Indholdsfortegnelse. DTU kursus 41260: Yachtsejlads - teori og praksis Hold 8

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Indholdsfortegnelse. DTU kursus 41260: Yachtsejlads - teori og praksis Hold 8"

Transkript

1 3 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 3 Indledning 4 Beskrivelse af VPP 5 Forsøg 11 Vægtberegning 11 Kræfterne fra sejlene. 12 Beskrivelse af målinger på vandet 13 Krængningsforsøg 16 Krængningsforsøgets resultater 18 Kommentar til krængningsforsøg 20 Resultater 20 Resultatbehandling 21 Sammenligning af måleresultater og VPP-kurve 22 Beskrivelse af VPP-kurven 22 Fejlkilder i VPP 23 Verificering af VPP 24 Konklusion 25 Bilag 26 Bilag 1 VPP matlab koder 26 vpp.m 26 cdclcoef.m 30 FroudeMin.m 31 FroudeMax.m 33 Dragkeel.m 34 FrictionRes.m 34 HeelRes.m 35 Bilag 2 VPP plot for forskellige vindhastigheder 36 Bilag 3 GZ kurve og I-ship data 38

2 4 I n d l e d n i n g Nutidens Sejlbåds designere søger konstant at finde lidt ekstra præstation i deres designs. Der er mange analytiske metoder som en designer kan bruge for at estimere præstation på et skrog: computer performance prediction, tank forsøg og fuld skala 1:1 båd forsøg. Disse værktøjer er værdifulde på mange forskellige niveauer af design spiralen eksempelvis når et projekt lige er påbegyndt, ved modificering af en eksisterende båd eller blot at forstå præstationsparamenterne af en båd så den kan blive sejlet optimalt. Computer performance prediction stammer fra et ambitiøst projekt, udført på Massachusetts Institute of Technologi (MIT) i 1970 erne. Ved at udføre tankforsøg med en fuldskala båd fandt de størrelsen af modstanden på skrog, køl og ror. Sejlkraftkoefficienterne var meget svære at måle, men efter mange timer på vandet og en kolossal mængde af måledata lykkedes det for dem. Ved variation af målinger udvikledes koefficienterne til de matematiske formler, således at de kunne bestemme sejlegenskaberne for alle skrog- og sejltyper. Den matematik der kom ud af tankforsøgene og sejl koefficienterne skabte fundamentet for det vi i dag kalder Velocity Prediction Program (VPP). Formålet med denne rapport er, at fremstille et sådant teoretisk Velocity Prediction Program. Programmet udvikles ud fra betragtninger af kraft- og momentligevægte samt forsøgsbaserede ligninger og verificeres derefter ud fra feltmålinger. Feltmålingerne blev lavet på en DS Matchracer 37, ligesom VPP en er udviklet for samme båd.

3 5 Beskrivelse af VPP Programmet er skrevet i MATLAB. Der er flere årsager til, at netop MATLAB er valgt til dette projekt. Den væsentligste årsag er, at det er forholdsvis enkelt at lave konvergens og iterations løkker i M ATLAB, i forhold til f.eks. Excel. Programmet er bygget op af et hovedprogram og nogle funktioner. I hovedprogrammet foretages de væsentligste beregninger, og i funktionerne foretages der primært interpolation af koefficientværdier fra tabeller, som skal bruges til diverse ligninger. Nedenfor ses flowdiagrammet for programmet, og i det følgende vil hver enkelt del af flowdiagrammet blive beskrevet nøjere. 1. Input af båd data og fysiske konstanter. 2.True vindhastighed og retning. 3. Gæt på bådens hastighed. 4. Gæt på krængning. 5. Bestemmelse af apparent vindhastighed og retning fra vindtrekant. 6. Bestemmelse af aerodynamiske kræfter. 7. Krængnings konvergens. 8. Konvergens af båd hastighed. 9. Flere vindretninger. 10. plotning af VPP diagram. Figur 3 VPP flowdiagram 1 - Input af båd data og fysiske konstanter. Diverse mål for DS 37' One Design Match Racer, samt fysiske konstanter defineres. Målene for DS 37' One Design Match Racer er bestemt udfra udleveret tegninger i auto cad og fra nettet på adressen danishopen.dk/eventinfo/yachts.php.

4 6 2 - True vindhastighed og retning. True vindhastighed, V t er den eneste parameter i hele programmet som man skal definere inden, at programmet køres. Der er i programmet lavet en løkke som sørger for, at man får forskellige true vindretninger, γ i intervallet 29 til 179 grader med et interval på 3 grader. 3 - Gæt på bådens hastighed. Bådens start hastighed, V s er sat til at være 6,8 knob og hastigheden omregnes til meter per sekund for at få det i SI-enheder. 4 - Gæt på krængning. Bådens start krængning, φ, sættes til at være 10 grader. 5 - Bestemmelse af apparent vindhastighed og retning fra vindtrekant. Idet at true vindhastighed og retning, samt bådens hastighed er kendt på dette tidspunkt kan man beregne apparent vindhastighed og retning udfra vindtrekanten fig. 5.2 fra lærebogen. Først beregnes apparent vindhastighed ved hjælp af cosinusrelationen. V a 2 2 = Vt + Vs 2VtVs cos( π γ ) herefter bestemmes apparent vindretning, β udfra cosinusrelationen. β V = a cos 2 s 2 + Va V 2V V s a 2 t 6 - Bestemmelse af aerodynamiske kræfter. På grund af bådens krængning bliver apparent vindhastighed og retning lidt anderledes rundt om sejlet, og dette tages der højde for ved at bestemme den effektive apparent vindhastighed, V awe og retning, βawe ved sejlet. Til at bestemme V awe og βawe anvendes fig fra lærebogen. Først bestemmes to hjælpe apparent vindhastigheder V 1 og V 2 som er henholdsvis langs bevægelsesretningen, og den rigtige vinkel til mast og retning. V V 1 2 = V + V cos( γ ) s t t T sin( γ )cos( φ) Den effektive apparent vindhastighed og retning kan nu bestemmes udfra V awe = V 1 V2 β awe V = arctan 2 V 1 Før at man kan bestemme lift og drag fra sejlet skal lift og dragkoefficienterne for sejlene findes. Det skal lige pointeres, at vi i programmet kun betragter det tilfælde hvor båden er udstyret med et storsejl

5 7 og en jib. Lift og drag koefficienterne for sejlene bestemmes i funktionen clcdcoef.m, hvor lift og drag koefficienterne for henholdsvis storsejlet og jibben bestemmes udfra en lineære interpolation af de data som findes i tabel 1a og 1b i lærebogen på side 149. Som indgangsparameter i interpolationen bruges den effektive apparent vindretning. I lærebogen er det anført at en lineær interpolation af lift og drag koefficienter ikke er den mest optimale metode til at bestemme dem. Men vi har igennem test af programmet fundet ud af at lineær interpolation af koefficienterne giver det bedste resultat. Dette skyldes primært, at man får nogle polynomier for lift og drag koefficienter for henholdsvis storsejlet og jibben, som svinger meget, hvis man prøver at beskrive koefficienterne med polynomier. Dette bevirker at ens lift og drag koefficienter kommer til at variere meget inden for nogle få grader, hvilket medføre at båden vil accelerere forholdsvis meget hvis man bare ændre bådens kurs lidt. Dette er selvfølgeligt fysisk ukorrekt og derfor har vi valgt at bruge lineær interpolation til at bestemme lift og drag koefficienterne. Den endelige liftkoefficient for sejlet findes ved at gange liftkoefficienten for henholdsvis storsejlet og jibben med deres respektive areal og dividere med det samlet sejl areal, A n. C L C = L, main A main A + C n L, jib A jib Den viskose, inducerede og mast/topsides dragkoefficient, bestemmes ved C DP C = D, main A main A + C n D, jib 2 1 CDI = CL + 0, 005 π AR BMAX FA + EHM EMDC CDO = 1, 13 An Den samlede dragkoefficient findes ved at summere de ovenstående koefficienter C = C + C + C D Lift og drag på sejlet kan nu bestemmes på baggrund af de fundne drag- og liftkoefficienter. DP DI DO A jib L = ½C L D = ½C Med det fundne lift og drag kan man beregne den aerodynamiske, F a driving, F x og sejl side kræften, F y fra D ρ ρ air air A V n A V n 2 awe 2 awe F L 2 D 2 a = + F x = sin ε ( h ) Fa

6 8 y 2 a F = F + F 2 x hvor εh er den aerodynamiske drag vinkel. 7 - Krængnings konvergens. Størrelsen af den kraft som virker på sejlet er lige så stor som den der virker på kølen. Hvilket vil sige, at det moment som båden må føle er givet ved ( ) F ( arm + T T ) moment = cos ε ½ + h hvor arm er afstanden fra sejlecenteret til bådens tyngdepunkt. Båden modvirker dette moment med et oprettende moment, RM som er givet ved a k c RM = mg GZ For at bådens krængning er konstant skal RM være lige så stort som moment. Man kan nu bestemme bådens krængning ved at udregne en GZ værdi, og ud fra den kan man bestemme krængningen fra den GZ kurve som er udregnet tidligere. Vi har valgt at medtage det oprettende moment som besætningen giver idet de sidder på kanten af båden. Vi har antaget at man er 6 personer som hver har en vægt på 80 kg. Med denne antagelse kommer udtrykket for GZ til at se således ud GZ = ( moment 80 arm cos( φ) ) 6 2 ρ water g hvor arm 2 er afstand fra personerne til midt på båden, hvor bådens tyngdeakse er. Udfra GZ værdien bestemmes nu bådens aktuelle krængning fra GZ kurven. Hvis den fundne krængning ikke er den samme som den tidligere krængning (start krængningen ved første gennemløb) så går man tilbage til punkt 6 og beregner den aerodynamiske kraft med den ny krængning. Dette forløb gentages indtil at krængningen konvergere. I nogle tilfælde oplever man, at den fundne GZ værdi er større end hvad den kan være i forhold til GZ-kurven, og i dette tilfælde indføres en flattening faktor som ganges på ens C L. Flattening faktor er et udtryk for, at man flader ens sejl, hvorved at moment fra sejlet bliver mindre. Størrelsen af denne flattening faktor afgøres af programmet, idet at der trækkes 0,01 fra den default flattening faktor, som er 1, indtil at man for en GZ-værdi som er mindre eller lige den maksimale tilladelige GZ-værdi. Det har vist sig, at flattening faktoren ligger i intervallet , med en V t på 22 knob. 8 - Konvergens af båd hastighed. Hvis båden skal have en konstant hastighed skal driving kraften, F x være lige modstand, R. Idet at F x er kendt mangler man bare at beregne modstanden. Man har 4 forskellige modstande som virker på båden, nemlig residuary, friktions, krængning og kølens inducerede modstanden. I programmet udregnes de forskellige modstande i hver deres funktion, dog udregnes residuary modstanden i en af de to residuary funktioner alt afhængige af det pågældende Froudetal. Funktionerne heder Dragkeel.m, frictionres.m, FroudeMin.m, FrodeMax.m og heelres.m og de forefindes i bilag 1.

7 9 Friktionsmodstanden udregnes efter Delft formel for friktion som er givet ved hvor hver komponent beregnes ved R = R + F + R F Fcanoebody Fkeel Frudder hvor C R F F = = C F ½V Sρ ( log R 2) 2 s 0,075 n R = n LV ν s hvor S er wetted surface og L er 0,7L wl for canoebody og mean chord for henholdsvis køl og ror. Residuary modstanden, R R beregnes udfra en af formlerne, low og high speed, som ses i lærebogen i henholdsvis Fig 5.18 og Det som er afgørende for hvilken at disse to formler som man skal anvende til beregning af resisduary modstand er ens Froudetal, som er givet ved F n = V s g L wl Proceduren i de to funktioner for resisduary modstand er, at man bruger sit Froudetal som indgangsparameter i en lineær interpolation af konstanterne som indgår i formlerne og derefter beregnes modstand. Krængningsmodstanden beregnes udfra følgende formel. R H 2 = 0 s H n 2,5 ρ V S C F φ hvor C H = T T B T B T T Tc c wl wl 3 6, , , c c Kølens og rorets induceret modstand beregnes i funktion Dragkeel.m. Vi bruger det lift som vi har fundet tidligere til at bestemme en liftkoefficient for kølen og roret C L L = 0,5 ρ water V 2 s A

8 10 udfra denne liftkoefficient er det nu muligt at beregner den induceret dragkoefficient fra følgende udtryk C DI 2 CL = π AR Kølens og rorets induceret modstand bestemmes herefter ved R D 2 = C 0,5 ρ V L water s A Den samlede modstand som virker på båden bliver R = R + R + R + R Hvis den samlede modstand R ikke er lige den drivene kraften, F x så gættes der på en ny båd hastighed og man går tilbage til punkt 5. R F H D 9 - Flere vindretninger Der er i programmet lavet en løkke som køre true vindretningerne fra grader, med et interval på 3 grader Plotning af VPP diagram. Der laves et polært plot at bådens hastighed til de forskellige true vindretninger. Ønsker man nu at køre programmet for en anden true vindhastighed, så må man manuelt gå ind og rette V t til den ønskede værdi.

9 11 F o r s ø g Vægtberegning For at kunne pejle os ind på en kondition har vi lavet en lille vægtberegning. Bådens udrustning, skrog, køl, rør og roof har fået et placering ombord på båden. Alle vægtene er estimeret. Derefter har vi forsøgt at placere disse rundt omring på båden, hvorefter der laves en momentberegning. Udfra disse beregninger er de muligt at finde placeringen af bådens tyngdepunkt LCG, VCG og TCG. LCG = Long. Mom / Total weight VCG = Vert. Mom / Total weight TCG = Tran. Mom / Total weight Dette er vigtig fordi disse tre koordinater meget gerne skulle placerer sig omkring B opdriftscenteret så vores båd kan trimme rigtigt. På følgende skema 1 kan man se vores præliminær vægtberegning. Vægtberegning Hull Wh Emne Vægt [t] LCG [m] TCG VCG [m] Fra AP Fra CL Over BL Rudder Keel Hull Udrustning Wu Emne Vægt [t] LCG [m] TCG VCG [m] Fra AP Fra CL Over BL Rig (total) Roof Total weight W T Emne Vægt [t] LCG [m] TCG VCG [m] Fra AP Fra CL Over BL Total weight LCB LCB-LCG (from AP) skema 1

10 12 Kræfterne fra sejlene. For at kunne finde den fremadrettede kraft fra sejlene er der visse data som skal opgives. Målene kan ses på fig.4. P Højden storfaldet. E Længden af bomliget af storsejlet. I Højden af for trekanten. J Basislinien af for trekanten. As Sejl centeret. LPG Perpendikulæren af længste forsejl. HA Sejlcenteret højde over vanclinie Udfra disse data beregnes de forskellige sejlarealer. Storsejlet: A M = ½ P E Genua: A J = ½ (I 2 +J 2 ) ½ LPG Samt areal af den trekant som dannes af for staget, masten og fordækket. Sejl arealer af DS37 Målte værdier Fig. 4 Sejl arealer Fortrekant: A F = ½ I J Det nominelle areal kan herefter udregnes som: P 13,2 m A M 31,7 m 2 I 14,8 m A F 28,1 m 2 J 3,8 m AS 59,8 m 2 E 4,8 m HA 5,3 m 2 A N = A F + A M A s beregnes som den vægtede afstand mellem A m og A f. Ha er den lodrette afstand fra A s til vandlinien.

11 13 Beskrivelse af målinger på vandet For at verificere det udviklede VPP-program, er der foretaget en række målinger på den rigtige båd (en DS-matchracer). Målingerne er foretaget på følgende måde: Ved start af en måling er bådens stævn lagt i vindøjet, og den aktuelle vindretning er aflæst vha. skibets kompas. Derefter er der valgt en bestemt vinkel, som man ønsker at gå på vinden med. Fx 45 grader, som er en bidevind. Når båden er kommet op i fart markeres et waypoint på en håndholdt GPS-navigater. Derefter aflæses fart og retning med ½ min. interval over 5 min. Ligeledes noteres hældning af båden. Efter de 5 min. markeres et slutwaypoint. Under sidevindssejladserne er besætningen placeret på luv ræling. Målingen gentages ved forskellige vinkler til vinden. Disse vinkler vælges således at de ligger jævnt fordelt mellem bidevind (ca. 45 grad) og læns (90 grad). Samtidig med, at målingerne udføres måles strøm- og vindforhold fra en ledsagerbåd. Vinden er målt i 2 meters højde. Vindens hastighedsprofil antages at følge: Omskrives udtrykket fås følgende sammenhæng: U(h) = k h 1/7 U(h) = U målt,2m h 1/7 / 2 1/7

12 14 25 Vindprofil 20 højde [m] ,5 1 1,5 multiplikationsfaktor Som det ses, varierer hastigheden ikke voldsomt når man kommer over de 2 meter, hvor målingerne er gjort. Det vil derfor være rimeligt at bruge U(h sejlcenter ) som vindhastighed. Dvs. de målte vindhastigheder skal ca. ganges med en faktor 1,2 når man sammenligner med det computerberegnede VPP. Da der under sejladserne altid vil være lidt springende vind i styrke og retning, er det mest præcise at beregne en kurs mellem start- og slutwaypoint, samt en gennemsnitsfart, idet den nøjagtige distance mellem de to waypoint også kendes. Disse to værdier findes i praksis ved at lave en rute på GPS en mellem start- og slutwpt. Den udregner derefter kurs og distance. Farten findes, idet distancen er sejlet på nøjagtig 5 min. Det betyder at alle aflæsninger i de 5 min er overflødige. Alt findes ud fra start og slutwaypoint. Da VPP-programmet viser noget om bådens præstationsevner, og strøm ikke betyder noget for bådens egentlige ydelse, skal de målte hastigheder naturligvis korrigeres for strømmen. Dette gøres på følgende måde:

13 15 Eksempel på korrektion af måling: N (0/360) Strøm V (270) Ø (90) GPS Hast. gennem vandet S (180) Cosinusrelation: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(a) Strøm: 0,29 m/s, 355 grad GPS : 3,40 m/s, 151 grad Mindste vinkel imellem: 156 grad => a 2 = 0, , ,29 3,40 cos(156) => a =3,67 m/s *** De korrigerede værdier er følgende(fra sejlads 9.oktober 01): Måling Vinkel til vinden GPS-fart [m/s] Hastighed efter korrektion for Krængning [grader] (true) [grader] strøm [m/s] ,4 3, ,4 4, ,1 4, ,9 3,6 0 Målingerne fra sejladsen d. 30. okt. er ikke medtaget, da sejladsen foregik med reb i sejlet og størrelsen af rebet ikke kendes.

14 16 De korrigerede værdier kan nu indsættes i et VPP-diagram og sammenlignes med de teoretisk beregnede værdier. Desuden kan krængningen sammenlignes, idet den indikerer om de beregnede krafter og momenter i VPP-programmet er rimelige. Krængningsforsøg Bestemmelse af og kontrol af bådens tyngdepunkt G er især i den lodrette beliggenhed fra projektstadiet gennem bygning og udrustning af størst betydning for bådens stabilitetsforhold. Når et skib eller sejlbåd er færdigbygget og søsat, kan tyngdepunkts beliggenhed bestemmes ved et krængningsforsøg for Let skib dvs. den fuldt færdig båd, uden last, mandskab, proviant, stores og ferskvand. Dette er i praksis den letteste og nøjagtigste metode. Båden flyder som vist på fig.1 i oprejst stilling til vandlinie WL. Dybgangen er kendt teoretisk og man tage to målinger, fra agter- og forskibet for at finde trimmet og dermed kontrollerer deplacementet samt beliggenheden af opdriftscentret B. fig. 1

15 17 Krængningsvægtene(sejlerne) flyttes nu tværskibs, afstand b. Derved flyttes skibets tyngdepunkt fra G til G 1 og skibet krænger fra vandlinie WL til WL 1. Når skibet er i ligevægt i den krængede stilling vil opdriftscenter B 1 og bådens tyngdepunktet G 1 ligge på den sammen lodrette linie gennem metacenter M. Metacenterhøjden M er bestemmende for bådens begyndelsesstabilitet idet stabilitetsmomentet ved små krængninger er bestemt ved: Flytningen af G til G 1 kan udtrykkes ved relationen: M = D GM sin(f ) DGG 1 = w sejler b og GG 1 = w sejler b / D GG 1 er vinkelret på diametralplanet og derfor kan udtrykkes som: GG 1 = GM tan(φ) og GM = GG 1 / tan(φ) Dermed kan der opstilles følgende udtryk til beregning af bådens GM: KM aflæses fra I-ship, så man nu kan finde KG: GM = w sejler b½ /D tan(f ) KG = KM GM For at bestemme GM brugt vi en digital vinkelmåler. Den blev brugt for at måle vinkel udslag φ, under hver forsøg. Forsøgspersonernes tyngdepunkt refereres som Kg og er målt fra basis linien op til taljen. KG LET blev så udrenget ud fra den følgende udtryk: KG LET = ( KG D forsøg Kg w TOTAL ) / D LET Deplacementet blev korrigeret, da der er en forskel i massefylden mellem det vand bådens deplacementkurve er konstrueret for og det vand forsøget foretages i.

16 18 Krængningsforsøgets resultater Dybdegangen blev målt for- og agterskibs og resultaterne ses på skema 1 og på fig. 2 : Måling af dybtegang for- og agterskib (over WL) målt WL[m] Konstruktions WL[m] Agter For Middelværdi Skema 1 fig. 2 Vi tog tre prøver af massefylden fra Skovshoveds havnebassen vist på skema 2, men desværre viste de sig at være meget tvivlsom. Derfor har vi i stedet for brug de data som man kan få hos Denmarks Meteorologisk Instituts hjemmeside. De tager prøver af Øresunds massefylde mange gang om dagen. Vandets massefylde (forsøgets glas: 343g) vol [L] m 3 m[kg] ρ[kg/m 3 ] Forsøg 1 0,485 0,0005 0, ,8 Forsøg 2 0,449 0,0004 0, ,3 Forsøg 3 0,495 0,0005 0, ,0 Middelværdi 970,7 Målt fra DMI hjemmeside: 1013 Skema 2

17 19 Forsøget opstilling kan ses i skema 3 og skema 4 : Masse G af sejler kg z-retning[cm] sejler A 78,2 104 sejler B 92,4 114 sejler C 75,4 110 sejler D 89,2 110 sejler E[måler] Skema 3 Tyngdepunkt af sejler på båden x y z Alle(A,B,C,D) 7 1,6 1,3 Måler (E) 3,6 0,1 1,06 Skema 4 Krængnings momentet og heeling vinklerne blev målet og kan ses i skema 5 : Krængningsvægte Antal personer W MOMENT W TOTAL styrbord heel [grad] bagbord heel [grad] Middel værdi [grad] alle 335,2 400,2 4,7 5,5 5,1 alle 335,2 400,2 5,3 5,3 5,3 alle minus A ,7 4,5 4,1 alle minus A ,6 4,2 3,9 alle minus A & C 181,6 246,6 2,1 2,7 2,4 alle minus A og C 181,6 246,6 2,1 2,4 2,25 Skema 5

18 20 KM T blev så målt fra I-Ship og GM T udregnes som vi har forklaret tidligere. På skema 6 ses resultaterne fra vores målinger og udregninger. Krængningsforsøg og udregning af KG og GM Antal personer LET KM T GM T KG Kg KG LET GM LET alle 4353, ,171 1,769 1,355 0,414 1,407 0,313 1,456 alle 4353, ,171 1,769 1,304 0,465 1,407 0,370 1,399 alle minus A 4275, ,171 1,769 1,318 0,451 1,386 0,375 1,394 alle minus A 4275, ,171 1,769 1,365 0,404 1,386 0,325 1,444 alle minus A & C 4199, ,171 1,769 1,621 0,148 1,364 0,072 1,697 alle minus A og C 4199, ,171 1,769 1,703 0,066 1,364-0,015 1,784 Middelværdier: 0,346 1,423 Skema 6 Kommentar til krængningsforsøg For at få pålidelige måleresultater under et sådant forsøg, er det meget vigtigt at bådens krængning alene forekomme ved flytning af krængningsvægtene. Alle andre ukontrollable påvirkninger på båden skal undgås. Det var vi ikke i stand til at sikrer under vores forsøg. Vi kunne bl.a. ikke måle om der var noget frit vand under dækket. En anden faktor som har haft en indflydelse på vores målinger var, at båden var fortøjet i forskibet (pga. blæsten var fortøjning helt spændt op). Mht. massefylde målingerne var det meget svært at få nogle fornuftige resultater fordi det udstyr vi havde til rådighed var ikke nemme at aflæse data fra plus at der var mange usikkerheder omkring data udstyr (våd forsøgsflaske, våd vægt). Resultater Heel: Under forsøget blæst det omkring 8 m/s og vi er sikker på at dette har haft en indflydelse på vores resultater. Dette kan tydeligt ses på de to sidste forsøg (Alle minus A & C) som giver nogle helt andre udslag. Dem har vi valgt, efter rådgivning af en af vores forlæser, at kigge bort fra. En andet usikkerhed er at krængningsvinklerne er for store. Dvs. at når viklerne er stører end 2,5 o vil den nye opdriftslinie i så fald ikke gå gennem M,og det kan også give nogle afvigelser fra det rigtige tal. Trim: Som det ses er båden trimmet en lille smule for, men dette kan forklares siden vi havde to personer(d, E) ombord, D i forskibet og E i agterskibet som tog målingerne. D er omkring 24,2 kg tunger end E.

19 21 Resultatbehandling De her anviste måleresultater er korrigerede for strømmen den pågældende dag. For at tilpasse 1/ 7 vindstyrken benyttes det, at vinden i en given højde kan beskrives ved: u( h) = k h. Vi antager at vinden i sejlcenterets højde kan repræsentere vinden over hele sejlarealet. Oplyst er u( 2m) vinden i højden 2 m, sejlcenteret på båden er i en højde af 5.2 m. k bliver derfor: k = og 1 / 7 2 hastigheden i sejlcenteret: 5.2m u(5.2) = u(2m) = 1.15 u(2m). 2m Vores målinger blev taget lige omkring kl. 9:35 og vi har derfor valgt først og fremmest at sammenligne vores måleresultater med vindhastigheden 7,9m/s, som fremgår af wind and current / 7 måling SOG(gps) / m/s fart (korrigeret), knob gr. På vinden Vind Vind u(5.2m) knob (u(2m)) m/s 1 3,4 7, ,6 2 4,4 8, ,6 3 4,1 8, ,6 4 3,9 7, ,6 Indsættes ovenstående skema i samme plot som VPP-programmet fås følgende:

20 Det inderste plot er VPP-plot for gennemsnits vindhastigheden taget over 5 min, mens den yderste er den maksimale vindhastighed på 22,3 knob. Punkterne markeret med * er vores måleresultater den pågældende dag. Sammenligning af måleresultater og VPP-kurve Sammenligner vi vores måleresultater med vores VPP, får vi nogle resultater, der ligger utrolig tæt på hinanden. Man kan sige, at vi burde sejle lidt langsommere end vores VPP., da det beregnes ud fra optimale omstændigheder så som optimalt trim, konstant vindhastighed og fladt vand. Ved sammenligning af vores punkter i forhold til VPP-udregninger for middel vindhastighed,7,9 m/s, ses det, at punktet på 45 grader til vinden giver lavere hastighed end VPP-kurven. Grunden hertil kan være at skipper sejlede efter konstant kompaskurs og ikke optimalt efter vinden. På denne kurs kan det have betydet en væsentlig reduktion i hastigheden, hvis vi gik for højt til vinden. Desuden har vi valgt at negligere vindmodstand fra besætning og skrog, som især har indflydelse på krydsbenet. De næste punkter ligger lidt udenfor VPP-kurven. Det kan ikke umiddelbart forklares ved omstændigheder under sejladsen, og vil blive behandlet under fejlkilder i VPP. Beskrivelse af VPP-kurven Vi havde forventet en cirkelbue i intervallet omkring 60 grader til 140 grader, i stil med VPP-plottet for YD 40 i lærebogen.

21 23 Vores plot beskriver ikke en pæn cirkel, men giver derimod væsentligt højere hastigheder i et interval omkring 60 til 90 grader i forhold til vinden. Vi havde nok også regnet med at hastighederne ville aftage ved plat læns. Normalt kan det betale sig at skære lidt, hvilket vores VPP-program ikke viser. Det kan dog nævnes at vores måleresultater i dette område passer fint med VPP en. Fejlkilder i VPP Højde af sejlcenter Vi har beregnet sejlcentret ud fra trekantsberegninger i autocad, men har indsat det virkelige sejlareal oplyst på Dansk Sejlunions hjemmeside. Sejlcentrets placering har direkte indvirkning på momentet fra sejlet og dermed lifte og drag fra kølen. Derudover er der ændringen i vindhastigheden hvis sejlcentret flyttet i lodret retning. Da vindhastigheden ændrer sig som fkt. af højden er det en yderligere tilnærmelse at vi antage vindhastigheden konstant over hele sejlarealet og virkende kun i sejlcentret. Placering af besætning. Under udregningerne har vi antaget at besætningen altid sidder på kanten af båden. Det giver et negativt moment i eksempelvis let vejr og på læns. I disse situationer vil VPP-en give en for lille hastighed som følge af krængningsmodstand. Negligering af modstand fra mandskab. Som før nævnt har vi ikke taget modstanden fra mandskabet med. Medtager vi den vil båden i VPP en få en mindre hastighed i vinkelrummet fra 0 til 90 grader. Mest markant tæt mod vinden. Indførte vi det i programmet ville det muligvis kunne forklare noget af fejlen på det målte punkt ved kurs 44. Våde overflade areal på køl og ror er estimeret og ikke udregnet. Vi har grundet manglende oplysninger om Matchraceren ikke det rigtige areal på kølen og roret. Vi har derfor tilnærmet arealet med tværsnitsarealet. Denne tilnærmelse får igen båden til at sejle hurtigere, således kan det ikke forklare vores forsøgsresultater, der er langsommere end det beregnede.

22 24 V e r i f i c e r i n g a f V P P Vi vil i det følgende sammenligne udvalgte værdier fra VPP programmet med værdier beregnet i bogen. Ved kursen 143 og hastigheden 6.8 knob Friktionsmodstand Bogens værdi [N] Fundet fra VPP [N] Køl 93,6 81,9 Ror 34,0 41,0 Skrog 408,6 505,7 Det ses at vi har fornuftige værdier sammenlignet med bogens. Grunden til afvigelserne er, at vi ikke har ens værdier for våde overfladearealer for henholdsvis køl, ror og skrog. Det skal nævnes, at det våde overfladeareal for køl og ror er beregnet på baggrund af opmålinger i autocad. Skrogets våde overflade er fundet fra I-ship. I-ship medregner dog ikke opdrift fra køl og ror, og vi må derfor regne med at vores våde overfladeareal er en smule mindre i virkeligheden end beregnet. Det skal nu undersøges om de målte krængninger stemmer overens med dem, som man får fra VPP. Kurs [grader] Målt krængning [grader] Krængning fra VPP [grader] 44 23,6 39, ,0 12, ,1 5, ,7 Som det ses, er krængningen for en på kurs 44 grader væsentlig større i VPP end målt. Grunden hertil må være, at vi i VPP indfører en flattening faktor når momentet fra sejlet overskrider den maksimale krængning i GZ kurven. Altså blæser det en vis vindstyrke får vi iflg. VPP en maksimal krængning, mens der i praksis trimmes således at vi får en krængning som giver en optimal hastighed. For at få en optimal krængning slækkes der eksempelvis på storsejlet samt storsejlet flades. Når der skiftes til halvvind forsøger vi igen at opnå en optimal krængning og træk på sejlet. Hvorfor vi her får en større krængning kan umiddelbart kun forklares ved måleusikkerheder. Vinden under sejladsen var ikke helt konstant. Samtidig var de målte krængningsvinkler svære at aflæse nøjagtigt. En anden årsag kan være, at vi ikke har medregnet opdriften fra kølen. Da vores GZ kurve blev konstrueret ud fra I-ship medtog vi ikke opdriften fra køl og ror. Implementering af det ville bevirke en større krængning. De sidste to sidste krængningsvinkler stemmer nogenlunde overens og må derfor siges at understøtte vores VPP.

23 25 K o n k l u s i o n Under sammenligning mellem målte hastigheder og beregnede hastigheder fik vi meget ens resultater. Afgjort inden for de usikkerheder der diskuteres i resultatbehandling. De beregnede hastigheder var dog langsommere end de målte hvilket ikke var forventet. Der var store afvigelser mellem vores beregnede og målte krængningsvinkler. Det er muligt at forklare afvigelser ud fra usikkerheder i VPP og målinger. Under forudsætning af, at vores VPP-program repræsenterer matchracerens sejlegenskaber på fornuftig vis, kan man uddrage den konklusion at matchraceren er konstrueret til at sejle specielt stærkt på kryds og på læns. Det understøttes af vores måleresultater, og er hvad vi kan forvente når båden er lavet til at sejle på en op ned bane. DS37 i aktion.

24 26 B i l a g Bilag 1 VPP matlab koder vpp.m % vpp - Program %############################################# % Notation %############################################# % Vt : True wind speed % Vs : Ship speed % Va : Apparent wind % Beta : Apparent wind angle % L : Lift % D : Drag % Cl : lift coefficient % Cd : Drag coefficient % rho_a : Density of air [kg/m^3] % rho_w : Density of water [kg/m^3] % KnotvsMs : constant to transform unit from knot to m/s % Ss_main : sail area of main % Ss_Genoa : sail area of Genoa % Ss_jib : sail area of jib % Ss_spinnaker : sail area of spinnaker % gamma : Cours angle % Vmg : Speed made good % epselon_a : aerodynamic drag angle % epselon_h : hydrodynamic drag angle % Fa : Aerodynamic force % Fx : Driving force % Ws : Wetted surface % Ws_keel % Ws_rudder % mck : mean cord keel % mcr :mean cord rudder % phi : heel angle % V_awe : effective apparent wind velocity % Beta_awe : effektive apparent wind angle % Bmax : Max beam of yacht % F_A : Average freeboard % EHM : Mast height above sheer % EMDC : Average mast diameter % flat : Flattening faktor %############################################ Vs=[]; speed2=[]; heel=[]; kurs = []; flatning =[]; for itr = 1:51

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Udvikling af Dansk Handicap 1-2-2009

Udvikling af Dansk Handicap 1-2-2009 Udvikling af Dansk Handicap 1-2-2009 Teknisk Udvalg og Teknisk Afdeling i Dansk Sejlunion har lagt mange ressourcer i at udvikle og teste den nyste version af Dansk Handicap (DH) målereglen. Målet har

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Efficient Position Updating

Efficient Position Updating Efficient Position Updating Pervasive Positioning, Q3 2010 Lasse H. Rasmussen, 20097778 Christian Jensen, 20097781 12-03-2010 1 Introduktion Denne rapport har til formål at beskrive implementeringen og

Læs mere

Megin Teorihæfte. Frederikssund Maritime Børne- og unge center, Sejlerskolen

Megin Teorihæfte. Frederikssund Maritime Børne- og unge center, Sejlerskolen Megin Teorihæfte Frederikssund Maritime Børne- og unge center, Sejlerskolen Indholdsfortegnelse Side 2 Indholdsfortegnelse... Megin, mål og vægt... Hvad hedder det... Sejl & udstyr... Sejlerudtryk... Terminologi...

Læs mere

viden giver sejlglæde //

viden giver sejlglæde // øyvind bordal // magne klann Sejlerbogen viden giver sejlglæde // Sektion 1 Grundlæggende sejlads Sejlerbogen Sejlerbogen//Viden giver sejlglæde Blue Ocean Media FORFATTERE Øyvind Bordal, Magne Klann FOTO

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminationssted (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, G ISBN: 978-87-9288-11-4 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics 1.1 Gennemsnitsfarten findes ved at dividere den kørte strækning med den forbrugte tid i decimaltal. I regnearket bliver formlen =A24/D24. Resultatet

Læs mere

Håndbog i Meginjollen

Håndbog i Meginjollen Et nyt Sprog Håndbog i Meginjollen af Finn R. Andersen (Megin 443) Et nyt sprog En god ven af mig bor i Mexico City langt fra havet og sejlbare søer. I forbindelse med sin uddannelse skulle han tilbringe

Læs mere

STABILITETSBOG "W. Klitgaard" O X B X

STABILITETSBOG W. Klitgaard O X B X STABILITETSBOG "W. Klitgaard" O X B X Udført : December, 2009 Projekt : W.Klitgaard Dokument nr. : Klitgaard-RPT-101-001 Version : 01 Udført af : Tomas Valsson INDHOLD AFSNIT SIDE 1 Indledning 1 Hoveddata

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

PRÆSENTATION AF PROJEKT TIL SEJLSKOLESKIB GEORG STAGE III GS III SØFARTSTEKNISK FORENING / SKIBSTEKNISK SELSKAB 2010-12-06

PRÆSENTATION AF PROJEKT TIL SEJLSKOLESKIB GEORG STAGE III GS III SØFARTSTEKNISK FORENING / SKIBSTEKNISK SELSKAB 2010-12-06 PRÆSENTATION AF PROJEKT TIL SEJLSKOLESKIB GEORG STAGE III GS III SØFARTSTEKNISK FORENING / SKIBSTEKNISK SELSKAB INDHOLD AF PRÆSENTATION Baggrund og erfaring ASD Sejlskibsprojekter Skibstyper Rigning Georg

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

FORTOLKNINGER AF REGEL 42, FREMDRIVNINGSMIDLER

FORTOLKNINGER AF REGEL 42, FREMDRIVNINGSMIDLER FORTOLKNINGER AF REGEL 42, FREMDRIVNINGSMIDLER FORTOLKNINGER AF ANVENDTE BEGREBER Når et begreb anvendes som defineret herunder, er det skrevet i kursiv. Andre begreber, som har betydning i regel 42, er

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11 Opgavens art: Opgaveformulering: Fagområde: Opgavens varighed: Teoretisk Gennemgang af lommeregner Sprøjtestøbning 4 lektioner Niveau, sammenlignet med uddannelsen: Henvisning til hjælpemidler: Grunduddannelse

Læs mere

Horsens Sejlklub Velkommen til nye sejlere 2015. Hjælp til hvad udstyret hedder på jollen samt gode råd og fif

Horsens Sejlklub Velkommen til nye sejlere 2015. Hjælp til hvad udstyret hedder på jollen samt gode råd og fif Horsens Sejlklub Velkommen til nye sejlere 2015 Hjælp til hvad udstyret hedder på jollen samt gode råd og fif Hvad hedder udstyret på optimistjollen Længde: Bredde: Skrogvægt: 230 cm 113 cm 35 kg Sejlareal:

Læs mere

"PLATONISK TRIM" Trimning af forsejl:

PLATONISK TRIM Trimning af forsejl: "PLATONISK TRIM" Trimning af forsejl: Følgende artikel er oprindeligt skrevet af Poul Viesmose og tidligere offentliggjort i Drabant 22-Nyt Årgang 11 nr. 6. 1) Uldsnore og faconstriber. For at kunne vurdere,

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

Denne artikel stammer fra Bådnyt nr. 3/81. I det pågældende nummer af Bådnyt står: Stof fra bladet må i Danmark kun citeres med tydelig

Denne artikel stammer fra Bådnyt nr. 3/81. I det pågældende nummer af Bådnyt står: Stof fra bladet må i Danmark kun citeres med tydelig Denne artikel stammer fra Bådnyt nr. 3/81. I det pågældende nummer af Bådnyt står: Stof fra bladet må i Danmark kun citeres med tydelig kildeangivelse. Artikler og billeder i Bådnyt kan ikke uden forlagets

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

KAN MAN SE VINDEN? HVAD ER VIND? LUFTTRYK VI MÅLER LUFTTRYKKET

KAN MAN SE VINDEN? HVAD ER VIND? LUFTTRYK VI MÅLER LUFTTRYKKET KAN MAN SE VINDEN? HVAD ER VIND? For at svare på spørgsmålet om, hvad vind er, så skal vi vide noget om luft. I alle stoffer er molekylerne i stadig bevægelse. I faste stoffer ligger de tæt og bevæger

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Introduktion af William Friis-Møller. Sejlads erfaring:

Introduktion af William Friis-Møller. Sejlads erfaring: Velkommen Introduktion af William Friis-Møller CV 2 år rådgivende ingeniør firma i Køge 2 år planlægger på Helsingør Værft 25 år Teknisk Chef (Skibsaptering) 4 år Service Chef hos X-Yachts 1½ år Sælger

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I skal nu lave beregninger over jeres testresultater. I skal bruge jeres testark og ternet papir. Mine resultater Du skal beregne gennemsnittet af dine egne tider. Hvilket

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

2. En knallert må i Danmark køre 30 km/t. Hvordan er Dæmonens hastighed i toppen af loopet, i forhold til en knallert, der kører 30 km/t.?

2. En knallert må i Danmark køre 30 km/t. Hvordan er Dæmonens hastighed i toppen af loopet, i forhold til en knallert, der kører 30 km/t.? Inspirationsark 1. I Tivoli kan du lave et forsøg, hvor du får lov til at tage et plastikglas med lidt vand med op i Det gyldne Tårn. Hvad tror du der sker med vandet, når du bliver trukket ned mod jorden?

Læs mere

Trim og andet godt. En historie fortalt af Søren Andresen DEN 93

Trim og andet godt. En historie fortalt af Søren Andresen DEN 93 Trim og andet godt En historie fortalt af Søren Andresen DEN 93 Begyndelsen Lad mig først med, at sige at denne gennemgang, kun skal ses som vejledende. Det er ikke den ende gyldige sandhed, men et udtryk

Læs mere

Tegnet af Peer Bruun Inspireret af vikingeskibene

Tegnet af Peer Bruun Inspireret af vikingeskibene Tegnet af Peer Bruun Inspireret af vikingeskibene Længde: 465 cm Bredde: 162 cm Skroghøjde: 70 cm Vægt : 145 kg Flydetanke: 300 liter Ballast: 100 kg Dybdegang: 30/68 cm Sejlarial: 10 m2 CE godkendt til

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16

Tak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

SØFARTSSTYRELSEN. Eksaminationssted (by) Fulde navn: SØVEJSREGLER

SØFARTSSTYRELSEN. Eksaminationssted (by) Fulde navn: SØVEJSREGLER SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminationssted (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 3. grad. Y3Søv-1/99

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

BRUGSANVISNING BY0011 H610 CAL

BRUGSANVISNING BY0011 H610 CAL BRUGSANVISNING BY0011 CAL H610 FUNKTIONSOVERSIGT Gang reserve indikation Overopladning sikkerheds funktion Utilstrækkelig opladnings advarsels funktion (to-sekunders interval bevægelse) Energibesparende

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Sæl diplom. At han/hun kan: At han/hun ved: At han/hun tør: har vist

Sæl diplom. At han/hun kan: At han/hun ved: At han/hun tør: har vist Sæl diplom Tømme båden for vand. Svømme m med redningsvest Få båden til at ligge stille i vindøjet og få den til at sejle igen. Lave råbåndsknob og ottetalsknob. Nævne navnene på holdkammeraterne og træneren.

Læs mere

Evaluering af matematikundervisningen december 2014

Evaluering af matematikundervisningen december 2014 Evaluering af matematikundervisningen december 0 Evalueringen er udarbejdet på baggrund af et ønske om dokumentation for elevernes udbytte af matematikundervisningen. Af forskellige årsager er evalueringen

Læs mere

Årsprøve i matematik 1y juni 2007

Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

kapsejlads start bådhåndtering bådfart taktik & strategi

kapsejlads start bådhåndtering bådfart taktik & strategi Bådhåndtering 4.3 Her starter al kapsejlads det her er bunden af pyramiden. En almindelig mandskabs-størrelse i en kølbåd er 4-8 personer, og når så mange hænder skal arbejde sammen på meget lidt plads

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

Sikkerhedsinstruks for Matcher 37 - sejlads med kølbåd over 20 målet (længde x bredde)

Sikkerhedsinstruks for Matcher 37 - sejlads med kølbåd over 20 målet (længde x bredde) Sikkerhedsinstruks for Matcher 37 - sejlads med kølbåd over 20 målet (længde x bredde) Udarbejdet af Ranum Efterskole vers.26.11.12 OS 1. Identifikation af redderen Olav Storm, Forstander Ranum Efterskole

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

SEJLADSBESTEMMELSER 2015.

SEJLADSBESTEMMELSER 2015. SEJLADSBESTEMMELSER 2015. Gældende for tirsdags sejladser Hvilke regler sejler vi efter Pkt. 1 Regler Side. 2 Pkt. 2 Max vindstyrke Side. 2 Pkt. 3 Meddelelser til deltagerne Side. 2 Banen Pkt. 4 Kapsejladsområde

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager

Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Afleveringsdato: 30. oktober 2007* *Ny afleveringsdato: 13. november 2007 1 Kalorimetri

Læs mere

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

vækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN

PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN KemiF1 laboratorieøvelser 2008 ØvelseF1-2 PARTIELT MOLÆRT VOLUMEN Indledning I en binær blanding vil blandingens masse være summen af komponenternes masse; men blandingens volumen vil ikke være summen

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

5 GODE RÅD. Denne bog tilhører:

5 GODE RÅD. Denne bog tilhører: SØMANDSBOG Denne bog tilhører: 5 GODE RÅD 1 Lær at sejle Ha styr på, hvordan du redder en mand ombord igen 2 Hold dit grej i orden Giv dit udstyr og motor et sikkerhedstjek 3 Planlæg din tur Tjek søkort,

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Nivelleringsinstrument 8926 Betjeningsvejledning

Nivelleringsinstrument 8926 Betjeningsvejledning Nivelleringsinstrument 8926 Betjeningsvejledning - 1 - BESKRIVELSE (FIG. 1) 1. Bundplade 2. Vandret cirkel /gon-skala 3. Vandret cirkel referencemærke / gonskala-aflæsning 4. Kompensatorlås 5. Fokuseringsskruer

Læs mere

Vindkræfter på Containerskibe

Vindkræfter på Containerskibe Vindkræfter på Containerskibe Polyteknisk Midtvejsprojekt Udarbejdet af: Ingrid Marie Vincent Andersen s031820 Vejleder: Poul Andersen Udarbejdet i samarbejde med FORCE Technology, Lyngby 1. juni 2007

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Enkelt og dobbeltspalte

Enkelt og dobbeltspalte Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Antal timer Varmebehov [kw] Udført for Energistyrelsen af Pia Rasmussen, Teknologisk Institut 31.december 2011 Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Følgende dokument giver en generel introduktion

Læs mere

Tre både i prøvesejlads

Tre både i prøvesejlads Denne artikel stammer fra Bådnyt nr. 9/97. I det pågældende nummer af Bådnyt står: Artikler og billeder i Bådnyt må ikke benyttes ved salgsvirksomhed. Der er ikke her tale om salgsvirksomhed. Betingelsen

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Elektronisk søkortsystem

Elektronisk søkortsystem Kapitel 3 side 18 Elektronisk søkortsystem Et elektronisk søkortsystem samler oplysninger fra mange forskellige navigationsinstrumenter. Oplysningerne bliver vist på et elektronisk søkort, som navigatøren

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

MED VIKINGERNE TIL SØS. Skoletjenesten Vikingeskibsmuseet

MED VIKINGERNE TIL SØS. Skoletjenesten Vikingeskibsmuseet MED VIKINGERNE TIL SØS Skoletjenesten Vikingeskibsmuseet Med vikingerne til søs For at sejle et vikingeskib er det nødvendigt, at mandskabet består af dygtige søfolk. De skal have erfaring med vind og

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

Kinematik. Ole Witt-Hansen 1975 (2015) Indhold. Kinematik 1

Kinematik. Ole Witt-Hansen 1975 (2015) Indhold. Kinematik 1 Kinematik Kinematik Indhold. Retlinet beægelse.... Jæn retlinet beægelse...3 3. Ujæn beægelse...4 4. Konstant accelereret beægelse...5 5. Tilbagelagt ej ed en konstant accelereret beægelse...8 6. Frit

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Brug af høj tavlevogn

Brug af høj tavlevogn Brug af høj tavlevogn Evaluering af hastighed og synlighed Foreløbig udgave Poul Greibe 2. juli 2012 Scion-DTU Diplomvej 376 2800 Lyngby www.trafitec.dk Indhold 1 Sammenfatning og konklusion... 3 2 Introduktion...

Læs mere

Ventilationsanlæg (projekt 2)

Ventilationsanlæg (projekt 2) Ventilationsanlæg (projekt 2) Titel:... Ventilationsanlæg Afleveret:...2004.05.11 DTU-diplomlinie:... By og Byg.Ing DTU-kursus:...11937... Grundlæggende indeklima-,... installations- og energidesign (2)

Læs mere

Målinger af stofskifte

Målinger af stofskifte Målinger af stofskifte vha. Udstyr fra Skolebutik.dk Formål: Denne vejledning giver dig mulighed for at bestemme 1) Lungeventilationen i liter pr minut. 2) Iltforbruget i liter pr minut. 3) Carbondioxidproduktionen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler

Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Lektion 9s Statistik - supplerende eksempler Middelværdi for grupperede observationer... Summeret frekvens og sumkurver... Indekstal... Lektion 9s Side 1 Grupperede observationer Hvis man stiller et spørgsmål,

Læs mere