Ny skriftlighed - Matematik

Transkript

1 Ny skriftlighed - Matematik Indhold Andres tanker og ideer:... 2 Andre nyttige links:... 2 Kompetencer:... 2 Eksempler på opgaver der træner forskellige kompetencer... 3 Eksempel 1: Opgaveløsning med forskellige fokus - eksemplificeret ved monotoniforhold... 3 Eksempel 1.1: Første opgavetype - monotoniforhold Eksempel 1.2: Anden opgavetype - monotoniforhold Eksempel 1.3: Tredje opgavetype - andengradspolynomiet... 5 Eksempel 2: Opgaver i forbindelse med beviser Eksempel 2.1: Første opgavetype: Fordoblingskonstanten... 5 Eksempel 2.2: Tredje opgavetype: Fordoblingskonstanten... 6 Eksempel 3: Trigonometri:... 6 Eksempel 3.1: Arbejdet med beviserne for relationerne... 6 Eksempel 3.2: En anderledes afleveringsopgave... 8 Eksempel 3.3: Andengradsligningen... 9 Eksempel 3.4: Differentialligninger... 9 Eksempel 4: Godt og blandet... 9 Eksempel 4.1: En opgave som træner eleverne i sproglige kompetencer, argumentationskompetencer eller strukturelle kompetencer... 9 Eksempel 4.2: En opgave som træner eleverne i metodiske kompetencer Eksempel 4.3: En temarapport hvor matematisk argumentation indgår, og eleverne skal skrive en matematisk tekst Eksempel 4.4: Opdag selv logaritmefunktioner i samarbejde med kemi Eksempel 4.5: Hurtigskrivning Forslag til evalueringsformer Andre strøtanker:... 11

2 Andres tanker og ideer: UVmat: og EMU: Andre nyttige links: Rettestrategier: Kompetencer: Genrekompetence: o Evnen til at skrive ud fra en bevidsthed om den aktuelle genres normer og de forventninger, modtageren har til genren. Herunder hører evnen til at beherske den givne genres fremstillingsformer, sprog og stil. At kunne forklare tankegangen bag løsningen af en bestemt type opgave så besvarelsen opfylder kravene til skriftlig eksamen. At kunne arbejde selvstændigt med noget teoretisk a. la. temarapport. At kunne formidle en forståelse af noget læst skriftligt a. la. SRO og SRP. Metodisk kompetence: o Viden om en række faglige metoder og evnen til at bruge den rette metode i rette sammenhæng Hvordan et bevis er opbygget. Hvordan en tilfredsstillende matematisk opgave er besvaret således at den opfylder kravene mht. notation, argumentation og konklusion. At mestre en løsningsmetode - trænes i det daglige. Argumentationskompetence: o Viden om og evne til at udvikle gode og overbevisende argumenter. Struktur i opbygningen af matematisk teori (ATa). Struktur i et bevis. At skulle argumentere for hvert enkelt skridt. Struktur i opgavebesvarelse - hvordan tankegangen kommer til at fremgå klart. Temarapport: Matematisk tekst. Strukturel kompetence: o Evnen til at skrive en velstruktureret og modtagervenlig besvarelse At kunne formidle en forståelse af noget læst skriftligt a. la. SRO og SRP. Struktur i opgavebesvarelse - hvordan tankegangen kommer til at fremgå klart. den naturlige struktur indenfor de forskellige opgaveområder. At gennemskue de vigtigste skridt i et matematisk bevis. Sproglig kompetence: o Evnen til at anvende sin viden om syntaks og grammatik, herunder tegnsætning. Evnen til at kunne formulere sig med sproglig præcision og besidde et varieret ordforråd Korrekt matematisk notation i opgavebesvarelser og bevisførelse. At få beskrevet hvad man laver kort og præcist.

3 Proceskompetence: o Viden om og evne til at håndtere selve skriveprocessen. Herunder hører evnen til at kunne indgå konstruktivt i en vejledningssituation. Selvstændigt at søge information og forsøge at gennemskue en matematisk tekst. Eksempler på opgaver der træner forskellige kompetencer Nedenfor er vist forskellige eksempler/skitser på opgaver mv., der træner eleverne i forskellige skrivekompetencer. Eksempel 1: Opgaveløsning med forskellige fokus - eksemplificeret ved monotoniforhold Første opgavetype er at gennemskue hvilke trin der er i at løse opgaver af typen givet funktionen f(x) bestem da dens monotoniforhold. Denne opgavetype understøtter den metodiske og den strukturelle kompetence. Anden opgavetype er at udfylde den argumentation der skal forklare tankegangen undervejs. Dette kan for eksempel bruges i forlængelse af opgavetype 1 eller man kan lave en fill in the blanks øvelse hvor eleverne enten skal vælge mellem nogle muligheder (evt. hvilken af disse formuleringer beskriver mest præcist hvad der foregår her ) eller de skal selv formulere det frit. Derefter kan de give respons på hinandens besvarelser eller man kan tage en klassediskussion. Opgaven kunne laves i moodle. Denne opgavetype understøtter argumentationskompetencen (surprise), den strukturelle og den sproglige kompetence. Tredje opgavetype er ud fra en beskrivelse af monotoniforholdene at kunne fortolke noget om funktionen og tegne en skitse - at vise, at man har en forståelse for hvad matematikken fortæller. Bør først bruges når der er noget erfaring at bygge på. Opgaven kunne laves i moodle hvis eleven så i stedet skulle koble beskrivelsen med den korrekte figur. Denne opgavetype understøtter argumentationskompetencen. Fjerde opgavetype er i grupper at gennemgå en opgave (evt. på rulletavle) og optage det på video og aflevere det/udveksle med en anden gruppe som giver respons. Dette kunne bruges som afslutning på en hvilken som helst af de andre opgavetyper. Dette styrker den sproglige og den strukturelle kompetence samt argumentationskompetencen. Femte opgavetype er at formulere en opgave selv ud fra ud fra nogle betingelser - f.eks. du skal konstruere en funktion, der både har et minimum og et maksimum i intervallet fra [a;b]. Denne opgavetype understøtter den sproglige og argumentationskompetencen. Eksempel 1.1: Første opgavetype - monotoniforhold. Opskriv en opskrift på hvordan nedenstående opgave løses: En funktion er givet ved. Bestem funktionens monotoniforhold. NB: I parentes er angivet hvordan man kunne udbygge opgaven bagefter for at styrke argumentationskompetencen.

4 1) Først udregnes (evt. med et argument for hvorfor den skal bruges). 2) Derefter løses ligningen (evt. med argument med hvorfor det er relevant). 3) Fortegnet for undersøges på hver side af løsningerne fra 2) ved at indsætte x-værdier i der ligger på hver sin side af disse løsninger (evt. med argument for hvorfor det er nødvendigt og tilstrækkeligt). 4) En klar konklusion ud fra ovenstående opskrives hvor det angives i hvilke(t) interval(ler) funktionen kan siges at være hhv. voksende eller aftagende (evt. med argument for hvordan det kan ses ud fra det foregående arbejde). Eksempel 1.2: Anden opgavetype - monotoniforhold. Skriv på linjen hvilke argumenter fra højre søjle der skal på i de enkelte trin af denne opgaveløsning: En funktion er givet ved. Bestem funktionens monotoniforhold. Overvej/Uddyb Opgaveløsning Argumenter/Forklarende tekst 1 1) Hvorfor er mellemregningen nødvendig? 1) 2) Hvorfor skal der bruges ensbetydende? 3) Hvorfor er notationen korrekt? 4) Hvorfor er mellemregningen nødvendig? 5) Forklar hvorfor intervaltegnene vender rigtigt. 2) 3) 4) ) Funktionen er voksende i intervallerne og og aftagende i intervallet 1 Disse blandes naturligvis - og der indsættes evt. nogle muligheder, der ikke skal bruges. A) Forskriften for den afledede funktion bestemmes. B) Nulpunkterne for den afledede funktion bestemmes. C) Denne ligning løses via (CAS-programmets navn) ved at bruge kommandoen (den korrekte syntaks fra CAS-programmet skrives ind - eller der lægges et skærmudklip ind). Dette giver (outputtet fortolkes). D) For at bestemme funktionens monotoniforhold indsættes en x-værdi på hver sin side af den aflededes nulpunkter for at undersøge hvad fortegnet for den afledede funktion er. E) Da den afledede funktion angiver hældningen af tangenten til funktionen. Når den afledede funktion er positiv er funktionen voksende og omvendt er funktionen aftagende når

5 den afledede er negativ. Dermed kan vi ud fra ovenstående se, at (de foregående udregninger fortolkes). Eksempel 1.3: Tredje opgavetype - andengradspolynomiet Tegn en skitse af et andengradspolynomium der opfylder følgende: Argumenter for at din skitse opfylder kravene. og Eksempel 2: Opgaver i forbindelse med beviser. Første opgavetype er at nedskrive essensen af et gennemgået bevis i 3-4 punkter, som derefter diskuteres i grupper. Derefter kan man kræve at de skal gennemgå beviset igen ud fra deres sætninger og derefter justere det til en endelig opskrift. Dette er et forsøg på at hjælpe eleverne til selv at kunne gennemskue den overordnede struktur i et bevis - hvad der er en god ide og hvilken viden man bruger undervejs. Hvis man laver et bevis der går begge veje kunne man også få eleverne til at reflektere over hvorfor begge veje er nødvendige. Denne opgavetype understøtter den metodiske, strukturelle og sproglige kompetence samt argumentationskompetencen. Anden opgavetype er identisk med fjerde opgavetype i eksempel 1. Blot er fokus gennemgangen af et bevis i stedet for en opgave. Tredje opgavetype er identisk med anden opgavetype i eksempel 1. Blot er fokus på et bevis i stedet for en opgave. Eksempel 2.1: Første opgavetype: Fordoblingskonstanten Beviset for fordoblingskonstanten er blevet gennemgået. Eleverne bliver bedt om at opsummere hvad hovedskridtene var. Hvis man gør det tit nok kan de vel gennemskue strukturen med præmis og konklusion. Først opskrives definitionen på fodoblingskonstanten og punkterne og grafen for den eksponentielle udvikling tegnes. Punkterne og markeres på grafen, sådan at er dobbelt så stor som. 1. Forklar hvor på tegningen fordoblingskonstanten kan aflæses. 2. Hvilken sammenhæng giver ovenstående mellem og? 3. Opskriv hvad sammenhængen er mellem og. 4. Opskriv hvilken sammenhæng der gælder mellem og. 5. Opskriv hvilken sammenhæng der gælder mellem og. 6. Opskriv de udtryk du kan finde for ud fra dine sammenhænge fra 3), 4) og 5). 7. Reducer det fremkomne udtryk så du får til at indgå. Undervejs skal du benytte 2) og potensregnereglen: et tal i en potens divideret med det samme tal i en anden potens er lig med tallet opløftet i differencen mellem den ene potens og den anden. 8. Isoler. Undervejs skal du bruge logaritmeregnereglen: logaritmen til et tal i en potens er lig med potensen ganget med logaritmen til tallet.

6 Eksempel 2.2: Tredje opgavetype: Fordoblingskonstanten Herunder gennemgås beviset for fordoblingskonstanten - Marker hvilke af argumenterne til højre der benyttes hvor. Præmis: Argumentation: a) Potensregnereglen benyttes. b) Logaritmen tages på begge sider af lighedstegnet. c) Idet er blevet dobbelt så stor. d) Logaritmeregneregel 3 benyttes. e) Dette udtryk fremkommer ved at kombinere linje 3 og 4. f) Idet ligger på grafen for. g) Sammenhængen mellem x erne fra linje 2 benyttes. h) Idet står ganget på både over og under brøkstregen går den ud med sig selv. i) Idet ligger på grafen for. j) De to udtryk må være lig hinanden da de begge er lig forholdet mellem og. k) Idet er vokset med fordoblingskonstanten. l) Først kigges på forholdet mellem og. Dette udtryk fremkommer ved at omskrive linje 1. m) Der divideres med på begge sider af lighedstegnet for at få fordoblingskonstanten isoleret. Eksempel 3: Trigonometri: Opgaver: I arbejdet med den generelle trekant kan man enten lade eleverne regne en flok forholdsvis simple opgaver for derved selv at finde ud af hvornår det er hensigtsmæssigt at bruge sinus/cosinusrelationen (og hvilken udgave). Eller man kan fortælle dem hvad erfaringerne viser Eksempel 3.1: Arbejdet med beviserne for relationerne Jeg har forsøgt mig med følgende stillads-opgave, der også styrker argumentationskompetencen. Den generelle trekant:

7 På figuren ses en vilkårlig trekant (dvs. ikke retvinklet) og der er indtegnet en højde fra C. 1) Kald siden AC for b osv. som vanligt. Kald CD for h (højden) Kald AD for x 2) Hvor lang er DB? 3) Kan Pythagoras bruges i denne opgave? (er du i tvivl om svaret, så læs næste spg.). Hvilke ligninger giver det? 4) Hvad er a) sin(a) =? b) sin(b) =? c) cos(a) =? 5) Find vha. svarene i pkt. 4 mindst 2 ligninger med h og mindst 1 med x. 6) Find trekantens areal på mindst 2 måder omskriv det fundne så der kun indgår størrelser fra den oprindelige trekant dvs. A, B, C, a, b og c 7) Prøv vha. 3 og 4c at finde en ligning for trekanten der kun indeholder de oprindelige A, B, C, a, b og c. (måske svær). (Hint: isolér først h 2 i de to ligninger i pkt. 3 og sæt de to ligninger lig hinanden)

8 8) (for de hurtige) Anvend et nyt billede af denne trekant, tegn dog højden fra B i stedet for C. Opdel igen grundlinien i x og resten og besvar spørgsmålene 4a (sina), 4b (sin(180-c) = sinc ), 5 (om h) og 6 igen. 9) (for de meget hurtige) Besvar sp. 4c svarende til den nye situation - dvs. find cos(180-c) = - cosc og pkt ) Lav nu vha. svarene i 9) en ligning for trekanten der kun indeholder de oprindelige A, B, C, a, b og c. 11) (for de ekstremt hurtige) Lav 7 og 8 med den højde i endnu ikke har brugt. (lav først 3 og 4) Eksempel 3.2: En anderledes afleveringsopgave I dette projekt skal hver gruppe aflevere video-optagelser, hvor gruppen - Udfører beviset for sinusrelationen i en spidsvinklet trekant og udleder arealformlen - Udfører beviset for cosinusrelationen for en spidsvinklet trekant.

9 Husk at fortælle hvilke regler I bruger i beviserne. Alle skal udtale sig om noget fagligt på denne video. Som hjælp til denne aflevering har eleverne fået ovenstående 11 opgaver. Eksempel 3.3: Andengradsligningen Lav bevisopskrift der trin for trin forklarer beviserne for rødderne og/eller toppunktet Prøv den af på en anden gruppe. Dette skulle træne argumentationskompetencen og give eleverne en bevidsthed om vigtigheden af sproglig præcision. Eksempel 3.4: Differentialligninger Alternativ opgave: De forskellige beviser for løsningen af en række differentialligninger ligner hinanden i opbygningen - beskriv bevisets opbygning så det passer på dem alle. Hvad er progressionen fra sætning til sætning - et forsøg på at få eleverne til at se hvorfor opbygningen er logisk. Eksempel 4: Godt og blandet Eksempel 4.1: En opgave som træner eleverne i sproglige kompetencer, argumentationskompetencer eller strukturelle kompetencer Første opgavetype: Kunne f.eks. være en opgave hvor eleverne skal rette løsningsforslag til forskellige opgaver, hvor løsningsforslagene i forskellig grad misbruger matematisk notation, lighedstegn, ensbetydende pile mv. Formålet ville selvfølgelig være at træne eleverne i at anvende den matematiske syntaks korrekt, altså i en bredere forstand den sproglige kompetence. Herudover kunne sådanne opgaver også understrege vigtigheden af præcision og dermed træne den sproglige kompetence mere direkte. Sproglig kompetence Eksempel 1: I en retvinklet trekant,, er. Beregn! Løsningsforslag: Vi anvender Pythagoras sætning 1) Er det nemt at følge tankegangen i ovenstående løsning? 2) Ret fejlene i den matematiske syntaks. Eksempel 2: I en trekant,, er og. Beregn længden af siden b vha. sinusrelationerne.

10 Løsningsforslag: Vi anvender sinusrelationerne 3) Ret fejlen i den matematiske syntaks. Anden opgavetype: Opgavetypen skitseret ovenfor kan også anvendes til at træne andre skrivekompetencer, f.eks. strukturelle kompetencer eller argumentationskompetencer. Et eksempel kunne f.eks. være en opgave hvor eleverne skal rette løsningsforslag til forskellige opgaver, hvor løsningsforslagene i forskellig grad halter mht. matematisk argumentation. Strukturel kompetence Argumentationskompetence Eksempel 4.2: En opgave som træner eleverne i metodiske kompetencer Første opgavetype: Her kunne ideen f.eks. være at træne eleverne i en opgavetype, hvor der er fokus på metoden. Et eksempel kunne være en opgave, hvor eleverne skal finde monotoniforholdene for en funktion. Mere alment kunne denne opgavetype træne eleverne i at arbejde metodisk med løsningen af et matematisk problem (hvordan starter man osv.) Metodisk kompetence Eksempel: Betragt funktionen med funktionsforskriften I denne opgave skal du finde monotoniforholdene for f. 1) Hvad ved vi om funktionen? Lav en liste. 2) Hvad skal vi bruge til at finde monotoniforholdene? Lav liste. 3) Sammenhold de to liste og find derved der relevante værktøj til beregning af monotoniforholdene. 4) Beregn monotoniforholdene. Eksempel 4.3: En temarapport hvor matematisk argumentation indgår, og eleverne skal skrive en matematisk tekst Første opgavetype: F.eks. en opgave hvor eleverne skal gengive, med deres egne ord, en central sætning med beviset fra pensum eller evt. arbejde selvstændigt med en ukendt sætning. Her er det vigtigt at eleverne dels stiller sætningen korrekt op dels argumenterer korrekt og fyldestgørende for beviset. Denne type kunne evt. kombineres med nogle traditionelle beregningsopgaver, der træner forståelsen af den relevante teori.

11 I opgaven er det vigtigt at eleverne kender forskellen på genren matematisk tekst og de mere traditionelle træningsopgaver i matematik. Derudover træner opgaven elevernes argumentationskompetencer. Slutteligt kunne opgaven naturligvis anvendes til at elevernes metodiske kompetencer. Genrekompetence Metodisk kompetence Argumentationskompetence Eksempel 4.4: Opdag selv logaritmefunktioner i samarbejde med kemi Se materiale fra HG her i konferencen. (når vi har fået lov til at vise det frem ) Eksempel 4.5: Hurtigskrivning Første opgavetype I en lektion kan hurtigskrivning bruges som skriv lige ned hvad I har lært de sidste 10 minutter, hvad gjorde vi i dette bevis, hvad var skridtene i eksemplet/opgaven etc. Dette kan også anvendes efter der er givet respons på en aflevering - evt. kan eleverne selv formulere fremadrettede delmål. Forslag til evalueringsformer Mundtlig retning af skriftlig opgave med screencast-o-matic eller lignende. Eleverne retter hinandens undervejs - især brugbart som træning til temaopgaver hvor en del af processen gerne skulle være at give og modtage respons på noget man har lavet. Andre strøtanker: Beviser med smartpen. Jeorpardylabs.com - lav en jeopardy! Glogster.com - lav en poster!