Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:"

Transkript

1 Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne: OP a a a 3 Komposanterne langs de tre akser. OP a i + a j + a k 3 Side af 49

2 Længden OP Tegning z P(a,a,a3) OP a a x a a y Længden OP OP H + a 3 OP a + a + a 3 OP a + a + a 3 3 Skalar produkt. Vi har a a a a 3 3 Side af 49

3 . Skalar produkt (version ) a a a a 3 3 a a + a + a Skalar produkt (version ) a a cos( v) 4. Grafisk fortolkning a 3 Eksempel VI har 5 a Hvad er vinkel v? 8 Side 3 af 49

4 - Længderne a ( ) ( ) Skalar produkt 5 a a a 94 ( ) ( ) a a 94 4 Vinkel v cos ( v) v π acos v 40.deg Side 4 af 49

5 a cos v a cos cos ( v) ( v) v 40, ( ) a a Ortogonale vektorer Der gælder a a 0 da cos( 90 ) 0 Side 5 af 49

6 5 Ligning for planet. Tegning a n c P0 P (,, ) P x y z P( x, y, z). Vi har a. Normal vektor Normal vektor: a n c I planet.. Et fast punkt Et fast punkt P x, y, z ( ) I planet. Side 6 af 49

7 c. Et vilkårligt punkt Punkt P x, y, z ( ) I planet. 3. Snedig analyse Da n er vinkelret på planet og P0 P ligger i planet: n P P 0 0 n P P 0 a x x0 y y0 0 c z z 0 ( ) ( ) ( ) a x x + y y + c z z a x + y + c z a x0 y0 c z0 0 a x + y + c z + d 0 a, og c er koordinaterne for normalvektoren. d Side 7 af 49

8 6 Eksempel. Vi har P 0 ( 4,5, 6) ligger i plan a, der har normalvektoren: 5 n 8 0 Ligning for plan d.. Ligning for plan a ( ) ( ) ( ) a x x + y y + c z z ( x ) ( y ) ( z ) x + 8y 0z x + 8y 0z d 7 Eksempel 3. Vi har Plan a har ligningen: x + 5y 9z + 0 Vi har et punkt med ligningen: Q 0,, ( ) Som ligger i plan, der er parallelt med plan a. Bestem ligningen for plan. Side 8 af 49

9 . Ligning for plan a. Forklaring Eftersom de to planer er parallelle er normalvektoren den samme. a n 5 c 9 Vi kender punkt Q, så vi har faktisk ligningen.. Ligningen ( ) ( ) ( ) a x x + y y + c z z ( x ) ( y ) ( z ) x + 5 y 9 z x + 5 y 9 z + 33 Side 9 af 49

10 8 Krydsprodukt. Vi har c a x 3 a a a a 3. Krydsprodukt a. Ortogonalitet Der gælder: c a c. Længden c a v sin ( ) Side 0 af 49

11 c. Grafisk fortolkning Arealet af a parallelogrammet er givet ved: A c a v sin ( ) 3. Krydsprodukt Hvis a a og a a 3 3 Så har krydsproduktet c Koordinaterne: c c c c 3 Hvor: a c a c a a a c3 a Side af 49

12 9 Tagflade eksempel. De tre hjørnepunkter A B C ( 3, 4,0) ( 5,, 7) ( 7,8,). De to vektorer 5 3 AB AC De tre koordinater c a a c 8 3 c a a c 6 0 c 3 a a 0 c Side af 49

13 4. Normalvektoren Tagfladen har altså normalvektoren: 8 n c Et fast punkt Vi vælger et fast punkt: P 0 A(3,4,0) 6. Ligning for plan ( ) ( ) ( ) a x x + y y + c z z ( x ) ( y ) ( z ) x + 6y + 88 z x + 6y + 88z Tagets areal A c A c + c + c 3 A A 95,937m Side 3 af 49

14 8. Mathcad Tal vi kender 3 OA 4 OB OC 0 De to vektorer AB OB OA AB AC OC OA AC De tre koordinater n AB AC n Ligningen for planet Vi vælger punktet OA som det faste punkt, og indsætter i ligningen. 8 ( x 3) + 6 ( y 4) + 88 ( z 0) 0 simplify 8 x y + 88 z 0 Tagets areal c 8 c 6 c A c + c + c 3 A Side 4 af 49

15 0 Skæringsvinkel mellem to planer. Tegning n n α 4x + 3y z β x + y + 3z 0. Vi indser Vinklen v er givet ved vinklen mellem de to normalvektorer: n og n 3. Vektor n 4 n 3 n + + n 6 ( ) 4 3 Side 5 af 49

16 4. Vektor n n 3 n n ( ) Skalarprodukt 4 n n 3 3 n n Eller ( ) ( ) n 3 n 4 n n Vinkel v cos ( v) n n 6 4 v acos 364 n n 6 4 v 4.79deg Side 6 af 49

17 Afstand fra punkt til plan. Tegning a n c P0 P QP P0 Q. Planens ligning Hvis punkt P ligger i plan alpha: n P P 0 n P P 0 0 a x + y + c z + d 0 Side 7 af 49

18 3. Snedig analyse n P P n P Q + QP (, ) ( ) n P0 P n P0 Q + n QP n P P n QP 0 ( ) 0 n P0 P n QP cos v hvor v 80 DIST dist n P0 P n cos ( v) a x + y + c z + d DIST a + + c ± DIST P d ( ) a x + y + c z + d a + + c Side 8 af 49

19 Eksempel 5. Tegning P ( 0, 5,30) DIST(P,d)? P ( 0,5,30) d 3x + 4y + 5z Vinkelret afstand (, ) DIST P d (, ) DIST P d ( ) DIST P, d 44, 69 a x + y + c z + d a + + c Side 9 af 49

20 3 Linjer i rummet. Tegning r OP 0 OP. Parameterfremstilling Linjer i rummet eskrives ved vektorfunktionen: OP OP + t r t 0 Hvor: r er retningsvektoren T er parameteren (Tiden målt i sek) OP 0 er stedvektoren til det faste punkt P0 OP t er stedvektoren til det variale punkt p, der kører langs med linjen l, når t varierer. 3. D Det er helt analogt i D Side 0 af 49

21 4 Eksempel 6. Vi har Der ligger to punkter A, 4,5 ( ) ( 3, 7, ) B På linjen l. Retningsvektor 3 5 r AB Den faste vektor OP 0 Vi vælger OP0 OA Parameterfremstilling OP OP + t r t 0 x 5 y 4 + t 3 z 5 7 x 5 t y t z 5 7 t Side af 49

22 5. Skæring med x-y-plan a. Tegning. Beregning af t z t 0 5 t 7 c. Beregning af skæringspunkt p x 5 83 y z Side af 49

23 5 Skæring mellem linje og plan. Tegning x 5 l y + t 9 z 3 8 t R Plan α : x + 4y + 6z 5 0 Bestem skæringspunktet P.. Beregning af t x + 4y + 6z 5 0 ( t) ( t) ( t) t t t t t 94 Side 3 af 49

24 3. Beregning af P x 5 3 y 9 94 z 3 8 x 94 9 y 94 z Skæringsvinkel mellem linje og plan. Tegning ϕ? r Plan d: 4x + 3y z Linje l: x y 3 + t z 4 3 Side 4 af 49

25 . Normal vektor 4 n 3 n + + n 6 ( ) Retningsvektor r 3 r + + ( ) Skalar produkt 4 n r 3 3 n r Vinkel v cos cos ( v) ( v) v 83,98 n r n r ( ) ( ) 6 4 Side 5 af 49

26 6. Skæringsvinklen ϕ 90 v 6, 0 7 Afstand fra punkt til linje. Tegning P0 P r Linje l: OP OP0 + t r. Vi indser sin ( v) DIST mod sin P P hyp 0 3. Vi indser endvidere r P P r P P v 0 0 sin ( ) 4. Snedig sustitution r P P r P P 0 0 DIST P P 0 (, ) DIST P l r P0 P r Side 6 af 49

27 8 Eksempel 7. Prolemstilling Linje l: hvor t R x 3 t l : y + t z 8 t PunktP DIST P l ( 3,7,) (, )?. Retningsvektor 3 r r ( ) ( ) 3. Vektor P o P 3 P0 P 7 5 ( 8) 9 4. Kryds produkt c r P P c 0 c 3 hvor c a3 3 a ( ) 5 9 c Side 7 af 49

28 c c 3 3 a c c a 9 ( ) ( ) a 3 a ( ) Længden af kryds produktet r P P r P P 0 6. Konklusion ( ) (, ) DIST P l r P0 P r 0 DIST ( P, l) 0, 05 Side 8 af 49

29 9 To linjer i rummet. De 4 muligheder To linjer i rummet kan være: Sammenfaldende Parallelle Skærende Vindskæve 0 Eksempel 8. To linjer x l : y + t z 4 x n : y 3 + t z 5. Vinklen mellem retningsvektorerne a. Vektor r r r + + ( ). Vektor r 6 r r ( ) + ( ) + 3 Side 9 af 49

30 c. Skalarprodukt r r r r d. Vinkel v cos ( v) ( ) ( ) ( ) r r 7 r r 6 3 V 6,3 e. Vi ved nu Linjerne er enten skærende eller vindskæve. 3. To ligninger for t og s + t s + t 3 s 3 s s + t 3 t 4. Kontrol for z l : z 4 t 4 n : z 5 + s Side 30 af 49

31 5. Konklusion Da z-koordinaterne er forskellige, er linjerne vindskæve. Eksempel 9 Vektorer r 5 r Længerne r 77 r 3 77 Skalar produkt r r 3 Vinklen cos( v) r r r r r v acos r r r v 0deg Vi ved Linjerne er enten paralelle eller sammenfaldende. Kontrol af det faste punkt på linje l a. Vi har P 0 (,,3). Kontrol for x + 0 s solve, s 0 Side 3 af 49

32 c. Kontrol for y + 5 s solve, s 5 d. Kontrol af z + 8 s 3 solve, s 8 e. Konklusion Da de 3 værdier for s er forskellige, ligger P 0 ikke på linje n. De to linjer er derfor parallelle. Side 3 af 49

33 Afstand mellem vindskæve linjer. Tegning r Linje l P dist PP Dist Q QP Q n PQ P r Plan a Linje l. Parameterfremstillingerne l : OP OP + t r l : OP OP + s r 3. Plan a Plan α indeholder linjen l, og planen er parallel med linjen l. Side 33 af 49

34 4. Normalvektor for plan a r er parallel med plan a. r er parallel med plan a. Altså har plan a en normalvektor n givet ved: n r r 5. Vi indser Dist (l,l ) Dist(P,a) Da det hele er parallelt. 6. Snedig analysen n PP n PQ + QP (, ) ( ) n PP n PQ + n QP n PP n QP 0 n P P n QP cos v v 80 eller 0 n PP n QP ± QP n PP n ± DIST l l ( ) ( ) n PP n ( ) Side 34 af 49

35 3 Skæringslinjen mellem to planer. Tegning l:? α : 3x y + z 5 0 β : 4x + y + 3z 8 0. Snedig analyse a. Vi har 3x y + z 5 0 4x + y + 3z 8 0. Sustitution x t Side 35 af 49

36 c. Vi har nu 3t y + z 5 0 4t + y + 3z 8 0 6t y + 4z 0 0 addition 4t + y + 3z 8 0 0t + z 8 0 z 8 t 0 d. Ligning for y 3t y + z 5 0 y 3t + z 5 ( ) y 3t + 8 t 0 5 y 3t t 5 y 3 7 t 3. Konklusion Skæringslinjen har altså parameterfremstillingen: x 0 l : y 3 t 7 + t R z 8 0 Side 36 af 49

37 4 Eksempel 0. Tegning l:? α : x + y + z 5 0 β :3x + 4y + 5z 6 0. Snedig analyse a. Vi har x + y + z 5 0 3x + 4y + 5z 6 0. Sustitution x t x 0 + t Side 37 af 49

38 c. Vi har nu x + y + z 5 0 3x + 4y + 5z 6 0 4x + 4y + 4z 0 0 sutraktion 3x + 4y + 5z 6 0 t z 4 0 z 4 + t d. Ligning for y t + y + z 5 0 y t z + 5 ( ) y t 4 + t + 5 y 9 t 3. Konklusion Skæringslinjen har altså parameterfremstillingen: x 0 l : y 9 + t t R z 4 Side 38 af 49

39 5 Kuglens ligning. Tegning. Vi har Centrum: C(a,,c) Radius r Punnktet på kuglen P(x,y,z) Side 39 af 49

40 3. Vi indser P ligger på kuglen: CP r x y z r x + y + z r + + ( ) ( ) ( ) x a + y + z c r Kuglens ligning Side 40 af 49

41 6 Tangentplan til kuglen. Tegning C P CP a n CP Centrum C: (,,3). Tangent punkt på kuglen P:(4,5,6). Fast punkt i plan a ( 4,5,6 ) (,, ) P x y z Normalvektor til plan a 4 3 a n CP c Side 4 af 49

42 4. Ligning for tangent plan a ( ) ( ) ( ) a x x + y y + c z z ( x ) ( y ) ( z ) x + 3y + 3z x + 3y + 3z Skæring mellem kugle og linje. Tegning P 0 P. Vi har Kuglen: ( x ) ( y ) ( ) Linje l: x y 3 + t z 4 5 Side 4 af 49

43 3. Ligning for t Vi sustituerer: ( t ) ( t ) ( t ) ( t) ( t) ( t) t 4t + + t t t + 8t 7 30t + 8t Vi indser D > 0 To skæringspunker D 0 Et skæringspunkt D < 0 Ingen skæring 5. Diskriminaten Du 4 D B A C D ( ) D 944 > 0 6. Beregning af t. Tal deffinitioner A : 30 B : 8 C : 4. Generel formel for rødderne x B + D B : x A : A 3. Koordinat for rødderne D x 0.77 x.038 Side 43 af 49

44 7. Skæringspunkterne x 4, 076 P : y 3 + (, 038),96 IND z 4 5,90 x 0, 458 P : y 3 0, 77 3, 77 + UD z 4 5 7,855 8 Parameterfremstilling for plan. Tegning OP 0. Vi har P: Fast punkt i plan a p : Vektor i plan a q : Vektor i plan a 3. Parameter fremstilling OP OP0 + t p + S q vektor i plan a Hvor: S*t: To uafhængige parametre Side 44 af 49

45 9 Projektion af vektor på vektor. Tegning a c. Vi har a) c ) a a? a x 3. Snedig analyse a a + c a x + c a x + c ( ) a x + + c ( ) a x + 0 a x Side 45 af 49

46 4. Konklusion Vektor a s projektion på vektor, er altså givet ved a a Helt analogt til projektion i D. 30 Projektion af vektor på plan. Tegning n a c a α Plan a. Vi har a) c n c x n ) a n Side 46 af 49

47 3. Snedig analyse a a + c α a a + x n α a n a + x n n ( α ) a n a n + x n n α a n 0 + x n a n x n ( ) 4. Sammenfatning a a + c α a a c α a a x n α a n aα a n n Side 47 af 49

48 3 Eksempel. Ligning for plan Plan a: 3x 4y + 7z 0 0 a 4 6. Normal vektor 3 n 4 7 n n n ( ) Skalar produkt 3 a n a n a n 3 ( ) Side 48 af 49

49 4. Sammenfatning a n aα a n n 3 3 aα aα aα ,703 aα 5,730,973 ( ) Side 49 af 49

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

ALLAN BOHNSTEDT BERNT HANSEN MICHAEL JENSEN KLAUS MARTHINUS MAT A

ALLAN BOHNSTEDT BERNT HANSEN MICHAEL JENSEN KLAUS MARTHINUS MAT A ALLAN BOHNSTEDT BERNT HANSEN MICHAEL JENSEN KLAUS MARTHINUS MAT A ht MAT A ht 008-009 Allan Bohnstedt, Bernt Hansen, Michael Jensen, Klaus Marthinus og Systime A/S Kopiering og anden gengivelse af dette

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-dec. 2009 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Michael

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83

RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83 RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-8 og TI-83 Af Frans Morville. Programmet har menuer i to niveauer organiseret efter de oplysninger, der opgivet (kendte) og som skal bruges i beregninger. Overskrifterne

Læs mere

Vektorregning for 11. årgang.

Vektorregning for 11. årgang. Vektorregning for 11. årgang. 1. Vektorer side 1-2 2. Linjer side 2 -. Planer side - 7. Skæring mellem linje og plan side 8-9 A1: Om at tegne rumlige figuer side 0-1 A2: Løsning af ligningssystemer side

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

INTRODUKTION TIL VEKTORER

INTRODUKTION TIL VEKTORER INTRODUKTION TIL VEKTORER x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse HVORFOR INDFØRES VEKTORER?... 3 VEKTORER... 5 Vektoraddition... 7 Kræfternes parallelogram... 9 Multiplikation af vektor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2015 Institution Kolding HF og VUC, Kolding Åpark 16, 6000 Kolding Uddannelse Flexhold Matematik

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

XII Vektorer i planen

XII Vektorer i planen Side 1 0101 Afsæt i et koordinatsystem vinklerne 135º og 20º og deres retningspunkter. 0102 Tegn i et koordinatsystem 4 forskellige repræsentanter for vektoren v = 5 3. 0103 Afsæt vektorerne p = 2, q =

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin august 2015 maj 2016 Institution Rybners Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX A Steffen Podlech Hold 2.E Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel 2 Titel

Læs mere

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning.

Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Flemmings Maplekursus 1. Løsning af ligninger a) Ligninger med variabel og kun en løsning. Ligningen løses 10 3 Hvis vi ønsker løsningen udtrykt som en decimalbrøk i stedet: 3.333333333 Løsningen 3 er

Læs mere

Maple 17 A-Niveau Copyright Knud Nissen 2013

Maple 17 A-Niveau Copyright Knud Nissen 2013 Maple 17 A-Niveau Copyright Knud Nissen 2013 1 2D-vektorer i Maple... 1 1.1 Gympakken... 1 1.2 Indtastning af vektorer... 1 1.3 Regning med vektorer... 3 cirkulær reference - kun hvis du ikke bruger pile...

Læs mere

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating

Læs mere

7. Rumgeometri med Derive

7. Rumgeometri med Derive 7. Rumgeometri med Derive Kapitel 7: Rumgeometri med Derive Det er afgjort tricket at frembringe gode 3-dimensionalle illustrationer på en PCskærm, men med Derive V er der gjort et rigtigt hæderligt forsøg

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2011 Htx Sukkertoppen,

Læs mere

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015

DELPRØVE 1. Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1 Maj 2008,2009,2010,2012 og 2015 DELPRØVE 1, maj 2008 Følgende opgaver i delprøve 1 er løst i hånden, hvorefter det er skrevet ind i Word, så det er lettere at læse og evt. kommentere på udregningerne.

Læs mere

Matematik - September 2001 Afleveret d. 27/4-2006

Matematik - September 2001 Afleveret d. 27/4-2006 Matematik - September Afleveret. 7/ - 6 Opgave For at lave en paremeterfremstilling for en ret linje, så skal jeg bruge et punkt på linjen, og en retningsvektor. Punktet kener jeg a jeg får opgivet to

Læs mere

a) angiv en parameterfremstilling for den plan, der indeholder landingsbanen ikke som del af besvarelsen

a) angiv en parameterfremstilling for den plan, der indeholder landingsbanen ikke som del af besvarelsen Opgave 1 Lufthavnen Airtowns landingsbane kan tilnærmelsesvist beskrives som (del af) en plan. Med et passende indlejret koordinatsystem (hvor koordinatværdierne kan tolkes som målt i km, -planen er den

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2010 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-Jun. 2011-2012 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk

Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

2. Funktioner af to variable

2. Funktioner af to variable . Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik Aa (et årig enkeltfag)

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Projekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser

Projekt 6.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Projekt 65 Ellipser brændpunkter brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser Ellipsens ligning undersgte vi kapitel i bog B I det flgende skal vi undersge ellipser som banekurver og vise hvorledes

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011 Matematik A Studentereksamen stx113-mat/a-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2018 Institution Hansenberg Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Thomas Voergaard

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Matematik skript. Jan Scholtyßek. 2009, 1. udgave. 1 Indledning 2. 2 Emnerne til studentereksamen 3

Matematik skript. Jan Scholtyßek. 2009, 1. udgave. 1 Indledning 2. 2 Emnerne til studentereksamen 3 Matematik skript Jan Scholtyßek 2009, 1. udgave Indhold 1 Indledning 2 2 Emnerne til studentereksamen 3 3 Redskaber 4 3.1 Funktionsanalyse.................................. 4 3.1.1 Definitionsmængde.............................

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform b GUX151 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform b GUX151 - MAA GUX Matematik A-Niveau Fredag den 9. maj 015 Kl. 9.00-14.00 Prøveform b GUX151 - MAA 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Matematik A studentereksamen

Matematik A studentereksamen Xxxx Side 1 af 11 Opgave 7 Jeg aflæser af boksplottet for personbeskatningen i 2007 medianen til. Første og anden kvartil aflæser jeg til hhv. og. Den mindst observerede personbeskatning i år 2007 var

Læs mere

Maple A-Niveau Copyright Knud Nissen 2012

Maple A-Niveau Copyright Knud Nissen 2012 Maple A-Niveau Copyright Knud Nissen 2012 Maple A-Niveau Contents 1 2D-vektorer i Maple... 1 1.1 Gympakken... 1 1.2 Indtastning af vektorer... 1 1.3 Regning med vektorer... 3 cirkulær reference - kun hvis

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2010-juni 2013 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008 HHX082-MAA Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 6 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Avedøre-værket i rotation

Avedøre-værket i rotation Avedøre-værket i rotation Lavet af Frederik Hass, Andreas Lorentzen, Mikkel Karoli og Philip Roskilde Tekniske Gymnasium, Matematik-It projekt, klasse 3.4 Indledning I dette projekt vil vi ud nogle givne

Læs mere

Løsninger til Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 STX A-niveau (Rød bog)

Løsninger til Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2010 STX A-niveau (Rød bog) Løsninger til Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik STX A-niveau (Rød bog).: C(,-) r = Cirklens ligning er: y Koordinatsystemets andenakse har =, og det bruges til at finde

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette

Læs mere

Vejledning om besvarelse af skriftlige opgaver i matematik på htx. - med særlig henblik på anvendelse af IT.

Vejledning om besvarelse af skriftlige opgaver i matematik på htx. - med særlig henblik på anvendelse af IT. Vejledning om besvarelse af skriftlige opgaver i matematik på ht. - med særlig henblik på anvendelse af IT. Baggrund Ved anvendelse af diverse matematikprogrammer i forbindelse med de skriftlige prøver

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Stx Matematik A Angela

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for VF MAT A, 5. 6. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for VF MAT A, 5. 6. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for VF MAT A, 5. 6. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2014 Institution Teknisk Gymnasium - Skive Tekniske Skole

Læs mere

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da:

Opgave 1 10. Opgave 2 Andengradsligningen løses, idet. Opgave 3. 11 er en løsning til ligningen, da: 7. marts 0 FVU AVU HF X FAG : Matematik B ark nr. antal ark 8 Opgave 0 a b 5 a b 5 = b 3 er en løsning til ligningen, da: = 9 = 3 Opgave Andengradsligningen løses, idet a = b = 3 c = 4 d (diskriminanten)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 1.2. semester efterår 2013-forår 2014 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX

Læs mere

Navn: Klasse: HTx2A Opgaver: 434, 435, 437 & 444 Afleveringsdato: Uge 36:

Navn: Klasse: HTx2A Opgaver: 434, 435, 437 & 444 Afleveringsdato: Uge 36: Sæt 02 Vektorer 02 Navn: Klasse: HTx2A Opgaver: 434, 435, 437 & 444 Afleveringsdato: Uge 36: 04-09-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 100 min. = 1,66 timer Sæt 02 side

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere