Procent og rente Karsten Juul
|
|
- Birthe Juhl
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Procent og rente 2018 Karsten Juul
2 1. Procent 1.1 Oplæg til procent Udregn procent Udregn procent-ændring Udregn procent-fald Udregn procent-stigning Udregn begyndelses-værdi Udregn slut-værdi Kapitalformlen 2.1 Oplæg til kapitalformlen Kapitalformlen Kapitalformlen, K ukendt Kapitalformlen, K0 ukendt Kapitalformlen, n ukendt Kapitalformlen, p ukendt Rentes rente Vækstrate 4.1 Hvad er vækstrate Eksempel på vækstrate Gennemsnitlig procent 5.1 Hvad er gennemsnitlig procent? Bestem gennemsnitlig procentvis ændring ud fra to tal Bestem (gennemsnitlig) procentvis ændring ud fra model Annuitets-opsparing 6.1 Hvad er annuitets-opspating? Eksempel på annuitets-opsparing Formlen for annuitets-opspating? Annuitets-lån 7.1 Hvad er annuitets-lån? Eksempel på annuitets-lån Formlen for annuitets-lån Indeks-tal 8.1 Hvad er indeks-tal? Udregning af indeks-tal Udregning af det rigtige tal Rentesregning Karsten Juul 10/ Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren sender en til kj@mat1.dk som oplyser at dette hæfte benyttes og oplyser hold, niveau, lærer og skole.
3 1. Procent 1.1 Oplæg til procent. 1.1a Hvor mange procent er 42 af 60? Der står af 60, så 60 er 100%. Nedenfor har vi med det røde håndtag indstillet procent-linealen så 60 er 100%. På procent-linealen ovenfor ser vi at 42 er 70% af b På procent-linealen nedenfor ser vi at 42 er 30% mindre end c Hvor mange procent er 60 større end 42? Der står end 42, så 42 er 100%. Nedenfor har vi med det røde håndtag indstillet procent-linealen så 42 er 100%. På procent-linealen nedenfor ser vi at 60 er ca. 43% større end 42. Procent og rente Karsten Juul
4 1.2 Udregn procent. 1.3 Udregn procent-ændring. Procent og rente Karsten Juul
5 1.4 Udregn procent-fald. 1.5 Udregn procent-stigning. Procent og rente Karsten Juul
6 1.6 Udregn begyndelses-værdi. Opgave Ved en udvidelse øges antallet af ansatte med 8 % så antallet kommer op på 431. Hvor mange ansatte var der før udvidelsen? Besvarelse 1.7 Udregn slut-værdi. Opgave I 2015 var boligens pris kr. I 2016 var prisen 12 % mindre. Bestem prisen i Besvarelse Kun det blå er tastet i matematikfeltet. Procent og rente Karsten Juul
7 2.1 Oplæg til kapitalformlen 2. Kapitalformlen Et beløb indsættes i banken Vi sætter kr. i banken. Hvert år får vi en rente på 5,8 % af det beløb der står. Beløbet efter 1 år For at finde beløbet efter 1 år bruger vi formlen : p S = B (1+ ) 100 Vi indsætter tallene i denne formel og får Beløbet efter 2 år S = (1+ 5,8 ) Dette er beløbets størrelse efter 1 år. 100 Næste år får vi renter af beløbet (1+ 5,8 100 ). Vi indsætter dette beløb på B's plads i formlen S = B (1+ 5,8 100 ) Beløbet efter 3 år S = (1+ 5,8 5,8 ) ( ) S = (1+ 5,8 100 )2 Dette er beløbets størrelse efter 2 år. Næste år får vi renter af beløbet (1+ 5,8 100 )2. Vi indsætter dette beløb på B's plads i formlen S = B (1+ 5,8 100 ) Kapitalformlen S = (1+ 5,8 100 )2 (1+ 5,8 100 ) S = (1+ 5,8 100 )3 Dette er beløbets størrelse efter 3 år. Hvis beløbet vi indsætter i starten i stedet er K0 og renteprocenten i stedet er p %, så ser vi at beløbet efter n år er: p K = K0 (1+ ) n 100 Procent og rente Karsten Juul
8 2.2 Kapitalformlen p 2.2a K = K0 (1+ ) n 100 Dette er kapitalformlen. K0 = StartKapital K = Kapital efter n terminer p % = Rente pr. termin En termin er tidsrummet mellem to rentetilskrivninger. Tidligere var der kun én renteformel i pensum. Dengang blev 2.2a kaldt renteformlen. 2.2b Fire opgavetyper I kapitalformlen kan hvert af tallene n, p, K0 og K være ukendt. Det ukendte af disse tal kan vi udregne når vi kender de tre andre. Dvs, der er fire typer opgaver med kapitalformlen. 2.2c Beløbet på kontoen vokser eksponentielt Hvis vi sætter kr. i banken til en fast årlig rente på 5,8 %, så følger af kapitalformlen at kapitalen K efter n år er Dvs. K = (1+ 5,8 100 )n K = ,058 n Denne sammenhæng er eksponentiel, dvs. af typen y = b a x Vi har blot brugt K og n i stedet for y og x, så beløbet på kontoen vokser eksponentielt. 2.3 Kapitalformlen, K ukendt Procent og rente Karsten Juul
9 2.4 Kapitalformlen, K0 ukendt 2.5 Kapitalformlen, n ukendt Procent og rente Karsten Juul
10 2.6 Kapitalformlen, p ukendt Procent og rente Karsten Juul
11 3. Rentes rente 3a Bakterier deler sig, så antallet stiger: Efter 0 timer: 500 Efter 1 time: 200 flere Hvorfor er stigningen i den næste time større end 200? SVAR: De 200 nye deler sig også, så stigningen bliver tilsvarende større. Stigningen på en time er hele tiden 40% af det der var i forvejen. Se figur. 3b Månedlig og årlig rente I et land er renten 2% pr. måned. 100 kr. indsættes på en konto. 2% af 100kr. er 2 kr. så efter 1 måned står der 2 kr. mere på kontoen Hvorfor er stigningen i den næste måned større end 2 kr.? SVAR: I næste måned får man også rente af de 2 kr. (rentes rente). Stigningen på en måned er hele tiden 2% af det der står i forvejen. Stgningen på et år er altså mere en 12 gange 2% af de 100 kr. der stod i begyndelsen. Den årlige renteprocent er altså mere end 12 2% = 24%. 3c REGEL En størrelse er blevet a gange så stor. Så er den p % større, hvor p = (a 1) 100. Ved brug af 3c får vi: Hvis en størrelse er ganget med 1,263 så er den blevet 26,3% større da 1,263 1 = 0,263 Hvis en størrelse er ganget med 0,761, så er den blevet 23,9% mindre da 0,761 1 = 0,239 Hvis den månedlige rente er 2,4%, så bliver startkapitalen på 1 år ganget med 1, = 1,329 Dvs. den årlige rente er 32,9% da 1,329 1= 0,329. Procent og rente Karsten Juul
12 4. Vækstrate 4.1 Hvad er vækstrate? Sætningen den årlige vækstrate er 18 % betyder stigningen er 18 % hvert årt Sætningen den månedlige vækstrate er 3 % betyder stigningen er 3 % hver måned 4.2 Eksempel på vækstrate Der gælder Antal ansatte skal stige med en årlig vækstrate på 45 %. Dvs. Antal ansatte skal stige 45 % hvert år. I år er antal ansatte 820 Om 1 år er antal ansatte 820 1, Om 2 år er antal ansatte 820 1,45 1, Om 6 år er antal ansatte 820 1, Om x år er antal ansatte 820 1,45 x p S B (1 ) , 45 1, 45 1,45 1,45 2 1, ,45 x Antal ansatte , , ,45 år Procent og rente Karsten Juul
13 5. Gennemsnitlig procent 5.1 Hvad er gennemsnitlig procent? 5.1a. Eksempel på gennemsnitlig procent Fra 2006 til 2009: fordi Blå stolpe har haft en gennemsnitlig årlige procentvise stigning på 40 % blå stolpe har samme begyndelses- og slut-værdi som grøn stolpe og grøn stolpe er vokset med 40 % hvert år. Blå stolpe er ikke vokset med samme procent hvert år, men er vokset lige så meget som hvis den var vokset 40 % hvert år. Derfor siger man at blå stolpe har haft en gennemsnitlig årlige procentvise stigning på 40 %. 5.1b. Hvordan bestemmes gennemsnitlig procent? Kan bestemmes ud fra begyndelses-værdi og slut-værdi som vist i 5.2. MEN sådan må du IKKE gøre hvis der står at du skal bruge modellen (funktionens forskrift). Se i 5.3 hvordan man bruger modellen. 5.1c. Flere oplysninger om gennemsnitlig procent Perioden behøver ikke være et år. Fra uge 10 til 15 er indtægten steget fra 1,7 mio. kr. til 2,4 mio. kr. Det er en gennemsnitlig ugentlig procentvis stigning er 7,14 %. Dette betyder: Ved at stige med 7,14 % hver uge kan et beløb stige fra 1,7 til 2,4 mio. kr. Procentstigningen har måske ikke været den samme hver uge. Derfor ordet gennemsnit. 5.1d. Advarsel om gennemsnitlig procent Vi kan IKKE udregne gennemsnitlig procent ved at lægge procenter sammen og dividere med antallet. Dette skyldes at procenterne ikke tages af lige store tal. Procent og rente Karsten Juul
14 5.2 Bestem gennemsnitlig procentvis ændring ud fra to tal Opgave Prisen på en vare var 240 kr. i 2003 og 310 kr. i Bestem den gennemsnitlige årlige procentvise stigning i prisen for perioden Besvarelse Kun det blå er tastet i matematikfeltet. 5.3 Bestem (gennemsnitlig) procentvis ændring ud fra model Opgave For perioden bruges modellen f (x) = 245 1,018 x hvor f (x) er prisen i kr, og x er antal år efter Besvarelse Benyt modellen til at bestemme den årlige procentvise stigning i prisen i perioden Procent og rente Karsten Juul
15 6. Annuitets-opsparing Dette er kun mundtligt pensum 6.1 Hvad er Annuitets-opsparing? I en opsparing af denne type skal man på sin konto indbetale samme beløb hver termin. 6.2 Eksempel på Annuitets-opsparing Renteprocent =14 % Indbetaling hvert år = 2000 kr. Om 0 år (nu) Ydelse (indbetaling dette år): 2000 Rente: 0 Værdi (beløbet der står på kontoen): 2000 Søjlerne ved 0 år: Den højre er det der indsættes på kontoen. Den venstre er det der herefter står på kontoen. Om 1 år Ydelse (indbetaling dette år): 2000 Rente (beløb banken betaler for at have lånt 2000 kr. i et år): ,14 = 280 Værdi (beløbet der står på kontoen): = 4280 Søjlerne ved 1 år: Den højre er det der indsættes på kontoen. Den venstre er det der herefter står på kontoen. Procent og rente Karsten Juul
16 Om 2 år Ydelse (indbetaling dette år): 2000 Rente (beløb banken betaler for at have lånt 4280 kr. i et år): ,14 = 599,2 Værdi (beløbet der står på kontoen): ,2 = Søjlerne ved 2 år: Den højre er det der indsættes på kontoen. Den venstre er det der herefter står på kontoen. 6.3 Formlen for annuitets-opsparing Formlen for annuitets-opsparing er hvor n (1 r) 1 A b hvor r p r 100 b = termins-inbetalingen (det beløb der indbetales hver termin) p r = rentefoden, dvs. r = hvor p er renteprocenten 100 n = antal indbetalinger Bemærk at n IKKE er antal terminer! A = værdien efter sidste indbetaling (det der står på kontoen efter sidste indbetaling). Procent og rente Karsten Juul
17 7. Annuitets-lån Dette er kun mundtligt pensum 7.1 Hvad er Annuitets-opsparing? I et lån af denne type betaler man lånet tilbage ved at betale samme beløb hver termin indtil lånet er betalt. 7.2 Eksempel på Gælds-annuitet renteprocent:=18% Nu låner vi 9000 kr. Samlet betaling hvert år: 4139,31 kr. Om 0 år (nu) Ydelse (samlet betaling dette år): 0 Rente: 0 Afdrag (tilbagebetaling): 0 Restgæld (det beløb som man nu skylder): 9000 Søjlerne ved 0 år: Den venstre er vores gæld. Den højre (højde 0) er det vi betaler. Procent og rente Karsten Juul
18 Om 1 år Ydelse (samlet betaling dette år): 4139,31 Rente (beløb der betales for at have lånt 9000 kr. i et år): ,18 = 1620 Afdrag (tilbagebetaling): 4139, = 2519,31 Den del af ydelsen der ikke er rente, er afdrag på lånet, så man nu skylder 2519,31 kr. mindre end sidste år. Restgæld (det beløb som man nu skylder): ,31 = 6480,69 Søjlerne ved 1 år: Den venstre er vores gæld. Den højre er det vi betaler. Forskellen på de to røde søjler er lig den blå søjle. Om 2 år Ydelse (samlet betaling dette år): 4139,31 Rente (beløb der betales for at have lånt restgælden 6480,69 kr. i et år): 6480,69 0,18 = 1166,52 Afdrag (tilbagebetaling): 4139, ,52 = 2972,79 Den del af ydelsen der ikke er rente, er afdrag på lånet, så man nu skylder 2972,79 kr mindre end sidste år. Restgæld (det beløb som man nu skylder): 6480, ,79 = 3507,9 Søjlerne ved 2 år: Den venstre er vores gæld. Den højre er det vi betaler. Procent og rente Karsten Juul
19 Om 3 år Ydelse (samlet betaling dette år): 4139,31 Rente (beløb der betales for at have lånt restgælden 3507,9 kr. i et år): 3507,9 0,18 = 631,42 Afdrag (tilbagebetaling): 4139,31 631,42 = 3507,8979 Den del af ydelsen der ikke er rente, er afdrag på lånet, så man nu skylder 2972,79 kr mindre end sidste år. Restgæld (det beløb som man nu skylder): 3507, ,89 = 0,01 0 Søjlerne ved 3 år: Den venstre (højde 0) er vores gæld. Den højre er det vi betaler. Alle søjler: De røde (gælden) bliver mindre og mindre. Så de gule (renten) bliver mindre og mindre. Så de blå (afdraget) bliver større og større da blå plus gul er det samme hvert år. 7.3 Formlen for Annuitets-lån Beregning af ydelsen i et annuitets-lån I eksemplet ovenfor passede det lige præcist at så når den årlige ydelse var 4139,31 kr., var restgælden 0 kr. efter 3 år. Hvor stor ydelsen skal være, for at det passer, kan beregnes ved hjælp af formlen for annuitets-lån som er hvor r y G 1 (1 r) n hvor p 100 G = hovedstolen, dvs. det lånte beløb (start-gælden) p r = rentefoden, dvs. r = hvor p er renteprocenten 100 n = antal terminsydelser y = terminsydelsen Procent og rente Karsten Juul
20 8. Indeks-tal 8.1 Hvad er indeks-tal? Tabellen viser udviklingen i antal indbyggere. År Antal Udviklingen kan også vises med indeks-tal. Indeks-tal fremkommer sådan: For et år sætter man indeks-tallet til 100. For de andre år skal indeks-tallet være sådan at indeks-tallene stiger med samme procent som de rigtige tal. Det år hvor indeks-tallet er 100, kaldes basis-år. Hvis 2014 er basis-år, bliver indeks-tallene sådan: År Indekstal 103, ,4 100,6 106,7 8.2 Udregning af indeks-tal Opgave År : Rigtige tal : Indeks-tal : ,1 152,7 Bestem indeks-tal for Udregning i = indekstal for 2015 Ud fra søjlerne fra 2014 og 2015 kan vi skrive følgende ligning: i 100 i i 117, 485 For 2015 er indeks-tal lig 117,5 Vi kunne have brugt søjlen fra 2016 i stedet for søjlen fra Det skal blot være en søjle hvor vi kender begge tallene. Ligningen må gerne løses med solve. Procent og rente Karsten Juul
21 8.3 Udregning af det rigtige tal Opgave År : Rigtige tal : Indeks-tal : ,1 152,7 Bestem det rigtige tal for Udregning r = det rigtige tal for 2017 Ud fra søjlerne fra 2016 og 2017 kan vi skrive følgende ligning: r 125,1 152, ,7 r 125, ,8 r For 2017 er det rigtige tal lig Vi kunne have brugt søjlen fra 2014 i stedet for søjlen fra Det skal blot være en søjle hvor vi kender begge tallene. Ligningen må gerne løses med solve. Procent og rente Karsten Juul
22
23
24 A annuitets-lån annuitets-lån, formel annuitets-opsparing annuitets-opsparing, formel B begyndelsesværdi... 4 G gennemsnitlig procent gennemsnitlig procent ud fra model gennemsnitlig procent ud fra to tal I indeks-tal... 18, 19 K kapitalformlen... 6 kapitalformlen, K ukendt... 6 kapitalformlen, K 0 ukendt... 7 kapitalformlen, n ukendt... 7 kapitalformlen, oplæg... 5 kapitalformlen, p ukendt... 8 P procent, oplæg... 1 procent, udregn... 2 procent-fald... 3 procent-stigning... 3 procentvis fald procentvis stigning procentvis ændring procent-ændring... 2 R rentes rente... 9 S slutværdi... 4 V vækstrate Å årlig procentvis stigning... 12
Rentesregning Karsten Juul
Rentesregning 2018 Karsten Juul Procent-ændring 1. Formler til ogaver med rocent-ændring...1 2. Bestem rocent-ændring...1 3. Bestem begyndelsesværdi...2 4. Bestem slutværdi...2 Kaitalformlen 5. Olæg til
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereProcent- og rentesregning
Procent- og rentesregning Indhold Procent... 1 Renteformlen, fremskrivningsfaktor, rentefod og vækstrate... 1 Forklaring af ordet fremskrivningsfaktor... 2 Beregning af K 0... 2 Beregning af r og gennemsnitlig
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C RENTESREGNING hvor a INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Introduktion... side 1 Renters rente på 4 måder... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2c Anvendelse af kapitalfremskrivningsformlen
Læs merebrikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt
brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne
Læs mere1, c. 52% af er ca , så der skulle bortskaffes m 3 moræneler.
Kapitel 3 Øvelse 3.1 b. Vi dividerer arealet af tre sten på,336 m 2 op i det samlede areal på tre for at få det samlede antal sten. Dette giver 8 1,4 1 6 1,16 1 eller 14 millioner mursten. m 2 og ganger
Læs merepenge, rente og valuta
brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mereKapital- og rentesregning
Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken
Læs mereRente, lån og opsparing
Rente, lån og opsparing Simpel rente og sammensat rente... 107 Nogle vigtige begreber omkring lån og opsparing... 109 Serielån... 110 Annuitetslån... 111 Opsparing... 115 Rente, lån og opsparing Side 106
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs merepenge, rente og valuta
brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 2 ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mereRentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu
Rentesregning Vi skal kigge på hvordan en lille rente kan have stor betydning på den samlede gæld. Vi skal kigge på lånetyper og opsparings samt gældsformlerne. Version 2.1 Sct. Knud Henrik S. Hansen Dine
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereKort kan man sige: ydelse = rente + afdrag
LÅN 1q Begreber i forbindelse med lån En stor del af forbruget i det danske samfund finansieres ved hjælp af lån. Mange af os låner penge når vi skal købe større forbrugsgoder, såsom biler. Lån er imidlertid
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereRenter og annuiteter. Version april Mike Vandal Auerbach
Renter og annuiteter Version 1.1 5. april 2019 G n Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Renter og annuiteter Version 1.1, 2019 Disse noter er skrevet til undervisning i matematik på stx A- og B-niveau
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereOpgave 1 - Rentesregning. Opgave a)
Matematik C, HF 7. december 2016 Løses af www.matematikhfsvar.page.tl NB: Når du læser løsningerne, så satser vi på du selv sidder med sættet. Figurer mv. bliver ikke indsat. Løsningerne nedenfor er løst
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereMatematik c - eksamen
Eksamensnummer: 101364 - Fjernkursist side 1 af 13 Matematik c - eksamen Opgave 1) a) Jeg får af vide, at et par har vundet i Lotto og ønsker at sætte 100.000 kr. ind på en opsparingskonto. I Bank A kan
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs merepenge, rente og valuta
brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, F+E+D ISBN: 978-87-92488-14-5 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk
Læs mereH Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E
H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................
Læs merepenge,rente og valuta
brikkerne til regning & matematik penge,rente og valuta trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta, trin 1 ISBN: 978-87-92488-13-8 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereLøsninger til matematik C december 2015 Februar 2017
a) Vi aflæser opgavebeskrivelsen og ser, at vi kender r = 2%, K 0 = 30000 samt n = 5, så vi anvender renteformlen. Vi skal finde ud af, hvad der står efter 5 år på kontoen.: K 5 = 30000 (1 + 0.02) 5 =
Læs mereUndervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Sommer Uddannelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Horsens HF og VUC Hf Matematik C Laila Knudsen
Læs merepenge, rente og valuta
brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik penge, rente og valuta D ISBN: 978-87-92488-14-5 1. udgave som E-bog til tablets 2012 by
Læs merePenge og økonomi - Facitliste
Penge og økonomi - Facitliste En del opgaver, undersøgelser og aktiviteter er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. I de tilfælde anføres
Læs mereSupplerende opgaver til TRIP s matematiske GRUNDBOG. Forlaget TRIP. Opgaverne må frit benyttes i undervisningen.
37-43. Side 1 af 8 Eksponentiel udvikling ( 37-43) Opgaverne med svar starter på side 4, og deres numre har et s efter nummeret. Deres nummerering starter forfra. Svarene står fra side 7 med et s foran
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik
Læs mereBogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul
Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært
Læs mereSimpel rente. Matematik 3 Forår 2012 Emne: Simpel rente og sammensat rente. Definition: Simpel rente er rente der er begrænset af én termin.
Simpel rente Definition: Simpel rente er rente der er begrænset af én termin. Rente afhænger af tre ting: 1) Kapitalen K 2) Rentefoden p 3) Antal dage d Ovenstående hænger sammen i formlen for simpel rente:
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj, 2017 Kolding
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereDeskriptiv statistik for matc i stx og hf
Deskriptiv statistik for matc i stx og hf 75 50 25 2019 Karsten Juul Deskriptiv statistik for matc i stx og hf Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereDifferentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P
Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene
Læs mereFinans applikationen. Tast O og vælg Finance i listen over Flash-applikationer:
12 Finans applikationen Tast O og vælg Finance i listen over Flash-applikationer: Det sidste skærmbillede viser de finansielle variabler, Finansapplikationen benytter sig af, og hvilke værdier de aktuelt
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mereOpstilling af model ved hjælp af differentialkvotient
Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der
Læs mereDeskriptiv statistik for hf-matc
Deskriptiv statistik for hf-matc 75 50 25 2018 Karsten Juul Deskriptiv statistik for hf-matc Hvad er deskriptiv statistik? 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?... 1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat C
Læs mereUndersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c.
Undersøge funktion ved hjælp af graf. For hf-mat-c. 2018 Karsten Juul Bestemme x og y 1. Bestemme x eller y...1 Andengradspolynomium 2. Forskrift for andengradspolynomium...2 3. Graf for andengradspolynomium...2
Læs mereSimpel rente, sammensat rente, opsparing, afbetaling, løn og skat
Analyse af kapitalformlen Vi kigger nu på kapitalformlen igen: Kapitalformel: K n = K * (1+x) n K n = Sluttal (slutkapital) K = Starttal (startkapital) x = Vækstprocent (rentesats) n = Antal vækstperioder
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Holstebro-Lemvig-Struer Hf Matematik
Læs mereRENTES REGNING MED REGNEARK KUGLE
RÆSONNEMENT 1BEVIS F I N N H. K R I S T I A N S E & N 4 2 5 RENTES REGNING MED REGNEARK KUGLE LANDMÅLING SIMULA G Y L D E N D A L 3 MÅLSCORE I HÅN Faglige mål: Anvende it-værktøjer til løsning af givne
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med
Læs mereSandsynlighed. for matc i stx og hf Karsten Juul
Sandsynlighed for matc i stx og hf 209 Karsten Juul . Udfald Vi drejer den gule skive om dens centrum og ser hvilket af de fem felter der standser ud for den røde pil. Da skiven sidst blev drejet, var
Læs mereMiniguide: Sådan bruger du selvbetjeningsløsningen www.borger.dk/su-laan Denne guide kan du bruge, når du er i gang med at afvikle på dit SU-lån
Miniguide: Sådan bruger du selvbetjeningsløsningen www.borger.dk/su-laan Denne guide kan du bruge, når du er i gang med at afvikle på dit SU-lån Hvorfor denne guide?... 2 Log in på selvbetjeningsløsningen...
Læs mereIb Michelsen Vejledende løsning HF C 121 1. Et beløb forrentes i en bank med rentesatsen 3,5 % i 5 år og derefter er indeståendet kr. 59.384,32 kr.
Ib Michelsen Vejledende løsning HF C 121 1 Opgave 1 Et beløb forrentes i en bank med rentesatsen 3,5 % i 5 år og derefter er indeståendet kr. 59.384,32 kr. Beregning af startkapital Da der er tale om kapitalfremskrivning,
Læs mereMatematik Grundforløbet
Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs mere- 1 - Materialet vil med fordel kunne indgå i et tværfagligt samarbejde med samfundsfag.
- 1 - Låntyper I bogens del 2 kan du læse om Procent og rente (s. 41-66). Vi vil i materialet her gå lidt videre til mere komplicerede renteberegninger ved forskellige låntyper. Stoffet er et muligt supplement
Læs mereExcel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008
Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2014/15
Læs mereElevtekst til programmet Afbetal. Indhold af elevteksten
Elevtekst til programmet Afbetal Indhold af elevteksten 1. Køb på afbetaling 2. Rentefoden beregnes eller ydelsen beregnes 3. To andre beregninger 4. Pas på gebyrerne! 5. Opgaver 1. Køb på afbetaling Når
Læs mereMatematik for C niveau
Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...
Læs mereMatematik C 29. maj 2017
Opgave 1a) Matematik C 29. maj 2017 Eda kadriye Ozgur Vi får oplyst at et par har vundet i lotto og indsætter 100 000kr ind på en opsparingskonto i banken A kan de få en fast årlig rente på 1,25% Vi skal
Læs mereAnden del af kapitlet fokuserer på rentebegrebet. I læseplanen fra Fælles Mål 2009 står der direkte, at eleverne skal arbejde med
Af læseplanen for 7.-9. klassetrin fremgår det, at beskrivelse af lineære og ikke-lineære sammenhænge indgår i arbejdet med funktionsbegrebet. Det er ligeledes fremhævet, at arbejdet med funktionsbegrebet
Læs mereRentesregning. Procent- og rentesregning. Rentesregning. Opsparingsannuitet
Rentesregning 1 Forklar begrebet fremskrivningsfaktor. Forklar kapitalfremskrivningsformlen (renteformlen), og opstil/omskriv denne så du kan bestemme 1 af størrelserne, ud fra de 3 andre. Giv eksempler,
Læs mereKapitel 5 Renter og potenser
Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Dec-Jan 2017 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe MATEMATIK C Peter Ove Jørgensen
Læs mereSPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014
SPØRGSMÅL TIL MUNDTLIG EKSAMEN, MAT C sommer2014 1. Procent og rente Forklar hvordan man udregner procentvis ændringer i forskellige tidsrum og giv et konkret eksempel herpå. Forklar gerne med et eksempel,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2012 Institution Vejen Handelsskole og Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold hf Matematik C Dorte Christoffersen
Læs mereMiniguide: Sådan bruger du selvbetjeningsløsningen www.borger.dk/su-laan
Miniguide: Sådan bruger du selvbetjeningsløsningen www.borger.dk/su-laan Denne guide kan du bruge enten når du er under uddannelse, eller når du afventer at modtage din tilbagebetalingsplan Hvorfor denne
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC Hf Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF
Undervisningsbeskrivelse for: hf15b 0813 Matematik C, 2HF Fag: Matematik C, 2HF Niveau: C Institution: HF og VUC Fredericia (607247) Hold: 1. hel hf B, 1. år af 2 Termin: Juni 2014 Uddannelse: HF Lærer(e):
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs merePENGE OG ØKONOMI. Dette kapitel sætter fokus på renter, opsparing og lån.
INTRO Dette kapitel sætter fokus på renter, opsparing og lån. Kapitlets første opslag har løn og skat som omdrejningspunkt, og eleverne opfordres bl.a. til at undersøge opbygningen af deres egne eller
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf
Læs merevækst trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik vækst trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik vækst, trin 2 ISBN: 978-87-92488-05-3 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun tilladt
Læs mereKapitel 7 Matematiske vækstmodeller
Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb) Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau
Læs mereLærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen
Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I
Læs mereRentesregning: Lektion A2. Intern rente, Flere rentetilskrivninger, Excel. Introduktion. Peter Ove Christensen. Forår 2012
Rentesregning: Lektion A2, Flere rentetilskrivninger, Excel Peter Ove Christensen Forår 2012 1 / 26 Definition Hvilken rentesats giver vores betalingsrække en ønsket værdi? Denne rentesats kaldes for den
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2018 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat C
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2017 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik C Anne Birte
Læs mereNyt lån nr. 1.1 Nuværende lån Forskel/total Låntype Kontantlån Kontantlån Hovedstol DKK DKK Afdragsform Annuitet Annuitet
Oversigt over lån 23. februar 2015 Kunde A/B SANDERS ARKADE Ejendom Ringstedgade 27 B, 4700 Næstved Kontaktperson Casper Rømer Elin, tlf. 45 12 67 10 Side 1 af 6 Pantnummer 1183.2694 Finansieringseksempel
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December-Januar 18/19 Institution Herning Hf og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C
Læs mereGrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul
GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2011 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2019 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Knud Søgaard
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 17/18 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik C Mette
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Kristian Møller
Læs mereFP10. 1 Olivers økonomi 2 Hvor mange arbejder som. 3 Oliver og Albert bygger trapper 4 Oliver bygger en terrasse 5 Talkryds. tømrere?
FP10 10.-klasseprøven Matematik December 2015 1 Olivers økonomi 2 Hvor mange arbejder som tømrere? 3 Oliver og Albert bygger trapper 4 Oliver bygger en terrasse 5 Talkryds 1 Olivers økonomi Oliver er i
Læs mereNutidsværdi af samlede ydelser års ydelse Før skat Efter skat
Oversigt over lån 17. marts 2016 Kunde BOLIGSELSKABET FOR HØNG OG OMEGN Ejendom Glentevej 2-88, 4270 Høng Kontaktperson Ole Rahbek Holm, tlf. 55 85 02 11 Side 1 af 6 Pantnummer 1114.5063 Finansieringseksempel
Læs mere