Elementær Matematik. Tal og Algebra

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Elementær Matematik. Tal og Algebra"

Transkript

1 Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0

2 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal Nul og de negative hele tal.... Brøker og rationale tal...6. Regneregler for brøker.... Decimalbrøker Irrationale tal.... Numerisk værdi Andre talsystemer Additions-, subtraktions-, multiplikations- og divisionsalgoritme...4

3 Tal og algebra. De naturlige tal Tælle-tallene,,,.har været kendt af alle kulturer. De kaldes i matematikken for de naturlige tal, og betegnes med N. Vi skriver tallene ved hjælp af 0 symboler "0", "", "", "", "9". Symbolerne for tal, har naturligvis ikke været de samme i alle kulturer. Andre kulturer har anvendt andre symboler, f.eks. romertallene I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII og X, og der har også været et andet antal symboler i talsystemerne, f.eks. tolv, tyve eller tres. Det talsystem, vi anvender kaldes for 0-talssystemet, fordi der er 0 symboler. Det er et positionssystem, fordi positionen af et ciffer i en række af cifre, er afgørende for betydningen af dette ciffer. Tag for eksempel tallet 46. Betydningen af disse cifre i denne rækkefølge er helt præcist: 46 = Ombytter man to cifre, bliver tallet et andet. Det er dette man udtrykker ved at kalde det et positionssystem. Hvis man matematisk skal forklare, hvad tallet tre er, så er det ikke nok at skrive tegnet "", fordi det er blot ét blandt mange symboler for begrebet "tallet tre". For at forklare begrebet, er det faktisk nødvendigt at forklare, hvorledes man bærer sig ad med at tælle. I matematikken formuleres det at tælle ved en række aksiomer (definitioner og påstande, som man ikke kan føre bevis for), som kaldes Peanos aksiomer. Ud fra disse aksiomer, kan man udlede alle egenskaberne for de naturlige tal. Mest bemærkelsesværdigt, at det første tal er, at ethvert tal har netop én efterfølger, og at der ikke findes noget største element. Når man regner med tal - eller symboler for tal - i matematikken, skriver man tallene i rækkefølge (fra venstre mod højre), adskilt af tegnene "+" (plus), "-" minus, "" (gange) og "/" (division). Oftest, skriver man dog divisionsstregen som en vandret streg med en tæller og en nævner. At lægge to tal sammen kaldes for addition. At trække et tal fra et andet kaldes for subtraktion. At gange to tal med hinanden kaldes for multiplikation. At dividere et tal med et andet kaldes for division. Tal som er adskilt af '+' eller ' ' kaldes for led. Tal som er adskilt af '' eller '/' kaldes for faktorer. Ser vi f.eks. på udtrykket: Så har venstresiden af lighedstegnet led. Det tredje og fjerde led består hver af to faktorer. Det femte led består af tre faktorer. For multiplikation og division med naturlige tal, findes der en multiplikations- og divisionsalgoritme, som burde være velkendte. Ved en algoritme forstår man en endelig række veldefinerede række skridt, som man skal udføre for at nå til resultatet. Det er ikke noget krav, at man forstår, hvorfor det fører til det ønskede resultat.

4 Tal og algebra Vi viser et par eksempler på de to algoritmer nedenfor. Opstillingen kan godt variere lidt, men jeg har valgt den mest udbredte. Multiplikationsalgoritmen Divisionsalgoritmen ( = kvotient) (= rest) Det er ikke så vanskeligt, at forstå multiplikationsalgoritmen, mens divisionsalgoritmen er betydelig vanskeligere at forklare, så det vil vi ikke forsøge, (før man har lært om polynomiers division). Resultatet af divisionen udtrykkes i divisionsligningen, (som man kan kontrollere rigtigheden af). 9 = Regneregler for naturlige tal I matematikken formulerer man ofte sætninger, der gælder for alle tal i en afgrænset mængde. For at skrive sådanne tal, anvender man latinske eller græske bogstaver til at repræsentere "hvilket som helst tal". F.eks. kan divisionsligningen ovenfor skrives mere generelt, hvor (dividend) p og (divisor) d er naturlige tal, mens (kvotient) og (rest), r er naturlige tal eller nul. p = d + r (dividend = kvotient divisor + rest) f.eks. = + For de naturlige tal, gælder nogle velkendte regneregler (som ikke kan bevises). For alle naturlige tal a, b, c gælder der, således: Den kommutative lov for addition: a + b = b + a f.eks. + = + Den associative lov for addition: a + (b + c) = (a + b) + c f.eks. + (6 + 9) = ( + 6 ) + 9 Den kommutative og associative lov for addition udtrykker, at addendernes orden og rækkefølge er underordnet. Den kommutative lov for multiplikation: a b = b a

5 Tal og algebra f.eks. = Den associative lov for multiplikation: a (b c) = (a b) c f.eks. (6 9) = ( 6 ) 9 Den kommutative og associative lov for multiplikation udtrykker, at faktorernes orden og rækkefølge er underordnet. Den distributive lov: a (b + c) = a b + a c f.eks. (4 + ) = 4 + (= ) Af den associative lov følger at man kan hæve (dvs. fjerne) en plus parentes. Hvis man derimod hæver en minus parentes, skal man skifte fortegn for hvert led i parentesen. a (b + c - d) = a b c + d f.eks. ( + 4 ) = 4 + (= 4) Man anvender parenteser til at markere, at flere led skal opfattes som et enkelt led eller en enkelt faktor. Man sætter således aldrig parenteser omkring et enkelt led eller en enkelt faktor (med mindre, der står et minustegn foran tallet). Man sætter aldrig en plusparentes. Ikke fordi nogen af delene er forkerte, men fordi det er overflødigt og det mindsker overskueligheden af regningerne. Den distributive lov viser, hvorledes man ganger en flerleddet størrelse med et tal. Af reglen følger, hvorledes man ganger to parenteser med hinanden. Under hensyntagen til fortegnet for de to led, ganger man hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden parentes. Eksempel (a b)(c + d e) = ac +ad bc bd + be. Kvadratsætningerne. Når man taler om kvadratet på et tal, er det det samme som tallet ganget med sig selv (i. potens) Når kvadratsætningerne er meget vigtige at kunne - uden at foretage mellemregningerne er det fordi de meget ofte anvendes i reduktioner og til løsning af opgaver. (a + b) =(a + b)(a + b) = a + ab + ba + b = a + b + ab (a - b) =(a - b)(a - b) = a - ab - ba + b = a + b - ab Kvadratet på en toleddet størrelse, er lig med kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus eller minus det dobbelte produkt.

6 Tal og algebra 4 (a + b) (a - b) = a - ab + ba - b = a - b To tals sum gange to tals differens er lig med kvadratet på første led minus kvadratet på andet led. Eksempler Når det er vigtigt at huske kvadratsætningerne, så er det fordi man også skal kunne anvende dem, når tallene ikke hedder a og b. ( - ) (= 4) = = 4 0 = 4 ( - ) ( + ) (= 9 = 4) = 49 4 = 4 (x-y) = (x) + (y) xy = 4x + 9y -xy 9a b = (a + b)(a b). Regningsarternes hierarki Man udregner et udtryk fra venstre mod højre i den rækkefølge leddene eller faktorerne optræder efter følgende regler:. Potensopløftning og roduddragning udføres før multiplikation og division.. Multiplikation og division udføres før addition og division. Eksempel. Udregningen af nedenstående udtryk sker som følger: = = = 60 =. Primtal Et primtal er et naturligt tal større end, som kun har tallet og sig selv som divisor. Det første 0 primtal er velkendte:,,,,,,, 9, og 9. Der findes ingen formel for primtallene, men det er let at bevise, at der findes uendelig mange primtal. Lad os nemlig antage, at vi har fundet n primtal: p, p, p, p n. Vi vil vise, at der må findes et primtal større end p n. Tallet: p p p p n har primtalsdivisorerne p, p, p, p n og ingen andre. Tallet p p p p n + har imidlertid resten ved division med enhver af p, p, p, p n, så derfor er tallet enten et primtal, eller der må findes et primtal større end p n, som går op i tallet. Når man skal forkorte en brøk, gøres det i almindelighed ved at opløse tallet i dens primfaktorer. For eksempel: 68 = 4 = ( er et primtal). 6 =.

7 Tal og algebra Det findes ikke nogen analytisk metode til at bestemme primtalsopløsningen for et tal. Man bliver nødt til at forsøge sig frem med rækken af primtal. Hvis man skal finde primtalsopløsningen af et tal p, behøver man dog kun at forsøge med primtal, som er mindre (eller lig med) p. Dette kan indses på følgende måde: Hvis p kan skrives som a b, og altså ikke er et primtal, så vil der gælde p p p a b. Af denne ligning kan ses, at de to faktorer a og b ikke begge kan være større end p, så den ene må være mindre end p. Følgelig behøver man kun at forsøge sig med primtal mindre end p. Skal vi forsøge at faktorisere 4, så er 4, 9, så vi behøver kun at forsøge med primtal op til. Det viser sig, at 4 = 4. Nul og de negative hele tal Vi vil nu illustrere, hvorledes man i matematikken foretager en udvidelse af talbegrebet til også at omfatte tallet nul og de negative hele tal. Når man udvider talbegrebet, vil man stille den betingelse, at regnereglerne for de naturlige tal også skal gælde for tallene efter udvidelsen. Dette har så nogle konsekvenser, som vi skal se nærmere på. Vi indfører først nul, som et neutral element ved addition. Neutralt betyder, at for alle naturlige tal a, skal der gælde: a + 0 = a og 0 + a = a Hvis regnereglerne skal være opfyldt, kan vi heraf slutte at a 0 = 0 a =0 for alle naturlige tal og 0. Bevis a b = a (b+0) = a b + a 0 hvoraf sluttes at a 0 = 0 De negative tal indføres som modsatte tal til et naturligt tal ved definitionen: b er det modsatte tal til a a + b = 0 (Vi har her anvendt symbolet, som læses hvis og kun hvis eller ensbetydende med. Det modsatte tal til a betegnes a og læses: minus a. Heraf følger så: a + b = 0 b = - a og b + a = 0 a = - b = - (-a) Det modsatte tal til det modsatte tal er altså tallet selv (fordi addition er kommutativ). Vi viser nu, at det følger af regnereglerne, at a (-b) = -ab og a + (-b) = a - b (subtraktion af b fra a) Bevis 0 = a 0 = a (b + (-b)) = a b + a (-b) og samtidig 0 = a 0 = a (b - b)= ab - ab

8 Tal og algebra 6 Dette viser at a (-b) er det modsatte tal til ab og er derfor lig med ab. Samtidig ses det, at a + (-b) = a b. Begge tal er nemlig det modsatte tal til b a. Endvidere så vi tidligere (-a) = a. Oven for har vi vist, at minus gange plus giver minus, nu vil vi vise, at minus gange minus giver plus. Bevis 0 = -a (b + (-b)) = -a b + (-a) (-b) Ligningen viser, at (-a) (-b) er det modsatte tal til -a b og følgelig er lig med ab, så Eller minus gange minus giver plus (-a) (-b) = ab.. Brøker og rationale tal Når man i matematikken udvider talbegrebet til også at omfatte brøker, så er det en betingelse, at de grundlæggende regneregler stadig gælder. Vi vil først indføre de såkaldte stambrøker. Hvis man f.eks. deler et liniestykke af længden (eller en lagkage) i lige store stykker, så siger man at længden (størrelsen) af ethvert af stykkerne er, som læses en syvendedel. er derfor et symbol for ét (eksakt) tal, og det skrives altid med en vandret brøkstreg og i almindelighed ikke som / eller :. (/ betyder også den. juli, og : er et symbol for en division) Tre af stykkerne har længden + + = som skrives. Altså På samme måde adderer man to brøker med samme nævner: For hele positive tal p og indfører man i matematikken brøken: p,, som det (nye) tal som multipliceret med giver p. p p p kaldes for brøkens tæller (top) og kaldes for nævner (ned). 4 4 p p For eksempel defineres tallet ved: 4. Specielt gælder p og p

9 Tal og algebra Denne definition giver også forklaringen på hvorfor man ikke kan dividere med nul. Hvis nemlig 0 4 var et tal, så skulle det være det tal som ganget med 0 giver 4. Da alle tal ganget med 0 giver nul, kan 0 4 ikke være noget tal. Dette plejer man at formulere på den måde: Man kan ikke dividere med nul. Det modsatte tal til en brøk p, hvor p og er hele positive tal skrives ikke som p eller p p, og i almindelighed. Dette fordi symbolet p står for ét tal, som ikke kan skilles ad.. Regneregler for brøker Regnereglerne for brøker er vigtige for alle grene af matematikken og er derfor nødvendige at lære og kunne. Man adderer (eller subtraherer) to brøker med samme nævner ved at addere (subtrahere) tællerne og lade nævneren uforandret p r p r f.eks: 0, 4, 0 En brøk, som er større end, skriver man ind imellem som et blandet tal. er jo lig med, som man kort skriver som. I matematik anvender man dog kun og kun denne skrivemåde til at få et overblik over resultatet og aldrig i regninger! Dette af to grunde. For det første kan forveksles med, og for det andet, kan man ikke direkte anvende regneregler for brøker på blandede tal. Man kan gange eller dividere med det samme hele positive tal i tæller og næver. Når man ganger med det samme tal i tæller og nævner, kaldes at forlænge, og når man dividerer med det samme tal, kaldes det at forkorte. Eksempler: 0 og 6 9 9

10 Tal og algebra 8 ab ab b a ac a( c) c 4a b (a b) (a b)(a b) (a b) a b (a b) (a b) a b Når en brøk ikke kan forkortes, dvs. at tæller og nævner ikke har fælles primfaktorer, så kaldes brøken uforkortelig. Det er god skik altid at aflevere et resultat som en uforkortelig brøk. Man ganger et tal med en brøk ved at gange i tælleren og lade nævneren uforandret Eksempler:,, a b c( a b) ac bc c d d d Man dividerer en brøk med et tal ved at gange med tallet i nævneren og lade tælleren uforandret. Eksempler, 6 4 4, ab c d ab cd Bemærk, at det er vigtigt, at vide, hvad der er den store brøkstreg. kan (skrevet på denne måde) opfattes som divideret med eller som divideret med ( 4). Idet er det 6 4 vigtigt, at skelne mellem brøk divideret med tal eller tal divideret med brøk! Hvis man skal addere to brøker, som ikke har samme nævner, skal man forlænge hver af brøkerne, for at skaffe samme nævner (en fællesnævner) før de kan adderes. Eksempler 0 Man kan altid finde en fællesnævner ved at tage produktet af de enkelte brøkers nævnere -(også hvis der er mere end to led), men dette er langtfra nødvendigt i mange tilfælde. Kan man blot bestemme et tal som alle nævnere går op i, kan dette anvendes som fællesnævner. Det mindste tal som de nævnere går op i kaldes de mindste fælles mål.

11 Tal og algebra 9 Eksempel 9 4 Det ses umiddelbart, at 6 kan anvendes som fællesnævner, og at 6 er mindste fælles mål for, 9 og Man multiplicerer to brøker med hinanden, ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. Eksempel 6, 4 8 4, a b c d ac bd I det midterste eksempel, har vi forkortet med og, før vi ganger de to brøker sammen. Dette er altid en fordel, da tallene bliver mindre og dermed mere overskuelige. Man dividerer et tal (eller brøk) med en brøk ved at gange tallet (eller brøken) med den omvendte brøk. Ved den omvendte brøk, forstår man den brøk, hvor tæller og nævner er byttet om. Ganger man en brøk med dens omvendte brøk, får man (én). Eksempler p p ( ) ( ) p p,, a b c d a b d c ad bc Reglen om, at gange med den omvendte er knap så indlysende som de øvrige regneregler, men den kan let bevises, hvis man anvender de øvrige regneregler for brøker. Bevis a b c d a d b c d c d c a b d d ad a c a d a ad c b c c c c d c d d c Vi har ganget med den omvendte af nævnerbrøken i tæller og nævner, og herved fås regnereglen for division med en brøk. Hele tal og brøker kaldes tilsammen for rationale tal. De betegnes med bogstavet Q.

12 Tal og algebra 0. Decimalbrøker Decimalbrøker anvendes sjældent i matematik, af den grund at de ofte er tilnærmede tal og ikke eksakte tal. De anvendes derimod altid i de empiriske videnskaber (hvor man foretager målinger), af den grund at man ikke kan måle et eksakt tal. Der er altid en usikkerhed på en måling. Opskriver vi en decimalbrøk, som f.eks. 4,6, så betyder det som bekendt hundrede, -0 ere, 4 - ere, - tiendedele, 6 - hundrededele og - tusindedele. Dette har man en praktisk skrivemåde for i matematik. Vi minder om potenssymbolet: 0 = 00, 0 = 000 osv. Vi indfører nu en skrivemåde, som også anvendes i fysik og kemi, og som vil blive begrundet senere osv. På denne måde kan vi præcis udtrykke, hvad tallet 4,6 betyder. 0 4, Man kan omskrive en brøk til en decimalbrøk ved hjælp af divisionsalgoritmen. Vi ser f.eks. på :, og opskiver divisionsalgoritmen., Det ses, at divisionen med giver resterne 6, 4,,,, og 6.. Herefter gentages divisionerne og cifrene i kvotienten, indtil 60 vi igen får resten 6. Resultatet er en uendelig, men periodisk 6 decimalbrøk. Som det ses har decimalbrøken perioden På forhånd kunne vi indse, at den ville være periodisk med en periode på højst 6. Der er nemlig kun 6 mulige rester ved division med 0 De er,,, 4, og 6 49 Af eksemplet kan vi slutte at enhver brøk, kan skrives som en endelig - 0 eller en uendelig, men periodisk decimalbrøk. 0 Man kan så stille det omvendte spørgsmål, om enhver endelig eller 8 uendelig periodisk decimalbrøk, også kan skrives som en brøk. Svaret 0 på dette er bekræftende. Ser vi først på en endelig decimalbrøk, er det 4 let. 6 Eksempel En endelig decimalbrøk: 46 9 d =, ( π =,496.) En uendelig decimalbrøk: d=,8888. Vi har markeret perioden på 4 decimaler, som antages at fortsætte uendeligt. Vi ganger nu med 0 4 = 0000 (4 er lig med perioden), herved bliver cifrene forskudt nøjagtig en periode. Vi ser nu på tallet 0000 d = 8,88888., og herfra subtraherer vi tallet d =, ,

13 Tal og algebra Bemærk, at periodecifrene nu står lige under hinanden blot forskudt en periode. Heraf følger: 9999 d = 80, eller 80 d Denne omskrivning er altid mulig, idet man blot skal gange decimalbrøken med 0 P, hvor p er perioden og så subtrahere decimalbrøken fra dette og reducere. Opgave. Bestem perioden, når brøken omskrives til decimalbrøk.. Omskriv,64 til en brøk En endelig mængde siges at have et endeligt kardinaltal. Kardinaltallet er det samme som antallet af elementer i mængden. Mængdens elementer kan nummereres ved hjælp af de naturlige tal. Nogle uendelige mængder kan også nummereres. Et gælder f.eks. de hele tal. Rækkefølgen kunne f.eks. være 0, -,, -,, En uendelig mængde, der har den egenskab at den kan nummereres efter de naturlige tal, kaldes numerabel. Det er lidt overraskende, at også de rationale tal er numerable. Vi ser først på de 4 4 positive ægte brøker: Rækkefølgen:,,,, ( ),,,,,... Vil give alle de ægte brøker. Vil man undgå, at brøker, der kan forkortes nummereres to gange, skal det gøres lidt mere kunstfærdigt. 6. Irrationale tal Hvis man tillægger et liniestykke et måltal (længden af liniestykket), så er det klart, at ethvert rationalt tal svarer til længen af et liniestykke. Det omvendte er imidlertid ikke tilfældet. 4 Ser vi på en retvinklet trekant med kateterne a = b =, så vil hypotenusen c = a + b = + =. Vi plejer, at skrive c. (Læses: kvadratroden af ). er så det positive tal som opløftet i anden potens giver. På samme måde kan man konstruere liniestykker med længden og ved at vælge kateterne i en retvinklet trekant til at være, som a =, b =, og a =, b =. Der gælder nemlig: c = a + b = + = og c = a + b = + = Pythagoræerne ca. år 400 fvt. kendte oprindelig kun de rationale tal, og var bekymrede for disse nye tal, som det ikke lykkedes dem, at kunne skrive som en brøk. Det lykkedes dem imidlertid at bevise, at ikke er et rationelt tal. Beviset forløber som følger: p p Vi antager at kan skrives som, hvor er en uforkortelig brøk. p Af p p følger imidlertid: så => p = => p er et lige tal. Men så må p selv være et lige tal, da et ulige tal gange et ulige tal er et ulige tal.

14 Tal og algebra (r) 4r Vi kan derfor skrive p = r. Indsættes, får man: som giver, som reduceres til =r. heraf ses at også og dermed også må være et lige tal. p Hvis både p og er lige tal, så kan brøken forkortes med. Dette er i imidlertid strid med at brøken var uforkortelig, og dermed kan man slutte, at ikke er en uforkortelig brøk. I almindelighed definerer man kvadratroden af et positivt tal, som det positive tal, som opløftet til. potens giver tallet. Kvadratroden af 0 er nul. Man kan ikke tage kvadratroden af et negativt tal, fordi der ikke findes noget tal som kvadreret giver et negativt tal. Ser vi f.eks. på 9, så findes der to tal, og -, der opløftet til. potens giver 9. 9 er det positive af disse tal, altså 9. Bemærk, at kvadratrodsuddragning og potensopløftning ikke i almindelighed ophæver hinanden. Således er ( ) (og ikke -), idet ( ) 9. På tilsvarende måde definerer man den. rod af et positivt tal, som det positive tal som opløftet til. potens giver tallet. Eksempler fordi 64 fordi Tal der ikke kan udtrykkes ved hele tal og brøker, kaldes for irrationale tal. De rationale tal og alle tal, der kan udtrykkes ved hjælp af rodtegn, kaldes for algebraiske tal. (De er rødder i et polynomium med heltallige koefficienter). Der findes imidlertid tal, som ikke kan udtrykkes ved rodtegn, det gælder f.eks. tallet π. Sådanne tal kaldes for transcendente tal. Alle de her omtalte tal kaldes for reelle tal. De reelle tal kan afsættes på en tallinie, således at der til ethvert punkt på tallinien, netop svarer et reelt tal og omvendt. Lighed mellem to tal udtrykkes med lighedstegn. At to tal a og b er forskellige skrives: a b. Numerisk værdi Ved den numeriske værdi af et tal forstår man tallet, når man ser bort fra fortegnet. Den numeriske værdi af nul er nul. Numerisk værdi skrives ved at omslutte tallet med to lodrette streger. For eksempel er: = og - =. Mere generelt defineres den numeriske værdi af x, hvis x er et vilkårligt reelt tal: x for x 0 x x for x 0 Ifølge denne definition er =, da >0 og - = -(-) =, da -<0

15 Tal og algebra Der gælder en vigtig sætning om numerisk værdi: x x (og ikke lig med x) For eksempel er ( ) 9. Potensopløftning og kvadratrodsuddragning ophæver ikke (nødvendigvis) hinanden. For numeriske værdier af en sum eller differens gælder endvidere nogle uligheder: a - b a + b a + b Hvis a og b har forskelligt fortegn, så gælder lighedstegnet mellem de første to uligheder, ellers gælder lighedstegnet mellem de to sidste. 8. Andre talsystemer I moderne tid har man stort set kun anvendt 0-talssysmet til almindelige beregninger, (fordi vi har 0 fingre og det er sådan, man lærer at tælle). Der findes imidlertid andre talsystemer (faktisk lige så mange, som der er naturlige tal), hvoraf nogle dog er mere praktiske end andre. Vi har imidlertid stadig levn fra andre talsystemer. Antallet af måneder, vores døgn samt den tidligere engelske møntfod er eksempler på levn fra et -tals-system. Inddelingen i minutter og sekunder er et levn fra et 60-tals system. Computere kan imidlertid kun regne i -talssystemet (det binære talsystem), ligesom dette talsystem har mange teoretiske anvendelser, for eksempel i informationsteori. Det er sundt at huske på at ikke er det samme som tallet tre, men et ret vilkårligt valgt symbol for dette begreb. Begrebet kan kun forklares ved at præciserer, hvad det vil sige at tælle, noget der fra et teoretisk synspunkt ikke er så simpelt endda. 0-tals systemet, som også kaldet de decimale talsystem, har grundtallet 0. Tal, der er skrevet i -tals systemet med grundtal det binære talsystem - består som bekendt udelukkende af to symboler for nul og én, så det er oplagt - næsten tvunget - at repræsentere tallene i dette talsystem med symbolerne 0 og. Vi minder endvidere om positionssystemet for et vilkårligt talsystem. For eksempel betyder tallet 46 skrevet i 0-talsystem, at 46 = * * * 0 + * 0 0. Ethvert tal kan på helt samme måde skrives ved hjælp af potenser af grundtallet i et andet talsystem. Med positionssystemet følger uafhængigt af grundtallet alle de fordele, der er ved regneoperationerne addition, subtraktion, multiplikation og division. Grundtallet skrives altid 0, (altså ét og nul), uafhængigt af talsystemet.

16 Tal og algebra 4 Totalssystemet har to cifre 0 og og grundtallet skrives 0.(læses et- nul) 0-talssystemet har 0 cifre: 0,,,, 4,, 6,, 8, 9 og 0 skrives som 0. Det hexadecimale talsystem (6-tals-systemet) har 6 cifre: 0,,,, 4,, 6,, 8, 9, A, B, C, D, E, F og 6 skrives i dette talsystem som 0 6. Det skulle fremgå, at A=0 0, B= 0, C= 0, D= 0, E=4 0 og F= 0. Når man opererer med forskellige talsystemer, tilføjer man - for at undgå misforståelser - grundtallet som indeks på tallet. For eksempel eller 4 6, idet begge de to tal principielt kunne være tal i 0-tals-systemet. Vi ser på et par eksempler på omregning mellem talsystemer: 00 = = = 0 AF 6 = = * 6 + = 8 0 Skal man omregne et decimalt tal, f.eks. 8 til binært talsystem, kan det gøres ved successivt at dividere tallet med. Resterne ved divisionen, taget i omvendt rækkefølge, vil være de binære cifre i tallet. Algoritmen er vist nedenfor for tallet 8 8 = = = + 0 = + 0 = = 000 På den samme måde kan man for eksempel omskrive til 6-talssystem. = = = AB 6. (A=0, B=) 8. Additions-, subtraktions-, multiplikations- og divisionsalgoritme Hvis et talsystem er baseret på positionssystemet er algoritmerne for regning med tallene uafhængigt af talsystemet, idet man blot skal huske, at grundtallet altid skrives som 0. Binært: 0 =. Decimalt: 0 0 = 0. Hexadecimalt: 0 6 = 6.

17 Tal og algebra Vi viser først multiplikations og divisionsalgoritmerne for binære tal. (I disse algoritmer anvendes nemlig såvel additions som subtraktionsalgoritmen. Vi vil multiplicere med og derefter dividere op i. = 00 og = = 8 (kvotient) = 9 (rest) = * 9 +* +* +* +* = 684 = * = *8 + 9 For Hexadecimale tal nøjes vi med at vise et par eksempler med addition og subtraktion BF 6 = og CD 6 = BF + BF - CD CD C0 = BC68 = 48 0

Regning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.

Regning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab. Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Elementær Matematik. Mængder og udsagn

Elementær Matematik. Mængder og udsagn Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Projekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal

Projekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,

Læs mere

Matematiske metoder - Opgavesæt

Matematiske metoder - Opgavesæt Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a Af Peter Harremoës, Herlev Gymnasium Indledning De fleste lærebogssystemer til brug i gymnasiet eller HF indeholder et afsnit om vort positionssystem. Det bliver gerne fremstillet som noget af det mest

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,

Læs mere

Det endelige tal fremkommer ved at opstille bogstavkombinationer, hvor følgende regler gælder:

Det endelige tal fremkommer ved at opstille bogstavkombinationer, hvor følgende regler gælder: Talsystemer Et talsystem er betegnelsen for den måde, hvorpå tal kan skrives ud fra et grundtal. I dag anvendes i de fleste lande titalssystemet, hvor tallets placering har en værdi (positionssystem),

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

DesignMat Komplekse tal

DesignMat Komplekse tal DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point: Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser

Læs mere

Opgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?

Opgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst? Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale

Læs mere

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 V009 Elevens navn IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 Udarbejdet af Søren Haahr, juni 2010 Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM534 Rolf Fagerberg 1 / 18 Mål Målet for disse slides er at beskrive, hvordan tal repræsenteres som bitmønstre i computere. Dette emne er et uddrag af kurset DM548 Computerarkitektur

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med

Læs mere

Michel Mandix (2014) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2

Michel Mandix (2014) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 MATEMATIK NOTAT 02 - ARITMETIK & ALGEBRA AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: AUGUST 2017 Aritmetik og Algebra Side 2 af 16 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 ARITMETIK... 3 REGNEARTERNE...

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds

Læs mere

Æstetik og reduktioner Matematisk takt og tone. Mikkel Findinge

Æstetik og reduktioner Matematisk takt og tone. Mikkel Findinge Æstetik og reduktioner Matematisk takt og tone Mikkel Findinge Indhold Indledning. Hvad er god matematisk skik?...................... Starttips før ulvehyl 4. Primtalsfaktorisering...........................

Læs mere

Indhold. Kontrol af resultater, skrivemåder osv.

Indhold. Kontrol af resultater, skrivemåder osv. Indhold Kontrol af resultater, skrivemåder osv.... 1 Om materialer:... 2 Om opgaverne... 2 1.0 Om regningsarternes hierarki og talforståelse... Opgave 1.1... 4 Opgave 1.2... 4 Opgave 1.... 4 R1 Kortfattet

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011 Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

OM KAPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER LÆS OG SKRIV MATEMATIK. 6. Det vil derfor være relativt nyt for de fleste elever, at

OM KAPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER LÆS OG SKRIV MATEMATIK. 6. Det vil derfor være relativt nyt for de fleste elever, at OM KAPITLET I dette kapitel om tal i mængder skal eleverne arbejde med de naturlige tal N, de hele tal Z og de rationale tal Q. Eleverne skal ligeledes erfare, at der er brug for endnu flere tal end de

Læs mere

Polynomiumsbrøker og asymptoter

Polynomiumsbrøker og asymptoter Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse

Læs mere

TAL I MÆNGDER ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE OM KAPITLET FAGLIGE BEGREBER FÆLLES MÅL ELEVFORUDSÆTNINGER

TAL I MÆNGDER ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE OM KAPITLET FAGLIGE BEGREBER FÆLLES MÅL ELEVFORUDSÆTNINGER TAL I MÆNGDER I den efterfølgende del skal eleverne arbejde med de rationale tal Q, hvor de bla præsenteres for de endelige OM KAPITLET I dette kapitel om tal i mængder skal eleverne arbejde med de naturlige

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt matematik grundbog trin preben bernitt matematik grundbog -udgave 00 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette

Læs mere

(Positions) Talsystemer

(Positions) Talsystemer (Positions) Talsystemer For IT studerende Hernik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...2 Positions talsystem - Generelt...3 For decimalsystemet gælder generelt:...4 Generelt for et posistionstalsystem

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM534 Rolf Fagerberg Mål Målet for disse slides er at beskrive, hvordan tal repræsenteres som bitmønstre i computere. Dette emne er et uddrag af kurset DM548 Computerarkitektur og

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere