14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag"

Transkript

1 ISBN Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige Hvad er e multiplikatoreffekt? Modellerig af idkomste i e økoomi og multiplikatoreffekte Rækker Økoomiske modeller i avedelse Tema 2: Økoomisk vækst teorier og modeller Idledig Produktio og produktiosfuktioer Solow-modelle... 4 Tema 3: Ulighedsmål i økoomie Velstadsmål Fattigdomsmål Ulighedsmål: Gii-koefficiete Adre mål: Udvikligsideks - Fattigdomsideks De store skriftlige opgave SRO... 7 Studieretigskapitlet om fagligt samarbejde mellem matematik og samfudsfag rummer tre samfudsfaglige temaer og et afsit om studieretigsopgave SRO. De tre temaer giver hvert sit bud på et muligt fælles eme for matematik og samfudsfag, der ka beyttes som udgagspukt for det skriftlige projekt, som matematik skal idgå i ifølge læreplae. Tema hadler om multiplikatorer i økoomi og giver forude e idsigt i matematisk modellerig e avedelse af såvel lieære sammehæge i flere dimesioer som uedelige rækker. Tema 2 hadler om økoomisk vækst og giver forude e idsigt i matematisk modellerig e avedelse af såvel potessammehæge i flere dimesioer som differetialregig. Edelig hadler tema 3 om ulighed og fattigdomsmål og giver e idsigt i avedelse af såvel differetialsom itegralregig. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

2 ISBN Idledig Samfudsfag sat på formler II Dette kapitel ideholder tre tematiske eksempler på brug af matematik i samfudsfag. I det første tema er multiplikatorvirkige i cetrum. Opridelse er at fide hos de egelske økoomi Joh Mayard Keyes. Keyes bryder med si teori i 936 uder idtryk af krise - med de klassiske opfattelse, at økoomie altid søger mod ligevægt. I hovedværket The Geeral Theory o Employmet, Iterest ad Moey påviser Keyes ødvedighede af, at politikere ved hjælp af fiaspolitik skal stimulere de samlede efterspørgsel i samfudet. Virkige af de ekspasive fiaspolitik (eller modsat e kotraktiv) ka bestemmes ved hjælp af de såkaldte multiplikatorer, som bl.a. idarbejdes i de første økoomiske modeller i Damark, SMEC II og ADAM. I de aktuelle økoomiske krise har Keyes fået e reæssace: At state skal spille e fremtrædede rolle i regulerige af økoomie. Teorie bag multiplikatorvirkige får og har fortsat stor betydig. Samtidig muliggør arbejdet med multiplikatorer i matematik at se på kvotietrækker og differetialregig. I det adet tema er fokus på økoomisk vækst. Hvor Keyes teori er efterspørgselsorieteret ser Solows vækstteori fra 956 mere geerelt på, hvad der skaber vækst i samfudet. Modsat Keyes ser Solow på iput-side arbejdskraft og kapital som ødvedige betigelser for vækst og heruder især kapitalakkumulatio som de helt cetrale faktor. Solows er teori udbudsorieteret (hvor meget ka økoomie producere?) og bygger på eoklassiske forudsætiger. Teorie er seere videreudviklet, me får allerede ved des fremkomst stor betydig for bl.a. abefaligere til udvikligslade om hvorda vækst iitieres (Rostows faseteori). Solows teori ka skrives på Cobb-Douglas form og giver dermed mulighed for at arbejde med differetialligiger. Aktuelt bygger bl.a. DREAM videre på e videreudviklig af mage af atagelsere i Solows vækstteori. Det tredje tema omhadler økoomisk ulighed og ulighedsmål. Ulighed og dermed fattigdom spiller e cetral rolle i de politiske og økoomiske debat. Der ka kostateres e grudlæggede ideologisk ueighed socialister på de ee side vil formidske de økoomiske ulighed ved progressiv beskatig og overførsler fra state til de fattige. Modsat vil liberalister på de ade side overlade fordelige i samfudet til markedskræftere, ligesom der argumeteres for at økoomisk ulighed bidrager til de økoomiske vækst. Temaet belyser især forskellige mål for ulighed, heruder især Gii-koefficiete som også hyppigt bruges i forbidelse med reformer. For matematik muliggør arbejdet med Gii-koefficiete at avede bl.a. itegralregig, regressio m.v. Til slut diskuteres formålet med studieretigsopgave og der vises ogle eksempler på studieretigsopgaver, hvor matematik og samfudsfag idgår. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

3 ISBN Tema : Multiplikatorvirkige. Hvad er e multiplikatoreffekt? Vi har økoomisk krise i Damark (som i reste af verde), og i e såda situatio forsøger state ofte at gøre krise midre ved at føre e ekspasiv fiaspolitik. I e såda politik, hvor der pumpes pege ud i økoomie fx geem offetlige ivesteriger eller skatteedsættelser, breder virkige af de udpumpede pege sig i økoomie som rige i vadet - det kaldes multiplikatoreffekte. Idkomste Y Det økoomiske kredsløb Skatte fjerer e vis brøkdel, t De resterede Idkomst Y Opsparige fjerer e vis brøkdel, s Importe fjerer e vis brøkdel, m Ma ka betragte økoomie som e tragt med huller i. Hælder ma pege i økoomie løber de igeem de, me udervejs forsvider der pege ud af økoomie ige, ude at geerere vækst i Damark det ka dreje sig om skat, opsparig og varer der købes i udladet. De resterede pege får edu e tur geem økoomie og geererer mere vækst, og såda fortsætter det. Eksempel: Et eksempel tydeliggør det yderligere: De røde regerig vil støtte økoomie i krisetider og vælger derfor at reovere skoletoiletter for mia. kr., som vi for u lader som om, alle går til hådværkere. De hådværkere skal betale skat af deres øgede idkomst, emlig 4 %. Her er altså det første afløb det første hul hvor der forsvider pege. Da det jo er krisetid, bruger hådværkere ikke alle de pege, de har til rådighed, de sparer emlig 5 % op. Her er altså det adet afløb. Af de pege hådværkere bruger til forbrug, køber de e del tyske varer biler, fladskærmsfjersy osv. I alt gå 2 % af deres forbrug til importerede varer. Her er det tredje afløb. De resterede pege bruger de på daske varer, og disse pege geerer e yderligere vækst i de daske økoomi. Hvis vi lader som om, at det eeste de køber er chokolade, som er produceret på Toms Chokolade, så vil medarbejdere her få e øget idkomst. Vi er u i gag med adet geemløb. Medarbejdere skal jo betale skat, de sparer op og af deres rådighedsbeløb, de bruger ogle af dem på at købe importerede varer. De resterede del bruger de på at købe daske varer, og så er vi i gag med tredje geemløb. Såda fortsætter pegee med at geerere vækst i økoomie. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

4 ISBN Når vi skal se ærmere på effekte af et idgreb har på økoomie, hvor der pumpes mage pege id i økoomie (eller trækkes ud), ser ma på de såkaldte multiplikatoreffekt. Vi ser dog først lige kort på, hvorfra takere omkrig dee type politiske idgreb i økoomie stammer, og hvilke typer af fiaspolitiske værktøjer state råder over. Deræst skal vi have opstillet multiplikatorere ved at se på et system af ligiger - vi kommer her til at se på mere og midre komplicerede udgaver. Dermed kommer der her også ogle overvejelser omkrig modellerig id. Vi bruger dog også e ade tilgag til at fide multiplikatore, emlig ved at se på, hvorfor dee sum af e masse geemløb giver e effekt som er et edeligt tal hertil skal vi vide oget om rækketeori og ser derfor på både edelige og uedelige rækker. Sidst kommer vi tilbage til de forskellige typer af idgreb og avedelse af modelle i virkelighede.. Keyes og økoomisk styrig Take om at ma ka styre økoomie geem krisetider på dee måde stammer fra Joh Mayard Keyes ( ) i The Geeral theory of Employmet, Iterest ad Moey fra 936. Det var 93 eres økoomiske krise, som ædrede de forståelse, der hidtil havde været af atioaløkoomie. Der var høj arbejdsløshed og stagatio (stilstadsperiode med lav eller ige økoomisk vækst), hvilket gjorde takere fra de eoklassiske økoomiske teori, om at økoomie var selvregulerede, og at markedskræftere selv kue sikre beskæftigelse og økoomisk vækst, problematiske. Altså var der ikke teg på at økoomie på lag sigt selv ville løse de økoomiske krise og fide de ligevægt, som de eoklassiske teori ellers mete, ville komme af sig selv. Som kommetar til dette er det berømte citat fra Keyes I the log ru we are all dead oplagt. Det ye i Keyes økoomiske teori var, at ha opstillede e økoomisk model, der så på sammehæge mellem beskæftigelse, fiasierig og produktio. Keyes mete, det var virksomhederes forvetiger til de fremtidige efterspørgsel efter varer, der får dem til at udvide produktioe og derved øger beskæftigelse. Altså mete Keyes, at økoomiske kriser kue udgås eller løses ved politisk at øge efterspørgsle. Keyes take var ikke, at state skulle overtage produktioe. Ha gik id for de markedsbaserede økoomi, me med state der styrer de i de rigtige retig. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

5 ISBN Hvad er det egetligt der sker? Vi vil først gere se, om vi ka få e helt geerel forståelse af, hvad multiplikatore er, og hvad det er der sker med pegee i de omtalte geemløb i økoomie. Derfor vil vi starte med at se på et eksempel og forsøge at lave e geemregig af eksemplet ved brug af regeark. Regeark er yttigt her, da der jo sker det samme i alle geemløbee, og ma derfor ka spare oget arbejde ved at gebruge ligigere og måske ede med oget mere geerelt gældede Øvelse 4. a) Det følgede er udregiger af det første geemløb, der var i eksemplet i starte af kapitlet. Geemreg ved brug af regeark rude og fortsæt selv med geemregig af rude 2, 3 osv. ved at trække passede i cellere. Lav e samlet opgørelse over hvor meget vækst ivesterige har betydet for samfudet. Forudsætiger i eksemplet: E øget offetlig ivesterig på mia. kr. Skatteprocet 4 % Opsparigskvote 5 % Importkvote 2 %. rude: De øgede idkomst i økoomie, som de offetlige ivesterig giver, kalder vi Y =, og de gik til øget lø til hådværkere, som jo skal betale skat. Der betales.4= 4 kr. i skat og hådværkeree har altså ku 6 mio. tilbage som de ka råde over. Af de 6 mio. sparer det 5 % op, altså 6.5= 9 og de resterede 5 mio. bruger de til forbrug. Af det forbrug kommer de 2 % fra importerede varer, hvilket svarer til 5.2= 2. Derfor er det ku de resterede 48 mio. der giver øget forbrug i Damark. De 42 mio. kr. bruges u videre i økoomie, de beteges Y og er udgagspuktet for æste geemregig. Øvelse 4.2 Nu har du et eksempel på e geemregig af multiplikatoreffekte, der jo etop var et udtryk for de samlede effekt et idgreb i økoomie edte med at have. Me det smarte ville jo være at ma ikke behøvede lave e såda geemregig hver gag. Du skal derfor forsøge at gøre dit regeark geerelt. a) Få skrevet forudsætigere id i toppe af regearket, med e titel i e celle og værdie hørede til i e celle hørede hertil. b) Brug derefter hevisiger til cellere med forudsætigere, år du udreger rudere. c) Leg med at ædre på forudsætigere og se hvad heholdsvis ædriger i skatteprocet, opsparigskvote og importkvote betyder for de samlede effekt på økoomie. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

6 ISBN Fiaspolitiske værktøjer Når vi kigger på fiaspolitiske idgreb i økoomie, bliver vi ødt til også at komme id på de vedvarede diskussio af, hvorda et såda idgreb skal udføres. Som det er blevet beskrevet, hadler det jo bare om, at state skal øge efterspørgsle i økoomie. Der er dog ikke et etydigt svar på, hvorda det skal gøres. Her ka multiplikatore også hjælpe os med at se på effekte af de to grudlæggede typer af idgreb - offetlige ivesteriger eller skattelettelser? Diskussioe buder selvfølgelig i høj grad i de forskellige ideologiske fudameter, de forskellige partier har, me det gør bestemt ikke diskussioe midre iteressat. Vi har altså her oget, vi ka rege på og matematisk set fide de oplagte løsig på, me som alligevel til stadighed diskuteres politisk. Dee diskussio kommer vi ærmere id på, år vi har set på multiplikatore matematisk set. 2. Modellerig af idkomste i e økoomi og multiplikatoreffekte I det følgede skal vi bruge e hel stribe symboler svarede til alle de variable, der optræder i modelle. Navee på variablee består typisk ku af et bogstav, så ma skal holde tuge lige i mude, for emt at kue gekede dem. Praxis: Symbolforklarig Lagt de fleste symboler, der bruges i økoomi kommer fra forbogstavet i de egelske betegelser. I ogle tilfælde er der dobbeltgægere og der er det kutyme, at ma bruger adet bogstav (ligesom AT og AP). Y = Yield = Idkomst geereret i økoomie C = Cosumptio = Husholdigeres forbrug C = Det idkomstuafhægige forbrug C = forbrugskvote = adele af dispoibel idkomst, der går til forbrug, < c<. S = Savigs = Husholdigeres opsparig s = opsparigskvote = adele af dispoibel idkomst, der går til opsparig, < s< I = Ivestmets = Ivesteriger G = Govermet spedig = Offetlige udgifter/forbrug T = Tax = Skat t = skattekvote = adele af idkomst der går til skat, < t< X = export = Eksport M = import m = importkvote = adele af husholdigeres dispoible idkomst der går til import, < m<. M G = multiplikatoreffekte som følge af ædrig i offetlige udgifter M T = multiplikatoreffekte som følge af ædriger i skatte Variable med absolutte mål som fx atal arbejdere eller de samlede idkomst agives med store bogstaver. Variable med relative mål som fx idkomst per arbejder eller opsparigskvote som procet af idkomste agives med små bogstaver. Advarsel: Ved kvotevariable, der typisk måles i proceter, er det specielt vigtigt at være opmærksom på, hvad procete udreges af. Forskellige fremstilliger ka godt bruge forskellige defiitioer og dermed å frem til forskellige formler, selvom modellere er ækvivalete! 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

7 ISBN Multiplikatore som matematisk begreb Ide vi går i gag med at se ærmere på de økoomiske modeller, ka det være godt at mide om multiplikatore som et matematisk begreb løsrevet fra de økoomiske kotekst. Vi kigger da først på e lieær variabelsammehæg. I e y y = a x + b såda model spiller hældigskoefficiete a rolle som multiplikatore: Hvis der sker e ædrig af de uafhægige va- Δy=a Δx y 2 riabel x, vil de emlig forårsage e ædrig i de afhægige y Δx variabel y, der er a gage så stor, dvs. skrevet med symboler: Ædrige i x= x x = x b 2 Ædrige i y= y y = y 2 Sammehæge er givet ved: y= a x Det følger umiddelbart af formle for hældigskoefficiete y2 y y a= = x x x 2 Hvis sammehæge ikke er lieær, me fx givet ved et tredjegradspolyomium, er de lokale hældig lags grafe ikke lægere kostat, me er i stedet givet ved differetialkvotiete f ( x). Multiplikatore er derfor i dette tilfælde givet ved differetialkvotiete. De oveståede sammehæg mellem ædriger i x og de deraf forårsagede ædriger i y gælder da ku tilærmelsesvis for små ædriger: Lille ædrig i x= x x = x Lille ædrig i y= y y = y Sammehæge er givet ved: y f ( x) x x Ædrigere skal være så små, at vi holder os til området, x hvor grafe stort set falder samme med tagete. NB! I de følgede diskussio af multiplikatorvirkige i økoomi vil vi ku arbejde med lieære sammehæge, så stregt taget behøver vi ikke kigge på differetialkvotieter. Me ved komplicerede formler ka det være de emmeste måde at udtrække multiplikatore. Edelig ka de afhægige variabel z afhæge lieært af to uafhægige variable x og y. Variabelsammehæge er da på forme z= a x+ b y+ c med to hældigskoefficieter, emlig é hørede til x og é hørede til y. I e såda model er der derfor to forskellige multiplikatorer, emlig a hørede til ædriger i x og b hørede til ædriger i y: z= a x, år y=, dvs. y holdes kostat. z= b y, år x=, dvs. x holdes kostat. Sådae to-faktormodeller optræder hyppigt i samfudsøkoomiske modeller, hvor ma fx ka fokusere på virkige af e skattelettelse, samtidigt med at de offetlige ivesteriger holdes i ro eller omvedt. Skattelettelsere vil da være tilkyttet é multiplikator, de offetlige ivesteriger e ade. Me alt det kommer vi til. y y y x Δx x 2 y = f(x) x Δy f'(x ) Δx x 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

8 ISBN De simple idkomstdaelse For at å frem til e brugbar model må vi starte fra bude og bygge på efterhåde. Vi starter derfor med e helt simpel model for idkomstdaelse i e økoomi. Det giver os e elemetær forståelse af de mekaismer, der er i økoomie, og hvad multiplikatore er matematisk set. Modelle er dog for simpel til at bruge i virkelighedes verde. De grudlæggede atagelser i dem simple model hadler om udbudsside og efterspørgselsside. Virksomhedere er udbudsside: De idkomst, Y, der geereres i økoomie, er produktioe. Altså vil hver virksomhed i økoomie, der producerer varer for et bestemt beløb, altid udbetale det hele i lø, profit og rete. Produktioes størrelse afgør virksomhede ud fra hvor meget de forveter at kue afsætte, altså de forvetede efterspørgsel. Grafisk er det illustreret ved e kurve på 45, med skærig i,. Dog skal ma huske, at der i e økoomi er e øvre græse for, hvor meget der ka produceres på kort sigt, emlig de fulde beskæftigelse. C (Efterspørgsel) Y = C Y (Produktio) Forbrugere er efterspørgselsside: Her forudsættes det, at forbrugere ka bruge deres løidkomst til ete forbrug, C, eller opsparig, S. Ma bruger opgørelser over folks forbrug til at udrege forbrugskvote, c, altså adele af løidkomste, der bruges på forbrug og opsparigskvote, s, som omvedt er adele af løidkomste, der bruges på opsparig. Da løidkomste ku bruges til opsparig og forbrug må det gælde at: c+ s=. C C (Efterspørgsel) C = C + c Y Y (Produktio) Hvad bruges opsparige så til? Ifølge atioalregskabsligige vil opsparige i ligevægt, altid være lige så stor som ivesterigere i økoomie, da I= Y C G. Ivesterigere er bestemt af faktorer udefra. Altså ved virksomhedere, hvad der ka betale sig at ivestere. Opsparige er e del af idkomste, så stiger idkomste vil opsparige stige. De to tilpasser sig altså hiade ved at idkomste varierer. Keyes mete dog godt at opsparige ka overstige ivesterigere i samfudet, og dermed ikke skabe de øskede vækst. I de keyesiaske teori er forbruget desude delt i to. De idkomstuafhægige del, C, som er det ødvedige forbrug, og e del, som er afhægig af idkomste c Y. Altså er C= C + c Y. Illustreres det grafisk er det e ret lije med skærig af y-akse i puktet (, C) og hældige er etop forbrugskvote, c. Forbrugskvote er altså afgørede for efterspørgsle i økoomie. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

9 ISBN Sætter ma udbudsside lig efterspørgselsside fider vi produktiosiveauet i ligevægtstilstade: Y= C + c Y Y c Y= C Y ( c) = C C Y= = C c c Ligevægtsproduktioe er altså givet ved Y = C. * c C * C C (Efterspørgsel) Y = C C = C + c Y Y (Produktio) Y * Vælger virksomhedere u e produktio Y, der ligger uder ligevægtsproduktioe ligger de blå efterspørgselskurve øverst, dvs. virksomhedere ka afsætte mere og bør sætte produktioe op. Vælger virksomhedere derimod e produktio Y 2, der ligger over ligevægtsproduktioe ligger de blå efterspørgselskurve ederst, dvs. virksomhedere ka ikke afsætte hele deres produktio og bør sætte produktioe ed. I et frit marked vil produktioe derfor regulere sig af sig selv og lade på ligevægtsiveauet Y. * C C (Efterspørgsel) C Y Y Y * Y ligger for lavt: Der er basis for at udvide produktioe. Y 2 Y 2 C 2 Y = C C = C + c Y Y (Produktio) Y 2 ligger for højt: Der er basis for at idskræke produktioe. Multiplikatore ser på ædriger i efterspørgsle og hvilke ædrig det giver i de samlede produktio. Ser vi på det grafisk, så vil e øget efterspørgsel ses som, at forbrugskurve skubbes lodret opad med stykket C. Det fører til e ædrig af ligevægtsproduktioe på Y. Me som det fremgår af figure * gælder der C = Y c Y = ( c) Y * * * Multiplikatoreffekte er altså givet ved Y * MC = = C c. Y * Y * ΔY * I stedet for at kigge på forskydiger af efterspørgselskurve ka ma også tage udgagspukt i sammehæge mellem ligevægtsproduktioe Y og basisforbruget C, som vi jo fadt til at være * Y = C * c Me det svarer jo helt til e sædvalig opskrivig af e ret lije y= k x hvor hældige og dermed mul- tiplikatore etop er k=. Ud fra ligevægtsligige er det altså trivielt at aflæse multiplikatore. c ΔC Efterspørgsel C C ΔC c ΔY * ΔY * Y = C Y (Produktio) C = C + c Y C = C + c Y 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

10 ISBN Øvelse 4.3 a) Teg e forbrugsfuktio med forskrifte C = +.5 Y. Fid ligevægtsidkomste. b) Lad deræst forbruget stige med C =, teg de ye forbrugsfuktio og fid de ye ligevægts idkomst. Hvor meget er idkomstædrige i forhold til stigige i forbruget (altså multiplikatore)? c) Lav u samme øvelse me med c=.4 og c =.6. Hvilke betydig har forbrugskvote for multiplikatores størrelse? Bemærkig: Skal ma rege multiplikatore ud, ka ma også bruge differetialkvotiete, som jo etop giver hældigskoefficiete. Differetiatioe ka ete foretages vha. et værktøj eller ved hjælp af regereglere for differetiatio. C Y = * c dy * M= = = dc c ( s ) Allerede fra vores simple model ka vi altså se, at det grudlæggede problem for økoomie, er de pege der bliver trukket ud af det økoomiske kredsløb, fx ved opsparig. Det er forbruget (og opsparige), der afgør multiplikatores størrelse og dermed effekte af e idkomstædrig i økoomie. Ligevægte som et resultat af e matematisk iteratiosproces (A-iveau) Ide vi forlader eksemplet helt, vil vi lige se på ligevægtsprocesse fra et matematisk syspukt, der kaster lys over udregige af multiplikatore som et resultat af et kredsløb, hvor effekte af e ædrig spreder sig som rige i vadet. Udgagspuktet er efterspørgselskurve C= C+ c Y og produktioskurve Y = C. Vi ved, at der er basis for at afsætte efterspørgsle C. Som et første bud på produktioe sætter vi derfor til Y = C. Me allerede dee produktio giver luft i økoomie og der efterspørges u C + c Y, hvorfor vi sætter produktioe op til Y = C + c Y. Det giver yderligere luft i økoomie, og der efterspørges u C+ c Y, hvorfor vi sætter produktioe op til Y2 = C + c Y. Således fortsætter vi, me som vist på figure svarer det etop til, at vi bevæger os op af e trappe mod ligevægtspuktet i diagrammet. Ydermere ser vi, at de ekelte trappetri er givet ved C, c C, c C,... 2 Ligevægtsproduktioe er derfor de uedelige sum 2 2 Y = C+ c C+ c C+... = C ( + c+ c +...) * På de ade side har vi jo tidligere udreget at der gælder Y = C * c. Summe af de uedelige række må derfor være givet ved + c + c +... = c Vi veder tilbage til sådae rækker i afsit 3. Me hvis du er blevet ysgerrig ka du læse meget mere om sådae iterative processer i kapitel. 2 C * C C (Efterspørgsel) C C Y Y Y 2 Y 3 Y * Y (Produktio) Y = C C = C + c Y c 3 C c 2 C c C 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

11 ISBN E lukket økoomi med e offetlig sektor Nu har vi de helt geerelle forståelse for idkomstdaelse i e økoomi, me vi er ødt til at komplicere det lidt for at gøre det til e mere realistisk og dermed brugbar model. For e økoomi er jo ikke ku forbrugere og virksomheder. Vi tager udgagspukt i atioalregskabsligige for e lukket økoomi, som er et udtryk for sammesætige af idkomste i e økoomi - altså ligevægte: Y = C+ I+ G Altså udbygges vores hidtidige simple model u med private ivesteriger, I, og offetlig efterspørgsel, G. Desude betaler ma jo skat, T, til de offetlige sektor. Tager ma i første omgag dog udgagspukt i, at de tre variable I, G og T har et fast iveau, er det dog stadig det private forbrug, der er afgørede for multiplikatores størrelse. Når regerige fører fiaspolitik gøres det ete ved at ædre de offetlige udgifter, G, eller ædre i beskatiges størrelse, T. Her skal ma være opmærksom på, at e ekspasiv fiaspolitik, hvor der øskes at sætte gag i økoomie, fås ved at hæve de offetlige udgifter, dvs. gøre G større, eller ved at sæke skatte, altså gøre T midre. Læg mærke til at da vi u har idført skat i modelle er de dispoible idkomst givet ved Y T og ligige for det private forbrug ædres derfor til C= C + c ( Y T) idet de variable del af forbruget atages at udgøre e fast procetdel af de dispoible idkomst. De to adre variable atager vi der i mod er kostate I= I, G= G Øvelse 4.4 a) Idsæt i atioalregskabsligige de to faste størrelser I= Iog G= G samt ligige for det variable forbrug C = C + c ( Y T). Fid ligevægtsidkomste ved at Isolér Y. Brug evt. e solvekommado til at isolere Y. b) Fid multiplikatorere M G og M T ved at omskrive ligevægtsidkomste til e lieær fuktio af G og T, dvs. på forme G Y= kostat+ M G + M T. Du ka evt. få hjælp af dit CAS-værktøj ved at iddrage expad-kommadoe. Fx vil kommadoe expad(..., G ) udskille koefficiete for G. dvs. skrive udtrykket på forme Y= G, hvorfor du emt ka aflæse multiplikatore M G og tilsvarede for variable T. c) Fid herefter multiplikatorere M G og M T ved brug af differetiatio, T dy dy = og MT =. dt MG dg d) Overvej hvorfor der er forskel på multiplikatorere, og hvilke type idgreb, der er mest effektiv. Vi ser altså fra øvelse at de to fiaspolitisk idgreb har forskellige multiplikatorer. Vi ser lidt ærmere på det faktum ved et eksempel. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

12 ISBN Eksempel Vi befider os i e usikker økoomisk situatio, og folk sparer derfor meget at deres idkomst op for at være på de sikre side. Opsparigskvote er derfor s=.2. Regerige skal lave et fiaspolitisk idgreb for at sætte gag i økoomie. Me skal de bruge.mia. kr. på skattelettelser eller. mia. kr. på at øge de offetlige udgifter? For at kue svare på det ser vi ærmere på de to multiplikatorer: M G ( s) (.2) = = = 5 MT = = = 4 ( s) (.2) ( s) (.2) Det betyder altså, at hvis der pumpes. mia. kr. ud i økoomie ved at øge de offetlige udgifter geererer det e effekt på idkomste på Y = M G= 5 = 5mia. kr. De samme effekt af skattelettelser er dog ku Y = M T = 4 = 4mia. kr. T G Grude til de midre effekt af skattelettelser er, at her bestemmer regerige jo i første omgag ikke, hvad pegee skal bruges til. Bygger de skoler for.mia. er de sikre på, at der er dee øgede effekt i første omgag. Giver de derimod borgere pegee i håde i form af skattelettelser, bliver effekte i første omgag midre, da borgere sparer ogle af dem op. Ma ka godt blive lidt svedt over de mege algebra, der er forbudet med at trække multiplikatore ud af modelle. Me selve grudidee bag multiplikatore er de samme som før! Keyes beskriver fx multiplikatore på følgede måde: There is othig faciful or fie-spu about the propositio that the costructio of roads etails a demad for road materials, which etails a demad for labour ad also for other commodities, which, i their tur, etail a demad for labour Geerally speakig, the idirect employmet which schemes of capital expediture would etail is far larger tha the direct employmet But the fact that the idirect employmet would be spread far ad wide does ot mea that it is the least doubtful or illusory. O the cotrary, it is calculable withi fairly precise limits. Fra Keyes ad Hederso i The collected writigs of Joh Meyard Keyes, vol. 9, 972, p. 5. Fudet i The Keyesia multiplier, s., edited by Claude Gos m.fl, Routledge 28. Matematisk bemærkig (A-iveau): Ma ka også illustrere multiplikatore grafisk. Da vi har flere variable i spil kræver det dog at vi går e dimesio op. Natioalregskabsligige for e simpel lukket økoomi ( ) Y = C+ I + G, dvs. C= Y I + G skal da afbildes samme med forbrugsgrafe ( ) C C c Y T = + Der er tre variable ivolveret, emlig Y, C og T. Vi tilføjer derfor edu e akse svarede til skatte T. Som før lader vi første-akse Y pege mod højre, ade-akse C pege opad og tredje-akse T pege udad. De to lieære ligiger fremstiller da plaer i rummet, som skærer hiade i ligevægtskurve (afbildet rød). 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

13 ISBN De viser, hvorda ligevægtsidkomste Y afhæger af skattegrudlaget T. Sættes skatte op, dvs. vi bevæger os ud af T-akse, rykker ligevægtspuktet idad på Y-akse, dvs. de samlede idkomst falder, år skatte stiger. Reducerer vi omvedt skatte, stiger de samlede idkomst. Øvelse 4.5 Som et kokret eksempel sætter vi atioalregskabsligige til Y= C+ og forbrugsligige til C= ( Y T). Forbrugskvote er altså c=.25 og vi reger i mia. kr. a) Teg de tilhørede plaer i første oktat med x 5, y 5 og z 5. b) Gør rede for at hvis T = fås ligevægtskurve C= Y og ligevægtsværdie Y = 4. Du ka se * ligevægtskurve på de bagerste gule pla hvor T=. c) Gør rede for at hvis T = 5fås ligevægtskurve C= Y og ligevægtsværdie Y = 7/3= Du ka se ligevægtskurve på de forreste usylige pla hvor T= 5. * Y d) Gør rede for at multiplikatore hørede til T derfor må være givet ved MT = = =.33og at T 3 ( s) dette stemmer overes med de formel vi har fudet for multiplikatore MT =. ( s) Hvis vi også vil kigge på multiplikatore for G idgår de ku idirekte som e parameter i atioalregskabsligige C= Y I G. Hvis vi hæver det offetlige forbrug, sæker vi de grøe pla og ligevægtskurve skubbes mod højre. Altså vokser de samlede idkomst i ligevægt. Som i det todimesioale tilfælde ka dette bruges til at fide multiplikatore Y MG = G Øvelse 4.6 (i forlægelse af øvelse 4.4) Som et kokret eksempel hæver vi det offetlige forbrug med mia. kr., dvs. vi sætter G =. Samtidigt holder vi skatte i ro og vælger fx T= 5. a) Gør rede for at de forskudte pla får ligige C= 2+ Y og tilføj de forskudte pla. b) Hvis T = 5fadt vi ligevægtskurve C= Y fid de forskudte ligevægtsværdi Y. * Y c) Udreg multiplikatore ud fra defiitio MG = og tjek værdie med formle M G = G ( s). 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

14 ISBN De klassiske model for e åbe økoomi De model af økoomie vi har set på er selvfølgelig stadig alt for simpel. Vi udbygger u ige modelle, hvilket gør de mere realistisk, me også sværere at illustrere. Det første, der skal ædres, er fremstillige af skatte. Vi atog at skatte havde e fast størrelse uaset idkomst, me såda er virkelighede jo ikke. Det mest almidelige er, at ma har e idkomstskat, hvor skatte er afhægig af idkomste. Matematisk set ka det fremstilles som T = T + t Y hvor t er skattekvote, dvs. adele af husholdigeres idkomst, der går til skat. Altså er < t<. Det adet der skal ædres er, at det jo u er e åbe økoomi, og vi er derfor ødt til også at se på hadel med adre lade. Ser vi på Damark var eksporte 64,6 mia. kr. i 2 og importe tilsvarede 524,4 mia. kr.(kilde I de åbe økoomi må udbuddet på varemarkedet altså både bestå af ideladsk produktio og import af varer og tjeester fra omverdee samtidig må efterspørgsle efter varer også ikludere eksporte. Derfor bliver ligevægte også tilpasset. Kalder vi importe for M og eksporte for X er ligevægtsligige u givet ved: Y + M= C+ I+ G+ X Her har vi altså udbuddet på varemarkedet på vestreside og de samlede efterspørgsel på højreside. Skriver vi om på ligige, så vi samler hadelsbalace, altså eksport mius import, får vi: Y= C+ I+ G+ ( X M) Eksporte er bestemt ude for de økoomi vi ser på. De ka dog ædres ved at ædre på kokurreceeve. Derfor sætter vix= X. Importe vil derimod variere afhægigt af idkomste. E del af importe må dog atages altid at være der det drejer sig om varer vi ikke selv har til rådighed fx råstoffer, som er ødvedige i produktioe. E ade del af importe er afhægig af idkomste, det er fx varer som ikke er mulige at producere i Damark, fx baaer eller biler. Altså fås M= M+ m Y, hvor M er e fast mægde varer, der importeres, og m er importkvote altså adele af idkomste, der bruges på import. Som sædvaligt gælder der < m<. Da e stor del af de idkomstafhægige importvarer er det ma kue betege som luksusvarer, som ka udværes eller erstattes af billigere daske alterativer, vil e god økoomi ofte betyde e stigig i importkvote. For e del af importe og eksporte afhæger importkvote også af kokurreceeve. E god kokurreceeve giver e lave idkomstuafhægig import og e lavere importkvote og omvedt for e dårlig kokurreceeve. Derfor ka politikere også forsøge at forbedre økoomie ved at ædre på kokurreceeve. Dog vil det ige betydig have for varer som eergiprodukter, råstoffer og specialdesigede varer. Vi ser u på de udvidede atioalregskabsligig Y= C+ I+ G+ ( X M) og idsætter de gældede betigelser: 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

15 ISBN C= C + c ( Y T) T= T + t Y I= I G= G X= X M= M + m Y får vi følgede sammehæg: Y= C+ c Y c T c t Y+ I+ G+ X M m Y Vi isolerer ige Y, gere med brug af e solve-kommado ( c T C G X I+ M) solvet ( = C+ c Y c T c t Y+ I+ G+ X M m Y, Y) Y= c t c+ m+ Me ellers ser omskrivige således ud: ( ( ) ) Y= C + c Y c T c T Y+ I + G + X M m Y Y c Y+ c t Y+ m Y= C c T + I + G + X M Y c t + m = C c T + I + G + X M Y = = ( C I X M ) C c T + I + G + X M G c T c ( t) + m c ( t) + m Nu har vi så ligevægtsidkomste udtrykt ved det offetlige forbrug G og skattetrykket T. Vi fider ige multiplikatorere ved at omskrive dee sammehæg på lieær form eller ved differetiatio. Brækkes brøke over fås C+ I+ X M c Y= + G + T c ( t) + m c ( t) + m c ( t) + m Heraf aflæses multiplikatorere til Multiplikatore for de offetlige ivesteriger: M G = c ( t) + m = ( s) ( t) + m Multiplikatore for skat (de idkomstuafhægige del): M T c ( s) = = c ( t) + m ( s) ( t) + m De ka aturligvis også fides ved differetiatio: d ( c T C G X I+ M) dg c t c m + + c t c+ m+ d ( c T C G X I+ M) c dt c t c m + + c t c+ m+ Disse er hvad ma kalder de klassiske keyesiaske multiplikatorer for fiaspolitiske idgreb. Ma ka ligeledes lave e multiplikator for de idkomstafhægige del af skatte. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

16 ISBN Eksempel Vi ser ige ærmere på multiplikatorere ved at viderebygge på eksemplet fra sidst. Vi er i e usikker økoomisk situatio, hvor opsparigskvote er s =.2, skatteprocete er t =.4 og importkvote er m=.2. Regerige skal ige lave et fiaspolitisk idgreb for at sætte gag i økoomie. Me skal de bruge mia. kr. på skattelettelser eller mia. kr. på at øge de offetlige udgifter? M M G T = = = ( t) ( s) + m (.4) (.2) +.2 ( s) (.2) = = =. ( t) ( s) + m (.4) (.2) +.2 Det betyder altså, at hvis der pumpes. mia. kr. ud i økoomie ved at øge de offetlige udgifter geererer det e effekt på idkomste på Y= M G=.389 =.389mia. kr. De samme effekt af skattelettelsere er dog ku Y = M T =. =.mia. kr. T G Effekte af idgrebet er u lagt midre pga. de yderligere afløb i økoomie, der u er medreget. Øvelse 4.7 a) Brug klippet fra Statistisk årbog 22 til at udrege t, s, og c + m (da de gør forbrug op geerelt og ikke på typer af varer). Kilde: s Kritik af de klassiske model og de udbyggede udgave De vakse læser vil dog have bemærket, at de klassiske keyesiaske multiplikator for offetligt forbrug ikke svarer til de multiplikator, der blev brugt i det idledede eksempel. I yere forskig omkrig ligevægte på varemarkedet, kritiseres de klassiske keyesiaske model, for de måde de ser på importe. Importe spiller, med de øgede globaliserig, e meget større rolle for økoomie ed de klassiske model medtager. Det får kosekveser for effektere af de fiaspolitiske idgreb. Kritikke går på, at i de 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

17 ISBN opridelige model ses importe som e adel af idkomste og ikke som e adel af det samlede forbrug, hvilket ma burde gøre. Altså vil økoomer, som fx Cherry(2) mee, at importe skal opskrives som ( m I m G) ( ) ( ( )) M= m C+ I+ G = m C + c Y T + t Y + + Altså vil både virksomhederes forbrug, husholdigeres forbrug og det offetlige forbrug have e adel af deres forbrug der går til importerede varer. Øvelse 4.8 a) De ye opskrivig af M idsættes i atioalregskabsligige Y= C+ I+ G+ ( X M) Isolerer ige Y og få ved omregig: Y = ( ) C ( m) + I ( m) + X + ( m) G c ( m) T c ( t) ( m) b) Bræk brøke eller differetier og fid de to ye multiplikatorer dy m MG = = dg ( s ) ( t ) ( m ) dy ( s) ( m) MT = = dt ( s ) ( t ) ( m ) Ser vi til sidst ige på det eksempel, vi startede kapitlet med, er det jo e ædrig i de offetlige udgifter, der kigges på. Hvis du forsøger at udrege multiplikatore ved formle for M G, får du dog ikke helt det øskede resultat. Det hæger samme med, at vi jo siger, at hele de mia. kr. der bruges på at reovere toiletter går til løiger. Dermed har vi jo ikke medtaget at oget af de øgede offetlige udgifter i første omgag går til import af varer og herved bliver tællere i brøke. Det er altså e simplificerig af modelle, me det skal dog oteres, at de reelle importkvote for offetlige udgifter lagt fra er så høj som importkvote for forbrug, da meget af det offetlige forbrug går til lø. Derfor ka ma med fordel gå edu videre og idarbejde at importkvote, m, ikke er de samme for forbrug, ivesteriger, offetligt forbrug og eksport. Ved at modellere med forskellige importkvoter bliver modelle edu mere kompleks og multiplikatorere ædres ige. Øsker ma at arbejde videre med dette ka ma fx se på Palley(29). 2.5 Hvad er så forskelle? Kigger vi ige på eksemplet fra de klassiske model, hvor opsparigskvote er s=.2, skatteprocete er t =.4 og importkvote er m=.2, bliver multiplikatorere u givet ved M G m.2 = = =.2987 ( t) ( s) ( m) (.4) (.2) (.2) Me da e importkvote på.2 for offetlige udgifter ikke er realistisk ka vi også vælge at igorere des bidrag i tællere M G = ( t) ( s) ( m) = (.4) (.2) (.2) = Reelt ligger multiplikatore et sted i mellem! 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

18 ISBN Tilsvarede fås M T ( s) ( m) (.2) (.2) = = =.3896 ( t) ( s) + m (.4) (.2) (.2) Dvs. at effekte for de offetlige udgifter bliver på Y = M G =.623 =.623 mia. kr. De samme effekt af skattelettelser er dog ku Y = M T =.39 =.39 mia. kr. T G Ser ma så på, hvor meget ekstra idflydelse afløbet til import har i de ye model, er det lettest at se på effektere sat i forhold til hiade. For at tydeliggøre de ædrede effekt af importe lader vi det afløb, der i de ye model er sat til import af varer i forbidelse med de øgede offetlige udgifter, være. Ved de klassiske model er forholdet =. Ved de ye model er forholdet = Altså er der i de to modeller e stor forskel på, hvor stor effekte af de to typer idgreb er i forhold til hiade. De relative effekt af at øge de offetlige udgifter er altså større i de ye model. Det er svært at fide empirisk data til at udersøge de reelle effekter, me ifølge Palley (29) bruger Obamas admiistratio i USA et forhold på,5. 3. Rækker E ade tilgag til at se på multiplikatore er at se de som e sum af e masse led, emlig idkomstforøgelse i de forskellige ruder, og hvilke effekt de giver til samme. Ser vi ige på et eksempel hvor der betales 4 % i skat, 2 % af de dispoible idkomst opspares og af de resterede idkomst bruges 2 % på importerede varer. Vi ser her på effekte af e øget offetlig ivesterig, der øger idkomste i samfudet med Y. Det vil sige, at i første rude er der e øget idkomst, i ade rude er der e øget idkomst frareget afløbee til skat, opsparig og import, i tredjerude er der e øget idkomst frareget to afløb til skat, opsparig og import osv. Laves rudere symbolsk skrives det på følgede måde: Bidrag fra rude : Y ( ) ( ) ( ) Bidrag fra rude 2: Y (.4) (.2) (.2) Bidrag fra rude 3: Y (.4) (.2) (.2) Bidrag fra rude 4: Y (.4) (.2) (.2)... De samlede effekt af idgrebet er så summe af de ekelte ruder. Me hvorfor giver såda e sum af e hel masse tal e eksakt værdi? For at komme frem til svaret på det har vi brug for oget vide om rækker L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

19 ISBN Edelige rækker Vi får brug for på e smart måde at kue opskrive og udrege e sum af mage tal, både edeligt mage og uedeligt mage. Vi starter med at idføre de otatio, vi skal bruge. E sum af flere tal kaldes e ræk- ke. Lad os sige, vi vil lægge tallee, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, samme. Dee sum ideholder ti tal, og ma ser, at udtrykket ka frembrige de ti led ved, at idekset geemløber værdiere,2,3,, op til. Altså for = 2 er: = 2. E sum, hvor geemløber de hele tal fra til skrives ved brug af det store græske bogstav Sigma, Σ (Stort Græsk S for Sum), på følgede måde: = =. = Summe lægger altså leddee samme, hvor idekset starter ved (læses edeuder sumteget Σ) og slutter ved (aflæses oveover sumteget Σ). Dee otatio er praktisk, år ma på begræset plads vil skrive summe af mage tal. Bemærk, at det er vigtigt at overveje, hvor summe begyder. Fx ka vi i oveævte eksempel ikke starte summe i = (hvorfor egetlig ikke?). Øvelse d) Skriv summe ud. 5 = e) Opskriv summe med sumotatio f) Omskriv summe til sumotatio. Bemærk at ma ka bruge et CAS-værktøjs idbyggede sumkommado til at udrege sådae summer. 3.2 De geometriske række Vi skal u se ærmere på e særligt pæ række. Defiitio: Kvotietrække E række på forme K = r = r + r + r + + r 2 K hvor kaldes e kvotietrække eller e geometrisk række. Altså er e kvotietrække/geometrisk række e række, hvor et fast tal opløftes i stigede poteser. Fx er række = = 63 = e geometrisk række. Øvelse 4. a) Skriv summe 6 4 ud. = b) Skriv summe K 4 ud. = For de geometriske rækker fides e ekel formel til at udrege summe. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

20 ISBN Sætig Hvis r R og r gælder, at e edelig kvotietrækkes sum ka udreges ved følgede formel K r = K = r r Bemærk, at sætige altså ku gælder, år r og idekset starter i. Vi skal altså sætte = for at frembrige det første led i summe. Hvis summe i stedet starter eksempelvis i=, vil ma magle led- det r =, og altså få e sum, der er midre. Øvelse 4. - Bevis Det er lettest at starte med at bevise, at ( r ) K K r = r = a) Overvej hvorfor det er det samme udtryk! Vi ser først på vestreside: b) Skriv summe ud. c) Gag id i paretese (her skal du bruge e potesregeregel!). d) Reducer udtrykket. e) Du skulle u gere have vist at ( r ) K K r = r. = f) Da r, må vi dividere med r på begge sider: K r = K = r r Hermed er sætige bevist. Eksempel Summe ( 2 ) ( 3 ) ( ) ka skrives som ( ) ( ) = Ved brug af sætig med r= 3 er summe er givet ved ( ) ( ) 88573, = = 3 = Overvej hvorfor det er rigtigt! Husk at 3 = Øvelse a) Udreg 3 via sætig. = ( ) b) Udreg 2 =. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

21 ISBN c) Bestem K, år K 3 = = 3.3 Uedelige rækker og koverges Nu, hvor otatioe er på plads, skal vi se, hvorda vi ka rege med summer, som ideholder uedeligt mage led. Disse kalder vi uedelige rækker. Vi vil først se på, hvorda summer af uedeligt mage tal skal forstås, og hvorda de opfører sig. I behadlige idgår græseværdi-begrebet, som atages kedt fra tidligere. I eksempel 4 så vi, at ( ) afrudet er, Det er klart, at år tallet bliver stort, bliver 3 3 = meget lille tal (Overvej!). Så lagt ude i summe lægges altså ku meget små tal til. Summerer vi op til K= 2 i stedet, fås ved brug af sætig, at ( ) ( ) = = 3 = Summe er med alt rimelighed,5. Summerer ma op til fx 5 i stedet ses, at summe ikke bliver større ( ) et ed,5. Det giver altså meig at sige, at summe har græseværdie.5, fordi hvis går mod uedelig, kommer summe vilkårligt tæt på, me aldrig over.5. Når e uedelig sum har e græseværdi, som er et edeligt tal og ikke (uedeligt), siges de at kovergere. Har summe ikke e græse, siges de at divergere. Vi ka tillade os at skrive - med limes-otatio kedt fra græseværdibegrebet - at K lim.5 K = = 3 Med dette udtrykkes, at ved at vælge K tilstrækkelig stor, ka summe komme vilkårligt tæt på.5. Der er traditio at skrive dette med et over Σ: K lim K = = 3 = 3 Vi forstår ved dette, at vi skal summe fra,,2 osv. ude at stoppe. Defiitio: Uedelige summer Ved e uedelig sum af leddeea, a, a 2, a 3, R forstås græseværdie K a = lim a = a+ a + a2 + a3+ K = = Det er bestemt ikke alle rækker, der kovergerer! F.eks. må der gælde, at = (overvej!), så række divergerer. Ligeledes er række diverget på trods af, at leddee lagt ude bliver vilkårligt små. = Leddee bliver åbebart ikke små ok hurtigt ok til, at summe kovergerer. Til gegæld ka vi sige, at et krav for, at e uedelig sum kovergerer, er at leddee skal gå mod. Dette beviser vi dog ikke. = 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

22 ISBN Sætig 2 Hvis e række,, er koverget, går leddee mod, år går mod uedelig, me det omvedte er ikke tilfældet. Fra tidligere lader det til, at ( ) =.5. Dette er jo e kvotietrække med 3 3 = r=. Det viser sig, at vi ka bevise e sætig om summe af e uedelig kvotietrække. Dog må vi sikre tilstrækkeligt små bidrag til summe, så for at e kvotietrække kovergerer, kræves det, at r <. Det sikrer, at r går mod, årgår mod uedelig (overvej!). Sætig 3 For r < gælder, at kvotietrække r = = r r er koverget og = Bevis K+ K K+ limr r K r = lim r = lim = = = K K = = r r r r. Øvelse 4.3 Sæt ord på hvert ekelt lighedsteg i beviset. Med sætige ka vi u bevise vores påstad fra tidligere: Da r= 3 får vi: Eksempel Ved brug af sætig 3 ka græseværdie af reges som følger: ( ) = = = = 3 3 Altså havde vi ret, da vi allerede efter at have lagt de første led samme gættede, at summe var.5. Dee sum kovergerer altså ret hurtigt mod si græseværdi forstået på de måde, at ku få led skal lægges samme, før summe er tæt på si græse. Øvelse 4.4 a) Bereg = b) Bereg c) Bestem r som brøk, år r = 2.5. = 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

23 ISBN d) Bereg multiplikatore for det første eksempel ved at se på summe af kvotietrække ((,4) (,5) (,2) ). = 3.4 Multiplikatoreffekte Hvis vi u går tilbage og ser geerelt på multiplikatorere MGog M T skal vi u bruge vores vide om uedelige rækker og koverges. Vi skal jo lige vise, at de ret faktisk kovergerer og fide et udtryk for multiplikatorere. Vi tager det u i to tri - først de simple model. Her har vi e lukket økoomi med skat og ivesteriger som kostater. Dermed er der altså ku et afløb, som ikke geererer vækst i økoomies idkomst, emlig opsparig. Y er idkomste, s er opsparigskvote, forbrugskvote c ka fides som s. Øges de offetlige udgifter med Y sker følgede vækst i idkomste:. rude: Y 2. rude: Y ( s) 3. rude: Y ( s) 4. rude: Y ( s)... De samlede effekt på økoomie bliver altså: 2 3 ( ) ( ) ( ) Y Y s Y s Y s + Vi sætter Y udefor paretes: ( ( ) ( ) 2 ( ) 3 + ) Y + s + s + s og opskriver derefter summe med sumotatio Y = ( s) Bruger vi sætig 3 ka vi u fide værdie af summe. Vi ved, at < s<, das+ c=. Sætter vi altså s= rfår vi følgede: Y s = Y ( ) = ( s) De samlede effekt på idkomste i økoomie er altså fudet, som de øgede offetlige udgifter Y gage multiplikatore M G =. ( s) 3.5 Multiplikatore for e lille åbe økoomi: Vi gør u modelle væsetlig mere kompleks, me også realistisk og brugbar, ved at se på skat som idkomstafhægig, samt e åbe økoomi, hvor e del af forbruget går til importerede varer som ikke geererer vækst i økoomie. Vi lader t betege skatteprocete og m betege importkvote. Vi ka for at støtte vores forståelse bruge multiplikatore for øgede offetlige udgifter Y fra det første eksempel, og geeralisere det: 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

24 ISBN rude: Y ( ) ( ) ( ) 2. rude: Y ( t) ( s) ( m) 3. rude: Y ( t) ( s) ( m) 4. rude: Y ( t) ( s) ( m) Vi ser altså her, at de samlede effekt er summe af effekte i hver af rudere og altså har vi, hvis vi sætter Y ( ) ( ) ( ). ude for sumteget, følgede sum: ( t s m) = Me det er jo e uedelig kvotietrække, så vi keder des sum. Sætter vi r= ( t)( s)( m), så magler vi ku at udersøge om r<. Me da t, s, m alle ligger mellem og, må alle de tre led hver især være midre ed og dermed må deres produkt være midre ed. Vi ka altså bruge sætige om summe for de uedelige kvotietrække r til at fide multiplikatore for øgede offetlige udgifter: MG = (( t) ( s) ( m) ) = = ( t) ( s) ( m) = Vi kigger deræst på multiplikatore for e skattelettelse. Her ser rude lidt aderledes ud. ( ) ( 2 2) ( 2 3 3) ( 3 4 4). rude: Y ( t) ( s) ( m). rude: Y ( t) ( s) ( m). rude: Y ( t) ( s) ( m). rude: Y ( t) ( s) ( m)... De samlede effekt bliver som følger: Σ= Y ( s) ( m) + Y ( t) ( s) ( m) + Y ( t) ( s) ( m) + Y ( t) ( s) ( m) (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )...) = Y s m + t s m + t s m + t s m + ( ) 2 3 = Y ( s) ( m) + ( t) ( s) ( m) + (( t) ( s) ( m) ) + (( t) ( s) ( m) ) +... = ( ) = Y ( s) ( m) ( t) ( s) ( m) ( s) ( m) = Y ( s) ( m) = Y ( t ) ( s ) ( m ) ( t ) ( s ) ( m ) Altså bliver multiplikatore M T ( s)( m) ( t) ( s) ( m) =. Det egative forteg kommer, da e ædrig i * * skatte med et ekspasivt sigte jo fås ved at sæke skatte. For at få de samlede ædrig i idkomst må ma gage skatteedsættelse med multiplikatore, altså MT T, hvilket år T sækes jo skal give e positiv effekt. Det modsatte gør sig selvfølgelig gældede i kotraktiv fiaspolitik. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

25 ISBN Øvelse 4.5 Økoomie i Damark løber alt for stærkt. Regerige øsker derfor at dæmpe aktivitete i økoomie. De har to muligheder: ete ka de hæve skattere med 6 mia. kr. eller også ka de sæke de offetlige udgifter, dog ku med 3,5 mia. kr. a) Hvilket af de to idgreb er mest effektive, hvis s=., t =.4 og m=.3? b) Hvad skal de offetlige udgifter sækes med for at det idgreb er præcist så effektivt som e skattelettelse på 6 mia. kr.? 4. Økoomiske modeller i avedelse Der fides flere økoomiske modeller der avedes til udregig af effekter af politiske idgreb i økoomie i Damark. De to største er SMEC (http://www.dors.dk/sw354.asp), som er udarbejdet af De Økoomiske Råd, og ADAM (http://www.dst.dk/tilsalg/adam.aspx), som er udarbejdet af Damarks Statistik. Modellere er meget komplekse og omfatter mage hudrede ligiger. Samtidig har ma her medtaget økoomisk data for Damark geem e årrække for at tilpasse modellere yderligere. Når Fias- eller Økoomimiisteriet skal forudsige effekter for politiske idgreb i økoomie - kaldet fiaseffekte - bruger de også modelforudsigelse af multiplikatoreffekte. r%2i%2%c3%98r%2og%2bo.ashx Samtidig ser ma i diverse publikatioer tabeller over fiaseffekte over forskellige årrækker. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

26 ISBN /BO%2maj%22/budgetoversigt%2_maj%222_web.ashx Øvelse 4.6 a) Overvej hvorda sammehæge er mellem fiaseffekte og de økoomiske situatio i Damark i årrække b) Har de siddede regeriger ført de forvetede økoomiske politik? 4. Udbetalig af de særlige Pesiosopsparig Ser ma ige på tabel 3.8 ovefor ser ma at der i 29 er særskift ævt SP-udbetaligere. Alle lømodtagere, selvstædige og de fleste på overførselsidkomst har i periode betalt % af deres idkomst til Særlig Pesiosopsparig. Som e del af de borgerlige V-K regerigs skattepakke i 29 blev det besluttet at SP-pegee skulle udbetales til borgere. Udbetalige af pegee skulle have e ekspasiv virkig i økoomie, som skulle være med til at afbøde de begydede økoomiske krise. Som det ses af tabelle mete ma at de -årige fiaseffekte var,3 % af BNP i 29. Me om udbetalige af pegee så geererede de øskede effekt er ikke så ligetil at måle efterfølgede. Det afhæger helt af hvor stor e del af pegee det vurderes at husholdigere avedte til forbrug. Øvelse 4.7 a) Læs de to artikler om SP-udbetaligeres effekt og brug di vide om multiplikatore til at forudsige de reelle effekt. Overvej ligeledes hvilke oplysiger du magler for at kue udrege multiplikatore (sæt evt. dem til de samme værdi i de to modeller) L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

27 ISBN Øvelse 4.8 a) Brug til at se hvorda forskellige politiske idgreb i økoomie virker. Prøv at fide et aktuelt forslag til løsige af de økoomiske situatio i Damark og udersøg effektere heraf. Vismadsportale bygger på de økoomiske model SMEC. b) E ade mulighed er at gå lidt mere i dybde med hvad der sker bag udregigere. Se på multiplikatiostabellere (http://www.vismadsportale.dk/emeside.aspx?meuid=23&omraadeid=54&sideid=9&foldit em=div2). 4.2 Offetlige ivesteriger eller skattelettelser? Multiplikatorer og økoomiske modeller giver et billede af hvorda forskellige fiaspolitiske idgreb påvirker økoomie. Me selvom billedet ser ud til at være klart - offetlige udgifter er mere effektive ed skattelettelser - er koklusioe, dog ikke så let edda. Modeller består jo af forsimpliger og forudsætiger, og for at tro på resultatet skal ma også tro på forudsætigere. I økoomisk teori hadler forudsætiger og forståelser i høj grad af ideologi. Øvelse 4.9 a) Prøv fx at se daske tæketake CEPOS og Arbejderbevægelses Erhvervsråd meget forskellige sy på spørgsmålet. Overvej hvilke ideologi de hver især bygger på og hvilke forudsætiger og forståelser der har betydig for deres koklusio. r.pdf Øvelse 4.2: S-SF-R regerige og fiaspolitik I august 22 efter et år på poste er S-SF-R regerige blevet kritiseret for, at deres økoomiske politik ikke har været med til at løse de økoomiske krise. a) Tag udgagspukt i selvfude artikler omkrig kritikke af regeriges kickstart af økoomie. Overvej ud fra di vide om økoomiske teori og multiplikator om regeriges strategi har været god. b) Overvej hvorfor det så på dette tidspukt ikke har haft de øskede effekt og om effekte ka komme på lægere sigt. Øvelse 4.2: EU og løsiger på de økoomiske krise a) Læs artikle og overvej ved brug af di vide om økoomisk teori og multiplikator om EU s fiaspagt umuliggør løsigere på de økoomiske krise. På hjemmeside ka du fide forslag til materialer og litteratur i forbidelse med dette tema. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

28 ISBN Tema 2: Økoomisk vækst teorier og modeller. Idledig I kapitel 4 i Hvad er matematik? C blev de økoomiske vækst i Kia belyst, heruder e sammeligig af udviklige i BNP og BNP/idbygger i Damark, USA og Kia. De egetlige vækstfaktorer hvorfor opstår der økoomisk vækst? blev ikke berørt. Me hvorfor overhovedet fokusere så meget på økoomisk vækst? Økoomisk vækst er afgørede for velstad og dermed velfærd i samfudet. I Damark har vi i 2 et BNP ca..38 mia. kroer. Dette svarer til et BNP/idbygger ca. 25. kr. og er resultatet af e geemsitlig årlig vækst side 966 på ca. 2 % om året. I 966 var BNP på ca. 6 mia. kr. Hvis de årlige vækst fx ku havde været på % om året ville BNP i 2 have været 628 mia. kr. svarede til ca. 4. kr. altså e velstad pr. idbygger på uder halvdele af de faktiske! Økoomisk vækst betyder altså oget det er også øgleordet i de politiske debat. Ikke alee er vækste afgørede for et lads velstad vækste har også betydig for arbejdsløshede, da der jo skal flere folk til producere et større BNP. Og omvedt skal der være et udbud af arbejdskraft til at producere BNP derfor så meget politisk fokus på arbejdsudbuddet, fx år der sakkes om fiasierige af fremtides velfærdsstat. Meget abstrakt ka et lads samlede økoomi askues med to forskellige fokuspukter. Klassikere og eoklassikere vil fokusere på udbuddet af varer og tjeester: Hvorda produceres der? Er der tilstrækkelig med produktiosfaktorer (arbejdskraft, kapital)? Keyesiaere (se forrige tema) vil fokusere på efterspørgsle: De producerede varer og tjeester skal efterspørges og sælges. Hvis de ikke sælges vil der opstå lavkojuktur og dermed arbejdsløshed i samfudet. Klassikere Keeysiaere Arbejdskraft Forbrug BNP (ouput) Kapital Ivesteriger Produktio/Udbudsside Efterspørgselsside BNP som produktio og efterspørgsel Også tidsperspektivet er forskelligt i de to tilgage. Klassikere og eoklassikere ser på økoomie på det lage sigt og har som forudsætig, at økoomie altid af sig selv vil bevæge sig mod ligevægt (fuld beskæftigelse, stabile priser). Modsat har de keyesiaske skole fokus på det korte sigt altså kojukturbevægelser. Afsættet for dette tema er de eoklassiske skole der har produktio som forudsætig for vækst i cetrum. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

29 ISBN Produktio og produktiosfuktioer 2. Idledig Ide vi går i gag for alvor, mider vi først om de symboler, vi aveder i det følgede og dertil lidt om de matematiske praksis omkrig potesfuktioer, ikke midst de specielle betegelser. Praxis: Symbolforklarig Som i det foregåede tema samler vi først ogle betegelser, der typisk kommer fra forbogstavet i de egelske betegelse. Der er dog traditio for at betege Kapitel med K, da C allerede er brugt til forbrug Y = Yield = Output/Samlet produktio (BNP). L = Labour = Arbejdskraft. K = Capital = Kapital, bygiger, maskier, software, jord. S = Savigs = Opsparig. C = Cosumptio = Forbrug. I = Ivestmets = Ivesteriger. W = Wages = Løiger. D = Depreciatio = Afskriviger. Variable med absolutte mål, som fx atal arbejdere, agives med store bogstaver. De kaldes også for ekstesive(additive) variable. Slår ma to fabrikker samme, skal arbejdsstyrkere lægges samme. Variable med relative mål, som fx udbytte per arbejder, agives med små bogstaver. De kaldes også for itesive variable. I dette tema vil de itesive variable altid være per arbejder. De små bogstaver ( y, k, s, c, i, w, d ) svarer altså til det samme, me pr. idbygger, fx y= Y / L. Modeller med potesfuktioer i matematisk belysig Ide vi går i gag med et kokret eksempel, ka det være godt at mide om grudlæggede egeskaber ved potesfuktioer med iddragelse af typiske økoomiske termer. E potesfuktio er givet ved e forskrift på forme a y= b x. I det følgede atages det, at potese a er positiv, dvs. at potesfuktioe er voksede. De er karakteriseret ved, at e procetvis tilvækst i iputtet x udløser e tilhørede procetvis ædrig i outputtet y. Me som det ses på figure, er der forskellige typer voksede potesfuktioer: I ogle tilfælde, fx a= 2svarede til e kvadratisk fuktio, er grafe opad hul (koveks), dvs. også hældige (græseproduktet) stiger. I sådae tilfælde er de procetvise ædrig i outputtet y større ed de procetvise ædrig i iputtet x. y a = a = 2 a = a = /2 I adre tilfælde, fx a= 2 svarede til e kvadratrodsfuktio, er grafe edad hul (kokav), dvs. dee gag falder hældige. Selv om produktioe stiger, så stiger de altså midre og midre, idet græseproduktet falder. I sådae tilfælde er de procetvise ædrig i outputtet y midre ed de procetvise æ- Potesfuktioer x 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

30 ISBN drig i iputtet x. I økoomiske modeller med potesfuktioer bruger ma e særlig sprogbrug: Her ser ma på e trasformatio af iput på forme x k x, der kaldes e skalatrasformatio (svarede til e ædrig af ehede på x-akse). Uderkastes iputtet x e skalatrasformatio med skalafaktore k, vil y tilsvarede uderkastes e skalatrasformatio med skalafaktore Heraf fremgår f( k x) = b ( k x) a = k a b x a = k a f( x). a k : Output y a = 2 hvis a > vokser outputtet y hurtigere ed iputtet x. Ma taler om et voksede skalaafkast (på egelsk: icreasig returs to scale). hvis a = vokser outputtet y lige så hurtigt som iputtet x. Ma taler om et kostat skalaafkast (på egelsk: costat returs to scale). hvis a < vokser outputtet y lagsommere ed iputtet x. Ma taler om et aftagede skalaafkast (på egelsk: decreasig returs to scale). Iddrager vi differetialregige fås græseproduktet: a a a a y = b a x = b x = y x x For de relative tilvækster, vækstratere, gælder derfor dy y a a dy dx = dvs. dx = eller = a y x y x y x Vækstrate i outputtet y er altså etop a gage så stort som vækstrate i iputtet x. Hvis fx a> har outputtet y altså e større vækstrate ed iputtet x. Potese a ka altså også tolkes som e multiplikator for vækstratere. I adre sammehæge beteges potese a derfor også med elasticitete. Tekisk bemærkig: (A-Niveau) Differetierer vi edu egag fås a 2 a ( a ) a a ( a ) y = b a ( a ) x = b x = y 2 2 x x Heraf ser vi altså at år a> er y >, dvs. grafe er opad hul (koveks), og omvedt for a<. Iput x Voksede skalaafkast Output y a = Iput x Kostat skalaafkast Output y a = /2 Iput x Aftagede skalaafkast 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

31 ISBN Eksempel: Lad os se på et kokret eksempel: I pizzeriaet La Boccia er der asat medarbejder og der rådes over ov til at bage pizzaere. Medarbejdere ka lave 5 pizzaer om dage. Produktiosfuktioe er altså: Y (Atal pizzaer) = 5 L (Atal medarbejdere) Dette er e lieær sammehæg med kostat skalaafkast, dvs. output Y (atal pizzaer) vokser lieært med øget iput af produktiosfaktore L (arbejdskraft). Fordobles atallet af medarbejdere i tilberedige af pizzaer til 2 arbejdere vokser output til det dobbelte, dvs. pizzaer. Øvelse 4.22 a) Opstil i dit værkstøjsprogram e model for sammehæge mellem iput af arbejdskraft L og output Y (pizzaer) i La Boccia. b) Er modelle realistisk, hvis arbejdskrafte L øges meget? c) Græseproduktet er de øgede produktio ved at asætte e medarbejder mere, altså dy/dl. Hvad er græseproduktet i modelle? E mere realistisk produktiosfuktio vil være e, hvor der gælder aftagede skalafkast, dvs. græseproduktet (dy/dl) vokser aftagede i forhold til idsatse af arbejdskraft (L). E produktiosfuktio kue være potesfuktioe: Y = 5 L a, hvor < a<. Hvis fx a= fås e kvadratrodsfuktio. 2 Øvelse d) Opstil i dit værktøjsprogram modelle Y= 5 L og prøv de af med forskellige værdier for L. e) Hvad er græseproduktet i modelle? f) Opstil e model med a= /3. Hvorda udvikler Y sig i sammeligig med a= /2? g) Ka ma forestille sig e produktiosfuktio Y = 5 L a, hvor a >? Prøv at modellere e såda. Hvad er græseproduktet? Hvorfor produktiosfuktioe med aftagede skalaafkast er mere realistisk ka opfattes ret ituitivt: På et tidspukt vil medarbejdere i pizzeriaet La Boccia simpelthe gå i veje for hiade. I eksemplet med pizzabagig ka ma forestille sig, at e øget idsats af arbejdskraft skal modsvares af flere ove, dvs. idsatse af kapital (i form af ove) skal øges i takt med øget idsats af arbejdskraft. I eksemplere idtil u er det ku atal medarbejdere i pizzeriaet, der har varieret. Atallet af ove (= ) har været kostat, så de korrekte produktiosfuktio er ret beset: Y = f( K, L) = f(, L), da der ku er é ov. Ma ka omvedt forestille sig, at pizzaejere køber flere ove ude at asætte flere medarbejdere. I e såda situatio vil de elige medarbejder simpelthe ikke kue følge med. Output vil også her være vok- 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

32 ISBN sede, me med aftagede skalafkast, dvs. græseproduktet er aftagede. E produktiosfuktio med ku é medarbejder og et variabelt atal ove har følgede udseede: Y = f( K, L) = f( K,), da der ku er é medarbejder. Defiitio: Produktiosfuktioer Mere geerelt beskriver e produktiosfuktio sammehæge mellem iput af produktiosfaktorer (arbejdskraft L og kapital K) og output Y i form af varer og tjeester. Der ka opstilles produktiosfuktioer for såvel de ekelte virksomhed og et helt lad. For et lads økoomi (makroøkoomi) vil output (Y) så være det samlede BNP. I eksemplet med pizzeriaet er produktiosfuktioe i pricippet e fuktio af to variable, L og K, me da ku de ee varieres mes de ade holdes kostat er Y i praksis e fuktio af ku é variabel. Både på virksomhedspla og atioalt er det urealistisk ku at kue variere de ee produktiosfaktor. Pizzeriaet vil på lag sigt både asætte flere medarbejdere og købe flere ove, hvis produktioe skal øges og det samme gælder også for et lad: For at både kapitalapparat og arbejdskraft ka udyttes optimalt, skal begge faktorer øges samtidig. Det er derfor ødvedigt at se på produktiosfuktioer med to faktorer Produktiosfuktio med to faktorer E produktiosfuktio med flere produktiosfaktorer kue se således ud for pizzeriaet. Y = F K L = (, ) 5 L a K a hvor både K og L ka varieres. Øvelse 4.24 a) Kostruér i dit værktøjsprogram e tabel med de samlede produktio (output), hvor du aveder 2 oveståede fuktio med potese a= 3. E skabelo er vist edefor. L \ K b) Hvorda udvikler produktioe sig, hvis ku L øges (se på søjlere)? c) Hvorda udvikler produktioe sig, hvis ku K øges (se på rækkere)? d) Hvorda udvikler produktioe sig, hvis både K og L øges proportioalt? Se på diagoale med K, L puktere (,), (2,2) osv. e) Udbyg modelle så potese a ka varieres. Hvad sker der hvis a ærmer sig? Og hvad sker der, hvis de ærmer sig? 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

33 ISBN I tilfældet i øvelse 4.24 udviser produktiosfuktioe aftagede skalaafkast i såvel K (ove) som L (arbejdskraft), idet e isoleret øgig af idsatse af ete arbejdskrafte eller kapitale vil føre til e stadig midre stigig i produktioe af pizzaer, dvs. udbyttet Y. Dette er vist i figure, hvor idsatse af arbejdskraft L holdes kostat, mes idsatse af kapital K øges. E øget idsats på é kapitelehed giver midre og midre afkast, jo lægere hee af Kapitalakse vi befider os. Øges begge faktorer samtidig vil produktioe derimod øges tilsvarede: Fordobles fx idsatse af både arbejdskraft (L) og kapital (K) fordobles output også Udbytte Y 2 3 Y = kostat K 3 4 Faldede udbyttetilvækst år kapitale øges (med kostat arbejdskraft) Kapital K 9 Defiitio: Cobb-Douglas-produktiosfuktioe α α Produktiosfuktioer af type Y= A K L (det er ormalt at bruge det græske bogstav α i potese og det vil blive avedt fremover) beæves Cobb-Douglas produktiosfuktioer. Øvelse 4.25 a) Bevis at e fordoblig af både K og L etop giver et fordoblet output for e Cobb-Douglas- a produktiosfuktio af type: Y= A K L a Potesfuktioer i to variable i matematisk belysig E potesfuktio i to variable x og y er givet ved e a b forskrift på forme z= c x y. Som før atager vi, at potesere a og b er positive. Vi ka u tege grafe i et 3-dimesioalt koordiatsystem. I første oktat, hvor koordiatere x, y og z alle er positive, med viduesgræsere x 5, y 5, z ser grafe således ud, som vist for z= x y. Holder vi y kostat, y= y fås e sædvalig potesfuktio i x: z= c x y = ( c y ) x = c x a b b a a y I det viste eksempel med y= 2 får sitgrafe derfor ligige z= 2 x =.5874 x, dvs. der er et aftagede skalaafkast lags x-akse. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

34 ISBN Holder vi x kostat, x= x, fås e sædvalig potesfuktio i y: z= c x y = ( c x ) y = c y a b a a b x I det viste eksempel med x= 2 får sitgrafe derfor ligige = 2 =.442. z y y Der er altså også et aftagede skalaafkast lags y-akse. Hvis begge poteser a og b er midre ed, er der derfor aftagede skalaafkast både som fuktio af x (hvor y holdes kostat) og som fuktio af y (hvor x holdes kostat). Me hvis vi varierer såvel x og y proportioalt, dvs. x k x og y k y så fås: f( k x, k y) = c ( k x ( k y) = c k x k y ) a b a a b b a+ b a b a+ b = k c x y = k f( x, y) Hvis begge iput x og y har skalafaktore k, får outputtet a b derfor skalafaktore k +, dvs. e potesfuktio, med summe af de to poteser. Selv om de to poteser hver for sig er midre ed, behøver dette ikke gælde for summe. De samlede potesfuktio ka derfor godt have kostat skalaafkast. Det er etop udgagspuktet for Cobb-Douglas-fuktioere! Hvis vi uderkaster både x og y de samme skalatrasformatio bevæger vi os på e ret lije ud fra (,) i x- y-plae, dvs. e lije på forme y= m x. Sitgrafe får derfor ligige z= c x ( m x) = c m x = c x a b b a+ b a+ b m Sitgrafe er derfor grafe for e potesfuktio med potese a+ b. For e Cobb-Douglas fuktio er a+ b=, dvs. sitgrafe er e retlijet flade frembragt af rette lijer ud fra (,,). Cobb-Douglas grafe med a= 3 er e retlijet flade med aftagede skalaafkast lags x- og y-aksere, me de har kostat skalaafkast lags de radiale lijer i x-y-plae. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

35 ISBN Eksempel: De symmetriske Cobb-Douglas-fuktio De simpleste Cobb-Douglas-produktiosfuktio er de symmetriske, hvor begge potesere er, dvs. 2 α= = α. Ligige for Cobb-Douglas-produktiosfuktioe ka derfor skrives på forme 2 2 Y= A K L = A K L Grafe er e halvkegle med toppukt i (,,) og akse lags diagoale K= L i K L plae. Ma ka ete bruge K-akse eller L-akse som frembriger for kegle ved rotatio omkrig akse. Dee simple geometriske tolkig gør det særligt emt at forestille sig opbygige af grafe. Sitgrafere parallelt med K-akse (dvs. L = L ) er halve parabler: Y = A L K = A K. L 2 Tilsvarede er sitgrafere parallelt med L-akse (dvs. K = K ) halve parabler: Y = A K L= AK L. Sitgrafere vikelret på akse K= L, Y = (dvs. halve ellipser (for A= 2 er de halvcirkler). K + L= kostat) er Højdekurvere Y = Ymed kostat output er ligesidede hyperbler 2 Y K L= = A. Ofte illustreres højdekurvere derfor i et 2-2 A * dimesioalt grafbillede af K-L-plae. Du ka læse mere om keglesit i kapitel! Arbejdskraft L 5... Y=3 Y=2 Y= Kapital K 5 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

36 ISBN Øvelse 4.26 Som et eksempel på e skæv Cobb-Douglas-produktiosfuktio ka du se tilfældet α= 3, svarede til ligige Y = A K L = A K L a) Hvorda ser grafe for produktiosfuktioe ud i et 3d-plot? b) Hvorda ser grafe for produktiosfuktioe ud i et 2d-plot for (K,Y), år vi holder arbejdskrafte L kostat, dvs. sætter L= L? Idfør gere e skyder for parametere L. c) Hvorda ser grafe for produktiosfuktioe ud i et 2d-plot for (L,Y), år vi holder kapitale K kostat, dvs. sætter K = K? Idfør gere e skyder for parametere K. d) Hvorda ser iveaukurvere ud i et 2d-plot for (K,L), år vi holder produktioe Y kostat, dvs. sætter Y = Y? Idfør gere e skyder for parametere Y. e) Samme spørgsmål for tilfældet α= 4. Idfør evt. e skyder for potese α. 2.2 Ligevægt ud fra Cobb-Douglas produktiosfuktioe Ved hjælp af Cobb-Douglas-produktiosfuktioe ovefor ka det bereges, hvor stort output bliver ved e idsats af e bestemt mægde arbejdskraft og kapital, me ikke hvorda arbejdskrafte og kapitale fordeler sig i økoomie. Ifølge eoklassisk økoomisk teori gælder det, at hvis der er fuldkomme kokurrece dvs. der er mage udbydere og efterspørgere på markedet og prise bestemmes på markedet så afløes arbejdskrafte (og tilsvarede kapitale) med værdie af græseproduktet. Hvorda skal det u forstås? Lad os tage eksemplet med pizzeriaet ige. Produktiosfuktioe er: Y = A K L Græseproduktet for arbejdskrafte (MPL) er de kotiuerte udgave af det diskrete margialprodukt (dvs. de øgede produktio ved at idsætte é arbejder mere). Græseproduktet er altså givet ved differetialkvotiete ( ) dy A K L Y MPL= = A K L = = dl L L Græseproduktet for kapitale (MPK), er tilsvarede et kotiuert mål for de øgede produktio ved at idsætte mere kapital: ( ) dy A K L Y MPK= = A K L = = dk K K Hvis omkostige til ekstra arbejdskraft er w = omkostig per arbejder, ka det derfor betale sig at hyre mere arbejdskraft, så læge de ekstra omkostiger er midre ed det ekstra udbytte, dvs. så læge MPL> w. Vi stopper derfor med at hyre mere arbejdskraft, år vi år ligevægtspuktet mellem de ekstra omkostiger og det ekstra udbytte, dvs. MPL= w, dvs. det pukt, hvor tagete har hældige w. Tilsvarede ka det betale sig at askaffe flere ove idtil MPK = r, hvor r er rete på lå af kapital. Output Y w Ligevægt MPL= dy dl 2 Y = A K L 3 Y = w L Arbejdskraft L 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

37 ISBN Historie bag Cobb-Douglas Paul Douglas var økoom og seator i USA. Cobb var matematiker. Kilde: The America Ecoomic Review, Vol. 8, No. (Mar., 928), pp I 927 efterlyste økoome Paul Douglas (og seere seator i USA's seat fra 949 til 966) hos matematikere Charles Cobb e fuktio med bestemte egeskaber. Douglas havde i si forskig observeret, at det amerikaske atioalprodukt (output) blev fordelt i et kostat forhold mellem arbejdskraft og kapital: Ca. 75% gik til arbejdskraft og de resterede 25% til kapital (profit, udbytte). Med adre ord: Selv om BNP steg voldsomt, var forholdet mellem arbejdskraftes afløig og kapitales afløig rimelig kostat. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

38 ISBN Kaldes adele af de samlede idkomst, der føres tilbage til kapitale for αgælder der Adele af de samlede idkomst til kapital = α Y Adele af de samlede idkomst til arbejdskraft = ( α) Y idet de samlede idkomst fordeles mellem kapitale og arbejdskrafte. Douglas ville gere have e produktiosfuktio, hvor adelee til afløige af de to produktiosfaktorer er kostate, hvis de fordeles efter værdie af deres græseprodukt. Resultatet blev etop Cobb-Douglas produktiosfuktioe Y= A K α L α Græseproduktet for arbejdskrafte (MPL) fås tilsvarede ved at differetiere produktiosfuktioe Y A K L α α = med hesy til L: α α dy α α A K L Y MPL= = A K ( α) L = ( α) = ( α) dl L L α α Græseproduktet for kapitale (MPK) fås ved at differetiere produktiosfuktioe Y= A K L med hesy til K: α α dy α- α A K L Y ( ) MPK= = A α K L = α = α dk K K MPL-ligige MPL= ( α) Y ka ved at gage over med L omskrives til: MPL L= ( α) Y L MPK-ligige MPK= α Y ka ved at gages over med K omskrives til: MPK K= α Y K Me ifølge de eoklassiske økoomiske teori vil der i ligevægt gælde MPL= w, dvs. vi ka omskrive ligige for arbejdskraftes græseprodukt til w L= ( α) Y. Tilsvarede vil der i ligevægt gælde MPK = r, dvs. vi ka omskrive ligige for kapitales græseprodukt til r K= α Y. Me det betyder jo etop, at i ligevægt er de samlede udgift til arbejdskrafte givet ved brøkdele ( α) af de samlede idkomst Y. Tilsvarede vil der i ligevægt gælde, at de samlede ivesterig i kapital vil være givet ved brøkdele α af de samlede idkomst Y. Brøkdele α har empirisk vist sig at være forbløffede kostat over tid og varierer således ikke med mægde af kapital eller arbejdskraft (eller for de sags skyld med de tekologiske udviklig), jfr. de oveståede figur. Som vi har set, er α outputelasticitete for kapitale K. Dvs. hvis kapitale K øges med % vil produktioe Y øges med α %. Tilsvarede er α outputelasticitete for arbejdskrafte L. Dvs. hvis arbejdskrafte L øges med % vil produktioe Y øges med ( α) %. Udviklige af Cobb-Douglas produktiosfuktioe er et godt historisk eksempel på et cetralt tværfagligt samarbejde mellem økoomi og matematik. Du ka hete Cobb-Douglas origialartikel fra 928 på hjemmeside. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

39 ISBN Hvilke egeskaber har Cobb-Douglas produktiosfuktioer så? Matematiske egeskaber ved Cobb-Douglas fuktioe: () Græseproduktet for arbejdskrafte L er faldede. Produktiosfuktioe Y differetieres med hesy til L. dy α α K MPL= = ( α) A K L = ( α) A dl L Det fremgår, at år L vokser vil stigige i udbyttet, dvs. dy/dl, blive midre, idet græseproduktet MPL α α er omvedt proportioalt med arbejdskrafte L. Altså er der aftagede skalafkast. Det så vi også i øvelse (2) Græseproduktet for kapitale K er faldede. Produktiosfuktioe Y differetieres med hesy til K. α α α L = α A K L = α A dy dk K Det fremgår, at år K vokser vil stigige i udbyttet, dvs. dy/dk falde, idet græseproduktet MPK er omvedt proportioalt med kapitale α K. Altså er der aftagede skalaafkast. Det så vi også i øvelse (3) Hvis begge produktiosfaktorere kapitale K og arbejdskrafte L fordobles vil også produktioe Y fordobles. α α α+ α α α Yy = f(2 K,2 L) = A (2 K) (2 L) = A 2 K L = 2 f( K, L) = 2 Y Altså er der kostat skalaafkast, hvis både L og K øges samtidig. De økoomiske karakteristika ved Cobb-Douglas fuktioe er følgede: Y er output. For e atioal økoomi fx Damark svarer Y til BNP og dermed også til de samlede idkomst i samfudet. L er idsatse af arbejdskraft og K er idsatse af kapital i form af maskier, bygiger m.v. De to faktorer L og K er således iput i produktiosprocesse. A udtrykker det økoomer beæver totalfaktorproduktivitete, emlig samspillet mellem arbejdskraft og kapital i form af det tekologiske iveau. Ved tekologiske fremskridt øges A. Størrelse α udtrykker som tidligere ævt de del af de samlede idkomst, der går til kapitale. Omvedt er α de del der går til arbejdskrafte de såkaldte fuktioelle idkomstfordelig. I Damark går ca. 2/3 af atioalidkomste (svarede til Y) til afløig af arbejdskrafte L og ca. /3 går til afløig af kapitale K i form af profitter, udbytter m.v. Dee fuktioelle idkomstfordelig har vist sig at være ret kostat over tid. For Damark vil e Coob-Douglas produktiosfuktio altså have følgede udseede: Y = A K L 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

40 ISBN Vækstregskab for et lad Økoomisk vækst ka altså ske ved, at ma ete øger arbejdskrafte L og/eller kapitale K og/eller tekologiparametere A. Ka disse u bestemmes? Et første skridt er at omskrive fuktioe således: l( Y) = l( A) + α l( K) + ( α) l( L) hvilket betyder, at logaritme til BNP er e vægtet sum af logaritme til hhv. arbejdskraft, kapital og tekologi. Det ka påvises at differece mellem logaritme til e variabel er et tilærmet mål for vækste, altså: ( ) ( ) l( Y ) l( Y ) = l( A ) l( A ) + α l( K ) l( K ) + ( α) l( L ) l( L) t+ t t+ t t+ t t+ t Y A t t+ K L + t+ t+ l = l + α l + ( α) l Yt A t K t L t Y A K L l + = l + + α l + + ( α) l + Y A K L Hvilket for små tilvækster svarer til Y A K L = + α + ( α) Y A K L Det er således, at potesere i Cobb-Douglas fuktioe ka operatioaliseres ved hhv. arbejdskraftes og kapitales afløig (jf. de fuktioelle idkomstfordelig). Altså at α w = L, hvor w er lø og L er Y atal arbejdere. I atioalregskabet er w L etop løkvote. Y Eksempel: For Damark er løkvote ca. 66% svarede til e værdi for α på 2/3. Lad os atage idkomste (BNP) vokser med 3%, kapitalapparatet med 5% og arbejdskrafte med %, så fås: A = =.6%. A Altså er vækstbidraget fra kapitale,75% (.35 5%) og fra arbejdskrafte er.65%, dvs. tekologiparametere (eller totalfaktorproduktivitete) bidrager med.6%. Et såda vækstregskab beskriver vækstkompoetere, me kommer ikke med oge forklarig? Det er her de egetlige vækstmodel kommer id i billedet! Øvelse I ladet Uksus har ma følgede symmetriske produktiosfuktio Y= A K L. I år 2 observeres K =, L= og Y =. I 2 vokser Y med 2.5 %, K med 3 % og L med %. a) Bereg A (totalfaktorproduktivitete) for ladet Uksus i 2. b) Hvor mage procet vokser tekologiparametere A med i 2? c) Hvad er værdiere for tekologiparametere A, kapitale K, arbejdskrafte L og de samlede idkomst Y i 2 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

41 ISBN Solow-modelle I e baebrydede artikel fra 956, A Cotributio to the Theory of Ecoomic Growth, stillede de amerikaske økoom Robert Solow spørgsmålet: Hvad er det, der skaber økoomisk vækst? Solow fik i 987 Nobelprise i økoomi for sit arbejde med økoomiske vækstteorier. The Quarterly Joural of Ecoomics, Vol. 7, No.. (Feb., 956), pp Modelle tager afsæt i de sædvalige Cobb-Douglas-produktiosfuktio Y = f( K, L) med kostat skalafkast, altså hvis både kapitale (K) og arbejdskrafte (L) vokser samtidig vil også det samlede output vokse: Y = f( K. L ) = f( a K, a L) = a f( K, L) = a Y y y y Outputtet Y, som også er de samlede idkomst, ka ete avedes til forbrug C eller til opsparig S, dvs. der gælder Y = C+ S. Edvidere gælder der at ivesterigere svarer til opsparige (jfr. diskussioe afsit 2.). I= S Med forbrugskvote c og opsparigskvote s må der derfor gælde: C = c Y, S = s Y og c+ s= Vi fider derfor I= s Y eller I= s f( K, L) Kapitalapparatet vil vokse med de årlige ivesteriger. Me der skal jo også tages hesy til, at kapitalapparatet (maskier, bygiger) slides ed. Dee edslidig beæves afskriviger (D) og de årlige afskrivigsrate med d. Altså bliver de årlige tilvækst i K givet ved: K= I d K eller = s f( K, L) d K K = s Y d K Det er dee differesligig, der driver dyamikke i Solows model! Vi vil u prøve at løse ligige uder forskellige omstædigheder, fra meget simple vækstmodeller til mere realistiske Solow-modeller. I det det følgede atages det, at arbejdskrafte L holdes kostat, L= L. Her kue vi faktisk sætte L =. I kraft 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

42 ISBN af atagelse om kostat skalaafkast, år begge faktorer uderkastes e skalatrasformatio, viser det sig emlig, at resultatere er uafhægige af arbejdskraftes størrelse. Me ide vi kaster os over Solows vækstligig, ser vi på ogle meget foreklede modeller, der efterhåde leder os frem til e forståelse af dyamikke i Solows vækstmodel. Eksempel: Ekspoetiel edslidig Hvis der slet ikke ivesteres oget, dvs. opsparigskvote sættes til ul, forekles vækstligige til K = d K dvs. K K = d K De ka derfor omformes til + K+ = ( d) K Hvert år gages kapitale altså med de kostate faktor ( d), hvorfor kapitale aftager ekspoetielt. Hvis fx afskrivigsrate d sættes til %, forsvider % af kapitale hvert år. I dette tilfælde er det emt at opskrive e færdig løsigsformel for de ekspoetielle edslidig af kapitale ( d) K = K jfr. reteformle fra bog C, side 42. Kapitale forsvider altså stille og roligt, og i græse er de helt forsvudet, dvs. ligevægtskapitale K er i dette tilfælde givet ved * K = limk =. * Det er aturligvis ikke øskværdigt! Eksempel: Lieær vækst Hvis der slet ikke sker oge edslidig samtidigt med at vi ivesterer et kostat beløb I hvert år, forekles vækstligige til K = I dvs. K K = I De ka derfor omformes til + K+ = K + I Hvert vokser kapitale altså med de kostate ivesterig I, hvorfor kapitale vokser lieært. Også i dette tilfælde er det emt at opskrive e færdig løsigsformel for de lieære vækst af kapitale K = K + I Kapitale vokser altså stille og roligt ud over alle græser, og i græse bliver de uedeligt stor, dvs. ligevægtskapitale K er i dette tilfælde givet ved * K = limk = * Det er aturligvis helt urealistisk, og modelle bygger da også på ogle højst urealistiske atagelser! Me kombierer vi de to eksempler, får vi for første gag e vækst, som er ikke-triviel og begyder at udvise e iteressat dyamik. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

43 ISBN Øvelse 4.28: Kapitalapparatets størrelse, ivesteriger og afskrivig Forskudt ekspoetiel vækst Til at forstå sammehæge mellem forbrug, kapitalapparat, opsparig og ivesterig ser vi på følgede meget foreklede eksempel: E ladmad har tøder kor liggede i si silo. Dette er kapitalapparatet K. Hvert år ædes e del af koret af rotter og oget råder. Dette svarer til afskrivigsrate d, som er på %. Hvert år ivesteres I af årets høst svarede til 2 tøder kor. De årlige ivesterig er altså kostat! De resterede forbruges. Dee gag kombierer vi altså de ekspoetielle edslidig af kapitalapparatet med e lieær vækst grudet de kostate ivesteriger. Vi ka så opsætte e tabel, som de følgede, der viser udviklige i kapitalapparatet, idet vi bruger vækstligige K= I d K. Tid K I d K ΔK Kapitalapparatet vokser (flere tøder kor), me stigigstakste er aftagede, fordi i takt med at K vokser, vil også afskrivigere (rotter og råd) vokse. a) Udarbejd modelle i dit værktøjsprogram, me såda at de årlige ivesteriger I og afskrivigsrate d ka varieres. Teg også e graf, for hvorda kapitalapparatet udvikler sig. b) Fid ligevægtsværdie K. Eftervis at K ærmer sig ligevægtsværdie K ekspoetielt. * * c) Hvad sker der, hvis afskrivigsrate d vokser fx til 2 %? d) Hvad sker der, hvis de årlige ivesteriger I vokser til fx 4? Øvelse 4.29 Forskudt ekspoetiel vækst u som iteratio (A-iveau) Vi ser på det samme eksempel som i øvelse Me dee gag vil vi beytte værktøjer fra teorie om iteratio. Du ka se flere detaljer i kapitel. a) Gør rede for, at vækstligige ka skrives på forme K = ( d) + K + I b) Fid ligevægtsværdie K ved at sætte K * = K = + K *. c) Teg returplottet, dvs. grafe for K + som fuktio af K, samme med diagoale K+ = K. Gør rede for at skærigspuktet mellem de to grafer etop er ligevægtspuktet. d) Beyt dit værktøjsprogram til at tege såvel e tidsseriegraf (dvs. Ksom fuktio af ) som spidelvævsgrafe (dvs. ( K, K + ) tilføjes til returplottet). Beyt gere de samme værdier, der oplyses i øvelse e) Gør rede for at fremskrivigsfuktioe g( K) = ( d) K+ I er e lieær fuktio med e positiv hældig midre ed. Ifølge hovedsætige om lieær iteratio er ligevægtspuktet derfor tiltrækkede, dvs. alle startværdier ærmer sig ligevægtspuktet. Så er vi edeligt fremme ved Solows vækstmodel! 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

44 ISBN Øvelse 4.3 Solows vækstmodel Dee gag ser vi u på Solows vækstmodel: α α α α K s f( K, L) d K med f( K, L) A K L dvs. K s A K L d K = = = Ladmade har ige tøder kor liggede i si silo. Dette er kapitalapparatet K. Hvert år ædes e del af koret af rotter og oget råder. Dette svarer til afskrivigsrate d som er på %. Hvert år ivesteres 2 % af årets høst svarede til 2 tøder kor det første år. Kapitale fører til e y produktio med A= 2, L = og α= =.5. 2 α α Tid K s A K L d K ΔK h) Udarbejd modelle i dit værktøjsprogram, me såda at såvel opsparigskvote s som afskrivigsrate d ka varieres. Teg også e graf, for hvorda kapitalapparatet udvikler sig. i) Fid ligevægtsværdie K. * j) Hvad sker der, hvis afskrivigsrate d vokser fx til 2 %? k) Hvad sker der, hvis opsparigskvote s vokser til fx 4 %? Hvad er det så, vi er kommet frem til? I e økoomi afhæger output (Y) af idsatse af kapital (K) og arbejdskraft (L). Kapitalapparatet vokser i takt med at output vokser, fordi ivesterigere vokser med output, me oget af vækste i ivesteriger skal bruges til at dække edslidig i kapitalapparatet. Altså: Ivesteriger giver et større kapitalapparat, me i takt med at kapitale vokser bliver tilvækste midre, fordi afskrivigere vokser. Sammehæge er vist i figure. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

45 ISBN De øverste blå kurve viser output f( K, L ) som fuktio af K. Grafes hældig er aftagede (aftagede skalaafkast). De grøe kurve viser opsparige svarede til ivesterigere, som udgør e kostat adel s af output. Differece mellem de blå kurve og de grøe kurve er, hvad der er tilbage til privat forbrug C. De sorte lije viser afskriviger altså de ødvedige ivesteriger for at opretholde kapitalapparatet. Hvis ivesterigere er større ed afskrivigere (til vestre for K ), vokser kapitalapparatet og * dermed outputtet. Hvis ivesterigere er midre ed afskrivigere (til vestre for K ), vil kapitalapparatet blive midre og dermed formidskes * outputtet. I figure er K teget som det pukt, som kapitalapparatet uudgåeligt vil bevæge sig imod. Hvorfor det? * K> K er ive- * K er et ligevægts- Hvis K< K er ivesterigere større ed afskrivigere, og K vil vokse op mod * sterigere midre ed afskrivigere, og K vil falde ed mod K. Med adre ord: * pukt, som økoomie altid vil bevæge sig imod uder de give forudsætiger. Ligevægtspuktet K ka også fides algebraisk, emlig ved at sætte ivesterigere lige med afskrivi- * gere (her vist med α= 3 ): K. Hvis * I= s Y = s A K L = d K. * * K isoleres på vestreside * 2 3 s A K = L * d Altså: Højere opsparig s (svarede til ivesteriger) og højere produktivitet A fører til højere ligevægtsoutput, mes højere afskrivig formidsker det. Altså: Jo højere ivesterigsrate er (svarede til opsparigskvote s), jo større bliver kapitalapparat i ligevægtspuktet. * Øvelse 4.3 a) Gør rede for at ligevægtspuktet i Solow-modelle med vilkårlig parameter α er bestemt ved α s A K = L * d α α s A Y = A L * d I ligevægt er K = s f( K, L) d K = eller K= s Y d K = svarede til * * K * s = Y d * 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

46 ISBN Øvelse 4.32 Er der i figure dokumetatio for sammehæge mellem K/Y og ivesteriger? Capital-output ratio, K/Y Ghaa Madagascar Chad Ethiopia Ugada 5 Nigeria Egypt Uruguay Keya Jamaica Veezuela Zambia Zimbabwe Argetia Nicaragua Idia Uited Kigdom Turkey 5 Romaia Chia Mexico Irelad 2 Switzerlad Brazil Uited States Luxembourg Austria Israel Maylasia 25 Norway Hog Kog Thailad Ivestmet rate, s (%), 2 3 Japa South Korea 35 Øvelse 4.33 Solows vækstmodel u som iteratio (A-iveau) Vi vil u beytte værktøjer fra teorie om iteratio. Du ka se flere detaljer i kapitel. l) Gør rede for at Solows vækstligig ka skrives på forme α α K = ( d) K + s + A L K m) Fid ligevægtsværdie K ved at sætte K * = K = + K *. ) Teg returplottet, dvs. grafe for K + som fuktio af Ksamme med diagoale K+ = K. Gør rede for at skærigspuktet mellem de to grafer etop er ligevægtspuktet. o) Beyt dit værktøjsprogram til at tege såvel e tidsseriegraf (dvs. Ksom fuktio af ) som spidelvævsgrafe (dvs. ( K, K + ) tilføjes til returplottet). Beyt gere de samme værdier, der oplyses i øvelse α α p) Gør rede for at fremskrivigsfuktioe g( K) = ( d) K+ s A L K er e ikke-lieær voksede fuktio med e positiv hældig, der til sidst er midre ed. Gør rede for at de derfor ødvedigvis må skære diagoale i etop ét pukt, hvor tagethældige må være midre ed. Ifølge hovedsætige om iteratio er der derfor etop ét ligevægtspukt, der ødvedigvis er tiltrækkede, dvs. alle startværdier ærmer sig ligevægtspuktet. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

47 ISBN Øvelse 4.34 Data for Damark er vist i de følgede tabel Kapital (mill.) Ivesteriger (mill.) Afskriviger (mill.) Beskæftigelse BNP (mill.) Vækstrelateret statistik for Damark Kilde: Damarks Natioalregskab 2. Damarks Statistik 22. Udersøg tabelle i lyset af Solows vækstmodel. 3.2 De gylde ligevægt I e lukket økoomi med bestemte værdier for de økoomiske parametre, arbejdskrafte L, opsparigskvote s, afskrivigsrate d og tekologiparametere A, vil der ifølge Solows model være et bestemt ligevægtspukt i økoomie α s A Y K = L * eller * d =. d K s * Me da dette ligevægtspukt afhæger af disse parametre, er det ikke ødvedigvis e øskværdig ligevægt. Ved at justere på parametree ka ma flytte på ligevægtspuktet. Specielt vil vi se på idflydelse fra opsparigskvote s. Hvis vi gør opsparigskvote s midre, forskydes ligevægtspuktet mod vestre, fordi opsparige falder. Hvis vi omvedt gør opsparigskvote s større, forskydes ligevægtspuktet mod højre, fordi opsparige stiger, jfr. figure. Udbytte Y f(k,l) Forvetet udbytte Y * Ligevægt C * C 2 * d K Afskrivig = Nødvedig ivesterig s f(k,l) Opsparig = faktisk ivesterig C * S * = I * Kapital K K * Hvis s sækes falder ligevægtskapitale K * K 2 * Hvis s hæves vokser ligevægtskapitale 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

48 ISBN Det ka udyttes til at maksimere ligevægtsforbruget C og dermed optimere velstade i samfudet. * Me da ligevægtsforbruget er forskelle mellem udbyttet og afskrivige, dvs. f( K, L) d K, er det største ligevægtsforbrug givet ved d dy dy ( Y d K) = d= = MPK d= dvs. MPK d dk dk dk = = Dee betigelse siger, at græseproduktet for kapitale, dvs. tagethældige MPK, etop skal være de samme som hældige for afskrivigslije, dvs. afskrivigsrate. Et ligevægtspukt, der opfylder dee betigelse, og dermed optimerer velstade, kaldes e gylde ligevægt. Udbytte Y f(k,l) Forvetet udbytte Y * Gylde ligevægt C * MPK d K Afskrivig = Nødvedig ivesterig s f(k,l) Opsparig = faktisk ivesterig d S * = I * Kapital K K * Gylde ligevægt med MPK = d Øvelse 4.35 I de følgede iteraktive figur ka du regulere på opsparigskvote s og dermed forskyde ligevægte for kapitale idtil ligevægte er gylde. q) I første omgag sættes kapitaladele af de samlede idkomst, dvs. parametere α, til 5 %. Hvad skal opsparigskvote s være for at ligevægte er gylde? r) Prøv derefter at sætte kapitaladele α til 4 % heholdsvis 3 %. Hvilke sammehæg syes der at gælde mellem opsparigskvote s og kapitaladele α i e gylde ligevægt. Udbytte Y α =.5 s =.6 Optimal ligevægt Faktisk ligevægt f(k,l) Forvetet udbytte d K Afskrivig = Nødvedig ivesterig s f(k,l) Opsparig = faktisk ivesterig K * Kapital K 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

49 ISBN Øvelse 4.36 (A-iveau) a) Gør rede for at græseproduktet for kapitale er givet ved dy α α α MPK= = A (α K ) L = Y dk K b) Gør rede for at betigelse for at ligevægte er gylde derfor ka omskrives til d Y = * α K * c) Sammehold det med betigelse for ligevægt og eftervis at ligevægte er gylde, etop år opsparigskvote er det samme som kapitaladele af de samlede idkomst, dvs. s= α. De oveståede model er selvfølgelig foreklet. Modelle ka fx udbygges, så de også tager hesy til de stigede befolkig, og dermed de stigede arbejdskraft, eller de tekologiske udviklig. Det vil vi imidlertid ikke gå i detaljer med her. På hjemmeside ka du fide forslag til materialer og litteratur i forbidelse med dette tema. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

50 ISBN Tema 3: Ulighedsmål i økoomie Vi så allerede i Hvad er matematik C på økoomisk vækst - emlig i Kia. Her så vi på to mål for vækste, BNP pr. idbygger og Huma Developmet Idex <lik til C-boges studieretigskapitel>. Når ma sakker vækst og rigdom, er der dog også e ade side af diskussioe, ed blot hvor mage pege der er til rådighed i samfudet. Det er også iteressat at se på, hvorda pegee er fordelt mellem samfudets borgere. Vi skal altså se på fattigdomsmål og ulighedsmål.. Velstadsmål Det mest ekle mål for et ekelt lads velstad er BNP/idbygger, hvor det samlede BNP divideres med idbyggertallet. I BNP idgår værdie af de samlede produktio, som idgår i atioalregskabet. Dermed medreges ikke de produktio, som ikke registreres (husholdigssektore, sort arbejde). BNP/idbygger avedes i sammeligiger af velstadsiveauet mellem lade. Her omreges BNP ormalt til købekraftsparitet (PPP) og e fælles valuta (USD). PPP forsøger at tage højde for, at de samme idkomst har forskellig købekraft i forskellige lade. Normalt gælder det, at købekrafte for e USD er større i lavidkomstlade ed i højidkomstlade. BNP/idbygger ka kritiseres for alee at være et geemsitsmål og ikke tage højde for spredige. Dee magel ka afhjælpes ved brug af adre mål. Øvelse 4.37 Du ka fide talsæt med udviklige i BNP og befolkig på Hvis befolkige vokser fører det til tilvækst i BNP, me også til at BNP/idbygger falder (Malthus fælde). Illustrér Malthus fælde med eksempler på sådae talsæt. Øvelse 4.38 I ogle sammehæge (fx Pe World Tables) opereres med BNP/beskæftiget som et mere præcist mål for velstade. Argumetér for at dette er korrekt. Fid tal for de beskæftigede i Damark og udreg såvel BNP/idbygger som BNP/beskæftiget. 2. Fattigdomsmål Der er flere forskellige måder at kostruere fattigdomsmål på. Det kommer sig af, at der er fordele og ulemper ved begge typer, samt at det ikke helt er på samme måde ma taler om fattigdom i de rige vestlige verde og det fattige Afrika. Absolut fattigdom er hvis idividet magler ressourcer til at skaffe sig helt fudametale tig som mad, tøj og husly, såda at deres eksistes eller sudhed er truet. I tilkytig hertil taler ma ormalt om de officielle FN fattigdomsgræse på,25-2$ om dage som fattigdomsmål. Dog medtager FN også magel på adgage til 2 af 7 basale meeskelige behov: mad, vad, saitet, husly, sudhed, uddaelse og iformatio, til at bestemme absolut fattigdom, se Me e græse på 2$ eller ca.,5kr. giver ikke meget meig i et lad som Damark. Ma ville jo ikke på oge måde kue opretholde de basale behov for dette beløb. Det betyder dog ikke, at absolutte fattigdomsmål ikke bliver brugt i de vestlige verde. Fx i USA opererer ma med e absolut græse for, hvorår 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

51 ISBN ma er fattig. I 2 var e perso i USA fattig, hvis has/hedes idkomst var uder.484$ pr. år, svarede til ca. 66.kr. Beløbet er dog udreget ud fra husstades størrelse, og der er dermed flere beløb i spil (se ). I Europa ser ma dog på fattigdom på e lidt aderledes måde ed i USA. Her ser ma både fattigdom som oget fysisk, socialt og kulturelt. Ma er altså ikke ude af fattigdom, bare fordi ma har pege til at overleve. Derfor ser ma også e ade type fattigdomsmål. Relativ fattigdom er, at ma magler ressourcer til at leve på de måde, der er ormal i det pågældede samfud. I de sammehæg avedes mediaidkomste. Dvs. de idkomst som opdeler befolkige i to lige store halvdele. Her har fx EU har e fattigdomsgræse på 6 % af mediaidkomste, mes OECD opererer med et mål på 5 % af mediaidkomste. Atal Persoer Geemsit Nedre kvartil Media Øvre kvartil Alle Dispoibel idkomst efter skat. Damark 2. Kilde: Statistisk Årbog 2. Tabel 24. I tabelle ovefor er vist fordelige af de dispoible idkomster efter skat. Det ses at mediaidkomste er på 79.6 kr., mes geemsitsidkomste er på 95. kr. Det betyder altså at 5 % af persoere har e dispoibel idkomst på uder 79.6 kr. At geemsittet er større ed mediaidkomste betyder, at der er ogle meget høje idkomster, som trækker de geemsitlige idkomst op. Tabelle ovefor viser fordelige for alle daskere. I de følgede tabel er vist kvartilfordelige på forskellige socioøkoomiske grupper. Atal familier Nedre kvartil Media Øvre kvartil Geemsit Alle ,7 242,7 44,7 294,4 Selvstædige i alt ikl. medarbejdede ægtefæller ,5 329,6 54,9 4,9 Lømodtagere i alt ,7 342, 477,5 363,5 Topledere ,4 545,6 678,2 587,8 Lømodtagere på højeste iveau ,3 456,5 573,9 455,3 Lømodtagere på mellem iveau ,6 389,6 54,2 39,5 Lømodtagere på grud iveau , 283, 48,9 33,6 Lømodtagere i øvrigt ,5 256, 37,3 278,6 Lømodtagere ude ærmere agivelse ,8 35,5 455,4 348,7 Arbejdsløse ,7 48,8 222,4 88,9 Uddaelsessøgede 7.978, 35,4 88,3 64,3 Persoidkomst fordelt efter kø og gruppe 29. Note: Tallee summerer ikke, da ogle kategorier er udeladt. Kilde: Damarks Statistik 2. Idkomster 29 og tabel INDKF4. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

52 ISBN Øvelse 4.39 s) Hvilke socioøkoomisk gruppe har de største forskel mellem geemsitsidkomst og media? t) Hvilke socioøkoomisk gruppe har de midste afstad mellem geemsitsidkomst og media? u) Lav et boxplot for hhv. lømodtagere i alt og selvstædige i alt. Hvad viser de to plots? v) Hvilke sammehæg er der mellem idkomstes størrelse og afstade mellem media og geemsitsidkomst? Hvorda ka dette møster forklares? Opdelige i idkomstitervaller (fraktiler) ka yderligere forfies. Mes mediaidkomste opdeler befolkige i to lige store halvdele ka ma yderligere opdele i kvartiler (fjerdedele) eller kvitiler (femtedele) eller deciler (tiededele). Ifølge tabelle over de dispoible idkomst efter skat, tjeer de fattigste fjerdedel af befolkige de ederste kvartil 7.7 kr. eller deruder, mes de rigeste fjerdedel tjeer kr. eller derover. Øvelse 4.4 a) Hvad er fattigdomsgræse i Damark i 2 ved hhv. 5 % og 6 % af mediaidkomste? Aved data fra tabelle over de dispoible idkomst efter skat. b) Bl.a. CASA (Ceter for Alterativ Samfudsaalyse: opererer med e absolut fattigdomsgræse, hvor der opstilles et stadardbudget. Hvorda forholder dette stadardbudget sig til e fattigdomsgræse på 5 % og 6 %? c) Oppositioe har flere gage stillet forslag i Folketiget om e officiel fattigdomsgræse. Dette afvises af de koservatives socialordfører Vivi Kier der siger For hvis Mærsk flytter til udladet, er disse folk ikke lægere fattige. Ka du forklare de sammehæg? Er argumetet korrekt? Hvilke to statistiske mål blader hu samme? Øvelse 4.4 a) Argumeter for fordele og ulemper ved hhv. et absolut og et relativt fattigdomsmål. Brug fx som ispiratio. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

53 ISBN Ulighedsmål: Gii-koefficiete Fides der ikke et mål, som ka sammefatte grade af ulighed i et eeste tal? Netop Gii-koefficiete er et såda tal. Gii-koefficiete måler forskelle mellem de aktuelle idkomstfordelig og e idkomstfordelig, hvor dee er fuldstædig lige altså hvor alle i samfudet har lige meget. Gii-koefficiete forstås lettest ved at se på et kokret eksempel: () Idkomstgruppe (2) Adel af idkomst (3) Akkumuleret gruppe (4) Akkumuleret idkomst Laveste 2 % =. kvitil 2 % 2 % 2 % Næstlaveste 2 % = 2. kvitil 2 % 4 % 4 % Mellemste 2 % = 3. kvitil 2 % 6 % 6 % Næsthøjeste 2 % = 4. kvitil 2 % 8 % 8 % Højeste 2 % = 5. kvitil 2 % % % E helt lige idkomstfordelig Plottes oplysigere i søjle 3 og 4 id i et diagram vil de ligge på e ret lije med hældige. I de æste tabel har vi aført de faktiske idkomstfordelig af de dispoible idkomster i Damark dvs. idkomste efter skat og overførsler i 25. Som det fremgår af tabelle er der ulighed de fattigste femtedel har ku 9 % af idkomstere, mes de rigeste femtedel har 37 % af idkomstere. I søjle 4 er udreget de akkumulerede idkomster. Plottes oplysigere fra søjle 3 og 4 id i et diagram fås e figur som edefor. () Idkomstgruppe (2) Adel af idkomst (3) Akkumuleret gruppe (4) Akkumuleret idkomst -2 (fattigste 2 %) 9 2 % % % % (rigeste 2 %) 37 % Fordelig af dispoible idkomster i Damark 25. Pct. af samlet dispoibel idkomst 8 Diagoal (Maximal lighed) 6 4 A Lorez-kurve 2 B Maximal ulighed Pct. af befolkig 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

54 ISBN E kurve af de type kaldes e Lorez-kurve efter de amerikaske økoom Max Lorez, der idførte kurve i e idflydelsesrig artikel Methods of measurig the cocetratio of wealth fra 95. Hvis der er fuldstædig lighed vil Lorez-kurve være sammefaldede med diagoale, og ma vil ku se diagoale. Hvis der er total ulighed vil Lorez-kurve udgøre de røde lije fra (,) til (,) heholdsvis fra (,) til (,) svarede til at é perso tjete hele idkomste i samfudet. Øvelse 4.42 a) Teg selv de to kurver id, som fremkommer af de oveståede tabeller over de ligeligt fordelte idkomster og de faktiske dispoible idkomster i Damark. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

55 ISBN Øvelse 4.43 a) De følgede tabel stammer fra Lorez artikel, hvor Lorez bruger tabelle til at udersøge om hvad der sker med ulighede i det Prøjsiske samfud over tid. Teg de tilhørede Lorezkurver og kommeter udviklige! b) De følgede figur fra Lorez artikel viser det opridelige hådtegede diagram, hvor Lorezkurve blev idført for første gag. Sammelig med dit eget diagram! 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

56 ISBN Gii-koefficiete som et polygoareal: Geometrisk betragtig Gii-koefficiete udreges som forholdet mellem arealere i Lorez-diagrammet, hvor både diagoale og Lorez-kurve er idteget. Hvis arealet mellem diagoale og Lorez-kurve beæves A og arealet mellem Lorez-kurve og x-akse beæves B udreges Gii-koefficiete som forholdet: Defiitio: Gii-koefficiet forskelle mellem de faktiske ulighed og de miimale ulighed A Giikoefficiete= G= = forskelle mellem de maksimale ulighed og de miimale ulighed A + B Gii-koefficiete blev idført af de italieske økoom og statistiker Corrado Gii i artikle Variability ad Mutability fra 92. Fra si ugdom var Gii optaget af de politisk-økoomiske diskussioer omkrig samfudets ulighed. Gii var fascist, forfatter til The Scietific Basis of Fascism, og videskabelig rådgiver for Mussolii. Ha fik stor idflydelse, bl.a. som præsidet for Italies statistiske kotor oprettet af Mussolii til brug for de fascistiske statsadmiistratio. Me i 93 ere kom ha på kat med fascisme i Italie og måtte trække sig tilbage fra stillige som præsidet for Italies statistiske kotor. Øvelse 4.44 a) Gør rede for at Gii-koefficiete er uafhægig af ehedere på aksere. Vi kue altså i pricippet afsætte de fatiske atal borgere ud af første akse og de faktiske akkumulerede idtægter op af adeakse. b) Gør rede for at år vi vælger at afsætte de akkumulerede proceter, hvor % =, må der gælde G= 2A= 2B. c) Vis at Gii-koefficiete G ligger i itervallet [;] og forklar hvorda det hæger samme med lighede i et samfud. Hvis ma keder idkomstfordelige i et samfud ka Gii-koefficiete altså fides ved at udrege eller måle arealet uder Lorez-kurve og så fx gøre brug af formle G= 2B, hvor B er arealet uder Lorezkurve. Det sidste forudsætter som vist i øvelse at vi reger i akkumulerede proceter omsat til decimaltal! Hvis vi skal fide arealet af e polygo ka vi ete idtege polygoe i et dyamisk geometriprogram og måle arealet eller vi ka udrege arealet ud fra de oplyste data. Det sidste ka gøres ved hjælp af de såkaldte trapez-formel for arealet: G= ( x x ) ( y + y ) k k k k, k= hvor xkog yker observatioere, dvs. de akkumulerede proceter udreget som decimaltal. Hvis vi bruger data fra de følgede tabel, hvor vi har tilføjet startpuktet (, ) vil formle altså være: G= ( x x ) ( y + y ) ( x x ) ( y + y ) ( x x ) ( y + y ) ( x x ) ( y + y ) ( x x ) ( y + y ) L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

57 ISBN (3) x: Akkumuleret gruppe (4) y: Akkumuleret idkomst Fordelig af dispoible idkomster i Damark 25. Øvelse 4.45 a) Udreg Gii-koefficiete for tabelle ved hjælp af trapez-formle. b) Start ved G= 2B og brug formle for arealet af et trapez T = ( ) 2 g g h + 2 til at vise at trapezformle for udregig af Gii-koefficiete er korrekt. c) Forklar til sidst hvad trapez-arealsumme beskriver ret geometrisk Gii-koefficiete som et itegral: Aalytisk betragtig Ma ka også udrege arealet uder Lorez-kurve, som det bestemte itegral i itervallet til. Altså: G= 2B= 2 L( x) dx, hvor L( x ) er forskrifte for Lorez-kurve. Hvorda bestemmes u de? Dette gøres emmest ved at idtaste data i det værktøjsprogram, ma bruger, og lave e polyomial regressio her vælger ma oftest at tilpasse med et fjerdegradspolyomium Pct. af samlet dispoibel idkomst y =.5625 x x x x+.2 R 2 =.9963 Itegral = Gii = - 2 Itegral =.274 Lorez-kurve Pct. af befolkig 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

58 ISBN Ligige ka u bruges til at fide stamfuktioe og dermed arealet uder Lorez-kurve ud fra e symbolsk itegratio. Me ma ka også tege grafe for det approksimerede polyomium og beytte grafe som udgagspukt for e umerisk/grafisk arealbestemmelse. Øvelse 4.46 a) Tag udgagspukt i tabelle over de dispoible idkomst i Damark og udfør regressioe med et fjerdegradspolyomium. b) Frembrig et diagram med såvel idkomstfordelige som det tilhørede fjerdegradspolyomium. c) Beyt dette til at fide Gii-koefficiete (som vist på de oveståede figur). Øvelse 4.47 a) Lad Lorez-kurve være grafe for fuktioe f( x) x 2 =. Teg grafe for f samme med diagoale, der forbider (,) med (,). b) Bestem de procetvise adel af idkomstmasse for de del af befolkige, der tilhører de 35 % af befolkige, som tjeer midst. Bestem de procetdel af befolkige, som hører til gruppe fra 45% til 6%. c) Bestem Gii-koefficiete. Øvelse 4.48 a) Lad Lorez-kurve være grafe for fuktioe f( x) x 3 =. Teg grafe for f samme med diagoale, der forbider (,) med (,). b) Bestem de procetvise adel af idkomstmasse for de del af befolkige, der tilhører de 35 % af befolkige, som tjeer midst. Bestem de procetdel af befolkige, som hører til gruppe fra 45% til 6%. c) Bestem Gii-koefficiete. Øvelse 4.49 a) Lad Lorez-kurve være grafe for fuktioe f( x) = x. Teg grafe for f samme med diagoale, der forbider (,) med (,), idet du idfører e skyder for ekspoete. b) Bestem Gii-koefficiete. Hvad skal ekspoete være, hvis Gii-koefficiete er.25?.5? Øvelse 4.5 a) Lad Lorez-kurve være e parabel, der forbider hjørepuktere (,) og (,). Gør rede for at forskrifte for idkomstfordelige L(x) ka skrives på forme L( x) = x a x ( x). b) Teg grafe med e skydervariabel for parametere a. Bestem Gii-koefficiete. c) Hvilket iterval bør parametere a ligge i, hvis det skal være e realistisk Lorezkurve? Hvilke værdi skal parametere a have, hvis Gii-koefficiete skal være.25? Bemærkig: Når ma modellerer idkomstfordelige L(x) med et polyomium ka ma emt risikere forskellige uhesigtsmæssigheder ved modelle. Avedes polyomial regressio er der for eksempel ige sikkerhed for at grafe for det approksimerede polyomium ret faktisk går geem hjørepuktere 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

59 ISBN (,) og (,). Tilsvarede behøver grafe ikke at forløbe idefor ehedskvadratet. Fx ka polyomiet sagtes være egativ på det første stykke. Disse fejl har dog sjældet større idflydelse på Gii-koefficiete og forudsat e grafisk kotrol af tilærmelse med et polyomium i øvrigt virker rimelig, ka ma derfor godt tillade sig at se bort fra dem. Me har ma mod på det, er det faktisk ikke uoverkommeligt at bestemme et polyomium af tilstrækkelig høj grad, der går eksakt geem alle datapuktere. Og vælger ma at støtte sig til e regressiosmodel med et fjerdegradspolyomium ka ma med lidt silde godt tvige regressiosmodelle til at gå geem hjørepuktere (,) og (,). Øvelse 4.5 a) Tag udgagspukt i tabelle for de dispoible idkomst i Damark. Gør rede for at med seks datapukter {( x, y),( x2, y2),...,( x6, y 6)} fides der etop ét femtegradspolyomium ( ) = , hvor grafe går geem alle datapuktere p x a x b x c x d x e x f p( x) = y p( x2) = y2 b) Opstil og løs ligigssystemet for de seks koefficieter {a,b,c,d,e,f}.... p( x6) = y6 c) Teg grafe for polyomiet i samme diagram som puktplottet for idkomstfordelige og beyt dette til at udrege Gii-koefficiete. d) Sammelig med resultatet af øvelse Øvelse 4.52 (udfordrig til A-iveau-elever) a) Tag ige udgagspukt i tabelle for de dispoible idkomst i Damark. Gør rede for at hvis det approksimerede polyomium p(x) tviges til at gå geem hjørepuktere i ehedskvadratet (,) og (,), så må forskelle mellem diagoale og Lorezkurve, dvs. polyomiet q( x) = x p( x) have ulpukter i x= og x=. Som kosekves heraf må det have e forskrift på forme 2 ( ) = ( x) ( a x + b x+ c) q x x b) Gør rede for hvorda ma ud fra de give data ka bestemme koefficietere { a, b, c } ved e kvadratisk regressio. Bestem ud fra dette forskrifte for det approksimerede fjerdegradspolyomium p(x). c) Teg grafe for polyomiet p(x) i samme diagram som puktplottet for idkomstfordelige og beyt dette til at udrege Gii-koefficiete. d) Sammelig med resultatere af øvelse 4.48 og L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

60 ISBN Udregig i regeark ud fra de rå observatioer I det foregåede har vi set på udregige af Gii-koefficiete for e større populatio, fx Damarks befolkig. I så fald er vi i sages atur tvuget til at tage udgagspukt i e oversigtstabel for Damarks befolkig, hvor de rå data er bearbejdet til e tabel med et beskedet atal rækker. Me ma ka også komme ud for at skulle udrege Gii-koefficiete for e stikprøve med et begræset atal elemeter, hvor ma keder de faktiske idkomst for hver af de ivolverede persoer. Stikprøve ka så ete være repræsetativ for e større populatio eller de ka være iteressat i sig selv, e miipopulatio, fx idkomstfordelige i et firma. Med direkte kedskab til de rå data er det i så fald ikke ødvedigt at kostruere Lorez-kurver og fide arealer for at fastlægge Gii-koefficiete, selv om det selvfølgelig stadigvæk ka lade sig gøre. I stedet ka ma gå frem på følgede måde: Først skal det datasæt ma har for de dispoible idkomster ordes i stigede rækkefølge: x, x,..., x () (2) ( ) Deræst ka Gii-koefficiete udreges som et vejet geemsit efter de følgede formel: G= k= (2k ) x k= x ( k) ( k), hvor er atal observatioer, x k er de ekelte observatioer og k er observatioes ummer efter datasættet er ordet i stigede rækkefølge. Læg mærke til at ævere er de samlede idkomstmasse gaget med atallet af observatioer. Her er et ekelt eksempel til at tydeliggøre fremgagsmåde. Vi har fem idkomster på 2, 4,, 25 og 7 kr. som vist i de følgede tabel. Observatioer/ Idkomster Idkomster Ragordet: x k Nummer i rækkefølge: k Vægt: 2k Bidrag: (2k ) x k = = = = = 4 3 Sum 7 3 Et simpelt ekel med 5 idkomster ( ) x k= Næver k = 5 7= 85 I eksemplet bliver Gii-koefficiete altså 3/85 =.353. Udregige af dette gøres dog emmest i et regeark. I de følgede figur er vist eksemplet ovefor idtastet i et passede regeark. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

61 ISBN Udregig af Gii-koefficiet i regeark I søjle A idtastes ummeret på observatioe. I søjle B idtastes idkomstere sorteret efter størrelse. I celle C2 idtastes formle = 2*A2-$A$6- som kopieres til cellere C3..C6. Husk at låse celle A6 med $-teg. I søjle D gages idkomste på. I række 7 udreges de relevate summer. I celle B7 udreges ævere efter formle = A6*B7. I celle B9 udreges Gii-koefficiete efter formle = D7/B8. Øvelse 4.53 a) Udersøg idkomstfordelige i klasse bladt forældree (aoymt) efter skat og idkomstoverførsler og bereg Gii-koefficiete. Øvelse 4.54 I de følgede tabel har vi opført årsidkomstere for fodboldspillere i FCK som de så ud i 999. Spiller Lø Christia Poulse 4 Thomas Røll 4 Peter Hase 35 Heie Feradez 5 Thomas Thoriger 45 Morte Bisgaard 8 Christia Løstrup 45 Jacob Laurse 7 Diego Tur 4 Sibussio Zuma 75 Thomas Rytter 4 a) Bereg Gii-koefficiete ved hjælp af de oveståede formel. Kommetér resultatet. Bemærkig: Regearksmetode ka også bruges på oversigtstabeller. Vi veder tilbage til tabelle over de dispoible idkomst i Damark. Hver kvitil opfattes da som e fiktiv perso. Ma forestille sig, at kr. fordeles på 5 fiktive persoer, som hver især tjeer hhv. 9, 3, 2, 2 og 37 kr., som vist i figure. Hefter følges opstillige som vist ovefor. Kvitilopdelt idkomst ka tolkes som absolutte idkomster 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

62 ISBN Hvor kommer u e såda formel fra? E egetlig symbolsk udledig er ikke helt em, me hvis vi reger på et datasæt med 5 idkomster ordet efter rækkefølge { x(), x(2),..., x(5) } er det faktisk overkommeligt at se møstret. Øvelse 4.55 Udfordrig til A-iveau Udgagspuktet er defiitioe på Gii-koefficiete forskelle mellem de faktiske ulighed og de miimale ulighed A Giikoefficiete= G= =, forskelle mellem de maksimale ulighed og de miimale ulighed A + B hvor A er arealet mellem diagoale og Lorez-kurve, mes B er arealet mellem Lorez-kurve og x- akse. Vi starter med at opstille tabelle over de akkumulerede grupper og idkomster: () atal persoer i hver gruppe (2) idkomst (3) Akkumuleret gruppe (4) Akkumuleret idkomst x () x () (2) (3) (4) (5) x 2 x() + x(2) x 3 x() + x(2) + x(3) x 4 x() + x(2) + x(3) + x(4) x 5 x() + x(2) + x(3) + x(4) + x(5) a) Skitser Lorez-diagrammet med akkumuleret gruppe ud af førsteakse og akkumuleret idkomst op af adeakse. k= b) Gør rede for at ævere x( k) etop er arealet af det rektagel, der omslutter Lorezdiagrammet, dvs. 2 ( A+ B) = x( k) = 5x() + 5x(2) + 5x(3) + 5x(4) + 5x(5) k= c) Gør rede for at arealet B udreget ved trapez-formle etop er givet ved 2B= 9 x + 7 x + 5 x + 3 x + x () (2) (3) (4) (5) d) Gør rede for at arealet A, så må være givet ved formle 4 x() 2 x(2) + x(3) + 2 x(3) + 4 x(5) e) Udled u de tidligere aførte formel for Gii-koefficiete G= k= (2k ) x k= x ( k) ( k). 2.4 Kritik af Gii-koefficiet For det første ka de samme Gii-koefficiete fremkomme ved meget forskellige idkomstfordeliger. For det adet udsiger Gii-koefficiete ikke oget om idkomstiveauet i samfudet. Altså ka et meget fattigst samfud godt have e meget lav Gii-koefficiet, hvis blot det er alle idbyggere, der er meget fattige. Oplysigere om Gii-koefficiete bør derfor kombieres med supplerede oplysiger om iveauet (BNP/idbygger eller et adet geemsitstal.). 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

63 ISBN Robi-Hood idekset Maksimal udjævigsgrad Forude at Lorez-kurve giver mulighed for at tolke idkomstfordelige i et samfud og edvidere udrege Gii-koefficiete, ka ma også udrege, hvor stor e adel af idkomste, der skal flyttes fra de rigeste til de fattigste for at opå fuldstædig lighed. Gruppe Idkomstadel Akkumuleret Omfordelig = 2 Idkomstadel -2 (fattigste 2 %) (rigeste 2 %) 37-7 Fordelig af dispoible idkomster i Damark 25. Som det fremgår tjeer de to højeste kvitiler hhv. og 7 % mere ed de 2 %, de skulle tjee ved fuldstædig lighed. Modsat magler de to laveste kvitiler og 7 %. Dvs. der skal flyttes 8 % fra de rigeste til de fattigste. Dette tal beæves de maksimale udjævigsgrad eller Robi-Hood idekset. De maksimale udjævigsgrad ligger mellem pct. (de helt lige idkomstfordelig, hvor alle har samme idkomst) og op mod pct. (hvor é perso har hele idkomste) I Lorez-diagrammet ka de maksimale udjævigsgrad aflæses som de maksimale afstad mellem Lorez-kurve og 45-gradersliie. De fides på det sted på Lorezkurve, hvor hældige på Lorezkurve etop er é, se figurere. På figure til vestre bruger vi e diskret polygo-model, så her ligger de maksimale forskel faktisk på hele stykket fra 4 til 6. På Figure til højre bruger vi e kotiuert polyomiumsmodel, så her ligger de maksimale forskel etop i puktet med tagethældige. Pct. af samlet dispoibel idkomst. Pct. af samlet dispoibel idkomst y =.5625 x x x x R 2 =.9963 Solve(L '(x)=,x) x = x L(x) x = Maksimal udjævigsgrad Lorez-kurve.4 Lorez-kurve Pct. af befolkig Pct. af befolkig De maksimale udjævigsgrad Robi Hood ideks (til vestre fra polygo, til højre fra polyomium) 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

64 ISBN Det er klart at de maksimale udjævigsgrad, udreget som de maksimale forskel mellem de faktiske akkumulerede idtægter og de ligefordelte akkumulerede idtægter, fugerer som et mål for de økoomiske ulighed i samfudet på samme måde som Gii-koefficiete gør det. Me hvorfor svarer det etop til Robi Hood-idekset, dvs. til de ødvedige omfordelig mellem fattige og de rige, hvis der skal opås e ligefordelig af idkomste? Ige er det emmest at vise med et kokret atal idkomstgrupper, så vi ser på fem idkomstgrupper svarede til eksemplet med de dispoible idkomst i Damark. De tre akkumulerede fordeligers søjler aflæses alle på Lorez-diagrammet: De akkumulerede ligefordelig er højde op til diagoale, de akkumulerede faktiske fordelig er højde op til Lorez-kurve og de akkumulerede omfordelig er de lodrette forskel mellem diagoale og Lorez-kurve. Ligefordelig Faktisk fordelig Omfordelig Akkumuleret Ligefordelig Akkumuleret Faktisk fordelig Akkumuleret Omfordelig x= 2 x = 9 o = x x = x= 2 x = 9 o = x= 2 x 2 = 3 o2 = x x2 = 7 2 x= 4 x+ x2 = 22 o + o2 = 8 x= 2 x 3 = 2 o3 = x x3 = 3 x= 6 x x3 = 42 o o3 = 8 x= 2 x 4 = 2 o4 = x x4 = 4 x= 8 x x4 = 63 o o4 = 7 x= 2 x 5 = 37 o5 = x x5 = 7 5 x= x x5 = o o5 = Rå data Aflæses på Lorez-diagram Så læge omfordeligstallet i søjle 3 er positivt stiger forskelle i søjle 6. Me så sart det bliver egativt falder forskelle ige og slutter med at være. I vores tilfælde fås de maksimale forskel derfor til 8, svarede til summe af de positive omfordeligstal. De maksimale forskel er etop de maksimale udjævigsgrad og summe af de positive omfordeligstal er etop Robi Hood-idekset. De er altså idetiske mål for de økoomiske ulighed i samfudet. Da summe af akkumulerede omfordeligstal er ul, ka vi også fide Robi Hood-idekset som de halve sum af de umeriske omfordeligstal (hvor vi dropper fortegee). Hvis vi ydermere tillader os at rege på faktiske idkomsttal i stedet for proceter, skal vi huske at ormere idkomsttallee med de samlede idkomst. De maksimale udjævigsgrad ka derfor også udreges efter følgede formel: xk x k= De maksimale udjævigsgrad =, 2 x hvor x er middeltallet, x k de ekelte observatio og er atal observatioer. Øvelse 4.56 a) Hvis klasse har lavet øvelse 4.55 ka du u fide Robi Hood-idekset for klasse. b) Hvis du har lavet øvelse 4.56 ka du u fide Robi Hood-idekset for FCK i L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

65 ISBN Bemærkig: Når vi skal fide de maksimale udjævigsgrad i e kotiuert model for idkomstfordelige skal vi fide maksimumspuktet for differesfuktioe d( x) = x L( x). Det gøres ved at fide de statioære pukter ved differetialregig symbolsk eller umerisk/grafisk. Vi skal altså løse ligige = d ( x) = L ( x) De maksimale udjævigsgrad ligger altså i et pukt, hvor tagethældige til Lorez-grafe er. Yderligere bemærkig (A-iveau): Da vi må forvete d() = d() = vil der ku være ét statioært pukt, hvis grafe for differesfuktioe er edad hul, dvs. d ( x) <. Me da d ( x) = L ( x) svarer det etop til at grafe for Lorez-fuktioe er opad hul. Hvis vi har fudet Lorez-fuktioe ved e polyomial regressio er det dog lagt fra altid tilfældet. Det approksimerede fjerdegradspolyomium ka derfor i pricippet godt have flere pukter med tagethældige. Så derfor er det ekstra vigtigt at ma kotrollerer de fude løsiger grafisk, år ma løser ligige L ( x) =. 2.6 Omfordelig og udviklig Gii-koefficiete og Lorez-kurve giver et sapshot af de aktuelle fordelig til et givet tidspukt. Mere iteressat er det dels at se på udviklige i idkomstfordelige, dels at se på fordelige før og efter hhv. offetlige overførsler og skat. Dette fremgår af tabelle edefor. Markedsidkomste er idkomste opået ved arbejde, mes bruttoidkomste er idkomste efter offetlige overførsler og de dispoible idkomst er idkomste efter skat Markedsidkomst 44,2 43,8 44,35 44,4 Bruttoidkomst 28,34 29, 28,72 29,9 Dispoibel idkomst 23,42 24,4 23,9 26,2 Ulighed for årsidkomst målt ved Gii-koefficiete: Kilde: Det økoomiske Råd, Dask Økoomi efterår 28, side 69. I takt med at progressioe i skattesystemet (skattestop, skatteloft, sækig af margialskatter) er blevet midre, og offetlige overførsler i stigede grad målrettes de laveste idkomster, vil det være såda at især overførsler vil påvirke Gii-koefficiete i edadgåede retig. Som det fremgår, skal ma være ret opmærksom på, hvilket idkomstbegreb der ligger til grud for beregigere af Gii-koefficietere. Er det markedsidkomste, bruttoidkomste eller de dispoible idkomste? Ulighede formidskes yderligere, hvis ma betragter fordelige over et helt livsforløb, dvs. ser på fordelige af livsidkomster efter skat. Ifølge De Økoomiske Råd vil Gii-koefficiete da være på,24 (http://www.dors.dk/graphics/sykro-library/publikatioer/rapporter/efter%e5r_2/kap2.pdf ), hvilket bl.a. hæger samme med, at gruppe af studerede øger ulighede, da de har lave idkomster, me i et samlet livsforløb vil de få kompesatio med højere idkomster. I de følgede tabel er vist e række mål for ulighed fordelt på socioøkoomiske kategorier. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

66 ISBN Atal familier Giikoefficiet Maksimal udjævig 8/2 rate ROP 6 pct. Familier i alt ,29 9,4 4,7 2,8 Selvstædige i alt 7.264,63 39,8-8,3 25,4 Lømodtagere i alt ,22 5, 3,2,4 Topleder 73.98,25 7, 3,5 6, Lømodtagere på højeste iveau 26.74,9 3,3 2,7 7,3 Lømodtagere på mellemiveau ,8 2,6 2,6 7, Lømodtagere på grudiveau ,9 3,3 2,8,6 Adre lømodtagere 28.4,8 2,8 2,6 9,2 Lømodtagere, stillig uoplyst 74.47,28 8,6 4,5 2, Arbejdsløs midst halvdele af året 34.87,9 2,7 2,6 5, Uddaelsessøgede 7.32,29 9,6 8, 9,8 Forskellige ulighedsmål. Daske familier. Dispoibel idkomst 29. Note: ROP er Risk of Poverty, altså sadsylighede for at ma har uder 6 % af mediaidkomste for alle. Hos selvstædige er 8/2 rate egativ, fordi de laveste 2% (kvitil) har egative idkomster (virksomhede giver uderskud). Kilde: Damarks Statistik 2. Idkomster 29. I tabelle har vi også iddraget de såkaldte 8/2 rate. De er defieret som forholdet mellem idkomstadele for de rigeste 2% og de fattigste 2%. Hvis vi kigger tilbage på tabelle for de dispoible idkomst i Damark i 25 er 8/2 rate derfor givet ved 37/9 = Mobilitet Ma ka udrege et såkaldt mobilitetsideks, som udsiger oget om idkomstere hos bør i forhold til forældrees idkomster. Mobilitetsidekset måler afstade mellem e fuldstædig tilfældig fordelig af børees idkomster uafhægig af forældrees idkomster og de faktiske fordelig. Ved fuldstædig mobilitet vil idekset få e værdi på og ved total fravær af mobilitet fås e værdi på. Det påstås ormalt at ulighed fremmer motivatioe og dermed mobilitete altså jo højere Gii-koefficiet, jo højere mobilitetsideks. Mobilitetsideks. Kilde: De Økoomiske Råd, Efterår 2, side 64. (www.dors.dk) Øvelse 4.57 a) Hvilke sammehæg er der i tabelle mellem mobilitet og lighed? Overvej hvad der er afhægig og uafhægig variabel. b) Ka der kostateres e sammehæg mellem velfærdsmodel og ulighed/mobilitet? 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

67 ISBN Datasæt Datasæt til at sammelige Gii-koefficieter mellem lade ka hetes på dee adresse: som omfatter e række vestlige lade. 2.8 Lighed og vækst I de politiske debat fremføres hyppigt e egativ sammehæg mellem grade af lighed og de økoomiske vækst: Jo større lighed, jo midre vækst. Argumetet støtter sig på effektivitetsbetragtiger: At e høj grad af lighed, fremkommet ved omfordelig via et progressivt skattesystem, giver færre icitameter til at yde e ekstras idsats/tage e videregåede uddaelse og dermed lavere økoomisk vækst ed ved høj ulighed. Altså: Lighed maglede icitameter lavere økoomisk vækst. Og modsat ka det aføres, at hvis ulighede er meget høj mister folk fuldstædig motivatioe til at gøre oget overhovedet. Sammehæge er skitseret i de følgede figur. Vækstrate Høj - motivatiosfælder - frirytteri - arbejdsuddragelse - højre statislige omkostiger Optimal Gii-koefficiet, der maksimerer vækstrate - motivatiosfælder - lav social sammehægkraft - social uro - usikre ejedomsrettigheder Lav Gii-koefficiet Lille Optimal Stor Vækst og lighed e skitse Kilde: 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

68 ISBN E såda figur giver aledig til e række metodiske overvejelser: Hvilke variabel er afhægig og hvilke variabel er uafhægig? Og hvorda ka sammehæge i figure verificeres/falsificeres? Øvelse 4.58 Brug di vide fra både matematik og samfudsfag til at argumetere hhv. for og imod påstadee i de oveståede figur. 2.9 Avedelse af Lorez-kurve Bl.a. Skattekommissioe aveder Gii-koefficiete i deres beregiger af forskellige reformforslag, me også til at sammelige lighede i Damark med adre lade. Et udpluk af relevate figurer og tabeller er vist i bilag A, som du ka fide her. Også Arbejderbevægelses Erhvervsråd aveder hyppigt Gii-koefficiete i deres årlige rapporter. Her ka især fremhæves de årlige rapport Fordelig og Levevilkår, der ideholder opdaterede data på udviklige i idkomst- og formuefordelig. Rapportere ka hetes på De økoomiske Råds formadskab har i deres rapport for efteråret 28 e række beregiger, der viser virkige af forskellige skattepolitiske istrumeter på Gii-koefficiete. Også på globalt pla opereres der med e Gii-koefficiet. Hvorda har de globale ulighed udviklet sig? (I boge Davis Held ad Aysa Kaya (eds.), Global Iequality, Polity 28 er der e fremragede geemgag af de metodiske overvejelser ma må gøre sig ved beregig af et globalt ulighedsmål.) Det fremgår af de følgede figur. Global Lorez-kurve 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

69 ISBN Adre mål: Udvikligsideks - Fattigdomsideks Vi har i studieretigskapitlet til Hvad er matematik C allerede sakket om målee BNP/idbygger og HDI. Me der fides flere ideks som ka være iteressate at bruge år ma kigger på ulighed. Til sammeligig mellem lade opererer UNDP (Uited Natios Developmet Program) med et såkaldt fattigdomsideks (HPI - Huma Poverty Ideks), der er et sammevejet geemsit af følgede fire størrelser: A: Sadsylighed for ikke at blive 4 år ved fødsle (gages med ) B: Adel af befolkig som er fuktioelle aalfabeter C: Adel af husstade der ikke har adgag til vad og C2: Adel af bør der vejer for lidt i forhold til hvad de skulle veje De to bidrag C og C2 vejes samme. De tre størrelser vejes samme til et potesgeemsit: ( ( )) A B C HPI= + + HPI er således et bredere mål, der idfager adre dimesioer ed alee idkomste. For Damark er idekset for på 8,2 og vi kommer id på e placerig som r. 5 (Se til hele ragliste). UNDP udreger også et fattigdomsideks HPI-2 rettet mod de rigere lade (lade med i OECD). Heri idgår bl.a. eksklusio fra arbejdsmarkedet og adel der lever af e idkomst uder fattigdomsgræse på 5 % af mediaidkomste. Her ligger Damark på e 4.plads idefor OECD-ladee. Helt parallelt med HDI og HPI udreges et køsrelateret udvikligsideks (GDI), hvor forskelle mellem mæd og kvider sættes i cetrum (se for e geemgag af beregigsmetoder). I yere udvikligsteori tillægges kvider e betydelig rolle for udviklig. Derfor vil det være iteressat at kombiere udviklige i GDI med adre udvikligsmål, for at vurdere hvorvidt kviders udviklig ret faktisk har betydig. Øvelse 4.59 a) Udersøg ulighede i Damark ved at se på kombiatio af Gii-koefficiet, BNP/idbygger og HDI og HPI og GDI. b) Overvej om alle ideksee er lige gode og hvilke der er tilstrækkelige til at komme med e grudig aalyse af spørgsmålet. På hjemmeside ka du fide forslag til materialer og litteratur i forbidelse med dette tema. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

70 ISBN De store skriftlige opgave SRO Det gælder i tværfaglige opgaver mellem matematik og samfudsfag, som det gælder for tværfaglige opgaver geerelt kuste er at få e samlet opgave og ikke to parallelle opgaver idefor det samme eme. Når det er fagee som skal bidrage til e tværfaglig opgave, vil det altid være samfudsfag som leverer et eme, hvor matematikke spiller e rolle i behadlige af emet. Altså er det matematik der leverer oget af det værktøj emet skal belyses ud fra. Opgavere vil oftest være stillet såda, at ma tydeligt ka se hvilket fag, som er på spil i hvilke del af opgave. Det er dog vigtigt at fokusere på at det er ÉNOPGAVE, og det er derfor cetralt at fokusere på, hvorda ma får skrevet de to dele foruftigt samme. Ma skal gøre sig klart: Hvilke rolle spiller matematikke? Hvilke ekstra dybde giver det opgave, at ma har matematik med? Det er emlig det spadestik, ma kommer dybere ed ved at havede matematiske baggrud med, som ka udgøre overgage og sammebidige mellem opgaves dele. Heruder er vist 4 forskellige eksempler på studieretigsopgaver. Opgave ka have meget forskelligt fokus og spiller forskellige roller i udervisige hvor styret skal de være, er det oget der er arbejdet med på forhåd, er det e del af et projekt osv. Derfor er det forsøgt at illustrere disse forskellige typer. Først er der to meget forskelligt formulerede opgaver om ulighed e meget lukket og lærerstyret opgave og e mere åbe og elevstyret opgave. Emet er ikke forudgåede blevet behadlet i udervisige. Deræst e opgave om velfærdsstate, som bruger både gii-koefficiet og regressio. Her er der fokuseret på avedelse af allerede kedt stof fra udervisige. Til sidst er der e opgave, som er lavet som e del af et projekt omkrig spørgeskemaer og tests, som bygger på e foregåede behadlig af stoffet. Her kue ma lave e tilsvarede opgave som byggede på udersøgelser fra fx Eksempel : SRO Ulighed Studieretigsopgave består af tre dele, ), 2) og 3), der vægtes med hhv. 25 %, 5 % og 25 %. ) Redegør for hvorda forskellige politiske ideologier og udvalgte partier forholder sig til økoomisk ulighed. 2) Redegør matematisk for Gii-koefficiete som udtryk for ulighed i samfudet vha. edeståede uderpukter. I skal u fide Gii-koefficiete for idkomstfordelige i DK i 27 ved brug af tabel. Tallee er de ree løidtægter, dvs. ude overførselsidkomster. Derfor bliver Gii-koefficiete markat højere ed de, vi ormalt opererer med for DK. Det betyder ikke oget i dee sammehæg. Dvs. at tabelle siger, at de fattigste % af befolkige har,9 % af idkomste osv. 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

71 ISBN Tabel Decil %.decil,9 2.decil 3,8 3.decil 5,3 4.decil 6,4 5.decil 7,9 6.decil 9,4 7.decil,8 8.decil 2,4 9.decil 4,7.decil 28,4 Tabel. Kilde Damarks Statistik 27. b) Idteg i et koordiatsystem de stykvis lieære Lorez-kurve. Idteg ligeledes kurve for total lighed. Beskriv kort, hvorda Lorez-kurves forløb udtrykker ulighed i idkomstfordelige. c) Redegør for, at ;. Redegør desude for, at, 2 2 d) Brug, at 2 til at gøre rede for, at Gii-koefficiete er givet ved følgede trapez-arealsum vist heruder og bereg de: hvor, er det te datapukt. Forklar, hvad trapez-arealsumme ret visuelt beskriver. e) Bestem vha. regressio fuktiosforskrifte for det fjerdegradspolyomium som passer bedst på puktere og bestem arealet heruder. Bestem u gii-koefficiete ved brug af. Bereg hvor usikker modellerige af Lorezkurve er til udregig gii-koefficiete. 3) Diskutér med udgagspukt i del ) om grade af ulighed i Damark er på et passede iveau. Du skal i besvarelse komme id på, om der er e sammehæg mellem økoomisk vækst og grad af ulighed, som vist i figure edefor. Kilde: 22 L&R Uddaelse A/S Vogmagergade DK-48 Købehav K Tlf:

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det

Hvad vi gør for jer og hvordan vi gør det Hvad vi gør for jer og hvorda vi gør det Vi skaber resultater der er sylige på di budliie... Strategi Orgaisatio Produktio Økoomi [ Ide du læser videre ] [ Om FastResults ] [ Hvorfor os? ] I foråret 2009

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller

Kommunens styringssystemer og offentlige leders krydspres eller Kommues styrigssystemer og offetlige leders krydspres eller hvorda får du forebyggelse sat på kommues dagsorde 1 Dispositio: Præsetatio og itroduktio til emet Ledergruppes styrigsmæssige dagsorde Begreber

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse

Vold på arbejdspladsen. Forebyggelse F O A f a g o g a r b e j d e Vold på arbejdspladse Forebyggelse Idhold Et godt forebyggede arbejde Trivsel Faglighed Ledelse Brugeriddragelse Fællesskab Tekiske og fysiske forhold E løbede proces E positiv

Læs mere

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder

Den servicemindede økonomi- og regnskabsmedarbejder De servicemidede økoomi- og regskabsmedarbejder 25. og 26. marts 2009 Tekologisk Istitut Taastrup 16. og 17. april 2009 Tekologisk Istitut Århus Få idsigt og redskaber, der styrker service og rådgivig

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit!

Vanebryderdagen 2009 Vanens magt eller magt over vanen? Valget er dit! Vaebryderdage 2009 Vaes magt eller magt over vae? Valget er dit! Osdag de 4. marts 2009 taastr u p Vaebrydere Torbe Wiese Meditatiosgurue Heig Davere Hjereforskere Milea Pekowa COACHEN Chris MacDoald Ulrik

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer

Program. 08:30 Indtjekning med kaffe, te og morgenbrød 09:00 Indledning ved dirigenten. 09.10 It-organisationens udfordringer Program 08:30 Idtjekig med kaffe, te og morgebrød 09:00 Idledig ved dirigete Peter Høygaard, parter Devoteam Cosultig A/S 09.10 It-orgaisatioes udfordriger 2009 få mere for midre og spar de rigtige steder

Læs mere

Grundlæggende Lederuddannelse

Grundlæggende Lederuddannelse Grudlæggede Lederuddaelse Grudlæggede Lederuddaelse God ledelse er vigtig for både dig og di virksomhed. Det er vigtigt for di ege persolige udviklig, for die medarbejderes motivatio og dermed i sidste

Læs mere

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1

Duo HOME Duo OFFICE. Programmeringsmanual DK 65.044.50-1 Duo HOME Duo OFFICE Programmerigsmaual DK 65.044.50-1 INDHOLD Tekiske data Side 2 Systemiformatio, brugere Side 3-4 Ligge til og slette brugere Side 5-7 Ædrig af sikkerhedsiveau Side 8 Programmere: Nødkode

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Den Store Sekretærdag

Den Store Sekretærdag De Store Sekretærdag Tilmeld dig ide 1. oktober og få 300 kr. i rabat! De 25. ovember 2008 Tekologisk Istitut Taastrup De 8. december 2008 Mukebjerg Hotel Vejle Nia Siegefeldt, chefsekretær Camilla Miehe-Reard,

Læs mere

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso

Undgå tab med effektiv debitorstyring og inkasso Udgå tab med effektiv debitorstyrig og ikasso 6. maj 2009 tekologisk istitut TAASTRUP Bliv opdateret på de yeste regler hvad betyder de for di virksomhed? Har du styr på virksomhedes tilgodehaveder? Etablerig

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO

BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO BRANDBEKÆMPELSE OG KRÆFTRISIKO Rapport fra Videskoferece på Christiasborg 22. jauar 2013 1 Bradbekæmpelse og kræftrisiko bygger på idlæg og diskussioer på koferece, afholdt på Christiasborg 22. jauar 2013.

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk

Små og store varmepumper. n Bjarke Paaske n Teknologisk Institut n Telefon: +45 7220 2037 n E-mail: bjarke.paaske@teknologisk.dk Små og store varmepumper Bjarke Paaske Tekologisk Istitut Telefo: +45 7220 2037 E-mail: bjarke.paaske@tekologisk.dk Ree stoffers tre tilstadsformer (faser) Fast stof (solid) Eksempel: is ved H 2 0 Væske

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag.

Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsons og Villeneuves strategier. Matematisk modellering af et af verdenshistoriens store slag. Projekt 8.2 Slaget ved Trafalgar-Nelsos og Villeeuves strategier. Matematisk modellerig af et af verdeshistories store slag. Om de matematiske metode Vi vil illustrere de matematiske metode, ved at vise

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

Nye veje til den gode forflytning

Nye veje til den gode forflytning TEMA Ergoomi Nye veje til de gode forflytig Nye veje til de gode forflytig Brachearbejdsmiljørådet Social & Sudhed Nye veje til de gode forflytig Idhold Nye veje til de gode forflytig side 3 Lies første

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svestrup Tilstede: Hae Veggerby, formad( Hveg), Ae sofie Gothe, æstformad (Asgr), Mette Nødskov sekretær ( Met),

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN

ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN ALLE BØRN HAR RETTIGHEDER DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG UNGE FORTÆLLER OM AT VÆRE INDLAGT I PSYKIATRIEN DET ER BARE ALMINDELIGE MENNESKER, DER HAR EN SÅRBARHED BØRN OG

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

Softwaretest når det er bedst 2009

Softwaretest når det er bedst 2009 Tekologisk Istitut i samarbejde med softwaretest.dk Softwaretest år det er bedst 2009 8. o g 9. J U N I 2 0 0 9 T e k o l o g i s k I s t i t u t T a a s t r u p Succes med itegrerig af test i SCRUM og

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Professionel IT-forundersøgelse og MUST-metoden. Jesper Simonsen

Professionel IT-forundersøgelse og MUST-metoden. Jesper Simonsen Professioel IT-forudersøgelse og MUST-metode Jesper Simose simose@ruc.dk www.ruc.dk/~simose Datalogi, hus 42.1 Roskilde Uiversitetsceter Uiversitetsvej 1 4000 Roskilde Telefo: 4674 2000 www.dat.ruc.dk

Læs mere

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste

Plejebrochure. Gør dit bassin til det bedste Plejebrochure Gør dit bassi til det bedste Er du god til at vedligeholde dit svømmebassi? Hvis ikke, så lad os hjælpe dig. Med dee brochure vil du hurtigt blive e ekspert. Ethvert svømmebassi ka opå krystalklart

Læs mere

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede?

Er det en naturlov at aminosyrer er venstredrejede? Er det e aturlov at amiosyrer er vestredrejede? Aja C. Aderse, Axel Bradeburg og Tuomas Multamäki (NORDITA) Stort set samtlige amiosyrer fides i to udgaver (eatiomere) e vestre og e højredrejet (se figur

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Adfærdsmodel for persontrafik

Adfærdsmodel for persontrafik Miljø- og Eergimiisteriet Damarks Miljøudersøgelser ALTRANS Adfærdsmodel for persotrafik Faglig rapport fra DMU, r. 348 Marts 2001 [Tom side] Miljø- og Eergimiisteriet Damarks Miljøudersøgelser ALTRANS

Læs mere

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed

DIÆTISTEN FOKUS. Besparelser i Region Midt angriber kliniske diætisters faglighed Nr. 135. Jui 2015. 23. årgag DIÆTISTEN FOKUS Erærigsidsats ka spare milliarder - Vi har spurgt politikere, hvorda de ser på erærigsrelaterede problemer som overvægt og udererærig Besparelser i Regio Midt

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen

Cityringen Udredning af metro til Ny Ellebjerg via Sydhavnen Jui 2013 Resumé Cityrige Udredig af metro til via Sydhave Metroselskabet Trasportmiisteriet Købehavs Kommue Frederiksberg Kommue Tekst Metroselskabet I/S Metrovej 5 2300 Købehav S Telefo +45 3311 1700

Læs mere

Brændstof. til krop og hjerne

Brændstof. til krop og hjerne Brædstof til krop og hjere Idhold 3 6 8 10 11 12 14 15 17 22 24 26 27 28 29 30 Kaloriebomber og eergibudter Døget rudt skal di krop og hjere bruge eergi Morgemad Med morgemad er du sikker på, det går godt

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

MAG SYSTEM. Gulvrengøring

MAG SYSTEM. Gulvrengøring DK MAG SYSTEM Gulvregørig Mag system Kocept E fremfører for alt. Det er helt yt: Ved Mag-systemet passer e fremfører til alle moptyper. Således ka de optimale arbejdsbredde, tekstilkvalitet og regørigsmetode

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n))

Et træ med x blade.. h lg(x) DVS. decision-træet vil en maks højde på lg n! blade. lg(n!) >= n*lg(n) -1.5n = Ө(n*lg(n)) DM19 1. Iformatio-theoretic lower bouds kap. 8 + oter. Ma ka begræse de teoretiske græse for atallet af sammeligiger der er påkrævet for at sortere e liste af tal. Dette gøres ved at repræsetere sorterig-algoritme

Læs mere

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De

Her svigtes de ældre mest. Fokus. Dokumentation: Ældre patienter behandles meget forskelligt alt efter, hvor i landet de bor. De 50+ sygdomme Nyhedsmagasi om forebyggelse og behadlig magasiet Overaktiv blære er e tabubelagt sygdom Side 8 Geidlæggelser for dehydrerig Regio Hovedstade 26,2% Nyt middel mod forhøjet blodtryk Omkrig

Læs mere

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler?

Til dig, der er lærerstuderende Kender du VIA CFU Center for Undervisningsmidler? Ti dig, der er ærerstuderede Keder du VIA CFU Ceter for Udervisigsmider? - for dig og di udervisig VIA CFU - tæt på di og skoes praksis Når det kommer ti æremider, er VIA Ceter for Udervisigsmider eer

Læs mere

Fra viden til handling. Få flere unge, især med anden etnisk baggrund end dansk, til at begynde på og gennemføre en erhvervsfaglig uddannelse

Fra viden til handling. Få flere unge, især med anden etnisk baggrund end dansk, til at begynde på og gennemføre en erhvervsfaglig uddannelse 2013 Fra vide til hadlig Få flere uge, især med ade etisk baggrud ed dask, til at begyde på og geemføre e erhvervsfaglig uddaelse Tekst/forfatter LG Isight Udgivet af Fastholdelseskaravae/- Miisteriet

Læs mere

VERDEN. handler ETISK OG FAIR? Skolekontakten

VERDEN. handler ETISK OG FAIR? Skolekontakten P e t e r B e j d e r & K a a r e Ø s t e r VERDEN hadler ETISK OG FAIR? Skolekotakte Verde hadler etisk og fair? Peter Bejder & Kaare Øster VERDEN hadler Verde hadler etisk og fair? Peter Bejder & Kaare

Læs mere

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken,

AUGUST v. Margit Ingtoft, María Muniz Auken, SOMMER-, WEEKEND- & EFTERÅRSKURSER 2007 SOMMERKURSER AUGUST v. Margit Igtoft, María Muiz Auke, JUNI og / eller Sommer 2007 Jui (A) + August (B) Dato: 5/6 28/6 og eller 7/8 30/8: MUY BARATO: Pris pr. hold

Læs mere

Konica Minolta 190f. Til almindelige kontorbehov. Kontorsystem Konica Minolta 190f

Konica Minolta 190f. Til almindelige kontorbehov. Kontorsystem Konica Minolta 190f Koica Miolta 190f Til almidelige kotorbehov Kotorsystem Koica Miolta 190f Koica Miolta 190f, kotorsystem Fra grudlæggede smart til ekstra itelliget Koica Miolta 190f har stort set alt, som det lille kotor

Læs mere

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer

Pcounter effektiv styring af omkostningerne. Pcounter-programmer Pcouter effektiv styrig af omkostigere Pcouter-programmer Pcouter, Itro De cetrale udskrivigsstrategi Pcouter er software til registrerig og kotostyrig af prit, og som sætter virksomheder i stad til at

Læs mere

Rette behandling gjorde aktivt liv muligt

Rette behandling gjorde aktivt liv muligt Smerter, gigt og kogler Nyhedsmagasi om forebyggelse og behadlig magasiet Damarks mest effektive sygehuse bruger de dyreste smertemedici I de to midtjyske byer Give og Brædstrup fider ma ladets mest effektive

Læs mere

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD)

TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) Uderøgele af forældre brugerilfredhed med dagilbud i kommue Sep. 2013 SPØRGESKEMA TIL FORÆLDRE TIL BØRN I DAGTILBUD (DAGINSTITUTION, DAGPLEJE OG SÆRLIGE DAGTILBUD) De er valgfri for kommue, om de pørgmål,

Læs mere

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy

Nuance ecopy ShareScan. Dokumentbehandling i den digitale verden. Document capture & distribution Nuance ecopy Nuace ecopy ShareSca Dokumetbehadlig i de digitale verde Documet capture & distributio Nuace ecopy Nuace ecopy, documet capture & distributio Itegratio af papirdokumeter i digitale arbejdsgage Med Nuace

Læs mere

Citation for published version (APA): Lewis Brooks, A.. T. (2010). Leg dig fra smerten. Fokus magasinet, (2), 16-17.

Citation for published version (APA): Lewis Brooks, A.. T. (2010). Leg dig fra smerten. Fokus magasinet, (2), 16-17. Aalborg Uiversitet Leg dig fra smerte Brooks, Toy Published i: magasiet Publicatio date: 2010 Documet Versio Forlagets edelige versio (ofte forlagets pdf) Lik to publicatio from Aalborg Uiversity Citatio

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

af det hele Randi Laubek Frederikshavn

af det hele Randi Laubek Frederikshavn Frederikshav af det hele Radi Laubek Natures skøhed har haft stor betydig for mi musik, fortæller sagere, sagskrivere og musikere Radi Laubek, der er vokset op i det ordjyske. Side 14 15 Morgefruer med

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Administartive oplysninger.

Administartive oplysninger. DGU r. Stamoplysiger LOOP Nr. Lokal betegelse Matrikkel Nr.: X koordiat Y Koordiat Z kote. 98.853 3.21.03.01 G1-1 6a/7c, Tåig by 552020,95 6207170,19 66,58 T Admiistartive oplysiger. koordiat oplysiger

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

YSoft SafeQ. Accounting software og terminaler. Applikationer YSoft SafeQ

YSoft SafeQ. Accounting software og terminaler. Applikationer YSoft SafeQ YSoft SafeQ Accoutig software og termialer Applikatioer YSoft SafeQ YSoft SafeQ, itroduktio YSoft SafeQ Komplet Accoutig og sikkerhed YSoft SafeQ er e serverløsig, som kotrollerer og fordeler udskrivige

Læs mere

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2

1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2 Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel

Læs mere

Affaldshåndbog. Batteriindsamling. Genbrugsstationer. Storskrald. Konkurrence

Affaldshåndbog. Batteriindsamling. Genbrugsstationer. Storskrald. Konkurrence Affaldshådbog 2008 Batteriidsamlig Gebrugsstatioer Storskrald Kokurrece Idhold Hilse fra direktøre 3 Nyheder i 2008 4 Geerelt 5 Hjælp di skraldemad 5 ORDNINGER Restaffald 6 Papiridsamlig 8 Batterier på

Læs mere

bizhub PRO C754 Den perfekte kombination til printbranchen Produktionssystem bizhub PRO C754

bizhub PRO C754 Den perfekte kombination til printbranchen Produktionssystem bizhub PRO C754 bizhub PRO C754 De perfekte kombiatio til pritbrache Produktiossystem bizhub PRO C754 bizhub PRO C754 produktiossystem Kokurrecedygtig udskrivig For at opå succes på markedet i dag skal ma som modere virksomhed

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere