STATISTISKE GRUNDBEGREBER

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "STATISTISKE GRUNDBEGREBER"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0

2

3 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske grudbegreber til brug ved e idledede udervisig i statistik. De væsetligste defiitioer og sætiger forklares derfor fortrisvist ved hjælp af figurer og geemregede praktiske eksempler. Øskes e mere matematisk uddybede forklarig, bevis for sætiger osv. ka dette ofte fides i et særskilt tillæg til boge, som fides på ettet uder title Supplemet til statistiske grudbegreber. Læsig: Boge er bygget således op, at der hurtigt ås frem til ormalfordelige og de vigtige ormalfordeligstest. Disse vigtige begreber ka derfor blive grudigt idarbejdet, selv om der ku er kort tid til rådighed. Er det af tidsmæssige grude svært at å hele otatet ka ma ude skade for helhede oversprige kapitlere 0 og, ligesom ma evetuelt ka tage kapitlere og 9 mere oversigtsagtigt. Sidst i hver kapitel fides e række opgaver, der yderligere ka fremme forståelse. Bagerst i boge fides e facitliste til alle opgavere. I et lægere kursusforløb er dee bog tækt at skulle efterfølges af M. Oddershede Larse: Videregåede Statistik, som ka hetes gratis på adresse Regemidler. Det er hesigtsmæssigt, at ma har adgag til e lommereger eller e PC med de sædvalige fordeliger idbygget. I eksemplere agives således, hvorledes beregigere ka foretages med de i øjeblikket mest populære lommereger TI-89, det tilsvarede PC-program TI-Nspire samt med det meget udbredte regeark Excel. Edvidere er der i et afsit sidst i boge også kort agivet hvorledes beregigere ka udføres med matematikprogrammere Maple og Mathcad. I 8- udgave fides tabeller over de sædvalige statistiske fuktioer, samt forklaret hvorda tabellere avedes Dee udgave, samt 8 udgave ka samme med e række adre oter fides på adresse: Jeg vil gere takke igeiørdocet L. Brødum og J. D. Morad for de mage gode råd geem åree. E særlig tak til lektor Bjare Hellese, som dels har skrevet afsit, dels er kommet med mage værdifulde kommetarer og bidrag til forbedriger. jauar 03 Moges Oddershede Larse i

4 INDHOLD INTRODUKTION TIL STATISTIK... DESKRIPTIV STATISTIK. Kvalitative data.... Kvatitative data Karakteristiske tal... 7 Opgaver... 3 STOKASTISK VARIABEL 3. Sadsylighed Stokastisk variabel Tæthedsfuktio, middelværdi og spredig for kotiuert stokastisk variabel Liearkombiatio af stokastiske variable... 4 NORMALFORDELINGEN 4. Idledig Defiitio og sætiger om ormalfordelig Beregig af sadsyligheder... 7 Opgaver KONFIDENSINTERVAL FOR NORMALFORDELT VARIABEL 5. Udtagig af stikprøver Fordelig og spredig af geemsit Kofidesiterval for middelværdi Defiitio af kofidesiterval Populatioes spredig kedt eksakt Populatioes spredig ikke kedt eksakt Kofidesiterval for spredig Oversigt over cetrale formler i kapitel Opgaver HYPOTESETESTNING ( NORMALFORDELT VARIABEL) 6. Grudlæggede begreber Hypotesetest med ukedt middelværdi og spredig Fejl af type I og typr II Oversigt over cetrale formler i kapitel Opgaver HYPOTESETESTNING ( NORMALFORDELTE VARIABLE) 7. Idledig Sammeligig af ormalfordelte variable Oversigt over cetrale formler i kapitel Opgaver... 7 ii

5 Idhold 8 REGNEREGLER FOR SANDSYNLIGHED, KOMBINATORIK 8. Regeregler for sadsylighed Betiget sadsylighed Kombiatorik Idledig Multiplikatiospricippet Ordet stikprøveudtagelse Uordet stikprøveudtagelse... 8 Opgaver VIGTIGE DISKRETE FORDELINGER 9. Idledig Hypergeometrisk fordelig Biomialfordelig Poissofordelig Approksimatioer De geeraliserede hypergeometriske fordelig Polyomialfordelig Oversigt over cetrale formler i kapitel Opgaver ANDRE KONTINUERTE FORDELINGER 0. Idledig De rektagulære fordelig Ekspoetialfordelige Weibullfordelige De logaritmiske fordelig De todimesioale ormalfordelig... 3 Opgaver... 4 FLERDIMENSIONAL STATISTISK VARIABEL. Esses Idledig Kovarias og korrelatioskoefficiet Liearkombiatio... Opgaver... 3 STATISTISKE BEREGNINGER UDFØRT PÅ LOMMEREGNER OG PC TI TI-Nspire... 8 Excel... 9 Maple... 3 Mathcad APPENDIX. OVERSIGT OVER APPROKSIMATIONER iii

6 FACITLISTE STIKORD... 4 iv

7 Itroduktio til statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Ved æste alle igeiørmæssige problemer vil de idsamlede data udvise variatio. Måler ma således getage gage idholdet (i %) af et bestemt stof i et levedsmiddel, vil det procetvise idhold ikke blive præcis samme tal for hver gag ma foretager e målig. Dette kue aturligvis være e usikkerhed ved målemetode, me det vil sjældet være de væsetligste årsag. Ved mage idustrielle processer vil e række ukotrollable forhold idvirke på det edelige resultat. Eksempelvis vil udbyttet af e kemisk proces variere fra dag til dag, fordi ma ikke har fuldstædig kotrol over forsøgsbetigelser som temperatur, omrørigstid, tidspukt for tilsætig af råmaterialer, fugtighed osv. Edvidere er forsøgsmaterialere muligvis ikke homogee ok. Råmaterialere ka f.eks. være af varierede kvalitet, der må bruges forskelligt apparatur uder produktiosprocesse, forskelligt persoale deltager i arbejdet osv. Statistik drejer sig om at samle, præsetere og aalysere data med heblik på at foretage beslutiger og løse problemer. I de deskriptive statistik beskrives data ved tabeller, grafisk (lagkagediagrammer, søjlediagrammer) og ved beregig af karakteristiske tal såsom geemsit og spredig. Ma ka eksempelvis i Damarks Statistik (fides på ettet uder adresse ) fide, hvor mage persobiler der er i Damark i 009 opdelt efter alder. Ma keder her populatioe (biler i Damark), ka grafisk vise deres fordelig i et søjlediagram og berege deres geemsitlige alder. I de mere aalyserede statistik (kaldet iferetiel statistik) søger ma ved mere avacerede statistiske metoder ud fra e repræsetativ stikprøve at kokludere oget om hele populatioe. Eksempelvis udtages ved e meigsmålig e forhåbetlig repræsetativ stikprøve på 000 vælgere, som ma spørger om hvilket politisk parti de ville stemme på, hvis der var valg i morge. Ma vil så ud fra stikprøve kokludere, at hvis ma spurgte hele populatioe (alle vælgere i Damark), så ville ma med e vis usikkerhed få samme resultat. Viser stikprøve, at partiet Vestre vil gå.5% tilbage, så vil det samme ske, hvis der var valg i morge. Et sådat tal er aturligvis usikkert. Ma må derfor avede passede statistiske metoder til eksempelvis at berege, at usikkerhede er på %.

8 Deskriptiv statistik. DESKRIPTIV STATISTIK I de deskriptive statistik (eller beskrivede statistik) beskrives de idsamlede data i form af tabeller, søjlediagrammer, lagkagediagrammer, kurver samt ved udregig af cetrale tal som geemsit, typetal, spredig osv. Kurver og diagrammer forstås lettere og mere umiddelbart ed koloer af tal i e tabel. Øjet er uovertruffet til møstergekedelse ( e tegig siger mere ed 000 ord ).. KVALITATIVE DATA Hvis der er e aturlig opdelig af talmaterialet i klasser eller kategorier siges, at ma har kategorisk eller kvalitative data. Alle spørgeskemaudersøgelser, hvor ma eksempelvis bliver bedt om at sætte kryds i ogle rubrikker meget god, god, acceptabel osv. er af dee type. De følgede eksempler viser avedelse af heholdsvis lagkagediagram og søjlediagram Eksempel. Lagkagediagram Nedefor er agivet hvorda e kommues udgifter fordeler sig på de forskellige områder. Udligig 3, øvrige 8,4 Socialområdet,øvrige 9,4 Ældre 8,6 Børepasig 0,4 Bibliotek,9 fritid 3,8 Skoler 0,5 Admiistratio 7,3 Tekik,alæg 6,6 Da et lagkagediagram til askueliggørelse heraf. Løsig: Data opskrives i Excel og der gives følgede ordrer 003: Marker udskriftsområde Vælg på værktøjsliie Guide diagram Cirkel Marker øsket figur Næste - Nav på kategori Udfør 007: Marker udskriftsområde Vælg på værktøjsliie Idsæt Cirkel Marker øsket figur og Øskes tekst placeret som på figur 00 Cursor på figur Formater dataetiketter Vælg kategoriav og udefor. TI-Nspire:Vælg tilføj lister og regeark skriv listes av x i avecalle og skriv data opret tilsvarede de ade liste Vælg diagrammer og statistik midt på de lodrette akse på figur vælg x diagramtyper cirkeldiagram Admiistr. Tekik Udgifter udligig Skoler Fritid kultur Æ Øvrige socialområdetøvrige Børepasig Ældre

9 . Kvalitative data Eksempel. (kvalitative data) Følgede tabel agiver madattallet ved to folketigsvalg. Partier A B C F K O V Ø Madater A = Socialdemokratere, B =Radikale vestre, C = Koservative folkeparti, F =Socialistisk folkeparti, K = Kristedemokratere, O = Dask Folkeparti, V = Vestre, Ø = Ehedsliste Askueliggør disse madattal ved i Excel at tege et søjlediagram Løsig: Et søjlediagram fås i Excel ved at opskrive A B C F K O V Ø : Vælg på værktøjsliie Guide diagram Søjle Marker øsket figur Næste marker udskriftsområde Næste Næste Udfør : Som i eksempel. blot vælges Søjle TI-Nspire: Som i eksempel. blot vælges Søjlediagram Serie Serie A B C F K O V Ø Fordele ved e grafisk fremstillig er, at de væsetligste egeskaber ved data opås hurtigt og sikkert. Me etop det, at figurer appellerer umiddelbart til os, gør at vi ka komme til at lægge mere i dem, ed det som tallee egetlig ka bære. Eksempelvis viser forsøg, at i lagkagediagrammer, hvor ma skal sammelige vikler (eller arealer), da vil dee sammeligig afhæge oget af i hvilke retig vikles be peger. Nedeståede eksempel viser hvorda e figur ka være misvisede ude direkte at være forkert. 3

10 Deskriptiv statistik Eksempel.3. Misvisede figur Tødere i figure edefor skal illustrere hvorda osteeksporte fordeler sig på de forskellige verdesdele. De giver imidlertid et helt forkert idtryk. Det er højdere på tødere der agiver de korrekte forhold, me af tegige vil ma tro, at det er rumfagee af tødere. De 3 små tøder ka umiddelbart være flere gage idei de store tøde, me det svarer jo ikke til talforholdee. De mest almidelige figurer til at give et visuelt overblik over større talmaterialer er histogrammer (søjlediagrammer) og kurver i et koordiatsystem... KVANTITATIVE DATA (VARIABLE) Kvatitative data er data, hvor registrerige i sig selv er tal, der agiver e bestemt rækkefølge, f. eks. som i eksempel.4 hvor data registreres efter det tidspukt hvor registrerige foregår eller som i eksempel.5, hvor det er størrelse af registrerede værdi der er af iteresse. Eksempel.4. Kvatitativ variabel: tid Fra statistikbake (adresse er hetet følgede data id i Excel, der beskriver hvorledes idvadriger og udvadriger er sket geem tide. Excel: Vælg Befolkig og valg Id- og udvadrig Id- og udvadrig på måed uder bevægelse vælges alle og uder måed vælges år og derefter alle Tryk på tabel Drej tabel med uret Gem som Excel fil Idvadriger og udvadriger efter tid og bevægelse Idvadrede Udvadrede

11 . Kvatitative data Giv e grafisk beskrivelse af disse data. Løsig: Da dataee er registreret efter tid (år) (de kvatitative variabel tid ) teges to kurver i samme koordiatsystem: 003: Marker udskriftsområde Vælg på værktøjsliie Guide diagram Kurve Marker øsket figur Næste Næste Næste Udfør : Marker udskriftsområde Vælg på værktøjsliie Idsæt Streg Marker øsket figur Der er foretaget ekelte adre justeriger ide følgede figur fremkom Idvadrede Udvadrede Eksempel.5. Kvatitativ variabel, størrelse af britiokocetratioe ph I meeskers led udskiller de iderste hide e "ledvæske" som "smører" leddet. For visse ledsygdomme ka britiokocetratioe (ph) i dee væske tækes at have betydig. Som led i e ordisk medicisk udersøgelse af e bestemt ledsygdom udtog ma bladt samtlige patieter der led af dee sygdom e repræsetativ stikprøve ved simpel udvælgelse 75 patieter og målte ph i ledvæske i kæet. Resultatere (som ka fides som excel-fil på adresse ) var følgede: Giv e grafisk beskrivelse af disse data. Løsig: I dette tilfælde, hvor vi er iteresseret i at få et overblik over tallees idbyrdes størrelse er det fordelagtigt at tege et histogram. Et histogram liger et søjlediagram, me her gælder, at atallet af eheder i hver søjle repræseteres ved søjles areal (histo er græsk for areal). Ma bør så vidt muligt sørge for at gruppere er lige brede, da atallet af eheder så svarer til højde af søjle. Excel ka umiddelbart tege er histogram, me af hesy til det følgede forklares hvorda ma bestemmer itervalopdelig m.m. Først fides det største tal x max og det midste tal x mi i materialet og derefter berege variatiosbredde x max - x mi. Vi ser, at største tal er 7.7 og midste tal er 6.95 og variatiosbredde derfor =

12 Deskriptiv statistik Deræst deles tallee op i et passede atal itervaller (klasser). Som det første bud vælges ofte et atal ær. Da vælges ca. 9 klasser. Da deler vi op i de klasser, der 9 ses af tabelle. Dette giver 0 itervaller. Vi tæller op hvor mage tal der ligger i hvert iterval (gøres emmest ved at starte forfra og sæt e streg i det iterval som tallet tilhører). Klasser Atal ] ] // ] ] ///// 5 ] ] //////// 8 ] ] ///////////////// 7 ] ] ////////////////// 8 ] ] //////////////// 6 ] ] //// 4 ] ] /// 3 ] ] / ] ] / Allerede her ka ma se, at atallet er størst omkrig 7.30, og så falder hyppighede ogelude symmetrisk til begge sider. I Excel sker det på følgede måde: Data idtastes i eksempelvis søjle A til A75 ( data fides på adresse ) 003: Vælg Fuktioer Dataaalyse Histogram : Vælg Data Dataaalyse Histogram I de fremkome tabel udfyldes iputområdet med A:A75 og ma vælger diagramoutput.. ) Trykkes på OK fås e tabel med hyppigheder, og e figur, hvor itervalgræsere er fastlagt af Excel. ) Øsker ma selv at bestemme græsere, skal ma også udfylde itervalområdet. Dette gøres ved at skrive de øvre græser i e søjle (f.eks. i B 6.94, i B 7.0 osv. til B0: 7.66) og så skrive B:B0 i iputområdet Da et histogram har søjlere samlet, foretages følgede: cursor på e søjle tryk højre musetast formater dataserie idstillig mellemrumsbredde = 0 ok TI-Nspire:Ma ka ikke lægge exceldata id, så ma må selv skrive data id. Vælg tilføj lister og regeark skriv listes av x i avecelle og skriv data opret tilsvarede de ade liste med av y på de lodrette akse diagramtyper histogram I tilfælde fremkommer så følgede udskrift og tegig (efter at have valgt udskrift med decimaler): Iterval Hyppighed 6,95 7,05 7,4 7 7,4 7 7,33 7,43 8 7,5 6 7,6 Mere Hyppighed 6,95 7,045 7,4 7,35 7,33 7,45 7,5 7,65 Mere Hyppighed 6

13 .3 Karakteristiske tal I tilfælde følgede Iterval Hyppighed 6,94 0 7,0 7, 5 7,8 8 7,6 7 7,34 8 7,4 6 7,5 4 7,58 3 7,66 Mere Hyppighed 6,94 7,0 7, 7,8 7,6 7,34 7,4 7,5 7,58 7,66 Mere Hyppighed Histogrammet er et "klokkeformet histogram", hvor der er flest tal fra 7.9 til 7.4, og derefter falder atallet til begge sider. Ma reger ormalt med, at resultatere af forsøg, hvor ma har foretaget måliger (hvis ma lavede ok af dem) har et sådat klokkeformet histogram og siger, at resultatere er ormalfordelt (beskrives ærmere i æste kapitel).3 KARAKTERISTISKE TAL Skal ma sammelige to talmaterialer, eksempelvis sammelige de 75 ph-værdier i eksempel.4 med 00 dårlige kæ fra Tysklad, har det ige meig at sammelige hyppighedere Ma må i sådae tilfælde agive ogle tal, som gør det muligt at foretage e sammeligig. Dette kue bladt adet ske ved at ma udregede de relative hyppigheder.3. Relativ hyppighed Ved de relative hyppighed forstås hyppighede divideret med det totale atal. I eksempel.5 er de relative hyppighed for ph - værdier i itervallet ] ]: 7 = =. 57% 75 Ma kue sige, at sadsylighede er.57% for at ph ligger i dette iterval. 7

14 Deskriptiv statistik.3. Middelværdi og spredig. Middelværdi, geemsit. Kedes hele populatioe (målt højde på alle daske mæd) ka bereges e korrekt midterværdi kaldet middelværdi µ (græsk my) Ud fra stikprøve vil e tilærmet værdi (kaldet et estimat) for µ være geemsittet x (kaldt x streg). x + x x Kaldes observatioere i e stikprøve x, x,..., x er x = Eksempel.6: Geemsit Fid geemsittet af tallee 6, 7, 7, 3, 5, 3 6 Løsig: x = = TI 89: Catalog mea ({6, 7, 7, 3, 5, 3}) TI-Nspire: Skriv. mea ({6, 7, 7, 3, 5, 3}) Excel: Tast tallee i e koloe eksempelvis A til A6 Vælg på værktøjsliie fx Middel( A..A6) Spredigsmål Egetlige målefejl, såsom at ogle af observatioere ikke bliver korrekt registreret, uklarheder i spørgeskemaet osv. skal aturligvis fjeres. Derudover er der de aturlige variatio som også kue kaldes re støj (pure error), som skyldes, at ma ikke ka forvete, at to persoer der på alle områder er stillet fuldstædigt es også vil svare es på et spørgsmål. Tilsvarede hvis ma måler udbyttet ved e kemisk proces, så vil udfaldet af to forsøg ikke være es, da der altid er e række ukotrollable støjkilder (ureheder i råmaterialer, lidt forskel på persoer og apparatur osv.) Dee aturlige variatio skal aturligvis iddrages i de statistiske behadlig af problemet, og dertil spiller et mål for, hvor meget tallee spreder sig aturligvis e væsetlig rolle.. Spredig (egelsk: stadard deviatio) Hvis spredige baserer sig på hele populatioe beæves de σ (sigma). Baserer spredige sig ku på e stikprøve beæves de s. Ma siger, at s er et estimat (skø) for σ. s bereges af formle s = ( xi x ) i= hvor observatioere i e stikprøve er x, x,..., x Kvadratsumme ( x x) beæves kort SAK (Summe af Afvigelseres Kvadrater) eller SS (Sum of Squares) i= i Ved variase for e stikprøve forstås s. 8

15 .3 Karakteristiske tal Eksempel.7: Spredig Fid varias og spredig af tallee 6, 7, 7, 3, 5, 3 Løsig: I eksempel.6 fides geemsittet x = 8. 5 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) Variase s = 6 Spredige s = 8. 7 = TI 89: Catalog Variace ({6, 7, 7, 3, 5, 3}), Catalog stddev ({6, 7, 7, 3, 5, 3}) TI-Nspire: Beregiger Statistik Listematematik Stikprøvevarias udfyld liste som TI89 Samme. u blot vælge Stadardafvigelse for stikprøve Excel: Tast tallee i e koloe eksempelvis A til A6, (alle) vælg fx Varias( A..A6) vælg fx STDDEV( A..A6) = 8. 7 Askuelig forklarig på formle for s. At formle for s skulle være særlig veleget til at agive, hvor meget resultatere spreder sig (hvor mege støj der er ) er ikke umiddelbart idlysede. I det følgede gives e askuelig forklarig. Lad os betragte forsøgsvariable X og Y, hvorpå der for hver er udført e stikprøve på 4 forsøg. Resultatere var: X: 35.9, 33.3, 34.7, 34. med geemsittet x = 34.5, og Y: 34.3, 34.6, 34.7, 34.4 med geemsittet y = De to forsøgsvariable har samme geemsit, me det er klart, at Y-resultatere grupperer sig meget tættere om geemsittet ed X-resultatere, dvs. Y-stikprøve har midre spredig (der er midre støj på Y - forsøget) ed X- stikprøve. For at få et mål for stikprøves spredig bereges resultateres afvigelser fra geemsittet. xi x yi y = = = = = = = = -0. Summe af disse afvigelser er aturligvis altid 0 og ka derfor ikke bruges som et mål for stikprøves spredig. I stedet betragtes summe af kvadratere på afvigelsere (forkortet SS: Sum of Squares eller SAK: Sum af afvigelseres Kvadrat). SAK = ( x x) = 4. + (. ) ( 0. 4) = 360. x i= i SAK = ( y y) = ( 0. ) ( 0. ) = 00. y i= i Da et mål for variase ikke må være afhægig af atallet af forsøg, divideres med -. Umiddelbart ville det være mere rimeligt at dividere med. Imidlertid ka det vises, at i middel bliver et skø for variase for lille, hvis ma dividerer med, mes de rammer præcist, hvis ma dividerer med -. Det ka forklares ved, at tallee x i har e tedes til at ligge tættere ved deres geemsit x ed ved middelværdie µ. 9

16 Deskriptiv statistik s = x. og 4 = 0.. s y = = s 4 x =. = 095. s y = = 083. Som vi forudså, er stikprøves spredig betydelig større for X-resultatere ed for Y-resultatere. Frihedsgrader. Ma siger, at stikprøves varias er baseret på f = - frihedsgrader. Navet skyldes, at ku - af de led ka vælges frit, idet summe af de led er ul. Eksempel- vis ser vi af oveståede eksempel, at der er 3 frihedsgrader, da kedskab til de første 3 led på.4, -. og 0. er ok til at bestemme det fjerde led, da summe er ul. x x i Vurderig af størrelse af stikprøves spredig. Ma ka vise, at for tæthedsfuktioer med ku et maksimumspukt gælder, at mellem x s og x + s ligger ca. 89% af resultatere, og mellem x 3 s og x + 3 s ligger ca. 95% af resultatere. For såkaldte ormalfordelte resultater, er de tilsvarede tal ca. 95% og 99.7 %.3.3 Media og kvartilafstad. Media. Mediae bereges på følgede måde: ) Observatioere ordes i rækkefølge efter størrelse. a) Ved et ulige atal observatioer er mediae det midterste tal b) Ved et lige atal er mediae geemsittet af de to midterste tal. Eksempel.8: Media Fid mediae af tallee 6, 7, 7, 3, 5, 3. Løsig: Ordet i rækkefølge: 3, 5, 6, 7 3, 7. Media 6,5 TI 89: Catalog media ({ 6, 7, 7, 3, 5, }). TI-Nspire: Beregiger skriv media ({ 6, 7, 7, 3, 5, }) Excel (alle): Tast tallee i e koloe eksempelvis A til A6 Vælg fx Media( A..A6) Mediae kaldes også for 50% fraktile, fordi de brøkdel (fraktil) der ligger uder mediae er ca. 50%. Er media og geemsit ogelude lige store fordeler tallee sig ogelude symmetrisk omkrig middelværdie. Er mediae midre ed geemsittet er der muligvis tale om e højreskæv fordelig som har de lage hale til højre.(se figure) Er mediae større ed geemsittet, er der muligvis tale om e vestreskæv fordelig At ma eksempelvis i løstatistikker agives mediae og ikke geemsittet fremgår af følgede lille eksempel. Lad os atage at e virksomhed har 0 asatte, med måedsløiger ordet efter størrelse på 0000, 000, 000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, Geemsittet er her 3600, mes mediae er jævfør statistisk årbog 005 tabel 44 eller se Og vælg lø\løstatistik for de statslige sektor\lø3\klik for at vælge\alle værdier\hovedgrupper\ledelse på højt iveau+kotorarbejde 0

17 .3 Karakteristiske tal Mediae ædrer sig ikke selv om de højeste lø vokser fra til millio, mes geemsittet aturligvis vokser. Mediae giver derfor e mere rimelig beskrivelse af middelløe i firmaet. Kvartilafstad. Hvis fordelige ikke er rimelig symmetrisk, er mediae det bedste skø for e midterværdi, og kvartilafstade ka være et mål for spredige. I de tidligere omtalte løstatistik fides bl.a. følgede tal, idet de to sidste koloer er vor bearbejdig af tallee. r geemsit x edre kvartil k Ledelse på højt iveau Lø pr. præsteret time media m øvre kvartil k Kotorarbejde x m k3 k m x Af koloe ses, at for begge rækker er geemsittet større ed mediae dvs. begge forde- m liger er højreskæv, me det gælder mest for række r.. Her gælder åbebart, at ogle få forholdsvis høje løiger trækker geemsittet op. Skal ma sammelige løspredige i de to tilfælde, må ma tage hesy til, at mediae er meget forskellig. Ma vil derfor som der er sket i sidste koloe berege de relative kvartilafstad. De viser også, at løspredige er væsetlig midre for række ed for række. Eksempel.9 Kvartil Fid kvartiler og media af de tal 7, 9,, 3, 6,, 5, 8,, 8,, 0 Løsig: TI89:APPS Stat/List Idtast tal i e liste F4 -Var Stats Agiv listes av Eter Bladt mage tal fås kvartil 7.5 og 3 kvartil 5.5 TI-Nspire: Lister og regeark giv e liste et av og idtal tal i liste vælg statistik statistiske beregiger statistik med variabel udfyld meuer Eter. Bladt mage tal fides kvartilere Excel (alle): Data idtastes i eksempelvis søjle A til A På værktøjsliie forove: Tryk på f x = På rullemeu vælges Kvartil (evt. først vælg kategorie statistik ) Der fremkommer e tabel med avisig på, hvorda de skal udfyldes Resultat :. kvartil kvartil 5.5 Ligesom ma på TI 89 /TI-Nspire ka få mage karakteristiske tal på e gag har Excel e tilsvarede meu. Excel: 003: Fuktioer Dataaalyse Beskrivede statistik udfyld iputområde Resumestatistik 007: Data Dataaalyse Beskrivede statistik udfyld iputområde Resumestatistik jævfør statistisk årbog 005 tabel 44 eller se uder lø\løstatistik for de offetlige sektor \lø 3

18 Deskriptiv statistik OPGAVER Opgave.. I er følgede oplysiger for året 003 hetet id i Excel. Udslip til luft af drivhusgasser efter ehed, type, kilde og tid 003 Mia. C0-ækvivaleter I alt Eergisektore 3 Idustri og produktio 8 Trasport 3 Affaldsbehadlig Ladbrug 0 Adet 9 a) Het selv disse data id i Excel, og opstil et lagkagediagram til belysig af tallee. b) Fid de tilsvarede tal for 996, og vælg e passede grafisk fremstillig til sammeligig af tallee fra 996 og 003. c) Bereg i Excel for åree 990 til 003 eergisektores udslip i forhold til det samlede udslip af drivhusgasser (i %), og teg dette grafisk. Opgave. Følgede tabel agiver for et udvalgt atal lade oplysig om middellevetid for befolkige og idbyggeratal. Lad Middellevetid Idbyggertal i millioer Australie Caada Damark 77,5 5.5 Frakrig Marokko Pole Sri Laka USA ) Idskriv oveståede tabel i Excel, hvor ladee er opskrevet alfabetisk. Beyt Excel til ) at orde ladee efter middellevetid (lægst levetid først), og afbild dem grafisk. ) teg i et koordiatsystem to kurver, som agiver såvel ladees størrelse som middellevetid Opgave.3 I fides ogle oplysiger om Damarks forbrug af eergi efter type og mægde. ) Het produktio af aturgas og råolie id målt i tos for de sidste år (i måeder) id i Excel ) Teg i Excel i samme koordiatsystem to kurver for heholdsvis produktioe af aturgas og råolie.

19 Opgaver til kapitel Opgave.4 Færdselspolitiet overvejede, om der burde idføres e fartgræse på 70 km/h på e bestemt ladevejsstrækig, hvor der hidtil havde været e fartgræse på 80 km/h. Som et led i aalyse af hesigtmæssighede af de overvejede ædrig observeredes ide for et bestemt tidsrum ved hjælp af radarkotrol de forbipasserede bilers fart. Resultatet af måligere (som ka fides som excel-fil på adresse ) var: 50 observatioer ) Foretag e vurderig af, om fordelige er ogelude symmetrisk (ormalfordelt) ved a) at tege et histogram b) at berege karakteristiske værdier ) Agiv hvor stor e procet af bilistere, der approksimativt overstiger hastighedsgræse på 80 km/h. (Vik: Vælg formler, statistisk, Tæl hvis). Opgave.5 Til fabrikatio af herreskjorter beyttes et råmateriale, som ideholder e vis procetdel uld. For ærmere at udersøge uldprocete, måles dee i 64 tilfældigt udvalgte batch. Resultatet (som ka fides som excel-fil på adresse ) var (i %): ) Foretag e vurderig af, om fordelige er ogelude symmetrisk (ormalfordelt) ved a) at tege et histogram b) at berege karakteristiske værdier Der er i datamaterialet e såkaldte outliers (e mulig fejlmålig). E såda ka ødelægge ehver aalyse. Det er i dette tilfælde tilladeligt at fjere de, da vi går ud fra det er e fejlmålig. ) Bereg stikprøves relative kvartilafstad

20 Deskriptiv statistik Opgave.6 De følgede tabel (som ka fides som excel-fil på adresse ) viser vægtee (i kg) af 80 kaier , ) Foretag e vurderig af, om fordelige er ogelude symmetrisk (ormalfordelt) ved a) at tege et histogram b) at berege karakteristiske værdier ) Agiv hvor stor e procet af kaiere, der approksimativt overstiger e vægt på 3 kg (Vik: (Vik: Vælg formler, statistisk, Tæl, Hvis) Opgave.7 I statistikbake fider ma uder puktet Uddaelse og kultur, Fuldførte kompetacegivede uddaelser ved bacheloruddaelsere e statistik over atal elever i Maskitekik og Desig og Iovatio i 008 fordelt efter alder fra 0 til 36 år for hele ladet. ) Idsæt data i Excel for de to uddaelser. ) Lav et søjlediagram over aldersfordelige for de to uddaelser 3) Bereg på basis af oveævte tal de geemsitlige alder af de studerede for de to uddaelser i. Opgave.8 I statistikbake fid uder Lø,fortjeeste for privatasatte efteruddaelse osv., Højere uddaelse, Tekisk, ledere i 008 Geemsit, media, øvre og edre kvartil for såvel mæd som kvider ) Overfør data til Excel på ege harddisk ) Agiv om de to fordeliger er symmetrisk, højre eller vestreskæv 3) Er der forskel på løspredige for mæd og kvider (Vik: Bereg de relative kvartilafstad) 4

21 3 STOKASTISK VARIABEL 3. Sadsylighed 3. SANDSYNLIGHED Statistik bygger på sadsylighedsteorie, som giver metoder til at fide, hvor stor chace (sadsylighede) er for at et bestemt resultat af et eksperimet forekommer. DEFINITION af tilfældigt eksperimet. Et eksperimet som ka resultere i forskellige udfald, selv om eksperimetet getages på samme måde hver gag, kaldes et tilfældigt eksperimet (egelsk : radom experimet). Det er karakteristisk for tilfældige eksperimeter, at ma ka afgræse e mægde kaldet eksperimetets udfaldsrum U, der ideholder de mulige udfald. Derimod ka ma ikke forudsige, hvilket udfald der vil idtræffe ved udførelse af eksperimetet. Består eksperimetet eksempelvis i kast med e terig er udfaldsrummet U = {,, 3, 4,5, 6}, me ma ka ikke forudsige udfaldet af æste kast (eksperimet). Selv om ma 4 gage i træk har fået udfaldet øjetal ", ka ma ikke forudsige, hvilket udfald der idtræffer æste gag. Resultatet af 5. kast afhæger ikke af resultatere af de foregåede 4 spil. Ma siger, at eksperimetere er "statistisk uafhægige" (e præcis defiitio ses i kapitel 9). Som eksempler på tilfældige eksperimeter ka æves: a) Ét kast med e møt. Udfaldsrum U = Plat, Kroe. { } b) Fremstillig af et parti levedsmiddel og målig af det procetvise idhold af protei. U = mægde af reelle tal fra 0 til 00. c) Udtage e stikprøve på 400 elektroiske kompoeter af e dagsproduktio og optællig af 0,,, 3, 4, 5,..., 400 atallet af defekte kompoeter. U = { } d) Udtagig af et tilfældigt TV-apparat fra e dagsproduktio af TV-apparater og optællig af atallet af loddefejl. U = mægde af positive hele tal. E hædelse er e delmægde af et eksperimets udfaldsrum. Eksempelvis er A: At få et lige øjetal e hædelse ved kast med e terig. Hædelse A siges at idtræffe, hvis et udfald fra A forekommer. Sadsylighedsbegrebet tager udgagspukt i det i kapitel omtalte begreb relativ hyppighed. DEFINITION af relativ hyppighed for hædelse A. Getages et eksperimet gage, og forekommer hædelse A etop A gage af de gage, er A s relative hyppighed h( A) = A 5

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 15.b udgave 015 FORORD Der er i denne bog søgt at give letlæst og anskuelig fremstilling af

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Blisterpakninger i det daglige arbejde

Blisterpakninger i det daglige arbejde Bettia Carlse Marts 2013 Blisterpakiger i det daglige arbejde I paeludersøgelse 35 1 har 1.708 beskæftigede sygeplejersker besvaret e række spørgsmål om (hådterige af) blisterpakiger i det daglige arbejde.

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

6 Populære fordelinger

6 Populære fordelinger 6 Populære fordeliger I apitel 4 itroducerede vi stoastise variabler so e åde at repræsetere udfald af et esperiet på. De stoastise variabler ue være både disrete (fx terigslag) og otiuerte (fx vareægder).

Læs mere

Morten Frydenberg version dato:

Morten Frydenberg version dato: Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger

NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakninger Sige Friis Christiase 7. maj 2015 NOTAT Det daglige arbejde med blisterpakiger I paeludersøgelse 55 i DSRs medlemspael blev deltagere stillet e række spørgsmål om deres arbejde med blisterpakiger. Afrapporterige

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA

TEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden.

info FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lynhurtigt bredbånd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser kan ses på bagsiden. ifo FRA SÆBY ANTENNEFORENING Lyhurtigt bredbåd til lavpris på vej til hele Sæby! Priser ka ses på bagside. Velkomme til SAFet - avet på vores eget lokale Bredbåd! Sæby Ateeforeig har med virkig fra 15.

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Eksempler fra bogen Statistiske Grundbegreber løst ved anvendelse af Excel.

Eksempler fra bogen Statistiske Grundbegreber løst ved anvendelse af Excel. Eksempler fra bogen Statistiske Grundbegreber løst ved anvendelse af Excel. Kapitel Deskriptiv statistik Indhold 1. Generelle forhold... 1 Kapitel : Deskriptiv Statistik... 1 Kapitel 4: Normalfordelingen...

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold

Nanomaterialer Anvendelser og arbejdsmiljøforhold F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer Avedelser og arbejdsmiljøforhold Dee Kort & Godt pjece heveder sig til dig, som er medlem af FOA. Pjece giver iformatio om: Hvad er et aomateriale? Eksempler

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

BILAG I PRODUKTRESUME

BILAG I PRODUKTRESUME BILAG I PRODUKTRESUME 1 1. LÆGEMIDLETS NAVN Nimerix pulver og solves til ijektiosvæske, opløsig i fyldt ijektiossprøjte Meigokokgruppe A, C, W-135 og Y kojugeret vaccie 2. KVALITATIV OG KVANTITATIV SAMMENSÆTNING

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Grundlæggende Lederuddannelse

Grundlæggende Lederuddannelse Grudlæggede Lederuddaelse Grudlæggede Lederuddaelse God ledelse er vigtig for både dig og di virksomhed. Det er vigtigt for di ege persolige udviklig, for die medarbejderes motivatio og dermed i sidste

Læs mere

PET 3 1/3 ECTS. Valgfaget afholdes UCN Radiografuddannelsen, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst

PET 3 1/3 ECTS. Valgfaget afholdes UCN Radiografuddannelsen, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst PET 3 1/3 ECTS Valgfaget afholdes UCN Radiografuddaelse, Selma Lagerløfs Vej 2, 9220 Aalborg øst Valgfagets tema Valgfaget præseterer overordede cetrale begreber, teorier samt hadlemåder, der ka avedes

Læs mere

Introduktion til Statistik

Introduktion til Statistik Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100

Læs mere

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013

Team Danmark tilfredshedsundersøgelse 2013 Team Damark tilfredshedsudersøgelse 2013 Baggrudsrapport Trygve Buch Laub, Rasmus K. Storm, Lau Tofft-Jørgese & Ulrik Holskov Idrættes Aalyseistitut MIND THE CUSTOMER December 2013 Titel Team Damark tilfredshedsudersøgelse

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere

Grundlæggende STATISTIK (med anvendelse af Excel)

Grundlæggende STATISTIK (med anvendelse af Excel) MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Grundlæggende STATISTIK (med anvendelse af Excel) Hyppighed 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 6,94 7,02 7,1 7,18 7,26 7,34 7,42 7,5 7,58 7,66 Mere Hyppighed 1. udgave 2007 FORORD Notatet

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Opsamling. Lidt om det hele..!

Opsamling. Lidt om det hele..! Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968)

Analyse af algoritmer. Algoritmedesign med internetanvendelser ved Keld Helsgaun. Køretid. Algoritmebegrebet D. E. Knuth (1968) Algoritmedesig med iteretavedelser ved Keld Helsgau Aalyse af algoritmer Iput Algoritme Output E algoritme er e trivis metode til løsig af et problem i edelig tid 1 2 Algoritmebegrebet D. E. Kuth (1968)

Læs mere