NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING"

Transkript

1 M A T I L D E NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING N R 4 4 A P R I L

2 Formandens klumme Vagn Lundsgaard Hansen DTU Matematik Matematikkens plads i uddannelsessystemet En af mine gode venner sagde forleden ved et møde: De vigtigste aftagere for uddannelsessystemet på alle niveauer må altid være de elever og studenter som gennemfører uddannelserne. Godt sagt, tænkte jeg ved mig selv. Her havde jeg så småt vænnet mig til at tro at det var Dansk Industri og andre erhvervsorganisationer, der skulle have det afgørende ord om uddannelsessystemets indretning. Erhvervsorganisationers synspunkter på uddannelse og forskning må naturligvis veje tungt. Det er imidlertid alt for risikabelt alene at uddanne til det kendte og snævert erhvervsorienterede, for innovation og udvikling i samfundet kræver veluddannede unge med brede kompetencer. Der må være fokus på den enkelte samfundsborgers dannelse fra barn til voksen og det bør være folk med ansvar for samfundet i sin helhed der skal have det afgørende ord i uddannelsessystemet. I de seneste to årtier er det i stigende grad blevet usikkert hvem der bestemmer udviklingen i uddannelsessystemet, og i begyndelsen af det nye århundrede er der nærmest opstået et politisk tæskehold til at trumfe voldsomme ændringer igennem med ekspresfart hen over hovedet på menneskene i systemet. Men nu har Danmark fået en ny regering. Får vi så også en ny politik for uddannelse og forskning? I uddannelsessystemet er der mange steder behov for en kærlig hånd. Der findes næppe et fag i skolesystemet som er vigtigere for samfundet og mere kreativt udviklende for unge mennesker end matematik. Det giver et stort ansvar for undervisere i matematik på alle niveauer, som de fleste gerne vil leve op til. Ansvaret er imidlertid svært at håndtere for den enkelte underviser når dialog på uddannelsesstederne vanskeliggøres ved ændrede ledelsesstrukturer hvor det politiske system placerer al ansvar hos ledelserne, som stimuleres til hurtige beslutninger gennem resultatkontrakter og andre dialoghæmmende opfindelser. Der er megen frustration at spore overalt i uddannelsessystemet. Forholdene har i sandhed også ændret sig markant: Sikkerheden i ansættelsen er forsvundet, de pædagogiske udfordringer er blevet større, kravene til målbare resultater af undervisningen er vokset, elevantallet i klasserne er øget, bygningerne er forsømte, etc.. Der er mange ting der trækker den gale vej. Men heldigvis har vi et fag der ikke er i forfald. Matematik er mere vigtig for samfundet end nogensinde. Der er stort set ikke en ting i vores civilisation der er helt uafhængig af matematik. Da tiden er begrænset må vi forholde os til om der er noget matematik alle skal kunne, noget som en meget stor del skal kunne, og noget som kun en elitær skare behøver at kunne. I folkeskolen er det vigtigste efter min mening at man ikke opgiver at undervise i grundlæggende matematiske begreber og metoder som er nødvendige for at dække fundamentale behov for viden i samfundet, eller kraftigt slækker på undervisningen i vanskelige ting. Det er ikke sundt for et demokratisk samfund at det fuldstændigt overlades til nogle få at træffe afgørelser der involverer matematik. Et stort segment af befolkningen bør i det mindste kunne vurdere påstande som knytter sig til tal og beregninger. Det glimrende radioprogram Detector på P1 afslører hver uge at misforståede og/eller forkerte påstande involverende tal uantastet får lov til at florere. Selv i det politiske system kniber det af og til med brøkregning, procentregning, forståelse for forskelle i vækstformer, aflæsning af grafer og andre fundamentale matematiske begrebsdannelser, som er helt nødvendige for at forstå samfundsstrukturer. Fra tid til anden er det faktisk bekymrende ringe. Pythagoras læresætning har samme status i matematikken som tyngdeloven har i fysikken og den har mange flere år på bagen. Pythagoras sætning fortjener respekt og en ordentlig behandling i 2 44/12

3 Indhold: Formandens Klumme...2 Bernhelm Booß-Bavnbek Matematikken på vej ind i cellerne?...4 Begivenheder...11 Hannah Pettersson Matematikcenter...12 Dorte Olesen Interview with Eberhard Kirchberg...13 Mogens Esrom Larsen Aftermath...22 folkeskolen. Der er mange forskellige beviser, som er umiddelbart forståelige og involverer simple overvejelser omkring arealer, eller simple regninger med algebraiske udtryk. Betragtninger en stor del af befolkningen møder i løbet af deres tilværelse. Og så er det oven i købet fascinerende og spændende. Jeg bliver bekymret når jeg hører at denne sætning er for vanskeligt at præsentere på ordentlig måde i folkeskolen. Det er ganske enkelt forkert! På det gymnasiale niveau har vi den evige strid om betydningen af at arbejde med forståelsen af algebraiske ligninger af anden grad. En tankerække sættes måske i gang hvis man erkender at andengradsligninger geometrisk fastlægger krumning af figurer, som fysisk fører til acceleration der giver kraft og energi, altså dynamik i tilværelsen. Andengradsligninger er vigtige og har også flere tusind år på bagen. De er ikke forældede og man møder deres geometriske manifestationer i form af keglesnittene overalt i universet, i antenner, parabolskærme etc. Andengradspolynomier i flere variable er afgørende i maksimeringsopgaver af enhver art og det møder man i alle områder af tilværelsen. Der er masser af muligheder for at få vigtige matematiske begrebsdannelser på banen ved alternative fremstillinger. På universiteterne er det store problem at for mange skal presses igennem disse uddannelser på et niveau der overstiger de studerendes formåen. Løsningen på dette problem er ikke at omlægge undervisningen og springe væsentlige begreber over. Løsningen er at fastholde uddannelsernes niveau og nedsætte kravet til antallet af studenter som forventes at gennemføre de højeste videregående uddannelser. Matematik er et væsentligt fag for opretholdelse af vores velfærd. Muligvis det væsentligste overhovedet. Skønheden og betydningen af vores fag kan ingen tage fra os. Så jeg anbefaler at vi kæmper videre for matematikken med åben pande. Matilde Nyhedsbrev for Dansk Matematisk Forening medlem af European Mathematical Society Nummer 44 april 2012 Redaktion: Poul Hjorth, DTU Adresse: MATILDE Institut for Matematik,DTU Bygning 303-B, 2800 Kgs. Lyngby Fax: e-post: URL: dk Grafisk: Solidaritet ISSN: Matilde udkommer 4 gange om året Forsidebilledet: Vinderbillede i Matilde 43 konkurrencen om et foto med titlen "De Studerende". Vinderen, som er ansat ved et universitet i Danmark, og er medlem af Dansk Matematisk Forening, ønsker at være anonym. Vinderpræmien er afhentet på redaktionen. 44/12 3

4 Matematikken p Avanceret apparatur og grundlæggende uvidenhed Medicinsk udstyr hører, sammen med rumfarten og designet af militære og civile atomkraft, blandt de matematisk mest sofistikerede områder af moderne teknologi. Der findes f. eks. ikke mange matematiske forskningsfelter, der ikke har eller kunne have haft bidraget til billeddannelsen ved magnetisk spinresonans scanning (MRI) og næppe en eneste matematiker, der rummer al matematik som indgår. Det samme gælder for elektrontomografi, flerstråle konfokal lasermikroskopi og mange andre avancerede apparater. Medicin er siden længe blevet en matematisk disciplin. Den ominøse militær-industrielle kompleks har vokset sig til en eminent matematisk sick-and-health industry. Men matematikken er kapslet ind i apparatur. Hvad der angår en konkret diagnose eller behandling vil nok de fleste patienter, i hvert fald når man kommer fra matematisk fysik, forbavses over, hvor lidt tilsyneladende lægevidenskaben virkelig ved og forstår om de enkelte sygdomme. Det er ganske normalt, at en læge må prøve sig frem eller holde sig bar til etableret symptomdiagnose og symptombehandling, uden at en nærmere virkelige identifikation af årsagerne for den individuelle patientens skavank er muligt og ofte en terapi, forstået som helbredelse, forekommer uopnåelig. Fysik kan også være indviklet og i mange tilfælde uden etablerede svar. Men i fysikken er der trods alt kun en meget korte liste af First Principles, man skal holde sig til. Vi har der forholdsvis vel definerede grænseflader mellem sikker viden, begrundet eller vag formodning og uvidenhed. Og typisk kan vores uvidenhed nedfælles i nogle matematiske ligninger, som vi så måske ikke fuldstændigt forstår med det sammen. Sådan er det ikke i medicinen. Særlig karakter af matematikbrug i celleforskning Den stærke medicinske træk. Fra ren matematisk forskning kender vi følelsen af at blive trukket frem ved en overordnet problemstilling: forholdet mellem lokale og globale egenskaber; mellem glat og kontinuert; mellem analytiske og algebraiske metoder; Firefarve Problemet; PoincarŽ Conjecture; Riemann Formod- ning; Clay Millennium Problems. Vi vil hellere bide tungen af end at indrømme sådan personlige ambitioner. Men for mig er der ingen tvivl, at de store velformulerede problemer spiller og har spillet en rolle i udformning af mange en matematikers livsveje. I det mindste indirekte og i dagdrømme. Med mange tvivl, glemsel af formål -og en vedvarende følelse af selvbedrag og en kamp mod vindmøller. Sådan er det ikke, når man som matematiker arbejder sammen med diabeteslæger. Glasklar står hele tiden den kaskade af medicinske spørgsmål, der trækker forskningen frem: i snart 90 år ved vi, at manglende udskillelse af hormonet insulin er et af de mange graverende aspekter både ved juvenil og gammelmands sukkersyge (diabetes type 1 og 2). Ved en stor gruppe af disse patienter bliver in- 4 44/12

5 å vej ind i cellerne? Indtryk fra et samarbejde med diabeteslæger af Bernhelm Booß-Bavnbek, RUC, NSM, IMFUFA Forfatteren har sammen med en anden matematiker, en biofysiker og to diabeteslæger lige udgivet en lærebog BetaSys -Systems Biology of Regulated Exocytosis in Pancreatic -Cells 1, hvor et bredt sammensat internationalt team laver status af vores nyeste viden om de cellefysiologiske begivenheder ved vellykket eller skadet insulinsekretion. Matilde har bedt ham om at beskrive nogle af hans erfaringer af sit samarbejde som matematiker med diabetesspecialister. sulinet faktisk produceret i bugspytkirtlens ß-celler og opmagasineret i tusindvis af miniposer, vesikler, i cellens indre. Men cellerne svarer ikke korrekte med udskillelsen, regulerede eksocytose, på eksterne stimuli. Det viser sig i forhøjet blodsukker, der kan smages og måles ved urinprøve. Det gør man nu i mere end firetusind år i følge nogle kileskrifttekster på babylonske lertavler. Vi kalder det en symptomdiagnose, fordi diagnosen intet siger om den vifte af årsager der kan ligge bag det manglende optag af blodsukker i musklerne. Tidligere førte svigt ved insulinudskillelsen automatisk til afkræftelse af musklerne, betændelse i ekstremiteterne, tab af synet og kroppens endelige forfald. Siden opdagelsen af insulins betydning kan denne tragiske udvikling modvirkes gennem kun- stige tilføjelse af insulin ved injektion flere gange om dagen. Vi kalder det en symptombehandling, fordi endda ikke et forsøg ligger deri til at helbrede patienten, ikke en anstrengelse til at genetablere kroppens egen insulin udskillelse. Nogle vil nok mene, at den relative succes af den generelle symptomdiagnose og symptombehandling ved sukkersyge har blokeret for patientorienteret individualiseret diagnose og behandling. I hvert fald er det en stærk oplevelse for en matematiker ved at blive permanent trukket frem af veldefinerede medicinske problemstillinger. Her handler det sig simpelthen om afdækning af funktionsmåden af den regulerede eksocytose i raske ß-celler og om alt det der kan står i vejen ved svækkede ß-celler. Formålet er klart: hjælp med at finde vejen til en tidligere og mere specifikke diagnose og 40/10 5

6 til en helbredelse eller lindring af det specifikke svigt! Den teknologiske pression. Den mener vi at kende indenfor matematikken. Let tilgængelige elektroniske tidsskrifter, store brugervenlige matematiske fortryk-og anmeldelse-samlinger, effektive numeriske softwarepakker, hjemmelavede LaTeX-redigering kan sætte os som matematikere under pres. Men det er intet sammenlignet med den uhyre teknologiske pression celleforskning er underlagt: Med hver ny generation af måleudstyr vælter det ind med oceaner af nye data på ret så forskellige længdeskala. Det handler f.eks. om enkelte gener i DNA, om proteiner og om elektriske cellemembranprocesser, men også strukturen og funktionen af en ß-celle i sin helhed forsøges at beskrives i momentanbilleder ved elektrontomografi eller i forløbssekvenser ved sporing af præparerede nanopartikler i levende celler. Trykkende overvægt af ad-hoc forestillinger. Det mangler ikke af heroiske forsøg af enkelte forskere til at bringe en smule orden og oversigt i denne veritable vildt voksende urskov af data. De fleste forsøg nøjes dog med ad-hoc tømrede forestillinger og ubegrænset kreativitet ˆ la: det må nok være cellekernen, der styrer processen eller der er en vis rate, der bestemmer overgangen mellem den ene stadie og den anden stadie eller sammenhæng mellem den ene proces og den anden proces er uomtvistelig. Forklaringer holder lige så længe indtil de bliver overhalet af nye data og skal så tilpasses. De bliver dog aldrig falsificeret, fordi de er fritstående og variable og ikke, som vi er vant til fra fysikkens verden, bundet ved hoved og lemmer til fysiske grundlove og den tredimensionale rummets geometriske egenskaber. Eneste kvalitetskriteriet er, om det ligner. Det er modellerernes frihedsrige, men et mareridt, når man søger efter beskrivelser og forklaringer, der tilbyder en vis holdbarhed og model-interne fejlvurderinger. Det fylogenetiske arv. Vore insulinproducerende ß-celler hører blandt menneskers mest udviklede celler. De er tæt pakket af en zoo af forskellige typer af organeller. Insulinlignende peptider kan påvises allerede ved vore fjerne hvirvelløse forfædre for mere end 600 millioner år siden. Noget der ligner bugspytkirtler med en slags insulinproducerende ß-celler findes allerede ved slimål, der har været omkring i mere end 500 millioner år. Ved hver eneste opdagelse må man frygte, at en ny observeret proces, en ny målt størrelse er ganske uden betydning. Måske har man blot ramt en relikt, en udviklingshistorisk ruin, der har ingen betydning længere. Den type af forvirring skete selvfølgelig også i fysikkens historie. Hvor længe har det taget til at anvise meteorerne og kometerne deres plads i vor opfattelse af solsystemet, at udsondre Pluto af listen af de i vores solsystem dannede planeter? Mens ruiner og relikter skærper forstanden i idealt enkle forskningsområder så som fysikken, kan de ikke blot forvirre men totalt blokere for medicinsk forskning. Igen og igen fornemmer man som udefra kommende matematiker, at vi måske er kommet for tidligt, at vi hellere må vente 150 eller 200 år indtil forskningen har skilt væsentlige fra uvæsentlige processer og vi endelig kan begynde med det seriøse arbejde. Fravær af universalitet. Hvad der slår mig mest i matematisk cellefysiologi er fravær af enhver universalitet eller skalainvarians. Der er selvfølgelig tværforbindelser mellem det vi ved om ß cellernes funktion og vore genetiske data, vore forestillinger om organets (her bugspytkirtlens) og organismens virkemåde og en hel populations opførelse. F. eks. bliver netop genetiske data indsamlet ved epidemiologiske undersøgelser af store populationer og tilbagekoblingen er vel undersøgt mellem næringsindtag, leverens og hjernens reaktion og sekretionssignalisering. Men bortset fra universaliteten ved de anvendte statistiske metoder til parameterestimering og hypotesetest -er alle mødte metoder fast knyttet til et bestemt biologisk niveau, en bestemt længde og tidsskala. Vi kender sådan en håbløs situation også fra matematisk fysik med den tilsyneladende matematiske uforenelighed mellem gravitationsteorien og kvantemekanikken. Det kan måske betragtes som sår i fysikken, men det er et enestående sår. I diabetesforskning har vi hundrede af sådan kløfter, hvor ingen aner, om der er en bro og hvordan den så skulle bygges. Flygtighed. Medicinsk biologi, som det bedrives i dag, er et kæmpe fortagende med myriader af artikler der udkommer hvert år. Ikke mange af dem bliver citeret når to år er gået. Det er nok grunden til, at en nøgleparameter for bibliometrisk information, den impact factor, kun undersøger de løbende henvisninger til afhandlinger der ikke har mere end netop disse to år på bagen. Rigtig nok, er de overordnede mål, forståelsen af liv og død, af sundhed og sygdom, langtidsholdbare. Men angrebsvinklerne skifter hele tiden og virker tit som dikteret af nogle observationsteknikker, der lige nu er kommet til anvendelse. Faget synes præget af fravær af etablerede og overordnede traditioner. Sådan som den bedrives i dag er cellefysiologi et ungt fag, der er først ved at etablere sig. Tilfældigt gjort opdagelser spiller tilsyneladende en stor rolle. Vi kender det også fra fysikken, hvor opdagelsen af høj-temperatur supraledning af traditionelt isolerende porcelæn-materialer ved Bednorz og Müller i 19xx næppe kunne karakteriseres som resultat af dybe teoretiske overvejelser, men tilfæl- 6 43/11

7 dige gennembrud forekommer uden tvivl mere tit i biomedicin. Systemtænkning contra reduktionisme. Det siger sig selv, at et strengt reduktionistisk program er påkrævet i medicinsk forskning, hvis den gængse indpakning af medicinsk uvidenhed i ad-hoc antagelser skal udskiftes med falsificerbare referencer til fysiske grundlove. Men jeg må også erkende, at de fleste kropsfunktioner og -processer inddrager mange forskellige cellekomponenter, nabocellerne, adskillige organer og hele organismen i et samvirke. Forståeligt nok er den holistiske parole om systembiologi blevet populær, og store forventninger er knyttet til den. Begge programmer vil afsløre nye spændende fakta og forhold. Begge tilgang byder rige arbejds muligheder til en matematiker. For mig personligt ligger den mest lovende retning et sted i midten: Måske vil fokuseret systembiologi vise sit evne til at røre på væggen og slå hul i væggen, dvs. at nå et gennembrud. Det er ikke sket endnu. Håbet er dog en medicin og en biologi, der ser bort fra nogle sikkert relevante aspekter, fokuserer på et begrænset udsnit af processer og lader sig til gengæld konfrontere med en mangfoldighed af niveauer og en diversitet af længde-og tidsskalaer alt på en gang. Matematisk håndsrækning Hvilken plads har så en matematiker i dette omfelt? Den daglige praksis. På samme måde som i ingeniørfagene, i økonomi eller hvor som helst, består den daglige matematiske øvelse også i cellefysiologien af estimering af nogle parametre, signifikanstest for nogle hypoteser og simple kassemodeller for dynamikken af koblede størrelser. Matematikkens rolle er tit at kontrollere, om en tilfældigt gjort opdagelse holder hvad den lovede. Numeriske problemer kan straks tårne sig op, når man vil simulere f.eks. den fusionsproces af et enkelt insulinvesikel til plasmamembran med hele forløbet, indbøjning af plasmamembran i et smilehul, koblingen af bolden til smilehullet, sammensmeltning af vesikel-og plasmamembran i hemifusion, dannelsen af fusionspore til udstødning af insulin, og opløsning af vesikelresterne i plasmamembran. De numeriske problemer skyldes at vi er ved en mesoskala, de karakteristiske længder varierer mellem 1 for lipidhovederne, 7nm for styrken af membranernes dobbeltlag af lipider -til nm for insulinboldenes diameter og ligger dermed betydeligt over de længder, kemikere behersker i Molecular Dynamics (MD). Endnu værre er det med tidsskalaen, fordi en enkel ß-celle reagerer på en enkel glukosestimulans gerne med en insulinudskillelse over minutter. Og alt det i tre dimensioner. Det krævede udvikling af særlig software for at aggregere både rum-og tidsintervaller til noget, hvad eksisterende nutidige computere kan arbejde med. Matematikerens dobbeltrolle. På en måde skal man som udefra kommende matematiker være ydmyg over for det uhyre stort kalibrerings-og programmeringsarbejde, der ligger til grunde for sådan modeller, og det er svært ikke at give efter for fascinationen af den levende grafiske output af sådan simulationer. Respektfuld og ydmyg skal vi stille vores værktøjskasse til rådighed og frygtløs give et hånd til når der er brug for. Men vi må heller ikke opgive vor matematiske anskuelsesmåde, vor erhvervede kompetence til at spørge efter grundlag for de modelleringer og simulationer, vore tværkontrolberegninger om noget overhovedet kan være rigtig, vor insisteren på at relatere beslægtede fænomener med hinanden og vor fantasi til at udtænke ganske simple mekanismer der har evnen til at frembringe den komplekse fænomenverden vi observerer. Matematikkens falsificerende, heuristiske funktion. Der går mange vittigheder om de spidsnæsede matematiker, der regner noget efter og bagefter, nogle gange misfornøjet, nogle gange smilende eller hånende konstaterer, at biologernes tal og antagelser ikke passer sammen. Det giver matematikerne et ryg af smålighed og pedanteri, men det er måske vort vigtigste bidrag til alle områder af medicinsk biologi. Med sådan bedrevidende kontrolberegninger falisificerede William Harvey mellem 1616 og 1628 dengang gængse forestillinger om hjerte-kår systemet og opdagede blodkapillarernes aritmetiske eksistens, der forbinder arterier og vener -40 år før Marcello Malpighis lysmikroskop kunne bekræfte deres histologiske virkelighed. 2 På lignende måde kan f.eks. en harmoniske analyse 3 af observerede elektriske svingninger (calcium oscillationer) i ß-cellerne umiddelbart før sekretionen påpege, at de svingninger ikke alene er udtryk for pulserende indstrømning af calciumioner gennem plasmamembranen, men -stik i mod denne gængse forestilling, må også skyldes et pulserende voldsomt plasken af disse ioner mellem celle interne calcium-forrådsorganeller så som mitokondrier og det endoplasmisk retikulum. En rent matematiske inkonsistenskonstatering kan således flytte fokus fra de, jeg må indrømme, nemmer og direkte målelige lokale elektriske membranprocesser (måling af ændring af statisk potentiale over tid vha. patch clamp) til celle-interne globale og langtrækkende elektrodynamiske processer (måling af svingende magnetiske feltstyrker) og give exocytoseforskningen en ny tilgang. 4 44/12 7

8 En model DNA molekulet Modelbaserede og simulerede målinger. Mange biomedicinske størrelser kan ikke måles direkte. Det ligger i sagens, her livets natur, dels fordi de fleste direkte målinger vil kræve en eller anden type af fiksering, nedfrysning eller drab af cellerne, dels p.g.a. den lille længdeskala og den stærke vekselvirkning mellem forskellige komponenter i cellen. Lige som i fysikken siden Galilei Galileos bestemmelse af faldloven ved at regne baglæns fra det skæve plan, må man også i cellefysio logien mestre kunsten af modelbaseret eksperimentdesign. Lad os f.eks. se på de otte-til tolvtusind tæt pakkede insulinbolde i en enkel ß-celle, som skal komme hen til plasmamembranen i løbet af maksimalt 30 minutter efter stimulationen, for at udgyde deres indhold. Lad os se bort fra de mange processer der foregår samtidig i cellen og se alene på den fysiske grundparameter for transport i væsken, nemlig cellecytosols viskositet. Fra målinger af vævets (afdød) protoplasma kender vi størrelsesorden af viskositeten, nemlig omkring 1 millipascal-secund, dvs. af samme størrelsesorden som vand ved rumtemperatur. Men nu vil vi måle viskositeten i levende celler, før og efter stimulationen, i cellens indre og tæt ved plasmamembranen, for raske celler og stressede. Det duer ikke formålet at aflive cellerne og så ekstrahere deres cytosol. Vi skal foretage os undersøgelsen in vivo og in loco, ved levende celler og der på bestemte steder. Igen, den medicinske træk er entydig. Det er det teknologiske tryk også, siden der foreligger første erfaringer med, hvordan vi kan bringe jernoxid-nanopartikler af en diameter op til 100 nm inde i disse højst sårbare ß-celler uden at ødelægge dem. Det sker med en lavfrekvent (omkring 10 Hz) elektrodynamisk feltgenerator, der får de nanopartikler så at sige til at rulle på overfladen af cellerne indtil de rammer en villig receptor og får tilgang. Disse partikler præpareres med passende antigener og med et udvalgt farveprotein, således at deres bevægelser inden for cellen kan observeres med en flerstråle konfokal lasermikroskop der kan frembringe op til 40 optagelser per sekund. Tidsrummet for observationerne er kun forholdsvis kort, måske maksimalt 8-10 minutter -før de partikler bliver indfanget af cellernes endosomer og afleveret til cellernes lysosomer til destruktion og fortæring af deres farveproteiner. Den matematisk nemmeste metode til at bestemme cytosolens viskositet ville være blot at trække de magnetiserbare partikler med deres nogenlunde vel-definerede radius a med konstant hastighed v gennem væsken og måle den anvendte elektromagnetiske kraft F. Så fås viskositeten η fra Stokes Lov F = 6π aη v. Kraften og hastigheden skal vær lille for ikke at trække partiklerne ud af cellen før hastigheden er målt og blevet konstant. Kollisionen med insulinboldene og andre organeller skal undgås. Det kan kun realiseres med lavfrekvent vekselfelt. Men så må Stokes Lov skrives om til variabel hastighed og matematikken begynder med at blive avanceret. Derud over skal der ved lav hastighed korrigeres for den spontane Brownske bevægelse af partiklerne. Det kan alt lade sig gøre matematisk: skrive den tilhørende stokastiske Langevin Ligning ned og løse den analytisk eller tilnærmelsesvis ved Monte Carlo simulation. 5 Men vi når hurtig til apparaturmæssige begrænsninger, både m.h.t. lasermikroskopens opløsning og feltgeneratorens laveste realiserbare frekvens. Så kan vi lige så godt slukke for feltgeneratoren og nøjes med at registrere den pure Brownske bevægelse af en enkel nanopartikel i cytosol! Som vist i en af de tre berømte 1905-afhandlinger ved Einstein, er der en simpel sammenhæng mellem bevægelsens varians (den middel kvadratiske afvigelse) σ =< x > for en partikel opløst i en væske af viskositet η, givet ved σ= 2Dτ, hvor τ betegner længden af iagttagelsens tidsinterval og 8 43/11

9 diffusionskoefficienten med Boltzmannkonstanten k, absolut temperatur T og partikelradius a.i B termodynamikken regnes med kollisioner per sekund mellem en enkelt kolloid af 1 µm diameter og væskens molekyler. For nanopartikler med en diameter af måske kun 30 nm skal vi tilsvarende kun regne med omkring kollisioner per sekund, stadigvæk et tal så stort, at det udelukker registreringen. Der er simpelthen ingen fysisk observerbar størrelse < r 2 >. Men siden den Brownske bevægelse er en Wienerproces med selvsimilaritet får vi tilnærmelsesvis den samme varians ved, f.eks. blot at registrere 40 positioner per sekund. Få målinger per sekund er nok. Nok er nok, kan vi holde eksperimentalisten i mod, hvis den kræver ustandselig bedre og meget mere kostbare apparatur. Det kan smukt anskuelig gøres ved et simpelt MatLab-program (se Boks nnn), der først genererer en Wienerproces med givet varians og så estimerer variansen ud fra de frembragte siksak kurver ved at tage alle punkter eller hver anden eller hver fjerde. Strengt taget skulle estimeres ud fra de 2D-projektioner af de 3D-orbits, sådan som eksperimentelt udstyr også vil gøre det. En simpel øvelse i stokastisk geometri viser at den gennemsnitlige afkortning af en 2D-projektion af en Wienerproces i forhold til den ægte 3D-længde er med en faktor 2/π, som man så skulle korrigere for i laboratoriet. 6 Smukt, men fortsat utilstrækkeligt for laboratoriebrug: der må vi også tage hensyn til den ikke- Newtonsske karakter af cytosol for ß-cellerne. Disse celler er, som bemærket, tæt pakket med insulinbolde og diverse organeller og strukturer. Siden den elektriske ladning af jernoxid-partikler er neutrale kan vi i første approksimation antage blot ren elastiske stød mellem partiklerne og forhindringerne. Det ændrer ikke variansen i specielle tilfælde, som M. Soluchowski allerede regnede ud for 100 år siden for stærke afvisning af partikler ved spejling ved en uendelig plan væg. 7 Her har også comptersimulationer deres plads til at udforske virkningen af forskellige frastødnings og tiltrækningsmekanismer på variansen. Nu kan man næppe bringe blot en enkel nanopartikel ind i en celle. Der vil altid være mange samtidig. Således kan det være svært eller umuligt at følge en enkelt partikels siksak-kurs i en sky af partikler ved intermitterende observation. Også her hjælper nu stringente matematiske overvejelser, nemlig tilbageregning til viskositeten fra optælling af partiklerne i et specificeret vindue. 8 Fælles for modelbaserede målinger er både målet at genvinde de ønskede størrelser fra tilgængelige hhv. realiserbare observationerne og optræning af laboratoriebetingelserne ved computersimulation, dels for at blive fortroligt med forventede resultater, dels for at udforske en vifte af på forhånd ukendte betingelser og dels for at anbefale den bedste valg af frie parametre så som partikel diameter, temperatur, fokusområde mm. Brug for nye matematiske ideer? Jeg har beskrevet, hvor vigtigt et bredt solidt matematisk kompetence er for en succes i daglig praksis, ved efterprøvning af gængse antagelser og ved modelbaseret modellering og simulation. Oversigten og litteraturstudiet er krævet, ikke originaliteten, denne mor til banaliteten, som det siges i et ukrainsk talesprog. Men der er også brug for radikalt nye matematiske ideer, først og fremmest ideer, der kan bringe de ellers isolerede og lokale observationer og opfattelser, der præger molekylærbiologien, tilsammen. Hvordan forplanter sig lokalt begrænsede begivenheder fra et sted ved plasmamembranen til en global proces, der inddrager myriader af ioner, proteiner og organeller langt borte og over hele cellen og virker så til at lade det afgørende, sekretionen, ske tilbage ved plasmamembranen? Hvordan foregår kommunikationen, udbredelsen af en singularitet, signalforstørrelsen og slutendelig dannelsen af nye former? Mange matematiske discipliner har deres bud, fra algebraisk geometri, stokastiske processer og kompleks dynamik til parabolske og hyperbolske differentialligninger og frie randværdiproblemer. 9 Konklusion Hvor dybt er kløften mellem matematik og medicin? De fleste matematikere, der har prøvet at arbejde sammen med læger, vil kunne bekræfte, at det er nemt i den mening, at man finder hurtigt et fællessprog og forståelse til trods for den fuldstændig forskellige baggrund. Forholdet mellem matematik og medicin har været lidt omtumlet i videnskabernes historie. Vigtige matematikere og fysikere som Descartes, D. Bernoulli, d Alembert, Helmholtz, Schršdinger, Gelfand, Thom har været tiltrukket af biomedicinske spørgsmål og observationer, men har også udtrykt deres forbehold. Vigtige læger, man behøver kun at gå gennem listen af Nobelpristagere, har tilsyneladende ikke lidt under matematikfobi, men tværtimod beholdt en livslang forkærlighed for matematiske ideer og anskuelsesmåder. Måske har den gode forståelse mellem læger og matematiker dybe rødder i fortiden: Mens at tælle 44/12 9

10 af som svingende matematiker magnetiske med diabetesspecialister. feltstyrker) og give exocytoseforskningen en ny tilgang. Den daglige praksis. På samme måde som i ingeniørfagene, i økonomi eller hvor som helst, består den af Så partikler kan daglige vi lige ved matematiske så intermitterende godt slukke øvelse for observation. også feltgeneratoren i cellefysiologien Også og her nøjes hjælper af med estimering nu at registrere stringente af nogle den matematiske parametre, pure Brownske Modelbaserede og simulerede målinger. Mange biomedicinske størrelser kan ikke måles direkte. signifikanstest overvejelser, bevægelse af nemlig en for enkel nogle tilbageregning nanopartikel hypoteser og i til cytosol! simple viskositeten kassemodeller Som vist fra optælling i en af for de dynamikken af tre partiklerne berømte 1905-afhandlinger i koblede et specificeret størrelser. ved Det og Avanceret ligger i hele var, apparatur sagens, her efter alt at og livets dømme, grundlæggende natur, dels fordi magikernes uvidenhed de fleste direkte målinger vil kræve en eller anden Matematikkens "vindue". Einstein, 8 der rolle en simpel er tit sammenhæng at kontrollere, mellem om og medicinmændenes Medicinsk tilfældigt bevægelsens og gjort andre varians opdagelse derivater. (den holder middel Nogle hvad kvadratiske universitetslærere den lovede. har type af fiksering, udstyr 2 nedfrysning hemmelighedsfulde hører, 2 sammen eller med drab rumfarten af cellerne, privilegium og designet dels p.g.a. glædet af den sig militære lille længdeskala med deres og civile studenter atomkraft, og den stærke Numeriske afvigelse) problemer σ = < x > kan for straks partikel tårne sig opløst op, i når en man væske vil af simulere viskositet f.eks. η, givet den fusionsproces ved σ over af blandt disse et hurtige vekselvirkning i de forvidenskabelige matematisk mest mellem sofistikerede forskellige kulturer, blev områder komponenter begge fag af moderne i cellen. båret ansættelser. teknologi. Lige som Der i fysikken Nogle findes gik f. siden så eks. længe ikke Galilei 2 = 2Dτ mange Galileos, hvor enkelt Fælles insulinvesikel til plasmamembran med hele forløbet, indbøjning af plasmamembran at i et pege på dette bestemmelse τ betegner modelbaserede længden af matematiske den samme forskningsfelter, af faldloven af iagttagelsens målinger ved rationalistiske ånd der at regne tidsinterval både målet ikke "baglæns" og at genvinde de ønskede størrelser fra tilgængelige smilehul, Booss2Matilde, gennem har eller hele den kunne fra det nye have skæve jobmarket haft plan, bidraget må man som til et billeddannelsen også i cellefysiologien hhv. realiserbare koblingen 14. observationerne juli af bolden 2011 til smilehullet, og optræning Matematik sammensmeltning af laboratoriebetingelserne af vesikel- og argument plasmamembran for ved tiltrække i nye europæiske magnetisk mestre spinresonans kunsten af antikke, stik scanning modelbaseret modsat (MRI) eksperimentdesign. k i T cellerne ved computersimulation, 8/8 B til den og tidligere næppe en eneste Lad matematikstudenter matematiker, os f.eks. se der på de til deres rummer otte- til universitet. al tolvtusind hemifusion, dels for at blive dannelsen fortroligt af fusionspore med forventede til udstødning resultater, D = af dels insulin, for og udforske opløsning en vifte af vesikelresterne af på forhånd matematik i tæt besværgelsesånd, som pakkede indgår. Det insulinbolde samme i mod gælder i en enkel troen på for magi elektrontomografi, β-celle, som skal 6π komme aη og gode eller andre onde avancerede flerstråle hen Jeg enig konfokal til plasmamembranen med den lasermikroskopi i løbet serie af kritiske og bidrag mange af plasmamembran. ukendte betingelser De og numeriske dels for at problemer anbefale den skyldes bedste at vi valg ved af frie parametre mesoskala, så de som karakteristiske partikeldiameter, diffusionskoefficienten varierer temperatur, mellem fokusområde med 1 Å Boltzmannkonstanten for lipidhovederne, mm. 7nm k i Springers Mathematical matematisk maksimalt 30 minutter ånder. Geometriske apparater. efter stimulationen, Medicin og aritmetiske er siden for forhold længe at udgyde blevet deres indhold. Lad Intelligencer, disciplin. os se bort Den fra at ominøse de mange længder B for, absolut styrken temperatur af membranernes T og partikelradius dobbeltlag der ingen a. af I grund sygdomsforløb processer skulle militær-industrielle der foregår i ren forklares og kompleks objektive, samtidig ikke bandes har i observerbare cellen vokset og eller tilbedes! sig alene en eminent på den fysiske I er til matematisk grundparameter være stolt sick-and-health for transport på at have udannet industry. i lipider termodynamikken - til regnes nm for med insulinboldenes termer og ligeledes forestillede sig udelukkende kollisioner diameter per sekund og ligger mellem dermed en enkelt betydeligt kolloid over af de 1 m længder, nogle af vore objektive væsken, nemlig årsag og cellecytosols rent fysisk viskositet. behandling. Fra målinger af vævets (afdød) protoplasma kender samme ånd havde den græske medicin etableret sig bedste studerende netop til det hverv. 11 vi kemikere diameter og behersker væskens i Molecular molekyler. Dynamics For nanopartikler 10 Brug for nye matematiske ideer? Jeg har beskrevet, (MD). Endnu med hvor en vigtigt værre diameter det bredt af med måske solidt tidsskalaen, kun matematisk 30 nm fordi skal en Et vi alternativ størrelsesorden som Men matematikken af viskositeten, strengt materialistisk kapslet fag, ind nemlig der i apparatur. omkring beskrev Hvad 1 millipascal-secund, der angår at træne en konkret dvs. de unge diagnose af samme i ren matematik, eller størrelsesorden enkel kompetence tilsvarende β-celle kun er reagerer for regne en succes på med en omkring enkel i daglig glukosestimulans 10 praksis, 18 kollisioner ved efterprøvning gerne per sekund, med en af stadigvæk insulinudskillelse gængse antagelser et tal så stort, over og behandling ved at når det Opgaver den er bedst. som 8 vil nok vand M. von for ved fleste matematikstudiet. rumtemperatur. Smulochowski, patienter, i hvert Men Alle Studien fald nu steder, Ÿber når vil man vi hvor måle Molekularstatisktik lidt tilsyneladende kommer der viskositeten uddannes Måske fra matematisk matematikere, i levende et endnu bedre fysik, celler, har alternativ forbavses før oplevet og efter minutter. Og alt det i dimensioner. Det krævede udvikling af særlig software at aggregere kunne over, over hvor de modelbaseret stimulationen, udelukker registreringen. modellering være at rette både i cellens rum- og von tidsintervaller Emulsionen lægevidenskaben indre Der og simulation. og tæt simpelthen Oversigten ved til und noget, deren virkelig plasmamembranen, ingen fysisk og litteraturstudiet observerbar hvad Zusammenhang normalt, eksisterende ved og forstår de nutidige unges om for de raske størrelse er krævet, opmærksomhed computere enkelte celler sygdomme. og < stressede. r 2 ikke sidste år, ofte mere end halvdelen af deres færdige kandidater blev ansat i finanssektor, >. Men kan arbejde på mange Det især siden med. er ganske til originaliteten, Brownske denne bevægelse mor til er banaliteten, en Wienerproces som det med siges selvsimilaritet i et ukrainsk får talesprog. vi tilnærmelsesvis Men der er den også samme fascinerende brug den matematisk mit at der en Brownschen læge delikate må prøve værdifastsættelse Bewegung, sig frem Sitzber. eller af optioner holde Kais. sig og samarbejdsmuligheder bar andre til etableret derivater. symptomdiagnose Nogle universitetslærere for med lægeverden, og Det varians radikalt vær det på Matematikerens Akad. symptombehandling, duer ved, nye ikke f.eks. matematiske formålet blot Wiss. Wien, dobbeltrolle. Mat.-naturw. uden aflive registrere ideer, først en cellerne 40 positioner og fremmest På Klasse nærmere og en måde 123/IIa virkelige så ekstrahere per sekund. ideer, der skal (Dez. man identifikation deres Få kan cytosol. målinger bringe som populationsniveau, udefra kommende af årsagerne Vi per de ellers skal sekund isolerede f.eks. matematiker for foretage med den studiet individuelle os nok. Nok og har glædet sig med deres studenter over disse hurtige ansættelser. Nogle gik så længe til at pege på er lokale være undersøgelsen nok, kan observationer vi holde af smitsomme ydmyg 1914), patientens over skavank in vivo eksperimentalisten og opfattelser, der for det Alle er uhyre tre muligt og in loco, her stort citerede og kalibrerings- ofte ved i Smoluchowskiafhandlinger modeller, myriader findes og det af på ioner, en svært polsk proteiner ikke internetside. at og give organeller efter 9 For for langt fascinationen med borte studiet og over af af den hjerte-kar-sygdomme, hele "levende" cellen og grafiske virker output så eller til at en levende mod, præger hvis molekylærbiologien, terapi, celler den og forstået og kræver programmeringsarbejde, sygdomme, som der på ustandselig tilsammen. helbredelse, bestemte steder. bedre på organisme-og forekommer Igen, og Hvordan meget den der ligger til uopnåelig. medicinske mere forplanter dette nye jobmarket som et argument for at tiltrække nye matematikstudenter til deres universitet. sig grunde organniveau, for træk kostbare lokalt er entydig. apparatur. begrænsede begivenheder fra et sted ved plasmamembranen til en global proces, der Det er det teknologiske tryk også, siden der foreligger første erfaringer med, f.eks. sådan inddrager Jeg hvordan på celleniveau, etablerede af sidst Fysik sådan nævnte kan enig vi simulationer. også kan med bringe tilgang være den serie indviklet jernoxid-nanopartikler af kritiske Respektfuld D. Apushkinskaya og i mange bidrag og ydmyg tilfælde i Springers af en skal et al. vi uden diameter Mathematical stille op til 100 vores f.eks. værktøjskasse svar. Intelligencer, nm med Men inde studiet i fysikken i disse at der højst til rådighed af ß-celler er ingen der sårbare lade og og trods β-celler Det kan det afgørende, andre højt frygtløs 2012, alt kun loc. uden smukt give cit. meget at anskuelig sekretionen, ødelægge gøres et For hånd korte en til mere liste dem. ved ske når grundlæggende der af First Det tilbage sker simpelt ved er brug Principles, med en MatLab-program plasmamembranen? lavfrekvent for. Men tilgang vi man må skal differencierede heller holde (omkring (se Boks Hvordan ikke opgive til. 10 nnn), foregår grund er til at være stolt på at have udannet nogle af vore bedste studerende celletyper. Vi Hz) vor har netop elektrodynamisk der matematiske der til først forholdsvis det genererer hverv. veldefinerede 11 Et kommunikationen, feltgenerator, en Wienerproces anskuelsesmåde, til geometrien grænseflader der med udbredelsen får givet nanopartikler varians af 2 σ singularitet, af biologiske vor erhvervede mellem amplifikationsprocesser sikker så og kompetence viden, så sige estimerer signalforstørrelsen til begrundet at "rulle" variansen at spørge eller på efter vag overfladen ud fra og slutendelig de grundlag formodning af frembragte dannelsen cellerne de og modelleringer uvidenhed. indtil siksakkurver være af alternativ er at træne de unge i ren matematik, når den bedst. Måske et endnu bedre alternativ de nye former? Mange matematiske discipliner har deres bud, fra algebraisk geometri, stokastiske Og 2 og kunne rammer simulationer, se typisk også kan ved en M. Gromovs vores villig at tage rette vore uvidenhed receptor alle de unges punkter og tværkontrolberegninger mange nedfælles opmærksomhed får eller tilgang. hver tilsvarende, i nogle Disse anden på men om meget matematiske partikler eller de mange hver præpareres fjerde. fascinerende noget overhovedet Tak ligninger, Strengt med kan som samarbejdsmuligheder passende taget være vi rigtig, så skulle måske antigener σ vor insisteren ikke estimeres og med processer og kompleks dynamik parabolske hyperbolske differentialligninger og frie på lægeverden, et at varierende fuldstændigt ud udvalgt fra 2D-projektioner farveprotein, vær relatere beslægtede bidrag forstår det fra med på således den fænomener det sidste sammen. deres dekade. med Sådan bevægelser hinanden er det og ikke inden vor Jeg fantasi i medicinen. for cellen kan observeres med en randværdiproblemer. 9 populationsniveau, af 3D-orbits, sådan f.eks. som med eksperimentelt studiet af smitsomme udstyr også sygdomme, vil gøre på det. En takker til lægerne at udtænke Hans-Georg ganske simple organisme- flerstråle simpel øvelse konfokal og i organniveau, stokastisk lasermikroskop geometri f.eks. med der viser kan studiet at frembringe den af gennemsnitlige hjerte-kar-sygdomme, op til 40 optagelser afkortning eller per af på en sekund. celleniveau, 2D-projektion Mannherz Tidsrummet f.eks. af (Universität Bochum fænomenverden und Max-Planck-Institut vi observerer. en mekanismer sygdomsforløb der har i evnen ren objektive, til at frembringe observerbare den komplekse med for Dortmund), Særlig Wienerproces observationerne studiet karakter af i β-celler forhold af er matematikbrug kun og til andre den forholdsvis ægte højt 3D-længde differencierede i kort, celleforskning måske med maksimalt celletyper. en faktor /π, minutter som man - før så de skulle partikler korrigere bliver Konklusion termer indfanget og ligeledes forestillede sig udelukkende Flemming Pociot (Regionshospital Glostrup) und Matematikkens Den stærke af medicinske cellernes endosomer træk. Fra ren og afleveret matematisk til cellernes objektive årsag falsificerende, og rent fysisk behandling. heuristiske funktion. 10 forskning lysosomer Der kender til følelsen destruktion af at blive og fortæring trukket af Hvor for i laboratoriet. dybt er kløften 6 mellem matematik og medicin? Erik går fleste mange Renström matematikere, vittigheder (Universitetshospital der om har de prøvet spidsnæsede at Tak deres Malmö) for matematiker, frem ved farveproteiner. Jeg arbejde overordnet problemstilling: forholdet mellem lokale og globale egenskaber; mellem Opgaver takker sammen lægerne for der matematikstudiet. Hans-Georg med regner læger, noget Mannherz vil efter kunne Alle (Universität og bekræfte, steder, bagefter, Bochum hvor nogle at det und flerårig gange er nemt Max-Planck-Institut misfornøjet, inspiration i den mening, nogle -og Dortmund), at tålmodighed man gange finder Flemming smilende hurtigt med Pociot mig et som eller fællessprog glat Smukt, kontinuert; men fortsat mellem utilstrækkeligt analytiske for og laboratoriebrug: algebraiske metoder; må Firefarve vi også tage Problemet; hensyn til Poincaré den ikke- (Regionshospital der uddannes hånende og konstaterer, Glostrup) forståelse matematikere, und til at Erik trods biologernes Renström har for oplevet den (Universitetshospital tal fuldstændig over og antagelser de forskellige novice. Malmö) ikke Jeg passer for baggrund. takker flerårig sammen. journalisterne inspiration Det - giver og tålmodighed Den Camilla Buchardt matematikerne med Conjecture; Newtonsske mig matematisk som novice. Riemann karakter nemmeste af Formodning; cytosol metode for Clay til β-cellerne. at bestemme Millennium Disse cytosolens celler Problems. er, som viskositet Vi vil bemærket, hellere ville bide være tæt pakket tungen blot at med af trække end at de sidste år, at ofte et mere ryg Jeg takker end af smålighed journalisterne halvdelen og af deres pedanteri, Camilla Buchardt færdige men det (RUC) (RUC) er måske og Kristian og Kristian vort Sjøgren vigtigste (videnskab.dk) Sjøgren bidrag (videnskab.dk) til for alle deres magnetiserbare for deres områder indrømme insulinbolde sådan og partikler diverse personlige organeller med ambitioner. deres og nogenlunde strukturer. Men vel-definerede Siden mig er den der elektriske ingen radius tvivl, ladning a med at konstant store af jernoxid-partikler velformulerede hastighed v Forholdet insisterende kandidater af mellem nysgerrighed, medicinsk blev ansat matematik der biologi. hjalp i finanssektor, og at Med skubbe medicin sådan den især har foreliggende bedrevidende til været den lidt rapport insisterende omtumlet kontrolberegninger i gang. i videnskabernes nysgerrighed, falisificerede der historie. hjalp William Vigtige gennem at skubbe den Harvey problemer neutrale væsken spiller kan vi og og i første måle har spillet den approksimation anvendte rolle elektromagnetiske i udformning antage blot af ren mange elastiske kraft en F. Så matematikers stød fås mellem viskositeten partiklerne livsveje. η fra I Stokes' matematikere det og matematisk mellem delikate og 1616 fysikere og værdifastsættelse 1628 som dengang Descartes, gængse af D. optioner Bernoulli, forestillinger foreliggende d'alembert, om hjerte-kår Helmholtz, rapport systemet i gang. Schrödinger, og opdagede Lov forhindringerne. F = 6π aη vdet. Kraften ændrer og ikke hastigheden variansen skal i specielle vær lille tilfælde, ikke som at trække M. Soluchowski partiklerne allerede ud af cellen blodkapillarernes Gelfand, Thom har aritmetiske været tiltrukket eksistens, af biomedicinske der forbinder spørgsmål arterier og og vener observationer, - 40 år før Marcello men har også Malpighis udtrykt før regnede hastigheden ud for deres Booß-Bavnbek, lysmikroskop forbehold. er målt år siden og Vigtige B.; Klösgen, kunne blevet for stærke B.; Larsen, bekræfte læger, konstant. afvisning man J.; Pociot, deres Kollisionen behøver af partikler F.; histologiske kun med at ved Renström, E. (red.), virkelighed. gå insulinboldene gennem spejling listen 2 ved og en af andre Nobelpristagere, uendelig organeller plan væg. skal 7 undgås. Her har Det også kan comptersimulationer kun realiseres med deres lavfrekvent plads til vekselfelt. at udforske Men virkningen BetaSys så må Stokes - Systems af forskellige Lov Biology skrives frastødnings- of Regulated har om til Exocytosis tilsyneladende in Pancreatic ikke ß-Cells, lidt under Tekstrækken: matematikfobi, Systems Biology, men tværtimod Springer, Berlin-Heidelberg-New beholdt en livslang York, forkærlighed 2011, XVIII, for variabel og tiltrækningsmekanismer 558 matematiske sider, hastighed 104 illustr., ideer 53 og i matematikken og på variansen. farve. anskuelsesmåder. Med online begynder videos og updates. med at ISBN blive avanceret. Derud [1] over skal der ved lav 2 hastighed Se nærmere korrigeres tekstboks Harvey's for den arithmetical spontane Brownske microscope i bevægelse J. T. Ottesen, af The partiklerne. mathematical Det microscope kan alt lade making sig gøre the inaccessible Måske Nu kan har man accessible, den næppe gode bringe i: forståelse [1], s. blot , mellem en her enkel s. læger 99. nanopartikel og matematiker ind i en dybe celle. rødder Der vil i fortiden: altid være Mens mange at tælle 3 samtidig. L. E. Fridlyand Således and L. kan H. det Philipson, være svært What drives eller calcium umuligt oscillations følge en in β-cells? enkelt New partikels tasks for siksak-kurs cyclic analysis, i en i: sky [1], s. og hele var, efter alt at dømme, magikernes og medicinmændenes hemmelighedsfulde privilegium i forvidenskabelige 4 D. Apushkinskaya et kulturer, al., Geometric blev and begge electromagnetic fag båret af aspects den samme of fusion rationalistiske pore making, i [1], ånd s gennem hele den europæiske 5 F. Schwabl, Statistical antikke, stik Mechanics, modsat Springer, til den Berlin-Heidelberg-New tidligere besværgelsesånd, York, i mod troen på magi og gode eller 6 M. von onde Smoluchowski, ånder. Geometriske 'Zur kinetischen og aritmetiske Theorie der Brownschen forhold skulle Molekularbewegung forklares og ikke und bandes der Suspensionen', eller tilbedes! Ann. I Phys. samme 21 (1906), ånd havde den 9 græske giver uden medicin begrundelse etableret en korrekturfaktor sig som et strengt π/4. materialistisk fag, der beskrev 7 M. von Smoluchowski, 'Einige Beispiele Brownscher Molekularbewegung unter Einfluß äußerer Kräfte', Bull. Int. Acad. Sc. Cracovie, Mat.-naturw. Klasse A (1913), M. von Smulochowski, 'Studien über Molekularstatisktik von Emulsionen und deren Zusammenhang mit der Brownschen Bewegung', Sitzber. Kais. Akad. Wiss. Wien, Mat.-naturw. Klasse 123/IIa (Dez. 1914), Alle tre her citerede Smoluchowski-afhandlinger findes på en polsk internetside. 9 For sidst nævnte tilgang se D. Apushkinskaya et al. 2012, loc. cit. For en mere grundlæggende tilgang til geometrien af biologiske amplifikationsprocesser se også M. Gromovs mange tilsvarende, men meget varierende bidrag fra den sidste dekade. 10 Paul Diepgen, Geschichte der Medizin. Die historische Entwicklung der Heilkunde und des ärztlichen Lebens, bind 1, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1949, s ; Fridolf Kudlien, Der Beginn des medizinischen Denkens bei den Griechen, Von Homer bis Hippokrates, Artemis, Zürich and Stuttgart, 1967; Fritz Jürss, Geschichte des wissenschaftlichen Denkens im Altertum, Akademie-Verlag, Berlin, M. Rogalski, 'Mathematics and finance: An ethical malaise', Mathematical Intelligencer 32/2 (2010), 6-8; I. Ekeland, 'Response to Rogalski', Mathematical Intelligencer 32/2 (2010), 9-10; J. Korman, 'Finance and mathematics: A lack of debate', Mathematical Intelligencer 33/2 (2011), 4-6. Beslægtede spørgsmål har været omtalt i SIAM-News og Mitt. Deutsch. Math.-verein., men ikke i vor egen Matilde, hvor Bert Øksendal fik lov i maj 2009 (!) at skamrose "the short - but highly successful - history of mathematical finance" og at fabulere om nødvendigheden af en endnu tættere sammensmeltning mellem matematik og finansverden /12

11 Begivenheder ved Poul Hjorth 6th European Congress of Mathematics The European Mathematical Society (EMS), the Polish Mathematical Society (PTM) and the Jagiellonian University (UJ) have the pleasure to invite mathematicians from all over the world to participate in the 6th European Congress of Mathematics which will be held in Kraków, July 2-7, The European Congress of Mathematics, a quadrennial general mathematical meeting, is an important activity of the EMS. Personal meetings of mathematicians are of crucial importance for the development of mathematics, even in the Internet era. The general character of the programme provides attendees with a unique chance of an overlook of contemporary mathematics, beyond their own field of research. 12th International Congress on Mathematical Education (ICME-12) Seul, Korea, 8-15 juli The objectives of the International Congress on Mathematical Education (ICME) are: - to show what is happening in mathematics education worldwide, in terms of research as well as teaching practices. - to inform about the problems of mathematics education around the world - to learn and benefit from recent advances in mathematics as a discipline. - to exchange information on the problems of mathematics education around the world. - to introduce exemplary cases of domestic classrooms (teaching) in mathematics education, which contributes to improvement of mathematics education around the world or vice versa. - to improve the quality and professionalism of domestic mathematics teachers through introduction of exemplary cases in mathematics education worldwide. BIT circus Numerical Mathematics and Computational Science August 23-24, 2012 Organized by the Danish BIT contact group at the Technical University of Denmark and Copenhagen University. The meeting is sponsored by BIT with support from DCAMM [Danish Center for Applied Mathematics and Mechanics]. Held at the Technical University of Denmark, Building 101, DK-2800 Kgs. Lyngby, Denmark. This is the latest in a series of numerical circuses whose motto is everybody is welcome, nobody is invited, and where younger researchers will present their ongoing work - everybody will get the chance to give a short presentation. The main purpose of the meeting is to exchange ideas on numerical mathematics and computational science. In particular we are interested in efforts to bring modeling, computation, and analysis closer. This workshop is supported by BIT, and we budget to cover accommodations and meals for about 50 participants The 17th European Conference on Mathematics for Industry 2012 ECMI 2012 October 28, :13 Anonymous Start: Jul :00 End: Jul :59 Centre for Mathematical Sciences at Lund University, Lund, Sweden XVII International Congress on Mathematical Physics (ICMP12) Aug 6-11, Aalborg Kongress og Kultur Center Europa Plads Aalborg, Denmark The International Association of Mathematical Physics (IAMP) and the Local Organizing Committee invite you to participate in the XVII International Congress on Mathematical Physics (ICMP12). It will be held in Aalborg, Denmark, August 6-11, The International Congress on Mathematical Physics is held every three years. It is a major event in the mathematical physics community. The congress will present new results and future challenges, in a series of plenary lectures and topical sessions. forts. side 12 44/12 11

12 Frivillig i København Martin Vetter Frivillig København Hannah Pettersson Information om matematikcenter Matematikcenter er en forening uden politisk og religiøs tilknytning. Matematikcenter giver gratis lektiehjælp til børn og unge i Danmark. Lige nu er vi i København, Hvor vi tilbyder gratis lektiehjælp i matematik til børn og unge 4 aftner om ugen, men det er vores hensigt at åbne i flere af de større byer rundt om i Danmark. Lige nu er etableringen af Århus i fuld gang. I København finner du os på Niels Brock gymnasium hver mandag, onsdag og torsdag mellem og på Ingrid Jepsersens gymnasieskole hver tirsdag mellem 16-18! Alle er velkomne i matematikcenter uanset køn, alder, kundskabsniveau eller etnicitet. I vores regnestuer er du hjertelig velkommen til at arbejde med matematik sammen med os, helt gratis! Vi har frivillige hjælpere, som deler deres fritid og deres matematiske viden med dig. For at holde Matematikcenter i gang og gratis for alle bliver vi sponsorerede af forskellige virksomheder samt fonde i Danmark. Hovedsponsor er Danske bank og mellemsponsor er industriens uddannelsesog samarbejdsfond. Matematikcenter er en søsterforening til den svenske organisation Mattecentrum (www.mattecentrum.se). Mattecentrum er en forening, som i Sverige arbejder med at arrangere åbne regnestuer (lektiehjælp) for børn og unge Äì helt gratis. Mattecentrum findes nu i 16 byer i hele Sverige og har til hensigt at åbne i 20 svenske byer, hvor vi mener, at foreningen kan starte gratis lektiehjælp børn og unge i Sverige bruger i dag Mattecentrum, hvilket klart beviser, at der er et behov for ekstra støtte i matematik, uanset kundskabsniveauet. Det var derfor en selvfølge at udvikle konceptet internationalt, efter at vi havde fuldendt vores opstart af gratis regnestuer i hele Sverige indenfor 1-2 år. Vores første skridt udenlands er vort naboland Danmark, hvor vi udvikler Matematikcenter. Mit navn er Martin Vetter. Til dagligt studerer jeg Matematik ved Københavns Universitet med henblik på at blive gymnasielærer i faget. Jeg har før deltaget i en række frivillige projekter (Unge på Flugt, Børns Rettigheder mf.) men ingen har været knyttet til min faglighed. Matematikcenter er et helt fantastisk initiativ, da en hel del unge har svært ved matematikken i folkeskolen/gymnasiet. Projektet er professionelt og gennemtænkt og det arbejde man lægger kommer derfor en lang række unge til gode. Det giver et utroligt kick at hjælpe da man på den måde gør andre glade. Det gode humør er generelt at finde på matematikcenter Äì også blandt de frivillige. Derfor er det simpelthen en fornøjelse at være med som frivillig fortsat fra side 11 International Conference on Mathematical Sciences Dec Science college, Congress Nagar, Nagpur, Maharashtra State, India Srinivasa Aiyangar Ramanujan, is widely acknowledged as the greatest Mathematician of the 20th century. The Prime Minister of India declared 22nd December, the birthday of this great soul as National Mathematics Day and 2012 as National Mathematical Year. The college has taken this opportunity to host an international conference to commemorate the 125th birth anniversary of Srinivasa Ramanujan. THEMES :: * Applications of mathematics in sciences, Pure and Applied mathematics, Analysis, Differential equations, Differential geometry, Discrete mathematics, Number theory, Industrial mathematics, Fuzzy mathematics. The Mother Lode for mathematical events large and small: /12

13 Dorte Olesen Interview with Eberhard Kirchberg on the occasion of the well-attended international workshop at the University of Copenhagen in November 2011 celebrating Kirchberg s 65th Birthday earlier that year. During the workshop in Copenhagen celebrating your 65th birthday I understood that originally you would rather have become an artist, a painter but eventually you ended up studying math. Is that correctly understood? And do you see a connection between this interest and the way you work with mathematics? The answer to the last question is simply: No! Some interest in art and/or (classical) music is completely unrelated to math, and it does not help to understand math better. Everyone, who is willing to learn math, can understand math, and can apply what he then really knows about it. I m convinced that it is not the case with art or music. The usual way to math is more complicated, like my random walk to math: As a boy and young man I loved to draw I didn t think I was particularly talented, but thought of working with some form of design, perhaps industrial design. So I applied to go to the School of Art and Design at that time it was only allowed to make one application for university studies, and it was hard to get in but the criteria were not only related to talent in Eastern Europe at the time. Anyway, the School wanted me to send sketches and drawings in addition to my formal application. So I went through my sketches and water color drawings to find some to submit in addition to my formal application papers for an art study, but my self-criticism was so strong that I couldn t find any I thought good enough. In the end I gave up the idea of submitting any of them to complete the application. Since I had no difficulty in math, I then had the idea to ask them to send my application papers to the Humboldt University in Berlin for a math study. I didn t think I was particularly talented in math either, and the papers of application still contained my reasoning for my desire to study art, however my additional letter asked for oversending the papers for an application in math to HU Berlin. To my surprise I got an invitation to the entrance exam for a math study, but not from HU Berlin, it was from the University of Greifswald (in North- East Germany), 500 km away from my home town. The system was that HU Berlin had many applicants for the math study and the Ministry of Education decided to distribute most of them randomly over the universities in the former East German Republic GDR. 44/12 13

14 The reason I got the invitation to the math entrance exam had to do -- probably -- with the fact that when I went to high school -- the gymnasium -- they started to introduce Math Olympiads in Eastern Germany at the local level, in order to improve competitiveness and here I proved to have some talent for tackling the more difficult problems in other ways than planned by those posing them, eg by getting an approximate solution by drawing the graphs of functions and find their intersections, instead of making precise calculations with the involved functions. So I became a winner at the local level, since the others could do nothing about this kind of problems. However when I came to the countrywide level, others proved to be much better trained than me, and could solve the problems in the expected way. Still it gave me the impression that math was accessible for me. This local success in Math Olympiads was documented among others in the reference papers given to me from my high-school (for supporting the art study application). The entrance exam was not difficult, it was mainly at the level of some boring time-taking math homework from 11th class level in high-school. But the long travel over 12 hours (trains were very slow at that time) from home to Greifswald and the other bad circumstances caused that my results were not good. However, I got a final allowance for the study much later after waiting several months, perhaps because others found a more interesting study, or place, or they gave up their application for a math study. So I started the study of mathematics (combined with physics study) at University of Greifswald a not so well known university, despite the fact that Felix Hausdorff was there as a math professor at the beginning of the 20th century. Living quarters for students were really bad, we started out 8 students in every room with only cold water and no kitchen, but not so long after we were only 4 students per room. At first, I thought I could combine math study with a study for high-school teachers in art at that time in German Zeichenlehrer called. This proved not to be the case, because the weekly load of math exercises didn t let me have any free time for this. Still I was convinced that life should include some sort of art in order to be really interesting, and this view on things never left me - for many years I still saw landscapes and buildings as motives for a drawing or a painting, with a special focus on colors, shadows and light only some years ago this has changed so that I no longer perceive things this way. Maybe my interest in art was also some kind of reaction to the fact that my father was an engineer and my mother a school teacher of biology. The math study itself proved to be a shock for me at first I didn t understand very much, there was a gap from the school math to the starting level, e.g. in combinatorics and elementary logic. In analysis the presentation was abstract and without drawings that really attempted to explain what was going on, as I would have liked. My attempts to answer the questions of the exercises (mostly with some manipulations with naive set theory, or by combinatorial calculations) did consume much time and it was very frustrating, to get these hieroglyphs back with very few points (and unpleasant remarks of the corrector). In fact I got the fear that I would never be able to understand any university math. However, after a while I collected my own notes from the lectures and notes from some other students, and then I sat down during the Christmas holiday and went carefully through all these notes, which then finally made sense to me. But I had to rewrite them for me with arrows indicating the logic, commenting all definitions, separating general proofs from examples, illustrating the examples by drawings that really suggested the idea behind, and so on. In particular, I learned to read more carefully the logic of definitions, theorems and proofs. So after the Christmas break things changed drastically to the better and I never had any difficulty in solving the exercises anymore, except in experimental physics and in the so-called ``scientific socialism, a sort of organized brain-washing. In fact we had a system, also comfortable and time-saving for professors, that individual solutions with full point marks could sum up to a best mark that was given without further examination, and I could go two weeks earlier on holidays than those who had to prepare for exams and had to attend the final exams of the semester. Since I got more freedom in this way, I started to go to more advanced lectures and look at conference papers, getting interested in e.g. quantum physics. For my finishing studies I had to read the works of G.I.Kac who worked on duality theory for locally compact groups. This was quite fashionable and was a precursor for what we today call quantum groups. The diploma work actually developed in such a way that my professor, who was a specialist in harmonic analysis, thought it could be further developed to a ph.d.. This was in the late 60es. I didn t have any experts in functional analysis 14 44/12

15 ... The math study itself proved to be a shock for me at first I didn t understand very much, there was a gap from the school math to the starting level, e.g. in combinatorics and elementary logic. In analysis the presentation was abstract and without drawings that really attempted to explain what was going on, as I would have liked. My attempts to answer the questions of the exercis... 44/12 15

16 or operator algebras around, so I had to find my own way there. But I did a fair bit of reading, e.g. Naimark s book on Normed rings was very important for me. It was in some parts a presentation of then classic results of J.von Neumann, Gelfand, Shilov, Naimark and others around operator algebras and harmonic analysis, up to 1955). I was considered a good student and when I came close to finishing my studies I was getting an offer of an assistantship, but I wasn t willing to vote for the ruling communist party in Eastern Germany and so people started coming to me to observe me and finally it was decided that I couldn t get a job there after finishing my studies. However it was in the end arranged by one of the co-directors of the Math. Institut in Berlin, Prof. Rinow -- known from the Rinow-Hopf theorem for Riemann-Manifolds -that I got a position in the Academy of Sciences, in the pure math group, from During these years I achieved good contact with Russian, Polish, Hungarian and Roumanian mathematicians. In connection with working on my ph.d. I wrote something up that filled around 350 pages. My professor was favorably impressed by this and thought the 2 first chapters could constitute the ph.d.thesis and the rest could then be used in connection with my habilitattion but unfortunately, I was then laid off for political reasons and so my habilitation came much later, after I came to the West, and with different topics. What made you decide to go into operator algebras? Originally I worked in harmonic analysis and then in complex manifolds and AS-index theorem for some time. There were no real specialists in functional analysis around at my university and in the academy, except for applied functional analysis. The pure math groups were small and somewhat isolated. Working in harmonic analysis it was natural for me to go in the non-commutative direction and so I was automatically led into the direction of operator algebras. It was not a clear path that led me to operator algebras, but I got there step by step and didn t belong to a group found it more gratifying to work with my own ideas. Sometimes I visited the Ukrainian Academy of Sciences in Kiew, to come in personal contact with G.I. Kac, who was one of the referee s of my thesis work and inspired much of this work. He had a job as math teacher on a military high-school, that didn t allow him to leave the Sovjet Union or even to come in contact with mathematicians from GDR. Fortunately, Professor M.G. Krein was so nice to send an invitation, so that I could meet Doctor Kac privately at his home. There, he showed me a carefully hand-written notebook in Russian, with an extension theory for some finite-dimensional Hopf-Algebras that he called Ring-Groups, today known as Kac-Algebras. It did contain results that I saw later in part re-discovered in some papers in mathematical physics. The main point was that it did support a conjecture of Gelfand, mentioned to Kac as he gave a talk in the Gelfand seminar, which predicted that -- with a suitable idea of two-fold cocycle crossed product and related extension theory --the finite-dimensional Kac-algebras are with a few exceptions all step by step extensions from finite groups into Kac algebras. This has been verified in the late 1990es completely, long after the death of Kac in September I tried to carry over the ideas of Kac extension theory to some cases of infinite-dimensional Kac algebras. One of the problems were that one had to suppose or prove slice map properties as a needed technical tool. The most transparent and easiest among them is exactness (of the appearing C*- algebras). In 1977, I presented my ideas on exactness or more precisely on C*-exact groups for the first time, at a conference in Leipzig. I had been inspired by a conjecture of Chris Lance that I had an idea of how to resolve. In fact, I believed for a while that exactness and nuclearity were the same. Archbold and Batty were working at that time on some properties from which one later turned out to be equivalent to exactness, and Effros and Haagerup published a very interesting paper relating local reflexivity and a property that is formally weaker than exactness, but it is until today not understood if it is equivalent to exactness, at least for discrete groups. So I was inspired to work on with the exact groups. My main invention, I believe, are the exact groups and exact C*-algebras. I actually wanted to call them something like flat algebras, to stress the analogy to the flat modules of ring theory -but the term sounds strange, at least in German. Between 1981 and 1988, I didn t have a job in mathematics. Instead I had odd jobs in different companies, did some programming and helped out with the data management. At some point I was arrested by the Stasi without cause, because of my opposition to the regime in former GDR. I was questioned about two weeks around the clock, and then I got a so called``strafbefehl (perhaps: ``fined by order in English) that sentenced me to prison for six month, without hearing in any court or presence of a lawyer. The protest and solidarity of people in the west and 16 44/12

17 ... I was considered a good student and when I came close to finishing my studies I was getting an offer of an assistantship, but I wasn t willing to vote for the ruling communist party in Eastern Germany and so people started coming to me to observe me and finally it was decided that I couldn t get a job there after finishing my studies. However it was in the end arranged by one of the co-directors of the Math. Institut in Berlin, Prof. Rinow -- known from the Rinow-Hopf theorem for Riemann-Manifolds -that I got a position in the Academy of Sciences, in the pure math group, from During these years I achieved good contact with Russian, Polish, Hungarian and Roumanian mathematicians... 44/12 17

18 in opposition groups in GDR gave me the chance to shorten this six month in the special Stasi prison Berlin-Schoenhausen after being held a month there, because I was pushed in a train towest Germany in 1988 by the Stasi, carrying only some paper that said that I was not anymore a citizen of GDR. I then went to Bonn to Hirzebruch and applied for a temporary position at MPI Bonn, and took an intro-course to West Germany- in those days the ways you did things in West Germany were so different from how you acted in East Germany that there were actual courses necessary on how to adapt. I had a sister who lived in Rome at the time, but still had a house near Freiburg, so I went to live in that house for a while together with her son and his girl friend. Finally I was hired for one year by Hirzebruch at the Max Planck Institute, he had asked for a recommendation from Joachim Cuntz, and Ed Effros and Paul Baum were involved. I knew Joachim from the Neptune conference in August 1980, and he then invited me to Marseille, where I also met Bruce Blackadar. I had an inductive limit construction that plays a role in my proof that all exact separable C*-algebras are sub-quotients of the CAR-algebra. Joachim didn t know this method, and he was not completely convinced that the proof would go through. But Bruce happily understood my ideas from similar technics that he was using for other purpose and could explain it to Joachim. On this basis Joachim got me a position in Heidelberg, even though it was not permanent. You have been a guest professor at the University of Copenhagen for the past semester. When did you visit Copenhagen for the first time? The first time I came was for the symposium arranged by Gert Pedersen at the Royal Academy it was part of the celebration of the 250th Anniversary of the Royal Academy and is almost 20 years ago by now. I had been on a short visit to Odense for a summer course before that. At the meeting at the Royal Academy I gave a talk on deformations of Discrete Quantum Groups, where I gave a list of invariants. Here I was informed by colleagues that this list had already been discussed in unpublished papers by others, in a letter from A.Ocneanu to A.Connes that was somewhere distributed, where I didn t know. This made me give up the study of Kac algebras and I then turned completely to the question of classification of C*-algebras, the Elliott programme. This also had also to do with the fact that I heard Mikael Rørdam present some results on the Cuntz-Krieger algebras in Oberwolfach, where he stated the conjecture that at least amenable separable C*algebras can be embedded in the Cuntz algebra generated by 2 isometries with range sum equal to one. Here I could see how to use some of my methods to obtain new results and I realized that one could embed all exact C*-algebras into this algebra. And this opened the gates for several classification results. Next was the absorption result that every amenable algebra that is purely infinite in the sense of Cuntz absorbs the Cuntz algebra generated by a countably infinite number of isometries. This is perhaps the most well-known of my results in this direction, and has been worked out in detail in some joint papers with N.Ch. Phillips. During the workshop I noted that several Danish mathematicians were mentioned in the talks also in your own talk going all the way back to Jensen and Følner and including Fuglede, Haagerup, Pedersen, Rørdam and Nest. Do you consider the Danish school of operator algebras important for the world-wide development of the field? And has it influenced your own work? Both are the case, indeed: The Danish operator algebraists have a long tradition in working together with the international community on operator 18 44/12

19 Hilbert algebra from 1954, that was far more involved than the later definition of Tomita and Takesaki in 1970, which I didn t know until I called my objects ``two-fold Hilbert algebras, as had been done also by Kac himself and Palyutkin in a similar way, but I only became aware of this later. However I felt that there must be a fitting definition of a ``Haar integral for the related coinvolutive Hopf-von-Neumann algebras, and that the key is again a (generalized) Plancherel formula. This formula is implicitly one of the axioms of the two-fold Hilbert algebras.the point is to extend both sides of the formula to non-negative weights on the corresponding von Neumann algebra and to show uniqueness of this extension under mild semicontinuity conditions. At that time it seemed there were several possibilities to do so, but one rather strong condition for uniqueness of the Haar weight. Then Uffe Haagerup proved an old conjecture of Dixmier stating that all definitions of normal weights agree, only the local normal weight conjecture seems to be still open today. This has completed the arguments for the uniqueness of the dual Haar weight. algebras,every modern direction is present in Denmark, and important new results appear every year. As far as I am concerned, I can say: As already mentioned, I have since an Oberwolfach meeting in 1993 had parallel interests with Mikael Rørdam in some of the areas we are both working in - and have of course noted that there is a nice group of Danish mathematicians in my area with deep knowledge of the fine art of mathematics. Some directions of my work have also been influenced over the years by Uffe Haagerup, with whom I have had some inspiring discussions with useful hints for my work. Let me give two examples of this influence: The seminal paper of Uffe Haagerup on the completely bounded approximation property of the reduced group C*-algebra of the free groups F(n) has influenced both my study of C*-exact groups, and of reformulations of the Connes-Haagerup conjecture into the (functorially) more flexible QWEPconjecture. A long time ago, in an early state of my diploma thesis at Uni Greifswald in September 1970, I attempted to extend the duality theory of G.I.Kac for unimodular Kac-algebras and unimodular locally compact groups to the modular case, which seemed to me to be natural for some classical groups like GL(n). I used a definition of J.Dixmier of a modular If you look at the entire life time of operator algebras, from the time of the Rings of operators paper of Murray and von Neumann, what do you then think are the most important milestones in the development of the field? This is a hard question. I think there have been important results all along, right from the beginning. Mathematical physics was the point of departure. There is an article of G.W. Mackey about the role of harmonic analysis and group theory in modern mathematics, there it is also explained how influential the books of Courant and Hilbert, H.Weyl and J.von Neumann on mathematical physics and foundations of quantum mechanics are for the use of modern functional analysis, in particular of operator theory and operator algebras, in modern mathematical physics. The Danish school of operator algebra contributed with a large part of the clarification and unification of the theory. The most active inventors did work some time in Denmark (among them Kadison and Elliott) together with Danish mathematicians of high international reputation as for example Gert K. Pedersen. The work of Alain Connes on the injective factors since 1970 was a starting point of a development on a much higher level of precise results using known invariants. 44/12 19

20 This can be said both for von Neumann algebras and C*-algebras. It is difficult to rank them. But for me the many special results on finite factors and on the classification of amenable C*-algebras are very interesting. It is ongoing, and there is still a lot to do. Operator algebras went also in the wide field of Non-Commutative Geometry and its applications, for example proofs of special cases of the Baum- Connes conjecture. These many new viewpoints will give the study of C*-algebras itself new feed-back from its applications, e.g. in the harmonic analysis of quantum groups. Let me say some more about John von Neumann: I studied some papers of John von Neumann, not only the ones about von Neumann algebras, but also his work on a number of other topics. Von Neumann algebras were not promoted so much by von Neumann himself. His papers were very transparent at that time, but some have been improved and extended later by others, so that now the full strength of his ideas becomes visible. It is known that the early work of Gelfand on C*-algebras was inspired by ideas of von Neumann, despite the fact that Gelfand was the inventor of a more algebraic-systematic view-point on operator algebras. In the work of von Neumann and his students one finds--- behind the scene --- special operators acting on L2-spaces of some suitable measure spaces. I still admire von Neumann for his work and feel that he gives some important guidance to modern mathematics, as do other great mathematicians like e.g. Grothendieck, Hilbert, Dedekind, Gauss, Frechet and Borel. But for me von Neumann stands first. He was remarkably broad spectered in his research, e.g. amenable groups were also introduced by him, a modern proof of ergodic theorems is from him etc. It seems that many of his ideas about PDEs have been forgotten, having to do e.g. with fluid mechanics, shock waves and turbulence. After WorldWarII von Neumann went into the programme of the hydrogen bomb, using a programming code developed by him and his collaborators. I believe that this was the reason for the bashing of him at the ICM in Amsterdam 1950.When he had a plenary talk, he gave a lecture on von Neumann algebras. This received boos and expressions of antipathy, in German then: `` Aufgewaermte Suppe etc. I believe that it was horrible for him, and did not match the quality of some of his unofficial 20 44/12

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

Syv transmembrane receptorer

Syv transmembrane receptorer Syv transmembrane receptorer Receptoren som kommunikationscentral Cellemembranen definerer grænsen mellem en celles indre og ydre miljø, der er meget forskelligt. Det er essentielt for cellens funktion

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?

DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen

Læs mere

Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A).

Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A). 7.4.07 Kristian Priisholm, Flóvin Tór Nygaard Næs & Lasse Arnsdorf Pedersen. Epidemier og epidemimodeller Studieretningsprojekt i matematik A og biologi A (+ evt. historie A). Indledning Projektet omhandler

Læs mere

May the force be with you

May the force be with you May the force be with you Esben Thormann, Department of Chemistry, Surface Chemistry, Royal Institute of Technology, Stockholm. Adam C. Simonsen og Ole G. Mouritsen, MEMPHYS-Center for Biomembran fysik,

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

Vi deler ikke bare viden fordi det er en god ide heller ikke i vidensamfundet

Vi deler ikke bare viden fordi det er en god ide heller ikke i vidensamfundet Vi deler ikke bare viden fordi det er en god ide Vi deler ikke bare viden fordi det er en god ide heller ikke i vidensamfundet af adjunkt Karina Skovvang Christensen, ksc@pnbukh.com, Aarhus Universitet

Læs mere

Er tiden moden til at stoppe udbredelsen af diabetes 1?

Er tiden moden til at stoppe udbredelsen af diabetes 1? Er tiden moden til at stoppe udbredelsen af diabetes 1? Af Ulla Thorup Nielsen Livet med diabetes august 2012 Ukendskab til årsagen bag udvikling af diabetes 1 har indtil videre fremstået som hindringen

Læs mere

Forskningsnyheder om Huntingtons Sygdom På hverdagssprog Skrevet af forskere. Til det globale HS-fællesskab Træning øger cellulært genbrug

Forskningsnyheder om Huntingtons Sygdom På hverdagssprog Skrevet af forskere. Til det globale HS-fællesskab Træning øger cellulært genbrug Forskningsnyheder om Huntingtons Sygdom På hverdagssprog Skrevet af forskere. Til det globale HS-fællesskab Træning øger cellulært genbrug Træning øger genbrug i museceller. Er det derfor, at motion er

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

visualisering & Styrk dit immunforsvar 2 effektive øvelser

visualisering & Styrk dit immunforsvar 2 effektive øvelser visualisering & LIVS K VALI T E T Styrk dit immunforsvar 2 effektive øvelser p r o f e s s o r, c a n d. p syc h., d r. m e d. B o bb y Z a c h a r i a e Ro s i n a n te IMMUNFORSVARET Immunforsvaret er

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Coaching. - at støtte og udvikle dine medarbejdere og kolleger

Coaching. - at støtte og udvikle dine medarbejdere og kolleger Coaching - at støtte og udvikle dine medarbejdere og kolleger At coache er en færdighed som at cykle. Når først du har fået det lært, er det meget let og det vil kunne gøre det uden at tænke over det.

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Du bliver hvad du tænker SELVVÆRD SELVINDSIGT SELVTILLID SUCCES

Du bliver hvad du tænker SELVVÆRD SELVINDSIGT SELVTILLID SUCCES Du bliver hvad du tænker SELVVÆRD SELVINDSIGT SELVTILLID SUCCES Indholdsfortegnelse Forord 4 1. Selvindsigt en gave du selv skal finde! 7 2. Mentale principper for dine tanker og handlinger 10 Princippet

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

G UDDRA m ø b e r g s f o r l a g

G UDDRA m ø b e r g s f o r l a g m ø b e r g s f o r l a g UDDRAG Indhold forord 7 INDLEDNING 9 12 Fællestræk 15 Er du også særligt sensitiv? 16 Forskningen bag Overstimulering 17 18 Hvad er stimulering? 18 Tilpas stimulering 21 Kilder

Læs mere

Vis respekt for hinandens grundlæggende behov og forskelle. Tag begge ansvar for relationen, såvel som for opståede konflikter

Vis respekt for hinandens grundlæggende behov og forskelle. Tag begge ansvar for relationen, såvel som for opståede konflikter Par Hvad kan vi selv gøre? I det følgende er givet en række eksempler og retningslinjer for, hvad I selv kan gøre for at forebygge typiske problematikker i jeres parforhold. Blot det, at efterleve nogen

Læs mere

Gestaltmetodikken og stress

Gestaltmetodikken og stress Gestaltmetodikken og stress Samtaler med John Ewans Porting om Gestalt, af journalist Simon Bordal Hansen Stress er en kompleks tilstand, som kan udvikle sig til en regulær krise. Og derfor kan det godt

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Mathias Turac 01-12-2008

Mathias Turac 01-12-2008 ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Eksponentiel Tværfagligt tema Matematik og informationsteknologi Mathias Turac 01-12-2008 Indhold 1.Opgaveanalyse... 3 1.1.indledning... 3 1.2.De konkrete krav til opgaven...

Læs mere

Metoder og erkendelsesteori

Metoder og erkendelsesteori Metoder og erkendelsesteori Af Ole Bjerg Inden for folkesundhedsvidenskabelig forskning finder vi to forskellige metodiske tilgange: det kvantitative og det kvalitative. Ser vi på disse, kan vi konstatere

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Det bliver lettere at se forskel på syge og raske gener i Danmark

Det bliver lettere at se forskel på syge og raske gener i Danmark Det bliver lettere at se forskel på syge og raske gener i Danmark Det bliver lettere at diagnosticere genetisk betingede sygdomme i Danmark, efter at forskere har nået første milepæl i kortlægningen af

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------ INDLEDNING Bogen Anonyme Alkoholikere, almindelig kendt som Store Bog, er basisteksten for fællesskabet Anonyme Alkoholikere (AA). Den blev udgivet i 1939 med det formål at vise andre alkoholikere nøjagtigt,

Læs mere

FYSIK? JA, HVORFOR FYSIK? JEG HAR TÆNKT OVER DET

FYSIK? JA, HVORFOR FYSIK? JEG HAR TÆNKT OVER DET FYSIK? JA, HVORFOR FYSIK? JEG HAR TÆNKT OVER DET IGEN OG IGEN, LIGE SIDEN JEG SOM 16 ÅRIG FALDT PLA- DASK FOR FYSIK, PARTIKLERNE OG DET STORE UNIV- ERS. IKKE NOK MED, AT JEG KAN HUSKE, HVILKET ÅR JEG FANDT

Læs mere

Min Guide til Trisomi X

Min Guide til Trisomi X Min Guide til Trisomi X En Guide for Triple-X piger og deres forældre Skrevet af Kathleen Erskine Kathleen.e.erskine@gmail.com Kathleen Erskine var, da hun skrev hæftet, kandidatstuderende på Joan H. Marks

Læs mere

INFOSERIEN OM BEVÆGEAPPARATET. Ondt i nakken...

INFOSERIEN OM BEVÆGEAPPARATET. Ondt i nakken... INFOSERIEN OM BEVÆGEAPPARATET Ondt i nakken... Det er meget almindeligt at have ondt i nakken... Nakkesmerter skal behandles aktivt Det er meget almindeligt at have ondt i nakken, og det kan give meget

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Hvad er holistisk medicin? Sundhed gennem livskvalitet og personlig vækst

Hvad er holistisk medicin? Sundhed gennem livskvalitet og personlig vækst Sundhed gennem livskvalitet og personlig vækst Hvad er holistisk medicin? Forbedring af livsfilosofi og livspraksis gennem mødet sjæl til sjæl med et kærligt, respektfuldt og omsorgsfuldt menneske Inspiration

Læs mere

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Mere energi med dette nye produkt fra Lifewave.

Mere energi med dette nye produkt fra Lifewave. Mere energi med dette nye produkt fra Lifewave. Mere energi, genopretter energi flowet i kroppen. Nem at placere, se brochure Resultater med det samme. Giver op til 20 % mere energi. Øger kroppens forbrænding.

Læs mere

Stress på arbejdspladsen et modefænomen eller hvad?

Stress på arbejdspladsen et modefænomen eller hvad? FAGLIGT HJØRNE Interview v/faglig sekretær Ingelise Rangstrup Stress på arbejdspladsen et modefænomen eller hvad? Hvis du føler dig stresset i din hverdag, så deler du vilkår med rigtig mange andre mennesker,

Læs mere

Et tidsmikroskop. - oplev verden på et nanosekund. Når man kigger på verden, opdager man noget

Et tidsmikroskop. - oplev verden på et nanosekund. Når man kigger på verden, opdager man noget 14 TEMA: TRE TIGERSPRING FOR MATERIALEFORSKNINGEN Hvis man skal forstå forskellen på en glas og en væske er det ikke nok at vide, hvordan atomerne sidder placeret, man skal også vide hvordan de bevæger

Læs mere

MINDFULNESS. for særligt sensitive. mennesker

MINDFULNESS. for særligt sensitive. mennesker MINDFULNESS for særligt sensitive mennesker m ø b e r g s f o r l a g Mindfulness for særligt sensitive mennesker af Susanne Møberg www.moeberg.dk Møbergs Forlag, 2010 1. udgave 1. oplag ISBN 978-87-988993-5-8

Læs mere

Det eksistentielle perspektiv

Det eksistentielle perspektiv Det eksistentielle perspektiv 'Det eksistentielle' handler om at være til. Det kan lyde banalt: enten er man vel til eller også er man ikke? Men vi er ikke bare, vi har det altid på bestemte måder. Dels

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

TEKNISK GYMNASIUM HTXFREDERIKSHAVN HTX TEKNISK GYMNASIUM FREDERIKSHAVN 2015. eucnord.dk

TEKNISK GYMNASIUM HTXFREDERIKSHAVN HTX TEKNISK GYMNASIUM FREDERIKSHAVN 2015. eucnord.dk TEKNISK GYMNASIUM HTXFREDERIKSHAVN HTX TEKNISK GYMNASIUM FREDERIKSHAVN 2015 eucnord.dk Velkommen til HTX Frederikshavn Studieforberedelse og almendannelse Teknisk Gymnasium tilbyder et fællesskab, hvor

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Påstand: Et foster er ikke et menneske

Påstand: Et foster er ikke et menneske Påstand: Et foster er ikke et menneske Hvad svarer vi, når vi møder denne påstand? Af Agnete Maltha Winther, studerende på The Animation Workshop, Viborg Som abortmodstandere hører vi ofte dette udsagn.

Læs mere

Stil ind på et foto af en afdød

Stil ind på et foto af en afdød Kapitel Stil ind på et foto af en afdød Du er på besøg hjemme hos en af dine venner, og går forbi et billede, der hænger i entréen. På billedet ses en nydelig dame og lige da du passerer billedet, tænker

Læs mere

9. Øvelse: Demonstration af osmose over en cellemembran

9. Øvelse: Demonstration af osmose over en cellemembran 1. Drikkevand 9. Øvelse: Demonstration af osmose over en cellemembran Teori I spildevandsrensning er det især mikroorganismer og encellede dyr der fjerner næringssaltene. For at sådanne mikroorganismer

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Lærervejledning Til internet-spillet Kræftkampen og undervisningshæftet Hvorfor opstår kræft? Biologi 8.-9. klasse

Lærervejledning Til internet-spillet Kræftkampen og undervisningshæftet Hvorfor opstår kræft? Biologi 8.-9. klasse kraeftkampen.dk Kræftens Bekæmpelse Lærervejledning Til internet-spillet Kræftkampen og undervisningshæftet Hvorfor opstår kræft? Biologi 8.-9. klasse Hvorfor arbejde med Kræft? Erhvervsskolernes Forlag

Læs mere

VISUALISERING & LIVSKVALITET. Lær at lindre. ubehag og smerte. 2 effektive øvelser PROFESSOR, CAND.PSYCH., DR.MED. BOBBY ZACHARIAE.

VISUALISERING & LIVSKVALITET. Lær at lindre. ubehag og smerte. 2 effektive øvelser PROFESSOR, CAND.PSYCH., DR.MED. BOBBY ZACHARIAE. VISUALISERING & LIVSKVALITET Lær at lindre ÇLær ubehag og smerte Ç 2 effektive øvelser PROFESSOR, CAND.PSYCH., DR.MED. BOBBY ZACHARIAE Rosinante HVaD er VisuaLisering? Visualisering er en psykologisk teknik,

Læs mere

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Infrarød Screening. med Total Vision anatomi software

Infrarød Screening. med Total Vision anatomi software Infrarød Screening med Total Vision anatomi software Infrarød Screening med Total Vision anatomi software Der er ubegrænsede muligheder med vores høje kvalitetsinfrarød screeningssystem. Energetic Health

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

It og Sundhed uddannelsen. Sundhed kræver IT

It og Sundhed uddannelsen. Sundhed kræver IT It og Sundhed uddannelsen Sundhed kræver IT Vi ved, det er muligt at udvikle et samlet system, der kan lette behandlernes arbejdsgange, øge sikkerheden omkring patienterne og optimere behandlingen. Det

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

En national vision for folkeoplysningen i Danmark. Af kulturminister Marianne Jelved

En national vision for folkeoplysningen i Danmark. Af kulturminister Marianne Jelved En national vision for folkeoplysningen i Danmark Af kulturminister Marianne Jelved En national vision for folkeoplysningen i Danmark Udgivet november 2014 Kulturministeriet Nybrogade 2 1203 København

Læs mere

PÅ OPDAGELSE I SPROGET:

PÅ OPDAGELSE I SPROGET: PÅ OPDAGELSE I SPROGET: Sprogfilosofisk tema Til læreren Som vejledende tidsforbrug er dette tema sat til at fylde 3 moduler á to lektioner det kan dog afhænge af fordybelsesgraden ved de forskellige opgaver.

Læs mere

Bilag 3. Interview med leder af Film-X Kari Eggert Fortager d. 8-11-2013, København K. Interviewer: Hvordan og på hvilket grundlag opstod Film-X?

Bilag 3. Interview med leder af Film-X Kari Eggert Fortager d. 8-11-2013, København K. Interviewer: Hvordan og på hvilket grundlag opstod Film-X? Bilag 3 Interview med leder af Film-X Kari Eggert Fortager d. 8-11-2013, København K Interviewer: Hvordan og på hvilket grundlag opstod Film-X? Eggert: Det var helt tilbage i 1997-1998 hvor der var en

Læs mere

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet * Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen Syddansk Universitet * Inspireret af Swetz, F. & Hartzler, J. S. (eds) 1991, Yellow Traffic Lights, in Mathematical Modeling in the Secondary School

Læs mere

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Elevens egen vurdering /evaluering

Elevens egen vurdering /evaluering Elevens egen vurdering /evaluering Inerisaavik Vurdering ved hjælp af portfolio Vurdering af elevpræstationer Elevens egen vurdering /evaluering Møder med eleven i centrum Dette hæfte er et ud af en serie

Læs mere

De danske PISA-rapporters håndtering af PISAundersøgelserne

De danske PISA-rapporters håndtering af PISAundersøgelserne Kommentarer 79 De danske PISA-rapporters håndtering af PISAundersøgelserne Hans Bay, UCC I december 2010 udkom den 4. danske PISA-rapport (PISA, 2009). Rapporten er omtalt i MONA i Egelund (2011), i Davidsson

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Studiespørgsmål til celler og væv

Studiespørgsmål til celler og væv Studiespørgsmål til celler og væv 1. Hvad er en celle og hvad vil det sige, at den har et stofskifte? 2. Tegn en figur af en celle og navngiv, på figuren, de vigtigste organeller. Hvad er navnet på den

Læs mere

Paradigmer. Hvilket paradigme holder dig fast? Hvilke nye paradigmer er du på vej hen mod?

Paradigmer. Hvilket paradigme holder dig fast? Hvilke nye paradigmer er du på vej hen mod? Paradigmer Fastlåst eller innovativ? Hvem er lyst til det første? Vi vil vel alle gerne være innovative? Alligevel kan vi opleve, at vi også selv sidder fast i nogle mønstre og har svært ved at komme ud

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Innovation og mennesker

Innovation og mennesker 1 Innovation og mennesker Det kan Cremans rådgivning gøre for innovation I en innovationsproces er der som regel masser af idéer og penge til at begynde med. Hos Creman er det vores erfaring, at det er

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Guide: Er din kæreste den rigtige for dig?

Guide: Er din kæreste den rigtige for dig? Guide: Er din kæreste den rigtige for dig? Sådan finder du ud af om din nye kæreste er den rigtige for dig. Mon han synes jeg er dejlig? Ringer han ikke snart? Hvad vil familien synes om ham? 5. november

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

VONWILLEBRANDSSYGDOM,

VONWILLEBRANDSSYGDOM, VONWILLEBRANDSSYGDOM, VON WILLEBRAND-FAKTOR OG P-PILLER Julie Brogaard Larsen, lægestuderende Center for Hæmofili og Trombose Aarhus Universitetshospital DAGENS PROGRAM Lidt von Willebrand-historie von

Læs mere

Hvad er ateisme? Hvordan bliver man ateist? Dansk Ateistisk Selskab. Ateisme er kort og godt fraværet af en tro på nogen guddom(me).

Hvad er ateisme? Hvordan bliver man ateist? Dansk Ateistisk Selskab. Ateisme er kort og godt fraværet af en tro på nogen guddom(me). Dansk Ateistisk Selskab Hvad er ateisme? Ateisme er kort og godt fraværet af en tro på nogen guddom(me). Meget mere er der sådan set ikke i det. Der er ingen dogmatisk lære eller mystiske ritualer og netop

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Konsulentfirmaet Holler

Konsulentfirmaet Holler Om forudsætninger for kreativitet set i forhold til børn og unges udvikling At være kreativ er at skabe (sig noget). Ordet kreativ er afledt at det latinske ord for at skabe. Alle børn og unge er skabende

Læs mere

10 TIPS TIL BEDRE FONDSANSØGNINGER AF STEFFEN GREGERSEN

10 TIPS TIL BEDRE FONDSANSØGNINGER AF STEFFEN GREGERSEN 10 TIPS TIL BEDRE FONDSANSØGNINGER AF STEFFEN GREGERSEN 10 tips til bedre ansøgninger til fonde Forord 3 Tip 1 - Skriv en kort og præcis ansøgning 4 Tip 2 - Søg støtte til et konkret projekt 5 Tip 3 -

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Jeg er vejen, sandheden og livet

Jeg er vejen, sandheden og livet Jeg er vejen, sandheden og livet Sang PULS nr. 170 Læs Johannesevangeliet 14,1-11 Jeg er vejen, sandheden og livet. Sådan siger Jesus i Johannes-evangeliet. Men hvad betyder det egentlig? Hvad mener han?

Læs mere

GODE RÅD TIL PATIENTEN

GODE RÅD TIL PATIENTEN GODE RÅD TIL PATIENTEN Mette Kringelbach Speciallæge dr. med. Patient Companion er et helt nyt begreb En Patient Companion en person, som hjælper patienten til at få det bedste ud af konsultationen hos

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Vi ved, hvad der skal til

Vi ved, hvad der skal til Vi ved, hvad der skal til -nu skal der handling bag ordene Danmarks Lærerforenings skolepolitiske indspil Danmarks Lærerforening Copyright 2012 1. oplag 2012 Fotos: Ulrik Jantzen Layout: Stig Nielsen Så

Læs mere

Sund psykisk udvikling hos børn. til forældre

Sund psykisk udvikling hos børn. til forældre Sund psykisk udvikling hos børn til forældre Ingen enkle svar Alle forældre er optaget af, hvordan man bedst muligt ruster sit barn til at møde verdens udfordringer. Hvordan sikrer man barnet en sund,

Læs mere

Forskningsnyheder om Huntingtons Sygdom På hverdagssprog Skrevet af forskere. Til det globale HS-fællesskab Fosfodiesterase-hæmmere: nyt HSlægemiddel

Forskningsnyheder om Huntingtons Sygdom På hverdagssprog Skrevet af forskere. Til det globale HS-fællesskab Fosfodiesterase-hæmmere: nyt HSlægemiddel Forskningsnyheder om Huntingtons Sygdom På hverdagssprog Skrevet af forskere. Til det globale HS-fællesskab Fosfodiesterase-hæmmere: nyt HSlægemiddel testes snart CHDI og Pfizer annoncerer spændende dyreforskning

Læs mere

Fagbeskrivelse for Fysik/kemi. Aabenraa friskole

Fagbeskrivelse for Fysik/kemi. Aabenraa friskole Fagbeskrivelse for Fysik/kemi på Aabenraa friskole Grundlæggende tanker og formål Fysik og Kemi på Aabenraa Friskole 9. klasse 8. klasse 5. og 6. klasse 7. klasse Overordnet beskrivelse og formål: Formålsbeskrivelse:

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere