Lommeregnerkursus 2008

Transkript

1 Mikkel Stouby Petersen Lommeregnerkursus 008 Med gennemregnede eksempler og øvelser Materialet er udarbejdet til et kursus i brug af TI-89 Titanium afholdt på Odder Gymnasium. april 008

2 1. Ligningsløsning En meget anvendt funktion på TI-89 er funktionen solve(, som anvendes til løsning af ligninger. Vi vil her give et simpelt eksempel. Vi har følgende opgave eller problem: a) Løs ligningen 3 x 4x = x Denne ligning lader sig ikke umiddelbart løse med håndkraft, og vi må derfor ty til hjælp fra lommeregneren. Vi befinder os i HOME, som altid kan findes ved et enkelt tryk på HOME-tasten. Vi trykker på F for at åbne Algebra-menuen og her finder vi solve(. Så indtaster vi i indtastningsfeltet den ligning, som vi gerne vil løse. Vi slutter med,x) for at fortælle solvefunktionen, at det er x, vi ønsker isoleret i ligningen. Herefter taster vi blot ENTER, og lommeregneren skriver løsningen/løsningerne på den indtastede ligning. I dette tilfælde får vi altså 3 x 4x = x c x = 3 x = 6 Øvelse 1: Bestem samtlige løsninger til ligningen 1 x x + 5x = Øvelse : Isoler t i ligningen a t + ( b ) x = u y Side af 10

3 . Tegning af grafer TI-89 kan bruges til meget, når man arbejder med grafer og funktioner, men vi vil her se på nogle af de mest basale funktioner. Vi har følgende opgave: En funktion f er givet ved f x = x 3x x a) Tegn grafen for f. ( ) For at tegne en graf med TI-89 vil vi først åbne Y=-editoren. Denne findes lettest ved først at trykke på og herefter på F1. Funktionen kan her indtastes som y1. Man kan sagtens tegne flere funktioner i det samme koordinatsystem, men her behøver vi jo kun en enkelt. Når dette er gjort kan vi tegne grafen. Dette gøres ved at man vælger GRAPH ved først at trykke på og herefter på F3. Hvis grafen ser underlig ud, så kan det skyldes, at akserne er indstillet anderledes fra en tidligere opgave. Derfor bør man altid fremkalde Zoom-menuen ved at trykke på F. Her kan man blandt andet zoome ind og ud, men i første omgang skal man vælge ZoomStd for at se grafen med standardzoom. I tilfældet med denne graf giver standardzoom dog ikke noget særlig godt billede. Grafen ligger tilsyneladende meget længere oppe ad y-aksen. For at ændre på akserne går vi ind i menuen WINDOW, som kan findes ved først at trykke på og herefter på F. Her kan vi se, at y-aksen er sat til at blive vist fra -10 til 10. Dette ændrer vi til 0 til 0, så ymin altså nu er 0, og ymax er 0. Vi vender tilbage til grafen ved at trykke på først og derefter F3. Nu kan vi få et ordentligt billede af grafens forløb. Side 3 af 10

4 Hvis vi ønsker også at tegne grafen i hånden, så kan vi få lommeregneren til at udregne en række punkter til os. Vi trykker blot og herefter F5 for TABLE. Så fremkommer en tabel med både x- og y-værdier. Som standard begynder tabellen ved x-værdien 0 og har et spring på 1. Dette kan ændres i TABLE SETUP, som findes med et tryk på først og derefter F4. Her kan vi fx vælge at tabellen skal starte ved x-værdien -4 og have et spring på 0,5, så vi får flere punkter til vores graf. Herefter kan vi bladre i tabellen med og. Øvelse 3: Tegn i et passende koordinatsystem grafen for funktionen 0 f ( x) = x 9 ( ) 4 3. Regression På TI-89 kan udføres en lang række forskellige regressioner som lineær regression, eksponentiel regression og potensregression. Disse udføres alle på samme måde, og vi vil derfor nøjes med her at vise et eksempel, hvor vi udfører en potensregression. Vi har følgende opgave: Trykfaldet i et vandrør afhænger af vandstrømmen gennem røret. I tabellen vises sammenhørende værdier af vandstrømmen og trykfaldet i et støbejernsrør med radius på 100 mm. Vandstrøm (liter pr. sek.) Trykfald (cm. vandsøjle pr. m.) 0,11 0,5 0,71 1,03,93 6,70 Det oplyses, at sammenhængen med god tilnærmelse kan beskrives a f ( x) = b x hvor f ( x) er trykfaldet i røret målt i cm vandsøjle pr. m og x er vandstrømmen målt i liter pr. sek. og a og b er konstanter. a) Bestem konstanterne a og b. I opgaven får vi at vide, at sammenhængen bedst beskrives med en potensfunktion. For at finde ud af hvilken potensfunktion vil vi benytte lommeregneren til at lave potensregression. Side 4 af 10

5 Vi skal her bruge lommeregnerens stats/list-editor (SL-editor), som findes i hovedmenuen. Mappen main åbnes ved at trykke på ENTER, når SL-editoren er valgt. Nu er SL-editoren klar til brug. Vi indtaster de givne data i SL-editoren. Vi indtaster vandstrømmen i list1 og trykfaldet i list. Vi vælger F4 for Calculate og herefter Regressions. Her kan vi vælge mellem mange slags regression. Vi er interesseret i en potensfunktion, og vi vælger derfor PowerReg. (Ved lineær regression vælges LinReg (ax+b) og til eksponentiel regression vælges ExpReg.) PowerReg-menuen udfyldes nu ligesom Plot-menuen. Dette vil sige, at vi her indtaster list1 under X List og list under Y List. Vi trykker nu på ENTER for at udføre regressionen. Herefter kan vi aflæse resultatet af regressionen. Tallene r og r er tal, der fortæller noget om, hvor godt denne model passer med vores data. Hvis modellen stemmer fuldstændigt overens med vores data, vil r være lig 1. Bemærk, at lommeregneren bytter om på a og b i forhold til den måde, som vi normalt skriver en potensfunktion op på. Som svar på vores opgave har vi altså fundet: a =,04076 og b = 0, Side 5 af 10

6 Dette giver følgende forskrift: f, ( x) = 0, x Test af resultatet ved hjælp af plots For at tjekke dette resultat bør man altid indtegne sine data som punkter i et koordinatsystem. På lommeregneren hedder sådanne punkter plots, og vi trykker derfor på F-tasten for at komme ind i plots-menuen. I menuen vælges Plot Setup, og vi kommer nu til opsætningsmenuen for plots. Her vælges F1 for Define. Nu kan vi indstille hvilke punkter vi gerne vil have tegnet. Vi ønsker at finde en forskrift for trykfaldet som en funktion af vandstrømmen. Vi ønsker derfor, at vandstrømmen (indtastet i list1) skal være x-koordinaten, og at trykfaldet (indtastet i list) skal være y-koordinaten. Derfor indtastes list1 under x og list under y i menuen. Herefter trykkes på ENTER. Vi er nu tilbage ved Plot Setup, hvor vi nu har defineret Plot1, der her vises øverst på vores liste. Vi trykker nu på F5 for ZoomData. Så viser lommeregneren vores data i et koordinatsystem, og den retter automatisk akserne til, så vi kan se alle punkter. Samtidig tegner lommeregneren grafen for den potensfunktion, som vi har fået. I dette tilfælde passer modellen tydeligvis ret godt, da grafen næsten er sammenfaldende med punkterne. For at tjekke at vi virkelig har fundet en model, som passer godt med vores data, så kan vi trykke på og herefter på F3 for GRAPH. Så tegner lommeregneren en graf over den potensfunktion, som vi har fundet i samme koordinatsystem som de punkter, vi har lagt ind. I vores tilfælde passer modellen tydeligvis ret godt, da grafen næsten er sammenfaldende med punkterne. Når man afslutter en regression, så er det en god ide at fjerne de plots, man har lavet. Ellers bliver de liggende i koordinatsystemet. De indtegnede plots kan fjernes i SL-editoren ved at man fremkalder menuen Plots med F og vælger menupunktet PlotsOff. Side 6 af 10

7 Øvelse 4: Tabellen viser sammenhørende værdier for trykket P (målt i Pa) og temperaturen t (målt i C). t 5,0 10,1 9,9 40,0 70, 90,1 P 31,1 35,1 51,1 60, 85,1 301,5 Det oplyses, at trykket P med god tilnærmelse kan beskrives som en lineær funktion af P t = a t + b temperaturen t. Altså en funktion af typen ( ) Bestem en forskrift for P ( t ). 4. Differentialregning Lommeregneren kan finde differentialkvotienter for selv ret komplicerede funktioner, og det kan være en stor hjælp. Vi har følgende opgave: En funktion f er givet ved f ( x) = x + 7 a) Løs ligningen f ' ( x) = 0 Vi skal her bestemme differentialkvotienten til funktionen f ( x). Vi gør dette i HOME. Vi skal her bruge funktionen d(, som findes på lommeregneren ved først at trykke ND og herefter 8. Her indtaster vi forskriften for den funktion, som vi ønsker at bestemme differentialkvotienten for. Vi afslutter med,x) og ENTER, da x er vores variabel. Så giver lommeregneren funktionens differentialkvotient. Differentialkvotienten er altså x f ' ( x) = x + 7 For at løse ligningen f ' ( x) = 0 bruges nu blot solve( som tidligere beskrevet. Vi indtaster blot den fundne differentialkvotient i solve( og får Vi vil på svararket skrive: x = 0 x + 7 c x = 0 Side 7 af 10

8 Øvelse 5: En funktion f er givet ved f x = ln x + 5 Bestem f '( x ). ( ) ( ) 5. Integralregning Også i integralregning er TI-89 et nyttigt værktøj. Det skal vi se på her. Vi har følgende opgave: En funktion f er givet ved f ( x) = x + Grafen for f afgrænser sammen med andenaksen og den lodrette linje med ligningen x = 3 en punktmængde M, som har et areal. a) Bestem arealet af M. For at bestemme arealet af M ønsker vi at bestemme de bestemte integral af f fra 0 til 3. På lommeregneren gøres dette med funktionen (, som findes ved først at trykke ND og derefter 7. Vi indtaster funktionen og afslutter med x,0,3). Her betyder x, at det er vores variabel, mens 0 og 3 er grænserne. Hvis vi blot trykker ENTER, så får vi svaret udtrykt ved to brøker. Ønsker vi i stedet resultatet som et decimaltal trykkes først på og herefter ENTER. Vis vi undlader at indtaste nogen grænser i integralet, så bestemmer lommeregneren det ubestemte integral. Side 8 af 10

9 Øvelse 6: Bestem de bestemte integraler 3 ln ( x ) + 1dx og 3 x + 4 dx Øvelse 7: Bestem det ubestemte integral x dx 6. Almindelige fejl I mange typer af opgaver kan man pludselig opleve at få nogle meget mærkelige resultater eller slet intet resultat. Dette kan naturligvis skyldes en lang række ting, men når man benytter lommeregneren, så er der en række af almindelige fejl, man let begår. Her er tre ting, som man i hvert fald bør have styr på, når man benytter lommeregneren. Om tallet e I matematik er tallet e en meget vigtig konstant. Det er et irrationelt tal, og det kan således ligesom fx tallet π ikke skrives op som et endeligt decimaltal. Hvis det afrundes til fire cifre er det,718. Tallet e kan på lommeregneren ikke findes ved at bruge det e, som ligger over divisionstasten. I stedet skal man anvende funktionen e^(, som findes ved et tryk på og herefter på X. Her kan x man indtaste et udtryk som e som vist her: Om underforståede gangetegn Når vi ser et udtryk som 3x eller yz i matematik, så ved vi, at skal tolkes som henholdsvis 3 x og y z, idet gangetegnet i mange sammenhænge er underforstået. Dette kan lommeregneren ikke altid finde ud af. Hvis man på lommeregneren skriver to bogstaver uden mellemrum, så opfattes dette som et nyt tegn og ikke, som om de to skal ganges sammen. Derfor skal man som hovedregel altid skrive alle gangetegn på lommeregneren. Side 9 af 10

10 Om grader og radianer I trekantsberegninger kan man ofte få nogle meget underlige resultater, hvis man uden at vide det regner med radianer i stedet for grader. Lommeregneren kan stilles på enten at regne med radianer eller grader, og man kan i bunden af skærmen se, hvad den er indstillet på, idet der enten står DEG for grader (degree) eller RAD for radianer (radian). For at indstille lommeregneren på enten grader eller radianer går man ind i MODE-menuen, som kan findes ved at tryk på MODE-tasten. Med piltasterne og sætter vi markøren ud for angle. Med et tryk på åbnes en lille menu, hvor vi kan vælge mellem DEGREE eller RADIAN. Når den rigtige er fundet trykkes blot på ENTER, og lommeregneren er nu indstillet på det ønskede. Hvornår bruges grader, og hvornår bruges radianer? Grader bruges i beregninger på trekanter. Radianer bruges, når vi arbejder med funktioner og differentierer, integrerer eller tegner grafer. Held og lykke med jeres skriftlige eksamen! Side 10 af 10