Taylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier
|
|
|
- Thea Olesen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 . 17. april 008 for
2 I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet x 0.. for
3 I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet x 0. I P n skal så opfylde ligningerne P n (x 0 ) = f (x 0 ) Pn 0 (x 0 ) = f 0 (x 0 ) Pn 00 (x 0 ) = f 00 (x 0 ). P n (n) (x 0 ) = f (n) (x 0 ). for
4 I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet x 0. I P n skal så opfylde ligningerne I Skriver vi P n på formen P n (x 0 ) = f (x 0 ) Pn 0 (x 0 ) = f 0 (x 0 ) Pn 00 (x 0 ) = f 00 (x 0 ). P n (n) (x 0 ) = f (n) (x 0 ) P n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a (x x 0 ) + a 3 (x x 0 ) 3 +a 4 (x x 0 ) a n (x x 0 ) n søger vi nu a 0, a 1, a,..., a n.. for
5 for I Vi ser med det samme, at a 0 = f (x 0 ). Da Pn 0 (x) = a 1 + a (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) +4a 4 (x x 0 ) na n (x x 0 ) n 1. for
6 for I Vi ser med det samme, at a 0 = f (x 0 ). Da P 0 n (x) = a 1 + a (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) I fås, at a 1 = f 0 (x 0 ). Da +4a 4 (x x 0 ) na n (x x 0 ) n 1 P 00 n (x) = a + 3 a 3 (x x 0 ) a 4 (x x 0 ) n (n 1) a n (x x 0 ) n. for
7 for I Vi ser med det samme, at a 0 = f (x 0 ). Da P 0 n (x) = a 1 + a (x x 0 ) + 3a 3 (x x 0 ) I fås, at a 1 = f 0 (x 0 ). Da +4a 4 (x x 0 ) na n (x x 0 ) n 1 P 00 n (x) = a + 3 a 3 (x x 0 ) a 4 (x x 0 ) n (n 1) a n (x x 0 ) n I fås a = 1 f 00 (x 0 ). Da. for P 000 n (x) = 3 a a 4 (x x 0 ) n (n 1) (n ) a n (x x 0 ) n 3 fås, at a 3 = 1 3 f 000 (x 0 ).
8 I Generelt fås altså således at a k = 1 k! f (k) (x 0 ) P n (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + 1 f 00 (x 0 ) (x x 0 ) + 1 3! f 000 (x 0 ) (x x 0 ) n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. for
9 I Generelt fås altså således at a k = 1 k! f (k) (x 0 ) P n (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + 1 f 00 (x 0 ) (x x 0 ) I Dette kan også skrives + 1 3! f 000 (x 0 ) (x x 0 ) n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n P n (x) = n k=0 1 k! f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k idet vi de nerer 0! = 1 og f (0) = f.. for
10 I f (x) = e x med udviklingspunkt 0, orden n. Vi har jo f 0 (x) = f 00 (x) = f 000 (x) =... = f (n) (x) = e x.. for
11 I f (x) = e x med udviklingspunkt 0, orden n. Vi har jo f 0 (x) = f 00 (x) = f 000 (x) =... = f (n) (x) = e x. I Så f (k) (0) = e 0 = 1 for alle k 0.. for
12 I f (x) = e x med udviklingspunkt 0, orden n. Vi har jo f 0 (x) = f 00 (x) = f 000 (x) =... = f (n) (x) = e x. I Så f (k) (0) = e 0 = 1 for alle k 0. I Hermed fås P n (x) = f (0) + f 0 (0) x + 1 f 00 (0) x + 1 3! f 000 (0) x n! f (n) (0) x n. for
13 I f (x) = e x med udviklingspunkt 0, orden n. Vi har jo f 0 (x) = f 00 (x) = f 000 (x) =... = f (n) (x) = e x. I Så f (k) (0) = e 0 = 1 for alle k 0. I Hermed fås P n (x) = f (0) + f 0 (0) x + 1 f 00 (0) x + 1 3! f 000 (0) x 3 I Altså n! f (n) (0) x n P n (x) = 1 + x + 1 x + 1 3! x n! x n. for
14 I f (x) = e x med udviklingspunkt 0, orden n. Vi har jo f 0 (x) = f 00 (x) = f 000 (x) =... = f (n) (x) = e x. I Så f (k) (0) = e 0 = 1 for alle k 0. I Hermed fås P n (x) = f (0) + f 0 (0) x + 1 f 00 (0) x + 1 3! f 000 (0) x 3 I Altså n! f (n) (0) x n P n (x) = 1 + x + 1 x + 1 3! x n! x n. for I Dette kan også skrives P n (x) = n k=0 1 k! x k
15 I f (x) = x arctan x med udviklingspunkt 1, orden.. for
16 I f (x) = x arctan x med udviklingspunkt 1, orden. I Vi har f 0 (x) = arctan x + x 1 + x f 00 x (x) = 1 + x (1 + x ). for
17 I f (x) = x arctan x med udviklingspunkt 1, orden. I Vi har f 0 (x) = arctan x + x 1 + x f 00 x (x) = 1 + x (1 + x ) I Så f (1) = π 4, f 0 (1) = π 4 + 1, f 00 (1) = 1.. for
18 I f (x) = x arctan x med udviklingspunkt 1, orden. I Vi har f 0 (x) = arctan x + x 1 + x f 00 x (x) = 1 + x (1 + x ) I Så f (1) = π 4, f 0 (1) = π 4 + 1, f 00 (1) = 1. I Hermed fås P (x) = f (1) + f 0 (1) (x 1) + 1 f 00 (1) (x 1) = π π (x 1) (x 1) = π π (x 1) + 1 (x 1) 4. for
19 I f (x) = x arctan x med udviklingspunkt 1, orden. I Vi har f 0 (x) = arctan x + x 1 + x f 00 x (x) = 1 + x (1 + x ) I Så f (1) = π 4, f 0 (1) = π 4 + 1, f 00 (1) = 1. I Hermed fås P (x) = f (1) + f 0 (1) (x 1) + 1 f 00 (1) (x 1) = π π (x 1) (x 1) = π π (x 1) + 1 (x 1) 4. for I Maple
20 I Find det. med udviklingspunkt π for løsningen til en x 0 (t) = sin t + x (t) π med x = 0. for
21 I Find det. med udviklingspunkt π for løsningen til en x 0 (t) = sin t + x (t) π med x = 0 I Vi skal nde P (t) = x π + x 0 π t π + 1 x 00 π t π. for
22 I Find det. med udviklingspunkt π for løsningen til en x 0 (t) = sin t + x (t) π med x = 0 I Vi skal nde P (t) = x π + x 0 π t π + 1 x 00 π t I Ved indsættelse af t = π i en fås x 0 π = sin π + x π = sin π = 1. π. for
23 I Find det. med udviklingspunkt π for løsningen til en x 0 (t) = sin t + x (t) π med x = 0 I Vi skal nde P (t) = x π + x 0 π t π + 1 x 00 π t I Ved indsættelse af t = π i en fås x 0 π = sin π + x π = sin π = 1. I Ved di erentiation af en fås x 00 (t) = cos t + x (t) (1 + x (t) x 0 (t)). π. for
24 I Find det. med udviklingspunkt π for løsningen til en x 0 (t) = sin t + x (t) π med x = 0 I Vi skal nde P (t) = x π + x 0 π t π + 1 x 00 π t I Ved indsættelse af t = π i en fås x 0 π = sin π + x π = sin π = 1. I Ved di erentiation af en fås x 00 (t) = cos t + x (t) (1 + x (t) x 0 (t)). π I Ved indsættelse af t = π heri fås x 00 π = cos π + x π 1 + x π x 0 π = 0.. for
25 I Find det. med udviklingspunkt π for løsningen til en x 0 (t) = sin t + x (t) π med x = 0 I Vi skal nde P (t) = x π + x 0 π t π + 1 x 00 π t I Ved indsættelse af t = π i en fås x 0 π = sin π + x π = sin π = 1. I Ved di erentiation af en fås x 00 (t) = cos t + x (t) (1 + x (t) x 0 (t)). π I Ved indsættelse af t = π heri fås x 00 π = cos π + x π 1 + x π x 0 π = 0. I Altså fås π P (t) = 0 + t t π π = t. for
26 I Find det. med udviklingspunkt π for løsningen til en x 0 (t) = sin t + x (t) π med x = 0 I Vi skal nde P (t) = x π + x 0 π t π + 1 x 00 π t I Ved indsættelse af t = π i en fås x 0 π = sin π + x π = sin π = 1. I Ved di erentiation af en fås x 00 (t) = cos t + x (t) (1 + x (t) x 0 (t)). π I Ved indsættelse af t = π heri fås x 00 π = cos π + x π 1 + x π x 0 π = 0. I Altså fås π P (t) = 0 + t t π π = t I som jo er det samme som det første P 1 (t). Se Maple for P 3 (t).. for
27 I Hvad er den fejl man begår ved at erstatte en funktion f med dens P n?. for
28 . I Hvad er den fejl man begår ved at erstatte en funktion f med dens P n? I Taylors formel: For givet x ndes et tal ξ mellem x 0 og x, så f (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + 1 f 00 (x 0 ) (x x 0 ) n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ) (x x 0 ) n+1 for
29 . I Hvad er den fejl man begår ved at erstatte en funktion f med dens P n? I Taylors formel: For givet x ndes et tal ξ mellem x 0 og x, så f (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + 1 f 00 (x 0 ) (x x 0 ) n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ) (x x 0 ) n+1 I Altså f (x) = P n (x) + 1 (n+1)! f (n+1) (ξ) (x x 0 ) n+1 = P n (x) + R n (x). for
30 . I Hvad er den fejl man begår ved at erstatte en funktion f med dens P n? I Taylors formel: For givet x ndes et tal ξ mellem x 0 og x, så f (x) = f (x 0 ) + f 0 (x 0 ) (x x 0 ) + 1 f 00 (x 0 ) (x x 0 ) n! f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + 1 (n + 1)! f (n+1) (ξ) (x x 0 ) n+1 I Altså f (x) = P n (x) + 1 (n+1)! f (n+1) (ξ) (x x 0 ) n+1 = P n (x) + R n (x). I Beviset bruger en udvidet udgave af middelværdisætningen. for
31 I Eksempel. f (x) = e x, udviklingspunkt 0. Vi har P n (x) = 1 + x + 1 x + 1 3! x n! x n.. for
32 I Eksempel. f (x) = e x, udviklingspunkt 0. Vi har P n (x) = 1 + x + 1 x + 1 3! x n! x n. I f (n+1) (x) = e x. Så je x P n (x)j = 1 (n + 1)! eξ x n+1 = e ξ (n + 1)! jxjn+1. for
33 I Eksempel. f (x) = e x, udviklingspunkt 0. Vi har P n (x) = 1 + x + 1 x + 1 3! x n! x n. I f (n+1) (x) = e x. Så je x P n (x)j = 1 (n + 1)! eξ x n+1 = I Bestem n, så je x x [ 0.1, 0.1]. P n (x)j 10 5 for alle e ξ (n + 1)! jxjn+1. for
34 I Eksempel. f (x) = e x, udviklingspunkt 0. Vi har P n (x) = 1 + x + 1 x + 1 3! x n! x n. I f (n+1) (x) = e x. Så je x P n (x)j = 1 (n + 1)! eξ x n+1 = I Bestem n, så je x x [ 0.1, 0.1]. P n (x)j 10 5 for alle e ξ (n + 1)! jxjn+1 I I Taylors formel gælder så jξj 0.1 og dermed je x P n (x)j = e ξ (n + 1)! jxjn+1 e0.1 (n + 1)! (0.1)n+1 (n + 1)! (0.1)n+1. for
35 I Eksempel. f (x) = e x, udviklingspunkt 0. Vi har P n (x) = 1 + x + 1 x + 1 3! x n! x n. I f (n+1) (x) = e x. Så je x P n (x)j = 1 (n + 1)! eξ x n+1 = I Bestem n, så je x x [ 0.1, 0.1]. P n (x)j 10 5 for alle e ξ (n + 1)! jxjn+1 I I Taylors formel gælder så jξj 0.1 og dermed je x P n (x)j = e ξ (n + 1)! jxjn+1 e0.1 (n + 1)! (0.1)n+1 (n + 1)! (0.1)n+1. for I Vi vælger nu n, så (n+1)! (0.1)n n = 3 er nok, idet 4! 10 4 = < 10 5.
36 I Lad f (x) for alle x være givet ved f (x) = Z x 0 (1 + t) cos t 3 dt. for
37 I Lad f (x) for alle x være givet ved f (x) = Z x 0 (1 + t) cos t 3 dt I Vurdér den fejl, der begås ved at erstatte f (x) med dets. P (x) med udviklingspunkt 0, når x 1, 1.. for
38 I Lad f (x) for alle x være givet ved f (x) = Z x 0 (1 + t) cos t 3 dt I Vurdér den fejl, der begås ved at erstatte f (x) med dets. P (x) med udviklingspunkt 0, når x 1, 1. I Vi nder f 0 (x) = (1 + x) cos x 3 f 00 (x) = cos x 3 (1 + x) 3x sin x 3 f 000 (x) = 6x (1 + x) sin x 3 9x 4 (1 + x) cos x 3. for
39 I Lad f (x) for alle x være givet ved f (x) = Z x 0 (1 + t) cos t 3 dt I Vurdér den fejl, der begås ved at erstatte f (x) med dets. P (x) med udviklingspunkt 0, når x 1, 1. I Vi nder f 0 (x) = (1 + x) cos x 3 f 00 (x) = cos x 3 (1 + x) 3x sin x 3 f 000 (x) = 6x (1 + x) sin x 3 9x 4 (1 + x) cos x 3 I Heraf ndes P (x) = x + 1 x.. for
40 I Lad f (x) for alle x være givet ved f (x) = Z x 0 (1 + t) cos t 3 dt I Vurdér den fejl, der begås ved at erstatte f (x) med dets. P (x) med udviklingspunkt 0, når x 1, 1. I Vi nder f 0 (x) = (1 + x) cos x 3 f 00 (x) = cos x 3 (1 + x) 3x sin x 3 f 000 (x) = 6x (1 + x) sin x 3 9x 4 (1 + x) cos x 3 I Heraf ndes P (x) = x + 1 x. I Vha. Maple ndes, at jf 000 (x)j 1.59 for x 1, 1. Altså fås jf (x) P (x)j jxj ' Den faktiske maksimale fejl kan ndes gra sk til for
41 I Når Maplekommandoen taylor(sin(x),x=0,4); som resultat giver x 1 6 x 3 + O x 4, betyder der følgende:. for
42 I Når Maplekommandoen taylor(sin(x),x=0,4); som 1 resultat giver x 6 x 3 + O x 4, betyder der følgende: I Der ndes en konstant K, så x sin x 1 6 x 3 Kx 4 for alle x i et interval med 0 som indre punkt.. for
43 I Når Maplekommandoen taylor(sin(x),x=0,4); som 1 resultat giver x 6 x 3 + O x 4, betyder der følgende: I Der ndes en konstant K, så x sin x 1 6 x 3 Kx 4 for alle x i et interval med 0 som indre punkt. I Generelt betyder f (x) = O (u (x)) for x! a, at der ndes en konstant K, så jf (x)j K ju (x)j for alle x i et interval med a som indre punkt.. for
44 I Når Maplekommandoen taylor(sin(x),x=0,4); som 1 resultat giver x 6 x 3 + O x 4, betyder der følgende: I Der ndes en konstant K, så x sin x 1 6 x 3 Kx 4 for alle x i et interval med 0 som indre punkt. I Generelt betyder f (x) = O (u (x)) for x! a, at der ndes en konstant K, så jf (x)j K ju (x)j for alle x i et interval med a som indre punkt. I Vi har eksempelvis: sin x = O (x), sin x = x + O x, men også sin x = x + O x 3 og den allerede viste.. for
45 I Når Maplekommandoen taylor(sin(x),x=0,4); som 1 resultat giver x 6 x 3 + O x 4, betyder der følgende: I Der ndes en konstant K, så x sin x 1 6 x 3 Kx 4 for alle x i et interval med 0 som indre punkt. I Generelt betyder f (x) = O (u (x)) for x! a, at der ndes en konstant K, så jf (x)j K ju (x)j for alle x i et interval med a som indre punkt. I Vi har eksempelvis: sin x = O (x), sin x = x + O x, men også sin x = x + O x 3 og den allerede viste. I I Taylor-sammenhæng kan O ((x x 0 ) n ) tolkes som led af orden n og højere.. for
46 . I Hvad er en reel funktion af ere? for
47 . I Hvad er en reel funktion af ere? I Hvad er grafen for en reel funktion af? for
48 . I Hvad er en reel funktion af ere? I Hvad er grafen for en reel funktion af? I Hvad er en niveaukurve for en reel funktion af? for
49 . I Hvad er en reel funktion af ere? I Hvad er grafen for en reel funktion af? I Hvad er en niveaukurve for en reel funktion af? I Se Maple-worksheet. for
Taylorpolynomier og Taylors sætning
og Taylors sætning 10. november 2008 I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet
Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Lokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
DiploMat. Eksempel på 4-timersprøve.
DiloMat. Eksemel å 4-timersrøve. Preben lsholm Maj 4 Ogave Vi skal løse ligningen e i 4 z 3 i = Løsningen skal angives å olær form, dvs. å formen re i, hvor r > og R. Først nder vi e i 4 z = 3 Heraf fås
Noter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Andengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004
DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies
Eksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Reeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11:
Matematik A-niveau - bestemmelse af monotoniforhold (EKSEMPEL 1): Side 94 opgave 11: Opgave a) Ligningen for tangenten bestemmes. Dog defineres funktionen. Tangent-formlen er pr. definition. (1) Altså
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Funktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Eksempel på 2-timersprøve 1 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Marts 4 Opgave Vi skal løse ligningen () z (8 + i) e i 6 = Løsningen ønskes angivet på rektangulær form, dvs. på formen x + iy, hvor x; y R. Vi nder umiddelbart
DesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006
Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Taylor-polynomier. John V Petersen
Taylor-polynomier John V Petersen Taylor-polynomier 2018 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning... 4 2. Udledning af Sætning om Taylor polynomiet... 4 3. Sætning og Definition af Taylor
Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder
Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.
1 Kapitel 5: Forbrugervalg
1 Kapitel 5: Forbrugervalg Vi har set på: 1. Budgetbegrænsninger. 2. Præferencer og nyttefunktioner. Nu stykker vi det hele sammen og studerer forbrugerens valg. 1 2 Optimalt forbrug - gra sk fremstilling
Notesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt
MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel
DesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9
![Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9](/thumbs/62/47922248.jpg "Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9")
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger
Besvarelser til Calculus Reeksamen August 2017
Besvarelser til Calculus Reeksamen -. August 7 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Reeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9
![Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9](/thumbs/63/48531538.jpg "Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9")
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger mod eksponentialfunktionen
Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Preben Alsholm. 13. marts 2008
Arcus, I 13. marts 2008 I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : x 1 6= x 2 =) f (x 1 ) 6= f (x 2 ) Arcus, I I Funktionen f kaldes enentydig (1-1), hvis for alle x 1, x 2 : Arcus,
DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner
DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Reeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Numerisk løsning af differentialligninger
KU-LIFE; Matemati og modeller 009 Numeris løsning af differentialligninger Thomas Vils Pedersen 1 Numerise metoder Ved numeris analyse forstås tilnærmet, talmæssig løsning af problemer, som ie, eller un
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
MM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 35-del 1, 2010 Redigeret af Jessica Carter efter udgave af Hans J. Munkholm 1 Nogle talmængder s. 4 N = {1,2,3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z =
Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Arealer som summer Numerisk integration
Arealer som summer Numerisk integration http://www.zweigmedia2.com/realworld/integral/numint.html Her kan ses formlerne, som er implementeret nedenfor med en effektiv kode. Antag, at funktionen er positiv,
af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen
Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Prøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Funktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Kapitel 7 Introduktion til statistik Organisering af data Diskrete variabler Kontinuerte variabler Beskrivende statistik Fraktiler Gennemsnit Empirisk varians og spredning Empirisk korrelationkoe
Førsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger
DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu
Reeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Mat 1. 2-timersprøve den 17. maj 2016.
Mat -timersprøve den 7 maj 6 JE 6 Opgave restart; Givet funktionen f:=x-sqrt(*x-); Spørgsmål f := x/ x K Funktionen er defineret for x K R x R Dvs Dm f er intervallet [ ;N[ Spørgsmål Med udviklingspunktet
Opgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b
3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Matricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
DiMS 2010 Uge 7,
DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal
Matematik A-niveau Delprøve 1
Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Løsninger til matematik C december 2015 Februar 2017
a) Vi aflæser opgavebeskrivelsen og ser, at vi kender r = 2%, K 0 = 30000 samt n = 5, så vi anvender renteformlen. Vi skal finde ud af, hvad der står efter 5 år på kontoen.: K 5 = 30000 (1 + 0.02) 5 =
Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
MM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Matematik A, vejledende opgave 2, ny ordning. Vejledende løsninger, Peter B. Delprøven uden hjælpemidler. Opgave 1. a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2
Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2 0 = 8 0 = 8 0 2 Opgave 2 a) Først differentierer vi løsningen: y = 10x. Dernæst indsættes løsningen y i y og vi får: y = 2 5x2 x =
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Eksamen på Økonomistudiet 2009-I. Makro 2. Udleveres d. 14. januar kl. 10.00 A everes d. 16. januar kl.10.00
Eksamen på Økonomistudiet 2009-I Makro 2 2. årsprøve Udleveres d. 14. januar kl. 10.00 A everes d. 16. januar kl.10.00 Der er fokus på at undgå tilfælde af eksamenssnyd I tilfælde af formodet eksamenssnyd,
Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.