Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Videregående Algoritmik. Version med vejledende løsninger indsat!"

Transkript

1 Videregående Algoritmik DIKU, timers skriftlig eksamen, 1. april 009 Nils Andersen og Pawel Winter Alle hjælpemidler må benyttes, dog ikke lommeregner, computer eller mobiltelefon. Opgavesættet består af 9 opgaver, som tillægges lige stor vægt. Version med vejledende løsninger indsat! Opgave 1 Tre elværker E 1, E, E med produktionskapaciteter på henholdsvis, og 9 MW (megawatt) skal forsyne byer B 1, B og B med elektricitet. Byernes el-behov er på henholdsvis,, og 8 MW. Forsyningen sker via transformatorstationer T 1 og T, som har kapaciteter på henholdsvis 1 og 10 MW. Ledningsnettets kapaciteter er angivet i Figur 1 i to tabeller (fra elværker til transformatorstationer og fra transformatorstationer til byer). T 1 T E 1 E E B 1 B B T 1 T Figur 1: Ledningskapaciteter fra elværker til transformatorstationer og fra transformatorstationer til byerne Spørgsmål 1.1 Formuler et maksimal strømningsproblem som vil gøre det muligt at afgøre om byernes strømbehov kan dækkes inden for de angivne kapacitetsbegrænsninger. Løsning: Strømnetværket vil indeholde 1 knuder: 1 kilde s, knuder repræsenterende elværker, knuder repræsenterende byer, 1 dræn t, samt par knuder, hvert par (L,R) representerende een transformatorstation. Kilden forbindes til de tre elværker-knuder via orienterede kanter med kapaciteter på hhv., og 9 MW. Elværk-knuder forbindes til L-transformator-knuder med kanter som har kapaciteter angivet i Figur 1 (til venstre). L-transformator-knuder forbindes til deres R-transformator-knuder med kapaciteter på hhv. 1 og 10 MW. R-transformator-knuder forbindes til by-knuder via orienterede kanter med kapaciteter angivet i Figur 1 (til højre). By-knuder forbindes til t via orienterede kanter med kapaciteter på hhv., og 8 MW. Hvis værdien af den maksimale strøm i dette netværk er 1, så ndes der en løsning som vil dække byernes behov. Ellers ikke. 1

2 Opgave Betragt følgende LP-problem L: max x 1 + x hvor x 1 + x 8 x 1 + x x 1 1 x 1 x 0 x 1 0, x 0 Spørgsmål.1 Løs L grask (L har kun variable, så begrænsninger kan tegnes i et - dimensionalt koordinatsystem). Spørgsmål. løsning. Angiv samtlige lovlige basisløsninger og forklar, hvor de ndes i den graske Spørgsmål. Hvor mange optimale løsninger har L? Spørgsmål. Løs L v.h.a. SIMPLEX. Spørgsmål. Angiv det duale problem, og forklar, hvordan man kan nde løsningen til det duale problem uden brug af SIMPLEX Løsning: Ad 1. Grask løsning - se Fig x!x1+x = x1!x=0 (0,) (1,) (0,0) (1,1) x1+x=8 x1 x1 = 1 Figur :

3 Ad. Lovlige basisløsninger er (0,) og (1,). Ad. Der er uendelig mange optimale løsninger. De ligger på liniestykket mellem (0,) og (1,). Ad. Løsning v.h.a. SIMPLEX: Overskudsformuleringen (eng. slack formulation) bestemmes først. z 0 = 0 x 1 + x x = 8 x 1 x x = + x 1 x x = 1 x 1 x = 0 x 1 + x x skal ind i basis, x skal ud af basis. Dermed fås z 0 = + 0x 1 x x = + x 1 x x = x 1 + x x = 1 x 1 x = + 0x 1 x SIMPLEX stopper, da alle koecienter i objektfunktionen er ikke positive. Ad. Det duale problem er: min 8y 1 + y + y hvor y 1 y + y + y 1 y 1 + y + 0y y 1 y 1, y, y, y 0 Ifølge formel (9.9) er den optimale løsning til det duale problem: y 1 = 0, y = 1, y = 0, y = 0 Opgave Betragt den orienterede graf G = (V,E) vist i Fig., hvor tal knyttet til kanter angiver deres kapaciteter. Spørgsmål.1 Find den maksimale strømning fra s til t v.h.a. Edmonds-Karp algoritme (tegn det residuale netværk hver gang strømningen forøges). Spørgsmål. Angiv snittet med den mindste kapacitet, og forklar, hvordan du har fundet det. Forklaringen skal kunne anvendes på vilkårlige strømningsnetværk.

4 8 1 s t Figur : Strømningsnetværk G Spørgsmål. Nu får du lov til at forbedre værdien af den maksimale strømning ved at ændre kapaciteten af præcis een kant. Hvilken kant ville du vælge for at forøge strømningsværdien mest muligt? Hvor meget skal kantens kapacitet mindst forøges med? Ad 1. Se Fig.. Ad. Snittet med den minimale kapacitet fås ved at identicere alle knuder, som kan nås fra kilden s i det residuale netværk. Da det residuale netværk ikke indeholder nogle strømningsforøgende veje, så kan t ikke nås fra s. Snittet er ({s,1}, {,,,,,t}). Ad. Da vi kun får lov til at øge kapaciteten af een kant, må det være en af de kanter, der krydser snittet, altså (s,) eller (1,). Det kan ikke betale sig at forøge kapaciteten af (1,) med mere end 1 enhed, idet der ikke kan presses mere igennem (,). Forøges kapaciteten af (s,) med enheder, kan de presses fra s til t via s----t. Opgave Betragt følgende skeduleringsproblem, som i det følgende kaldes MIN-SPAN. Der er givet m maskiner M 1, M,..., M m og n jobs J 1, J,..., J n. Job J j kræver t j tid og kan udføres på enhver af de m maskiner. Lad A i betegne indices af jobs skeduleret på maskine M i. Det tager T i = j A i t j at udføre disse jobs. Lad T = max 1 i m {T i} De n jobs ønskes skeduleret på de m maskiner således at T bliver så lille så muligt. MIN- SPAN vides at være N P-hård. Betragt følgende grådige approximationsalgoritme til at løse problemet, som i det følgende kaldes GREEDY-SPAN. GREEDY-SPAN A i = 0, T i = 0 for alle i = 1,,..., m for j = 1,,..., n Lad M i være maskinen med det mindste T i A i = A i {J j } T i = T i + t j Returner (A i, T i ) med det største T i.

5 enheder sendes via s!!!t. Det residuelle netværk bliver s t enheder sendes via s!1!!!t og enheder sendes via s!!!!t (disse veje er kantdisjunkt samme antal kante! derfor kan de vælges i vilkårlig rækkefølge). s Til sidst kan der presses enheder via s!1!!!!!!t. Det residuelle netværk bliver t s t Det maksimelle strøm har værdi 1 Figur : Spørgsmål.1 Håndkør GREEDY-SPAN for maskiner M 1, M, M og jobs J 1, J, J, J, J, J med t 1 =, t =, t =, t =, t =, t =. Spørgsmål. Argumenter for, at GREEDY-SPAN ikke nder en optimal løsning, og foreslå en anden polynomiel algoritme, som vil nde en bedre løsning for ovenstående probleminstans. Tror du, at du har fundet en algoritme, som altid nder en optimal løsning? Svaret skal begrundes, og det kan gøres ganske kort. Spørgsmål. Lad T betegne værdien af den optimale løsning til MIN-SPAN. Afgør, om T 1 m m j=1 t j eller T 1 m m j=1 t j. Afgør, om T max 1 j n {t j } eller T max 1 j n {t j }. Spørgsmål. Vis, at GREEDY-SPAN er en -approximationsalgoritme. Spørgsmål. Dener en probleminstans med m maskiner og n = m(m 1)+1 jobs således at forholdet mellem den approximative løsning og den optimale løsning kommer vilkårlig tæt på, når m går mod. Ad 1. Håndkøring: A 1 = {J 1, J }, A = {J, J }, A = {J, J }. Desuden T 1 = 8, T =, T =. D.v.s. (A 1, T 1 ) returneres af GREEDY-SPAN.

6 Ad. GREEDY-SPAN er ikke optimal: hvis jobs sorteres efter ikke-stigende tid, fås en løsning hvor alle jobs er færdige senest efter tidsenheder. Denne SORTERET- GREEDY-SPAN algoritme er en polynomiel algoritme. Det er højst usandsynligt at SORTERET-GREEDY-SPAN er en optimal algoritme. Problemet er N P-hårdt og kan ikke løses i polynomiel tid medmindre P = N P. Ad. T er for begge udtryk. Disse er altså nedre grænser for den optimale værdi. Ad. For at bevise, at GREEDY-SPAN er en -approximationsalgoritme, skal de nedre grænser benyttes. Antag, at GREEDY-SPAN nder ud af, at den maksimale belastning er på maskine M i. Vi bemærker, at når job J j knyttes til M i, så er T i t j mindst blandt alle maskiner. Derfor n m(t i t j ) Dividerer vi med m på begge sider, fås T i t j 1 m Da højre side er en nedre grænse for T, fås nu k=1 n k=1 T i t j T T k T k Desuden Vi får (som ønsket) t j max 1 j n {t j} T T i = (T i t j ) + t j T + T = T Ad. Lad de første n 1 = m(m 1) jobs kræve 1 tidsenhed, og lad det sidste job kræve m tidsenheder. GREEDY-SPAN spreder de korte jobs på de m maskiner og tilføjer det sidste job på en af dem (som dermed kræver m 1 tidsenheder). Det er oplagt, at den optimale strategi er at starte med det store job og derefter sprede de korte jobs på de resterende m 1 maskiner. Alle maskiner vil da være færdige efter m tidsenheder. Da m kan vælges vilkårligt stort, kommer forholdet vilkårligt tæt på. Opgave Problemet MIN-SPAN beskrevet i den foregående opgave kan løses eksakt v.h.a. en branchand-bound algoritme (se noterne, side, for denitioner af begreber). Foreslå en branch-andbound algoritme ved at besvare følgende: Spørgsmål.1 Spørgsmål. Spørgsmål. tilfældigt)? Hvordan deles problemer i delproblemer? Hvordan kan man nde en ikke-triviel nedre grænseværdi? Hvordan kan man vælge et delproblem (hvis man ikke vil gøre det helt

7 Spørgsmål. Hvordan kan man nde en lovlig løsning for et delproblem? Ad 1. Hvert problem på det j-te niveau kan f.eks. deles i så mange delproblemer som der er maskiner. I hvert delproblem knyttes det j-te job til den i-te maskine. Der vil højst være n niveauer. Ad. I hvert delproblem er nogle jobs allerede skeduleret til bestemte maskiner. En lovlig nedre grænse fås for eksempel ved at tage det seneste tidspunkt for afslutning af de allerede skedulerede jobs. Hvis et af de endnu ikke skedulerede jobs tager længere tid, fås en bedre nedre grænse. Man kan desuden tage middelværdien af tider for de ikke-skedulerede jobs. Ad. Man kan for eksempel altid vælge det delproblem som har den mindste nedre grænse. Ad. Man kan nde en lovlig løsning for et delproblem v.h.a. GREEDY-SCAN hvor A- og T-værdier passende opdateres med de allerede skedulerede job. Opgave For et helt tal k vil vi ved et k-hjul forstå en graf med k punkter u 0, u 1, u, u,..., u k, u k 1 og (k 1) kanter (u 1, u ), (u, u ),..., (u k, u k 1 ), (u k 1, u 1 ) samt (u 0, u 1 ), (u 0, u ), (u 0, u ),..., (u 0, u k ), (u 0, u k 1 ). Figuren viser et -hjul. Betragt afgørlighedsproblemet WHEEL = { G, k grafen G indeholder som delgraf et k-hjul} Spørgsmål.1 Angiv en algoritme til løsning af WHEEL, og vurder størrelsesordenen af algoritmens køretid. (Som altid skal størrelsesordenen angives i værste tilfælde og som funktion af instansens længde.) Svaret skal begrundes. Lad n betegne antallet af punkter i G. For hver navngivning u 0, u 1,..., u k 1 af k af punkterne kan man i tid proportional med k undersøge, om de kanter, der kræves i denitionen af et k-hjul, faktisk er til stede. Denne metode tager derfor tid O(kn(n 1) (n k + 1)) = O(kn k ) = O(n n+1 ), da vi kan antage k n. Spørgsmål. Giv for hver af klasserne P, N P og N PC en begrundet redegørelse for, hvorvidt problemet WHEEL tilhører eller ligger uden for den pågældende klasse. Idet man som attest kan benytte en navngivning af punkterne i et postuleret k-hjul med u 0, u 1,..., u k 1 i henhold til denitionen, er det oplagt, at WHEEL N P.

8 Udvid en forelagt graf (V, E) med et punkt u og kanter {(u, v) v V }, så vil den udvidede graf netop indeholde et ( V + 1)-hjul, hvis den oprindelige graf indeholdt en Hamiltonkreds. Dermed har vi vist HAM-CYCLE pol WHEEL og altså WHEEL N PC. (Hvorvidt WHEEL P beror derfor på det store uafklarede spørgsmål, om N P og P falder sammen.) Opgave Spørgsmål.1 Vis, at det specialtilfælde af delmængde-sum-problemet, hvor man kun betragter sådanne addendsæt og målsum (S, t), for hvilke s S(0 < s < t) s t også er N P-fuldstændigt. Det generelle SUBSET-SUM kan reduceres til det beskrevne specialtilfælde på følgende måde: Lad (S, t) være givet, og lad os indføre u = s S s. Addender med værdi 0, eller som er > t, er uden betydning. Hvis u < t, er der ingen løsninger, og hvis u eller en addend har værdi t, har systemet en triviel løsning. Hvis u t, ændres intet, men ellers (t < u < t) tilføjes t u som ny addend (0 < t u < t). I et således dannet nyt system gælder der lighed: s S s + (t u) = t. Det transformerede system vil have en løsning, hvis og kun hvis det oprindelige system har en: Hvis t u ikke har været brugt i summen, er dette oplagt, og hvis det har, t u + s S s = t for en delmængde S S, vil s S\S s = t. Opgave 8 s S Spørgsmål 8.1 Bestem samtlige løsninger x Z til systemet { x (mod 9) x (mod 11) Fremgangsmåden skal forklares. Da 1 (mod 9) og 1 (mod 11), er = 1 mod 9 og = 1 mod 11. Ved at multiplicere den første ækvivalens på begge sider med og den anden på begge sider med omformes systemet til { x 8 (mod 9) x 8 (mod 11) der i henhold til den kinesiske restklassesætning netop har én løsning x Z 99. Idet 11 1 = mod 9 og 9 1 = mod 11, kan den for eksempel ndes som x = = 10 1 (mod 99). Samtlige løsninger er {1 + 99n n Z}. 8

9 Opgave 9 I denne opgave betragtes et RSA-kryptosystem med oentlig nøgle (e, n) = (, ). Spørgsmål 9.1 Angiv chierteksten svarende til klarteksten bestående af de to symboler (,). Tabellen herunder, som viser x y mod for 0 x og 1 y, kan benyttes ved besvarelsen. x x mod x mod x mod x mod x mod x mod

10 x x mod x mod x mod x mod x mod x mod (19,) ndes i tabellen som mod og mod. Spørgsmål 9. Bestem φ() og dekrypteringseksponenten d = e 1 mod φ(). (Fremgangsmåden skal forklares.) Idet = 11, er φ() = ( 1)(11 1) = 10 = 0, og da = 81 1 (mod 0), bliver d =. Spørgsmål 9. I steden for d som beregnet ovenfor kan man i dette kryptosystem faktisk nøjes med den langt mindre dekrypteringseksponent d =. Hvordan kan det gå til? (Bevis den anførte påstand.) Påstanden er, at (x ) x (mod ) for alle x, hvilket i henhold til den kinesiske restklassesætning er ensbetydende med x 1 x (mod ) og x 1 x (mod 11) for alle x. Disse to ækvivalenser vises hver for sig: Hvis x, er x 1 0 x (mod ), og ellers giver Eulers sætning, at x φ() = x 1 (mod ), men så er x 1 = (x ) x 1 1 x = x (mod ). På samme måde med den anden ækvivalens: Hvis 11 x, er x 1 0 x (mod 11), og ellers er x φ(11) = x 10 1 (mod 11) og x 1 = (x 10 ) x 1 1 x = x (mod 11). 10

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Tirsdag 12. december David Pisinger

Tirsdag 12. december David Pisinger Videregående Algoritmik, DIKU 2006/07 Tirsdag 12. december David Pisinger Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P = {L : L genkendes af en algoritme

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 2 Juni 2008, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde bedste den kombinatoriske struktur blandt mange mulige. Dynamisk programmering Optimeringsproblem: man ønsker at finde

Læs mere

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk

P2-gruppedannelsen for Mat og MatØk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Danmark 1-02-2012 Vejledere Bo Hove E-mail: bh@thisted-gymnasium.dk 3 Mat grupper (semesterkoordinator) E-mail: diego@math.aau.dk. Web page: http://people.math.aau.dk/~diego/

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag:

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Hamiltonkreds, den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet

Hamiltonkreds, den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet , den handelsrejsendes problem, delmængdesum-problemet Videregående algoritmik Cormen et al. 34.5.3 34.5.5 Fredag den 19. december 2008 1 N P-fuldstændige problemer 1 N P-fuldstændige problemer 2 Reduktion

Læs mere

16. december. Resume sidste gang

16. december. Resume sidste gang 16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTOI, RUS UNIVERSITET Science and Technology ESEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. juni 0, kl. 9.00-.00

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid 6 april Løsning af N P -hårde problemer Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomiel tid Oversigt Grænseværdier (repetition) Branch-and-bound algoritmens komponenter Eksempler

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 02105, F14 side 1 af 14 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 2014. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer 1 Kursusnummer: 02105 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)}

.. if L(u) + w(u, v) < L(v) then.. begin... L(v) := L(u) + w(u, v)... F (v) := u.. end. med længde L(z)} Procedure Dijkstra(G = (V, E): vægtet sh. graf,. a, z: punkter) { Det antages at w(e) > 0 for alle e E} For alle v V : L(v) := L(a) := 0, S := while z / S begin. u := punkt ikke i S, så L(u) er mindst

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR ATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Algoritmer og atastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. august 0,

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 25. juni 200, kl. 9.00-.00

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 0. juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Analyse af ombytningspuslespil

Analyse af ombytningspuslespil Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. 2 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Skriftlig Eksamen Algoritmer og sandsynlighed (DM538) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Fredag den 9 Januar 2015, kl. 10 14 Alle sædvanlige hjælpemidler(lærebøger, notater etc.) samt

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere

Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem

Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem 26. marts Resume sidste to gang Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret er 1. P NP L : L genkendes af en algoritme i polynomiel tid L : L verificeres af en polynomiel tids

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Klasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed

Klasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed Klasserne af problemer, der kan løses i deterministisk og i ikke-deterministisk polynomiel tid; polynomiel reduktion; N P-fuldstændighed Videregående algoritmik Cormen et al. 34.1 34.3 Fredag den 12. december

Læs mere

matematik-økonomi-studerende

matematik-økonomi-studerende matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10

Branch-and-bound. David Pisinger. Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler... 7. 2 Brute-force metoder 10 Branch-and-bound David Pisinger Videregående algoritmik, DIKU (2007-08) Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Gennemgående eksempler..................... 7 2 Brute-force metoder 10 3 Divide and Conquer 11 4 Grænseværdier

Læs mere

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering.

P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. P2-projektforslag Kombinatorik: grafteori og optimering. Vejledere: Leif K. Jørgensen, Diego Ruano 1. februar 2013 1 Indledning Temaet for projekter på 2. semester af matematik-studiet og matematikøkonomi-studiet

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSEN lgoritmer og Datastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) Eksamensdag: Torsdag den 1. juni 01,

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer

Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Grundlæggende køretidsanalyse af algoritmer Algoritmers effektivitet Størrelse af inddata Forskellige mål for køretid Store -notationen Klassiske effektivitetsklasser Martin Zachariasen DIKU 1 Algoritmers

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET STTUT R T, RUS UVRSTT Science and Technology S lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) ksamensdag: Tirsdag den. august 0, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade

Læs mere

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet

Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Symmetrisk Traveling Salesman Problemet Videregående Algoritmik, Blok 2 2008/2009, Projektopgave 2 Bjørn Petersen 9. december 2008 Dette er den anden af to projektopgaver på kurset Videregående Algoritmik,

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant

M=3 kunde forbindelse. oprettet lokation Steinerkant M=3 åben facilitet kunde forbindelse lukket facilitet oprettet lokation Steinerkant v Connected facility location-problemet min i f i y i + d j c ij x ij + M c e z e (1) j i e hvorom gælder: x ij 1 j (2)

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer

Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer Chapter 7: Transport-, assignment- & transshipmentproblemer 1) Formulering af de 3 problemtyper 2) Algoritme for det balancerede transportproblem 3) Algoritme for assignmentproblemet Samtlige 3 problemtyper

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 24. juni 2011, kl.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer.

LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER. Resumé. Disse noter handler om dualitet i lineære optimeringsprogrammer. LINEÆR OPTIMERING JESPER MICHAEL MØLLER Indhold 1 Introduktion 1 2 Kanoniske programmer 2 3 Standard programmer 2 4 Svag dualitet for standard programmer 3 5 Svag dualitet for generelle lineære programmer

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET NSTTUT OR TO, RUS UNVRSTT Science and Technology SN lgoritmer og atastrukturer (00-ordning) ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 11 (elleve) ksamensdag: redag den 1. august 015, kl. 9.00-.00 Tilladte

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DTLOGI, RHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSMEN ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Mandag den. august 07, kl. 9.00-.00 Tilladte medbragte hjælpemidler:

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer

Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Skriftlig Eksamen DM507 Algoritmer og Datastrukturer Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Tirsdag den 24. juni 2014, kl. 10:00 14:00 Besvarelsen skal afleveres elektronisk. Se

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ

Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ matematik og matematik-økonomi studierne 1. basissemester Esben Høg 25. oktober 2013 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg Noter til kursusgang

Læs mere

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative

Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP. -> max problem alle uligheder af typen ì alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative Chapter 5: Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen ì alle

Læs mere

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl

Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Tirsdag den 8. juni 2010 kl. 9.00 12.00 IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt. Opgavesættet består af 5

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (DM507) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Mandag den 7. juni 00, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater, osv.)

Læs mere

Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed

Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Approximations-algoritmer Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Hamilton-veje og kredse:

Hamilton-veje og kredse: Hamilton-veje og kredse: Definition: En sti x 1, x 2,...,x n i en simpel graf G = (V, E) kaldes en hamiltonvej hvis V = n og x i x j for 1 i < j n. En kreds x 1, x 2,...,x n, x 1 i G kaldes en hamiltonkreds

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer

Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Perspektiverende Datalogi Klassiske Algoritmer Gerth Stølting Brodal 1 Indhold Eksempler på beregningsproblemer Algoritmer og deres analyse Korrekthed af algoritmer Ressourceforbrug for algoritmer Kompleksitet

Læs mere

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign

28 Algoritmedesign. Noter. PS1 -- Algoritmedesign 28 Algoritmedesign. Algoritmeskabelon for Del og Hersk. Eksempler på Del og Hersk algoritmer. Binær søgning i et ordnet array. Sortering ved fletning og Quicksort. Maksimal delsums problem. Tætteste par

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DTLOS NSTTUT, RUS UNVERSTET Det Naturvidenskabelige akultet ESMEN rundkurser i Datalogi ntal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 7 (syv) Eksamensdag: Torsdag den 14. juni 007, kl. 9.00-1.00 Eksamenslokale:

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik

Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Eksempel på muligt eksamenssæt i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet???dag den?.????, 20??. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 13 nummererede sider med

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

Sommeren 2001, opgave 1

Sommeren 2001, opgave 1 Sommeren 2001, opgave 1 Vi antager at k 3, da det ellers er uklart hvordan trekanterne kan sættes sammen i en kreds. Vi ser nu at for hver trekant er der en knude i kredsen, og en spids. Derfor er n =

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 5 (fem) Eksamensdag: Fredag den 10. august 007, kl.

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen lukket kreds af kanter

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

Simplex metoden til løsning af LP

Simplex metoden til løsning af LP Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle

Læs mere

Oversættere. Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 20. april 2005

Oversættere. Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 20. april 2005 Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen Oversættere Vejledende løsninger til Skriftlig eksamen onsdag d. 20. april 2005 Eksamenstiden er to timer. Opgavernes vægt i procent er angivet ved

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti.

Korteste veje i vægtede grafer. Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. Korteste veje i vægtede grafer Længde af sti = sum af vægte af kanter på sti. δ(u, v) = længden af en korteste

Læs mere

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden Sortering 1 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 2 sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 2. maj 200. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 02326. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne:

Læs mere

Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter

Geometrisk skæring. Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Planfejning 1 Skæring 2 Geometrisk skæring Afgørelse af om der findes skæringer blandt geometriske objekter Bestemmelse af alle skæringspunkter Løsningsmetoder: Rå kraft Planfejning (eng. plane sweep)

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 10. juni, 2016. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 11 nummererede sider med ialt 16 opgaver. Alle opgaver

Læs mere

Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)

Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af 3 sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 29. maj 203. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 02326. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere