KURSUSMATERIALE TIL DET NYE STATISTIKPENSUM

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "KURSUSMATERIALE TIL DET NYE STATISTIKPENSUM"

Transkript

1 KURSUSMATERIALE TIL DET NYE STATISTIKPENSUM Det foreliggende udkast til kursusmateriale er lagt ud til orientering for kollegerne med henblik på at indhente kommentarer til materialet. Sammen med Susanne Christensens elevnote (se forordet til kursusmaterialet) definerer kursusmaterialet det kommende obligatoriske pensum i χ 2 -test for niveauerne MatB og MatA, der forventes at træde i kraft for elever, der starter sommeren Eventuelle kommentarer sendes til fagkonsulent Bjørn Grøn: (redaktionen afsluttet )

2

3 Forord Lektor i statistik Susanne Christensen, Institut for Matematiske fag ved Aalborg Universitet har på min opfordring skrevet en note om χ 2 (chi-i-anden). Noten 1 dækker de emner, der påtænkes inddraget som kernestof i matematik stx på B- og på A-niveau, nemlig test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier og test for fordeling af en given stikprøve (test for goodness of fit). Læreplansjusteringerne vil gælde for de elever, der starter i gymnasiet sommeren Noten er blevet læst og kommenteret af en baggrundsgruppe nedsat af fagkonsulenten: Aksel Bertelsen, Helge Gram Christensen, Steen Dilling, Bjørn Felsager, Olav Lyndrup og Jan Sørensen. Det er vores vurdering at noten kan danne grundlag for undervisning i emnet, og materialet stilles frit til rådighed til kopiering til ens elever. I tilknytning til denne note er der udarbejdet et supplerende materiale som bl.a. inddrager en eksperimentel tilgang til hypotesetest. I appendiks er demonstreret hvorledes dette kan gøres med brug af forskellige værktøjsprogrammer. Den eksperimentelle tilgang kan både indgå som en del af den mundtlige prøve og som en metode til besvarelsen af spørgsmål ved den skriftlige prøve. Fuldt pointtal i en besvarelse vil kunne opnås både med anvendelse af en eksperimentel tilgang og med anvendelse af indbyggede funktioner i et værktøjsprogram. Der er endelig lagt flere opgaver ind i dette materiale, lige som litteraturlisten er udbygget. Dette supplerende materiale kan enten anvendes direkte af den enkelte lærer eller danne grundlag for et skolebaseret kursus i emnet Bjørn Grøn, fagkonsulent 1 Noten findes på adressen: 1 (version )

4 Indholdsfortegnelse: Forord side 1 Indledning side 3 1. Statistisk test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier (χ 2 test for uafhængighed) side 4 Om teststørrelsens fordeling under H 0 side 9 Opgaver side Hvad gør vi, hvis vi har flere niveauer på hvert af inddelingskriterierne? side 14 Om teststørrelsens fordeling under H 0 side 18 Opgaver side Statistisk test for fordeling af en stikprøve (χ 2 test for goodness of fit) side 24 Om teststørrelsens fordeling under H 0 side 26 Opgaver side 29 Større opgaver, der kan indgå i projekter sammen med biologi side 31 Litteraturliste side 34 Noter side 35 Appendiks 1: Eksperimentel tilgang til χ 2 -test med forskellige værktøjsprogrammer Appendiks 2: Standardværktøjer til udførelse af χ 2 -test med forskellige programmer 2 (version )

5 Indledning At træffe sine valg i en usikker verden den statistiske modellerings rolle. Et kursusmateriale baseret på en note af E. Susanne Christensen. Lektor i statistik. Institut for Matematiske Fag. Aalborg Universitet. I mange tilfælde og i mange forskellige faglige sammenhænge må man træffe en afgørelse eller basere en overbevisning på et ikke fuldstændigt informationsgrundlag. Det er fx tilfældet, når man ønsker at gætte på udfaldet af et kommende folketingsvalg og kun har en opinionsundersøgelse, eller når man ønsker at afgøre, om antallet af rygere er stigende blandt unge mennesker, men ikke har mulighed for at spørge alle unge, om de ryger eller ej. Ens afgørelse eller resultat kommer i sådanne tilfælde til at være præget af, hvilken stikprøve 1 man får fat i til sin undersøgelse. Et eksempel: Vi vil undersøge om holdningen til skattelettelser i Danmark er den samme for gymnasieelever som for gymnasielærere. For at være sikre på svaret skulle vi spørge hele populationen, dvs. samtlige gymnasieelever og gymnasielærere. Men en sådan strategi er normalt både praktisk og økonomisk umuligt. Så for at finde ud af det, må vi indsamle nogle data, som vi kan basere vores konklusioner på: Vi skal have en stikprøve! Hvis vi var så heldige at vide, at alle gymnasieelever i landet var enige med hinanden og alle gymnasielærere var indbyrdes enige i spørgsmålet om skattelettelser, så kunne vi hurtigt blive færdige. Vi skulle bare spørge én person fra hver gruppe, hvad de mente om sagen, og så afgøre om de to grupper også var enige. Og vi ville være helt sikre på, at vi havde draget den rigtige konklusion. Men så nemt går det sjældent. Der kan være ret stor forskel på meningerne indenfor gruppen. Og selvom det faktisk skulle forholde sig sådan at de fleste gymnasieelever går ind for skattelettelser, så kan vi jo godt være uheldige at udvælge de elever, der er imod og omvendt med lærerne til vores stikprøve. Hvis det er tilfældet, så vil vi ende op med den forkerte konklusion om gruppernes mening om spørgsmålet. Vi skal altså ikke bare have en stikprøve, men en stikprøve, der er udvalgt, så vi har en begrundet tro på, den er repræsentativ 2 for populationen. Det vi kan gøre for at mindske risikoen for at lave forkerte konklusioner er at tage fornuftige stikprøver, der er store nok til at risikoen for at komme til en forkert konklusion bliver acceptabel. Statistik går (blandt andet) ud på at præcisere alle de begreber, der her står i anførselstegn. Hvad sandsynligheden er, for at drage en forkert konklusion, kan beregnes. I hvert tilfælde hvis man følger nogle enkle regler, når man indsamler data. I denne note skal vi se på, hvordan man kan sætte tal på ens usikkerhed i et par specifikke tilfælde. 3 (version )

6 1. Statistisk test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier (χ 2 test for uafhængighed) Hvis vi vil undersøge om det at bruge mange penge på tøj er lige udbredt blandt unge kvinder og unge mænd, er den mest objektive måde at forholde sig til problemstillingen, at lave en empirisk undersøgelse, dvs. ved at man indsamler data, og drager sine slutninger på baggrund af disse. Allerførst er der et par ting, der skal præciseres! Hvad er det for nogle unge, vi interesserer os for? I den statistiske terminologi hedder det at fastlægge populationen. Lad os sige, at det er unge mellem 15 og 20 år bosiddende i Danmark, vi er interesseret i. Så skal vi have præciseret, hvad vi egentligt forstår ved, at bruge mange penge på tøj. I den statistiske terminologi siger man, at vi skal have formuleret modellen og hypoteserne. Modellen kunne her være, at andelen af kvinder, der bruger mere end 1500 kr. om måneden på tøj er p k og den tilsvarende for mændene er p m. (Andelen p k er lig med sandsynligheden 3 for, at en kvinde tilfældigt udvalgt fra populationen bruger mere end 1500 kr. på tøj om måneden ). Grænsen for hvornår man bruger mange penge på tøj er jo her sat subjektivt, og kan selvfølgeligt gøres til genstand for diskussion 4. Vi kommer tilbage til hvilke matematiske krav, der skal stilles til denne grænse. Hypotesen er, at p m = p k, eller sagt i ord: Andelen af unge mænd der bruger mange penge på tøj er den samme som den tilsvarende andel for unge kvinder. For at undersøge vores hypotese kan vi fx gennemføre følgende eksperiment: Vi udvælger et antal unge mellem 15 og 20 år tilfældigt og spørger, hvor mange penge de bruger på tøj om måneden. Derefter tæller vi op, hvor mange kvinder, der bruger mere end 1500 kr, om måneden på tøj og tilsvarende for mænd. Vores resultat af undersøgelsen kan vi organisere i tabellen nedenfor (hvor tallene er fiktive - ikke resultat af en virkelig undersøgelse. Sådan en kan holdet selv lave!). Køn\Forbrug <1500 kr./måned 1500 kr./måned i alt kvinder mænd i alt (version )

7 1. Statistisk test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier Vi kan nu gætte på andelen af unge kvinder, der bruger mange penge på tøj, simpelthen ved at regne ud, hvor stor andelen er i stikprøven. Vi siger, vi estimerer p k. I dette tilfælde får vi et estimat på 102/200= 0,51. Det vil sige, vi tror, at 51 % af de unge kvinder bruger mange penge på tøj 5. Tilsvarende estimerer vi andelen af mænd til 100/160=0,625. Vi tror altså, at der var 62,5 % af de unge mænd, der bruger mange penge på tøj. Når man skal undersøge et talmateriale som det ovenstående for at finde sammenhænge er det ofte en god ide at illustrere talmaterialet grafisk. I dette tilfælde kan man fx afbilde tabeldataene som stablede søjlediagrammer (her vist i Excel for andre programmer se appendiks). Af diagrammet fremgår, at i den stikprøve vi har, er andelen af kvinder, der bruger mange penge på tøj, mindre end den tilsvarende andel for mænd. Umiddelbart kan det altså se ud som om vores hypotese ikke holder stik, nemlig at der skulle være samme procentdeldel unge mænd som unge kvinder, der bruger mange penge på tøj. Resten af øvelsen går ud på at afgøre, om dette blot er en tilfældig følge af en uheldig stikprøve, ELLER om det vi har set, er så markant, at vi tør tage det som udtryk for en forskel mellem de to køn generelt, altså noget vi tror, der gælder for hele populationen. For at kunne regne på sagen og lave et statistisk test er det matematisk set vigtigt, at de enkelte svar på, hvor mange penge man bruger, er uafhængige 6 af hinanden. Hvis man fx i sin stikprøve har valgt en gruppe venner med stor indbyrdes påvirkning, så vil denne gruppe sagtens kunne have en adfærd, som er atypisk for populationen som helhed, og derved påvirke undersøgelsens resultat uhensigtsmæssigt. 7 5 (version )

8 1. Statistisk test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier Statistisk hypotesetest minder logisk set om det, du måske kender fra din matematikundervisning som et modstridsargument. Man antager én ting - gennemfører en række logiske argumenter og ender op med noget, der klart er forkert. Heraf slutter man, at den oprindelige antagelse IKKE kan være rigtig. I statistik tager man hensyn til, at verden ikke er deterministisk, så her kan man ikke konkludere at udgangsantagelsen ikke er sand, men man kan eventuelt slutte, at det man har set i sit forsøg er USANDSYNLIGT, hvis udgangsantagelsen skulle være sand. Dermed peger forsøget på, at antagelsen ikke er rigtig. Vores antagelse om, at forbrugsmønsteret er ens for de to køn formuleres som vores udgangshypotese. Hvis vores test kan afvise den hypotese, så har vi et vist belæg for at påstå, at der er en signifikant 8 forskel mellem de to køn. Vi har således en udgangshypotese, som pr tradition kaldes H 0 (nulhypotesen) og en alternativ hypotese H 1 givet som: H 0 p k = p m H 1 p k p m En anden måde at udtrykke H 0 på er, at der er uafhængighed mellem det at bruge mange penge på tøj og ens køn. H 1 svarer så til, at der er afhængighed mellem de to inddelingskriterier - forbrug og køn, dvs. H 0 H 1 Der er uafhængighed mellem forbrug og køn. Der er afhængighed mellem forbrug og køn. Hypoteserne H 0 og H 1 kan illustreres med situationen ved en retssag. H 0 svarer til, at den anklagede er uskyldig, mens H 1 svarer til, at den anklagede er skyldig. Som i en retssag, lader vi tvivlen kommen den anklagede til gode, så med mindre vi har stærke beviser for, at den anklagede er skyldig, så vælger vi at acceptere H 0 (frikende den anklagede). Vi forkaster altså kun H 0, hvis vi har rigtigt gode beviser for, at H 0 er forkert. Vi starter med at antage, at H 0 udtrykker den sande tilstand af verden. I så fald kan vi estimere andelen af unge, der bruger mange penge uden hensyntagen til om de tilhører det ene eller det andet køn. Andelen af unge med et højt forbrug estimeres så til 202/360 0,5611, altså 56,11 %. Så ud af en gruppe på 200 unge, vil vi derfor forvente, at 200 0, ,22 af dem har et højt forbrug, og tilsvarende at 200 (1-0,5611) 87,78 af dem har et lavt forbrug. Her har vi brugt, at hvis sandsynligheden for at have et højt forbrug er givet ved p, så er sandsynligheden for det modsatte, nemlig at have et lavt forbrug, givet ved (1-p). Ud over at være logisk er dette også en regneregel fra den basale sandsynlighedsteori. Ved at regne på den måde, kan vi udfylde skemaet med de værdier, som vi ville have forventet at se, hvis verden opførte sig som vores H 0 foreskriver. Forventede værdier under antagelse af, at der er uafhængighed: Køn\Forbrug <1500 kr./måned 1500 kr./måned i alt kvinder = 87, = 112, mænd = 70, = 89, i alt (version )

9 1. Statistisk test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier Afvigelserne mellem det resultat vi fik i forsøget og de her udregnede forventede værdier er et udtryk for, hvor langt forsøgets virkelighed er fra den verden, der er modelleret i H 0. For umiddelbart at kunne sammenligne de to tabeller med de observerede værdier og de forventede værdier samler vi dem i en enkelt tabel med observationer til venstre og forventede værdier til højre: Køn\Forbrug <1500 kr./måned 1500 kr./måned i alt kvinder ,78 112, mænd ,22 89, i alt Det er nu altid sådan, at summen af afvigelser er 0. I dette tilfælde fås således: (98-87,78) + ( ,22) + (60-70,22) + (100-89,78) = 0. Så at lægge afvigelserne sammen giver os ikke noget samlet billede af, hvor stor afvigelsen er. I stedet kan man udregne et mål for, hvor stor afvigelsen på følgende måde:først udregnes for hver celle kvadratet på differensen mellem det observerede antal og det forventede antal (hvorved vi kun får positive bidrag), og derefter divideres med det forventede antal. Dermed fås for den enkelte celle et relativt mål for afvigelsen. Til sidst summeres disse tal fra alle cellerne. Denne størrelse kaldes χ 2 -teststørrelsen. Som samlet formel ser det sådan ud 9 :. En stor værdi af teststørrelsen tyder i denne sammenhæng på, at udgangshypotesen om uafhængighed IKKE er opfyldt. Altså: store værdier af χ 2 -teststørrelsen får os til at tro mere på H1. Vi har så bare det problem tilbage, at vi skal afgøre, HVOR stor en teststørrelse skal være, før vi mener, den er så stor, at vi ikke vil tro på H 0. Til det brug skal vi vide, hvor store værdier test-størrelsen normalt vil antage, når H 0 er sand. Hvis hypotesen H 0 om uafhængighed er rigtig, og hvis man har en stor nok stikprøve (dvs. alle de forventede værdier er mindst 5) 10, så kan man i den matematiske statistik undersøge, hvilke værdier denne teststørrelse ville antage, hvis man lavede en uendelig række af forsøg som det skitserede. Det viser sig da at teststørrelsen med stor tilnærmelse har en opførsel, der ikke afhænger af hvor mange vi i alt har spurgt, dvs. i vores tilfælde 360 personer. Den statistiske terminologi er, at man kender teststørrelsens fordeling under H 0. Den vil nemlig med stor tilnærmelse følge det, der hedder en χ 2 -fordeling med 1 frihedsgrad (hvilket vi vil uddybe i et følgende afsnit). Hvis H 0 er rigtig, dvs. de to inddelingskriterier (her køn og forbrugsmønster) er uafhængige størrelser, så ville man i 5% af de gange, hvor man udvælger en stikprøve på 360 personer få en teststørrelse, der er større end 3,84. I 1% af tilfældene ville man tilsvarende få en teststørrelse, der er større end 6,63. 7 (version )

10 1. Statistisk test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier Disse tal der også kaldes kritiske værdier hørende til signifikansniveauerne - kan findes i tabeller, på moderne lommeregnere, i Excel og i statistiske værktøjsprogrammer. (Man skal anvende den inverse χ 2 -fordeling til at finde de kritiske værdier hørende til et givet signifikansniveau). I Excel, hvor den inverse χ 2 -fordeling hedder chiinv(), ser det fx således ud (se appendiks for andre værktøjer): Teststørrelsen fra vores stikprøve bliver: 2 χ 2 (98 87,78) ( ,22) = + 87,78 112,22 = 1,19 + 0,93 + 1,49 + 1,16 = 4,77 2 (60 70,22) + 70,22 2 (100 89,78) + 89,78 2 Den er altså større end 3,84. Så HVIS antagelsen om uafhængighed mellem køn og forbrug skulle holde stik, så har vi her set et forsøg, der ville optræde med en sandsynlighed, der er mindre end 5%. Den statistiske terminologi er, at testsandsynligheden er mindre end 5 %. Dette kan naturligvis indtræffe, men når sandsynligheden er så lille, vælger vi at forkaste vores udgangshypotese og siger: Forsøget har påvist en sammenhæng mellem køn og forbrug på tøj, der er signifikant på 5% niveau. Men vores teststørrelse er IKKE større end de 6,63. Det betyder at forsøget ville optræde med en sandsynlighed, der er større end 1%. Vi siger, at testsandsynligheden er større end 1 %. Vi kan derfor ikke påvise en signifikant sammenhæng på 1% niveau. Hvis man, som det ofte er tilfældet, har en fast grænse for hvornår man vil vælge at forkaste sin udgangshypotese, fx når testsandsynligheden er mindre end 5 %, siger man, at man arbejder med et signifikansniveau 11 på 5%. Ved at bruge et fast signifikansniveau på fx 5% i en hel række af forsøg og test ved man altså, at man i 5% af testene fejlagtigt vil forkaste en sand udgangshypotese 12. Vi ved, hvor sikker metoden er, men vi ved ikke, om den enkelte beslutning om at tro på udgangshypotesen er rigtig eller ej. Ved at fastlægge et lavere signifikansniveau, fx på 1%, kræver vi en betydelig større forskel på de to køns forbrug af tøj, før vi siger, der er signifikant forskel. Til gengæld er det nu kun i 1% af tilfældene, at vi forkaster en sand hypotese. På en lommeregner, i et regneark eller et statistisk værktøjsprogram kan man få den præcise sandsynlighed for at få en χ 2 -teststørrelse, der er større end de observerede 4,77, under antagelse af at H 0 er sand. Det sker ved at slå værdien 4,77 op i en χ 2 fordeling med 1 frihedsgrad. (Man skal anvende den kumulerede χ 2 -fordeling til at finde testsandsynligheder eller p-værdier). I Excel ser det fx således ud: 8 (version )

11 1. Statistisk test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier Denne sandsynlighed kaldes p-værdien eller testsandsynligheden for testet. En p-værdi er altså sandsynligheden for at få en teststørrelse, der får os til at tvivle mindst lige så meget på H 0, som den teststørrelse vi lige har observeret, under antagelse af at H 0 faktisk er den rigtig hypotese. I det aktuelle eksempel får vi således en p-værdi på p = = 2.89% jfr. celle B2. Da p-værdien er lille, dvs. under 5%, er forskellen signifikant på signifikansniveauet 5%. Men den er stadigvæk større end 1%, dvs. forskellen er ikke signifikant på signifikansniveauet 1%. Vi kan altså nå til de samme konklusioner som før uden at udregne størrelsen af de kritiske teststørrelser hørende til signifikansniveauerne. Om teststørrelsens fordeling under H 0. I det ovenstående eksempel har vi spurgt 360 unge om deres køn og deres tøjforbrug. Hvis vi først ser på køn og forbrug hver for sig fordeler de sig således: I undersøgelsen deltog 200 kvinder og 160 mænd. Tilsvarende fandt vi at 158 unge havde et lavt tøjforbrug, mens 202 havde et stort tøjforbrug. Det svarer til randværdierne i krydstabellen: Køn\Forbrug <1500 kr./måned 1500 kr./måned i alt kvinder 200 mænd 160 i alt Men det der interesserer os er i virkeligheden koblingen mellem køn og forbrug, dvs. hvor mange kvinder har et lavt tøjforbrug osv. Det svarer til tallene i cellerne inde i krydstabellen. Disse tal afhænger nu af hinanden på den følgende måde: Summen af alle tallene for cellerne i første søjle (unge med lavt forbrug) skal give 158. Summen af alle tallene i første række (unge kvinder) skal give 200 osv. Da et antal ikke kan være negativt følger det nu at antallet af kvinder med et lavt tøjforbrug i princippet kan antage alle værdier fra 0 til 158. Så snart vi har fastlagt antallet af kvinder med lavt tøjforbrug følger resten af cellerne imidlertid automatisk, idet summen af tallene i første søjle skal give 158, summen af tallene i første række skal give 200 osv. 13 Hvis vi fx ser på en mulig krydstabel med 100 kvinder, der har et lavt tøjforbrug, følger det derfor at den må have følgende opbygning: Køn\Forbrug <1500 kr./måned 1500 kr./måned i alt kvinder mænd i alt (version )

12 1. Statistisk test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier Da vi kun kan vælge en af cellerne frit (indenfor visse bånd) siger vi, at krydstabellen har netop én frihedsgrad. Til hver af de mulige krydstabeller kan vi nu knytte en χ 2 -teststørrelse som beskrevet ovenfor. I det ovenstående eksempel fås fx (100 87,78) ( ,22) (58 70,22) (102 89,78) χ = ,78 112,22 70,22 89,78 = 1,70 + 1,33 + 2,13 + 1,66 = 6,82 I χ 2 -testet antager vi nu at køn og forbrug er uafhængige, og dermed at krydstabeller, der ligger tæt på de forventede værdier (og dermed har en lille teststørrelse) har høj sandsynlighed, mens krydstabeller, der ligger langt fra de forventede værdier (og dermed har en stor teststørrelse) har lav sandsynlighed. En præcis beregning af sandsynlighederne viser sig dog at være særdeles vanskelig. Til gengæld er en simpel tilnærmet beregning af sandsynlighederne overraskende nok mulig. I den matematiske statistik viser man nemlig at sandsynligheden for en given krydstabel med stor tilnærmelse er knyttet til χ 2 -fordelingen med 1 frihedsgrad. Det skal forstås sådan at sandsynligheden for at finde en teststørrelse, der er mindst lige så stor som den observerede med stor tilnærmelse er givet ved arealet under den graf, der er knyttet til χ 2 - fordelingen med 1 frihedsgrad 14 : Som omtalt i teksten kunne vi i princippet også finde sandsynligheden ved at gentage spørgeskemaundersøgelsen uendeligt mange gange. I praksis er vi selvfølgelig nødt til at stoppe efter et stort antal gange. Her ses resultatet af 1000 gentagne simuleringer af udregningen af teststørrelsen under antagelsen af H 0, og med fastholdte marginaler (jfr. note 13), hvor hver prik svarer til teststørrelsen for den fundne krydstabel: 10 (version )

13 1. Statistisk test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier I dette tilfælde fandt vi altså 27 krydstabeller med en teststørrelse, der er mindst lige så stor som den observerede. Det svarer til en p-værdi på 27/1000 = 2,7%, hvilket ligger rimeligt tæt på den teoretiske p-værdi 2,9%. Vi kan også afbilde fordelingen af teststørrelserne i et histogram og derved sammenligne direkte med den teoretiske χ 2 -fordeling med 1 frihedsgrad (idet histogrammet først er justeret, så det samlede areal er 1): I appendiks kan man læse mere om en eksperimentel tilgang til χ 2 -testet og den tilhørende fordeling af teststørrelsen. 11 (version )

14 1. Statistisk test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier Opgaver til uafhængighedstest (2 2-tabeller) Opgave 1. I dagens politik spiller skattenedsættelser en stor rolle. Et stort antal lønarbejdere udspørges via et telefoninterview om deres holdning til en lønnedgang, der kompenseres med en skattenedsættelse: Vil du acceptere en lønnedsættelse, hvis den kompenseres med en skattenedsættelse, således at reallønnen (købekraften) er uændret? Svarene fordeler sig således på køn: Køn\Holdning Ja Nej Kvinder Mænd Fremstil tabellen grafisk i et passende søjlediagram. Kommenter hvad du ser, med brug af begrebet stikprøve. Færdigudfyld den følgende tabel: Køn\Holdning Ja Nej I alt Kvinder Mænd I alt Udregn de forventede antal: Køn\Holdning Ja Nej I alt Kvinder Mænd I alt Udregn χ 2 -teststørrelsen og find p-værdien. Er forskellen mellem de observerede og forventede svar signifikant på 5% niveau? På 1% niveau? Opgave 2: I en Gallupundersøgelse blev 234 kvinder og 257 mænd spurgt om de var tilfredse med deres udseende, i den forstand at de anså sig selv som fysisk tiltrækkende for det modsatte køn. Hertil svarede (i afrundede procenttal) 71% af kvinderne, at de var tilfredse med deres udseende, mens 81% af mændene svarede, at de var tilfredse med deres udseende. 12 (version )

15 1. Statistisk test for uafhængighed mellem to inddelingskriterier Færdigudfyld det følgende skema Køn\Selvopfattelse Tilfreds Utilfreds I alt Kvinder 234 Mænd 257 I alt Fremstil tabellen grafisk i et passende søjlediagram. Kommenter hvad du ser, med brug af begrebet stikprøve. Hvor stor en andel af samtlige adspurgte er tilfredse? Utilfredse? Udregn χ 2 -teststørrelsen og p-værdien. Er forskellen mellem de observerede og forventede svar signifikant på 5% niveau? På 1% niveau? Opgave 3: Det er en velkendt opfattelse at psykologiske og sociale forhold har indflydelse på overlevelseschancen efter en alvorlig sygdom. En undersøgelse fra 1980 handlede om en eventuel sammenhæng mellem kæledyr og chancen for at overleve i mindst et år efter en hjerteoperation. I undersøgelsen, der omfattede 53 patienter med kæledyr og 39 patienter uden kæledyr, var 78 af patienterne i live efter et år. Af de 78 patienter, der overlevede havde de 50 kæledyr. Er der belæg i undersøgelsen for en statistisk sammenhæng mellem at overleve i mindst et år og at have kæledyr? Opgave 4: I en berømt klagesag fra 1973 blev University of California i Berkeley i USA beskyldt for kønsdiskrimination i sine optagelsesprocedurer. Dette er en meget alvorlig anklage i USA, da en række af offentlige tilskud er afhængige af at Universitet opfylder en række kriterier for god opførsel, herunder at Universitet ikke diskriminerer mod køn, race, religion osv. i sine optagelsesprocedurer. Ud af 2691 mandlige ansøgere blev de 1198 optaget. Ud af 1835 kvindelige ansøgere blev 557 optaget. Opstil en krydstabel for koblingen mellem køn og optagelse på University of California i Berkeley. Undersøg om der er belæg i krydstabellen for at anklage universitet for kønsdiskrimination, idet du inddrager begreber som udgangshypotesen H 0, antallet af frihedsgrader, χ 2 - teststørrelsen, p-værdien og signifikansniveauet. Opgave 5 (ikke pensum til skriftlig eksamen): I en undersøgelse af danske mænds og kvinders tv forbrug svarer 60% af kvinderne i stikprøven, at de ser mere end 20 timer tv om ugen, mens det tilsvarende tal for mændene er 53%. Stikprøven indeholder lige mange personer af hver køn, og hypotesen lige mange mænd og kvinder ser mere end 20 timer tv om ugen forkastes på 5% signifikansniveau, men accepteres på 1% signifikansniveau. Bestem en mulig størrelse af stikprøven. 13 (version )

16 2. Hvad gør vi, hvis vi har flere niveauer på hvert af inddelingskriterierne? Ofte er der flere end to kriterier, hvorefter vi inddeler. Betragt følgende eksempel: En hjerneforsker forsker i forskellige måder at operere for en bestemt type hjernetumor. Der er tre forskellige operationstyper: Type A, hvor man kun fjerner selve tumoren; Type B, hvor man også tager lidt af det nærmeste omkringliggende væv bort, og Type C, hvor der fjernes en større del af det omkringliggende væv. Lægen ønsker at vide, hvordan operationstypen indvirker på chancen for at overleve et halvt år efter operationen. Over en årrække har lægen indsamlet følgende data over resultaterne af operationerne (data er fiktive, problemstillingen er autentisk): Operation\Status i live død i alt Operation A Operation B Operation C i alt Afbildes tabellen grafisk som stablede søjlediagrammer fås: Sammenhæng mellem operation og status 100% 90% 80% Relativ hyppighed 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% Død I live 0% A B C Operation I stikprøven er der altså forskel på andelen af overlevende efter de forskellige typer af operation. Vi skal forsøge at undersøge, om det er en så stor forskel, at man kan sige, resultaterne kan generaliseres ud over denne stikprøve, altså: er det statistisk signifikant? Vi skal altså forsøge at regne ud, om den sete stikprøve er meget ekstrem, hvis vi antager, at der ikke er forskel på overlevelseschancerne efter de forskellige operationer. Vi lader p A være sandsynligheden for at en patient er i live et halv år efter at have gennemgået en operation af type A, og tilsvarende for p B og p C. Udgangshypotesen er, at der er samme sandsynlighed for overlevelse efter alle tre typer operation, dvs. 14 (version )

17 2. Hvad gør vi, hvis vi har flere niveauer på hvert af inddelingskriterierne? H 0 H 1 p A = p B = p C Ikke alle tre sandsynligheder ens. Hvis udgangshypotesen holder, estimerer vi sandsynligheden for overlevelse ved 59 = 0,6211, og vi kan udregne de forventede værdier efter samme princip som før: 95 Forventede Værdier i live Død i alt Operation A 0, = 33, 54 ( 1 0,6211) 54 = 20, Operation B 0, = 9, 94 ( 1 0,6211) 16 = 6, Operation C 0, = 15, 53 ( 1 0,6211) 25 = 9, i alt Alle de forventede størrelser er mindst 5, så vi kan bruge χ 2 -testet igen, nu bare med nogle lidt andre tal. Teststørrelsen udregnes som før ved at udregne:, hvor der summeres over alle celler. Dvs. vi får her: 40 33,54 33, , ,94 6 6, , ,47 10,53 20,46 9,94 6,06 15,53 9,47 Når vi skal vurdere teststørrelsen kan vi som før anvende lommeregner, regneark eller et statistisk værktøjsprogram. I dette tilfælde skal vi benytte en χ 2 -fordeling med 2 frihedsgrader (for en nærmere uddybning af antallet af frihedsgrader se evt. det følgende afsnit). Det giver os mulighed for at udregne såvel de kritiske teststørrelser som p-værdien: Ved opslag får vi denne gang, at hvis dette forsøg blev gentaget et meget stort antal gange ( uendeligt mange gange ) ville vi i 5% af tilfældene få en teststørrelse, der er større end 5,99 og i 1% af tilfældene få en teststørrelse større end 9,21, alt sammen under antagelse af at udgangshypotesen H 0 om uafhængigheden af operationstypen og patientens status er sand. Som før kan vi også bestemme en p-værdi for teststørrelsen 10,53, dvs. bestemme den præcise sandsynlighed for at få en teststørrelse på 10,53 eller derover; igen selvfølgelig under forudsætning af, at H 0 er sand. I fx Excel finder vi da en p-værdi på 0,0052 = 0,52%: 15 (version )

18 2. Hvad gør vi, hvis vi har flere niveauer på hvert af inddelingskriterierne? Så i dette tilfælde er vores valgmuligheder: ENTEN fastholder vi troen på, at de tre operationstyper giver samme overlevelseschance OG vi har set et forsøg, der har mindre end 1 % sandsynlighed for at indtræffe ELLER vi forkaster hypotesen om lige store chancer for overlevelse og siger: Der er fundet en sammenhæng mellem overlevelseschance og operationstype, der er statistisk signifikant på 1% niveau. Ved at udregne de enkelte bidrag til teststørrelsen kan man tydeliggøre, hvilke celler der giver de store bidrag til teststørrelsen, når man må forkaste nulhypotesen. Man ser tydeligt at det først og fremmest er bidragene fra operation C, der er problematiske. Observation: Operation\Status i live død i alt Operation A Operation B Operation C i alt Forventet: Operation\Status i live død i alt Operation A 33, , Operation B 9, , Operation C 15, , i alt Bidrag til chi2: Operation\Status i live død Operation A 1, , Operation B 0, , Operation C 2, , Har vi ikke yderligere viden, må vi derfor foreslå, at operationstype C stilles i bero. Imidlertid skal man tænke sig om, inden man foreslår operationstype C forbudt. Hvis der er en tredje faktor der influerer billedet, så kan det give misvisende konklusioner, når man kun tager to af faktorerne i betragtning. Vi kigger lidt nærmere på tallene fra før: 16 (version )

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle.

At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. At træffe sine valg i en usikker verden - eller den statistiske modellerings rolle. Af E. Susanne Christensen. Lektor i statistik. Institut for Matematiske Fag. Aalborg Universitet. I mange tilfælde og

Læs mere

Personlig stemmeafgivning

Personlig stemmeafgivning Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt

Læs mere

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp.

Løs nu opgaverne i a) brug alt materialet her samt evt. regnearkene i Fronter som hjælp. Udarbejdet af Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Indhold Introduktion til materialet. s. 2 Introduktion til chi i anden test. s. 4 Et eksempel hastighed og ulykker på motorveje s. 8 Sådan udregnes

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave]

Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2. Bjørn Felsager September 2012. [Fjerde udgave] Statistik med TI-Nspire CAS version 3.2 Bjørn Felsager September 2012 [Fjerde udgave] Indholdsfortegnelse Forord Beskrivende statistik 1 Grundlæggende TI-Nspire CAS-teknikker... 4 1.2 Lister og regneark...

Læs mere

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling

Spørgeskemaundersøgelser og databehandling DASG. Nye veje i statistik og sandsynlighedsregning. side 1 af 12 Spørgeskemaundersøgelser og databehandling Disse noter er udarbejdet i forbindelse med et tværfagligt samarbejde mellem matematik og samfundsfag

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF

Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Fagligt samspil mellem Ma-B og SA-A Lisbeth Basballe, Mariagerfjord Gymnasium og Marianne Kesselhahn, Egedal Gymnasium og HF Vi ønskede at planlægge og afprøve et undervisningsforløb, hvor anvendelse af

Læs mere

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)

Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

χ 2 test Formål med noten... 2 Goodness of fit metoden (GOF)... 2 1) Eksempel 1 er stikprøven repræsentativ for køn? (1 frihedsgrad)...

χ 2 test Formål med noten... 2 Goodness of fit metoden (GOF)... 2 1) Eksempel 1 er stikprøven repræsentativ for køn? (1 frihedsgrad)... χ Indhold Formål med noten... Goodness of fit metoden (GOF)... 1) Eksempel 1 er stikprøven repræsentativ for køn? (1 frihedsgrad)... ) χ -fordelingerne (fordelingsfunktionernes egenskaber)... 6 3) χ -

Læs mere

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF

Et matematikeksperiment: Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Sammenligning af to måleserier En af de mest grundlæggende problemstillinger i statistik består i at undersøge om to forskellige måleserier er signifikant forskellige eller om forskellen på de to serier

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Undersøgelse om IT i folkeskolen 2011

Undersøgelse om IT i folkeskolen 2011 Undersøgelse om IT i folkeskolen 2011 Udarbejdet af Scharling Research for redaktionen af Folkeskolen, november 2011 Scharling.dk Formål Denne rapport har til hensigt at afdække respondenternes kendskab

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik

Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik Hypotesetest s og spørgeskemaer Stikprøver, binomialtest og chi^2 test er nogle af de punkter som denne note kommer ind på. Det er et supplement til Vejen til Matematik Kumuleret sandsynlighed 0.9 0.8

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

Virksomhedens salgspipeline. Business Danmark november 2009 BD272

Virksomhedens salgspipeline. Business Danmark november 2009 BD272 Virksomhedens salgspipeline Business Danmark november 2009 BD272 Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Rapportens opbygning... 2 Hovedkonklusioner... 3 Metode og validitet... 3 Salgs- og marketingafdelingernes

Læs mere

Skolesektionen på www.ballerup.dk

Skolesektionen på www.ballerup.dk Skolesektionen på www.ballerup.dk Louise Callisen Dyhr (ldyh) Marie Louise Gottlieb Frederiksen (mgfr) Janus Askø Madsen (jaam) Nanna Petersen (nshy) Antal tegn: 28319 Afleveringsdato: 21. maj 2014 1 Indledning...

Læs mere

Statistik i GeoGebra

Statistik i GeoGebra Statistik i GeoGebra Peter Harremoës 13. maj 2015 Jeg vil her beskrive hvordan man kan lave forskellige statistiske analyser ved hjælp af GeoGebra 4.2.60.0. De statistiske analyser svarer til pensum Matematik

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Aktivitetsmappe for introkurset til Naturvidenskabeligt grundforløb 2008

Aktivitetsmappe for introkurset til Naturvidenskabeligt grundforløb 2008 Den eksperimentelle metode i statistik Den naturvidenskabelige metode er i fokus efter gymnasiereformen. Det starter med naturvidenskabeligt grundforløb: Aktivitetsmappe for introkurset til Naturvidenskabeligt

Læs mere

- Panelundersøgelse, Folkeskolen, februar 2013 FOLKESKOLEN. Undersøgelse om syn på kønnets betydning for fag- og uddannelsesvalg

- Panelundersøgelse, Folkeskolen, februar 2013 FOLKESKOLEN. Undersøgelse om syn på kønnets betydning for fag- og uddannelsesvalg FOLKESKOLEN Undersøgelse om syn på kønnets betydning for fag- og uddannelsesvalg 2013 Udarbejdet af Scharling Research for redaktionen af Folkeskolen, februar 2013 Formål Scharling.dk Side 1 af 14 Metode

Læs mere

Grundlæggende metode og videnskabsteori. 5. september 2011

Grundlæggende metode og videnskabsteori. 5. september 2011 Grundlæggende metode og videnskabsteori 5. september 2011 Dagsorden Metodiske overvejelser Kvantitativ >< Kvalitativ metode Kvalitet i kvantitative undersøgelser: Validitet og reliabilitet Dataindsamling

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring

matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring matx.dk Undersøgelsesdesign Statistik Dennis Pipenbring 7. april 2011 Indhold 1 Undersøgelsesdesign 5 1.1 Kausalitet............................. 5 1.2 Validitet og bias......................... 6 1.3

Læs mere

Surveyundersøgelse af danske kiropraktorpatienter

Surveyundersøgelse af danske kiropraktorpatienter Surveyundersøgelse af danske kiropraktorpatienter Foto: Uffe Johansen Dansk Kiropraktor Forening København 2013 Indhold 1 Baggrund for undersøgelsen.. 2 2 Indkomstniveau. 3 Kiropraktorpatienters årlige

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen

Simpsons Paradoks. Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser. Inge Henningsen Simpsons Paradoks Et emnearbejde om årsag og sammenhæng i kvantitative undersøgelser Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Københavns Universitet 1 Simpsons Paradoks -Et emnearbejde om årsag og sammenhæng

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2. juni 2014 Institution Kolding HF og VUC, Ålegården 2, 6000 Kolding (tovholder) VUC Vest, Stormgade 47,

Læs mere

Introduktion til SPSS

Introduktion til SPSS Introduktion til SPSS Øvelserne på dette statistikkursus skal gennemføres ved hjælp af det såkaldte SPSS program. Det er erfaringsmæssigt sådan, at man i forbindelse af øvelserne på statistikkurser bruger

Læs mere

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag

statistik statistik viden fra data statistik viden fra data Jens Ledet Jensen Aarhus Universitetsforlag Aarhus Universitetsforlag Jens Ledet Jensen på data, og statistik er derfor et nødvendigt værktøj i disse sammenhænge. Gennem konkrete datasæt og problemstillinger giver Statistik viden fra data en grundig indføring i de basale

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

Den danske befolknings deltagelse i medicinske forsøg og lægevidenskabelig forskning

Den danske befolknings deltagelse i medicinske forsøg og lægevidenskabelig forskning december 2006 j.nr.1.2002.82 FKJ/UH Den danske befolknings deltagelse i medicinske forsøg og lægevidenskabelig forskning omfang, befolkningens vurderinger Af Finn Kamper-Jørgensen og Ulrik Hesse Der er

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Efteråret 2014. Undersøgelse af borgertilfredsheden på Jobcenter Rebild

Efteråret 2014. Undersøgelse af borgertilfredsheden på Jobcenter Rebild Efteråret 2014 Undersøgelse af borgertilfredsheden på Jobcenter Rebild Indholdsfortegnelse 1. Rapport Borgertilfredshedsundersøgelse Jobcenter Rebild... 3 1.1 - Kort om undersøgelsen... 3 1.2 - Formål...

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Brugerundersøgelse 2010 af Navision Stat

Brugerundersøgelse 2010 af Navision Stat Brugerundersøgelse 2010 af Navision Stat UNI C Statistik & Analyse december 2012 Brugerundersøgelse 2010 af Navision Stat UNI C Statistik & Analyse december 2012 Af Lone Juul Hune Indledning 3 Indhold

Læs mere

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet

Eksamen ved. Københavns Universitet i. Kvantitative forskningsmetoder. Det Samfundsvidenskabelige Fakultet Eksamen ved Københavns Universitet i Kvantitative forskningsmetoder Det Samfundsvidenskabelige Fakultet 14. december 2011 Eksamensnummer: 5 14. december 2011 Side 1 af 6 1) Af boxplottet kan man aflæse,

Læs mere

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå.

Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Statistik er at behandle en stor mængde af tal, så de bliver lettere at overskue og forstå. Hvis man fx samler de karakterer, der er givet til en eksamen i én stor bunke (se herunder), kan det være svært

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger

Teoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Engelsk på langs. Spørgeskemaundersøgelse blandt elever på gymnasiale uddannelser Gennemført af NIRAS Konsulenterne fra februar til april 2005

Engelsk på langs. Spørgeskemaundersøgelse blandt elever på gymnasiale uddannelser Gennemført af NIRAS Konsulenterne fra februar til april 2005 Engelsk på langs Spørgeskemaundersøgelse blandt elever på gymnasiale uddannelser Gennemført af NIRAS Konsulenterne fra februar til april 2005 DANMARKS EVALUERINGSINSTITUT Engelsk på langs Spørgeskemaundersøgelse

Læs mere

SFI Survey har i juni måned 2012 gennemført en brugertilfredshedsundersøgelse. for undersøgelsen.

SFI Survey har i juni måned 2012 gennemført en brugertilfredshedsundersøgelse. for undersøgelsen. Gentofte Kommune er ansvarlig for madleverance til visiterede brugere i kommunen. Målsætningen for kommunen er, at borgere visiteret til madordningen får tilbudt et måltid, der sikrer den fornødne tilførsel

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Elevmateriale. Forløb Statistik

Elevmateriale. Forløb Statistik Elevmateriale Forløb Statistik Første lektion: I første lektion skal eleverne reflektere over, hvordan man sammenligner datasæt. Hvordan afgør man, hvor høj man er i 5. klasse? I andre dele af matematikken

Læs mere

Kønsproportion og familiemønstre.

Kønsproportion og familiemønstre. Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,

Læs mere

Kvantitative metoder, teori og praksis

Kvantitative metoder, teori og praksis Kvantitative metoder, teori og praksis Kvantitative metoder Målet med de kvantitative metoder Forskellige typer kvantitative metoder Styrker og svagheder Repræsentativitet og udtræksperioder Det gode spørgeskema

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Beboer evaluering af 6 prøvehuse Spørgeskemaundersøgelse, april 2014

Beboer evaluering af 6 prøvehuse Spørgeskemaundersøgelse, april 2014 Beboer evaluering af 6 prøvehuse Spørgeskemaundersøgelse, april 2014 Indhold: 0. Indledning kort om undersøgelsen side 2 1. Sammenfatning side 4 2. Viben 8C side 6 A. Gennemgang af resultater B. Søjlediagrammer

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

SKRIFTLIGHED I DE N TURVIDENSKABELIG FAG

SKRIFTLIGHED I DE N TURVIDENSKABELIG FAG SKRIFTLIGHED I DE N TURVIDENSKABELIG FAG Indholdsfortegnelse INDLEDNING... 3 1. FORMLER... 4 2. FIGURFORKLARING... 5 3. FIGURFREMSTILLING... 7 4. ORDFORKLARING... 8 5. REGRESSION... 9 6. SAMMENHÆNGE I

Læs mere

- Panelundersøgelse, Folkeskolen, februar 2013 FOLKESKOLEN. Undersøgelse om syn på medarbejderindflydelse i skolen og

- Panelundersøgelse, Folkeskolen, februar 2013 FOLKESKOLEN. Undersøgelse om syn på medarbejderindflydelse i skolen og FOLKESKOLEN Undersøgelse om syn på medarbejderindflydelse i skolen og kønnets betydning for fag- og uddannelsesvalg 2013 Udarbejdet af Scharling Research for redaktionen af Folkeskolen, februar 2013 Scharling.dk

Læs mere

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data

Program. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration

Læs mere

Undervisning i Dansk Palliativ Database

Undervisning i Dansk Palliativ Database Undervisning i Dansk Palliativ Database - AnalysePortalen og mulighederne for at anvende egne data Undervisning i Dansk Palliativ Database - AnalysePortalen og mulighederne for at anvende egne data Dagens

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Kvinder trækker læsset i hjemmet mænd prioriterer jobbet

Kvinder trækker læsset i hjemmet mænd prioriterer jobbet Morten Bue Rath og Martin Hornstrup Januar 2010 Kvinder trækker læsset i hjemmet mænd prioriterer jobbet Betragter man den samlede ugentlige på arbejdsmarkedet og i hjemmet, arbejder mænd og kvinder stort

Læs mere

Børn og finanskrisen. En undersøgelse i Børnerådets Børne- og Ungepanel November 2010. Redaktion: Søren Gade Hansen, Børnerådets sekretariat

Børn og finanskrisen. En undersøgelse i Børnerådets Børne- og Ungepanel November 2010. Redaktion: Søren Gade Hansen, Børnerådets sekretariat Børn og finanskrisen En undersøgelse i Børnerådets Børne- og Ungepanel November 2010 Redaktion: Søren Gade Hansen, Børnerådets sekretariat Tekst Trine Krab Nyby, Flemming Schultz, Børnerådets sekretariat

Læs mere

Tech College Aalborg

Tech College Aalborg VTU Virksomhedstilfredshedsmåling 2012 Via spørgeskemaundersøgelse Tech College Aalborg Colleger: College College College College College College College Style & Wellness College College Style & Wellness

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Betydning af elevernes sociale baggrund. Undervisningsministeriet

Betydning af elevernes sociale baggrund. Undervisningsministeriet Betydning af elevernes sociale baggrund Undervisningsministeriet Betydning af elevernes sociale baggrund Pointe 1: Der er flest fagligt svage elever på hf...... 4 Pointe 2: Et fagligt svagt elevgrundlag

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Eksamensopgaver i matematik

Eksamensopgaver i matematik Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse Indledning...1 Bedømmelse af besvarelse...2 Eksempel 1 Lineære sammenhænge...3 Eksempel

Læs mere

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler

Dagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment

Læs mere

Også prostituerede har krav på retvisende statistik

Også prostituerede har krav på retvisende statistik Også prostituerede har krav på retvisende statistik Kommentarer til rapport fra SFI om prostitution i Danmark Inge Henningsen SFI har i juni 2011 udgivet rapporten Prostitution i Danmark (Rapport 11:21,

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Indvandrere og efterkommere i foreninger er frivillige i samme grad som danskere

Indvandrere og efterkommere i foreninger er frivillige i samme grad som danskere 1 Indvandrere og efterkommere i foreninger er frivillige i samme grad som danskere Færre med ikke-vestlige oprindelse end dansk oprindelse er medlem af en forening. Men ikke-vestlige indvandrere og efterkommere

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave

Noter til Statistik. Lisbeth Tavs Gregersen. 1. udgave Noter til Statistik Lisbeth Tavs Gregersen 1. udgave 1 Indhold 1 Intro 3 1.1 HF Bekendtgørelsen........................ 3 1.2 Deskriptiv statistik......................... 3 2 Ikke-grupperet Talmateriale

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere Indholdsfortegnelse Forord... 3 Diskettens indhold... 4 Grafer i koordinatsystemet... 5 Brug af guiden diagram... 5 Indret regnearket fornuftigt... 9 Regneark hentet på Internettet... 15 Læsevenlige tal

Læs mere

Program dag 2 (11. april 2011)

Program dag 2 (11. april 2011) Program dag 2 (11. april 2011) Dag 2: 1) Hvordan kan man bearbejde data; 2) Undersøgelse af datamaterialet; 3) Forskellige typer statistik; 4) Indledende dataundersøgelser; 5) Hvad kan man sige om sammenhænge;

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

U L I G H E D I D A N M A R K

U L I G H E D I D A N M A R K D E N N I S P I P E N B R I N G U L I G H E D I D A N M A R K M AT X. D K Copyright 2013 Dennis Pipenbring offentliggjort på matx.dk layout af tufte-latex.googlecode.com Materialet er til fri afbenyttelse

Læs mere

Devoteam Consulting. Spørgeskemaundersøgelse i forbindelse med undersøgelsen af problemer med flertydige vejnavne LEDELSESRESUME

Devoteam Consulting. Spørgeskemaundersøgelse i forbindelse med undersøgelsen af problemer med flertydige vejnavne LEDELSESRESUME Devoteam Consulting Spørgeskemaundersøgelse i forbindelse med undersøgelsen af problemer med flertydige vejnavne LEDELSESRESUME Maj 26 Ledelsesresume Side 1 Maj 26 1. INDLEDNING Devoteam bistår Erhvervs-

Læs mere

Prioriteringer ved bilkøb Civilingeniør, Mohamed El Halimi, Energistyrelsen, Miljø- og Energiministeriet

Prioriteringer ved bilkøb Civilingeniør, Mohamed El Halimi, Energistyrelsen, Miljø- og Energiministeriet Prioriteringer ved bilkøb Civilingeniør, Mohamed El Halimi, Energistyrelsen, Miljø- og Energiministeriet Baggrund Som et middel til at reducere CO2-emissionen fra biler har EU bestemt sig for at indføre

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

RAPPORT. Frederikssund Kommunes hjemmepleje. Brugertilfredshedsundersøgelse 2015

RAPPORT. Frederikssund Kommunes hjemmepleje. Brugertilfredshedsundersøgelse 2015 RAPPORT Frederikssund Kommunes hjemmepleje Brugertilfredshedsundersøgelse 2015 Foto: Kenneth Jensen 2/22 Indholdsfortegnelse Indledning... 4 Sammenfatning... 5 Metode... 6 Spørgeskemaet... 7 Svarprocenter

Læs mere

Bilag C. Deltagelse og repræsentativitet

Bilag C. Deltagelse og repræsentativitet B i l a g C D e l t a g e l s e o g repræ s e n t a t i v i t e t Bilag C. Deltagelse og repræsentativitet 237 Svarpersoner i spørgeskemaundersøgelsen I alt fik 538.497 personer tilsendt en invitation

Læs mere

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression

Statistik II 4. Lektion. Logistisk regression Statistik II 4. Lektion Logistisk regression Logistisk regression: Motivation Generelt setup: Dikotom(binær) afhængig variabel Kontinuerte og kategoriske forklarende variable (som i lineær reg.) Eksempel:

Læs mere

Sundhedsprofil Det gode liv på Langeland

Sundhedsprofil Det gode liv på Langeland Sundhedsprofil Det gode liv på Langeland februar 2010 I efteråret 2008 opfordrede Langeland Kommune sine borgere til at deltage i sundhedsundersøgelsen Det gode liv på Langeland. I undersøgelsen blev langelændere

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Workshop 6 Sundhedsprofilen metode og muligheder. Anne Helms Andreasen, Forskningscenter for Forebyggelse og Sundhed

Workshop 6 Sundhedsprofilen metode og muligheder. Anne Helms Andreasen, Forskningscenter for Forebyggelse og Sundhed Workshop 6 Sundhedsprofilen metode og muligheder Anne Helms Andreasen, Forskningscenter for Forebyggelse og Sundhed Metode og muligheder Design Beskrivelse af deltagere og ikke-deltagere Vægtning for design

Læs mere

Undersøgelse af den nordiske befolknings kendskab og holdning til Nordisk Råd og Nordisk Ministerråd og et særligt forstærket nordisk samarbejde

Undersøgelse af den nordiske befolknings kendskab og holdning til Nordisk Råd og Nordisk Ministerråd og et særligt forstærket nordisk samarbejde Undersøgelse af den nordiske befolknings kendskab og holdning til Nordisk Råd og Nordisk Ministerråd og et særligt forstærket nordisk samarbejde Oxford Research, oktober 2010 Opsummering Undersøgelsen

Læs mere

Metode. Niels Ulrik Sørensen, Jens Christian Nielsen & Martha Nina Osmec

Metode. Niels Ulrik Sørensen, Jens Christian Nielsen & Martha Nina Osmec 14 Metode Niels Ulrik Sørensen, Jens Christian Nielsen & Martha Nina Osmec 277 1. Dataindsamling Denne rapport bygger på telefoninterviews med 3.481 repræsentativt udvalgte 15-24-årige unge fra hele Danmark.

Læs mere