Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf
|
|
- Daniel Brandt
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul
2 Procent 1. Procenter på en ny måde Bestem procentvis ændring Bestem begyndelsesværdi Bestem slutværdi Vækstrate Gennemsnitlig procent Bestem gennemsnitlig procentvis ændring ud fra to tal Bestem gennemsnitlig procentvis ændring ud fra model... 5 Eksponentiel funktion: Forskrift 9. Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion Forskrift for eksponentiel funktion... 6 Eksponentiel funktion: Graf 12. Oplæg til regler for graf Graf for eksponentiel funktion der er voksende (a >1) Graf for eksponentiel funktion der er aftagende (0 < a <1) Hvilken graf, forklar. Eksempel Hvilken graf, forklar. Eksempel Hvilken graf, forklar. Eksempel Hvilken graf, forklar. Eksempel Eksponentiel funktion: a og b fortæller 19. Reglerne for hvad a og b fortæller Opstil formel ud fra beskrivelse. Eksempel Opstil formel ud fra beskrivelse. Eksempel Opstil formel ud fra beskrivelse. Eksempel Opstil formel ud fra beskrivelse. Eksempel Skriv hvad a og b i y = b a x fortæller. Eksempel Skriv hvad a og b i y = b a x fortæller. Eksempel Skriv hvad a og b i y = b a x fortæller. Eksempel Skriv hvad a og b i y = b a x fortæller. Eksempel Eksponentiel funktion: Udregn a og b 28. Udregn a og b i y = b a x ud fra to oplysninger a Eksponentiel regression, residualplot, punktplot b Brugsanvisning til opgave c Besvarelse af opgave Hvad er fordoblingskonstant og halveringskonstant Aflæs fordoblingskonstant og halveringskonstant på graf Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant fortæller Udregn y-værdier med T2 og T0, Udregn T2 og T0,5 når vi kender ligningen y = b a x Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul 13/ Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til kj@mat1.dk som oplyser at dette hæfte benyttes og oplyser hold, niveau, lærer og skole.
3 1. Procenter på en ny måde. Procent 1a. T er 34 % af 600 T = 34 % af = 600 0,34 da 34% = 100 = 204 = 0,34 Du plejer nok at udregne 34 % ved at dividere med 100 og gange med 34. I nogle opgavetyper dur denne metode ikke. Du er nødt til at vænne dig til at gange med 0,34 for at udregne 34 %. 1b. S er 34 % større end 600 S = 134 % af 600 da 100 % + 34 % = 134 % 134 = 600 1,34 da 134 % = = 1, = 804 1c. R er 34 % mindre end 600 R = 66 % af 600 da 100 % 34% = 66 % 66 = 600 0,66 da 66% = 100 = 396 = 0,66 Når du udregner det der er 34% større end et tal, så plejer du nok at udregne 34 % af tallet og lægge til tallet. I nogle opgavetyper dur denne metode ikke. Du er nødt til at vænne dig til at gange med 1,34 for at udregne det der er 34 % større. Når du udregner det der er 34% mindre end et tal, så plejer du nok at udregne 34 % af tallet og trække fra tallet. I nogle opgavetyper dur denne metode ikke. Du er nødt til at vænne dig til at gange med 0,66 for at udregne det der er 34 % mindre. 1d. Hvor mange procent er 52 af 126? , , ,3% 52 er 41,3 % af e. Oversigt over grundlæggende procentregning y 0,30 y 0,30 y y y 1 y 1,30 y y 0,70 0,30 0,70 1 y 0,30 A B A B A B B er 30% af A B er 30% større end A B er 30% mindre end A B er 130% af A B er 70% af A , er 30% af Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
4 2. Bestem procentvis ændring Opgave 2 Delprøve 2 Mindstekravsopgave Efter en lovændring må en landmand ændre størrelsen på sin besætning af køer. Antal køer før ændringen: 450 Antal køer efter ændringen: 280 Bestem den procentvise ændring af antal køer. Besvarelse af opgave 2 Dette er formel (2) i formelsamlingen. Kun det blå er tastet i matematikfeltet. Dette er formel (3) i formelsamlingen. 3. Bestem begyndelsesværdi Opgave 3 Delprøve 2 Mindstekravsopgave Ved en udvidelse øges antallet af ansatte med 8 % så antallet kommer op på 431. Hvor mange ansatte var der før udvidelsen? Besvarelse af opgave 3 Dette er formel (3) i formelsamlingen. Kun det blå er tastet i matematikfeltet. Dette er formel (1) i formelsamlingen. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
5 4. Bestem slutværdi Opgave 4 Delprøve 2 Mindstekravsopgave I 2015 var boligens pris kr. I 2016 var prisen 12 % mindre. Bestem prisen i Besvarelse af opgave 4 Dette er formel (3) i formelsamlingen. Kun det blå er tastet i matematikfeltet. Dette er formel (1) i formelsamlingen. Kun det blå er tastet i matematikfeltet. 5. Vækstrate. 5a. Hvad er vækstrate? Sætningen den årlige vækstrate er 18% betyder stigningen er 18 % hvert årt Sætningen den månedlige vækstrate er 3 % betyder stigningen er 3 % hver måned 5b. Eksempel Der gælder Antal ansatte skal stige med en årlig vækstrate på 45 %. Dvs. Antal ansatte skal stige 45 % hvert år. 100 % 45% 145 % 145 1,45 I år er antal ansatte Om 1 år er antal ansatte 820 1, Om 2 år er antal ansatte 820 1,45 1, Om 6 år er antal ansatte 820 1, Om x år er antal ansatte 820 1,45 x 820 1,45 x 1,45 1,45 2 1,45 Antal ansatte ,45 1,45 1, år Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
6 6. Gennemsnitlig procent 6a. Hvad er gennemsnitlig procent. Hvert år fra 2006 til 2009 er de grønne stolper vokset med 40 %. De blå stolper er ikke vokset med samme procent hvert år, men de er vokset fra 4 til 11 ligesom de grønne, så vi siger at for blå stolper gælder: Den gennemsnitlige årlige procentvise stigning er 40 %. 6b. Metode til at udregne gennemsnitlig procent Hvis en størrelse stiger fra et tal K 0 til et tal K på n år, så kan den gennemsnitlige årlige procentvise stigning p udregnes ved hjælp af formlen K = K 0 (1+r) n p hvor r = Dette er formel (4) i formelsamlingen. 100 Hvis der står brug modellen til at bestemme den gennemsnitlige årlige procentvise stigning, så skal du i stedet regne som vist i ramme 8. 6c. Eksempel på udregning af gennemsnitlig procent p Hvis K 0 = 158, K = 221 og n = 10, er 221 = 158 (1+ ) Nspire løser denne ligning mht. p for p > 100 og får p = 3,4126. dvs. Den gennemsnitlige årlige procentvise stigning er 3,41 %. 6d. Flere oplysninger om gennemsnitlig procent Perioden behøver ikke være et år. Fra uge 10 til 15 er indtægten steget fra 1,7 mio. kr. til 2,4 mio. kr. Vi regner som vist ovenfor og får: Gennemsnitlig ugentlig procentvis stigning er 7,14 %. Dette betyder: Ved at stige med 7,14 % hver uge kan et beløb stige fra 1,7 til 2,4 mio. kr. Procentstigningen har måske ikke været den samme hver uge. Derfor ordet gennemsnit. 6e. Advarsel om gennemsnitlig procent Vi kan IKKE udregne gennemsnitlig procent ved at lægge procenter sammen og dividere med antallet. Dette skyldes at procenterne ikke tages af lige store tal. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
7 7. Bestem gennemsnitlig procentvis ændring ud fra to tal Opgave 7 Delprøve 2 Prisen på en vare var 240 kr. i 2003 og 310 kr. i Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise stigning i prisen for perioden Besvarelse af opgave 7 Kun det blå er tastet i matematikfeltet. Dette er formel (4) i formelsamlingen. 8. Bestem (gennemsnitlig) procentvis ændring ud fra model Opgave 8 Delprøve 1 og 2 For perioden bruges modellen f (x) = 245 1,018 x hvor f (x) er prisen i kr, og x er antal år efter Benyt modellen til at bestemme den årlige procentvise stigning i prisen i perioden Besvarelse af opgave 8 Kun det blå er tastet i matematikfeltet. Dette er formel (3) i formelsamlingen. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
8 Eksponentiel funktion: Forskrift 9. Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion: celler der deler sig. I en skål er nogle celler der formerer sig ved deling. Kl. 12 er der 2000 celler. Fra kl. 12 til 13 stiger antal celler med 400. Nu er der flere celler der kan dele sig. Fra kl. 13 til 14 stiger antal celler med 480. Hver time stiger antal celler med 20 %. 100 % + 20 % = 120 % = 1,20 så hver time ganges antal celler med 1,20 : 0 timer efter kl. 12 er antal celler lig time efter kl. 12 er antal celler lig ,20 2 timer efter kl. 12 er antal celler lig ,20 1,20 = ,20 2 1,20 1,20 = 1, timer efter kl. 12 er antal celler lig ,20 1,20 1,20 = , timer efter kl. 12 er antal celler lig ,20 9 x timer efter kl. 12 er antal celler lig ,20 x Forskriften for antal celler er altså ,20 x som er af typen b a x. En eksponentiel funktion har en forskrift af typen b a x. 10. Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion: alders-bestemmelse. Når man finder noget der er lavet af træ, så kan man bestemme dets alder ved at se på hvor meget kulstof-14 (C-14) der er tilbage i træet. C-14 er radioaktivt, dvs. at et C-14 atom kan henfalde og blive til et andet stof. I løbet af et år henfalder en vis mængde af den C-14 der er i træet. Næste år er der mindre C-14 tilbage som kan henfalde, så næste år forsvinder en mindre mængde. Princippet er det samme som i følgende eksperiment med terninger: For en terning med 10 farvede sider er sandsynligheden for gul lig 10 % = 0,10. Vi har terninger. Vi kaster dem og fjerner de der viser gul. Så er ca. 90 % tilbage: = Vi kaster de tilbageværende og fjerner igen de der viser gul. Efter andet kast er antal der er tilbage: = ,90 2 = Efter kast nr. x er antal der er tilbage ,90 x Denne forskrift er af typen b a x. En eksponentiel funktion har en forskrift af typen b a x. 11. Forskrift for eksponentiel funktion 11a. Definition En funktion er eksponentiel hvis den har en forskrift af typen f(x) = b a x a og b skal være positive tal. Alle tal kan indsættes for x. Uanset hvilket tal vi indsætter for x, så bliver resultatet y et positivt tal. 11b. Opgave Delprøve 1 Mindstekravsopgave Udfyld en tabel som den viste for funktionen f (x) = 2 3 x. Besvarelse af opgave 11b f (x) = 2 3 x. f (1) = = 2 3 = 6. f (2) = = = 6 3 = 18. f (3) = = = 6 9 = 54. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
9 12. Oplæg til regler for graf Eksponentiel funktion: Graf Vi udregner punkter på grafen for funktionen y = 3 1,6 x. Når f (x) er eksponentielt voksende (dvs. a > 1): Formelsamling: (52) f (x) for x Læses: f (x) går mod uendelig for x gående mod uendelig. Formelsamling: (53) f (x) 0 for x Læses: f (x) går mod nul for x gående mod minus uendelig. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
10 13. Graf for eksponentiel funktion der er voksende (a>1) Figuren viser grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x hvor forskriftens b-tal og a-tal er hhv. 2 og 1,3. Da a-tallet er større end 1, gælder Funktionen er voksende. dvs. Når vi indsætter større og større tal for x i forskriften, så bliver de udregnede y-værdier hele tiden større. så Grafen går opad mod højre, når a-tallet er større end 1. Grafen skærer y-aksen ved 2, fordi 2 er b-tallet. Når vi indsætter et tal for x som er 1 større end det foregående tal vi indsatte, så får vi en y-værdi der er 1,3 gange den foregående y-værdi, da 1,3 er forskriftens a-tal. Se figuren øverst. Derfor kaldes a-tallet for fremskrivningsfaktoren. For to voksende eksponentielle funktioner gælder at den med den største fremskrivningsfaktor a vil have den stejleste graf i grafernes skæringspunkt. Se figuren til højre. Uanset hvilket tal vi indsætter for x, så vil den udregnede y-værdi være positiv så Grafen ligger over x-aksen. Hvis et punkt kører mod venstre på grafen så x-koordinaten gennemløber hele venstre del af x-aksen, så kommer y-koordinaten vilkårlig tæt på nul. Dette skriver vi sådan: y 0 for x. Hvis et punkt kører mod højre på grafen så x gennemløber hele højre del af x-aksen, så bliver y-koordinaten vilkårlig stor. Dette skriver vi sådan: y for x. Når f (x) er eksponentielt voksende (dvs. a > 1), gælder f (x) for x Dette læses: f (x) går mod uendelig for x gående mod uendelig. Dette er formel (52) fra formelsamlingen. Når f (x) er eksponentielt voksende (dvs. a > 1) gælder f (x) 0 for x Dette læses: f (x) går mod nul for x gående mod minus uendelig. Dette er formel (53) fra formelsamlingen. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
11 14. Graf for eksponentiel funktion der er aftagende (0<a<1) Figuren viser grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x hvor forskriftens b-tal og a-tal er hhv. 5 og 0,8. Da a-tallet er mellem 0 og 1, gælder Funktionen er aftagende. dvs. Når vi indsætter større og større tal for x i forskriften, så bliver de udregnede y-værdier hele tiden mindre. så Grafen går nedad mod højre, når a-tallet er mellem 0 og 1. Grafen skærer y-aksen ved 5, fordi 5 er b-tallet. Når vi indsætter et tal for x som er 1 større end det foregående tal vi indsatte, så får vi en y-værdi der er 0,8 gange den foregående y-værdi, da 0,8 er forskriftens a-tal. Se grafen øverst. Derfor kaldes a-tallet for fremskrivningsfaktoren. For to aftagende eksponentielle funktioner gælder at den hvis fremskrivningsfaktor er tættest på nul, vil have den stejleste graf i grafernes skæringspunkt. Se figuren til højre. Uanset hvilket tal vi indsætter for x, så vil den udregnede y-værdi være positiv så Grafen ligger over x-aksen. Hvis et punkt kører mod venstre på grafen så x-koordinaten gennemløber hele venstre del af x-aksen, så bliver y-koordinaten vilkårlig stor. Dette skriver vi sådan: y for x. Hvis et punkt kører mod højre på grafen så x gennemløber hele højre del af x-aksen, så kommer y-koordinaten vilkårlig tæt på nul. Dette skriver vi sådan: y 0 for x. Her står at a er et tal mellem 0 og 1 Når f (x) er eksponentielt aftagende (dvs. 0 < a < 1), gælder f (x) 0 for x Dette læses: f (x) går mod nul for x gående mod uendelig. Dette er formel (59) fra formelsamlingen. Når f (x) er eksponentielt aftagende (dvs. 0 < a < 1), gælder f (x) for x Dette læses: f (x) går mod uendelig for x gående mod minus uendelig. Dette er formel (60) fra formelsamlingen. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
12 15. Hvilken graf, forklar. Eksempel 1 Opgave 15 Delprøve 1 Mindstekravsopgave Forklar hvorfor den viste graf ikke kan være grafen for funktionen f (x) = 40 1,08 x. Besvarelse af opgave 15 I forskriften f (x) = 40 1,08 x er fremskrivningsfaktoren a = 1,08. Da a er større end 1, er f voksende. Figuren viser grafen for en aftagende funktion (da grafen går nedad mod højre). Altså kan den viste graf ikke være graf for f. 16. Hvilken graf, forklar. Eksempel 2 Opgave 16 Delprøve 1 Mindstekravsopgave Figuren viser graferne for funktionerne f (x) = 5 1,1 x og g(x) = 10 1,1 x. Angiv hvilken af graferne der er graf for f, og forklar hvordan man kan se det. Besvarelse af opgave 16 f (x) = 5 1,1 x og g(x) = 10 1,1 x. I forskriften for f er b-tallet 5, og i forskriften for g er b-tallet 10. Da b-tallet viser skæring med y-aksen, vil g-grafens skæring med y-aksen ligge over f-grafens. Derfor er det B der er graf for f, da figuren viser at A-grafs skæring med y-aksen ligger over B-grafens skæring med y-aksen. 17. Hvilken graf, forklar. Eksempel 3 Opgave 17 Delprøve 1 Mindstekravsopgave Figuren viser graferne for funktionerne f (x) = 6 1,2 x og g(x) = 6 1,1 x. Angiv hvilken af graferne der er graf for f, og forklar hvordan man kan se det. Besvarelse af opgave 17 f (x) = 6 1,2 x og g(x) = 6 1,1 x. Fremskrivningsfaktoren a er 1,2 for f, og 1,1 for g. Funktionerne er voksende, og i grafernes skæringspunkt er A stejlest, så da f har størst a, gælder: A er graf for f. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
13 18. Hvilken graf, forklar. Eksempel 4 Opgave 18 Delprøve 1 Mindstekravsopgave En af graferne på figuren er grafen for funktionen f (x) = 3 0,5 x. Angiv hvilken af graferne der er graf for f, og forklar hvorfor det ikke kan være den anden.. Besvarelse af opgave 18 f (x) = 3 0,5 x. Vi ser på det punkt på f-grafen hvor x = 1 (fordi det er nemt at regne med 1). Vi udregner y for punktet: y = 3 0,5 1 = = 1,5. På bilaget har vi på kurven B afsat det punkt hvor x = 1. Vi ser at y er mindre end 1,5. Altså er det A der er graf for f. BILAG Eksponentiel funktion: a og b fortæller 19. Reglerne for hvad a og b fortæller 19a. y = b a x Reglen for hvad a fortæller (dvs. reglen for eksponentiel vækst): Hver gang vi gør x én enhed større, bliver værdien af y ganget med a. 19b. y = b a x Reglen for hvad b fortæller: Når x er 0, er y lig b. 19c. f (x) = 24 1,5 x Følgende viser reglerne 19a og 19b: x : x y : ,5 x 1,5 1,5 1,5 19d. Opgave Delprøve 1 Mindste kravs opgave Udfyld resten af tabellen når det oplyses at f er en eksponentiel funktion. x f (x) Besvarelse af opgave 19d. Hver gang der lægges 1 til x-værdien, så ganges f (x)-værdien (y-værdien) med fremskrivningsfaktoren a. Af de to midterste søjler ser vi at 3 a = 9, så a = x f (x) Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
14 20. Opstil formel ud fra beskrivelse af eksponentiel vækst. Eksempel Opgave Delprøve 1 og 2 Mindstekravsopgave (voksende) Kl. 9 er der 300 celler, og hver time bliver antal celler 20 % større. Svar Indfør passende variable, og opstil en formel til at bestemme antallet af celler når man kender tidspunktet. Passende variable: x = antal timer efter kl. 9 y = antal celler Antallet stiger med samme procent hver time, så det er en eksponentiel funktion y = b a x. Der står: Når antal timer bliver én større, bliver antal celler 20 % større dvs. når x bliver én større, bliver y 20 % større så når x bliver én større, bliver y ganget med 1, % + 20 % = 120 % Derfor: a = 1,20 ifølge reglen om hvad a fortæller (regel 19a) Der står: Når klokken er 9, er antal celler lig 300 dvs. når x er 0, er y lig 300 Derfor: b = 300 ifølge reglen om hvad b fortæller (regel 19b).y = 300 1,20 x. hvor y = antal celler og x = antal timer efter kl Opstil formel ud fra beskrivelse af eksponentiel vækst. Eksempel Opgave Delprøve 1 og 2 Mindstekravsopgave (aftagende) Den 1. maj er afgiften 800 kr. og afgiften nedsættes med 10 % pr. uge Svar Indfør passende variable, og opstil en formel til at bestemme afgiften når man kender tidspunktet. Passende variable: x = antal uger efter 1.maj y = afgiften i kr. Afgiften falder med samme procent hver uge, så det er en eksponentiel funktion y = b a x. Der står: Når antal uger bliver én større, bliver afgiften 10 % mindre dvs. når x bliver én større, bliver y 10 % mindre så når x bliver én større, bliver y ganget med 0, % 10 % = 90 % Derfor: a = 0,90 ifølge reglen om hvad a fortæller (regel 19a) Der står: Den 1. maj er afgiften lig 800 kr. dvs. når x er 0, er y lig 800 Derfor: b = 800 ifølge reglen om hvad b fortæller (regel 19b).y = 800 0,90 x. hvor y = afgiften i kr. og x = antal uger efter 1. maj Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
15 22. Opstil formel ud fra beskrivelse af eksponentiel vækst. Eksempel Opgave Delprøve 1 og 2 (aftagende) I 2006 var der 1270 cyklister. Hvert år falder antallet af cyklister med 1,35 %. Indfør passende variable, og opstil en formel til at bestemme antal cyklister i årene efter Svar Passende variable: x = antal år efter 2006 y = antal cyklister Afgiften falder med samme procent hver uge, så det er en eksponentiel funktion y = b a x. Der står: Når antal år bliver én større, bliver antal 1,35 % mindre dvs. når x bliver én større, bliver y 1,35 % mindre så når x bliver én større, bliver y ganget med 0,9865 Derfor: a = 0,9865 ifølge reglen om hvad a fortæller (regel 19a) Tallet 0,9865 kan udregnes sådan: p % = r 100 % 1,35 % = r 100 % 1,35 = r 100 0,0135 = r Dette er formel (3) i formelsamlingen. a = 1+ r a = 1+ ( 0,0135) a = 0,9865 Fra formel (51) i formelsamlingen. Der står: I 2006 er antal lig dvs. når x er 0, er y lig 1270 Derfor: b = 1270 ifølge reglen om hvad b fortæller (regel 19b).y = ,9865 x. hvor y = antal cyklister og x = antal år efter 2006 Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
16 23. Opstil formel ud fra beskrivelse af eksponentiel vækst. Eksempel Opgave Delprøve 1 og 2 (voksende) Nogle planter med højden 8 cm udplantes. Herefter stiger planternes gennemsnitlige højde med 20 % hver uge. Svar Indfør passende variable, og opstil en formel til at bestemme planternes gennemsnitlige højde i perioden efter udplantningen.. Passende variable: x = antal uger efter udplantning y = planternes gennemsnitlige højde Planternes gennemsnitlige højde stiger med samme procent hver uge, så det er en eksponentiel funktion y = b a x. Der står: Når antal uger bliver én større, bliver gennemsnitlig højde 20 % større dvs. når x bliver én større, bliver y 20 % større så når x bliver én større, bliver y ganget med 1, % + 20 % = 120 % Derfor: a = 1,20 ifølge reglen om hvad a fortæller (regel 19a) Der står: Ved udplantningen er gennemsnitlig højde lig 8. dvs. når x er 0, er y lig 8 Derfor: b = 8 ifølge reglen om hvad b fortæller (regel 19b).y = 8 1,20 x. hvor y = planternes gennemsnitlige højde og x = antal uger efter udplantning Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
17 24. Skriv hvad a og b i y = b a x fortæller. Eksempel Opgave Delprøve 1 og 2 Mindstekravsopgave (voksende) Om en figur på skærmen gælder at y = 300 1,40 x hvor x = temperaturen og y = arealet i cm 2 Hvad fortæller tallene 300 og 1,40 om figuren? Svar 140 % 100 % = 40 % Ligningen er af typen y = b a x, så når x bliver én enhed større, bliver y ganget med a. Se 19a Dvs. Når temperaturen bliver én grad højere, bliver arealet ganget med 1,40. Så Når temperaturen bliver én grad højere, bliver arealet 40 % større. Dette er hvad tallet 1,40 fortæller om figuren. Når x er 0, er y lig b. Se 19b Dvs. Når temperaturen er 0 grader, er arealet 300 cm 2. Dette er hvad tallet 300 fortæller om figuren. 25. Skriv hvad a og b i y = b a x fortæller. Eksempel Opgave Delprøve 1 og 2 (voksende) Antal lån kan beskrives ved y = 247 1,016 x hvor x = antal uger efter firmaets åbning og y = antal lån Hvad fortæller tallene 247 og 1,016 om antal lån? Svar Ligningen er af typen y = b a x, så Når x bliver én større, bliver y ganget med a. Se 19a Dvs. Når antal uger bliver én større, bliver antal lån ganget med 1,016. Så Hver uge stiger antallet af lån med 1,6 %. Dette er hvad tallet 1,016 fortæller om antal lån. De 1,6 % kan udregnes sådan: 1+r = a Fra formel (51) i formelsamlingen. 1+r = 1,016 1+r 1 = 1,016 1 r = 0,016 p % = r 100 % p % = 0, % p % = 1,6 % Dette er formel (3) i formelsamlingen. Når x er 0, er y lig b. Se 19b Når antal uger er 0, er antal lån 247. Dvs. Ved firmaets åbning var antal lån 247. Dette er hvad tallet 247 fortæller om antal lån. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
18 26. Skriv hvad a og b i y = b a x fortæller. Eksempel Opgave Delprøve 1 og 2 Mindstekravsopgave x (aftagende) Antallet af dyr ændres sådan at y 270 0, 90 hvor x = antal dage efter 1. juni og y = antal dyr Hvad fortæller tallene 270 og 0,90 om antallet af dyr? Svar Ligningen er af typen y = b a x så Når x bliver én større, bliver y ganget med a Se 19a Dvs. Når antal dage bliver én større, bliver antal dyr ganget med 0,90. Så Når antal dage bliver én større, bliver antal dyr 10 % mindre. Dvs. Hver dag bliver antallet af dyr 10 % mindre. Dette er hvad tallet 0,90 fortæller om antallet af dyr. De 10 % kan udregnes sådan: 1+r = a Fra formel (51) i formelsamlingen. 1+r = 0,90 1+r 1 = 0,90 1 r = 0,10 p % = r 100 % p % = 0, % p % = 10 % Dette er formel (3) i formelsamlingen. Når x er 0, er y lig b. ifølge regel 19b om hvad b fortæller Dvs. Når antal dage er 0, er antal dyr 270. Dvs. Den 1. juni er antallet af dyr 270. Dette er hvad tallet 270 fortæller om figuren. 27. Skriv hvad a og b i y = b a x fortæller. Eksempel Opgave Delprøve 1 og 2 (voksende) Om overskuddet gælder y = 25 1,072 x hvor y er overskuddet (mio. kr.) og x er antal år efter 2005 Hvad fortæller tallet 1,072 om overskuddet? Svar Forskriften er af typen y = b a x, så når x bliver én enhed større, bliver y ganget med a. Se 19a Dvs. Når antal år bliver én større, bliver overskuddet ganget med 1,072. Så Når antal år bliver én større, bliver overskuddet 7,2 % større. Dvs. Hvert år stiger overskuddet med 7,2 %. Dette er hvad tallet 1,072 fortæller om overskuddet. De 7,2 % kan udregnes sådan: 1+r = a Fra formel (51) i formelsamlingen. 1+r = 1,072 1+r 1 = 1,072 1 r = 0,072 p % = r 100 % p % = 0, % p % = 7,2 % Dette er formel (3) i formelsamlingen. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
19 Eksponentiel funktion: Udregn a og b 28. Udregn a og b i y = b a x ud fra to oplysninger. Opgave 28 Delprøve 2 En plantes vægt kan med god tilnærmelse beskrives med en funktion af typen y = b a x hvor y er vægt i kg, og x er år efter udplantning. Efter 2 år er vægten 1,60 kg. Efter 5 år er vægten 4,10 kg. Udregn a og b. Svar Der står: Efter 2 år er vægten 1,60 kg. Efter 5 år er vægten 4,10 kg. Dvs. Når x = 2 er y = 1,60. Når x =5 er y = 4,10. Så 1,60 = b a 2 og 4,10 = b a 5 Nspire løser ligningssystemet og får a = 1, ,368 og b = 0, ,854. mht. a og b.a = 1,368. og.b = 0, a. Eksponentiel regression, residualplot, punktplot. Opgave 29 Delprøve 2. Spørgsmål a) og b) er Mindstekravsopgaver Tabellen viser antallet af indbyggere i et område i perioden Årstal Antal I en model beskrives antallet ved en eksponentiel funktion f ( x) b a x hvor f (x) er antallet af indbyggere, og x er antal år efter a) Tegn et punktplot af tabellens data. b) Bestem tallene a og b ved eksponentiel regression. c) Tegn et residualplot, og kommentér på baggrund heraf den eksponentielle models anvendelighed til at beskrive antal indbyggere som funktion af tiden. Se fortsættelsen i rammerne 29b og 29c. 29b. Brugsanvisning til opgave 29 Start på ny opgave i Nspire. Vælg et vindue af typen Lister og regneark. Navngiv en søjle i søjlens øverste grå felt (som vist til højre) og tast x-værdier i den. Navngiv en søjle og tast y-værdier i den. Tilføj et vindue af typen Diagrammer og statistik. Klik under x-aksen og vælg søjlen med x-værdier. Klik til venstre for y-aksen og vælg søjlen med y-værdier. Vælg i værktøjsmenuen Undersøg data / Regression / eksponentiel. Forskrift og punktplot (og graf) fremkommer. Vi taster IKKE årstal da x ikke er årstallet! Vælg i værktøjsmenuen Undersøg data / Residualer / Residualplot. Se fortsættelsen i ramme 29c. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
20 29c. Besvarelse af opgave 29 Udregnet: År efter 2000: Oplyst: Årstal: Oplyst: Antal indbyggere: I en model beskrives antallet ved en eksponentiel funktion f ( x) b a hvor f (x) er antallet af indbyggere, og x er antal år efter x Er vist i ramme 29b. Vi åbner et regneark og taster år efter 2000 i x-søjlen, og antal indbyggere i y-søjlen (se næste vindue). a) Ud fra dette tegner Nspire et punktplot (se næste vindue). Er vist i ramme 29b. b) Nspire laver eksponentiel regression ud fra de to søjler og får forskriften f (x) = 86,0974 1,23829 x dvs. a = 1,23829 og b = 86,0974. c) Ud fra dette laver Nspire residualplottet (se næste vindue). Er vist i ramme 29b. Punkterne ligger på kæde, så en eksponentiel model er ikke specielt egnet til at beskrive antal indbyggere som funktion af tiden. Eksponentiel funktion: Fordoblingskonstant og halveringskonstant 30. Hvad er fordoblingskonstant og halveringskonstant. Eksempel 30a Tabellen viser hvordan højden af en plante er vokset eksponentielt. Antal uger efter køb: Højde i cm: I tabellen ser vi: 1 uge efter købet er højden 15 cm. 3 uger senere er højden 30 cm, som er det dobbelte af 15 cm. 2 uger efter købet er højden 19 cm. 3 uger senere er højden 38 cm, som er det dobbelte af 19 cm. Uanset hvornår vi starter, så vil der gå 3 uger før højden er fordoblet. Man siger at højdens fordoblingskonstant er 3 uger. 30b En eksponentielt voksende funktion har en fordoblingskonstant T 2. Når x bliver T 2 enheder større, så bliver y fordoblet. 30c En eksponentielt aftagende funktion har en halveringskonstant T 0,5. Når x bliver T 0,5 enheder større, så bliver y halveret. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
21 31. Aflæs fordoblingskonstant og halveringskonstant på graf. Opgave 31a Delprøve 1 og 2 Mindstekravsopgave (halvering) Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende funktion. Hvad er halveringskonstanten for denne sammenhæng? Besvarelse af opgave 31a Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende funktion. Vi vil bestemme halveringskonstanten ved aflæsning. Resultatet bliver det samme uanset hvilken x-værdi vi starter med. Vi kan f.eks. starte med x 1: Når x = 1 er y = 3,1 (se nederste figur) 3,1 Det halve af 3,1 er 1, Når y = 1,55 er x = 3,7 (se nederste figur) For at halvere y skal vi altså øge x med 3,7 1 = 2,7 så halveringskonstanten er.2,7.. Vi har brugt (63) (graf og formel) i formelsamlingen. Bemærkning 31b (fordobling) Hvis funktionen er eksponentielt voksende, kan fordoblingskonstanten aflæses på næsten samme måde: Vi finder to grafpunkter hvor y-koordinaten til det ene er 2 gange y-koordinaten til det andet. Forskellen på de to punkters x-koordinater er fordoblingskonstanten. Vi bruger altså (56) (graf og formel) i formelsamlingen. 32. Skriv hvad fordoblings- og halveringskonstant fortæller. Opgave 32a Delprøve 1 og 2 Mindstekravsopgave (fordobling) Besvarelse af opgave 32a Antallet af syge kan med tilnærmelse beskrives ved en eksponentiel sammenhæng y = b a x hvor x er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. I avisen står at fordoblingskonstanten er 9. Hvad fortæller dette om antallet af syge? y = b a x hvor x er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. At fordoblingskonstanten er 9 betyder: Når x bliver 9 større, så bliver y fordoblet. Dvs: Når antal dage bliver 9 større, så bliver antal syge fordoblet. Så: Antal syge fordobles på 9 dage. Opgave 32b Delprøve 1 og 2 Mindstekravsopgave (halvering) Besvarelse af opgave 32b Antallet af syge kan med tilnærmelse beskrives ved en eksponentiel sammenhæng y = b a x hvor x er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. I avisen står at halveringskonstanten er 9. Hvad fortæller dette om antallet af syge? y = b a x hvor x er antal dage efter 1. maj og y er antal syge. At halveringskonstanten er 9 betyder: Når x bliver 9 større, så bliver y halveret. Dvs: Når antal dage bliver 9 større, så bliver antal syge halveret. Så: Antal syge halveres på 9 dage. Når x er tiden, kan vi sige fordoblingstid i stedet for fordoblingskonstant. Når x er tiden, kan vi sige halveringstid i stedet for halveringskonstant. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
22 33. Udregn y-værdier med T2 og T0,5. Opgave 33a Delprøve 1 For en eksponentiel sammenhæng y = b a x er fordoblingskonstanten T 2 = 3. Gør direkte brug af dette til at udfylde de tomme felter. x 1 y 7 Besvarelse af opgave 33a x y 3, Opgave 33b Delprøve 1 For en eksponentiel sammenhæng y = b a x er T 0,5 = 1,6. Gør direkte brug af dette til at udfylde de tomme felter. x 4,8 y 6 Besvarelse af opgave 33b +1,6 +1,6 +1,6 x 3,2 4,8 6,4 8 y ,5 0,5 0,5 0,5 34. Udregn T2 og T0,5 når vi kender ligningen y = b a x. Opgave 34a Delprøve 2 Mindstekravsopgave Bestem halveringskonstanten for funktionen f (x) = 5 0,92 x. Besvarelse af opgave 34a Dette er formel (64) i formelsamlingen. I symbolet T0.5 er brugt større skriftstørrelse til T end til 0.5. Der er ikke brugt sænket skrift. Opgave 34b Delprøve 1 Mindstekravsopgave Antal ansatte vokser eksponentielt med 18 % om året. Opstil en ligning til at bestemme hvor lang tid der går før antallet af ansatte er fordoblet. Besvarelse af opgave 34b Antal ansatte vokser 18 % om året, så forskriften for antal ansatte som funktion af af antal år er af typen f (x) = b a x med a = 1,18. T2 = ln(2) Dette er formel (57) i formelsamlingen. ln( a) T2 = ln(2) ln(1,18) er antal år før antallet af ansatte er fordoblet. Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf Karsten Juul
23
24 B begyndelsesværdi...2, 3 E eksponentiel funktion...6 eksponentiel regression...17 eksponentiel, a og b fortæller...11, 15, 16 eksponentiel, bestem a og b...17, 18 eksponentiel, opstil formel...12, 13, 14 F fordoblingskonstant...18 fordoblingskonstant, aflæs...19 fordoblingskonstant, brug...20 fordoblingskonstant, fortæller...19 fordoblingskonstant, udregn...20 forskrift, eksponentiel...6 G gennemsnitlig procent...4, 5 graf...7, 8, 9, 10, 11 H halveringskonstant halveringskonstant, aflæs halveringskonstant, brug halveringskonstant, fortæller halveringskonstant, udregn P procent... 1, 6 procent, gennemsnitlig... 4 procentvis ændring... 1, 2, 3 R regression, eksponentiel... 17, 18 S slutværdi... 2, 3 V vækstrate... 2, 3
Funktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereProcent og rente Karsten Juul
Procent og rente 2018 Karsten Juul 1. Procent 1.1 Oplæg til procent... 1 1.2 Udregn procent... 2 1.3. Udregn procent-ændring... 2 1.4 Udregn procent-fald... 3 1.5 Udregn procent-stigning... 3 1.6. Udregn
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereUndersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.
Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereEksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst
Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C EKSPONENTIEL SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE Formelsamling... side Grundlæggende færdigheder... side 4 a Finde konstanterne a og b i en regneforskrift (og p eller r)... side 4 b
Læs mereDeskriptiv statistik for matc i stx og hf
Deskriptiv statistik for matc i stx og hf 75 50 25 2019 Karsten Juul Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede
Læs mereRentesregning Karsten Juul
Rentesregning 2018 Karsten Juul Procent-ændring 1. Formler til ogaver med rocent-ændring...1 2. Bestem rocent-ændring...1 3. Bestem begyndelsesværdi...2 4. Bestem slutværdi...2 Kaitalformlen 5. Olæg til
Læs mereDeskriptiv statistik for hf-matc
Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...
Læs mereTERMINSPRØVE APRIL 2018 MATEMATIK. Kl
TERMINSPRØVE APRIL 2018 1p MATEMATIK tirsdag den 10. april 2018 Kl. 09.00 12.00 Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 1 time kun med den centralt udmeldte formelsamling. Delprøve 2: 2 timer med alle
Læs mereEn funktion kaldes eksponentiel, hvis den har en regneforskrift, der kan skrives således: f(x) = b a x eller y = b a x, idet a og b er positive tal.
Eksponentielle funktioner Indhold Definition:... 1 Om a og b... 2 Tegning af graf for en eksponentiel funktion... 3 Enkeltlogaritmisk koordinatsstem... 4 Logaritmisk skala... 5 Fordoblings- og halveringskonstant...
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereLineære sammenhænge, residualplot og regression
Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge
Læs mereOpstilling af model ved hjælp af differentialkvotient
Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs merefor gymnasiet og hf 2017 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 017 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf 017 Karsten Juul 5/11-017 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm Hæftet må benyttes i undervisningen
Læs mereKapitel 7 Matematiske vækstmodeller
Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i stx 2016 Karsten Juul LineÄr sammenhäng og regler for ligevägt 1. Regler om ligevägt... 1 2. Eksempler med regler for ligevägt... 2 3. OplÄg om lineäre
Læs mere1. Konstantfaktoren er 34, fremskrivningsfaktoren er 1,056 og vækstraten er 5,6%.
Kapitel 4 Øvelse 43 1 Konstantfaktoren er 34, fremskrivningsfaktoren er 1,056 og vækstraten er 5,6% Konstantfaktoren er 117, fremskrivningsfaktoren er 1,61 og vækstraten er 61% 3 Konstantfaktoren er 0,84,
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereForløb om eksponential- og logaritmefunktioner
Forløb om eksponential- og logaritmefunktioner Mikkel Stouby Petersen 17/05/2016 Elevversion Indhold Indhold I Eksponentialfunktioner og eksponentiel vækst 3 1 Oversigt: Eksponentialfunktioner 5 2 Eksperimentariet:
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereSupplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.
37-43. Side 1 af 8 Eksponentiel udvikling ( 37-43) Opgaverne med svar starter på side 4, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 7 med et s foran
Læs mereLogaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6
Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt
Læs meresammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2019 ( ) ( )
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 019 1. maj 019: Delprøven UDEN hjælpemidler 1. maj 019 opgave 1: Man kan godt benytte substitutionsmetoden, lige store koefficienters metode eller determinantmetoden,
Læs mereMatematik Grundforløbet
Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs mereKapital- og rentesregning
Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Vestegnen, Albertslund Gymnasievej 10, 2620
Læs mereSandsynlighed. for matc i stx og hf Karsten Juul
Sandsynlighed for matc i stx og hf 209 Karsten Juul . Udfald Vi drejer den gule skive om dens centrum og ser hvilket af de fem felter der standser ud for den røde pil. Da skiven sidst blev drejet, var
Læs mereRegneark Excel fortsat
Regneark Excel fortsat Indhold SÅDAN TEGNES GRAFER I REGNEARK EXCEL... 1 i Excel 97-2003... 1 I Excel 2007... 1 ØVELSE... 2 I Excel 97-2003:... 2 I Excel 2007... 3 OM E-OPGAVER 12A... 4 Sådan tegnes grafer
Læs mereMatematik c - eksamen
Eksamensnummer: 101364 - Fjernkursist side 1 af 13 Matematik c - eksamen Opgave 1) a) Jeg får af vide, at et par har vundet i Lotto og ønsker at sætte 100.000 kr. ind på en opsparingskonto. I Bank A kan
Læs mereMatematik A og Informationsteknologi B
Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og
Læs mereVejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123
Vejledende løsning hfmac123 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes 30.000 kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r
Læs mereDeskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul
Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede
Læs mereMatematik A August 2016 Delprøve 1
Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,
Læs mereTak for kaffe! 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16
Tak for kaffe! Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004 Tak for kaffe! Side 1 af 16 Tak
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mere2HF091_MAC. Givet to ensvinklede trekanter som vist på figuren. De anførte mål er oplyst.
Opgave 1 Givet to ensvinklede trekanter som vist på figuren. De anførte mål er oplyst. Da trekanterne er ensvinklede, har de proportionale sider; forstørrelsesfaktoren k findes som forholdet mellem c 1
Læs mereQR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra
QR15 Vejledning i at bestemme kvartilsæt og at tegne sumkurver med Nspire, Maple og Geogebra Nspire: Vi har et datasæt. Der er overordnet to metoder til at tegne sumkurver i programmet, og vi beskriver
Læs mereEksponentielle funktioner
Eksponentielle funktioner http://en.wikipedia.org/wiki/rabbits_in_australia 4. udg. 2011 12-12-2011 Eksponentielle funktioner Vækst Udfyld tabellen ved: at skrive begyndelsesværdien b = f(0) = 30 under
Læs mereMatematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereH Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E
H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................
Læs mereAnalyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi
Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi Denne gennemgang omhandler figur 13 i Regn med biologi. Man kan sagtens lave beregninger på egne data. Forsøgsmæssigt kræver det bare en tommestok tapet
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs merefor gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende
Læs mereLøsningsforslag MatB December 2013
Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mereStudentereksamen i Matematik B 2012
Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er
Læs mereM A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T
M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og
Læs mereComputerundervisning
Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende
Læs mereBogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul
Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært
Læs mereKapitel 5 Renter og potenser
Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95
Læs mereMatematik B STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik B, STX 18 maj Matematik B, STX 23 maj Matematik B, STX 15 august
Læs mereIntegralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul
Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab
Læs mereExcel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008
Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere
Læs mereMatematik B. Anders Jørgensen
Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren
Læs mereMike Vandal Auerbach. Funktioner.
Mike Vandal Auerbach Funktioner y f g x www.mathematicus.dk Funktioner. udgave, 208 Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx A- og B-niveau. Det indledende kapitel beskriver selve funktionsbegrebet,
Læs mereÅrsprøve i matematik 1y juni 2007
Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 4x 1 17 5x 4x 5x 17 1 9x 18 x Opgave : N betegner antallet af brugere af app en målt i tusinder. t angiver
Læs mereDifferentialligninger
Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1
Læs mereMatematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:
Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb) Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau
Læs mereVejledende besvarelse
Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100
Læs merematematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk
matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereDifferentialligninger
Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg
Læs mereEt CAS program til Word.
Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.
Læs mereOm at finde bedste rette linie med Excel
Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2018 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Knud Søgaard
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN DECEMBER 2007 MATEMATIK B-NIVEAU. Tirsdag den 18. december 2007. Kl. 09.00 13.00 STX073-MAB
STUDENTEREKSAMEN DECEMBER 2007 MATEMATIK B-NIVEAU Tirsdag den 18. december 2007 Kl. 09.00 13.00 STX073-MAB Bedømmelsen af det skriftlige eksamenssæt I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål
Læs mere