Indholdsfortegnelse. DTU kursus 41260: Yachtsejlads - teori og praksis Hold 8

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Indholdsfortegnelse. DTU kursus 41260: Yachtsejlads - teori og praksis Hold 8"

Transkript

1 3 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 3 Indledning 4 Beskrivelse af VPP 5 Forsøg 11 Vægtberegning 11 Kræfterne fra sejlene. 12 Beskrivelse af målinger på vandet 13 Krængningsforsøg 16 Krængningsforsøgets resultater 18 Kommentar til krængningsforsøg 20 Resultater 20 Resultatbehandling 21 Sammenligning af måleresultater og VPP-kurve 22 Beskrivelse af VPP-kurven 22 Fejlkilder i VPP 23 Verificering af VPP 24 Konklusion 25 Bilag 26 Bilag 1 VPP matlab koder 26 vpp.m 26 cdclcoef.m 30 FroudeMin.m 31 FroudeMax.m 33 Dragkeel.m 34 FrictionRes.m 34 HeelRes.m 35 Bilag 2 VPP plot for forskellige vindhastigheder 36 Bilag 3 GZ kurve og I-ship data 38

2 4 I n d l e d n i n g Nutidens Sejlbåds designere søger konstant at finde lidt ekstra præstation i deres designs. Der er mange analytiske metoder som en designer kan bruge for at estimere præstation på et skrog: computer performance prediction, tank forsøg og fuld skala 1:1 båd forsøg. Disse værktøjer er værdifulde på mange forskellige niveauer af design spiralen eksempelvis når et projekt lige er påbegyndt, ved modificering af en eksisterende båd eller blot at forstå præstationsparamenterne af en båd så den kan blive sejlet optimalt. Computer performance prediction stammer fra et ambitiøst projekt, udført på Massachusetts Institute of Technologi (MIT) i 1970 erne. Ved at udføre tankforsøg med en fuldskala båd fandt de størrelsen af modstanden på skrog, køl og ror. Sejlkraftkoefficienterne var meget svære at måle, men efter mange timer på vandet og en kolossal mængde af måledata lykkedes det for dem. Ved variation af målinger udvikledes koefficienterne til de matematiske formler, således at de kunne bestemme sejlegenskaberne for alle skrog- og sejltyper. Den matematik der kom ud af tankforsøgene og sejl koefficienterne skabte fundamentet for det vi i dag kalder Velocity Prediction Program (VPP). Formålet med denne rapport er, at fremstille et sådant teoretisk Velocity Prediction Program. Programmet udvikles ud fra betragtninger af kraft- og momentligevægte samt forsøgsbaserede ligninger og verificeres derefter ud fra feltmålinger. Feltmålingerne blev lavet på en DS Matchracer 37, ligesom VPP en er udviklet for samme båd.

3 5 Beskrivelse af VPP Programmet er skrevet i MATLAB. Der er flere årsager til, at netop MATLAB er valgt til dette projekt. Den væsentligste årsag er, at det er forholdsvis enkelt at lave konvergens og iterations løkker i M ATLAB, i forhold til f.eks. Excel. Programmet er bygget op af et hovedprogram og nogle funktioner. I hovedprogrammet foretages de væsentligste beregninger, og i funktionerne foretages der primært interpolation af koefficientværdier fra tabeller, som skal bruges til diverse ligninger. Nedenfor ses flowdiagrammet for programmet, og i det følgende vil hver enkelt del af flowdiagrammet blive beskrevet nøjere. 1. Input af båd data og fysiske konstanter. 2.True vindhastighed og retning. 3. Gæt på bådens hastighed. 4. Gæt på krængning. 5. Bestemmelse af apparent vindhastighed og retning fra vindtrekant. 6. Bestemmelse af aerodynamiske kræfter. 7. Krængnings konvergens. 8. Konvergens af båd hastighed. 9. Flere vindretninger. 10. plotning af VPP diagram. Figur 3 VPP flowdiagram 1 - Input af båd data og fysiske konstanter. Diverse mål for DS 37' One Design Match Racer, samt fysiske konstanter defineres. Målene for DS 37' One Design Match Racer er bestemt udfra udleveret tegninger i auto cad og fra nettet på adressen danishopen.dk/eventinfo/yachts.php.

4 6 2 - True vindhastighed og retning. True vindhastighed, V t er den eneste parameter i hele programmet som man skal definere inden, at programmet køres. Der er i programmet lavet en løkke som sørger for, at man får forskellige true vindretninger, γ i intervallet 29 til 179 grader med et interval på 3 grader. 3 - Gæt på bådens hastighed. Bådens start hastighed, V s er sat til at være 6,8 knob og hastigheden omregnes til meter per sekund for at få det i SI-enheder. 4 - Gæt på krængning. Bådens start krængning, φ, sættes til at være 10 grader. 5 - Bestemmelse af apparent vindhastighed og retning fra vindtrekant. Idet at true vindhastighed og retning, samt bådens hastighed er kendt på dette tidspunkt kan man beregne apparent vindhastighed og retning udfra vindtrekanten fig. 5.2 fra lærebogen. Først beregnes apparent vindhastighed ved hjælp af cosinusrelationen. V a 2 2 = Vt + Vs 2VtVs cos( π γ ) herefter bestemmes apparent vindretning, β udfra cosinusrelationen. β V = a cos 2 s 2 + Va V 2V V s a 2 t 6 - Bestemmelse af aerodynamiske kræfter. På grund af bådens krængning bliver apparent vindhastighed og retning lidt anderledes rundt om sejlet, og dette tages der højde for ved at bestemme den effektive apparent vindhastighed, V awe og retning, βawe ved sejlet. Til at bestemme V awe og βawe anvendes fig fra lærebogen. Først bestemmes to hjælpe apparent vindhastigheder V 1 og V 2 som er henholdsvis langs bevægelsesretningen, og den rigtige vinkel til mast og retning. V V 1 2 = V + V cos( γ ) s t t T sin( γ )cos( φ) Den effektive apparent vindhastighed og retning kan nu bestemmes udfra V awe = V 1 V2 β awe V = arctan 2 V 1 Før at man kan bestemme lift og drag fra sejlet skal lift og dragkoefficienterne for sejlene findes. Det skal lige pointeres, at vi i programmet kun betragter det tilfælde hvor båden er udstyret med et storsejl

5 7 og en jib. Lift og drag koefficienterne for sejlene bestemmes i funktionen clcdcoef.m, hvor lift og drag koefficienterne for henholdsvis storsejlet og jibben bestemmes udfra en lineære interpolation af de data som findes i tabel 1a og 1b i lærebogen på side 149. Som indgangsparameter i interpolationen bruges den effektive apparent vindretning. I lærebogen er det anført at en lineær interpolation af lift og drag koefficienter ikke er den mest optimale metode til at bestemme dem. Men vi har igennem test af programmet fundet ud af at lineær interpolation af koefficienterne giver det bedste resultat. Dette skyldes primært, at man får nogle polynomier for lift og drag koefficienter for henholdsvis storsejlet og jibben, som svinger meget, hvis man prøver at beskrive koefficienterne med polynomier. Dette bevirker at ens lift og drag koefficienter kommer til at variere meget inden for nogle få grader, hvilket medføre at båden vil accelerere forholdsvis meget hvis man bare ændre bådens kurs lidt. Dette er selvfølgeligt fysisk ukorrekt og derfor har vi valgt at bruge lineær interpolation til at bestemme lift og drag koefficienterne. Den endelige liftkoefficient for sejlet findes ved at gange liftkoefficienten for henholdsvis storsejlet og jibben med deres respektive areal og dividere med det samlet sejl areal, A n. C L C = L, main A main A + C n L, jib A jib Den viskose, inducerede og mast/topsides dragkoefficient, bestemmes ved C DP C = D, main A main A + C n D, jib 2 1 CDI = CL + 0, 005 π AR BMAX FA + EHM EMDC CDO = 1, 13 An Den samlede dragkoefficient findes ved at summere de ovenstående koefficienter C = C + C + C D Lift og drag på sejlet kan nu bestemmes på baggrund af de fundne drag- og liftkoefficienter. DP DI DO A jib L = ½C L D = ½C Med det fundne lift og drag kan man beregne den aerodynamiske, F a driving, F x og sejl side kræften, F y fra D ρ ρ air air A V n A V n 2 awe 2 awe F L 2 D 2 a = + F x = sin ε ( h ) Fa

6 8 y 2 a F = F + F 2 x hvor εh er den aerodynamiske drag vinkel. 7 - Krængnings konvergens. Størrelsen af den kraft som virker på sejlet er lige så stor som den der virker på kølen. Hvilket vil sige, at det moment som båden må føle er givet ved ( ) F ( arm + T T ) moment = cos ε ½ + h hvor arm er afstanden fra sejlecenteret til bådens tyngdepunkt. Båden modvirker dette moment med et oprettende moment, RM som er givet ved a k c RM = mg GZ For at bådens krængning er konstant skal RM være lige så stort som moment. Man kan nu bestemme bådens krængning ved at udregne en GZ værdi, og ud fra den kan man bestemme krængningen fra den GZ kurve som er udregnet tidligere. Vi har valgt at medtage det oprettende moment som besætningen giver idet de sidder på kanten af båden. Vi har antaget at man er 6 personer som hver har en vægt på 80 kg. Med denne antagelse kommer udtrykket for GZ til at se således ud GZ = ( moment 80 arm cos( φ) ) 6 2 ρ water g hvor arm 2 er afstand fra personerne til midt på båden, hvor bådens tyngdeakse er. Udfra GZ værdien bestemmes nu bådens aktuelle krængning fra GZ kurven. Hvis den fundne krængning ikke er den samme som den tidligere krængning (start krængningen ved første gennemløb) så går man tilbage til punkt 6 og beregner den aerodynamiske kraft med den ny krængning. Dette forløb gentages indtil at krængningen konvergere. I nogle tilfælde oplever man, at den fundne GZ værdi er større end hvad den kan være i forhold til GZ-kurven, og i dette tilfælde indføres en flattening faktor som ganges på ens C L. Flattening faktor er et udtryk for, at man flader ens sejl, hvorved at moment fra sejlet bliver mindre. Størrelsen af denne flattening faktor afgøres af programmet, idet at der trækkes 0,01 fra den default flattening faktor, som er 1, indtil at man for en GZ-værdi som er mindre eller lige den maksimale tilladelige GZ-værdi. Det har vist sig, at flattening faktoren ligger i intervallet , med en V t på 22 knob. 8 - Konvergens af båd hastighed. Hvis båden skal have en konstant hastighed skal driving kraften, F x være lige modstand, R. Idet at F x er kendt mangler man bare at beregne modstanden. Man har 4 forskellige modstande som virker på båden, nemlig residuary, friktions, krængning og kølens inducerede modstanden. I programmet udregnes de forskellige modstande i hver deres funktion, dog udregnes residuary modstanden i en af de to residuary funktioner alt afhængige af det pågældende Froudetal. Funktionerne heder Dragkeel.m, frictionres.m, FroudeMin.m, FrodeMax.m og heelres.m og de forefindes i bilag 1.

7 9 Friktionsmodstanden udregnes efter Delft formel for friktion som er givet ved hvor hver komponent beregnes ved R = R + F + R F Fcanoebody Fkeel Frudder hvor C R F F = = C F ½V Sρ ( log R 2) 2 s 0,075 n R = n LV ν s hvor S er wetted surface og L er 0,7L wl for canoebody og mean chord for henholdsvis køl og ror. Residuary modstanden, R R beregnes udfra en af formlerne, low og high speed, som ses i lærebogen i henholdsvis Fig 5.18 og Det som er afgørende for hvilken at disse to formler som man skal anvende til beregning af resisduary modstand er ens Froudetal, som er givet ved F n = V s g L wl Proceduren i de to funktioner for resisduary modstand er, at man bruger sit Froudetal som indgangsparameter i en lineær interpolation af konstanterne som indgår i formlerne og derefter beregnes modstand. Krængningsmodstanden beregnes udfra følgende formel. R H 2 = 0 s H n 2,5 ρ V S C F φ hvor C H = T T B T B T T Tc c wl wl 3 6, , , c c Kølens og rorets induceret modstand beregnes i funktion Dragkeel.m. Vi bruger det lift som vi har fundet tidligere til at bestemme en liftkoefficient for kølen og roret C L L = 0,5 ρ water V 2 s A

8 10 udfra denne liftkoefficient er det nu muligt at beregner den induceret dragkoefficient fra følgende udtryk C DI 2 CL = π AR Kølens og rorets induceret modstand bestemmes herefter ved R D 2 = C 0,5 ρ V L water s A Den samlede modstand som virker på båden bliver R = R + R + R + R Hvis den samlede modstand R ikke er lige den drivene kraften, F x så gættes der på en ny båd hastighed og man går tilbage til punkt 5. R F H D 9 - Flere vindretninger Der er i programmet lavet en løkke som køre true vindretningerne fra grader, med et interval på 3 grader Plotning af VPP diagram. Der laves et polært plot at bådens hastighed til de forskellige true vindretninger. Ønsker man nu at køre programmet for en anden true vindhastighed, så må man manuelt gå ind og rette V t til den ønskede værdi.

9 11 F o r s ø g Vægtberegning For at kunne pejle os ind på en kondition har vi lavet en lille vægtberegning. Bådens udrustning, skrog, køl, rør og roof har fået et placering ombord på båden. Alle vægtene er estimeret. Derefter har vi forsøgt at placere disse rundt omring på båden, hvorefter der laves en momentberegning. Udfra disse beregninger er de muligt at finde placeringen af bådens tyngdepunkt LCG, VCG og TCG. LCG = Long. Mom / Total weight VCG = Vert. Mom / Total weight TCG = Tran. Mom / Total weight Dette er vigtig fordi disse tre koordinater meget gerne skulle placerer sig omkring B opdriftscenteret så vores båd kan trimme rigtigt. På følgende skema 1 kan man se vores præliminær vægtberegning. Vægtberegning Hull Wh Emne Vægt [t] LCG [m] TCG VCG [m] Fra AP Fra CL Over BL Rudder Keel Hull Udrustning Wu Emne Vægt [t] LCG [m] TCG VCG [m] Fra AP Fra CL Over BL Rig (total) Roof Total weight W T Emne Vægt [t] LCG [m] TCG VCG [m] Fra AP Fra CL Over BL Total weight LCB LCB-LCG (from AP) skema 1

10 12 Kræfterne fra sejlene. For at kunne finde den fremadrettede kraft fra sejlene er der visse data som skal opgives. Målene kan ses på fig.4. P Højden storfaldet. E Længden af bomliget af storsejlet. I Højden af for trekanten. J Basislinien af for trekanten. As Sejl centeret. LPG Perpendikulæren af længste forsejl. HA Sejlcenteret højde over vanclinie Udfra disse data beregnes de forskellige sejlarealer. Storsejlet: A M = ½ P E Genua: A J = ½ (I 2 +J 2 ) ½ LPG Samt areal af den trekant som dannes af for staget, masten og fordækket. Sejl arealer af DS37 Målte værdier Fig. 4 Sejl arealer Fortrekant: A F = ½ I J Det nominelle areal kan herefter udregnes som: P 13,2 m A M 31,7 m 2 I 14,8 m A F 28,1 m 2 J 3,8 m AS 59,8 m 2 E 4,8 m HA 5,3 m 2 A N = A F + A M A s beregnes som den vægtede afstand mellem A m og A f. Ha er den lodrette afstand fra A s til vandlinien.

11 13 Beskrivelse af målinger på vandet For at verificere det udviklede VPP-program, er der foretaget en række målinger på den rigtige båd (en DS-matchracer). Målingerne er foretaget på følgende måde: Ved start af en måling er bådens stævn lagt i vindøjet, og den aktuelle vindretning er aflæst vha. skibets kompas. Derefter er der valgt en bestemt vinkel, som man ønsker at gå på vinden med. Fx 45 grader, som er en bidevind. Når båden er kommet op i fart markeres et waypoint på en håndholdt GPS-navigater. Derefter aflæses fart og retning med ½ min. interval over 5 min. Ligeledes noteres hældning af båden. Efter de 5 min. markeres et slutwaypoint. Under sidevindssejladserne er besætningen placeret på luv ræling. Målingen gentages ved forskellige vinkler til vinden. Disse vinkler vælges således at de ligger jævnt fordelt mellem bidevind (ca. 45 grad) og læns (90 grad). Samtidig med, at målingerne udføres måles strøm- og vindforhold fra en ledsagerbåd. Vinden er målt i 2 meters højde. Vindens hastighedsprofil antages at følge: Omskrives udtrykket fås følgende sammenhæng: U(h) = k h 1/7 U(h) = U målt,2m h 1/7 / 2 1/7

12 14 25 Vindprofil 20 højde [m] ,5 1 1,5 multiplikationsfaktor Som det ses, varierer hastigheden ikke voldsomt når man kommer over de 2 meter, hvor målingerne er gjort. Det vil derfor være rimeligt at bruge U(h sejlcenter ) som vindhastighed. Dvs. de målte vindhastigheder skal ca. ganges med en faktor 1,2 når man sammenligner med det computerberegnede VPP. Da der under sejladserne altid vil være lidt springende vind i styrke og retning, er det mest præcise at beregne en kurs mellem start- og slutwaypoint, samt en gennemsnitsfart, idet den nøjagtige distance mellem de to waypoint også kendes. Disse to værdier findes i praksis ved at lave en rute på GPS en mellem start- og slutwpt. Den udregner derefter kurs og distance. Farten findes, idet distancen er sejlet på nøjagtig 5 min. Det betyder at alle aflæsninger i de 5 min er overflødige. Alt findes ud fra start og slutwaypoint. Da VPP-programmet viser noget om bådens præstationsevner, og strøm ikke betyder noget for bådens egentlige ydelse, skal de målte hastigheder naturligvis korrigeres for strømmen. Dette gøres på følgende måde:

13 15 Eksempel på korrektion af måling: N (0/360) Strøm V (270) Ø (90) GPS Hast. gennem vandet S (180) Cosinusrelation: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos(a) Strøm: 0,29 m/s, 355 grad GPS : 3,40 m/s, 151 grad Mindste vinkel imellem: 156 grad => a 2 = 0, , ,29 3,40 cos(156) => a =3,67 m/s *** De korrigerede værdier er følgende(fra sejlads 9.oktober 01): Måling Vinkel til vinden GPS-fart [m/s] Hastighed efter korrektion for Krængning [grader] (true) [grader] strøm [m/s] ,4 3, ,4 4, ,1 4, ,9 3,6 0 Målingerne fra sejladsen d. 30. okt. er ikke medtaget, da sejladsen foregik med reb i sejlet og størrelsen af rebet ikke kendes.

14 16 De korrigerede værdier kan nu indsættes i et VPP-diagram og sammenlignes med de teoretisk beregnede værdier. Desuden kan krængningen sammenlignes, idet den indikerer om de beregnede krafter og momenter i VPP-programmet er rimelige. Krængningsforsøg Bestemmelse af og kontrol af bådens tyngdepunkt G er især i den lodrette beliggenhed fra projektstadiet gennem bygning og udrustning af størst betydning for bådens stabilitetsforhold. Når et skib eller sejlbåd er færdigbygget og søsat, kan tyngdepunkts beliggenhed bestemmes ved et krængningsforsøg for Let skib dvs. den fuldt færdig båd, uden last, mandskab, proviant, stores og ferskvand. Dette er i praksis den letteste og nøjagtigste metode. Båden flyder som vist på fig.1 i oprejst stilling til vandlinie WL. Dybgangen er kendt teoretisk og man tage to målinger, fra agter- og forskibet for at finde trimmet og dermed kontrollerer deplacementet samt beliggenheden af opdriftscentret B. fig. 1

15 17 Krængningsvægtene(sejlerne) flyttes nu tværskibs, afstand b. Derved flyttes skibets tyngdepunkt fra G til G 1 og skibet krænger fra vandlinie WL til WL 1. Når skibet er i ligevægt i den krængede stilling vil opdriftscenter B 1 og bådens tyngdepunktet G 1 ligge på den sammen lodrette linie gennem metacenter M. Metacenterhøjden M er bestemmende for bådens begyndelsesstabilitet idet stabilitetsmomentet ved små krængninger er bestemt ved: Flytningen af G til G 1 kan udtrykkes ved relationen: M = D GM sin(f ) DGG 1 = w sejler b og GG 1 = w sejler b / D GG 1 er vinkelret på diametralplanet og derfor kan udtrykkes som: GG 1 = GM tan(φ) og GM = GG 1 / tan(φ) Dermed kan der opstilles følgende udtryk til beregning af bådens GM: KM aflæses fra I-ship, så man nu kan finde KG: GM = w sejler b½ /D tan(f ) KG = KM GM For at bestemme GM brugt vi en digital vinkelmåler. Den blev brugt for at måle vinkel udslag φ, under hver forsøg. Forsøgspersonernes tyngdepunkt refereres som Kg og er målt fra basis linien op til taljen. KG LET blev så udrenget ud fra den følgende udtryk: KG LET = ( KG D forsøg Kg w TOTAL ) / D LET Deplacementet blev korrigeret, da der er en forskel i massefylden mellem det vand bådens deplacementkurve er konstrueret for og det vand forsøget foretages i.

16 18 Krængningsforsøgets resultater Dybdegangen blev målt for- og agterskibs og resultaterne ses på skema 1 og på fig. 2 : Måling af dybtegang for- og agterskib (over WL) målt WL[m] Konstruktions WL[m] Agter For Middelværdi Skema 1 fig. 2 Vi tog tre prøver af massefylden fra Skovshoveds havnebassen vist på skema 2, men desværre viste de sig at være meget tvivlsom. Derfor har vi i stedet for brug de data som man kan få hos Denmarks Meteorologisk Instituts hjemmeside. De tager prøver af Øresunds massefylde mange gang om dagen. Vandets massefylde (forsøgets glas: 343g) vol [L] m 3 m[kg] ρ[kg/m 3 ] Forsøg 1 0,485 0,0005 0, ,8 Forsøg 2 0,449 0,0004 0, ,3 Forsøg 3 0,495 0,0005 0, ,0 Middelværdi 970,7 Målt fra DMI hjemmeside: 1013 Skema 2

17 19 Forsøget opstilling kan ses i skema 3 og skema 4 : Masse G af sejler kg z-retning[cm] sejler A 78,2 104 sejler B 92,4 114 sejler C 75,4 110 sejler D 89,2 110 sejler E[måler] Skema 3 Tyngdepunkt af sejler på båden x y z Alle(A,B,C,D) 7 1,6 1,3 Måler (E) 3,6 0,1 1,06 Skema 4 Krængnings momentet og heeling vinklerne blev målet og kan ses i skema 5 : Krængningsvægte Antal personer W MOMENT W TOTAL styrbord heel [grad] bagbord heel [grad] Middel værdi [grad] alle 335,2 400,2 4,7 5,5 5,1 alle 335,2 400,2 5,3 5,3 5,3 alle minus A ,7 4,5 4,1 alle minus A ,6 4,2 3,9 alle minus A & C 181,6 246,6 2,1 2,7 2,4 alle minus A og C 181,6 246,6 2,1 2,4 2,25 Skema 5

18 20 KM T blev så målt fra I-Ship og GM T udregnes som vi har forklaret tidligere. På skema 6 ses resultaterne fra vores målinger og udregninger. Krængningsforsøg og udregning af KG og GM Antal personer LET KM T GM T KG Kg KG LET GM LET alle 4353, ,171 1,769 1,355 0,414 1,407 0,313 1,456 alle 4353, ,171 1,769 1,304 0,465 1,407 0,370 1,399 alle minus A 4275, ,171 1,769 1,318 0,451 1,386 0,375 1,394 alle minus A 4275, ,171 1,769 1,365 0,404 1,386 0,325 1,444 alle minus A & C 4199, ,171 1,769 1,621 0,148 1,364 0,072 1,697 alle minus A og C 4199, ,171 1,769 1,703 0,066 1,364-0,015 1,784 Middelværdier: 0,346 1,423 Skema 6 Kommentar til krængningsforsøg For at få pålidelige måleresultater under et sådant forsøg, er det meget vigtigt at bådens krængning alene forekomme ved flytning af krængningsvægtene. Alle andre ukontrollable påvirkninger på båden skal undgås. Det var vi ikke i stand til at sikrer under vores forsøg. Vi kunne bl.a. ikke måle om der var noget frit vand under dækket. En anden faktor som har haft en indflydelse på vores målinger var, at båden var fortøjet i forskibet (pga. blæsten var fortøjning helt spændt op). Mht. massefylde målingerne var det meget svært at få nogle fornuftige resultater fordi det udstyr vi havde til rådighed var ikke nemme at aflæse data fra plus at der var mange usikkerheder omkring data udstyr (våd forsøgsflaske, våd vægt). Resultater Heel: Under forsøget blæst det omkring 8 m/s og vi er sikker på at dette har haft en indflydelse på vores resultater. Dette kan tydeligt ses på de to sidste forsøg (Alle minus A & C) som giver nogle helt andre udslag. Dem har vi valgt, efter rådgivning af en af vores forlæser, at kigge bort fra. En andet usikkerhed er at krængningsvinklerne er for store. Dvs. at når viklerne er stører end 2,5 o vil den nye opdriftslinie i så fald ikke gå gennem M,og det kan også give nogle afvigelser fra det rigtige tal. Trim: Som det ses er båden trimmet en lille smule for, men dette kan forklares siden vi havde to personer(d, E) ombord, D i forskibet og E i agterskibet som tog målingerne. D er omkring 24,2 kg tunger end E.

19 21 Resultatbehandling De her anviste måleresultater er korrigerede for strømmen den pågældende dag. For at tilpasse 1/ 7 vindstyrken benyttes det, at vinden i en given højde kan beskrives ved: u( h) = k h. Vi antager at vinden i sejlcenterets højde kan repræsentere vinden over hele sejlarealet. Oplyst er u( 2m) vinden i højden 2 m, sejlcenteret på båden er i en højde af 5.2 m. k bliver derfor: k = og 1 / 7 2 hastigheden i sejlcenteret: 5.2m u(5.2) = u(2m) = 1.15 u(2m). 2m Vores målinger blev taget lige omkring kl. 9:35 og vi har derfor valgt først og fremmest at sammenligne vores måleresultater med vindhastigheden 7,9m/s, som fremgår af wind and current / 7 måling SOG(gps) / m/s fart (korrigeret), knob gr. På vinden Vind Vind u(5.2m) knob (u(2m)) m/s 1 3,4 7, ,6 2 4,4 8, ,6 3 4,1 8, ,6 4 3,9 7, ,6 Indsættes ovenstående skema i samme plot som VPP-programmet fås følgende:

20 Det inderste plot er VPP-plot for gennemsnits vindhastigheden taget over 5 min, mens den yderste er den maksimale vindhastighed på 22,3 knob. Punkterne markeret med * er vores måleresultater den pågældende dag. Sammenligning af måleresultater og VPP-kurve Sammenligner vi vores måleresultater med vores VPP, får vi nogle resultater, der ligger utrolig tæt på hinanden. Man kan sige, at vi burde sejle lidt langsommere end vores VPP., da det beregnes ud fra optimale omstændigheder så som optimalt trim, konstant vindhastighed og fladt vand. Ved sammenligning af vores punkter i forhold til VPP-udregninger for middel vindhastighed,7,9 m/s, ses det, at punktet på 45 grader til vinden giver lavere hastighed end VPP-kurven. Grunden hertil kan være at skipper sejlede efter konstant kompaskurs og ikke optimalt efter vinden. På denne kurs kan det have betydet en væsentlig reduktion i hastigheden, hvis vi gik for højt til vinden. Desuden har vi valgt at negligere vindmodstand fra besætning og skrog, som især har indflydelse på krydsbenet. De næste punkter ligger lidt udenfor VPP-kurven. Det kan ikke umiddelbart forklares ved omstændigheder under sejladsen, og vil blive behandlet under fejlkilder i VPP. Beskrivelse af VPP-kurven Vi havde forventet en cirkelbue i intervallet omkring 60 grader til 140 grader, i stil med VPP-plottet for YD 40 i lærebogen.

21 23 Vores plot beskriver ikke en pæn cirkel, men giver derimod væsentligt højere hastigheder i et interval omkring 60 til 90 grader i forhold til vinden. Vi havde nok også regnet med at hastighederne ville aftage ved plat læns. Normalt kan det betale sig at skære lidt, hvilket vores VPP-program ikke viser. Det kan dog nævnes at vores måleresultater i dette område passer fint med VPP en. Fejlkilder i VPP Højde af sejlcenter Vi har beregnet sejlcentret ud fra trekantsberegninger i autocad, men har indsat det virkelige sejlareal oplyst på Dansk Sejlunions hjemmeside. Sejlcentrets placering har direkte indvirkning på momentet fra sejlet og dermed lifte og drag fra kølen. Derudover er der ændringen i vindhastigheden hvis sejlcentret flyttet i lodret retning. Da vindhastigheden ændrer sig som fkt. af højden er det en yderligere tilnærmelse at vi antage vindhastigheden konstant over hele sejlarealet og virkende kun i sejlcentret. Placering af besætning. Under udregningerne har vi antaget at besætningen altid sidder på kanten af båden. Det giver et negativt moment i eksempelvis let vejr og på læns. I disse situationer vil VPP-en give en for lille hastighed som følge af krængningsmodstand. Negligering af modstand fra mandskab. Som før nævnt har vi ikke taget modstanden fra mandskabet med. Medtager vi den vil båden i VPP en få en mindre hastighed i vinkelrummet fra 0 til 90 grader. Mest markant tæt mod vinden. Indførte vi det i programmet ville det muligvis kunne forklare noget af fejlen på det målte punkt ved kurs 44. Våde overflade areal på køl og ror er estimeret og ikke udregnet. Vi har grundet manglende oplysninger om Matchraceren ikke det rigtige areal på kølen og roret. Vi har derfor tilnærmet arealet med tværsnitsarealet. Denne tilnærmelse får igen båden til at sejle hurtigere, således kan det ikke forklare vores forsøgsresultater, der er langsommere end det beregnede.

22 24 V e r i f i c e r i n g a f V P P Vi vil i det følgende sammenligne udvalgte værdier fra VPP programmet med værdier beregnet i bogen. Ved kursen 143 og hastigheden 6.8 knob Friktionsmodstand Bogens værdi [N] Fundet fra VPP [N] Køl 93,6 81,9 Ror 34,0 41,0 Skrog 408,6 505,7 Det ses at vi har fornuftige værdier sammenlignet med bogens. Grunden til afvigelserne er, at vi ikke har ens værdier for våde overfladearealer for henholdsvis køl, ror og skrog. Det skal nævnes, at det våde overfladeareal for køl og ror er beregnet på baggrund af opmålinger i autocad. Skrogets våde overflade er fundet fra I-ship. I-ship medregner dog ikke opdrift fra køl og ror, og vi må derfor regne med at vores våde overfladeareal er en smule mindre i virkeligheden end beregnet. Det skal nu undersøges om de målte krængninger stemmer overens med dem, som man får fra VPP. Kurs [grader] Målt krængning [grader] Krængning fra VPP [grader] 44 23,6 39, ,0 12, ,1 5, ,7 Som det ses, er krængningen for en på kurs 44 grader væsentlig større i VPP end målt. Grunden hertil må være, at vi i VPP indfører en flattening faktor når momentet fra sejlet overskrider den maksimale krængning i GZ kurven. Altså blæser det en vis vindstyrke får vi iflg. VPP en maksimal krængning, mens der i praksis trimmes således at vi får en krængning som giver en optimal hastighed. For at få en optimal krængning slækkes der eksempelvis på storsejlet samt storsejlet flades. Når der skiftes til halvvind forsøger vi igen at opnå en optimal krængning og træk på sejlet. Hvorfor vi her får en større krængning kan umiddelbart kun forklares ved måleusikkerheder. Vinden under sejladsen var ikke helt konstant. Samtidig var de målte krængningsvinkler svære at aflæse nøjagtigt. En anden årsag kan være, at vi ikke har medregnet opdriften fra kølen. Da vores GZ kurve blev konstrueret ud fra I-ship medtog vi ikke opdriften fra køl og ror. Implementering af det ville bevirke en større krængning. De sidste to sidste krængningsvinkler stemmer nogenlunde overens og må derfor siges at understøtte vores VPP.

23 25 K o n k l u s i o n Under sammenligning mellem målte hastigheder og beregnede hastigheder fik vi meget ens resultater. Afgjort inden for de usikkerheder der diskuteres i resultatbehandling. De beregnede hastigheder var dog langsommere end de målte hvilket ikke var forventet. Der var store afvigelser mellem vores beregnede og målte krængningsvinkler. Det er muligt at forklare afvigelser ud fra usikkerheder i VPP og målinger. Under forudsætning af, at vores VPP-program repræsenterer matchracerens sejlegenskaber på fornuftig vis, kan man uddrage den konklusion at matchraceren er konstrueret til at sejle specielt stærkt på kryds og på læns. Det understøttes af vores måleresultater, og er hvad vi kan forvente når båden er lavet til at sejle på en op ned bane. DS37 i aktion.

24 26 B i l a g Bilag 1 VPP matlab koder vpp.m % vpp - Program %############################################# % Notation %############################################# % Vt : True wind speed % Vs : Ship speed % Va : Apparent wind % Beta : Apparent wind angle % L : Lift % D : Drag % Cl : lift coefficient % Cd : Drag coefficient % rho_a : Density of air [kg/m^3] % rho_w : Density of water [kg/m^3] % KnotvsMs : constant to transform unit from knot to m/s % Ss_main : sail area of main % Ss_Genoa : sail area of Genoa % Ss_jib : sail area of jib % Ss_spinnaker : sail area of spinnaker % gamma : Cours angle % Vmg : Speed made good % epselon_a : aerodynamic drag angle % epselon_h : hydrodynamic drag angle % Fa : Aerodynamic force % Fx : Driving force % Ws : Wetted surface % Ws_keel % Ws_rudder % mck : mean cord keel % mcr :mean cord rudder % phi : heel angle % V_awe : effective apparent wind velocity % Beta_awe : effektive apparent wind angle % Bmax : Max beam of yacht % F_A : Average freeboard % EHM : Mast height above sheer % EMDC : Average mast diameter % flat : Flattening faktor %############################################ Vs=[]; speed2=[]; heel=[]; kurs = []; flatning =[]; for itr = 1:51

Vinterunderholdning 2

Vinterunderholdning 2 Vinterunderholdning 2 Sune Thorsteinsson Dec 2011 Repetetion af Sidste gang Lidt mere om Sejlet og finnen Sammensætning Hvordan sejler man i forhold til vinden? Vi skal kigge på følgende begreber: Vindretning

Læs mere

SØFARTSSTYRELSEN. Eksaminationssted (by) Fulde navn: NAVIGATION II. 1) Hvad er navnene på skæringspunkterne mellem et steds lodlinie og himmelkuglen?

SØFARTSSTYRELSEN. Eksaminationssted (by) Fulde navn: NAVIGATION II. 1) Hvad er navnene på skæringspunkterne mellem et steds lodlinie og himmelkuglen? SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminationssted (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-2/99

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123 Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r

Læs mere

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. Mandag den 11. maj Kl HFE091-MAB

HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU. Mandag den 11. maj Kl HFE091-MAB HØJERE FORBEREDELSESEKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK B-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 13.00 HFE091-MAB Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

viden giver sejlglæde //

viden giver sejlglæde // øyvind bordal // magne klann Sejlerbogen viden giver sejlglæde // Sektion 1 Grundlæggende sejlads Sejlerbogen Sejlerbogen//Viden giver sejlglæde Blue Ocean Media FORFATTERE Øyvind Bordal, Magne Klann FOTO

Læs mere

Resonans 'modes' på en streng

Resonans 'modes' på en streng Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.

Læs mere

Dæmpet harmonisk oscillator

Dæmpet harmonisk oscillator FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

SØFARTSSTYRELSEN. Eksaminationssted (by) Fulde navn: NAVIGATION II

SØFARTSSTYRELSEN. Eksaminationssted (by) Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminationssted (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/99

Læs mere

Udvikling af Dansk Handicap 1-2-2009

Udvikling af Dansk Handicap 1-2-2009 Udvikling af Dansk Handicap 1-2-2009 Teknisk Udvalg og Teknisk Afdeling i Dansk Sejlunion har lagt mange ressourcer i at udvikle og teste den nyste version af Dansk Handicap (DH) målereglen. Målet har

Læs mere

Velkommen tilbage. Egå sejlklub Duelighedsbevis 7. Aften Vinteren 2015/

Velkommen tilbage. Egå sejlklub Duelighedsbevis 7. Aften Vinteren 2015/ Egå sejlklub Duelighedsbevis 7. Aften Vinteren 2015/16 Velkommen tilbage 7. Aften : af søvejsregler 13 (11) 16 (vigeregler) Gennemgang opgave 36-59 næsten alle af kurser, strøm, afdrift, misvisning og

Læs mere

Vinklens påvirkning på skuddet af Claus Kjeldsen

Vinklens påvirkning på skuddet af Claus Kjeldsen Vinklens påvirkning på skuddet af Claus Kjeldsen Indledning Det er velkendt, at mange skytter skyder over målet, når der skydes i kuperet terræn, eller fra bygninger, hvor man ikke skyder lige på målet

Læs mere

Den Flydende Kran Samson

Den Flydende Kran Samson Den Flydende Kran Samson Formål: Kranen Samson, har en maksimal løfteevne på 900 tons, kranarmen er på 67 meter. Formålet med dette projekt er at løse nogle forskellige opgaver om geometrien for kranen.

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics

Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics Berlin eksempel på opgavebesvarelse i Word m/mathematics 1.1 Gennemsnitsfarten findes ved at dividere den kørte strækning med den forbrugte tid i decimaltal. I regnearket bliver formlen =A24/D24. Resultatet

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Vedtaget på ekstraordinær generalforsamling d. 04. Juli 2003.

Vedtaget på ekstraordinær generalforsamling d. 04. Juli 2003. Klasseregler: Vedtaget på ekstraordinær generalforsamling d. 04. Juli 2003. Formålet med klassereglerne: Formålet med reglerne er, at bådene på sigt vil blive mere ens, hvad angår rig og sejl. Reglerne

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter

Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat. Opgave 1 - Eksponentiel funktion/procent og renter Jeg vil nu finde ud af hvor stort et beløb der står på kontoen efter 1 år med en starts

Læs mere

Opdrift og modstand på et vingeprofil

Opdrift og modstand på et vingeprofil Opdrift og modstand på et vingeprofil Thor Paulli Andersen Ingeniørhøjskolen Aarhus Universitet 1 Vingens anatomi Et vingeprofil er karakteriseret ved følgende bestanddele: forkant, bagkant, korde, krumning

Læs mere

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009

Lysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009 Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.

Læs mere

Efficient Position Updating

Efficient Position Updating Efficient Position Updating Pervasive Positioning, Q3 2010 Lasse H. Rasmussen, 20097778 Christian Jensen, 20097781 12-03-2010 1 Introduktion Denne rapport har til formål at beskrive implementeringen og

Læs mere

Matematik. Formlen for en Kugle: 3 V = 4/3»r *n. Formlen for et Kugleafsnit: Formlen for en Keglestub: 2 2 V =n/3»h»(r + r + R*r)

Matematik. Formlen for en Kugle: 3 V = 4/3»r *n. Formlen for et Kugleafsnit: Formlen for en Keglestub: 2 2 V =n/3»h»(r + r + R*r) Matematik Vi har fået til opgave at bygge en ballon hvis volume mindst må være 1,2 Kubikmeter og max 1,5 kubikmeter. Så for at løse dette problem valgte vi at finde formlerne for en kugle, kugleafsnit

Læs mere

Brydningsloven og bestemmelse af brydningsindeks Fysikrapport, 5/9-2008

Brydningsloven og bestemmelse af brydningsindeks Fysikrapport, 5/9-2008 ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Brydningsloven og bestemmelse af brydningsindeks Fysikrapport, 5/9-2008 Louise Regitze Skotte Andersen, Klasse 2.4 Lærer: Ashuak Jacob France 2 Indhold Indledning... 3 Materialeliste...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985

Svingningsrapport. Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Projektopgave 2, 41035 Dynamik og Svingninger Danmarks Tekniske Universitet Jakob Wulff Andersen, s112985 Opgaverne er udregnet i samarbejde med Thomas Salling, s110579 og Mikkel Seibæk, s112987. 11/12-2012

Læs mere

INTERNATIONAL 806 DANSKE KLASSEREGLER (STANDARDKLASSE)

INTERNATIONAL 806 DANSKE KLASSEREGLER (STANDARDKLASSE) 1 af 7 1 Formål Formålet med disse bestemmelser er at sikre, at bådene i denne klasse er så ens som muligt i relation til fart og sikkerhed. 2 Sikring af ensartede både 2.1 Specialklubbens bestyrelse har

Læs mere

Bilagsmappe. Thomas Svennesen Mols-Linien A/S

Bilagsmappe. Thomas Svennesen Mols-Linien A/S 2013 Bilagsmappe Thomas Svennesen Mols-Linien A/S 16-12-2013 Bilagsliste Bilag 1. 91m Wave Piercing Catamaran General Specification... 3 Bilag 2: Mols-Liniens målinger på brændstofforbrug i forhold til

Læs mere

Figur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol

Figur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol 0.1 Aerodynamik 0.1. AERODYNAMIK I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,

Læs mere

Fulde navn: NAVIGATION II

Fulde navn: NAVIGATION II SØFARTSSTYRELSEN Eks.nr. Eksaminationssted (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 1. grad. Y1NAV2-1/02

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Klassificering af vindhastigheder i Danmark ved benyttelse af IEC61400-1 vindmølle klasser

Klassificering af vindhastigheder i Danmark ved benyttelse af IEC61400-1 vindmølle klasser RISØ d. 16 Februar 2004 / ERJ Klassificering af vindhastigheder i Danmark ved benyttelse af 61400-1 vindmølle klasser Med baggrund i definitionen af vindhastigheder i Danmark i henhold til DS472 [1] og

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Hvor hurtigt kan du køre?

Hvor hurtigt kan du køre? Fart Hvor hurtigt kan du køre? I skal nu lave beregninger over jeres testresultater. I skal bruge jeres testark og ternet papir. Mine resultater Du skal beregne gennemsnittet af dine egne tider. Hvilket

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Vejledning til LKdaekW.exe 1. Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz

Vejledning til LKdaekW.exe 1. Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKdaekW.exe 1 Vejledning til programmet LKdaekW.exe Kristian Hertz Vejledning til LKdaekW.exe 2 Ansvar Programmet anvendes helt på eget ansvar, og hverken programmør eller distributør kan

Læs mere

Placering af vindmøller Denne øvelse er lavet af: Lavet af Martin Kaihøj, Jørgen Vind Villadsen og Dennis Noe. Rettet til af Dorthe Agerkvist.

Placering af vindmøller Denne øvelse er lavet af: Lavet af Martin Kaihøj, Jørgen Vind Villadsen og Dennis Noe. Rettet til af Dorthe Agerkvist. Placering af vindmøller Denne øvelse er lavet af: Lavet af Martin Kaihøj, Jørgen Vind Villadsen og Dennis Noe. Rettet til af Dorthe Agerkvist. Forudsætninger: funktioner (matematik) og primære vindsystemer

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Progression frem mod skriftlig eksamen

Progression frem mod skriftlig eksamen Progression frem mod skriftlig eksamen Ikke alle skal have 12 Eksamensopgavernes funktion i det daglige og til eksamen Progression i sættet progression i den enkelte opgave Hvornår inddrages eksamensopgaver

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Teori. ved Kai Sørensen. Dette er uddrag fra en lærebog, som er under udarbejdelse

Teori. ved Kai Sørensen. Dette er uddrag fra en lærebog, som er under udarbejdelse Teori ved Kai Sørensen Dette er uddrag fra en lærebog, som er under udarbejdelse RL (koefficienten for retroreflekteret luminans) og 30 m målegeometri defineret i EN 1436 RL er forholdet L/E hvor L er

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Bestemmelse af kroppens fysiske tilstand

Bestemmelse af kroppens fysiske tilstand Bestemmelse af kroppens fysiske tilstand Forsøg udført af Nicolaj Seistrup, Christian Starcke, Kim, mark og Henrik Breddam Rapport skrevet af Henrik Breddam den 2006-10-25 Rapport længde 7 sider Side 1

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Megin Teorihæfte. Frederikssund Maritime Børne- og unge center, Sejlerskolen

Megin Teorihæfte. Frederikssund Maritime Børne- og unge center, Sejlerskolen Megin Teorihæfte Frederikssund Maritime Børne- og unge center, Sejlerskolen Indholdsfortegnelse Side 2 Indholdsfortegnelse... Megin, mål og vægt... Hvad hedder det... Sejl & udstyr... Sejlerudtryk... Terminologi...

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Kvadratisk regression

Kvadratisk regression Kvadratisk regression Helle Sørensen Institut for Matematiske Fag Københavns Universitet Juli 2011 I kapitlet om lineær regression blev det vist hvordan man kan modellere en lineær sammenhæng mellem to

Læs mere

Håndbog i Meginjollen

Håndbog i Meginjollen Et nyt Sprog Håndbog i Meginjollen af Finn R. Andersen (Megin 443) Et nyt sprog En god ven af mig bor i Mexico City langt fra havet og sejlbare søer. I forbindelse med sin uddannelse skulle han tilbringe

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven

Opgave 1 - uden hjælpemidler. Opgave 2 - uden hjælpemidler. Opgave 3 - uden hjælpemidler. Opgaven. a - Eksponentiel model. Opgaven 2014-0522 1stx141-MAT-B - eksemplarisk besvarelse Bemærk, at i opgaverne uden hjælpemidler er Maple blot benyttet som tekstbehandling. Til eksamen skal besvarelsen laves med papir og blyant. Opgavetksten

Læs mere

Classic Fyn Rundt. Matematik trin 2. avu

Classic Fyn Rundt. Matematik trin 2. avu Classic Fyn Rundt Matematik trin 2 avu Almen voksenuddannelse 23. maj 2008 Classic Fyn Rundt Matematik trin 2 Skriftlig matematik Opgavesættet består af: Opgavehæfte Svarark Hæftet indeholder følgende

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

& e-twist by lars from. Evosion 34 performance racer

& e-twist by lars from. Evosion 34 performance racer & e-twist by lars from Evosion 34 performance racer Evosion 34 Evosion 34, et nyudviklet koncept. En anderledes performance racer, der sætter nye standarder for, hvad man kan forvente af komfort, anvendelighed

Læs mere

Indre modstand og energiindhold i et batteri

Indre modstand og energiindhold i et batteri Indre modstand og energiindhold i et batteri Side 1 af 10 Indre modstand og energiindhold i et batteri... 1 Formål... 3 Teori... 3 Ohms lov... 3 Forsøgsopstilling... 5 Batteriets indre modstand... 5 Afladning

Læs mere

Harmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47

Harmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47 Harmonisk oscillator Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47 28. november 2007 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 3 Fremgangsmåde 3 4 Resultatbehandling

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Dig og din puls Lærervejleding

Dig og din puls Lærervejleding Dig og din puls Lærervejleding Indledning I det efterfølgende materiale beskrives et forløb til matematik C, hvori eleverne skal måle hvilepuls og arbejdspuls og beskrive observationerne matematisk. Materialet

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1

David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Rumfang af væske i beholder

Rumfang af væske i beholder Matematikprojekt Rumfang af væske i beholder Maila Walmod, 1.3 HTX Roskilde Afleveringsdato: Fredag d. 7. december 2007 1 Fru Hansen skal have en væskebeholder, hvor rumfanget af væsken skal kunne aflæses

Læs mere

Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften

Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften Referencelaboratoriet for måling af emissioner til luften Notat Titel Om våde røggasser i relation til OML-beregning Undertitel - Forfatter Lars K. Gram Arbejdet udført, år 2015 Udgivelsesdato 6. august

Læs mere

TAL OG ALGEBRA/GEOMETRI

TAL OG ALGEBRA/GEOMETRI Navn: CPR: TAL OG ALGEBRA/GEOMETRI 1. 376 + 2489 = 2. 367 120 = 3. 16 40 = 4. 216 : 12 = Løs ligningen 14. x - 6 = 4 x = 15. 3x = 24 x = Afrund til nærmeste hele tal 5. 21,88 6. 3 3 1 16. 17. 1 4 + 6 6

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke.

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke. pdc/jnk/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for Plastindustrien i Danmark udført dette projekt vedrørende bestemmelse af bæreevne for tunge

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Mads Peter, Niels Erik, Kenni og Søren Bo 06-09-2013

Mads Peter, Niels Erik, Kenni og Søren Bo 06-09-2013 EUC SYD HTX 1.B Projekt kroppen Fysik Mads Peter, Niels Erik, Kenni og Søren Bo 06-09-2013 Indhold Indledning/formål... 2 Forventninger... 2 Forsøget... 2 Svedekassen... 2 Fremgangsforløb... 2 Materialer...

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet frs101-matn/a-605010 Onsdag den 6 maj 010 kl 0900-1400 Opgavesættet er delt i to dele Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere

BÅDEJER TRIMGUIDE-SERIENRIEN. Af Henrik Hansen & Lars Jensen, Bådmagasinet Foto: Henrik Hansen Grafik: Lasse Hansen

BÅDEJER TRIMGUIDE-SERIENRIEN. Af Henrik Hansen & Lars Jensen, Bådmagasinet Foto: Henrik Hansen Grafik: Lasse Hansen erer dit rig- og sejltrim l trim af bådens rig. EN gør for at sejle hurtigt. Trimning handler bare i lige så høj grad om at få en komfor- tabel sejlads i al slags vejr. Når jeg er med familien på sommertur,

Læs mere

Stabilitet. En båd der flyder på sin konstruktionsvandlinie er i balance. Denne. opdriftscenter og dens tyngdepunkt ligger begge i bådens centerlinie

Stabilitet. En båd der flyder på sin konstruktionsvandlinie er i balance. Denne. opdriftscenter og dens tyngdepunkt ligger begge i bådens centerlinie Stabilitet Denne side opdateres ikke mere, følg evt ovenstående link til den ny version Et af de spørgsmål der uvægerligt rejser sig når vi fortæller om vores sænkekøl er: Ja men hvordan med stabiliteten,

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej

Teknologi Projekt. Trafik - Optimal Vej Roskilde Tekniske Gymnasium Teknologi Projekt Trafik - Optimal Vej Af Nikolaj Seistrup, Henrik Breddam, Rasmus Vad og Dennis Glindhart Roskilde Tekniske Gynasium Klasse 1.3 7. december 2006 Indhold 1 Forord

Læs mere

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825

Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Antal timer Varmebehov [kw] Udført for Energistyrelsen af Pia Rasmussen, Teknologisk Institut 31.december 2011 Beregning af SCOP for varmepumper efter En14825 Følgende dokument giver en generel introduktion

Læs mere

NATIONAL ÉNTYPEKLASSE

NATIONAL ÉNTYPEKLASSE MÅLESKEMAER 2005 SPÆKHUGGER NATIONAL ÉNTYPEKLASSE Sejl: DEN... DASP bygge:... Byggeår:... Ejer: Navn:... Adresse:... Telf. :... Sejlklub:... 01.01 01.02 01.03 01.04 01.05 01.06 01.07 01.08 A.11.3 D.8.2

Læs mere

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008

Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi

Læs mere

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 3. grad.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 3. grad. SØFARTSSTYRELSEN Eks. nr. Eksaminationssted (by) Fulde navn: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Yachtskippereksamen af 3. grad. SØVEJSREGLER Hjælpemidler:

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning

For at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret

Læs mere

MÅLESKEMAER BB10m NATIONAL ÉNTYPEKLASSE. DANSK BB10m KLUB. BB 10 meter. Bygger:.. Registreringsnr.: Byggenr.:.. Produktionsår:. Nation Sejlnr.

MÅLESKEMAER BB10m NATIONAL ÉNTYPEKLASSE. DANSK BB10m KLUB. BB 10 meter. Bygger:.. Registreringsnr.: Byggenr.:.. Produktionsår:. Nation Sejlnr. MÅLESKEMAER BB10m NATIONAL ÉNTYPEKLASSE Bygger:.. Bygge:.. Produktionsår:. BB 10 meter Registrerings: Nation Sejl DANSK BB10m KLUB Sejl:... Bygge:... Byggeår:... Ejers Navn:... Adresse:... Telf. :... Sejlklub:...

Læs mere

Beregning af navigationsopgaver til kort 102 kapitel B,C,D + PRØVER

Beregning af navigationsopgaver til kort 102 kapitel B,C,D + PRØVER Beregning af navigationsopgaver til kort 102 kapitel B,C,D + PRØVER 1 B 5 a 082 O strøm (S) 8 O 074 O afdrift (N) 5 O 069 O B 5 c 198 O strøm (V) 6 O 192 O afdrift (Ø) 4 O 188 O B 5 b 102 O strøm (N) 4

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

PRÆSENTATION AF PROJEKT TIL SEJLSKOLESKIB GEORG STAGE III GS III SØFARTSTEKNISK FORENING / SKIBSTEKNISK SELSKAB 2010-12-06

PRÆSENTATION AF PROJEKT TIL SEJLSKOLESKIB GEORG STAGE III GS III SØFARTSTEKNISK FORENING / SKIBSTEKNISK SELSKAB 2010-12-06 PRÆSENTATION AF PROJEKT TIL SEJLSKOLESKIB GEORG STAGE III GS III SØFARTSTEKNISK FORENING / SKIBSTEKNISK SELSKAB INDHOLD AF PRÆSENTATION Baggrund og erfaring ASD Sejlskibsprojekter Skibstyper Rigning Georg

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 4 sider Skriftlig prøve, den 29. maj 2006 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle "Vægtning": Eksamenssættet vurderes samlet. Alle svar

Læs mere

DIF-IDRÆTTENS HØJESTE APPELINSTANS KENDELSE

DIF-IDRÆTTENS HØJESTE APPELINSTANS KENDELSE DIF-IDRÆTTENS HØJESTE APPELINSTANS KENDELSE afsagt den 9. februar 2015 i sag nr. 19/2014 [A og B] (båd [DEN X] ) mod [C og D] (båd [DEN Y] ) Sagen er behandlet på skriftligt grundlag af formand Ole Græsbøll

Læs mere