Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
|
|
- Mads Kristoffersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses derfor med de metoder, vi kender fra integralregningen. I kapitel 3 om Integralregning, viste vi nogle teknikker til at beregne stamfunktioner til visse produkter. Dette kan vi nu udntte til at løse en større klasse af differentialligninger, der ikke falder ind under de forskellige tper af vækstmodeller. Det er differentialligninger, der kan skrives på formen: d hx ( ) g ( ), hvor hx () og g ( )begge er kontinuerte funktioner. En differentialligning, der kan skrives således, kaldes en separabel differentialligning, fordi vi kan separere (adskille) de to variable x og, dvs. vi kan dele højresiden af differentialligningen op i to udtrk, der ganges sammen, hvor det ene kun afhænger af x og det andet kun afhænger af. Eksempel: Separabel og ikke-separabel differentialligning Separable differentialligninger kan fx være af tpen: d x eller d x - hvor vi i det første kan opdele højresiden i h( x) x og g( ), og i det andet opdeler vi h( x) x - og g (), hvor hx () og g ( ) i begge tilfælde er ganget sammen. Kravet er, at vi kan separere de to variabeludtrk i hhv. x og, så vi i løsningsprocessen (ved at gange eller dividere) kan samle det udtrk, der afhænger af x, på den ene side, og det udtrk, der afhænger af, på den anden side af lighedstegnet. Differentialligning af tpen: d d x x + x eller e er ikke separable, fordi det er umuligt at dele højresiden af differentialligningen op i to udtrk, der ganges d sammen, hvor det ene kun afhænger af x, og det andet kun afhænger af. Ser vi derimod på e x +, så x er den separabel, fordi højresiden kan omskrives til e e. Det kan altså somme tider være lidt tricket, at gennemskue, om en differentialligning er separabel. Øvelse : Følgende differentialligninger er alle separable. Hvad svarer h og g til i hver af dem? a) d x ( + ) b) d c) d -4 x - 3 Vi vil først demonstrere løsningsmetoden ved at gennemgå et eksempel, og dernæst generalisere dette. Eksempel: Løsning af en differentialligning ved separation Bestem den løsningskurve til differentialligningen: d x L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf: info@lru.dk
2 hvis graf går gennem punktet (,). Før vi går i gang skaffer vi os overblik over differentialligningens løsningskurver med et uddrag af den grafiske repræsentation af differentialligningen med linjeelementer, hvor vi samtidigt plotter løsningskurven svarende til den oplste begndelsesbetingelse. Vi ser, at planen tdeligvis deles op lodret af linjen med ligningen x 3 og vandret af linjen 0. Idenfor hver af disse fire områder af planen forløber løsningskurverne forskelligt, og vi finder selvfølgelig den søgte løsning, hvor x og i det område, hvor x < 3 og > 0, men det er uklart, hvad definitionsmængden egentlig er. Vi gennemgår nu løsningen skridt for skridt, hvor det bliver tdeligt, hvilke antagelser man må gøre undervejs. Trin : Opdeling af højresiden i to udtrk Vi deler nu højresiden op i to udtrk, der ganges sammen, hvor det ene kun afhænger af x og den andet kun afhænger af, dvs. vi sætter hx ( ) og g() x - 3 Vi bestemmer derefter definitionsmængderne for h og g: Dm(h): Alle tal bortset fra tallet 3, hvilket giver den lodrette opdeling af planen med linjen x 3 Dm(g): Alle tal Vi ønsker, at samle erne på venstre side. Vi skal derfor dividere g ( )over på en anden side. Det kan vi kun gøre hvis g ( ) ¹ 0. Det er trivielt her, men det skal vi altid undersøge først: g ( ) 0 har løsningen 0 Trin : Er 0 en løsning? Før vi går videre undersøger vi nu ved indsættelse, om funktionen 0 er en løsning. Det ser vi let, at den er. Men vi ser også, at punktet (,) ikke ligger på grafen for denne løsningsfunktion. Foreløbig konklusion: 0 er løsninger til differentialligningen, men ikke den søgte løsning. Trin 3: Omskrivning ved separation Vi antager herefter, at funktionen er forskellig fra nulfunktion: ¹ 0, hvilket giver den vandrette opdeling af planen med linjen 0. Den løsning, vi søger, er en funktion f( x), der er differentiabel og dermed specielt kontinuert. Da dens graf skal gå gennem (,) findes der et helt interval I omkring x, hvor funktionen er forskellig fra 0. Vi regner nu videre indenfor dette interval (dvs. i området hvor x < 3 og > 0 ) og løser differentialligningen ved en række omskrivninger, hvor vi separerer de variable x og : 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf: info@lru.dk
3 x -3 Dividere g ( )over på venstre side: x - 3 ( f x ) fx ( ) Indsæt f( x) (*) x - 3 ( ( )) ( f x ) f x ( ) x -3 Bestem stamfunktion på begge sider (**) ( ( )) Overvej selv, at hvis (**) er opfldt, så er også (*) opfldt, dvs. (*) og (**) er ensbetdende. Vi løser nu integralerne. Ved løsningen tilføjes en konstant på begge sider. Vi kan samle disse to konstanter i en og samme konstant, som vi skriver på højre side af ligningen: Reducer højresiden: Da x < 3 er x - 3< 0, så vi må omskrive, så nævneren i integranden bliver positiv, så vi kan anvende ln: ln(3 ) 3 - x 3 x - x c Løsning af dette integral kan ske med en substitution ( t 3 - x, dt - ), men så forholdsvis simple integraler klarer vi ofte ved at prøve os frem ud fra vores viden i dette tilfælde om ln. Reducer venstresiden: Vi foretager substitutionen: ( f x ) d f x ( ) ( ) - Substituer: f( x) og d ( f ( x) ) ( ) - Overvej resultatet anvend fx, at. Konklusion: Ligningen (**) er nu blevet omformet til ligningen: - ln(3 - x ) + c hvor x < 3 og > 0. (***) Trin 4: Bestemmelse af konstanten samt forskriften for løsningsfunktionen Vi bestemmer nu konstanten c ved at indsætte punktet (,) : - ln(3 - ) + c - c, som vi indsætter i (***): - ln(3 - x ) - Vi kan nu isolere i den sidste ligning: - ln(3 - x ) Gang igennem med - Anvend brøkregel - ln(3 - x) Trin 5: Bestemmelse af definitionsmængden for løsningsfunktionen Vi mangler nu kun at bestemme definitionsmængden for funktionen. Løsningskurven skal ligge i området, hvor > 0, og heraf følger det, at: -ln(3 - x) > 0 > ln(3 -x) Flt over 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf: info@lru.dk
4 e ln(3 -x) > e Anvend, at e er voksende x > 3- e» 0,87 Anvend, at Trin 6: Endelig konklusion løsningfunktion med definitonsmængde Løsningen til differentialligningen er funktionen fx ( ) - ln(3 - x) med Dm( f ) ] 3 - e;3 [»] 0,87;3 [. x x e er den omvendte til ln På figuren ses løsningsfunktionens grafiske forløb i det orange afgrænsede område ]3- e;3[ ]0; [, hvor det klart fremgår, at grafen har en lodret asmptote i x 3- e, fordi vi har skaleret -aksen anderledes, så vi kan se mere af grafen. Det kan være svært umiddelbart at se, hvordan løsningskurven forløber i hele sin definitionsmængde, og det kan derfor være nødvendigt at fortage en nærmere analse af differentialligningen, som beskrevet ovenfor. Løsningskurve med lodret asmptote i x 3- e. Bemærkning: Hvis man forsøger at løse differentialligningen ved hjælp af et værktøjsprogram, kan man sagtens komme ud for, at værktøjsprogrammet ikke kan udskille den korrekte definitionsmængde for løsningsfunktionen. Så ligesom med solve-kommandoen skal man være omhggelig med at kontrollere løsningsudtrkket grafisk og holde det op mod teorien for differentialligningen. Øvelse : Bent et værktøjsprogram til at løse differentialligningen ovenfor og kommenter de steder, hvor det eventuelt kommer til kort. Den detaljerede gennemgang ovenfor kan generaliseres, så vi får følgende: Sætning: Den separable differentialligning Hvis en differentialligning er skrevet på formen: d hx ( ) g ( ) hvor hx ()er en kontinuert funktion defineret i det åbne interval I, og g ( )er en kontinuert funktion defineret i det åbne interval J, hvori g ( ) ¹ 0, så gælder der, at:. Løsningsmængden til differentialligningen er den samme som løsningsmængden til integralligningen: 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf: info@lru.dk
5 d g () h( x). Integralligningen kan altid løses mht., hvilket betder, at der altid kan findes løsninger til differentialligningen. 3. Der er givet punkt P( x0, 0), hvor x0 ligger i intervallet I, og 0 ligger i intervallet J. Så findes der en entdigt bestemt løsning til differentialligningen, hvor den uafhængige variabel x ligger i intervallet I, og den afhængige variabel ligger i intervallet J, hvis graf går gennem P. Bemærkning: Når et værktøjsprogram forsøger at løse en separabel differentialligning, så omskriver det netop til en ligning med integraler her uden begndelsesbetingelse: desolve( h( x) g( ), x, ) > d h( x) + c g ( ) og her med begndelsesbetingelse: x desolve( h( x) g( ) and ( x0) 0, x, ) > dt h( t) dt 0 gt () x0 Bevis Hvis g ( )er kontinuert, så er også kontinuert. Det betder at alle de forskellige integraler, der g () optræder, er veldefinerede. Antag f er en løsning til differentialligningen. Så får vi ved indsættelse af f i differentialligningen: f () x hx () gfx (()) Indsæt f( x) f ( x) hx ( ) Udnt, at g ( ) ¹ 0 gfx ( ( )) f ( x) h( x) gfx ( ( )) d h( x) g () Substituer: fx ( ) og d f ( x) Ens funktioner har samme stamfunktion Hvis omvendt f( x) er en løsning til denne integralligning kan vi få den oprindelige ligning ved at foretage omvendte operationer, hvor vi begnder med at differentiere og derefter omskriver. Hermed er punkt bevist. Antag er en løsning til integralligningen. Vi skal nu vise, at vi kan isolere. Vi vælger nu en stamfunktion til hver af de to integrander (venstresiden og højresiden) i integralligningen, og vi definerer disse som: G() d og H( x) h( x) g () Disse to stamfunktioner er ifølge sætningen om samtlige stamfunktioner ens pånær en konstant, dvs.: G( ) H( x) + k hvor k er en konstant. Vi har brug for en omvendt funktion til G, så vi kan fjerne G. Vi ved, at G () g () 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf: info@lru.dk
6 og da er kontinuert, har den samme fortegn overalt den kan jo aldrig blive 0! Men når G g () ( ) > 0 overalt, så er G voksende over alt, og så kan vi definere en omvendt funktion til G. Det samme kunne vi selvfølgelig gøre, hvis G ( ) < 0. Så alt i alt ved vi, at G har en omvendt funktion G -, som vi nu anvender: G( ) H( x) + k ( ( )) ( ( ) ) - ( () ) - - G G G H x + k Anvend G - G H x + k Udnt definitionen på omvendt funktion Hermed har vi vist punkt : Vi kan altid isolere. Det kan i praksis være svært, men teoretisk set kan det lade sig gøre. Vi har givet et punkt P( x0, 0), hvor g ( 0) ¹ 0. Dette indsætter vi i G( ) H( x) + k: G( 0) H( x0) + k Indsæt x x0 og 0 k G ( 0) -Hx ( 0) Isoler k Dermed er k entdigt fastlagt ud fra G og H. Og dermed er funktionen: - - G Hx ( ) + k G Hx ( ) + G ( )-Hx ( ) ( ) ( ) 0 0 entdigt fastlagt. Således har vi bevist punkt 3. Hermed har vi afsluttet beviset for sætningen Bemærkning: Hvis g ( 0) 0 er entdigheden ikke længere garanteret. Fx har den separable differentialligning 3 3 ( ) 3 de to løsninger 0 og x, der begge går gennem (0,0). Øvelse 3: I afsnit.3 undersøgte vi følgende fire differentialligninger ved brug af linjeelementer. Nu vil vi bestemme de søgte løsninger til differentialligningerne: a) d x ( + ) med begndelsesbetingelsen P(0,0). b) d x med begndelsesbetingelsen P(4,3). c) d -4 med begndelsesbetingelsen P(3,). d d) med begndelsesbetingelsen P(0,0). ( x+ ) (-) 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf: info@lru.dk
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning
Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 5. september 2016 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereDifferentialligninger med TI-Interactive!
Differentialligninger med TI-Interactive! Jan Leffers (2008) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...3 1. ordens differentialligninger... 4 Den fuldstændige løsning... 4 Løsning med bibetingelse...4
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereKapitel 7. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse Øvelse a = 3 0, = 8 2,6 3 = 25 3, , =
ISBN 978877066879 Kaitel 7 Øvelse 71 1 3 4 ( x + 6) ( x 4) (y + 3 z) (y 3 z) (m + 10) Øvelse 74 a 3 5 = 4,6 49 7 = 7,0 3 0,1875 16 = 8,6 3 = 5 3,57148 7 = 10 0, 76930 13 = Stregerne over tallene efter
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer
INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssstemer x-klasserne Gammel Hellerup Gmnasium 1 Indholdsfortegnelse DIFFERENTIALLIGNINGER... 3 Lineære 1.ordens
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereEksempel på funktion af 2 variable, som har egentligt lokalt minimum på enhver ret linje gennem origo, men som ikke har lokalt minimum i origo!
Eksempel på funktion af 2 variable, som har egentligt lokalt minimum på enhver ret linje gennem origo, men som ikke har lokalt minimum i origo! Eksemplet er hentet fra side 122 i bogen "Counterexamples
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereProjekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb
Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
INFINITESIMALREGNING del 3 Differentialligninger Funktioner af flere variable Differentialligningssystemer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 09 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereIntegralregning ( 23-27)
Integralregning ( -7) -7 Side Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() =, + 7 ) f() = 7 + 7 c) f() = ep() + ln() d) f() = e ep() + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner
Læs mereProjekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning
Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,
Læs mereDifferentialligninger og nummeriske metoder. Thomas G. Kristensen 7. februar 2002
Differentialligninger og nummeriske metoder Thomas G. Kristensen 7. februar 2002 1 INDHOLD 2 Indhold 1 Indledning 3 2 Definition af 1. og 2. ordens differentialligninger 3 2.1 1. ordens differentialligninger....................
Læs mereØvelse 1 a) Voksende b) Voksende c) Konstant d) Aftagende. Øvelse 2 a) f aftagende i f voksende i b) f aftagende i
1 af 30 Kapitel 6 Udskriv siden Øvelse 1 Voksende Voksende Konstant Aftagende Øvelse 2 Øvelse 3 Hældningen er i alle tilfælde 0, så. Forklar e) Forklar Interval + + 2 af 30 Øvelse 4 i i f er aftagende
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011
Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til
Læs mereDifferentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1
Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender
Læs mereQ (0, 1,0) MF(161): y a( x) y b( x) har løsningen: y e b( x) bx ( ) e dx e e dx e dx e. y e 8e. Delprøve uden hjælpemidler: kl
MatA Juni 7 Kr. Bahr Side af 5 Delprøve uden hjælpemidler: kl. 9.. Opgave ( %) To planer er givet ved ligningerne: : z og : z5. a) Gør rede for, at de to planer er parallelle. De to planer er parallelle,
Læs mereDefinition:... 1 Hældningskoefficient... 3 Begyndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver 11a... 5
Lineære funktioner Indhold Definition:... Hældningskoefficient... 3 Begndelsesværdi... 3 Formler... 4 Om E-opgaver a... 5 Definition: En lineær funktion er en funktion, hvor grafen er lineær. Dvs. grafen
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereStudieplan. Stamoplysninger. Oversigt over planlagte undervisningsforløb. Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College.
Studieplan Stamoplysninger Periode August 2015 Maj 2016 Institution Vejen Business College Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik-A Ole Gentz Nørager MatematikAhh1313-VØ Oversigt over planlagte
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDifferential- ligninger
Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje
Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereLektion 8 Differentialligninger
Lektion 8 Differentialligninger Implicit differentiation Differentialligninger Separable differentialligninger 0.5 Implicit differentiation 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 0 0.5 y Vi kan finde måske løse ligningen.5
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereProjekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler
Hvad er matematik? Projekter: Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje for parabler En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er, at den har et såkaldt
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereEmneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:
Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering
Læs mereMATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX
MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereLøsning til aflevering - uge 12
Løsning til aflevering - uge 00/nm Opg.. Længden af kilerem til drejebænk. Hjælp mig med at beregne den udvendige, længde af kileremmen, der er anvendt på min ældre drejebænk. Største diameter på det store
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereKapitel 8. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse 8.2
Kapitel 8 Øvelse 8.2 Til Maria Pia broen bruger vi de tre punkter (0,0), (80,60) og (160,0). Disse er indtegnet i et koordinatsstem og vi har lavet andengradsregression. Og Garabit broen: Øvelse 8.8 Definitionsmængden
Læs mereFunktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007
Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.
Læs mereGrænseværdier og Kontinuitet
Grænseværdier og Kontinuitet Frank Villa 11. august 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereDifferentiation af sammensatte funktioner
1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereTilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet
Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()
Læs mereDen harmoniske svingning
Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereProjekt 3.4 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Hvad er matematik? Projekt 3. Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomium p ( x) = a x + x + c altid er symmetrisk omkring
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj, 2018 Institution Vid Gymnasier, Handelsgymnasium Rønde Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2018 25. maj 2018: Delprøven UDEN hjælpemidler 2 Opgave 1: 2 2 12 0 Man kan løse andengradsligningen med diskriminantmetoden, men man kan også som her forkorte
Læs mere1. Konstantfaktoren er 34, fremskrivningsfaktoren er 1,056 og vækstraten er 5,6%.
Kapitel 4 Øvelse 43 1 Konstantfaktoren er 34, fremskrivningsfaktoren er 1,056 og vækstraten er 5,6% Konstantfaktoren er 117, fremskrivningsfaktoren er 1,61 og vækstraten er 61% 3 Konstantfaktoren er 0,84,
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis
Læs mereMatBio. = r K xy, dx dt. = r xy. (2)
.1 Epidemier. En population (Storkøbenhavns befolkning, fiskene i et dambrug, en bakteriekultur,... ) rammes af en epidemi. Antag, at populationens størrelse er konstant individer. Heraf er individer inficerede
Læs mereIntegralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (2005)
Integralregning med TI-Interactive! Stamfunktioner Integraler Arealer Jan Leffers (005) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Stamfunktion og integralregning...3 Numerisk integration...3 Areal under
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereLøsning MatB - januar 2013
Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =]
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereProjekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri
Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus
Læs mereDifferentialregning. Ib Michelsen
Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereFUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner
FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereDTU. License to Thrill
XM @ DTU License to Thrill Den bedste rette linje S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bgning 303S, DTU DK-800 Kgs. Lngb 1 Den bedste rette linje Hvordan findes den "bedste"rette linje
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereDifferentialligninger
Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg
Læs mere11. Funktionsundersøgelse
11. Funktionsundersøgelse Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen,Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 11.1 Generelt om funktionsundersøgelse Formålet med
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution HF & VUC Nordsjælland Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mere