STATISTISKE GRUNDBEGREBER

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "STATISTISKE GRUNDBEGREBER"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0

2

3 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske grudbegreber til brug ved e idledede udervisig i statistik. De væsetligste defiitioer og sætiger forklares derfor fortrisvist ved hjælp af figurer og geemregede praktiske eksempler. Øskes e mere matematisk uddybede forklarig, bevis for sætiger osv. ka dette ofte fides i et særskilt tillæg til boge, som fides på ettet uder title Supplemet til statistiske grudbegreber. Læsig: Boge er bygget således op, at der hurtigt ås frem til ormalfordelige og de vigtige ormalfordeligstest. Disse vigtige begreber ka derfor blive grudigt idarbejdet, selv om der ku er kort tid til rådighed. Er det af tidsmæssige grude svært at å hele otatet ka ma ude skade for helhede oversprige kapitlere 0 og, ligesom ma evetuelt ka tage kapitlere og 9 mere oversigtsagtigt. Sidst i hver kapitel fides e række opgaver, der yderligere ka fremme forståelse. Bagerst i boge fides e facitliste til alle opgavere. I et lægere kursusforløb er dee bog tækt at skulle efterfølges af M. Oddershede Larse: Videregåede Statistik, som ka hetes gratis på adresse Regemidler. Det er hesigtsmæssigt, at ma har adgag til e lommereger eller e PC med de sædvalige fordeliger idbygget. I eksemplere agives således, hvorledes beregigere ka foretages med de i øjeblikket mest populære lommereger TI-89, det tilsvarede PC-program TI-Nspire samt med det meget udbredte regeark Excel. Edvidere er der i et afsit sidst i boge også kort agivet hvorledes beregigere ka udføres med matematikprogrammere Maple og Mathcad. I 8- udgave fides tabeller over de sædvalige statistiske fuktioer, samt forklaret hvorda tabellere avedes Dee udgave, samt 8 udgave ka samme med e række adre oter fides på adresse: Jeg vil gere takke igeiørdocet L. Brødum og J. D. Morad for de mage gode råd geem åree. E særlig tak til lektor Bjare Hellese, som dels har skrevet afsit, dels er kommet med mage værdifulde kommetarer og bidrag til forbedriger. jauar 03 Moges Oddershede Larse i

4 INDHOLD INTRODUKTION TIL STATISTIK... DESKRIPTIV STATISTIK. Kvalitative data.... Kvatitative data Karakteristiske tal... 7 Opgaver... 3 STOKASTISK VARIABEL 3. Sadsylighed Stokastisk variabel Tæthedsfuktio, middelværdi og spredig for kotiuert stokastisk variabel Liearkombiatio af stokastiske variable... 4 NORMALFORDELINGEN 4. Idledig Defiitio og sætiger om ormalfordelig Beregig af sadsyligheder... 7 Opgaver KONFIDENSINTERVAL FOR NORMALFORDELT VARIABEL 5. Udtagig af stikprøver Fordelig og spredig af geemsit Kofidesiterval for middelværdi Defiitio af kofidesiterval Populatioes spredig kedt eksakt Populatioes spredig ikke kedt eksakt Kofidesiterval for spredig Oversigt over cetrale formler i kapitel Opgaver HYPOTESETESTNING ( NORMALFORDELT VARIABEL) 6. Grudlæggede begreber Hypotesetest med ukedt middelværdi og spredig Fejl af type I og typr II Oversigt over cetrale formler i kapitel Opgaver HYPOTESETESTNING ( NORMALFORDELTE VARIABLE) 7. Idledig Sammeligig af ormalfordelte variable Oversigt over cetrale formler i kapitel Opgaver... 7 ii

5 Idhold 8 REGNEREGLER FOR SANDSYNLIGHED, KOMBINATORIK 8. Regeregler for sadsylighed Betiget sadsylighed Kombiatorik Idledig Multiplikatiospricippet Ordet stikprøveudtagelse Uordet stikprøveudtagelse... 8 Opgaver VIGTIGE DISKRETE FORDELINGER 9. Idledig Hypergeometrisk fordelig Biomialfordelig Poissofordelig Approksimatioer De geeraliserede hypergeometriske fordelig Polyomialfordelig Oversigt over cetrale formler i kapitel Opgaver ANDRE KONTINUERTE FORDELINGER 0. Idledig De rektagulære fordelig Ekspoetialfordelige Weibullfordelige De logaritmiske fordelig De todimesioale ormalfordelig... 3 Opgaver... 4 FLERDIMENSIONAL STATISTISK VARIABEL. Esses Idledig Kovarias og korrelatioskoefficiet Liearkombiatio... Opgaver... 3 STATISTISKE BEREGNINGER UDFØRT PÅ LOMMEREGNER OG PC TI TI-Nspire... 8 Excel... 9 Maple... 3 Mathcad APPENDIX. OVERSIGT OVER APPROKSIMATIONER iii

6 FACITLISTE STIKORD... 4 iv

7 Itroduktio til statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Ved æste alle igeiørmæssige problemer vil de idsamlede data udvise variatio. Måler ma således getage gage idholdet (i %) af et bestemt stof i et levedsmiddel, vil det procetvise idhold ikke blive præcis samme tal for hver gag ma foretager e målig. Dette kue aturligvis være e usikkerhed ved målemetode, me det vil sjældet være de væsetligste årsag. Ved mage idustrielle processer vil e række ukotrollable forhold idvirke på det edelige resultat. Eksempelvis vil udbyttet af e kemisk proces variere fra dag til dag, fordi ma ikke har fuldstædig kotrol over forsøgsbetigelser som temperatur, omrørigstid, tidspukt for tilsætig af råmaterialer, fugtighed osv. Edvidere er forsøgsmaterialere muligvis ikke homogee ok. Råmaterialere ka f.eks. være af varierede kvalitet, der må bruges forskelligt apparatur uder produktiosprocesse, forskelligt persoale deltager i arbejdet osv. Statistik drejer sig om at samle, præsetere og aalysere data med heblik på at foretage beslutiger og løse problemer. I de deskriptive statistik beskrives data ved tabeller, grafisk (lagkagediagrammer, søjlediagrammer) og ved beregig af karakteristiske tal såsom geemsit og spredig. Ma ka eksempelvis i Damarks Statistik (fides på ettet uder adresse ) fide, hvor mage persobiler der er i Damark i 009 opdelt efter alder. Ma keder her populatioe (biler i Damark), ka grafisk vise deres fordelig i et søjlediagram og berege deres geemsitlige alder. I de mere aalyserede statistik (kaldet iferetiel statistik) søger ma ved mere avacerede statistiske metoder ud fra e repræsetativ stikprøve at kokludere oget om hele populatioe. Eksempelvis udtages ved e meigsmålig e forhåbetlig repræsetativ stikprøve på 000 vælgere, som ma spørger om hvilket politisk parti de ville stemme på, hvis der var valg i morge. Ma vil så ud fra stikprøve kokludere, at hvis ma spurgte hele populatioe (alle vælgere i Damark), så ville ma med e vis usikkerhed få samme resultat. Viser stikprøve, at partiet Vestre vil gå.5% tilbage, så vil det samme ske, hvis der var valg i morge. Et sådat tal er aturligvis usikkert. Ma må derfor avede passede statistiske metoder til eksempelvis at berege, at usikkerhede er på %.

8 Deskriptiv statistik. DESKRIPTIV STATISTIK I de deskriptive statistik (eller beskrivede statistik) beskrives de idsamlede data i form af tabeller, søjlediagrammer, lagkagediagrammer, kurver samt ved udregig af cetrale tal som geemsit, typetal, spredig osv. Kurver og diagrammer forstås lettere og mere umiddelbart ed koloer af tal i e tabel. Øjet er uovertruffet til møstergekedelse ( e tegig siger mere ed 000 ord ).. KVALITATIVE DATA Hvis der er e aturlig opdelig af talmaterialet i klasser eller kategorier siges, at ma har kategorisk eller kvalitative data. Alle spørgeskemaudersøgelser, hvor ma eksempelvis bliver bedt om at sætte kryds i ogle rubrikker meget god, god, acceptabel osv. er af dee type. De følgede eksempler viser avedelse af heholdsvis lagkagediagram og søjlediagram Eksempel. Lagkagediagram Nedefor er agivet hvorda e kommues udgifter fordeler sig på de forskellige områder. Udligig 3, øvrige 8,4 Socialområdet,øvrige 9,4 Ældre 8,6 Børepasig 0,4 Bibliotek,9 fritid 3,8 Skoler 0,5 Admiistratio 7,3 Tekik,alæg 6,6 Da et lagkagediagram til askueliggørelse heraf. Løsig: Data opskrives i Excel og der gives følgede ordrer 003: Marker udskriftsområde Vælg på værktøjsliie Guide diagram Cirkel Marker øsket figur Næste - Nav på kategori Udfør 007: Marker udskriftsområde Vælg på værktøjsliie Idsæt Cirkel Marker øsket figur og Øskes tekst placeret som på figur 00 Cursor på figur Formater dataetiketter Vælg kategoriav og udefor. TI-Nspire:Vælg tilføj lister og regeark skriv listes av x i avecalle og skriv data opret tilsvarede de ade liste Vælg diagrammer og statistik midt på de lodrette akse på figur vælg x diagramtyper cirkeldiagram Admiistr. Tekik Udgifter udligig Skoler Fritid kultur Æ Øvrige socialområdetøvrige Børepasig Ældre

9 . Kvalitative data Eksempel. (kvalitative data) Følgede tabel agiver madattallet ved to folketigsvalg. Partier A B C F K O V Ø Madater A = Socialdemokratere, B =Radikale vestre, C = Koservative folkeparti, F =Socialistisk folkeparti, K = Kristedemokratere, O = Dask Folkeparti, V = Vestre, Ø = Ehedsliste Askueliggør disse madattal ved i Excel at tege et søjlediagram Løsig: Et søjlediagram fås i Excel ved at opskrive A B C F K O V Ø : Vælg på værktøjsliie Guide diagram Søjle Marker øsket figur Næste marker udskriftsområde Næste Næste Udfør : Som i eksempel. blot vælges Søjle TI-Nspire: Som i eksempel. blot vælges Søjlediagram Serie Serie A B C F K O V Ø Fordele ved e grafisk fremstillig er, at de væsetligste egeskaber ved data opås hurtigt og sikkert. Me etop det, at figurer appellerer umiddelbart til os, gør at vi ka komme til at lægge mere i dem, ed det som tallee egetlig ka bære. Eksempelvis viser forsøg, at i lagkagediagrammer, hvor ma skal sammelige vikler (eller arealer), da vil dee sammeligig afhæge oget af i hvilke retig vikles be peger. Nedeståede eksempel viser hvorda e figur ka være misvisede ude direkte at være forkert. 3

10 Deskriptiv statistik Eksempel.3. Misvisede figur Tødere i figure edefor skal illustrere hvorda osteeksporte fordeler sig på de forskellige verdesdele. De giver imidlertid et helt forkert idtryk. Det er højdere på tødere der agiver de korrekte forhold, me af tegige vil ma tro, at det er rumfagee af tødere. De 3 små tøder ka umiddelbart være flere gage idei de store tøde, me det svarer jo ikke til talforholdee. De mest almidelige figurer til at give et visuelt overblik over større talmaterialer er histogrammer (søjlediagrammer) og kurver i et koordiatsystem... KVANTITATIVE DATA (VARIABLE) Kvatitative data er data, hvor registrerige i sig selv er tal, der agiver e bestemt rækkefølge, f. eks. som i eksempel.4 hvor data registreres efter det tidspukt hvor registrerige foregår eller som i eksempel.5, hvor det er størrelse af registrerede værdi der er af iteresse. Eksempel.4. Kvatitativ variabel: tid Fra statistikbake (adresse er hetet følgede data id i Excel, der beskriver hvorledes idvadriger og udvadriger er sket geem tide. Excel: Vælg Befolkig og valg Id- og udvadrig Id- og udvadrig på måed uder bevægelse vælges alle og uder måed vælges år og derefter alle Tryk på tabel Drej tabel med uret Gem som Excel fil Idvadriger og udvadriger efter tid og bevægelse Idvadrede Udvadrede

11 . Kvatitative data Giv e grafisk beskrivelse af disse data. Løsig: Da dataee er registreret efter tid (år) (de kvatitative variabel tid ) teges to kurver i samme koordiatsystem: 003: Marker udskriftsområde Vælg på værktøjsliie Guide diagram Kurve Marker øsket figur Næste Næste Næste Udfør : Marker udskriftsområde Vælg på værktøjsliie Idsæt Streg Marker øsket figur Der er foretaget ekelte adre justeriger ide følgede figur fremkom Idvadrede Udvadrede Eksempel.5. Kvatitativ variabel, størrelse af britiokocetratioe ph I meeskers led udskiller de iderste hide e "ledvæske" som "smører" leddet. For visse ledsygdomme ka britiokocetratioe (ph) i dee væske tækes at have betydig. Som led i e ordisk medicisk udersøgelse af e bestemt ledsygdom udtog ma bladt samtlige patieter der led af dee sygdom e repræsetativ stikprøve ved simpel udvælgelse 75 patieter og målte ph i ledvæske i kæet. Resultatere (som ka fides som excel-fil på adresse ) var følgede: Giv e grafisk beskrivelse af disse data. Løsig: I dette tilfælde, hvor vi er iteresseret i at få et overblik over tallees idbyrdes størrelse er det fordelagtigt at tege et histogram. Et histogram liger et søjlediagram, me her gælder, at atallet af eheder i hver søjle repræseteres ved søjles areal (histo er græsk for areal). Ma bør så vidt muligt sørge for at gruppere er lige brede, da atallet af eheder så svarer til højde af søjle. Excel ka umiddelbart tege er histogram, me af hesy til det følgede forklares hvorda ma bestemmer itervalopdelig m.m. Først fides det største tal x max og det midste tal x mi i materialet og derefter berege variatiosbredde x max - x mi. Vi ser, at største tal er 7.7 og midste tal er 6.95 og variatiosbredde derfor =

12 Deskriptiv statistik Deræst deles tallee op i et passede atal itervaller (klasser). Som det første bud vælges ofte et atal ær. Da vælges ca. 9 klasser. Da deler vi op i de klasser, der 9 ses af tabelle. Dette giver 0 itervaller. Vi tæller op hvor mage tal der ligger i hvert iterval (gøres emmest ved at starte forfra og sæt e streg i det iterval som tallet tilhører). Klasser Atal ] ] // ] ] ///// 5 ] ] //////// 8 ] ] ///////////////// 7 ] ] ////////////////// 8 ] ] //////////////// 6 ] ] //// 4 ] ] /// 3 ] ] / ] ] / Allerede her ka ma se, at atallet er størst omkrig 7.30, og så falder hyppighede ogelude symmetrisk til begge sider. I Excel sker det på følgede måde: Data idtastes i eksempelvis søjle A til A75 ( data fides på adresse ) 003: Vælg Fuktioer Dataaalyse Histogram : Vælg Data Dataaalyse Histogram I de fremkome tabel udfyldes iputområdet med A:A75 og ma vælger diagramoutput.. ) Trykkes på OK fås e tabel med hyppigheder, og e figur, hvor itervalgræsere er fastlagt af Excel. ) Øsker ma selv at bestemme græsere, skal ma også udfylde itervalområdet. Dette gøres ved at skrive de øvre græser i e søjle (f.eks. i B 6.94, i B 7.0 osv. til B0: 7.66) og så skrive B:B0 i iputområdet Da et histogram har søjlere samlet, foretages følgede: cursor på e søjle tryk højre musetast formater dataserie idstillig mellemrumsbredde = 0 ok TI-Nspire:Ma ka ikke lægge exceldata id, så ma må selv skrive data id. Vælg tilføj lister og regeark skriv listes av x i avecelle og skriv data opret tilsvarede de ade liste med av y på de lodrette akse diagramtyper histogram I tilfælde fremkommer så følgede udskrift og tegig (efter at have valgt udskrift med decimaler): Iterval Hyppighed 6,95 7,05 7,4 7 7,4 7 7,33 7,43 8 7,5 6 7,6 Mere Hyppighed 6,95 7,045 7,4 7,35 7,33 7,45 7,5 7,65 Mere Hyppighed 6

13 .3 Karakteristiske tal I tilfælde følgede Iterval Hyppighed 6,94 0 7,0 7, 5 7,8 8 7,6 7 7,34 8 7,4 6 7,5 4 7,58 3 7,66 Mere Hyppighed 6,94 7,0 7, 7,8 7,6 7,34 7,4 7,5 7,58 7,66 Mere Hyppighed Histogrammet er et "klokkeformet histogram", hvor der er flest tal fra 7.9 til 7.4, og derefter falder atallet til begge sider. Ma reger ormalt med, at resultatere af forsøg, hvor ma har foretaget måliger (hvis ma lavede ok af dem) har et sådat klokkeformet histogram og siger, at resultatere er ormalfordelt (beskrives ærmere i æste kapitel).3 KARAKTERISTISKE TAL Skal ma sammelige to talmaterialer, eksempelvis sammelige de 75 ph-værdier i eksempel.4 med 00 dårlige kæ fra Tysklad, har det ige meig at sammelige hyppighedere Ma må i sådae tilfælde agive ogle tal, som gør det muligt at foretage e sammeligig. Dette kue bladt adet ske ved at ma udregede de relative hyppigheder.3. Relativ hyppighed Ved de relative hyppighed forstås hyppighede divideret med det totale atal. I eksempel.5 er de relative hyppighed for ph - værdier i itervallet ] ]: 7 = =. 57% 75 Ma kue sige, at sadsylighede er.57% for at ph ligger i dette iterval. 7

14 Deskriptiv statistik.3. Middelværdi og spredig. Middelværdi, geemsit. Kedes hele populatioe (målt højde på alle daske mæd) ka bereges e korrekt midterværdi kaldet middelværdi µ (græsk my) Ud fra stikprøve vil e tilærmet værdi (kaldet et estimat) for µ være geemsittet x (kaldt x streg). x + x x Kaldes observatioere i e stikprøve x, x,..., x er x = Eksempel.6: Geemsit Fid geemsittet af tallee 6, 7, 7, 3, 5, 3 6 Løsig: x = = TI 89: Catalog mea ({6, 7, 7, 3, 5, 3}) TI-Nspire: Skriv. mea ({6, 7, 7, 3, 5, 3}) Excel: Tast tallee i e koloe eksempelvis A til A6 Vælg på værktøjsliie fx Middel( A..A6) Spredigsmål Egetlige målefejl, såsom at ogle af observatioere ikke bliver korrekt registreret, uklarheder i spørgeskemaet osv. skal aturligvis fjeres. Derudover er der de aturlige variatio som også kue kaldes re støj (pure error), som skyldes, at ma ikke ka forvete, at to persoer der på alle områder er stillet fuldstædigt es også vil svare es på et spørgsmål. Tilsvarede hvis ma måler udbyttet ved e kemisk proces, så vil udfaldet af to forsøg ikke være es, da der altid er e række ukotrollable støjkilder (ureheder i råmaterialer, lidt forskel på persoer og apparatur osv.) Dee aturlige variatio skal aturligvis iddrages i de statistiske behadlig af problemet, og dertil spiller et mål for, hvor meget tallee spreder sig aturligvis e væsetlig rolle.. Spredig (egelsk: stadard deviatio) Hvis spredige baserer sig på hele populatioe beæves de σ (sigma). Baserer spredige sig ku på e stikprøve beæves de s. Ma siger, at s er et estimat (skø) for σ. s bereges af formle s = ( xi x ) i= hvor observatioere i e stikprøve er x, x,..., x Kvadratsumme ( x x) beæves kort SAK (Summe af Afvigelseres Kvadrater) eller SS (Sum of Squares) i= i Ved variase for e stikprøve forstås s. 8

15 .3 Karakteristiske tal Eksempel.7: Spredig Fid varias og spredig af tallee 6, 7, 7, 3, 5, 3 Løsig: I eksempel.6 fides geemsittet x = 8. 5 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Variase s = 6 Spredige s = 8. 7 = TI 89: Catalog Variace ({6, 7, 7, 3, 5, 3}), Catalog stddev ({6, 7, 7, 3, 5, 3}) TI-Nspire: Beregiger Statistik Listematematik Stikprøvevarias udfyld liste som TI89 Samme. u blot vælge Stadardafvigelse for stikprøve Excel: Tast tallee i e koloe eksempelvis A til A6, (alle) vælg fx Varias( A..A6) vælg fx STDDEV( A..A6) = 8. 7 Askuelig forklarig på formle for s. At formle for s skulle være særlig veleget til at agive, hvor meget resultatere spreder sig (hvor mege støj der er ) er ikke umiddelbart idlysede. I det følgede gives e askuelig forklarig. Lad os betragte forsøgsvariable X og Y, hvorpå der for hver er udført e stikprøve på 4 forsøg. Resultatere var: X: 35.9, 33.3, 34.7, 34. med geemsittet x = 34.5, og Y: 34.3, 34.6, 34.7, 34.4 med geemsittet y = De to forsøgsvariable har samme geemsit, me det er klart, at Y-resultatere grupperer sig meget tættere om geemsittet ed X-resultatere, dvs. Y-stikprøve har midre spredig (der er midre støj på Y - forsøget) ed X- stikprøve. For at få et mål for stikprøves spredig bereges resultateres afvigelser fra geemsittet. xi x yi y = = = = = = = = -0. Summe af disse afvigelser er aturligvis altid 0 og ka derfor ikke bruges som et mål for stikprøves spredig. I stedet betragtes summe af kvadratere på afvigelsere (forkortet SS: Sum of Squares eller SAK: Sum af afvigelseres Kvadrat). SAK = ( x x) = 4. + (. ) ( 0. 4) = 360. x i= i SAK = ( y y) = ( 0. ) ( 0. ) = 00. y i= i Da et mål for variase ikke må være afhægig af atallet af forsøg, divideres med -. Umiddelbart ville det være mere rimeligt at dividere med. Imidlertid ka det vises, at i middel bliver et skø for variase for lille, hvis ma dividerer med, mes de rammer præcist, hvis ma dividerer med -. Det ka forklares ved, at tallee x i har e tedes til at ligge tættere ved deres geemsit x ed ved middelværdie µ. 9

16 Deskriptiv statistik s = x. og 4 = 0.. s y = = s 4 x =. = 095. s y = = 083. Som vi forudså, er stikprøves spredig betydelig større for X-resultatere ed for Y-resultatere. Frihedsgrader. Ma siger, at stikprøves varias er baseret på f = - frihedsgrader. Navet skyldes, at ku - af de led ka vælges frit, idet summe af de led er ul. Eksempel- vis ser vi af oveståede eksempel, at der er 3 frihedsgrader, da kedskab til de første 3 led på.4, -. og 0. er ok til at bestemme det fjerde led, da summe er ul. x x i Vurderig af størrelse af stikprøves spredig. Ma ka vise, at for tæthedsfuktioer med ku et maksimumspukt gælder, at mellem x s og x + s ligger ca. 89% af resultatere, og mellem x 3 s og x + 3 s ligger ca. 95% af resultatere. For såkaldte ormalfordelte resultater, er de tilsvarede tal ca. 95% og 99.7 %.3.3 Media og kvartilafstad. Media. Mediae bereges på følgede måde: ) Observatioere ordes i rækkefølge efter størrelse. a) Ved et ulige atal observatioer er mediae det midterste tal b) Ved et lige atal er mediae geemsittet af de to midterste tal. Eksempel.8: Media Fid mediae af tallee 6, 7, 7, 3, 5, 3. Løsig: Ordet i rækkefølge: 3, 5, 6, 7 3, 7. Media 6,5 TI 89: Catalog media ({ 6, 7, 7, 3, 5, }). TI-Nspire: Beregiger skriv media ({ 6, 7, 7, 3, 5, }) Excel (alle): Tast tallee i e koloe eksempelvis A til A6 Vælg fx Media( A..A6) Mediae kaldes også for 50% fraktile, fordi de brøkdel (fraktil) der ligger uder mediae er ca. 50%. Er media og geemsit ogelude lige store fordeler tallee sig ogelude symmetrisk omkrig middelværdie. Er mediae midre ed geemsittet er der muligvis tale om e højreskæv fordelig som har de lage hale til højre.(se figure) Er mediae større ed geemsittet, er der muligvis tale om e vestreskæv fordelig At ma eksempelvis i løstatistikker agives mediae og ikke geemsittet fremgår af følgede lille eksempel. Lad os atage at e virksomhed har 0 asatte, med måedsløiger ordet efter størrelse på 0000, 000, 000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, Geemsittet er her 3600, mes mediae er jævfør statistisk årbog 005 tabel 44 eller se Og vælg lø\løstatistik for de statslige sektor\lø3\klik for at vælge\alle værdier\hovedgrupper\ledelse på højt iveau+kotorarbejde 0

17 .3 Karakteristiske tal Mediae ædrer sig ikke selv om de højeste lø vokser fra til millio, mes geemsittet aturligvis vokser. Mediae giver derfor e mere rimelig beskrivelse af middelløe i firmaet. Kvartilafstad. Hvis fordelige ikke er rimelig symmetrisk, er mediae det bedste skø for e midterværdi, og kvartilafstade ka være et mål for spredige. I de tidligere omtalte løstatistik fides bl.a. følgede tal, idet de to sidste koloer er vor bearbejdig af tallee. r geemsit x edre kvartil k Ledelse på højt iveau Lø pr. præsteret time media m øvre kvartil k Kotorarbejde x m k3 k m x Af koloe ses, at for begge rækker er geemsittet større ed mediae dvs. begge forde- m liger er højreskæv, me det gælder mest for række r.. Her gælder åbebart, at ogle få forholdsvis høje løiger trækker geemsittet op. Skal ma sammelige løspredige i de to tilfælde, må ma tage hesy til, at mediae er meget forskellig. Ma vil derfor som der er sket i sidste koloe berege de relative kvartilafstad. De viser også, at løspredige er væsetlig midre for række ed for række. Eksempel.9 Kvartil Fid kvartiler og media af de tal 7, 9,, 3, 6,, 5, 8,, 8,, 0 Løsig: TI89:APPS Stat/List Idtast tal i e liste F4 -Var Stats Agiv listes av Eter Bladt mage tal fås kvartil 7.5 og 3 kvartil 5.5 TI-Nspire: Lister og regeark giv e liste et av og idtal tal i liste vælg statistik statistiske beregiger statistik med variabel udfyld meuer Eter. Bladt mage tal fides kvartilere Excel (alle): Data idtastes i eksempelvis søjle A til A På værktøjsliie forove: Tryk på f x = På rullemeu vælges Kvartil (evt. først vælg kategorie statistik ) Der fremkommer e tabel med avisig på, hvorda de skal udfyldes Resultat :. kvartil kvartil 5.5 Ligesom ma på TI 89 /TI-Nspire ka få mage karakteristiske tal på e gag har Excel e tilsvarede meu. Excel: 003: Fuktioer Dataaalyse Beskrivede statistik udfyld iputområde Resumestatistik 007: Data Dataaalyse Beskrivede statistik udfyld iputområde Resumestatistik jævfør statistisk årbog 005 tabel 44 eller se uder lø\løstatistik for de offetlige sektor \lø 3

18 Deskriptiv statistik OPGAVER Opgave.. I er følgede oplysiger for året 003 hetet id i Excel. Udslip til luft af drivhusgasser efter ehed, type, kilde og tid 003 Mia. C0-ækvivaleter I alt Eergisektore 3 Idustri og produktio 8 Trasport 3 Affaldsbehadlig Ladbrug 0 Adet 9 a) Het selv disse data id i Excel, og opstil et lagkagediagram til belysig af tallee. b) Fid de tilsvarede tal for 996, og vælg e passede grafisk fremstillig til sammeligig af tallee fra 996 og 003. c) Bereg i Excel for åree 990 til 003 eergisektores udslip i forhold til det samlede udslip af drivhusgasser (i %), og teg dette grafisk. Opgave. Følgede tabel agiver for et udvalgt atal lade oplysig om middellevetid for befolkige og idbyggeratal. Lad Middellevetid Idbyggertal i millioer Australie Caada Damark 77,5 5.5 Frakrig Marokko Pole Sri Laka USA ) Idskriv oveståede tabel i Excel, hvor ladee er opskrevet alfabetisk. Beyt Excel til ) at orde ladee efter middellevetid (lægst levetid først), og afbild dem grafisk. ) teg i et koordiatsystem to kurver, som agiver såvel ladees størrelse som middellevetid Opgave.3 I fides ogle oplysiger om Damarks forbrug af eergi efter type og mægde. ) Het produktio af aturgas og råolie id målt i tos for de sidste år (i måeder) id i Excel ) Teg i Excel i samme koordiatsystem to kurver for heholdsvis produktioe af aturgas og råolie.

19 Opgaver til kapitel Opgave.4 Færdselspolitiet overvejede, om der burde idføres e fartgræse på 70 km/h på e bestemt ladevejsstrækig, hvor der hidtil havde været e fartgræse på 80 km/h. Som et led i aalyse af hesigtmæssighede af de overvejede ædrig observeredes ide for et bestemt tidsrum ved hjælp af radarkotrol de forbipasserede bilers fart. Resultatet af måligere (som ka fides som excel-fil på adresse ) var: 50 observatioer ) Foretag e vurderig af, om fordelige er ogelude symmetrisk (ormalfordelt) ved a) at tege et histogram b) at berege karakteristiske værdier ) Agiv hvor stor e procet af bilistere, der approksimativt overstiger hastighedsgræse på 80 km/h. (Vik: Vælg formler, statistisk, Tæl hvis). Opgave.5 Til fabrikatio af herreskjorter beyttes et råmateriale, som ideholder e vis procetdel uld. For ærmere at udersøge uldprocete, måles dee i 64 tilfældigt udvalgte batch. Resultatet (som ka fides som excel-fil på adresse ) var (i %): ) Foretag e vurderig af, om fordelige er ogelude symmetrisk (ormalfordelt) ved a) at tege et histogram b) at berege karakteristiske værdier Der er i datamaterialet e såkaldte outliers (e mulig fejlmålig). E såda ka ødelægge ehver aalyse. Det er i dette tilfælde tilladeligt at fjere de, da vi går ud fra det er e fejlmålig. ) Bereg stikprøves relative kvartilafstad

20 Deskriptiv statistik Opgave.6 De følgede tabel (som ka fides som excel-fil på adresse ) viser vægtee (i kg) af 80 kaier , ) Foretag e vurderig af, om fordelige er ogelude symmetrisk (ormalfordelt) ved a) at tege et histogram b) at berege karakteristiske værdier ) Agiv hvor stor e procet af kaiere, der approksimativt overstiger e vægt på 3 kg (Vik: (Vik: Vælg formler, statistisk, Tæl, Hvis) Opgave.7 I statistikbake fider ma uder puktet Uddaelse og kultur, Fuldførte kompetacegivede uddaelser ved bacheloruddaelsere e statistik over atal elever i Maskitekik og Desig og Iovatio i 008 fordelt efter alder fra 0 til 36 år for hele ladet. ) Idsæt data i Excel for de to uddaelser. ) Lav et søjlediagram over aldersfordelige for de to uddaelser 3) Bereg på basis af oveævte tal de geemsitlige alder af de studerede for de to uddaelser i. Opgave.8 I statistikbake fid uder Lø,fortjeeste for privatasatte efteruddaelse osv., Højere uddaelse, Tekisk, ledere i 008 Geemsit, media, øvre og edre kvartil for såvel mæd som kvider ) Overfør data til Excel på ege harddisk ) Agiv om de to fordeliger er symmetrisk, højre eller vestreskæv 3) Er der forskel på løspredige for mæd og kvider (Vik: Bereg de relative kvartilafstad) 4

21 3 STOKASTISK VARIABEL 3. Sadsylighed 3. SANDSYNLIGHED Statistik bygger på sadsylighedsteorie, som giver metoder til at fide, hvor stor chace (sadsylighede) er for at et bestemt resultat af et eksperimet forekommer. DEFINITION af tilfældigt eksperimet. Et eksperimet som ka resultere i forskellige udfald, selv om eksperimetet getages på samme måde hver gag, kaldes et tilfældigt eksperimet (egelsk : radom experimet). Det er karakteristisk for tilfældige eksperimeter, at ma ka afgræse e mægde kaldet eksperimetets udfaldsrum U, der ideholder de mulige udfald. Derimod ka ma ikke forudsige, hvilket udfald der vil idtræffe ved udførelse af eksperimetet. Består eksperimetet eksempelvis i kast med e terig er udfaldsrummet U = {,, 3, 4,5, 6}, me ma ka ikke forudsige udfaldet af æste kast (eksperimet). Selv om ma 4 gage i træk har fået udfaldet øjetal ", ka ma ikke forudsige, hvilket udfald der idtræffer æste gag. Resultatet af 5. kast afhæger ikke af resultatere af de foregåede 4 spil. Ma siger, at eksperimetere er "statistisk uafhægige" (e præcis defiitio ses i kapitel 9). Som eksempler på tilfældige eksperimeter ka æves: a) Ét kast med e møt. Udfaldsrum U = Plat, Kroe. { } b) Fremstillig af et parti levedsmiddel og målig af det procetvise idhold af protei. U = mægde af reelle tal fra 0 til 00. c) Udtage e stikprøve på 400 elektroiske kompoeter af e dagsproduktio og optællig af 0,,, 3, 4, 5,..., 400 atallet af defekte kompoeter. U = { } d) Udtagig af et tilfældigt TV-apparat fra e dagsproduktio af TV-apparater og optællig af atallet af loddefejl. U = mægde af positive hele tal. E hædelse er e delmægde af et eksperimets udfaldsrum. Eksempelvis er A: At få et lige øjetal e hædelse ved kast med e terig. Hædelse A siges at idtræffe, hvis et udfald fra A forekommer. Sadsylighedsbegrebet tager udgagspukt i det i kapitel omtalte begreb relativ hyppighed. DEFINITION af relativ hyppighed for hædelse A. Getages et eksperimet gage, og forekommer hædelse A etop A gage af de gage, er A s relative hyppighed h( A) = A 5

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Grundlæggende Lederuddannelse

Grundlæggende Lederuddannelse Grudlæggede Lederuddaelse Grudlæggede Lederuddaelse God ledelse er vigtig for både dig og di virksomhed. Det er vigtigt for di ege persolige udviklig, for die medarbejderes motivatio og dermed i sidste

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

ANVENDT STATISTIK (med anvendelse af Excel)

ANVENDT STATISTIK (med anvendelse af Excel) MOGENS ODDERSHEDE LARSEN ANVENDT STATISTIK (med anvendelse af Excel) Hyppighed 0 18 16 14 1 10 8 6 4 0 6,94 7,0 7,1 7,18 7,6 7,34 7,4 7,5 7,58 7,66 Mere Hyppighed. udgave 008 FORORD Notatet er bygget op

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso Udgå tab med effektiv debitorstyrig og ikasso 6. maj 2009 tekologisk istitut TAASTRUP Bliv opdateret på de yeste regler hvad betyder de for di virksomhed? Har du styr på virksomhedes tilgodehaveder? Etablerig

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO Rapport fra Videskoferece på Christiasborg 22. jauar 2013 1 Bradbekæmpelse og kræftrisiko bygger på idlæg og diskussioer på koferece, afholdt på Christiasborg 22. jauar 2013.

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()

Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices

Læs mere

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy Nuace ecopy ShareSca Dokumetbehadlig i de digitale verde Documet capture & distributio Nuace ecopy Nuace ecopy, documet capture & distributio Itegratio af papirdokumeter i digitale arbejdsgage Med Nuace

Læs mere

MAG SYSTEM. Gulvrengøring

MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK MAG SYSTEM Gulvregørig Mag system Kocept E fremfører for alt. Det er helt yt: Ved Mag-systemet passer e fremfører til alle moptyper. Således ka de optimale arbejdsbredde, tekstilkvalitet og regørigsmetode

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer Program 08:30 Idtjekig med kaffe, te og morgebrød 09:00 Idledig ved dirigete Peter Høygaard, parter Devoteam Cosultig A/S 09.10 It-orgaisatioes udfordriger 2009 få mere for midre og spar de rigtige steder

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

Nye veje til den gode forflytning

Nye veje til den gode forflytning TEMA Ergoomi Nye veje til de gode forflytig Nye veje til de gode forflytig Brachearbejdsmiljørådet Social & Sudhed Nye veje til de gode forflytig Idhold Nye veje til de gode forflytig side 3 Lies første

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Professionel IT-forundersøgelse og MUST-metoden. Jesper Simonsen

Professionel IT-forundersøgelse og MUST-metoden. Jesper Simonsen Professioel IT-forudersøgelse og MUST-metode Jesper Simose simose@ruc.dk www.ruc.dk/~simose Datalogi, hus 42.1 Roskilde Uiversitetsceter Uiversitetsvej 1 4000 Roskilde Telefo: 4674 2000 www.dat.ruc.dk

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede? Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.

Schweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm. Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske

Læs mere

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen Jui 2013 Resumé Cityrige Udredig af metro til via Sydhave Metroselskabet Trasportmiisteriet Købehavs Kommue Frederiksberg Kommue Tekst Metroselskabet I/S Metrovej 5 2300 Købehav S Telefo +45 3311 1700

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen

Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Bilag til Statistik i løb : Statistik og Microsoft Excel tastevejledning / af Lars Bo Kristensen Microsoft Excel har en del standard anvendelsesmuligheder i forhold til den beskrivende statistik og statistisk

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab

Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Indblik i statistik - for samfundsvidenskab Læs mere om nye titler fra Academica på www.academica.dk Nikolaj Malchow-Møller og Allan H. Würtz Indblik i statistik for samfundsvidenskab Academica Indblik

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

Vejledning til brug ved ansøgning om patent

Vejledning til brug ved ansøgning om patent Vejledig til brug ved asøgig om patet Idhold: Hvad ka pateteres hvorår og hvorda? 1 Såda søger De patet i Damark 3 Et praktisk eksempel 5 Hvorda behadles asøgige? 12 Patetbeskyttelse i flere lade 14 Biblioteks-liste

Læs mere

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De 50+ sygdomme Nyhedsmagasi om forebyggelse og behadlig magasiet Overaktiv blære er e tabubelagt sygdom Side 8 Geidlæggelser for dehydrerig Regio Hovedstade 26,2% Nyt middel mod forhøjet blodtryk Omkrig

Læs mere

Helende miljø en udfordring for patientsikkkerhed? Workshop Patientsikkerhed og syge børn fredag den 15. oktober 2010

Helende miljø en udfordring for patientsikkkerhed? Workshop Patientsikkerhed og syge børn fredag den 15. oktober 2010 Helede miljø e udfordrig for patietsikkkerhed? Workshop Patietsikkerhed og syge bør fredag de 15. oktober 2010 Elisabeth Brøgger Jese mag.art. kultursociolog elisabeth.broegger.jese@regioh.dk. Pricipper

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svestrup Tilstede: Hae Veggerby, formad( Hveg), Ae sofie Gothe, æstformad (Asgr), Mette Nødskov sekretær ( Met),

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller

Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Sandsynlighed i binomialfordelingen 3 Normalfordelingen 4 Modelkontrol

Læs mere

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler?

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler? Ti dig, der er ærerstuderede Keder du VIA CFU Ceter for Udervisigsmider? - for dig og di udervisig VIA CFU - tæt på di og skoes praksis Når det kommer ti æremider, er VIA Ceter for Udervisigsmider eer

Læs mere

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer Pcouter effektiv styrig af omkostigere Pcouter-programmer Pcouter, Itro De cetrale udskrivigsstrategi Pcouter er software til registrerig og kotostyrig af prit, og som sætter virksomheder i stad til at

Læs mere

Brændstof. til krop og hjerne

Brændstof. til krop og hjerne Brædstof til krop og hjere Idhold 3 6 8 10 11 12 14 15 17 22 24 26 27 28 29 30 Kaloriebomber og eergibudter Døget rudt skal di krop og hjere bruge eergi Morgemad Med morgemad er du sikker på, det går godt

Læs mere

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag

SPAM-mails. ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010. Køber varer via spam-mails. Læser spam-mails. Modtager over 40 spam-mails pr. dag. Modtager spam hver dag SPAM-mails Køber varer via spam-mails Læser spam-mails Modtager over 40 spam-mails pr. dag Modtager spam hver dag 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ERFA & Søren Noah s A4-Ark 2010 Datapræsentation: lav flotte

Læs mere

Softwaretest når det er bedst 2009

Softwaretest når det er bedst 2009 Tekologisk Istitut i samarbejde med softwaretest.dk Softwaretest år det er bedst 2009 8. o g 9. J U N I 2 0 0 9 T e k o l o g i s k I s t i t u t T a a s t r u p Succes med itegrerig af test i SCRUM og

Læs mere

Fra viden til handling. Få flere unge, især med anden etnisk baggrund end dansk, til at begynde på og gennemføre en erhvervsfaglig uddannelse

Fra viden til handling. Få flere unge, især med anden etnisk baggrund end dansk, til at begynde på og gennemføre en erhvervsfaglig uddannelse 2013 Fra vide til hadlig Få flere uge, især med ade etisk baggrud ed dask, til at begyde på og geemføre e erhvervsfaglig uddaelse Tekst/forfatter LG Isight Udgivet af Fastholdelseskaravae/- Miisteriet

Læs mere

Affaldshåndbog. Batteriindsamling. Genbrugsstationer. Storskrald. Konkurrence

Affaldshåndbog. Batteriindsamling. Genbrugsstationer. Storskrald. Konkurrence Affaldshådbog 2008 Batteriidsamlig Gebrugsstatioer Storskrald Kokurrece Idhold Hilse fra direktøre 3 Nyheder i 2008 4 Geerelt 5 Hjælp di skraldemad 5 ORDNINGER Restaffald 6 Papiridsamlig 8 Batterier på

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics

Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin

Læs mere