MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4

2 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til A-niveau. Bogen gennemgår kernepensum sådan som det er beskrevet efter bekendtgørelsen af. Kernepensum er det pensum, som alle skal igennem, og som kræves, for at man kan regne eksamensopgaverne. Udover dette pensum, skal der suppleres med forskellige emner, som underviseren kan bestemme, og som derfor kan være forskellig fra underviser til underviser. Regnemidler I eksemplerne er angivet hvorledes beregningerne kan foretages med den i øjeblikket mest populære lommeregnere TI-nspire. Da TI-nspire også findes i en PC-udgave, kan den naturligvis også umiddelbart bruges. Selv om sådanne avancerede lommeregnere let kan differentiere og reducere selv de vanskeligste udtryk, så viser erfaringen, at det er meget svært, at anvende matematikken, hvis man ikke er i stand til at manipulere med simple udtryk, herunder at differentiere enkle funktioner. Det bliver også næsten umuligt at læse en teknisk tekst eller hører et foredrag, hvori der indgår nogen matematik, hvis man ikke i rimelig grad behersker symbolikken. Derfor er det nødvendigt at øve potensregler, differentiationsregler m.m. samtidig med, at man naturligvis ved, hvordan en avanceret lommeregner kan foretage beregningerne i mere komplicerede sammenhænge. Derfor anføres der i nogle af eksemplerne og opgaverne, at disse skal regnes uden hjælpemidler, dvs. uden brug af lommeregner og bog. I de øvrige eksempler og opgaver må man naturligvis benytte såvel lommeregner som bogen til hjælp. Eksemplerne er dog ofte regnet både med og uden brug af lommeregner. Opgaver er anført efter hvert kapitel. En facitliste til disse opgaver findes bagerst i bogen. Som repetition kan anbefales, at gå ind på undervisningsministeriets hjemmeside uvm.dk/uddannelser/gymnasiale uddannelser/prøver og eksaminer og her regne nogle af de sidste eksamenssæt der er stillet til eksamen på A-niveau. juni 4 Mogens Oddershede Larsen ii

3 Indhold INDHOLD Regneregler... Opgaver til kapitel... 3 Koordinatsystem, Ret linies ligning. Koordinatsystem Afstandsformel Den rette linies ligning Skæring mellem rette linier... 8 Opgaver til kapitel De trigonometriske funktioner 3. Cirklen De trigonometriske funktioner sinus, cosinus og tangens Definition af sinus og cosinus Definition af tangens... 4 Opgaver til kapitel Ensvinklede og retvinklede trekanter 4. Ligefrem og omvendt proportionalitet Ensvinklede trekanter Retvinklet trekant... 8 Opgaver til kapitel Vektorer i planen 5. Definition af vektor Regneregler Vektors koordinater Skalarprodukt Retningsvinkel Vinkel mellem vektorer Projektion Tværvektor, Determinant... 3 Opgaver til kapitel Plangeometri 6. Indledning Den rette linie Vinkel mellem to rette linier iii

4 Indhold 6.4 Afstand mellem punkt og linie Parameterfremstilling for ret linie Skæring mellem linie og cirkel Tangent til cirkel Beregning af sider og vinkler i en trekant Opgaver til kapitel Funktionsbegrebet 7. Definition af reel funktion Sammensat funktion Monoton funktion Omvendt funktion... 5 Opgaver til kapitel Standardfunktioner 8. Indledning Potensfunktioner Polynomier Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Nogle anvendelser af logaritme- og eksponentialfunktioner Radioaktivt henfald Logaritmiske skalaer Trigonometriske funktioner Radiantal Periodicitet Relationer mellem trigonometriske funktioner... 7 Opgaver til kapitel Regression 9. Indledning Lineær model Bestemmelse af regressionsligning Vurdering af om model beskriver data godt Eksempler på lineær regression regnet på TI-nspire Opgaver til kapitel Differentiation. Indledning Grænseværdi iv

5 Indhold.3 Differentialkvotient Regneregler for differentialkvotienter Differentiation af standardfunktionerne Kontinuitet Opgaver til kapitel Funktioners monotoniforhold, ekstrema og asymptoter. Monotoniforhold, ekstrema Asymptoter....3 Funktionsundersøgelse....4 Optimering... 5 Opgaver til kapitel... 8 Nogle anvendelser af differentialregning. Kinematik..... Indledning..... Jævn retlinet bevægelse Ikke retlinet bevægelse.... Økonomi... 4 Opgaver til kapitel Integration 3. Indledning Ubestemt integral Integrationsregler Bestemt integral Numerisk integration Rumfang af omdrejningslegeme... 8 Opgaver til kapitel Differentialligninger af. orden 4. Indledning Lineær differentialligning af typen y( x) ay( x) b Lineær differentialligning af typen y( x) ay( x) q( x) Logistisk vækst Numerisk løsning... 4 Opgaver til kapitel Rumgeometri 5. Vektorer i rummet v

6 Indhold 5. Koordinatsystem i rummet Skalarprodukt Linier i rummet Vektorprodukt Planer i rummet Polyeder, cylinder, kegle og deres rumfang Kuglen Opgaver til kapitel Deskriptiv Statistik 6. Indledning Grafisk beskrivelse af data Kvalitative data Kvantitative data Karakteristiske tal Grupperede fordelinger... 8 Opgaver til kapitel test 7. Sandsynlighed Antalstabeller Test af uafhængighed Opgaver til kapitel Facitliste Stikord... vi

7 . Regneregler. Regneregler Selv om man kan få en lommeregner til at beregne alle typer af regneudtryk, er det alligevel nødvendigt at vær.e fortrolig med de grundlæggende regneregler. Eksempelvis skal parenteser sættes matematisk korrekt for at få det korrekte resultat, ligesom det jo ikke er sikkert at lommeregneren reducerer et udtryk til den form som er mest hensigtsmæssig i de følgende regninger, og så man jo selv være i stand til at foretage en yderligere omformning. Endelig bliver det svært at læse en tekst eksempelvis i fysik eller høre en et foredrag, hvis man ikke i rimelig grad kan følge beregningerne. Vi vil derfor kort repetere disse regler Regel Eksempel Multiplikation og division udregnes før addition og subtraktion Potenser og andre funktionsudtryk udregnes 3 5( 3) først. Hvert led i den ene parentes ( a3b)( 6b4a) ab8a 8b ab 8a 8b ganges med hvert led i den anden 5a 3 ( ab 3a) a 4 b 5a 4 Minustegn må ikke følge umiddelbart efter gangetegn, der skal sættes en parentes To brøker ganges med hinanden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner En brøk ganges med et tal ved at gange tælleren med tallet. Man dividerer en brøk med en brøk ved at gange med den omvendte brøk. Alle led i tælleren skal divideres med nævneren Man lægger brøker sammen ved at sætte på fælles brøkstreg. Fælles nævner kan altid findes ved at gange nævnerne sammen Brøker forkortes ved at dividere alle led med samme tal To potenser med samme grundtal multipliceres ved at addere eksponenterne To potenser med samme grundtal divideres ved at subtrahere eksponenterne Man opløfter en potens til en ny potens ved at multiplicere eksponenterne og beholde roden a Flyttes et led over på den anden side af lighedstegnet skiftes fortegn Flyttes en faktor over på den anden side af et lighedstegn divideres med det (dog må ikke divideres med ) I en ligning kan man gange alle led med samme tal ( ) Andengradsligning- formel 8 ( 3) a ab a b a a b a 4b (brøk forkortet med 3) 3a 9b a 3b a 3 a 6 a 9 a a 8 3 a a x 3 5 x x 3 x kvadrat på en to leddet størrelse ( ) 3 5 x 4x b b 4ac ax bx c x a ab a b ab

8 . Regneregler Eksempel.. Regneregler a) Reducer uden brug af lommeregner 3 3 a 5b ab 5b 3a b) Løs uden brug af lommeregner ligningen x 3 5 x 3 Kontroller facit ved brug af lommeregner. Løsning: a 5b ( a) (5 b) a) ab ab a b b 3a 5ab b) x 3 5 x 3 Antages x 3 fås 8 x35( x3) x3x5 8x 8 x x 8 Kontrol: Vælg Beregninger a) 3*(3*a/(5*b)-5*b/(3*a))*a*b ENTER 9 4 b) solve((x-3)/(x+3)=5,x) ENTER Ønskes resultatet som en decimalbrøk, så tryk på CTRL og ENTER eller skriv eksempelvis 5. fremfor 5

9 Opgaver til kapitel Opgaver til kapitel.. (uden hjælpemidler) Beregn a) 54 6 b) 5( 46) c) 546 d) (5 4) e) 6( 3) ( 3).. (uden hjælpemidler) Skriv som uforkortelig brøk 6 a) 3 8 b) c) 3 4 d) e) (uden hjælpemidler) Reducér 4a 8b a) b) 4 a 8 b a 4a 8b c) a 4b d) 4a ab 4a 5 e) 5 a 5 5a x f) x 3 3 x 3

10 . Regneregler.4 (uden hjælpemidler) Udregn a) ( 3x5) 6( 7x3) 3( 8x) ( ) b) ( 3x5)( y3) ( 5x)( y) c) ( x5y) ( x5y) d) x 5 ( x 7 x 3 )( 3x 3 x ) e) ( x3y) ( 3x y).5. (uden hjælpemidler) Reducer 3a 7a ( ab) ( ab) b 6b b) abc a bc c) 6x 6 a).6. (uden hjælpemidler) Find tallet x af følgende ligninger a) 5x 3x b) 5 x 3 x 3 x x 7 x 8 c) 5x 3 5x.7. (uden hjælpemidler) Find tallet x af ligningerne a) a 3 x a b) a x a c) 4x 3 x 9.8. (med hjælpemidler) Løs ligningerne: a) x 4 b) x 4x c) ( x) ( x 9).9. (uden hjælpemidler) Bestem tallet a, så -3 er rod i ligningen x 3 3x ax 3 Repetition(se evt forord) 4 maj 3 nr, 4

11 .. Afstandsformel. Koordinatsystem, Ret linies ligning. Koordinatsystem Ved et koordinatsystem vil vi i denne bog altid forstå et retvinklet koordinatsystem I figur. er tegnet et xy - koordinatsystem Den vandrette koordinatakse kaldes x - aksen eller. aksen og den lodrette kaldes y - aksen eller. aksen. Punktet P på figuren har koordinaterne (x, y). Punktet med koordinaterne (,) kaldes begyndelsespunktet og benævnes i denne bog med O... Afstandsformel Sætning. Afstandsformel Afstanden mellem to punkter og (, ) er PQ ( x x ) ( y y ) Fig.. Koordinatsystem P ( x, y) Q x y Bevis: Punktet C (se figur.) har koordinaterne ( x, y ). Vi har nu, at PC x x og QC y y Af den retvinklede trekant ABC fås nu ifølge Pythagoras PQ PC CQ x x y y Heraf fås formlen. Fig. Afstandsformel 5

12 . Koordinatsystem, ret linies ligning Eksempel.. Afstandsformel Bestem afstanden mellem punkterne A=(,3) og B=(-4,6). Løsning: Ifølge afstandsformlen fås: AB ( 4 ) ( 6 3) Ret linies ligning Lad der i et koordinatsystem være givet en ret linie l. Fig.3. Ret linie y = a x+b At linien l har ligningen y axb vil sige, ) at alle punkter på linien l har koordinater, der passer i ligningen, og ) ingen punkter udenfor linien har punkter der passer i ligningen. Indsættes x = i ligningen fås y a b, dvs. linien l skærer y-aksen i punktet (.b). Sættes x = fås y ab ab. Heraf ses (jævnfør figur.3) at når x vokser med, så ændrer y - værdien sig med a Tallet a kaldes linien hældning (eller hældningskoefficient). Er linien parallel med x - aksen er dens hældning, og den har ligningen y = b. En linie parallel med x - aksen, har ligningen x = c, hvor c er liniens skæring med x - aksen. Eksempel. Ret linies ligning Tegn i samme koordinatsystem linierne ) l med ligningen y x3 ) m med ligningen y 3x 3) n med ligningen y = - 4) p med ligningen x = 3 Løsning: Ved indsættelse af x = og x = fås ) l går gennem punkterne (,-3) og (,5) ) m går gennem punkterne (,4) og (,) 3) n går gennem punktet (,-) og er parallel med x-aksen 4) p går gennem punkterne (3,) og er parallel med y - aksen 6

13 TI-Nspire Vælg Graf (grafindtastninger), ligning, linie,y=mx+b, Enter Udfyld rubrikkerne med og -3 Der fremkommer nu en ret linie. Gentag de øvrige linier, idet man i tilfælde 3 vælger ax+by =c og skriver x+y=-.3 Ret linies ligning Hvis tegningen ikke er tilfredsstillende kam man ændre akserne ved at markere tallene i kanten af akserne og vælge andre tal En ret linie kan være givet ved at den går gennem givne punkter, eller ved, at man kender et punkt på linien og liniens hældning. Der gælder følgende sætning: Sætning. Ret linies ligning Hvis en ikke lodret linie l går gennem to punkter P = ( x, y ) og Q = ( x, y) er liniens y y hældning a og liniens ligning y y a( xx) x x Bevis: Lad l have ligningen y axb. Da punkterne P og Q ligger på linien gælder y ax b og y ax b. y y Trækker vi nu de to ligninger fra hinanden fås y y ax b( ax b) y y a( x x) a x x Trækkes ligningen y ax b fra ligningen y ax b fås y y axb( ax b) y y a( xx ) Eksempel.3. Linie bestemt ved at gå gennem to punkter Bestem ligningen for linien gennem punkterne A = (-, 3) og B = (4, -). Løsning: Vi har hældningen a 3 4 4( ) Ligningen er : y3 ( x( ) y3 x y x Generelt gælder, at enhver ret linie har en ligning af formen ax by c (jævnfør hvordan vi tegnede linien x = 3 i eksempel. 7

14 . Koordinatsystem, ret linies ligning.4. Skæring mellem to rette linier Lad der være givet ligningerne for to rette linier l og m: l: axby c m: axby c Er linierne ikke parallelle har de et skæringspunkt. Et sådant skæringspunkt skal opfylde begge ligninger, så problemet reduceres til, at løse to ligninger med to ubekendte. Dette sker lettest ved den kendte metode, hvor man af den ene ligning finder eksempelvis y udtrykt ved x, og så indsætter dette i den anden ligning. Man kan dog også benytte regnemidler som TI-Nspire hertil. Endelig kan man tegne de to linier og bestemme skæringspunktet. Disse tre metoder er vist i det følgende eksempel.4. Eksempel.4. Skæring mellem to linier. Find skæringspunktet S mellem linien l med ligningen x - 6y + 9 = og linien m med ligningen x + 8y - =. Løsning: Metode : Indsættelsesmetoden Da skæringspunktets koordinater skal opfylde begge ligninger skal man løse ligningssystemet x 6y 9 () x 8y ( ) 9 Af ligning () findes x 3y (3) Indsættes (3) i ligning () fås 9 3y 8y y y Indsættes y i (3) fås x 3 9 x 3 Skæringspunkt S = Metode : TI-Nspire. 3, Metode 3 Skæringspunkt på tegning. Tegner linier som i eksempel. Marker en linie og vælg Undersøg grafer Vælg skæringspunkt, udfyld menu. 8

15 Opgaver til kapitel Opgaver til kapitel..(uden hjælpemidler) Bestem en eksakte værdi af afstanden mellem punkterne A = (-4, 3) og B = (-3, -8). Bestem med 3 decimaler længderne af siderne i trekant ABC, hvor A = (-3, 4), B = (5, 7) og C = (, 5).3 Undersøg om trekant ABC er ligebenet, når A = (5, 8), B = (6, ) og C = (, 4).4. (uden hjælpemidler) En linie går gennem punkterne A = (, ) og B = (3, -). Find liniens ligning..5. (uden hjælpemidler) En linie l går gennem A =(-3,) og B = (, 5). Opskriv ligningen for l.6.(uden hjælpemidler) En linie l går gennem A = (, -3) og har hældningen. a) Tegn linien l i et koordinatsystem b) Opskriv linien l s ligning. c) Find koordinaterne til linien l s skæringspunkter med koordinatakserne..7.(uden hjælpemidler) a) Opskriv ligningen for den linie l, der går gennem punktet P = (5, 3) og har hældningen a = 3 b) Opskriv ligningen for den linie m, der går gennem punktet P, og har 3 hældningen a = (uden hjælpemidler) Linien l går gennem punkterne A = ( -, 4) og B = (7, 6). Find en ligning for den linie m som skærer x - aksen i (4, ), og som er parallel med l..9. En linie går gennem punkterne A = (-3,) og B = (,4). Undersøg om punktet C = (5, 7) ligger på denne linie..9 (uden hjælpemidler) Løs følgende ligningssystemer ved indsættelsesmetoden xy 8 4x y 5 a) b) 3x y 3 6x4y 5.. 9

16 . Koordinatsystem, ret linies ligning I et koordinatsystem er givet linierne l: 3x5y og m: 4x7y 8 Bestem koordinaterne til de to liniers skæringspunkt.. (uden hjælpemidler) Ved et forlystelse i et tivoli blev der i et bestemt tidsrum solgt 6 billetter. Indtægten var kr. Prisen for en voksenbillet var 3 kr og for en børnebillet kr. Hvor mange børne- og voksenbilletter blev der solgt?

17 3. Cirklen 3. De trigonometriske funktioner 3. Cirklen På figur 3. er i et koordinatsystem tegnet en cirkel med centrum i C= og radius r. ( x, y ) Der gælder da følgende sætning Sætning 3.. Cirklens ligning En cirkel med centrum i C= ( x, y ) og radius r har ligningen Fig. 3.. Cirkel ( xx ) ( y y ) r Bevis: Lad P = (x,y) være et vilkårligt punkt på cirkelperiferien. Da cirkelperiferien består af netop de punkter, hvis afstand til centrum er radius r er CP I følge afstandsformlen haves nu CP r ( x x ) ( y y ) r ( x x ) ( y y ) r r Eksempel 3. Cirkler ) En cirkel har centrum i punktet (, -3) og radius 4. Find cirklens ligning ) Angiv radius og koordinaterne til centrum for den cirkel, der har ligningen ( x) ( y6) 5 Løsning: ) Af sætning. fås ligningen ( x) ( y( 3)) 4 x 4x4 y 6y9 6 x y 4x6y 3 ) Af sætning. fås, at centrum har koordinaterne (-, 6) og radius r = 5 Reduceres cirklens ligning ( xx ) ( y y ) r x y x xy yx y r ser vi, at har vi en ligning af typen x y axbyc så er det muligvis ligningen for en cirkel med x a, y b, x y r c. ()

18 3. De trigonometriske funktioner Eksempel 3. Ligning for en cirkel Undersøg om ligningen x y x8y3 fremstiller en cirkel, og angiv i bekræftende fald centrums koordinater og radius. Løsning: Sammenlignes x y x8y3 med formen () ses, at x x, y 8 y 4 og ( ) 4 r 3r 4. Vi har følgelig, at ligningen x y x8y3 fremstiller en cirkel med centrum i (-, 4) og med radius Ved en enhedscirkel forstås en cirkel med centrum i begyndelsespunktet O = (, ) og med radius Ligningen for en sådan er x y Fig. 3.. Enhedscirkel 3. De trigonometriske funktioner sinus, cosinus og tangens. Ordet trigonometri betyder trekantsmåling. Kan man regne vinkler og sider ud i en trekant, kan man ved triangulering opdele en polygon i trekanter, hvis sider og vinkler så også kan beregnes. Trigonometriske beregninger var således helt afgørende for at de store sejlskibe i 4- og 5- tallet kunne sejle over de store oceaner eksempelvis fra Europa til Amerika. Endvidere var de uundværlige ved landmåling. Som en ikke geometrisk anvendelse kan nævnes at de trigonometriske funktioner er nødvendige til en beskrivelse af svingninger f.eks. ved bølgebevægelse eller elektriske svingninger (vekselspænding i elektriske kredsløb).

19 3. De trigonometriske funktioner sinus, cosinus og tangens 3...Definition af sinus og cosinus Lad P være et punkt på enhedscirklen, og lad v betegne en vinkel fra x - aksen til linien gennem O og P, hvor v regnes med fortegn (positiv mod uret). Funktionerne cos v og sin v defi- neres da ved, at punktet P skal have koordinaterne P (cos v, sin v). Fig Definition af cos og sin. Når det drejer sig om geometriske beregninger f. eks. i trekantsberegninger regnes vinklerne i grader. Dette er således tilfældet i dette og de to følgende afsnit. Hvis intet andet er nævnt, så gælder her, at v 8 Til beskrivelse af svingninger og andre fysiske anvendelser anvendes et andet vinkelmål (radianer). Dette sker i kapitel 6. Af definitionen følger ) sin v og cos v ) sin = sin (8 ) =, sin(9 ) =, cos =, cos(9 ) = og cos(8 ) = -. 3) sin v cos v Følger af, at OP og benyttelse af afstandsformlen. Eksempel 3.3. Beregning af sin og cos på TI-nspire Beregn sin (3 ), sin ( ) cos (3 ) cos Løsning: Først sikrer vi at vinkelmålet er i grader ved Lommeregner: doc, indstillinger og status, dokumentindstillinger Funktionerne findes under trig på tastaturet PC: Filer, Indstillinger, dokumentindstillinger Funktionerne findes på dokumentværktøjslinien under matematiske operatorer 3 3 sin(3) = sin()= cos(3)= cos() = - 3

20 3. De trigonometriske funktioner Ofte skal man foretage den omvendte beregning. Dette er vist i det følgende eksempel. Eksempel 3.4. Beregning af sin og cos Lad v 8 Find v, af følgende ligninger a) sin v =.7 b) sin v = -.7 c) cos v =.7 d) cos v = -.7 Løsning: a) Som det fremgår af figuren vil såvel vinklen v som vinklen (8 - v) have en sinus på.7. Benyttes lommeregneren fås v = sin ( 7. ) Lommeregneren giver derfor kun vinklen i første kvadrant Den anden vinkel bliver = Om man ved en ved en trekantsberegning skal benytte begge vinkler eller kun den ene må afhænge af det konkrete problem. b) cos v = -.3 v cos ( 3. ) 33, Her er der kun én løsning, hvilket bevirker, at man sædvanligvis vil foretrække cos fremfor sin ved beregningerne, hvis det er muligt Definition af tangens Definition af tangens: sin v tan v, v 9 cos v Værdierne for tan v aflæses på tangenten til enhedscirklen i (,). Bevis: Linien gennem punktet O og P=(cos (v), sin (v)) har hældningen sin v. cos tan v v Heraf ses, at punktet T har koordinaterne (, tan(v)). Fig..6. tan aflæses på tangenten 4

21 Eksempel 3.5. Beregning af tangens ) Beregn tan (54.3 ), ) Beregn tan(3. ) Løsning: ) tan(54,3) =.39 ) tan(3) = De trigonometriske funktioner sinus, cosinus og tangens Eksempel 3.6. Beregning af tan - Lad v 8 Find v, af ) tan v =.7 ) tan v = -.5 Løsning: ) v = tan - (.7) = ) Lommeregneren beregner en negativ vinkel u på figur.7. Da vi ønsker en løsning v i intervallet [;8 ] fås v = 8 + u u = tan - (-.5) = v = 8 + tan - (-.5) =53.44 Fig..7. tan - af negativt tal 5

22 3. De trigonometriske funktioner Opgaver til kapitel (uden hjælpemidler) En cirkel har centrum i punktet C = (-,3) og har radius 5. a) Opskriv ligningen for cirklen b) Vis, at punktet D = (,6) ligger på cirklen c) Find skæringspunktet mellem cirklen og x - aksen. 3. (uden hjælpemidler) Angiv centrum C og radius r for hver af følgende cirkler a) x ( y3) 4 b) ( x) ( y6) Angiv centrum C og radius r for hver af følgende cirkler a) x y x6y 6 b) x y x 6 c) x y x8y Beregn sin (45 ), sin (35 ) cos (45 ) cos Lad v 8 Find hvis det er muligt med decimaler v, af følgende ligninger a) sin v =.35 b) sin v = -.35 c) cos v =.35 d) cos v = Angiv med 4 decimaler cos(6 ), sin(7 ), sin( ), tan(3 ), cos( ) 3.7 Lad v 8 Find med decimaler de værdier af v, hvor a) cos v =.345 b) sin v =.345 c) cos v = a) Beregn tan (7,5 ), b) Beregn tan(. ) 3. Lad v 8 Find v, af ) tan v =.35 ) tan v =

23 4. Ensvinklede og retvinklede trekanter 4. Ligefrem og omvendt proportionalitet 4.. Ligefrem og omvendt proportionalitet Ligefrem proportionalitet: To størrelser x og y siges at være (ligefrem) proportionale, hvis der findes et tal a, så y ax Eksempel 4.. Proportionalitet Lad en bil køre med den konstante hastighed 9 km/time hen ad en motorvej. Tiden t og den tilbagelagte vejlængde y er da proportionale. Eksempelvis på time er der tilbagelagt 9 km, på timer er der tilbagelagt 8 km osv., så y 9t Omvendt proportionalitet To størrelser x og y siges at være omvendt proportionale, hvis der findes et tal a y x a, så Eksempel 4.. Omvendt proportionalitet Lad afstanden ad en motorvej fra et punkt A til et punkt B være km. En bil kører fra A til B med den konstante hastighed v km/time hen ad motorvejen. Tiden t og hastigheden v er da omvendt proportionale. Eksempelvis køres v = km/time tilbagelægges vejstrækningen på time, med 5 km/time tilbagelægges vejstrækningen på timer osv. Vi har følgelig, at v = t 4.. Ensvinklede trekanter I figur 4. er trekant en forstørret udgave af trekant ABC, idet alle sidelængder i ABC trekant ABC er dobbelt så lange som de tilsvarende længder i trekant ABC. Ved forstørrelsen bevarer trekanten sine vinkler. Trekanterne siges at være ensvinklede. Man kunne naturligvis i stedet have benyttet et andet størrelsesforhold end. Fig 4.. Ensvinklede trekanter 7

24 4. Ensvinklede og retvinklede trekanter Definition: To trekanter kaldes ensvinklede, hvis de tre vinkler er parvis lige store. Man kan vise, at: To trekanter ensvinklede ensliggende sider er proportionale dvs. A A, B B, C C Der findes et tal k, så a ka, b kb, c kc Tallet k kaldes forstørrelsesfaktoren eller skalafaktoren Eksempel 4.3 Trekanterne ABC og A B C er ensvinklede, ( A A, B B, C C). I trekant ABC er siderne a = 3, b = 4 og c = 6 og i trekant A B C er a =. Bestem forstørrelsesfaktoren, og beregn de andre sider i trekant A B C. Løsning Forstørrelsesfaktoren er k = 3 4 De øvrige sider er b = 44 6 og c = 4 = Retvinklet trekant. Betegnelser: I en retvinklet ABC, hvor C = 9 (se figur.9) kaldes c for hypotenusen og de to andre sider for kateter. I forhold til A kaldes a for den modstående katete og b for den hosliggende katete. Alle kender Pythagoras c a b Der gælder også følgende vigtige sætning Sætning 4.. Retvinklet trekant I en retvinklet ABC, hvor C = 9 gælder Fig 4.. Retvinklet trekant sin A a, cos A b, tan A c c a b eller modståede katete sin(spids vinkel) hypotenuse modståede katete tan(spids vinkel) hosliggende katete, hosliggende katete cos(spids vinkel) hypotenuse 8

25 4.3 Retvinklet trekant Bevis Et koordinatsystem er indlagt som vist på figur 4.3, med A i begyndelsespunktet og C ud af x - aksen. Fig 4.3. Retvinklet trekant De to trekanter ABC og APQ er ensvinklede, så deres sider er proportionale, dvs. sin A cos A Da PQ sin A, AQ cos A og AP fås a b c Heraf fås sin A a, cos A b sin A a og tan A c c cos A b PQ BC AQ AC AP AB Formlerne i sætning 4. sikrer, at hvis vi i en retvinklet trekant kender en side og enten en vinkel eller yderligere en side, kan vi beregne de resterende sider og vinkler (forudsat naturligvis at trekanten eksisterer). Eksempel 4.. Retvinklet trekant I en retvinklet ABC, hvor C = 9 er A = 35,6 og siden a = 5.3. Find de ubekendte sider og vinkler. Løsning: B = 9 - A=9-35,6 = tan A a a 53 b b b 743. b tan A tan sin A a a 53 c c c 95. c sin A sin

26 4. Ensvinklede og retvinklede trekanter Opgaver til kapitel 4 4. (uden hjælpemidler) Valutakursen på svenske kroner er en bestemt dag 84.7 kr, dvs. til svenske kroner svarer 84.7 danske kroner. a) Hvis der til x svenske kroner svarer y danske kroner, hvad er så relationen mellem x og y. b) Er der ligefrem eller omvendt proportionalitet mellem x og y. 4. (uden hjælpemidler) En kostbar gave til et bryllup koster kr. Lad der være x personer der ønsker at bidrage til gaven, og lad det beløb hver person skal give være y. a) Angiv relationen mellem x og y b) Er der ligefrem eller omvendt proportionalitet mellem x og y. 4.3 (uden hjælpemidler) På figuren er afsat længden af nogle af sidelængderne i de to trekanter. Beregn de eksakte længder af de to resterende sider 4.4 (uden hjælpemidler) ABC er retvinklet med C 9. Det oplyses, at sin( 3 ). Beregn de manglende sider når a) A 3 og a = 5 b) A 3 og c = ABC er ligebenet med b = c, A 35 og a = 8. Find de manglende sider og vinkler. 4.6 Hvor mange grader står solen over horisonten, når en m høj flagstang kaster en skygge på 5 m. 4.7 Ud for en retlinet kyst ligger en lille ø med et fyr F. Bestem fyrets afstand fra kysten, når sigtelinien 4 m længere nede ad kysten danner en vinkel på 35 med kystlinien. 4.8 En cirkel har centrum i punktet C og en radius r = 4 m. Et punkt P ligger i afstanden 8 m fra C. Fra P trækkes tangenterne til cirklen. a) Beregn afstanden fra P til tangenternes røringspunkter med cirklen. b) Beregn den vinkel som de to tangenter danner med hinanden. 4.9 Fra et skib ses et 65m højt fyr under en vinkel på 8.5. Hvor lang befinder skibet sig fra fyret.? Repetition (se evt. forord) 9 maj 3 nr 3 og nr

27 5.. Definition af vektor 5 Vektorer i planen 5. Definition af vektor Ved mange målinger og beregninger er man blot interesseret i at opnå et tal som resultat. Man siger også, at resultatet er en skalar. Dette gælder eksempelvis ved måling af en masse ( kg) eller en afstand (5 m). Ofte er tallet forsynet med en enhed. I andre tilfælde er man ikke alene interesseret i et tal som resultat, men også i en retning. Dette gælder eksempelvis hvis man vil angive et skibs hastighed, som jo både er den retning skibet sejler i, og dens fart. Dette sker normalt ved pile som både har en retning og en længde (se figuren). Et andet eksempel er de kræfter der påvirker et legeme. Også her har man behov for både at angive kraftens retning og dens størrelse. Det er netop regning med sådanne 'pile', vil skal se på i dette kapitel. Et liniestykke er bestemt af sine endepunkter. Vi forsyner nu liniestykker med en retning eller orientering, som vi angiver ved hjælp af en pilespids i den ene ende. Definition: Mængden af alle liniestykker med samme længde og samme retning kaldes en vektor. Hver af disse orienterede liniestykker kaldes en pil, og hver pil kaldes en repræsentant for vektoren. a b b a Fig 5.: Vektorer På figur 5. er pilene AB og CD repræsentanter for samme vektor, som vi betegner med AB. Da de to pile repræsenterer samme vektor skriver vi AB CD, Vi kalder A for pilens begyndelsespunkt og B for dens endepunkt. Vektorer betegnes også med små bogstaver med pil over: a AB

28 5. Vektorer i planen På figur 5. repræsenterer EF og GH en anden vektor b. Læg mærke til, at AB BA, fordi de to pile ikke har samme retning. Vi vil i det følgende tillade os at tale om vektoren repræsenteret ved pilen AB. AB i stedet for det mere korrekte vektoren Længden af vektoren a AB skrives a og defineres som længden af liniestykket AB. Nulvektoren er en vektor med længden. Egentlig vektor: Vektor der ikke er nulvektoren 5. Regneregler Vektoraddition. Lad a og b være to egentlige vektorer. Vektoren a b defineres på følgende måde. Et vilkårligt punkt A vælges som begyndelsespunkt for a. Lad B være endepunkter for a. Derefter afsætter vi b med begyndelsespunkt i B. Endepunktet for b kaldes C (se figur 3.). Vektoren a b er da defineret som vektoren med begyndelsespunkt i A og endepunkt i C. Vi har altså ABBC AC (kaldes indskudssætningen, da B er skudt ind mellem A og C) a b a a b a b a b b Fig 5. Vektoraddition Kræfternes parallelogram. En anden måde at konstruere summen af a og b er ved at afsætte de to vektorer med samme begyndelsespunkt (på figur 5. i punktet D). Vektoren a b er da diagonalen i det af a b udspændte parallelogram. Hvis a og b var kræfter der påvirkede et legeme i punktet D, så er a b den resulterende kraft.

29 3. Regneregler Det ses umiddelbart af en figur, at der gælder ab b a og a( b c) ( ab) c Disse regler bevirker, at man regnereglerne for addition af reelle tal og for vektoraddition bliver de samme. Man kan således hæve og sætte plus parenteser efter behag. Vektorsubtraktion For reelle tal gælder som bekendt, at 6-4 er det tal der lagt til 4 giver 6, eller 4 + (6-4) = 6. På samme måde skal det gælde, at b ( ab) a. På figur 5.3 er a og b afsat med samme begyndelsespunkt. a b er da den vektor, der har begyndelsespunkt i b s endepunkt og endepunkt i a s endepunkt. a b a a b b Fig 5.3 Vektorsubtraktion Multiplikation med tal Definition: Lad a være en egentlig vektor og t være et reelt tal. Vektoren ta er da bestemt ved: Hvis t > : ta og a er ensrettede og ta er t gange så lang som a. Hvis t < : ta og a er modsat rettede og ta er t gange så lang som a. Hvis t = : a. a a b b b Fig. 5.4 Multiplikation med tal Specielt ses, at ( ) a er vektoren der er modsat rettet a og lige så lang som a. Den benævnes kort a. For multiplikation af vektorer med tal gælder se sædvanlige regneregler som vi er vant til fra tal. Eksempelvis ( a 3b ) 4( 3a b ) a 6b a 8b a 4b Ved en enhedsvektor e forstås en vektor med længden a Enhedsvektor e ensrettet med en given vektor a er e a a Hvis eksempelvis a har længden 5, så er en enhedsvektor i a s retning e. 5 3

30 5. Vektorer i planen 5.3 Vektorers koordinater Lad i et koordinatsystem punkterne O, E og F have koordinaterne O = (,), E = (,) og F = (,). Vektorerne i OE, j OF kaldes koordinatsystemets basisvektorer (jævnfør figur 3.5) En vektor a kan nu skrives a ax ayhvor a x er parallel med x - aksen og ay er parallel med y - aksen. Da a x er parallel med i findes der et tal a, så ax ai hvor tallet a er entydigt bestemt. Analogt haves ay a j Vi har derfor a ax ay ai aj Vi siger, at vektoren a har koordinaterne (a, a ). For at kende forskel på punkters og vektorers koordinater, vælger man ofte at skrive vektorens a koordinater lodret : a. a a x a ay a j j i Fig Basisvektorer j i 3 i a 3 i j 3 Fig Vektors koordinater Regning med vektorer a Sætning 5.. Lad a og b b a b Da gælder a b a b ta ab ab ta a b a b,, ta Bevis: a a i a j, b b i b j a ab ai a j bi b j ( a b) i ( a b) j a På ganske samme måde bevises de to andre formler. b b 4

31 5.3 Vektorers koordinater Eksempel 5.. Regning med vektorer Lad der være givet a og b Find koordinaterne til a 5b Løsning: a b 3 5 ( ) TI-nspire: Beregninger, Menu, Matricer og vektorer,opret, Matrix,antal rækker, antal søjler,ok indsæt tallene Stedvektor Lad P=(x, y) være et punkt i planen og O=(,). Vektoren OP kaldes stedvektoren til punktet P. Det ses umiddelbart af figur 5.7, at stedvektoren OP og punktet P har samme koordinater. Sætning 5.. Koordinater for vektor givet ved to punkter Lad punktet A= (a, a ) og punktet B = (b, b ). b a Der gælder da, at vektoren AB b a Bevis: Af indskudsreglen fås: OB OA AB AB OBOA Da OB og OA er stedvektorer, har de samme koordinater som A og B. Heraf fås b a b a AB OBOA b a b a Eksempel 5.. Koordinater for vektor givet ved punkter Lad punkterne A = (5,) og B = (-3, 6). Find koordinaterne til vektoren AB. Løsning: AB Fig 5.7. Stedvektor 5

32 5. Vektorer i planen Vektors længde. Sætning 5.3. Længde af vektor a a a, hvor a a. a Bevis: Vektorerne ai og a j danner sammen med a en retvinklet trekant med a som hypotenuse (se figur 3.8). Da længderne af kateterne er ai a og ai a fås af Pythagoras sætning: a a a a a a a a j a i j i Fig. 5.8 Vektors længde Eksempel 5.3 Længde af vektor ) Find længden af vektoren a 3. 4 ) Find en enhedsvektor e ensrettet med a. Løsning: ) a ( 3) 4 5 ) e TI-nspire 3 5 a a 4 5 6

33 3.4 Skalarprodukt 5.4 Skalarprodukt. Vi vil nu definere et produkt af vektorer, hvor resultatet er et tal (en skalar). Definition af skalarprodukt. a Ved skalarproduktet (også kaldet prikproduktet ) af vektorerne a og forstås b b a b tallet ab a b a b. Eksempel 5.4. Skalarprodukt Lad der være givet a og b Find skalarproduktet ab. Løsning: ab ( ) Opskriv de vektorer i beregninger, matricer og vektorer, Vektorer, prikprodukt Der gælder følgende regneregler for skalarproduktet: Sætning 5.4. Regneregler for skalarprodukt () ab ba () a( b c) ab ac (3) ( ta) b a ( tb) t( a b) (4) a aa a (sammenhæng mellem længde og skalarprodukt) Bevis: Alle regler bevises ved koordinatregning a Lad a, og b b a c c b c () ab abab, ba ba ba. Da de to sider er ens er () bevist. a b c a b c ab ac ab a c () ( ) a b c ab ac ab ab ac ac Da de to sider er ens er () bevist. (3) Vises analogt som () og () (4) a a a a a a a a a Af længdeformlen haves a a a Da de to sider er ens er (4) bevist Regnereglerne (), () og (3) svarer ganske til de man kender fra almindelige tal, så vi kan derfor tillade os at benytte samme metoder ved udregning. 7

34 5. Vektorer i planen a b a b a b a b a b Eksempelvis har vi ( ) ( )( ) Heraf fås ab ( a b) a b ab a b a b. Da længden af en vektor er den samme uanset hvilket koordinatsystem der arbejdes ( blot man har samme enhed) så viser ovenstående, at skalarproduktets værdi også er uafhængigt af koordinatsystemet. 5.5 Retningsvinkel Lad a være en egentlig vektor. Vi har tidligere vist, at en enhedsvektor e i samme retning a er givet ved a e. Heraf fås a a e a Hvis vi afsætter e med begyndelsespunkt i (,) vil endepunktet P ligge på enhedscirklen (se figur 3.9). j e i a Fig. 5.9 Retningsvinkel Lad e danne vinklen v med den positive del af x - aksen. Punktet P får da koordinaterne (cos v, sin v), da en stedvektor har de samme koordinater som punktet er e cos v sin v a Vi har dermed a a e a. cos v cos v sin v a sin v Vinklen v fra x - aksens positive del til a s retningsvektor kaldes a s retningsvinkel og regnes med fortegn sædvanligvis i intervallet [-8 ; 8 ] eller i intervallet [ ; 36 ] Eksempel 5.5. Retningsvinkel 3 Lad a Find vektorens retningsvinkel., Løsning: Vektoren med dens retningsvinkel indtegnet på figur 5. Da a s retningsvektor ligger i kvadrant er v c = 8 - u, hvor u bestemmes af en retvinklet trekant med kateterne 5 og 4. 4 tan u. 8 u dvs. v c = =4.34 a Fig 5.. Retningsvektor med indtegnet retningsvinkel 8

35 5.6 Vinkel mellem vektorer 5.6 Vinkel mellem vektorer Hvis a og b er egentlige vektorer, danner de en vinkel v med hinanden. Vi vil her altid regne vinkler som placeret i intervallet [ ; 8 ] (eller [; ] ). Vi regner altså ikke her vinkler med fortegn. Sætning 5.5. Vinkel mellem vektorer ab Hvis a og b er egentlige vektorer og v er vinklen mellem dem gælder cos v a b Bevis: Vi vil vise, at ab a b cosv Vektorerne a og b afsættes med fælles begyndelsespunkt O Vi antager endvidere at vinklen v regnet fra a til b ligger mellem og 8. Hvis dette ikke er tilfældet kan vi blot i det følgende ombytte a og b. I afsnit 5.4 viste vi at værdien af det skalære produkt er uafhængigt af koordinatsystemet. Vi indlægger derfor nu koordinatsystemet således, at koordinatsystemets begyndelsespunkt er O og første basisvektor i er ensrettet med a I figur 5. og figur 5. er dette vist i de to tilfælde, hvor vinklen v er spids henholdsvis stump. Vi har nu, at a a b og b og dermed ab a b b j b b j i a i a Fig 5.. Vinkel v spids Fig. 5.. Vinkel v stump b Er vinkel v spids får vi af den retvinklede trekant OQB (se figur 5.) at cos v = eller b b cosv. b Er vinkel v stump, får vi af den retvinklede trekant OQB (se figur 5.) at cos( 8 v) OQ b. Da OQ b og cos( 8 v) cos v fås b cos( v) b b cos( v) b Vi har nu i de to tilfælde ab a b a b cosv. Hermed er sætningen bevist i de to hovedtilfælde. For v =, v= 9 og v= 8 ses ved indsættelse i formlen, at sætningen også gælder her. 9

36 5. Vektorer i planen Eksempel 5.7. Vinkel mellem vektorer Find vinklen mellem vektorerne a b 5 3 og Løsning: a 5 9 b 3 ( ) 3 ab 53 ( ) ab cos v a b 9 3 v = ab TI-nspire: Idet cos v ea eb, hvor a b ea og eb er enhedsvektorer fås b a hvor de enkelte vektorordrer findes i Matricer og vektorer under vektor To vektorer siges at være ortogonale hvis vinklen mellem dem er 9 Af sætning 5.5 følger: ab ab 3

37 5.6 Vinkel mellem vektorer 5.7 Projektion Lad a og b være to egentlige vektorer. Vi vil finde projektionen af a på b, dvs. den vektor der fremkommer, når begyndelsespunkt og endepunkt af a projiceres på en linie parallel med b. På figur 5.3 er vektorerne placeret med samme udgangspunkt (C og D). I den ene situation er vinklen spids, og i den anden er den stump. Projektionen betegnes med. p a a p a c c b a p a b Fig. 5.3.Projektion af vektor Sætning 5.6. Projektionssætning a b Lad a og b være to egentlige vektorer. Projektionen p a af a på b er givet ved pa b b Bevis: Da b og p a er parallelle findes et tal t, så pa t b. () Vi multiplicerer nu skalært på begge sider af ligningen med b. p p t b p b t b b t a b a a. () b Vi betragter nu c a p a p c a a Da b og c er vinkelrette på hinanden er cb. Vi har derfor a p c a b p b c b p b a a a. Indsættes pa b a a b b i () fås t. Indsættes denne værdi af t i () fås den ønskede formel b 3

38 5. Vektorer i planen 5.8 Tværvektor, determinant. Definition af tværvektor. Ved tværvektoren a til en egentlig vektor a forstås den vektor, der fremkommer ved at dreje a 9 i positiv omløbsretning (d.v.s. mod uret). Specielt gælder, at i et sædvanligt koordinatsystem er i j. Sætning 5.7. Tværvektors koordinater. a Lad a være en egentlig vektor. Tværvektoren har da koordinaterne. a a a a a Bevis: Hvis a har retningsvektoren v, er koordinaterne a a a. cosv a a sin v Tværvektoren a har retningsvinklen v+9, så a cos( v 9) a a sin( v 9) Af en enhedscirkel (se fig. 5.4) ses, at cos( 9 v) sin v og sin( 9 v) cos v a sin v a Heraf fås, at a a cos v a Eksempel 5.9. Tværvektor Find tværvektoren til vektoren a 5 Løsning: a 5 Fig 5.4. Tværvektor Definition af determinant. Ved determinanten for vektorparret ( ab, ) forstås tallet det ( ab, ) a b a Er a og bliver det b b a (, ) a b ab ab ab ab b a b Man bruger en speciel skrivemåde for determinanten for et vektorpar, nemlig et kvadratisk talskema med a som første søjle og b som anden søjle. det(, a b ab) ab ab a b 3

39 Eksempel 5.. Beregning af determinant. Lad a b. Beregn determinanterne det og det. 3 og (, ab ) ( ba, ) 4 Løsning: det (, 3 3 ab) = ( ) 4, det ( ba, ) = Tværvektor, Determinant TI-nspire: Vælg determinant under matricer og vektorer,opret en matrix med rækker og søjler, og indsæt de vektorer som søjler Det gælder (jævnfør evt. eksempel 5.) at det (, ab ) = - det ( ba, ). Sætning 5.8. Areal af parallelogram. Lad a og b være to egentlige ikke-parallelle vektorer. Lad endvidere d= det( ab, ), v være vinklen mellem a og b og A arealet af det parallelogram, som a og b udspænder. Der gælder da: A = d a b sin v. Bevis: På figur 5.5a er tegnet en situation hvor omløbsretningen fra a til b er positiv (dvs. mod uret) og på figur 5.5b er omløbsretningen negativ. a b b a a b b a Fig5.5a. Positivt omløb Fig. 5.5b. Negativ omløb 33

40 5. Vektorer i planen a b Lad b betegne projektionen af b på a. Vi har da ifølge sætning 5.6, at b a a a b Multipliceres ligningen med a fås a b aa ab a b a Er omløbsretningen positiv er b og ensrettede, dvs. vinklen mellem dem er a (jævnfør figur 5.5a). Vi har da : ab a b cos a b a b Er omløbsretningen negativ erb og modsat rettede, dvs. vinklen mellem dem er 8 a (jævnfør figur 5.5b). Vi har da : ab a b cos a 8 b a b Da b er højden i det parallelogram, der udspændes af a og b, er ab arealet af parallelogrammet. Vi har følgelig, at den numeriske værdi af determinanten a b a b er arealet af parallelogrammet b Af den retvinklede trekant ODB på figurerne ses, at sin v b b sin v. b Heraf følger, at arealet T af parallelogrammet er T a b sin v. Af beviset for sætning 5.8 gælder, at Fortegnet for det( ab, ) er det samme som omløbsretningen fra a til Endvidere gælder a b a og b parallelle (da a og b så er vinkelrette på hinanden). Eksempel 5.. Areal af trekant Lad A=(5,), B=(6,-) og C=(3,-4). Find arealet af ABC. Løsning: Vi finder AB og AC. 3 5 Da determinanten 5 6, har det parallelogram der udspændes af vektorerne 3 5 AB og AC arealet T =. Vi har følgelig, at ABC s areal = 55. b 34

41 Opgaver til kapitel 5 Opgaver til kapitel 5 5. (uden hjælpemidler) Lad a og. 4 b 3 Tegn i et koordinatsystem følgende vektorer: a, b, ab, ab, ab, 3a og a 3b 5.. (uden hjælpemidler) Bestem tallet k, således at vektorerne a og er parallelle. b 5 6 k Bestem derefter tallet t, så b ta. 5.3.(uden hjælpemidler) 6 Bestem koordinaterne til a og b, når det er givet, at ab og ab (uden hjælpemidler) Givet punkterne A = (,3) og B = (4,-). a) Find koordinaterne til vektoren AB b) Find den eksakte værdi af AB 5.5.(uden hjælpemidler) Punktet A = (6,). Bestem koordinaterne til punktet B, når det oplyses, at AB (uden hjælpemidler) Bestem koordinaterne til punkterne C og D, når det oplyses, at A = (5,3), B=(-,4), AC og BD Lad a b. Find og. 7 3, a, b a b (uden hjælpemidler) Bestem koordinaterne til de enhedsvektorer, der er parallelle med a. 5 35

42 5. Vektorer i planen 5.9.(uden hjælpemidler) Angiv skalarprodukterne ab, b( c a) og a( a3b c), idet a 3 b c 6, og 3 5..(uden hjælpemidler) x Løs ligningen x Bestem vinklen mellem vektorerne a b 5 9 og 5. Bestem vinkel A i ABC, når A = (7,8), B = (-5,) og C = (8,-) 5.3 a) Vis at punkterne A = (-,), B = (-,-), C = (4,) og D = (3,5) udspænder et parallelogram. b) Find den spidse vinkel mellem diagonalerne. 5.4 Lad A = (-,), B = (,5) og C = (,) Vis, at ABC er retvinklet, og bestem de to spidse vinkler i trekanten. 5.5 Bestem de tal k, for hvilke a b, når k 3 a og b k Find koordinaterne til projektionen af b på a. Bestem endvidere længden af projektionsvektoren. 5.7 Vinklen mellem vektorerne a og b kaldes v, og a, b. 3, v 6 Find projektionen af a på b (uden hjælpemidler) I kvadratet ABCD er A=(-,) og diagonalernes skæringspunkt M=(,3). Bestem koordinaterne til kvadratets øvrige vinkelspidser. 5.9 (uden hjælpemidler) En rombe er en firkant hvor alle sider er lige lange. Man kan vise, at i en rombe står diagonalerne vinkelret på hinanden, og halverer hinanden. I romben ABCD er A=(6,4) og B= (9,8) Endvidere er BC parallel med x - aksen. Find koordinaterne til C og D samt til diagonalernes skæringspunkt M. 36

43 Opgaver til kapitel 5 5. (uden hjælpemidler) Reducér udtrykket ( )( ab ab) ( b a) ( b a) 5. Idet a er en egentlig vektor, skal vinklen mellem a og b a 3 a beregnes. 5. Tegn i et koordinatsystem en egentlig vektor a. Konstruer derefter femkanten ABCDE, hvor AB a, BC a a CD a a DE a,, a. Udtryk derefter EA ved a og a, og bestem vinkel B. 5.3 (uden hjælpemidler) 4 a) Bestem arealet af det parallelogram der udspændes af vektorerne a og b b) Bestem k, så parallelogrammets areal bliver 8, når a og. 3 k b Bestem arealet af den trekant, der udspændes af vektorerne a 3 og b. Repetition (se evt. forord) 9 maj 3 nr 7, 4 august 3 nr og 8, 6 december 3 nr 37

44 6. Plangeometri 6. Plangeometri 6. Indledning Vi har i de første kapitler set på cirkler, rette linier og retvinklede trekanter. Vi vil i dette kapitel se på en mere generel beskrivelse af rette linier, skæring mellem disse og med cirkler, samt på hvorledes man beregner sider og vinkler i vilkårlige (ikke retvinklede) trekanter. 6.. Den rette linie. Vi fandt i kapitel, at alle linier, der ikke er parallelle med y - aksen kan skrives på formen y axb, hvor a er hældningen og (,b) er skæringspunktet med y - aksen. Vi vil nu se på en form for den rette linies ligning, som dels omfatter alle linier, dels er mere anvendelig bl.a. når man eksempelvis skal finde vinklen mellem to linier. Sætning 6. Ret linies ligning a Lad en linie l være bestemt ved, at P = ( x, y) er et punkt på linien og n er en vektor b der står vinkelret på linien (se figur 6.). Linien l har da ligningen ax ( x) by ( y) n Fig. 6.. Ret linie Bevis: For ethvert punkt P = (x, y) på linien ( og kun for disse) må der gælde, at vektoren PP står vinkelret på n. Det betyder igen, at det skalære produkt mellem de to vektorer er. PPn x x a ax x by y Heraf følger sætningen. y y ( ) ( ) b Vektoren Vektoren PP som jo er en vektor parallel med linien kaldes en retningsvektor for linien. a n kaldes en normalvektor til linien. b 38

45 6.3 Vinkel mellem to rette linier Eksempel 6.. Linies ligning En linie l er bestemt ved, at den går gennem punkterne A =(3,) og B = (, 8). Angiv ligningen for l. Løsning: En retningsvektor for l er AB En normalvektor til linien l er da n 6 Linien l s ligning : 6( x 3) ( y ) 6x y 6.3. Vinkel mellem to rette linier. Ved vinklen mellem to rette linier forstås sædvanligvis den spidse vinkel mellem linierne. Den letteste måde at finde vinklen på er at beregne vinklen mellem normalvektorerne (se figur 6.). Denne vinkel kunne være stump, men da den modsat rettede vektor også er normalvektor er det blot et spørgsmål om at skifte fortegn. n m j i nl Fig 6.. Vinkel v mellem to linier Eksempel 6.. Vinkel mellem linier To linier l og m har ligningerne l: 3x y m : 4x - 3y + 6 = Find den spidse vinkel mellem l og m. Løsning: En normalvektor til linien l er n 3 4 En normalvektor til linien m er m. 3 Da vi ønsker at finde den spidse vinkel v mellem linierne tages den numeriske værdi. 3 cos v 4 n m v = n m

46 6. Plangeometri 6.4 Afstand mellem punkt og linie Ved afstanden mellem et punkt P og en linie l /skrives kort dist(p,l) ) forstås den korteste afstand mellem punkt og linie, dvs. længden af PQ, hvor linien PQ står vinkelret på l ( se figur 6.3) n j i Der gælder nu følgende sætning. Sætning 6.. Afstandsformel Punktet P = ( x, y) s afstand fra linien l med ligningen ax by c er ax by c dist (P, l) = a b Bevis. Lad P = ( x, y ) være et punkt på linien l. Vektoren PP s projektion på normalvektoren n må være vektoren QP (se figur 6.3). PPn Af projektionssætningen 3.7 fås nu: QP n Da ligningen for linien l kan skrives punktet P s koordinater. Fig 6.3. Afstand mellem punkt og linie x y x a y b a b ax ( x) yy ( y ) ax ( x) by ( y) a b ses, at tælleren er liniens ligning, hvor man har indsat Eksempel 6.3. Afstand mellem punkt og linie Find afstanden fra punktet P = (,-3) til linien l med ligningen 3x y. Løsning: 3 ( 3) 8 8 dist(p, l ) =

47 6.5 Parameterfremstilling for ret linie 6.5. Parameterfremstilling for ret linie. Lad l være en ret linie, som går gennem et fast punkt P og har en egentlig vektor l som retningsvektor For vilkårlige punkter P på linien l og kun for disse punkter vil der da gælde: PP tl, hvor t er et reelt tal. For hver værdi af t (kaldet parameteren) svarer der ét punkt på linien og omvendt. Af indskudssætningen fås OP OP PP OP OPt l OP OP t l, kaldes en parameterfremstilling for linien l, med parameteren t (som er et reelt tal). l Fig 6.4. Parameterfremstilling a Lad vektoren l og P =(x, y ). (jævnfør figur 6.4) b x x a En parameterfremstilling for l i koordinater bliver da t y y b En linie har mange parameterfremstillinger, da man dels jo kan vælge forskellige faste punkter på l, dels vil alle vektorer proportionale med l kunne benyttes som retningsvektorer. Eksempel 6.4. Linies parameterfremstilling. Find en parameterfremstilling for linien l gennem punkterne A=(3, ) og B = (, 3) Løsning: Da AB 3 og et punkt på linien er A er en parameterfremstilling for l: 3 x t y 3 Man kan opfatte parameterfremstillingen for l som en beskrivelse af en jævn retlinet bevægelse a i rummet, hvor t angivet tiden. Bevægelsens hastighedsvektor er. b 4

48 6. Plangeometri Eksempel 6.5. Retlinet bevægelse. x Lad t beskrive et legeme L s retlinede bevægelse i planen, hvor t angiver tiden y 4 3 og hastigheden måles i m/s. a) Find vejlængden (i m) som legemet gennemløber i 3 sekunder. b) Find den tid det tager for L at gennemløbe en strækning på 9 m. Løsning: a) Farten er m/s I 3 sekunder gennemløbes 5 m. 9 b) 9 m gennemløbes på 8 s 5 Eksempel 6.6 Højde i trekant Lad trekant ABC have vinkelspidserne A=(,), B=(6,7) og C = (, 5). Find koordinaterne til fodpunktet H af højden fra B. (se figuren) Løsning: i Vi har AC Linien l gennem A og C har normalvektoren n l l har da ligningen ( x) ( y) x y () Lad m være linien gennem B vinkelret på l Linien m må have en normalvektor der er parallel med l, dvs. n m m har da ligningen ( x 6) ( y7) x y9 () Skæringen mellem l og m er da koordinaterne til H Af ligning () fås: x = y som indsættes i ligning () 9 ( y) y9 5y 9 y x H = (7.6, 3.8) j 4

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016/2017, eksamen maj-juni 2017 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011-juni 2014 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 12/13 og maj/juni 13/14 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC - nordvest Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik A Henrik Lambæk

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 9

Undervisningsplan Side 1 af 9 Undervisningsplan Side 1 af 9 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 220 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 9 lektioner pr. uge og Regnar Andersen (RA) 3 lektioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2013 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar 2011-maj 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX Skjern Htx Matematik A Ole Egelund

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)

Læs mere

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne

Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2009-juni 2012 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2016 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Gert Friis Nielsen

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

INTRODUKTION TIL VEKTORER

INTRODUKTION TIL VEKTORER INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor

Læs mere

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas

UVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juli-august 2011 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK-hold Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2017 Institution HANSENBERG Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Matematik A Irina Kristensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2014/ Januar 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2014-2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Rybners HTX Esbjerg HTX Matematik B Vicki Jacob

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2011 Institution Københavns Tekniske Skole, Vibenhus Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Matematik B Flemming Kai Hansen 2U Oversigt over gennemførte eller

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januar 2014-maj 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX Skjern Htx Matematik A Ole Egelund

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Kofi Mensah 7Ama1S15

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold REPETITION OG KOORDINATER... REGNING MED VEKTORER... 8 STEDVEKTOR... 1 VEKTOR

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Klaus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Nihal Günaydin 1maA04

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 Maj/juni 2017 Institution Uddannelsescenter Ringkøbing-Skjern Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2016 Københavns

Læs mere