En lommeregnerstøttet tilgang tilgang til grænseværdier og uendelighed i gymnasiets matematikundervisning
|
|
- Victoria Møller
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MONA En lommeregnerstøttet tilgang tilgang til grænseværdier og uendelighed i gymnasiets matematikundervisning Martin Sonnenborg, Næstved Gymnasium og HF Anvendelsen af avancerede symbolske lommeregnere i gymnasiets matematikundervisning giver elever såvel som lærere et værktøj som kan gøre undervisningen mere spændende og lærerig hvis det anvendes korrekt. I artiklen præsenteres en række fordele ved at anvende lommeregneren i den daglige undervisning ligesom to undervisningssituationer omkring grænseværdier og uendelighedsbegrebet skitseres. Især den sidste af de to undervisningssituationer fremmer elevernes personliggørelse af den tilsigtede viden, jf. Teorien om Didaktiske Situationer. Indledning Flere kommunale og private musikskoler tilbyder undervisning i harmonikaspil. For de af MONAs læsere som ikke umiddelbart er bekendt med den nærmere indretning af dette (i øvrigt ganske højlydte) instrument, kan jeg oplyse at harmonikaen for højre hånds vedkommende fungerer stort set som et almindeligt klaver. Venstre hånd derimod afhænger af harmonikaens type. Enten frembringes en hel akkord når man trykker på en knap og hiver i bælgen (dette kaldes grundbas), eller også frembringes igen som på et klaver kun en enkelt tone (dette kaldes melodibas). Den første af de to anvendes blandt andet til sømandsviser mens den anden er nødvendig til at spille mere avanceret musik såsom klassiske stykker. Harmonikalærerne er ikke helt enige om hvilken tilgang man bør bruge når man første gang introducerer nye elever til harmonikaen. Nogle mener at eleverne lige så godt kan lære at spille rigtigt allerede fra begyndelsen (dvs. med melodibas), mens andre foretrækker at lære eleverne grundbas i starten for så at lære dem melodibassen senere når de grundlæggende færdigheder inden for harmonikaspil mestres (bælgvendinger, forte, piano osv.). Helt oplagt er der fordele ved at undervise i brug
2 36 Martin Sonnenborg MONA af melodibas fra starten, men en af fordelene ved grundbas er at den musik man som elev lærer at spille, meget hurtigere lyder af noget. Eleverne får med det samme følelsen af faktisk at spille musik hvilket giver dem en høj grad af tilfredsstillelse og lyst til at øve sig og blive bedre. Omvendt kan de elever som fra begyndelsen undervises i brug af melodibas, have sværere ved at motivere sig til at øve deres harmonikaspil lyder af væsentligt mindre i begyndelsen idet de spiller enkelte toner frem for hele akkorder. De forskellige tilgange til at lære eleverne at spille på harmonika kan umiddelbart genkendes inden for matematikken i forbindelse med væsentlige punkter i den diskussion der har været omkring brugen af avancerede symbolske lommeregnere (CAS-værktøjer) i gymnasieundervisningen: Nogle lærere mener at eleverne skal lære den rigtige matematik først og så senere kan tillades at skyde genvej ved at anvende deres lommeregner; andre ser ikke noget problem i at lommeregnerne anvendes fra starten. I denne artikel vil jeg skitsere en række idéer til en lommeregnerstøttet tilgang til matematiske grænseværdier i gymnasiet. De overordnede idéer stammer fra mit speciale inden for netop dette felt. 1 På samme måde som grundbas giver harmonikaeleverne mulighed for at spille musik allerede fra starten, kan lommeregneren anvendes til at give gymnasieeleverne mulighed for at lave relativt avanceret matematik med grænseværdier allerede fra et tidligt tidspunkt de formelle metoder (melodibas) følger efter i naturlig forlængelse når de første grundlæggende kundskaber er tilegnet. Efter en kort redegørelse for det didaktiske potentiale en velovervejet lommeregnerstøttet tilgang har, følger to eksempler på en lommeregnerstøttet tilgang til grænseværdier og uendelighedsbegrebet. Artiklen afsluttes med perspektivering og en kort konklusion. Lommeregnerens didaktiske potentiale Set fra elevernes side er en symbolsk lommeregner et herligt værktøj. De kan anvende den til at spare tid og besvær i forbindelse med besværlige omskrivninger, udregninger osv. Læreren på den anden side finder det ofte problematisk at eleverne kan løse flere opgaver på deres lommeregner uden at behøve tænke det mindste selv (Trouche, 005). Her er det nyttigt at skelne mellem hvad man kan kalde brug og misbrug af lommeregneren. Brug er når lommeregneren anvendes som et positivt valgt hjælpemiddel til at udforske en problemstilling eller spare tid i forbindelse med eksempelvis udførelse 1 Specialet er tilgængeligt i sin fulde længde online på Institut for Naturfagenes Didaktiks hjemmeside under publikationer.
3 MONA En lommeregnerstøttet tilgang 37 af en række komplicerede udregninger som eleven sædvanligvis selv ville være i stand til at udføre givet nok tid. Misbrug på den anden side er når lommeregneren udnyttes som en magisk maskine som giver svar på opgaver eleven dårligt selv forstår og helt sikkert ikke ville være i stand til at løse uden. Et klassisk eksempel på brug er når eleverne efter at være blevet introduceret til differentialregningens lyksaligheder skal anvende deres viden til at finde lokale ekstrema for et tredjegradspolynomium f(). Strategien er hurtigt klar: Bestem f (), og løs andengradsligningen f () = 0. Her er undervisningens fokus på metoden frem for på differentiationsrutinen eller for den sags skyld på løsning af andengradsligninger. I forbindelse med disse to, i sammenligning med hovedfokusset på metode sekundære, elementer af eksempelregningen kan lommeregneren være nyttig for eleverne og spare dem for en del tid og besvær. Tilsvarende kan læreren drage fordel af lommeregneren. Hvis eleverne tillades at anvende lommeregneren til at løse andengradsligninger (og eventuelt også til at differentiere), bliver eleverne for det første i stand til hurtigere at arbejde sig gennem en lang række eksempler. For det andet styrkes metodefokusset ved at metoden umiddelbart kan generaliseres til vilkårlige polynomier; på lommeregneren anvendes nøjagtigt de samme kommandoer ligegyldigt hvilket polynomium der er tale om: definer, differentier, sæt lig nul, løs ligningen. Videre giver lommeregneren mulighed for at tage nye tilgange til matematikken i brug. Som netop omtalt kan lommeregneren sætte eleverne i stand til hurtigt at arbejde sig igennem en række (beregningstunge) eksempler hvilket kan udnyttes i forbindelse med en eksperimentel tilgang til matematikken. En eksperimentel tilgang (se figur 1) hvor eleverne selvstændigt udforsker en problemstilling, fremsætter hypoteser, formulerer og senere beviser sætninger osv., er en langt mere naturlig tilgang til matematikken end den logisk opbyggede, deduktive matematik som vi kender så godt fra diverse lærebøger. Lakatos (1976) beskriver hvordan udviklingen inden for matematikken er karakteriseret ved en stærkt eksperimentel dimension, og denne kan tilgodeses i gymnasiematematikken ved at anvende lommeregneren til at udforske en given problemstilling med alle de matematiske kompetencer dette medfører. Et eksempel på en sådan udnyttelse af lommeregneren følger.
4 38 Martin Sonnenborg MONA Observation Formulering Hypotese Bevis Ny hypotese Eksempler Sætning Observation Formulering Flere/andre eksempler Anvendelse Figur 1. En eksperimentel tilgang til matematikken er i langt højere grad end en deduktivt opbygget tilgang i tråd med den måde matematikken faktisk udvikler sig på. Lommeregneren kan anvendes til at overskue en stor mængde eksempler hvilket er nødvendigt for at sætte eleverne i stand til selvstændigt at formulere hypoteser og sætninger. Videre kan lommeregneren også anvendes som en kikkert. Ud over at sætte eleverne i stand til hurtigt at overskue et større område (ved at regne en masse eksempler igennem) kan den også anvendes til at se resultater som ligger langt ude i horisonten. Således kan eleverne som en anden opdagelsesrejsende langsomt arbejde sig hen mod et mål som de har fundet ved hjælp af deres lommeregner, og med overblik over landskabet foran dem åbnes for alternative ruter, frem for at de blot går frem i fugleflugtslinje gennem alskens buskads og tornekrat. Et eksempel på denne anvendelse følger her. Problemet med grænseværdier Grænseværdier regnes (med rette) for at være et af de mest udfordrende matematiske begreber som gymnasieelever stifter bekendtskab med. En formel tilgang til grænseværdier må nødvendigvis tage sit udgangspunkt i den formelle definition af grænseværdi, med alle de kvantorer, uligheder og græske bogstaver som optræder i
5 MONA En lommeregnerstøttet tilgang 39 denne som udgangspunkt. Mange gymnasielærere vælger dog en sådan formel tilgang fra da den er ganske tung og vanskelig at forstå for langt størstedelen af eleverne. I stedet vælges en mere uformel tilgang, eksempelvis i forbindelse med en første introduktion til differentialregning hvor grænseværdierne så at sige erstattes af en lineal som repræsenterer en korde som gradvist ændres til en tangent. På den anden side opstiller Sierpinska (1987) en hel række problemer og misforståelser i forbindelse med grænseværdier som man typisk støder på blandt eleverne. Eksempelvis opfatter flere elever ikke grænseværdier som et matematisk funderet koncept, men som en ad hoc-metode baseret på erfaring. Mange elever opfatter grænseværdier som en form for tilnærmelse eller som en slags dynamisk bevægelse hen mod et givet tal a, og begge disse misforståelser kan så tolkes i et geometrisk eller et numerisk perspektiv. De fleste af de hyppigst forekommende misforståelser kan spores tilbage til en mangel på en formel tilgang til grænseværdier hvilket efterlader os i lidt af et dilemma: På den ene side er en formel tilgang umiddelbart for vanskelig for størsteparten af eleverne, og på den anden side medfører en uformel tilgang til grænseværdier flere forskellige misforståelser blandt eleverne. Min idé til en løsning af dette problem er at kombinere en uformel tilgang til grænseværdier med velfunderede formelle matematiske metoder. Både inden for den uformelle tilgang og inden for de formelle metoder kan en symbolsk lommeregner med fordel anvendes, hvilket jeg vil komme nærmere ind på i det følgende. Eksempel 1: En sammenligning af to grænseværdier Som et led i det undervisningsforløb jeg designede i forbindelse med mit speciale, skulle eleverne blandt andet betragte følgende grænseværdier: A lim 0 1 sin B lim 0 1 sin Umiddelbart er de ganske ens, men et nærmere studie af de to udtryk vil vise at de i virkeligheden er ganske forskellige, ligesom dette studie vil give anledning til at fremhæve vigtige pointer i forhold til den formelle definition af grænseværdier. Udgangspunktet for en sammenligning af de to er at der er noget konkret at sammenligne. Beder man en gymnasieelev sammenligne de to udtryk, kan vedkommende givetvis forholdsvis hurtigt fortælle at forskellen er det der er med i udtryk B, men ikke i A. Men nu er matematik mere og andet end find fem fejl, og et sådant svar stiller ingen gymnasielærer sig tilfreds med i længden. En mere
6 40 Martin Sonnenborg MONA kvalitativ matematisk sammenligning uden nogen hjælpemidler vil dog falde de fleste gymnasieelever ganske vanskelig, og det er her den symbolske lommeregner kommer ind i billedet. Ved at bruge lommeregneren kan eleven ganske hurtigt bestemme værdien af de to udtryk (se figur ), og med de forskellige resultater som udgangspunkt er sammenligningen ovenfor pludselig meget mere interessant. Med udgangspunkt i at den eneste forskel på selve udtrykkene er et, kan lommeregnerens resultat bruges til at drage den konklusion at det netop er det som må være skyld i at udtryk A er udefineret (figur a) mens udtryk B er lig med nul (figur b). Figur. Ved hjælp af en symbolsk lommeregner kan eleverne umiddelbart finde relativt komplicerede matematiske grænseværdier, hvilket muliggør en mere kvalitativ matematisk sammenligning af de to udtryk end en overfladisk find fem fejl -sammenligning. Efter således at have konkluderet at det ekstra i udtryk B er afgørende for at udtryk B, modsat A, har en veldefineret grænseværdi, er eleverne rede til at søge forklaringen på hvorfor det forholder sig sådan. En grafisk sammenligning af de to udtryk under grænseværdien er nærliggende, og igen kan lommeregneren hjælpe eleverne. Ingen af udtrykkene er meget vanskelige at indtaste, og efter at have anvendt lommeregnerens ZOOM-funktion et par gange fås ganske illustrative repræsentationer af de to grafer (se figur 3).
7 MONA En lommeregnerstøttet tilgang 41 Figur 3. Graferne for udtrykkene under grænseværdierne A hhv. B. Bemærk her at øvelsen tegn grafen for udtrykkene A og B giver læreren et indblik i elevernes anvendelse af lommeregneren til at tegne grafer. Det er ikke altid at de grafer man studerer, passer ind i lommeregnerens standardvindue, og her kommer lommeregnerens ZOOM-funktion i spil. Betragt eksempelvis grafen for udtrykket i grænseværdi A (figur 4). Bemærk især hvordan grafen ændrer sine egenskaber fundamentalt når lommeregneren kommer i spil. I standardvinduet (figur 4a) er grafen tilsyneladende under -aksen for < 0 mens den tilsyneladende er over for > 0. Efter at have brugt ZOOMfunktionen en gang i punktet (0,0) (figur 4b) er det tilsyneladende omvendt, mens det først er efter endnu en ZOOM-kommando (figur 4c) at det bliver klart for eleverne hvordan grafen i virkeligheden forløber. Således kan læreren, blot ved at bede nogle elever tegne en skitse af en graf på tavlen, observere om disse elever er i stand til at tegne en brugbar graf på deres lommeregner ved at sammenholde deres skitse med grafens faktiske forløb. Figur 4. (a) Grafen for funktionen f() = sin(1/) i standardvinduet. (b) Samme graf efter at ZOOM-funktionen er anvendt en gang i punktet (0,0). (c) Efter to anvendelser. En sammenligning af de to grafer for udtrykkene A og B (figur 3) viser at begge udtryk har det til fælles at perioden for sinus bliver kortere og kortere jo tættere kommer på
8 4 Martin Sonnenborg MONA nul, men hvor grafen for udtryk A bliver ved med at svinge med samme udsving, bliver udsvinget for udtryk B stadig mindre efterhånden som nærmer sig nul. Videre kan man diskutere sig frem til det rimelige i denne observation ved at sammenholde dette med de to oprindelige udtryk: B skilte sig netop ud fra A ved at have et ganget på foran og når går mod nul, svarer det til at gange et stadig mindre tal på udtrykket i A, som pga. sinus egenskab som begrænset funktion betyder at udtryk B vil gå mod nul. Foreløbig har der fundet meget lidt formel matematik sted. Sammenligningen af de to grænseværdier har hovedsageligt foregået på et uformelt niveau hvor man diskuterer forskellen på de to grænseværdier ud fra nogle outputs fra en lommeregner. Eleverne har (ganske vist overfladisk) analyseret et matematisk problem, identificeret en afgørende forskel på to udtryk samt fået en idé om hvorfor den tilsyneladende lille forskel har så stor betydning. Uden at udføre komplicerede matematiske beregninger har de alligevel udført en (uformel) matematisk analyse af en problemstilling, hvorved flere af de centrale kompetencer nævnt i gymnasiebekendtgørelsen for matematik bliver trænet og styrket. Der er dog fortsat et stykke vej til målet. En uformel argumentation med udgangspunkt i det grafiske register er ikke tilstrækkelig. Der fordres et matematisk bevis, og første skridt på vejen til et sådant for udtryk B er at forklare hvorfor vurderingen 1 sin er sand. Dette kræver et kendskab til grafen og (især) værdimængden for sinus-funktionen, men er dette berørt i tidligere undervisningsforløb, er ulighederne ovenfor hurtigt forklaret ud fra værdimængdebetragtninger (sinus svinger mellem -1 og 1). Eleverne kan nu, ved at sætte stadig mindre værdier for ind i ulighederne, studere hvad der sker efterhånden som går mod nul, og ud fra den ovenstående ulighed opstille følgende: 1 lim 0 lim 0 sin lim 0 De to grænseværdier som begrænser udtrykket i midten (grænseværdi B), ses let begge at gå mod nul, og således bliver udtryk B i midten klemt tættere og tættere på nul det må altså være lig med nul. Med relativt simple midler har eleverne på nuværende tidspunkt identificeret den afgørende forskel på de to oprindelige grænseværdier ligesom de har lavet et matematisk bevis for hvorfor den ene af de to antager værdien nul. En konklusion af formen Vi kan klemme udtrykket vilkårligt tæt på nul, så nul må være grænseværdien er ikke langt borte, hvilket kan lede til et (mere eller mindre formelt) matematisk funderet argument for hvorfor grænseværdi A er udefineret.
9 MONA En lommeregnerstøttet tilgang 43 Uendelig et tal som alle andre? Et andet aspekt som typisk er med til at skabe usikkerhed og forvirring i forbindelse med grænseværdier, er det nære slægtskab disse har med uendelighedsbegrebet. Samspillet mellem de to matematiske koncepter og hvordan kombinationen af de to medfører om muligt endnu større problemer for eleverne, er endog særdeles grundigt beskrevet i diverse didaktiske tidsskrifter. Af selv samme årsag vil jeg ikke komme nærmere ind på disse problemer her, men i stedet fokusere på hvorledes lommeregneren på den ene side umiddelbart kan anvendes til at få indblik i hvad uendelig er for en størrelse, ligesom den på den anden side også kan være årsag til en hel del forvirring. De mest almindelige symbolske lommeregnere har alle uendelig (i form af en knap med mærket ) umiddelbart tilgængelig for brugeren. Eksempelvis er denne knap på en TI-89 lommeregner placeret på samme niveau som tallene e og π. Således er eleverne i stand til at gøre sig en række første erfaringer med uendelighed blot ved at trykke en lille smule på deres lommeregner (se figur 5a). Dog vil lommeregneren til tider give umiddelbart uforståelige og misvisende svar (se figur 5b). Figur 5. (a) På en symbolsk lommeregner kan eleverne eksperimentere med uendelighed og opdage fundamentale egenskaber. (b) Dog vil de til tider støde ind i mystiske og til tider misvisende svar. Hvorfor svarer lommeregneren for eksempel sin( ) frem for cos( ) eller udefineret? Tilsvarende vil nogle elever finde at lommeregneren modsiger sig selv idet den godt kan vurdere nogle funktioner i =, men ikke andre (se figur 6). Denne inkonsekvens skyldes lommeregnerens software som således i høj grad er med til at betinge elevernes brug af lommeregneren (sammen med knappernes placering, kommandoernes syntaks osv.). Denne proces hvor elevens anvendelse af lommeregneren betinges af dens nærmere indretning, kaldes intrumentationsprocessen (Trouche, 004, s. 90).
10 44 Martin Sonnenborg MONA Figur 6. Hvis eleverne eksperimenterer med uendelig på deres lommeregner, vil de finde tilsyneladende modstridende svar. I skærmbillede (a) angives polynomiet f() som udefineret i = til trods for at eleverne ville forvente at andengradsleddet dominerer. I skærmbillede (b) viser det sig dog at grænseværdien for polynomiet er uendelig for gående mod uendelig. Af (c) fremgår det dog at dette mønster ikke er konsekvent her er grænseværdien lig med f( ). Eksempel : Nej, nu bliver det simpelthen for mærkeligt! I det føromtalte undervisningsforløb om grænseværdier som jeg designede i forbindelse med mit speciale, indgik der også en introduktion til uendelighed. Efter at have bestemt værdien af en hel række grænseværdier blev eleverne bedt om at se nærmere på de af grænseværdierne som havde værdien plus/minus uendelig. Opgaven lød på at se om de kunne finde et mønster ved at inddrage regnereglerne for grænseværdier. Fem grænseværdier skulle undersøges i den forbindelse: 1 C lim ( e 1) 0 + D lim cos( ) ln( ) 0 1/ E lim 0 e F lim 0( cos( ) 1) e G lim 0( + 1) Af de fem grænseværdier har de tre værdien uendelig (C, E og G) mens to (D og F) har værdien minus uendelig. De fem grænseværdier er alle af et produkt af to funktioner, og disse to funktioners egenskaber angiver grænseværdiens type og bestemmer dens værdi. Det langsigtede mål med forløbet er at eleverne sættes i stand til at genkende typerne ligesom de gerne skulle blive i stand til at udføre et argument for hvorfor grænseværdierne har den værdi de har. De fem grænseværdier C til G er alle af typen k ± (udtrykkene C, D og G) samt typen 0 ± (udtrykkene E og F). 1/ e 1/
11 MONA En lommeregnerstøttet tilgang 45 I løbet af undersøgelsen udfylder eleverne et skema svarende til tabel 1. Dette giver et udmærket overblik over de fem grænseværdier. f() f 1 () f () lim f 1 () lim f () lim f 1 ()f () 1 C ( e + 1) 1 ( + 1) e D E cos( ) ln( ) cos( ) ln( ) / e 1/ e 0 1/ F ( cos( ) 1) e ( cos( ) 1) 1/ e 0-1/ G ( + 1) e ( + 1) 1/ e 1 Tabel 1. Når lommeregneren anvendes til at udforske en matematisk problemstilling, kan resultaterne med fordel organiseres i et skema. Her er opgaven at finde et mønster, og i den efterfølgende diskussion vil skemaet danne et naturligt udgangspunkt. Eleverne anvender deres lommeregner til at udfylde skemaet og finder at der indgår en komponent med grænseværdi plus/minus uendelig i alle udtryk. Skemaet rummer en masse potentiale i forbindelse med at starte en diskussion omkring uendelig. At -1 = - (udtryk D) virker umiddelbart rimeligt, og tilsvarende gør sig gældende for udtryk G, mens = (udtryk C) er mere vanskeligt at forstå. Grænseværdierne E og F vil umiddelbart give anledning til en del forvirring og gjorde det også da jeg testede mit forløb på en. g-klasse i februar og marts 007. Den følgende beskrivelse af undervisningssituationen er baseret på lydoptagelser og observationsnoter fra timen. Tidligere havde eleverne lært at når et tal multipliceres med nul, bliver resultatet nul. De blev derfor ganske forvirrede da resultatet af det (tilsyneladende) samme regnestykke nul gange uendelig blev plus hhv. minus uendelig. De konkluderede noget tvivlende at uendelig på en eller anden lumsk måde måtte være stærkere end nul, men var stadig ganske forvirrede. Det blev ikke bedre da de blev bedt om at undersøge endnu en grænseværdi på samme måde som de havde gjort med de fem tidligere: H lim 1 e 0 1/
12 46 Martin Sonnenborg MONA Grænseværdi H har værdien 0 og er også af typen 0 ±, så nu havde eleverne grænseværdier af typen 0 ± med værdien minus uendelig, nul og plus uendelig. På dette tidspunkt var forvirringen nærmest total, eksemplificeret ved en frustreret elevs udbrud Nej, nu bliver det simpelthen for mærkeligt! Efter at der var blevet skabt ro i klassen, blev der samlet op på de seks grænseværdier. De blev inddelt i de to typer k ± og 0 ±, og i tråd med min idé omkring senere at indføre formelle matematiske metoder lærte eleverne at bevise hvorfor grænseværdier af den første type har værdien plus/minus uendelig. Udgangspunktet for det formelle bevis var et Hvis John er høj, og Allan er højere, så er Allan også høj -princip som eleverne umiddelbart tog til sig og anvendte til at vurdere udtrykkene nedad hhv. opad til noget de lettere kunne overskue og bestemme værdien af. Forvirringen vedrørende typen 0 ± gav senere anledning til en diskussion vedrørende relativ væksthastighed. Klassen havde ikke tidligere beskæftiget sig med dette, men eleverne var for en stor dels vedkommende i stand til at indse at eksponentialfunktioner dominerer polynomier, og eleverne accepterede at man skulle passe på når man arbejder med uendelighed. Dette var netop en af mine vigtigste pointer i forbindelse med mit forløb. Perspektivering De to undervisningssituationer som jeg har beskrevet, er begge funderet i Teorien om Didaktiske Situationer, ofte forkortet TDS (Brousseau, 1997). Inden for TDS er skellet mellem personlig og officiel viden helt centralt. Når en elev tilegner sig ny viden, sker det gennem en kompliceret proces hvor eleven først personliggør den officielle matematiske viden. Her er det op til læreren at etablere et undervisningsmiljø som er særligt favorabelt for og støtter elevens personliggørelse af den officielle viden. Efterfølgende institutionaliseres den viden eleven har tilegnet sig, og også her spiller læreren en central rolle (Winsløw, 006). Personliggørelsen af den matematiske viden er helt central. Man kan ikke starte med at institutionalisere så får eleverne kun en overfladisk forståelse af problemfeltet, og de glemmer hurtigt hvad de har lært. Modsat giver en høj grad af personliggjort viden en dybere forståelse ligesom eleverne har lettere ved at huske hvad de har lært. Især i det sidste af de to eksempler beskrevet ovenfor er fokusset på personliggørelsen. Ved at få eleverne til at undersøge visse grænseværdier selv, støttet af deres lommeregner, styrkes personliggørelsesprocessen ligesom det er tilfældet når eleverne bedes formulere hypoteser omkring hvorfor de fem grænseværdier C til G har værdien plus/minus uendelig. Som omtalt tidligere (jf. figur 1) er symbolske lommeregnere en medvirkende årsag til at en eksperimentel tilgang til flere matematiske emner bliver mulig. Det er oplagt
13 MONA En lommeregnerstøttet tilgang 47 at en eksperimentel tilgang støtter personliggørelse af den matematiske viden, og således kan lommeregnere og andre CAS-værktøjer i høj grad anvendes til at støtte elevernes tilegnelse af viden inden for et (nyt) matematisk emne. Men også i det første eksempel (sammenligning af to grænseværdier) er der tale om en høj grad af personliggørelse. En relativt lang fase med uformel diskussion tillader alle eleverne at være med et langt stykke af vejen. Det er ikke sikkert at de alle kan gennemskue løsningen på nogle af de problemer der identificeres, men de bør alle kunne tage del i den fælles undren som gerne skulle opstå som følge af diskussionen af forskellen på de to grænseværdier. I begge tilfælde munder de indledende uformelle øvelser ud i formelle matematiske argumenter. Disse argumenter må nødvendigvis tage deres udspring i læreren da stoffet er for kompliceret til at eleverne helt på egen hånd kan gennemføre de formelle argumenter. Læreren som hidtil primært har haft ansvaret for at styre ordet og systematisere elevernes uformelle refleksioner, sørger løbende for at samle hovedpointerne fra elevernes arbejde sammen, og med dem som udgangspunkt etableres til sidst den officielle (fælles) viden. Ved at bruge elevernes personlige viden som udgangspunkt for den officielle sikres elevernes ejerskab over for matematikken og den tilegnede viden. Dog skal man også være opmærksom på at der er en hel del problemer forbundet med at anvende lommeregneren. Som nævnt i indledningen er nogle lærere imod CAS-brug, og ud over at det kræver en hel del tid at lære eleverne at bruge deres lommeregner, er der også andre problemer forbundet dermed. Flere af disse er behandlet i Winsløw (003) blandt andet den såkaldte black bo-effekt. Lommeregneren indtager rollen som en magisk kasse som man putter noget ind i hvorefter den giver et svar. Problemet er at der ikke er nogen mulighed for at se de metoder, mellemregninger, sætninger osv. som bringes i spil. I mit speciale søgte jeg at udnytte black bo-effekten til min egen fordel. Eleverne vidste en smule, men ikke meget om grænseværdier, og ved at bruge lommeregneren til at bestemme værdien af en række omhyggeligt udtænkte grænseværdier etableredes en række uformelle kendskaber som svarede til den formelle matematiske definition af grænseværdier (det var i det mindste planen). De uformelle kendskaber støttes løbende af formelle metoder og kundskaber for at sikre et passende højt matematisk niveau. Denne strategi kan med fordel anvendes inden for flere matematiske områder end bare grænseværdier. Differentiation og integration er oplagte emner her kan lommeregneren også anvendes til at behandle et datamateriale og udlede nogle formler for så til sidst (med læreren som central medspiller) at bevise at de faktisk er korrekte. Konklusion Således nærmer vi os vejs ende. I artiklen har jeg præsenteret et par af de fordele der er ved at anvende lommeregneren i den daglige matematikundervisning i gymnasiet,
14 48 Martin Sonnenborg MONA men som inden for harmonikaundervisning er det i høj grad op til den enkelte lærers temperament hvilken rolle lommeregneren skal/bør spille. I eksemplerne har jeg skitseret to undervisningssituationer hvor lommeregnerne spiller en central rolle. Begge undervisningssituationer er funderet i TDS og tager udgangspunkt i at eleverne skal have mulighed for i høj grad at personliggøre den tilsigtede viden. Det er min overbevisning at lommeregnerens anvendelsesmuligheder i den forbindelse er gode, ligesom elevernes it- og hjælpemiddelkompetence opøves. Således taler meget for en øget anvendelse af symbolske lommeregnere på de niveauer af gymnasieundervisningen hvor sådanne anvendes. Bemærk dog at når harmonikaeleverne har lært at spille med grundbas, følger træning i melodibas som er en forudsætning for at eleverne kan udvikle deres spil til et højere niveau, frem mod rigtig musik. Og det samme er nødvendigt i matematikken: Når de grundlæggende færdigheder og kendskaber er på plads, må en formalisering og institutionalisering af elevernes viden nødvendigvis følge. Som matematiklærere bliver vi nødt til at stå fast på at matematik er mere og andet end en overfladisk beskrivelse af situationer og problemer kun sådan gør vi det muligt for vores elever til sidst at lave rigtig matematik. Referencer Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer. Bekendtgørelse om uddannelse til studentereksamen. BEK nr af 15. december 004. Bilag 35 og 36. Lakatos, I. (1976). Proofs and Refutations. Cambridge: Cambridge University Press. Sierpinska, A. (1987). Humanities students and epistemological obstacles related to limits. Educational studies of Mathematics, 18, s D. Reidel Publishing Co. Trouche, L. (004). Managing the compleity of human/machine interactions in conceptualized learning environments: Guiding students command process through instrumental orchestrations. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 9, s Dordrecht: Kluwer. Trouche, L. (005). Calculators in mathematics education: a rapid evolution of tools, with different effects. I: D. Guin, K. Ruthven & L. Trouche (red.), The Didactical Challenge of Symbolic Calculators Turning a Computational Device into a Mathematical Instrument, s Springer. Winsløw, C. (003). Semiotic and discursive variables in CAS-based didactic engineering. Educational Studies in Mathematics, 5, s Dordrecht: Kluwer. Winsløw, C. (006). Didaktiske Elementer En indføring i matematikkens og naturfagenes didaktik. Frederiksberg: Biofolia.
Lommeregneren elevens ven eller lærerens?
80 MONA 2008 1 Lommeregneren elevens ven eller lærerens? Mette Andresen, NAVIMAT, Professionshøjskolen, København Kommentar til artiklen En lommeregnerstøttet tilgang til grænseværdier og uendelighed i
Læs mereGeoGebra, international videndelingimellem. Morten Misfeldt
GeoGebra, international videndelingimellem matematiklærere Morten Misfeldt Plan GeoGebra Et stærkt værktøj til matematisk begrebsdannelse GeoGebra en kreativ matematisk legeplads GeoGebra videndelingimellem
Læs mereMatema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen
Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereNogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende.
Nogle didaktiske overvejelser vedrørende indledende undervisning i funktionsbegrebet i gymnasiet og nærværende hæftes nytte i så henseende. af Dinna Balling og Jørn Schmidt. Hæftet Lige og ulige sætter
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereMatematik B - hf-enkeltfag, april 2011
Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik
Læs mereSelam Friskole Fagplan for Matematik
Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt
Læs mereFag- og indholdsplan 9. kl.:
Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og
Læs mereTermin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf. Matematik B, hfe bekendtgørelsen.
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf Fag og niveau
Læs mereLæreplansændringer & Nye eksamensformer mulige scenarier
Læreplansændringer & Nye eksamensformer mulige scenarier Læreplansændringer? Nye kernestofemner? Færre? Flere? Specielt: Trigonometri og statistik hvordan? Eksamensopgaver? Programmering? Bindinger på
Læs mereHvem skal samle handsken op?
85 Hvem skal samle handsken op? Henrik Peter Bang, Christianshavns Gymnasium, Niels Grønbæk, Institut, Claus Richard Larsen, Christianshavns Gymnasium, Kommentar til Udfordringer ved undervisning i enzymer,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2014 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Stx Matematik B Katrine Oxenbøll Petersen Hold 1d mab 2012-2013, 2d mab 2013-2014 Oversigt over
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Afsluttende: Maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik
Læs mereGuide til lektielæsning
Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereIntroduktion til den afledede funktion
Introduktion til den afledede funktion Scenarie: Rutsjebanen Tilsigtede viden Bredere kompetencemål Nødvendige matematiske forudsætninger Tid Niveau Materialer til rådighed At give en forståelse for konceptet
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereFaglig læsning i matematik
Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har
Læs mereGrafregnerkravet på hf matematik tilvalg
Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;
Læs mereAndreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX
IT -Eksamen Andreas Lauge V. Hansen klasse 3.3t Roskilde HTX [Vælg en dato] Indhold Indledning... 2 Teori... 3 Hvorfor dette design... 4 Produktet... 4 Test og afprøvning... 9 Konklusion... 10 Indledning
Læs mereModellering. Matematisk undersøgelse af omverdenen. Matematisk modellering kan opfattes som en matematisk undersøgelse af vores omverden.
Modellering Matematisk undersøgelse af omverdenen. 1 Modellering hvad? Matematisk modellering kan opfattes som en matematisk undersøgelse af vores omverden. Matematisk modellering omfatter noget udenfor
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin 2011-2012 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Bente Madsen 1e mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereEvaluering af matematik undervisning
Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 14/15 Hf
Læs mereMATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål
MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereMatematik i AT (til elever)
1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 3. semester efterår 2010 Titel 5 til og med Titel 10 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX A Steffen Podlech Hold 2.E Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereMathCad Hvad, hvorfor og hvordan?
MathCad Hvad, hvorfor og hvordan? Flemming Nielsen, Statens Pædagogiske Forsøgscenter, København To år med matematikskriveværktøjet MathCad i en pædagogisk praksis På seminaret præsenterede jeg kort, hvordan
Læs mereRegneark hvorfor nu det?
Regneark hvorfor nu det? Af seminarielektor, cand. pæd. Arne Mogensen Et åbent program et værktøj... 2 Sådan ser det ud... 3 Type 1 Beregning... 3 Type 2 Præsentation... 4 Type 3 Gæt... 5 Type 4 Eksperiment...
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012
Undervisningsbeskrivelse for Matematik A 2. E 2011/2012 Termin Undervisningen afsluttes den 16. maj 2012 Skoleåret hvor undervisningen har foregået: 2011-2012 Institution Skive Teknisk Gymnasium Uddannelse
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mere3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Læs mereTANKERNE BAG DE NYE VEJLEDENDE SÆT I MATEMATIK
TANKERNE BAG DE NYE VEJLEDENDE SÆT I MATEMATIK De foreliggende vejledende sæt i matematik er gældende fra sommeren 2012 på matematik B og sommeren 2013 på matematik A. Der er en del ændringer i forhold
Læs mereFagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne
Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereÅrsplan matematik 7. Klasse
Årsplan matematik 7. Klasse 2019-2020 Materialer til 7.årgang: - Matematrix grundbog 7.kl - Kopiark - Færdighedsregning 7.kl - Computer Vi skal i løbet af året arbejde med følgende IT værktøjer: - Geogebra
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Skoleår efterår18, eksamen V18 Kolding HF & VUC Hfe Matematik
Læs mereTilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge
Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereDokumentation af programmering i Python 2.75
Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt
Læs mere1 monotoni & funktionsanalyse
1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig
Læs mereMATEMATIK. Formål for faget
MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereUNDERVISNING I PROBLEMLØSNING
UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes
Læs mereÅrsplan for matematik 3.klasse 2019/20
Fagformål Stk. 1. Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 16/17 Institution Hf i Nørre Nissum VIA UC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mereÅrsplan for matematik 2012-13
Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder
Læs mereMatematik. Læseplan og formål:
Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.
Læs mereÅrsplan for matematik
Årsplan for matematik Målgruppe: 07A Periode: Oprettet af: GL Mål for undervisningen: Matematik, 2017/18, 7. klasse. Undervisningen vil veksle mellem fælles gennemgang og selvstændigt arbejde, både individuelt
Læs mere10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik
10.klasse Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi Matematik Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at
Læs mereMatematik på Humlebæk lille Skole
Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereÅrsplan for 7. klasse, matematik
Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers
Læs mereMundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.
Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.
Læs mereOm at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet
Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.
Læs mereAktionslæring som metode
Tema 2: Teamsamarbejde om målstyret læring og undervisning dag 2 Udvikling af læringsmålsstyret undervisning ved brug af Aktionslæring som metode Ulla Kofoed, uk@ucc.dk Lisbeth Diernæs, lidi@ucc.dk Program
Læs mereVejledende karakterbeskrivelse Erhvervsuddannelserne Matematik Undervisningsministeriet, marts 2007
Vejledende karakterbeskrivelse Erhvervsuddannelserne Matematik Undervisningsministeriet, marts 2007 Fra 1. august 2007 skal al bedømmelse i matematik i erhvervsuddannelserne foregå efter 7-skalaen. I herværende
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau
Læs mereStudieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 10-juni 11 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B2 Klavs Skjold
Læs mereMatematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole
efter 3.klasse. e efter 6.klasse. e Skole efter 9.klasse. e indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence formulere sig skriftligt og mundtligt
Læs mereJes S. Jørgensen Matematiklærer på Espergærde Gymnasium MATEMATIK
Jes S. Jørgensen (JJ@eg-gym.dk) Matematiklærer på Espergærde Gymnasium MATEMATIK Ungdomsudd. : Bedre fange de nye elever Folkeskolen : Bedre forberede til gymnasiet Den gode start Vise hvad matematik er
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hotel- og Restaurantskolen EUX Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2014 Skoleår 2013/2014 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,
Læs mereKREATIV DIGITAL MATEMATIK. Et udviklings- og forskningsprojekt
KREATIV DIGITAL MATEMATIK Et udviklings- og forskningsprojekt Hvem er vi? Matematikvejleder PD Lis Zacho, Skolen ved Søerne, Frederiksberg Forsker PhD Morten Misfeldt, Ålborg Universitet Hvorfor? Hvordan
Læs mereVisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra
Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens
Læs mereIdeer til sproglige aktiviteter.
Matematikundervisning har gennem de senere år fokuseret på refleksion, problemløsning og kommunikation som både et mål og et middel i forhold til elevernes matematiske forståelse og begrebsudvikling. I
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015/16 Institution Vid Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen
Læs mereEksperimentel matematikundervisning. Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen
Eksperimentel matematikundervisning Den eksperimentelle matematik som didaktisk princip for tilrettelæggelse af undervisningen Matematikkens ansigter Ligesom den græske gud Morpheus, der i kunstneren Lionel
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereÅrsplan for 3.klasse 2018/19 Matematik
Fagformål Stk. 1. Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle
Læs mereÅrsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012
Årsplan for Matematik 8. klasse 2011/2012 Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereEt bud på en it didaktik for. Morten Misfeldt
Et bud på en it didaktik for matematik Morten Misfeldt Plan Hvem er jeg og hvad laver jeg Hvorfor en it-didaktik for matematik It som vilkår for matematik som videnskabsdisciplin og skolefag It og matematikundervisning
Læs mereVejledning til forløb om regnestrategier med multiplikation og division
Vejledning til forløb om regnestrategier med multiplikation og division Denne lærervejledning beskriver i detaljer forløbets gennemførelse med fokus på lærerstilladsering og modellering. Beskrivelserne
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution HF & VUC Nordsjælland Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HF Enkeltfag Matematik
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mere