 Lad os prøve at finde formelen for trykændringen, ΔP, som beskrivelse af en lydbølge. Hvis vi forestiller os en gas i en cylinder som i figur 5. En tynd skive af gassen et sted foran stemplet vil have tykkelsen Δx og tværsnits arealet A. Hvis stemplet er stille, vil skiven have volumen V i = A* Δx. Når stemplet bevæger sig og en lydbølge passerer, vil de to endeflader af skiven bevæge sig forskellige afstande. Forskellen betegnes Δs. Ændringen i volumen vil være ΔV = A* Δs. Som beskrevet i ligning (3.) er Bulk modulussen defineret som ændringen i trykket delt med ændringen i volumen. P BV As s B P B B V / Vi Vi Ax x Hvis vi nu lader skiven blive uendelig tynd dvs. Δx går mod dx, og Δs går mod ds. Fysiknoter 8 af 3

9 ds dp B Bsmax cos( kx t) Bsmaxk sin( kx t) dx x Lydens fart er givet ved B v B v og k, v så den maksimale trykændring vil være den højeste værdi af konstanterne foran sinusfunktionen. Altså Pmax Bsmaxk v smax vsmax v Derfor kan variationen i gastrykket, P, beskrives om en oscillation omkring sin ligevægt. For en periodisk bølge som den er vist i figur 5, der opfylder forskydningen givet i ligning (0.) kan man vise at P P sin( kx t), (0.3) max hvor trykamplituden P max, som er den maksimale trykændring er givet ved Pmax v smax. (0.4) Læg mærke til at trykbølgen og forskydningsbølgen er ude af fase med 90. Intensitet af en periodisk bølge Vi vil i dette afsnit se på intensiteten af lydbølger ved at gøre nogle energi overvejelser omkring et lille element af gas. Lad os igen se på et stempel i en gasfyldt cylinder som (figur 6). Betragt et element af gassen med bredden x og massen m foran stempelet. Stemplet oscillerer med frekvensen. figur 6. Et oscillerende stempel overfører energi til en gas i en cylinder, hvilket får et element af gas med bredden x og massen m til at oscillere med en amplitude på s max. Lad os først se på ændringerne af den kinetiske energi som gaselementet besidder til et givet tidspunkt t = t 0. Den kinetiske energi er jo givet ned K mv. Så lad os finde farten, som jo er den første afledte af positionen, af elementet. v( x, t) s( x, t) smax cos( kx t) smax sin( kx t) (0.5) t t Fysiknoter 9 af 3

10 Og den kinetiske energi til tiden t 0 = 0 er sin( ) sin( ) max max K m s kx Ax s kx max Ax s sin kx (0.6) Hvis vi ser på den kinetiske energi over en hel bølgelængde og lader elementet blive meget mindre vil x dx og max sin max sin 0 0 (0.7) Asmax 4 Asmax K dk A s kx dx A s kx dx Man kan vise på en lignende måde at den potentielle energi for en bølgelængde er den samme som den kinetiske energi, så den totale mekaniske energi er Den energi som passerer et givet punkt er E A s (0.8) max A smax E E Avsmax (0.9) t T T Vi definerer intensiteten, I, af en bølge til at være den rate hvormed energi overføres gennem enhedsareal, A. I (0.0) A I afsnittet om snorbølger sprang vi let og elegant over alle energibetragtninger, men de foregår på ca. samme måde som diskussionen om intensiteten af lydbølger. db-skalaen For nemheds skyld bruger jeg i dette afsnit P i stedet for det håndskreven P til at betegne effekten, pas på ikke at forveksle effekten med trykket. Da de lydintensiteter, det menneskelige øre kan opfange, varierer over størrelsesordner (altså faktor 0 ) er det partisk at indføre en logaritmisk skal til at beskrive lyd niveauer. Dette er også gjort af psyko-fysiologiske årsager. Det er nemlig sådan at hvis man beder forsøgspersoner at beskrive en lyd der er dobbelt så høj, eller dobbelt så lav vil det passe med en fordobling hhv. halvering i db-skalaen ikke i intensitetsskalaen. I 0 log 0, db, (0.) I0 hvor reference intensiteten I 0 er valgt som gennemsnitsmenneskets nedre høre grænse, som er vedtaget til I. W 0 0 m En forskel på 0 db svarer altså på en faktor 0 i lydintensiteten. Høregrænsen er altså 0 db mens den øvre grænse eller smerte grænsen er ca. 0 db. Decibel kommer af deci som betyder en tiende del og bel som stammer fra Abraham Bell, som jo opfandt telefonen. Fysiknoter 0 af 3

11 Doppler effekten for lyd Dopplereffekten Frekvensen af bølger, der rammer et skibsskrog, vil øges i takt med skibets fart mod bølgerne øges. At bølgernes frekvens, periode og bølgelængde afhænger af observatørens relative fart i forhold til bølgekildens, er kendt som Dopplereffekten. Det er således Dopplereffekten, som forklarer frekvensen af sirenerne fra en passerende ambulance. figur 7. Dopplereffekten. En lydkilde, K, bevæger sig med farten, v K, mod en observatør, O, som bevæger sig mod lydkilden med farten, v O. Lydkilden udsender lyd med en bølgelængde på K i forhold til observatøren. Betragt en lydkilde K og en observatør O, som bevæger sig mod hinanden med farter på hhv. v K og v O målt i forhold til luftens (eller mere generelt bølgemediets) fart. Observatøren oplever en bølgelængde, O, en smule kortere end da de blev udsendt. Bølgerne er blevet Δ kortere., (0.) O K K bevæger sige netop v K T i løbet af en periode, og det er netop den afstand O forkortes med, så vk v vk v vk O K vt K K (0.3) f f f f hvor vi først har indsat den inverse frekvens i stedet for perioden, og senere farten delt med frekvensen i stedet for bølgelængden. Da observatøren bevæger sig mod kilden vil han møde bølgerne hurtigere end deres hastighed i mediet ( v vo ) og frekvensen som han opfatter, f O, vil være højere end den udsendte. v vo fo (0.4) Men vi kender jo allerede O fra ligning (0.3), så den indsætter vi bare. v vo fo f (0.5) v vk Dette er det generelle udtryk for Dopplereffekten. O Fysiknoter af 3

12 Vær opmærksom på at formlen er udledt med en observatør og en kilde, der bevæger sig mod hinanden. Hvis det ikke er tilfældet skal man være opmærksom på fortegnene. Dopplereffekten forekommer ikke bare for lydbølger. Elektromagnetiske bølger bliver også Doppler-forskudt. Man bruger bl.a. denne forskydning til at måle stjerners afstand til jorden. Man kender de frekvenser som stjernerne udsender, men ser en forskydning af disse mod en lavere frekvens. Det kalder man en rødforskydning, fordi synligt lys bliver mere rødt. Jo mere rødforskudt spektret er set fra jorden, jo hurtigere bevæger stjernen sig væk fra os. Man antager samtidigt at universet udvider sig lige meget og lige hurtigt over det hele. Derfor vil stjerner der er langt væk stadig bevæge sig hurtigere væk. Derfor er rødforskydningen, eller dopplerforskydningen af spektret, et udtryk for hvor langt stjernen er væk. Ultralyd Ultralydsscanning er en af de mange metoder der findes i medicinsk billeddannelse. Det er ikke specielt avanceret, men til gengæld er det nemt at bruge. En ultralydsscanner virker principielt ved at udsende højfrekvente ( 5 MHz) lydpulse, som reflekteres i grænsefladerne mellem to vævstyper. Den reflekterede lyd opfanges igen. Forsinkelsen af lyden indikerer afstanden til grænsefladen. Dygtige Sundhedsteknologi ingeniører vil kunne generere billeder ud fra dette. Selve billeddannelsen skal vi ikke se på i dette kursus, men lad os se lidt nærmere på hvordan lyden reflekteres i kroppen. Lad os først repetere hvordan lydens hastighed i forskellige medier afhænger af mediets elastiske egenskaber og densiteten B v (0.6) hvor v er lydens hastighed, B er mediet bulk modulus og er mediets densitet. Den akustiske impedans, Z, beskriver lydens gennemtrængelighed gennem et medium og er givet ved: Z v (0.7) Nå lydbølgen møder en grænseflade mellem to medier vil en del af den reflekteres og den anden del vil transmitteres i det nye medie. Dette er en principiel egenskab ved alle bølger også for lysbølger, som vi skal se på senere. Lad os forestille os at en lydbølge med intensiteten, I i, bevæger sig gennem et medium med en akustisk impedans på Z. Bølgen møder et andet medium med akustisk impedans på Z. Den reflekterede intensitet, I r, er givet ved: Z Z Ir Ii (0.8) Z Z Og intensiteten af den transmitterede bølge er givet ved It Ii Ir (0.9) Bemærk at hvis Z = Z er I r = 0, altså vil lyden ikke reflekteres med udelukkende transmitteres videre. Fysiknoter af 3

13 Frekvensen af ultralyden har betydning for størrelsen af den objekter der kan reflektere bølgerne. Objekter, som er mindre end bølgelængden kan ikke detekteres. Frekvensen betyder også noget for hvor meget af lydbølgens energi der absorberes. Fx vil 50 % af intensiteten blive absorberet over 7 cm for lyd med f = MHz. Højere frekvenser absorberes hurtigere. Derfor er det et trade-off mellem opløsning og måle dybde når man vælger frekvensen af sit ultralydsapparat. Man kan også forestille sig at man måler på frekvensen af den reflekterede bølge. Hvis grænsefladen, som reflekterer lyden, ikke bevæger sig vil den udsendte frekvens være den samme som den reflekterede. Hvis grænsefladen derimod bevæger sig vil man måle et Doppler skift af frekvensen. På den måde kan man måle fx blodgennemstrømningen i arterierne, eller et fosters navlestreng. Ultralyds elementer kan også arrangeres i array s eller bevæges for at optage 3D billeder. Ultralyd bliver i vid udstrækning i medicin brugt til scanning, men kan også ved høje intensiteter bruges som et kirurgisk instrument. Grænsen mellem terapeutisk og kirurgisk brug er af størrelsesordenen 0 4 Wm -. Blood flow måling med ultralyd I dette kapitel er der et resumé om ultralyd, og nogle eksempler på måling af flow med ultralyd. Fysiknoter 3 af 3