Abstract. Mikael Westermann, 3x 23 Midtfyns Gymnasium Studieretningsprojekt 2010 Fysik A, Matematik A

Transkript

1 Abstract This paper describes waves in electrical AC-circuits, and how the voltage drop over reactive components varies with the frequency of the waves. The voltage drops over capacitors, inductors and resistors vary differently with frequency. Different ways to represent the waves mathematically are explained. The concepts of voltage division and impedance (including how to calculate both series and parallel impedance) are explained. It is explained how to calculate the numerical value of the theoretical voltage drop over the reactive components in a series circuit of a resistor with reactive components. This method requires calculating the modulus of complex numbers. The method is applied to four different circuits: the low-pass filter, the high-pass filter, the band-pass filter and the band-stop filter. These circuits have also been tested experimentally, and an analysis of the data from these experiments is compared to the calculated theoretical values. It is concluded that the theoretical values match the data if one assumes that the theoretical inductance of the inductor used in three of the circuits is too high. Furthermore, the results from both the theoretical models and the experiments are used to explain some contexts between phase difference and voltage drop. A differential equation for the current through a circuit consisting of a resistor in series with an inductor and a capacitor (a band-stop filter) is created and solved using complex notation. How the different circuits are used as filters is explained with theory and a practical example: The filters can be used to reduce distortion and other unwanted effects in a speaker system. 2

2 Indholdsfortegnelse Abstract Indledning Spænding i vekselstrøm Svingninger Impedans Vekselstrømkredse Seriekobling af en resistor med en kapacitor Seriekobling af en resistor med en induktor Seriekobling af en resistor med en kapacitor og en induktor i serie En resistor seriekoblet med parallelkobling af en induktor og en kapacitor Strømstyrke i et vekselstrømkredsløb Eksperimentel undersøgelse af vekselstrømkredse Fremgangsmåde Resultater og databehandling Seriekobling af en resistor med en kapacitor Seriekobling af en resistor med en induktor Seriekobling af en resistor med en kapacitor og en induktor i serie En resistor seriekoblet med parallelkobling af en induktor og en kapacitor Filtre Lavpasfilter Højpasfilter Båndstop Båndpas Anvendelse Konklusion Litteraturliste Bilag Bilag A: Theodore P. Pavlic: Review of Circuits as LTI Systems Bilag B: Eksempel på eksporterede data fra oscilloskop Bilag C: Eksempel på behandling af grunddata i regneark Bilag D: Spændingsfald afbildet som funktion af t i LoggerPro og regneark med frekvenser og tilhørende maksimalspændinger LoggerPro-grafer: Regneark med frekvenser og tilhørende maksimalspændinger Bilag E: Billede af opstilling

3 Bilag F: Flere forfattere: Filter (signal processing) Bilag G: Flere forfattere: Audio crossover Bilag H: Hans Grand: Delefilter Bilag I: M.L. Laursen: Magnetfelter

4 1. Indledning I denne opgave forklares først svingningerne i vekselstrømkredse, og hvordan man finder maksimal- og minimalværdierne af spændinger ud fra svingerne af vekselspændinger. Det forklares også hvordan man omregner effektivværdien af en målt spænding til maksimalværdien af spændingen. Der redegøres for begreberne faseforskydning og impedans, derunder serie- og parallelimpedans samt resistans og reaktans. Impedansen for de 3 forskellige komponenter resistor, kapacitor og induktor forklares, og formler til hvordan man udregner en numerisk værdi af maksimalspændingen over en kapacitor, en induktor eller en kombination af begge udregnes. Herunder nævnes spændingsdelerformlen, og hvordan den hænger sammen med spændingen over kredsløbet og de reaktive komponenter. Begreberne serieresonans og parallelresonans forklares, og en ligning for resonansfrekvensen opstilles. Efter den teoretiske del omkring det maksimale spændingsfald over de reaktive komponenter opstilles og løses en differentialligning til bestemmelse af strømstyrken i et kredsløb med kompleks notation. Kredsløbet der opstilles en differentialligning for er en serieforbindelse af en resistor med en kapacitor og en induktor i serie, og det påtrykkes en vekselspænding på formen u 0 =u m *cos(t). Det forklares i opstillingen af differentialligningen hvordan formlen for vekselspændingen kan omskrives til et komplekst tal. Herefter gennemgås den eksperimentelle undersøgelse af de samme kredse der blev gennemgået i teorien, og spændingsfaldet over de reaktive komponenter afbildes som funktion af frekvensen. I gennemgangen er der for hvert af kredsløbene forklaringer på hvad de forskellige målinger og beregninger viser. Målingerne sammenlignes her med funktionerne fundet i teoridelen, og de benyttes til at vurdere en anden værdi af den benyttede induktors induktans end den opgivne. Eksperimentets fejlkilder og måleusikkerheden diskuteres og vurderes. Der er i teoridelen og eksperimentdelen fokus på at finde sammenhængen mellem spændingen over reaktive komponenter og vekselstrømmens frekvens. De 4 kredse, der undersøges kan opfattes som forskellige filtre. Det forklares hvordan de 4 filtre fungerer og hvordan de kan anvendes i praksis i delefiltre, der benyttes i højttalersystemer. Til sidst i opgaven er der en sammenfattende konklusion. 5

5 2. Spænding i vekselstrøm 2.1. Svingninger En vekselspænding er en spænding, hvis værdi svinger mellem et maksimum og et minimum hver gang strømmens retning vender. Maksimalværdien, u m, er svingningens amplitude, og når svingningen er i sit minimum er spændingen altså u m. De kredse, denne opgave beskæftiger sig med er tilsluttet en vekselstrømgenerator, der påtrykker kredsene en sinusformet vekselspænding med konstant amplitude u m, og en variabel frekvens f. Svingningernes vinkelfrekvens hænger sammen med frekvensen ved formlen = 2. 1 Da strømmen skifter retning periodisk er momentanspændingen over hele kredsen således givet ved sin (). 2 Når man måler spændingsfaldet over en sådan vekselstrømkreds med et voltmeter får man typisk spændingsfaldets effektivværdi U 0, som hænger sammen med maksimalværdien ved formlen = 2. På samme måde hænger strømmens effektivværdi I sammen med strømmens maksimalværdi i m ved formlen = 2. 3 Når man taler om vekselstrømkredse er det vigtigt at kende Kirchhoffs love: Kirchhoffs 1. lov: Summen af strømmene til et knudepunkt er lig 0. Kirchhoffs 2. lov: Summen af spændingsfald og spændingsstigninger i et lukket kredsløb er lig 0. 4 Disse love gælder i vekselstrømkredse for momentanværdier Impedans Definitionen på en komponents impedans er =, hvor Z er impedansen. 6 Denne består af en reel del, som er komponentens resistans, og en imaginær del, som er j 7 gange komponentens reaktans X. For en ren ohmsk modstand 8, som den en resistor udøver, er impedansen lig med resistansen. Det er dog ikke tilfældet, når u m og i m ikke indtræffer samtidig, hvilket er tilfældet hos nogle andre 1 Kilde: Fysik 3A s Kilde: Fysik 3A s. 8. Spændingsgeneratorens momentanværdi er hele kredsens momentanværdi. 3 Kilde: Fysik 3A s Kilde: Fysik 3A s Kilde: Fysik 3A s. 13. Momentanværdier for frekvenser under MHz-området. 6 Kilde: Fysik 3A s j svarer til matematikkens i, som har egenskaben i 2 =-1. 6

6 komponenter: En induktor 9 forsinker strømmen pga. den modelektromotoriske kraft, og der opstår derfor en faseforskydning mellem i og u, og altså i m og u m. Faseforskydningen betegnes. Spændingen er faseforskudt /2 foran strømmen. En ideal induktor har ikke nogen resistivitet 10, altså ingen ohmsk modstand. Den har derimod en reaktans, X L, som skyldes dens induktans L. Induktorens reaktans er givet ved X L L. Dens impedans er derfor. Ikke-ideale induktorer har en resistivitet R L, hvormed deres impedans er givet ved. Strømmen gennem en kapacitor 11 er faseforskudt /2 foran spændingen, og en kapacitors reaktans er =, hvor X c er reaktansen og C er kapacitansen. Kapacitorens impedans er = = Vekselstrømkredse Spændingsdelerformlen lyder for et kredsløb som det illustreret til højre: = Spændingen u Z over impedansen Z 1 er givet ved forholdet mellem denne impedans og kredsløbets samlede impedans Z ganget med kredsløbets samlede spændingsfald u 0. Der er to impedanser i kredsløbet. Den ene er Z 1, mens den anden er resistorens impedans, altså R. Når to impedanser Z 1 og Z 2 er i serie er deres samlede impedans givet ved deres sum: Z serie =Z 1 +Z 2. Den samlede impedans for kredsløbet illustreret på figur 1 er altså Z=Z 1 +R, hvoraf følger kredsløbets spændingsdelerformel. Hvis to impedanser Z 1 og Z 2 er i parallel er deres samlede impedans givet ved deres produkt delt med deres sum: =. 13 Figur 1: En resistor med resistansen R i serie med en impedans Z 1. Kilde: Mikael Westermann Impedansen Z 1 kan være flere komponenters samlede impedans, og den kan altså vha. de ovenstående formler for Z serie og Z parallel udregnes hvis det er flere komponenter i serie eller to komponenter i parallel. 8 Ohmsk modstand kaldes resistans. 9 Det samme som en spole. 10 Resistivitet er en ohmsk modstand. 11 Det samme som en kondensator. Der regnes 12 Kilde: Fysik 3A s. 15 og 18 og Fysiske øvelser 3 s Kilde: Review of Circuits as LTI Systems. 7

7 Da spændingen er en vekselspænding vil u Z variere med tiden. Maksimalspændingen over Z 1, u Zm, er iflg. spændingsdelerformlen =. Dette er et komplekst tal når Z 1 er bestemt af reaktans. Man ønsker en numerisk værdi af u Zm. Pga. faseforskydning mellem u Z og u m vil maksimalværdierne af disse ikke indtræffe samtidig. Kigger man på en graf af u Z og u 0 som funktion af tiden vil toppunkterne af de to grafer altså ikke ligge ved samme tidspunkt. Man kan også afbilde spændingernes momentanværdier som funktion af tiden som vektorer på formen = cos (). Her repræsenterer 2. koordinaten spændingens sin () øjebliksværdi. 14 Når svingningen er i sit maksimum, altså når værdien af u er amplituden af svingningen, u m, svarer det ved vektoren til u=u m. Vektorens længde er altså spændingens maksimalværdi. Når man beregner modulus af spændingsdelerformlen for u Zm får man altså den numeriske maksimalværdi af u Z. Når man udregner modulus forsvinder den imaginære del, og man får således en numerisk værdi for u Zm : = = I den eksperimentelle undersøgelse sammenlignes denne formel med data Seriekobling af en resistor med en kapacitor I en seriekobling af en resistor med en kapacitor som illustreret til højre vil den samlede impedans være Z=Z C +R, og man vil således kunne udregne den numeriske værdi af u Cm vha. formlen =. Kapacitorens impedans = reduceres: indsættes og udtrykket = = = = () () Maksimalspændingen over kapacitoren er altså givet ved formlen = (). Af formlen følger det, at man får de højeste spændingsfald over kapacitoren ved lave frekvenser, og de laveste ved højere frekvenser, hvis man holder spændingen over kredsløbet konstant og kun varierer frekvensen. Figur 2: En resistor med resistansen R i serie med en kapacitor med impedansen Z C. Kilde: Mikael Westermann 14 Kilde: Fysik 3A s

8 Seriekobling af en resistor med en induktor I en seriekobling af en resistor med en induktor som illustreret til højre vil den samlede impedans være Z=Z L +R, og man kan derfor udregne den numeriske værdi af u Lm vha. formlen =. Den ideale induktors impedans Z L =jl indsættes og udtrykket reduceres: = = = = Figur 3: En resistor med resistansen R i serie med en induktor med impedansen Z L. Kilde: Mikael Westermann Maksimalspændingen over den ideale induktor er altså givet ved formlen =. Der følger af formlen at man ved lavere frekvenser vil få et højere tal i nævneren, og dermed en lav spænding. Spændingen over induktoren er altså lavest ved lave frekvenser, og højest ved høje frekvenser Seriekobling af en resistor med en kapacitor og en induktor i serie I en seriekobling af en resistor, en induktor og en kapacitor i serie som den illustreret til højre vil den samlede impedans være Z=Z LC +R. Z LC er impedansen for en induktor og en kapacitor i serie, og er derfor givet ved Z LC =Z L +Z C. Man kan derfor udregne den numeriske værdi af u LCm vha. formlen =. Impedanserne for den ideale induktor Z L =jl og kapacitoren = udtrykket reduceres: indsættes, og Figur 4: En resistor med resistansen R i serie med en induktor og en kapacitor med den samlede impedans Z LC. Kilde: Mikael Westermann = = = = ) = ) = Den maksimale spænding over den ideale induktor og kapacitoren kan altså udregnes vha. formlen =. 9

9 Hvis de to komponenters reaktans er ens, så er nævneren i brøken lig 0, og da man ikke må dividere med 0 kan formlen altså ikke bruges til at udregne spændingen når de to komponenters reaktanser er ens. Det ses dog, at når den samme nævner nærmer sig 0, så nærmer nævneren i hele formlen sig til. Det betyder altså, at jo tættere kapacitorens og den ideale induktors reaktanser er på at være ens, jo lavere bliver spændingen. Den vil faktisk nærme sig 0, når frekvensen nærmer sig den værdi, hvor de to reaktanser er ens. Når spændingen over de to reaktive komponenter er 0 er der tale om serieresonans, og frekvensen kaldes her resonansfrekvensen f 0, og vinkelfrekvensen tilsvarende 0. Frekvensen findes ved at sætte de to reaktanser lig hinanden og isolere f 0 : = = => = => = Man kan altså finde resonansfrekvensen vha. formlen = => 2 =.15 => = Ved resonansfrekvensen er spændingen over den ideale induktor og kapacitoren 0, og den er derfor ikke faseforskudt i forhold til strømstyrken En resistor seriekoblet med parallelkobling af en induktor og en kapacitor I en seriekobling af en resistor med en parallelkobling af en induktor og en kapacitor som den illustreret til højre vil den samlede impedans være Z= Z LC +R. Da kapacitoren og induktoren er i parallel vil deres samlede impedans være =. Man kan derfor udregne den numeriske værdi af u LCm vha. formlen =. Impedanserne for den ideale induktor Z L =jl og kapacitoren = = = indsættes, og udtrykket reduceres: = Figur 5: En resistor med resistansen R i serie med en parallelkobling af en induktor og en kapacitor med den samlede impedans Z LC. Kilde: Mikael Westermann 15 Samme resultat i Fysik 3A s. 22. Induktoren er ideal. 10

10 = = Maksimalspændingen over den ideale induktor og kapacitoren kan altså udregnes vha. formlen =. Der følger af denne formel, at nævneren bliver 0 når reaktanserne X L og X C er ens. Man kan altså ikke bruge formlen direkte til at udregne spændingen når de to reaktanser er ens, da man ikke kan dividere med 0. Dog kan man se, at når de to reaktansers værdier nærmer sig hinanden, så går spændingen mod u m. Det kaldes parallelresonans når maksimalspændingen over de reaktive komponenter er u m 16, og dette er den som udregnet tidligere ved resonansfrekvensen. Man kan altså se, spændingen over induktoren og kapacitoren er højest ved resonansfrekvensen. 3. Strømstyrke i et vekselstrømkredsløb Der betragtes en situation hvor en seriekobling af en resistor med en kapacitor og en induktor i serie påføres en vekselspænding på formen u 0 =u m *cos(t). Denne spænding kan omskrives til et komplekst tal. Der gælder nemlig: = cos() sin (). Summen af spændingsfaldene over de tre komponenter skal iflg. Kirchhoffs 2. lov være spændingsfaldet der påtrykkes kredsløbet. Der gælder altså: e Spændingsfaldet over kondensatoren er givet ved =, hvor q er ladningen på kapacitoren. Spændingsfaldet over resistoren er givet ved. Spændingsfaldet over induktoren er givet ved 17. De tre spændingsfald indsættes i ligningen: Sammenhængen mellem strømstyrke i og kapacitorladningen q er i=dq/dt. Differentialkvotienten af er, hvor k er en konstant. Med denne viden differentieres udtrykket med hensyn til tiden t, og man får: 16 Ved ideale komponenter. 17 Kilde: Fysik for gymnasiet 3A. 11

11 Man har altså en inhomogen 2. ordens differentialligning i i. Det er nærliggende 18 at gætte på, løsningen er en harmonisk varierende vekselstrøm, altså en på formen. di/dt er således: Differentialkvotienten af ovenstående udtryk er d 2 i/d 2 t, og er således: Udtrykkene indsættes i differentialligningen, og der reduceres: => Da alle komponenterne er i serie er hele kredsens impedans givet ved: +. Impedans er defineret som =, og der må derfor gælde: = Differentialligningen med den indsatte kandidat omskrives så den er et udtryk for Z: => = ) Det ses altså, at er en løsning til differentialligningen, idet impedansen giver den teoretiske impedans. 18 Kilde: Laursen. 12

12 Mikael Westermann, 3x 23 Midtfyns Gymnasium Studieretningsprojekt Eksperimentel undersøgelse af vekselstrømkredse Den eksperimentelle undersøgelse undersøgte spændingsfaldene over de reaktive komponenter i kredsløb som det illustreret til højre. Formålet med undersøgelsen var at finde ud af, hvordan frekvensændringer påvirker spændingsfaldet over de reaktive komponenter, bestemme det maksimale spændingsfald over hele kredsen vha. målinger af u R og u Z samt bestemme sammenhængen mellem faseforskydningen af u Z i forhold til strømstyrken ved forskellige frekvenser Fremgangsmåde Der blev til undersøgelsen brugt en resistor med resistansen R=100, en kapacitor med kapacitansen C=10 F og en induktor med induktansen L=0.011 H og resistiviteten R L 2.5. Spændingsfaldet over hele kredsen blev holdt konstant ved at der ikke blev indstillet på den på vekselstrømgeneratoren. Spændingsfaldet over hele kredsen blev bestemt ved at måle én gang med et voltmeter. Et oscilloskop målte samtidigt spændingsfaldene over resistoren og alle de reaktive komponenter. Stelpunktet måtte sættes mellem em resistoren og de reaktive komponenter 19, så begge spændingsfald kunne måles, og så der ikke var nogen kortslutning. De to målte spændingsfald vender altså hver sin vej. Frekvensen varieredes, og ved hver frekvens blev spændingsfaldene målt af oscilloskopet. Oscilloskopet var tilsluttet en computer, som kunne vise målingerne som de ville se ud på et almindeligt oscilloskop vha. programmet PC Lab. Målingerne blev vist som illustreret på figur 7. Lodret var skridtene på oscilloskopet ved alle målinger indstillet til 5V, således at begge spændingsfald blev vist med en lodret skala på 40 V. Det vandrette tidsinterval pr. skridt blev indstillet, så kurverne blev vist ca. som på figuren. Målingerne er digitale, og de digitale data blev eksporteret til tekstfiler, som indeholdt 3 kolonner og over 4000 rækker 20. Den første kolonne var tidspunktet, Figur 6: En resistor med resistansen R i serie med impedansen Z 1. Der måles med oscilloskop over impedansen Z 1 og resistoren. Stelpunkt imellem resistoren og Z 1. Kilde: Mikael Westermann Figur 7: En typisk måling eksporteret som billede fra PC Lab. Hvert skridt på andenaksen svarer til 5 V, mens hvert skridt vandret her svarer til 0.5 ms. Kilde: Mikael Westermann 19 Kilde: Fysik 3A s

13 og steg fra 1 til 4095 med skridt på 1. De to andre kolonner var målingerne af spændingsfald over kanal 1 og kanal 2 på oscilloskopet. Kanal 1 var de reaktive komponenter, kanal 2 var resistoren. Disse data var tal, som symboliserede afstanden fra bunden af grafen (-20 V) til målingen. I tekstfilen stod også information om tids- og spændingsskridtene. 32 skridt svarede ved kanal 1 og 2 (kolonne 2 og 3) til 5 V. Samtidig var der angivet hvad 125 tidsskridt svarede til ved kolonne 1. Tekstfilerne blev under eksporteringen navngivet som frekvensen hvorved målingerne blev taget. Dernæst blev dataene omregnet til tid i både sekunder og t, og spændingsfald i Volt. Hvis tidsskridtet angivet i tekstfilen var 125N=0.5ms, så svarede 125 rækker i tidskolonnen altså til 0.5ms. Alle kolonnens rækker blev så omregnet til nye rækker ved formlen t=n*(((125n/ms)/1000)/125) således at tiden var angivet i sekunder. Den fundne kolonne for tid i sekunder blev dernæst omregnet til t vha. formlen t=2**f*t, hvor f var frekvensen fra vekselstrømgeneratoren. Et eksempel på disse beregninger af tid, hvor 125N/ms=0.5, og f=600 s -1 : N t=n*(((125n/ms)/1000)/125) / s t=2**f*t / radianer *((0.5/1000)/125) = **600* = N=100 svarer altså i dette eksempel til tiden s og t cirka radianer. Der er 20 V op til nulpunktet i dataene fra oscilloskopet. Da spændingsfaldene blev målt omvendt i forhold til hinanden skal man trække 20 V fra det ene og trække det andet fra 20 V for både at kompensere for det omvendt målte spændingsfald og få svingninger der har nulpunkt ved 0 V. Et eksempel på omregning fra tal til Volt: CH1 CH2 u Z / V u R / V /(32/5) = /(6.4) = /(32/5) 20 = 166/ = I dette eksempel er spændingsfaldet over de reaktive komponenter altså ca V, mens det er V over resistoren. Samtidig udregnes det samlede spændingsfald over hele kredsen vha. formlen u 0 =u Z +u R. Det samlede spændingsfald i eksemplet ovenfor er altså V V = V. 21 De 3 forskellige spændingsfald, u Z, u R og u 0 blev i programmet LoggerPro plottet i et koordinatsystem med den vandrette akse t. De dannede hver en sinuskurve med perioden 2, da den vandrette akse var t. Funktioner for de 3 kurver fandtes vha. regression af LoggerPro, hvor funktionerne var på formen A*sin(Bx+C)+D. A angiver svingningens amplitude, og altså den maksimale spænding. B var ved samtlige funktioner 1.00, naturligvis, da frekvensen fra vekselstrømgeneratoren samt tidsangivelsen fra oscilloskopet er meget præcis. C varierede 20 Eksempel på de øverste linjer af en sådan tekstfil findes i bilag B. 21 Eksempel på de øverste linjer af et regneark for en given frekvens findes i bilag C. 14

14 for hver kurve, og den angiver en forsinkelse af funktionen hen af den vandrette akse, altså en faseforskydning, og da målingerne ikke alle sammen blev taget på samme tidspunkt i forhold til spændingens momentanværdi, så er C forskellig for kurverne ved hver frekvens. Da u R er i fase med strømstyrken har man faseforskydningen af u Z i forhold til strømstyrken hvis man har faseforskydningen i forhold til u R. Denne får man så ved at trække værdien af C for funktionen u R fra værdien af C for funktionen u Z. Da LoggerPro ikke ved om u R er foran eller bag ved u z kan man altså både få en værdi omkring den rigtige faseforskydning, eller en værdi der er forskudt med /2. Hvis nulpunktet ikke er indstillet korrekt, sådan at målepunkterne alle ligger lidt for højt eller lidt for lavt bliver der af LoggerPro-regressionen taget højde for dette med leddet D. Dette lægger en konstant til funktionen. Ikke desto mindre kan man altså aflæse maksimalspændingerne u m, u Rm og u Zm for den givne frekvens som hver af funktionernes amplitude A. For hver frekvens er der altså ud fra målingerne beregnet en maksimalspænding over de reaktive komponenter, u Zm, en over resistoren, u Rm, og en over hele kredsløbet u m, samt u Z s faseforskydning i forhold til u R og altså strømstyrken i. Den eksperimentelle undersøgelse undersøgte som sagt kredsløb som det illustreret på figur 7. Impedansen Z 1 kom fra enten en induktor, en kapacitor, en seriekobling af en induktor med en kapacitor eller en parallelkobling af en induktor med en kapacitor. Under alle omstændigheder var de undersøgte kredsløb altså en resistor seriekoblet med en impedans fra et af de, eller begge reaktive komponenter. For hvert af de 4 kredsløb blev de ud fra målingerne beregnede u Zm afbildet med f som den vandrette akse i et koordinatsystem i programmet Graph. I samme koordinatsystem blev den tilsvarende funktion udregnet i afsnittet Spænding i vekselstrøm indtegnet, så man kunne sammenligne data med teori Resultater og databehandling Effektivspændingen over kredsløbene, målt med voltmeter: U 0 =8.39 V. Maksimalspændingen over kredsløbene er således = Alle dataene findes som LoggerPro-grafer i bilag D, inddelt efter hvilket kredsløb der blev undersøgt og frekvens. Desuden findes regneark med frekvenser og tilhørende maksimalspændinger over kredsløbene i slutningen af bilag D. Iflg. Kirchhoffs 2. lov skal spændingsfaldet over hele kredsen være spændingsfaldet over resistoren plus spændingsfaldet over de reaktive komponenter. Da momentanværdier af disse er blevet målt kan man finde maksimalspændingen over hele kredsløbet ved at finde amplituden af kurven for u R +u Z. Den gennemsnitlige u m fundet som amplituden af kurven dannet af u Z +u R er V, og standardafvigelsen er Det kan altså godt iflg. dataene passe, at den maksimale spænding over kredsløbet er V. Middelværdien og 15

15 standardafvigelsen er baseret på 126 målinger, så det vurderes, at maksimalspændingen over hele kredsløbet altså er ca V, som målt med voltmeteret. Der ses i behandlingen af data bort fra induktorens resistivitet, således at formlerne for ideale induktorer kan benyttes til beregningerne. Det er en fejlkilde, da resistiviteten gør impedansen af induktoren større, og derfor har betydning for maksimalspændingen over de reaktive komponenter hvor der indgår en induktor. De ca. 2.5 vurderes til ikke at betyde meget for beregningerne, da de udgør en lille del af kredsløbets samlede impedans som jo er over 100 i alle tilfælde. Ligeledes regnes der med, at kapacitorens impedans er = kapacitorer. Den teoretiske resonansfrekvens beregnes ud fra de opgivne værdier af L og C: = = Den teoretiske resonansfrekvens er altså s -1., selvom dette også kun gælder for ideale Seriekobling af en resistor med en kapacitor Dette kredsløb var opstillet som på diagrammet til højre. Der blev målt over resistoren og over kapacitoren som beskrevet i fremgangsmåden. LoggerPro-grafen for frekvensen 600 s -1 kan ses på figur 9. Maksimalspændingen u m er amplituden af funktionen for spændingen over hele kredsløbet. Den er altså V. Tilsvarende er det maksimale spændingsfald over kapacitoren u Cm =3.034 V og over resistoren u Rm = Faseforskydningen af spændingen over kapacitoren i forhold til strømstyrken er den samme som i forhold til spændingen over resistoren, og den er derfor: = Forholdet mellem denne og /2 er: /(/2)= Figur 8: En resistor med resistansen R i serie med en kapacitor med impedansen Z C. Der måles med oscilloskop over kapacitoren og resistoren. Stelpunkt imellem resistoren og kapacitoren. Kilde: Mikael Westermann Faseforskydningen af funktionen for u C i forhold til u R er altså ca. -3*/2. Om en bølge kommer /2 eller - 3*/2 efter en anden bølge er det samme så længe perioden er ens, hvilket den er, da begge værdier af B er 1. 16

16 Det betyder altså, at spændingen over kapacitoren er faseforskudt ca. /2 efter strømstyrken. Ved andre frekvenser fås lignende resultater 22, og resultaterne for faseforskydningen stemmer altså overens med teorien. Iflg. teorien skal det maksimale spændingsfald over kapacitoren følge ligningen = (). Den numeriske værdi af u m er fundet vha. effektivværdien målt af voltmeteret. = Ved at indsætte dette, resistansen R=100, kapacitansen C=10 F=10*10-6 F og =2f får man altså en funktion = ( ), som kan afbildes i et koordinatsystem sammen med dataene for u Cm. Funktionen og målepunkterne er indtegnet i koordinatsystemet herunder: Figur 9: Ved frekvensen 600 Hz så grafen for de 3 spændinger u R (U_Resistor), u C (U_Kapacitor) og u 0 (U_Kredsløb) sådan ud. A er amplituden af svingningerne. Den højeste af kurverne er den, hvor amplituden er størst. Kilde: Mikael Westermann u_cm / V u_cm u_cm Figur 10: Graf over u Cm som funktion af f. Kilde: Mikael Westermann f / s^-1 Det ses, at målepunkterne passer meget godt med funktionen. Det er altså blevet vist at maksimalspændingen over kapacitoren med meget god tilnærmelse følger funktionen = (). 22 Resultater i bilag D. 17

17 Seriekobling af en resistor med en induktor Dette kredsløb var stillet op som på diagrammet til højre. Der blev målt over resistoren og over induktoren som beskrevet i fremgangsmåden. LoggerPro-grafen for frekvensen 600 s -1 kan ses på figur 12. Maksimalspændingen u m er amplituden af funktionen for spændingen over hele kredsløbet. Den er altså V. Tilsvarende er det maksimale spændingsfald over induktoren u Lm =3.601 V og over resistoren u Rm =11.03 V. Faseforskydningen af spændingen over induktoren i forhold til strømstyrken er den samme som i forhold til spændingen over resistoren, og den er derfor: = Forholdet mellem denne og /2 er: /(/2)= Faseforskydningen af funktionen for u C i forhold til u R er altså ca. -1*/2. Dette betyder altså at spændingsfaldet over induktoren er faseforskudt ca. - 1*/2 før strømstyrken. Ved andre frekvenser fås lignende resultater 23, og resultaterne for faseforskydningen stemmer altså overens med teorien. Iflg. teorien skal det maksimale spændingsfald over induktoren følge ligningen = ved funktionen for kapacitoren, og man får altså funktionen = indtegnet sammen med dataene for u Lm i koordinatsystemet herunder: Figur 11: En resistor med resistansen R i serie med en induktor med impedansen Z L. Der måles med oscilloskop over induktoren og resistoren. Stelpunkt imellem resistoren og induktoren. Kilde: Mikael Westermann Figur 12: Ved frekvensen 600 Hz så grafen for de 3 spændinger u R (U_Resistor), u L (U_Induktor) og u 0 (U_Kredsløb) sådan ud. A er amplituden af svingningerne. Den højeste af kurverne er den, hvor amplituden er størst. Kilde: Mikael Westermann. Værdierne for u m, R og L samt formlen for indsættes som. Denne funktion er 23 Resultater i bilag D. 18

18 12 11 u_lm / V u_lm u_lm Figur 13: Graf over u Lm som funktion af f. Kilde: Mikael Westermann f / s^-1 Det ses, målepunkterne ikke følger funktionen, men at de følger en lignende kurve som er lavere. Målepunkterne kan altså ikke bruges til at vise, funktionen gælder for værdierne af u m, R og L. Da der ikke var nogen afvigelse ved grafen for kapacitoren kan noget altså tyde på, den opgivne induktans på H er for høj. Laves der regression på målepunkterne efter den teoretiske funktion med L som konstanten der skal findes, får man en graf som den herunder: u_lm / V u_lm f(x)=1/sqrt(1+(100/(2*pi*x*( )))^2)*sqrt(2)*8.39; R²= Figur 14: Graf over u Lm som funktion af f. Kilde: Mikael Westermann f / s^-1 I denne graf passer funktionen meget bedre med målepunkterne, og ud fra funktionsforskriften ses det, at induktansen bør være L hvis teorien skal stemme overens med dataene Seriekobling af en resistor med en kapacitor og en induktor i serie Dette kredsløb var stillet op som på diagrammet til højre. Der blev målt over resistoren og over de reaktive komponenter som beskrevet i fremgangsmåden. LoggerPro-grafen for frekvensen 160 s -1 kan ses på figur 16. Maksimalspændingen u m er amplituden af funktionen for spændingen over hele kredsløbet. Den er altså V. Tilsvarende er det maksimale spændingsfald Figur 15: En resistor med resistansen R i serie med en induktor og en kapacitor med dem samlede impedans Z LC. Der måles med oscilloskop over de reaktive komponenter og resistoren. Stelpunkt imellem resistoren og de reaktive komponenter. Kilde: Mikael Westermann 19

19 over de reaktive komponenter u LCm =7.864 V og over resistoren u Rm =8.679 V. Faseforskydningen er forskellen på C-værdierne: = Dette er altså lidt under /2. Det vil sige, spændingen over de reaktive komponenter er forskudt lidt under /2. De resterende målinger viser, faseforskydningen går fra ca. /2 ved den laveste frekvens 4 s -1 til /2 ved den højeste frekvens s -1. Ved frekvensen 530 s -1 er faseforskydningen 0.32, og ved frekvensen 550 s -1 er den -23. Det tyder på, spændingen over de reaktive komponenter er i fase med strømstyrken mellem 530 s -1 og 550 s -1. Resonansfrekvensen må altså ligge mellem 530 s -1 og 550 s -1. Iflg. teorien skal det maksimale spændingsfald over de reaktive komponenter følge ligningen =. Figur 16: Ved frekvensen 160 Hz så grafen for de 3 spændinger u R (U_Resistor), u LC (U_LC) og u 0 (U_Kredsløb) sådan ud. A er amplituden af svingningerne. Den højeste af kurverne er den, hvor amplituden er størst. Kilde: Mikael Westermann Værdierne for u m, R, C og L samt formlen for indsættes, og man får altså funktionen = ) koordinatsystemet herunder:. Denne funktion er indtegnet sammen med dataene for u LCm i u_lcm / V u_lcm u_lcm Figur 17: Graf over u LCm som funktion af f. Kilde: Mikael Westermann f / s^ Det ses, at målepunkterne ved de lave frekvenser følger funktionen, men ved frekvenser over 300 s -1 ikke længere følger funktionen præcist. Hvis induktorens induktans ikke er H, men derimod lavere vil funktionen se anderledes ud, ligesom ved induktorkredsen. Der indtegnes nu en tendenslinje for 20

20 målepunkterne, fundet ved regression 24 for funktionen, hvor L er konstanten der skal findes: u_lcm / V u_lcm f(x)=(1)/( sqrt(1 + ( (100)/(2* pi *x* (1)/(2* pi *x*10*(10)^(-6)) ) )^(2))) * sqrt(2)*8.39 Figur 18: Graf over u LCm som funktion af f. Kilde: Mikael Westermann I denne graf passer funktionen meget bedre med målepunkterne, og ud fra funktionsforskriften ses det, at induktansen bør være L= hvis teorien skal stemme overens med dataene En resistor seriekoblet med parallelkobling af en induktor og en kapacitor Dette kredsløb var stillet op som på diagrammet til højre. 25 Der blev målt over resistoren og over de reaktive komponenter som beskrevet i fremgangsmåden. f / s^-1 LoggerPro-grafen for frekvensen 450 s -1 kan ses på figur 20. Maksimalspændingen u m er amplituden af funktionen for spændingen over hele kredsløbet. Den er altså V. Tilsvarende er det maksimale spændingsfald over de reaktive komponenter u LCm =6.338 V og over resistoren u Rm =8.242 V. Figur 19: En resistor med resistansen R i serie med en parallelkobling af en induktor med en kapacitor med dem samlede impedans Z LC. Der måles med oscilloskop over de reaktive komponenter og resistoren. Stelpunkt imellem resistoren og de reaktive komponenter. Kilde: Mikael Westermann 24 Regressionen blev udført af programmet LoggerPro, da Graph ikke kunne håndtere det. 25 Der er et billede af opstillingen i bilag E. 21

21 Faseforskydningen er forskellen på C-værdierne: = Denne værdi er altså over /2. Det vil sige, spændingen over de reaktive komponenter er forskudt lidt over -/2. De resterende målinger viser, faseforskydningen går fra en negativ værdi ved den laveste frekvens til /2 ved den højeste frekvens 7000 s -1. Ved frekvensen 530 s -1 er faseforskydningen -0.26, og ved frekvensen 543 s -1 er den Det tyder på, spændingen over de reaktive komponenter er i fase med strømstyrken mellem 530 s -1 og 543 s -1. Den højeste spændingsmåling var ved frekvensen 546 s -1. Det tyder altså på, resonansfrekvensen ligger mellem 540 s -1 og 550 s -1. Iflg. teorien skal det maksimale spændingsfald over de reaktive komponenter følge ligningen =. Figur 20: Ved frekvensen 450 Hz så grafen for de 3 spændinger u R (U_Resistor), u LC (U_LC) og u 0 (U_Kredsløb) sådan ud. A er amplituden af svingningerne. Den højeste af kurverne er den, hvor amplituden er størst. Kilde: Mikael Westermann Værdierne for u m, R, C og L samt formlen for indsættes, og man får altså funktionen = i koordinatsystemet herunder:. Denne funktion er indtegnet sammen med dataene for u LCm 22

22 12 11 u_lcm / V u_lcm u_lcm Figur 21: Graf over u LCm som funktion af f. Kilde: Mikael Westermann f / s^-1 Det ses at målepunkterne kun følger funktionen ved de høje frekvenser. Ligesom ved seriekoblingen kan afvigelsen skyldes en forkert værdi af induktansen L. Der indsættes en tendenslinje fundet ved regression 26 for funktionen, hvor L er konstanten der skal findes: u_lcm / V u_lcm f(x)=1/sqrt(1+(100/( /(2*pi*x* *10*10^(-6)-1/(2*pi*x))))^2)*sqrt(2)*8.39; R²= Figur 22: Graf over u LCm som funktion af f. Kilde: Mikael Westermann f / s^-1 Det ses at målepunkterne ligger tættere på denne funktion hvor induktansen er L= , men de ligger stadig ikke tæt nok. Målingerne over de 3 kredse hvori der indgår en induktor tyder dog på, induktorens induktans er omkring H. Hvis tolerancen på induktoren er 10 % er dens minimale induktans H. Det vil altså sige, induktansen der ville passe med målingerne er for lille i forhold til tolerancen på induktoren hvis den er 10 %. Tolerancen på induktoren kendes dog ikke, og det vurderes derfor at målingerne er rimeligt præcise, og at induktorens induktans derfor er på omkring H. Dette kan også forklare forskellen på den målte resonansfrekvens og den teoretiske resonansfrekvens, da funktionerne for u LCm, med den vurderede induktans, har maksimum hhv. minimum samme sted som de højeste målepunkter. Da målingerne altid blev taget med samme følsomhed er usikkerheden blevet forøget ved de målinger for hvilke kurverne er lavest. Det er derfor svært at bestemme den samlede usikkerhed på alle målinger, og 26 Regressionen blev lavet ved Manual Fit i LoggerPro, således at fejlen blev mindst mulig. 23

23 derfor regnes der ikke med betydende cifre i databehandlingen. Egentlig burde der være taget højde for betydende cifre, men da måleusikkerheden ikke er opgivet regnes der altså med forholdsvis præcise tal. 5. Filtre 5.1. Lavpasfilter Måler man spændingsfaldet over kapacitoren i kredsen hvor kapacitoren er i serie med en resistor får man de største spændingsfald ved lave frekvenser, og lavere spændingsfald ved høje frekvenser. Da det således kun er de lave frekvenser der ikke dæmper spændingen betydeligt kan kredsen opfattes som et filter der kun lader de lave frekvenser passere. Deraf navnet, et lavpasfilter Højpasfilter Måler man spændingsfalder over induktoren i kredsen hvor induktoren er i serie med en resistor får man ved lave frekvenser et meget lavt spændingsfald, og kun ved de høje frekvenser er spændingsfaldet højt. Modsat ved lavpasfiltret passerer altså kun de høje frekvenser her. Derfor kaldes kredsløbet et højpasfilter. Hvis man ved højpasfiltret målte over resistoren ville spændingen pga. Kirchhoffs 2. lov være lav ved høje frekvenser. Måler man over resistoren fås altså et spændingsfald der kendetegner et lavpasfilter. Ligeledes kan man måle over resistoren ved kapacitorkredsen og dermed få et spændingsfald der kendetegner et højpasfilter Båndstop En type båndstop er en seriekobling af en resistor med en induktor og en kapacitor i serie, hvor man måler over de reaktive komponenter. Som vist vil frekvenser omkring resonansfrekvensen medføre at spændingsfaldet bliver meget lavt. Dette bånd af frekvenser kan altså ikke passere, og deraf navnet båndstop Båndpas En type båndpas er en seriekobling af en resistor med en induktor og en kapacitor i parallel, hvor man måler over de reaktive komponenter. Som vist vil frekvenser omkring resonansfrekvensen, modsat ved båndstoppet, medføre et øget spændingsfald. Frekvenserne der ikke er indenfor dette bånd af frekvenser vil blive filtreret fra, og det er således kun båndet af frekvenser der får lov at passere. Derfor kaldes kredsløbet et båndpas. 27 Man kan også ved båndpasset og båndstoppet få den modsatte filtereffekt ved i stedet at måle over resistoren i stedet for de reaktive komponenter. 27 Kilde til filternavne: Wikipedia: Filter: Terminology. 24

24 5.5. Anvendelse De beskrevne filtre indgår i visse delefiltre til højttalere. 28 Da én slags højttaler ikke kan afspille lyd ved alle frekvenser ønsker man at opdele lyden, som i ledningerne er elektriske harmoniske svingninger, så nogle frekvenser går til én type højttaler og nogle frekvenser til en anden. Diskantenheden i en højttaler afspiller bedst høje frekvenser, og man kan sørge for, at signalet til diskantenheden er høje frekvenser ved at benytte et højpasfilter hvor altså kun høje frekvenser får lov at passere filtret. Samtidig kan man til en basenhed sende signalet med lave frekvenser ved at bruge et lavpasfilter. På den måde undgår man at sende forkerte frekvenser til de forskellige højttalerenheder 29, hvilket ellers ville have skabt uhensigtsmæssig lyd som støj eller forkert lydstyrke. 28 Kilde: Wikipedia: Passive Crossover. 29 Kilde: Grand: Delefilter 25

25 6. Konklusion En sinusformet vekselstrøm påtrykker en kreds en vekselspænding på formen sin (), hvor u 0 er momentanspændingen, u m er maksimalspændingen, som er amplituden af svingningen, og er givet ved 2f, hvor f er svingningens frekvens. Effektivværdien af en vekselspænding U 0 kan omregnes til maksimalværdien vha. formlen = 2. Impedansen Z for en komponent er givet ved = hvor i m er maksimalværdien af strømmen igennem den. Impedansen består af en reel del, som er komponentens resistans, og en imaginær del, som er j gange komponentens reaktans X. Faseforskydning er en svingnings tidsmæssige forskydning i forhold til en anden. Spændingen over en resistor er i fase med strømstyrken. En induktor forsinker pga. den modelektromotoriske kraft strømmen, så den faseforskydes efter spændingen med /2. En kapacitor forsinker spændingen i forhold til strømmen, så den faseforskydes efter strømmen med /s. Den ideale induktor har impedansen, hvor L er induktorens induktion. Den ideale kapacitor har impedansen = hvor C er kapacitorens kapacitans. Induktorer og kapacitorer er reaktive komponenter. Har man et kredsløb hvor en resistor med resistansen R er i serie med en impedans Z 1 kan en numerisk værdi af det maksimale spændingsfald over impedansen udregnes vha. formlen =. Hvis impedansen er fra en ideal kapacitor er formlen = = = = (). Hvis impedansen er fra en ideal induktor er formlen. Hvis impedansen er fra en ideal kapacitor i serie med en ideal induktor er formlen,. Hvis impedansen er fra en ideal kapacitor i parallel med en ideal induktor er formlen. De 4 kredse er blevet undersøgt eksperimentel, og det viser sig, at de maksimale spændingsfald over de reaktive komponenter følger funktionerne tilnærmelsesvis, hvis den benyttede induktors induktans er omkring H, og ikke de opgivne H. Faseforskydningen af u C i forhold til strømstyrken er i kredsen bestående af en serieforbindelse af en resistor med en kapacitor er blevet målt til -/2. Faseforskydningen af u L i forhold til strømstyrken er i kredsen bestående af en serieforbindelse af en resistor med en induktor er blevet målt til /2. De to kredse hvor der indgår to reaktive komponenter kaldes hhv. serieresonanskredse og parallelresonanskredse. Resonansfrekvensen er ved serieresonanskredsen den, hvor spændingsfaldet over de reaktive komponenter er 0. Ved parallelresonanskredsen er den omvendt der hvor spændingsfaldet over de reaktive komponenter er højest. Iflg. teorien skulle den for de eksperimentelt undersøgte kredsløb være 26

26 s -1, men eksperimentet viste, den var mellem 540 s -1 og 550 s -1. Forskellen vurderes til også her at skyldes en fejl på induktansen. Eksperimentet viser, faseforskydningen af spændingsfaldet over de reaktive komponenter i forhold til strømstyrken i serieresonanskredsen falder fra /2 til /2. I parallelresonanskredsen stiger faseforskydningen fra en negativ værdi til /2. Strømstyrken i en serieforbindelse af en resistor med en kapacitor og en induktor i serie følger differentialligningen, når den påtrykkes en vekselspænding på formen u 0 =u m *cos(t). Løsningen til denne differentialligning er. Kredsen hvor en resistor er i serie med en kapacitor kaldes et lavpasfilter, idet spændingen over kapacitoren kun er høj ved lave frekvenser, og de høje frekvenser således bliver filtreret fra. Kredsen hvor en resistor er i serie med en induktor kaldes et højpasfilter, idet spændingen over induktoren kun er høj ved høje frekvenser, og de lave frekvenser således bliver filtreret fra. Serieresonanskredsen kaldes et båndstop, da et bånd af frekvenser omkring resonansfrekvensen bliver filtreret fra. Parallelresonanskredsen kaldes et båndpas, da alle andre frekvenser end dem, der er i et bånd omkring resonansfrekvensen, bliver filtreret fra. Man benytter filtrene i fx delefiltre, hvor lydsignaler deles op i høje og/eller lave frekvenser, der kan sendes til den rigtige type højttalerenhed. Derved undgår man uhensigtsmæssig lyd som stød eller forkert lydstyrke. 27

27 7. Litteraturliste Eriksen, J. K.: Fysik for gymnasiet 3A, Nordisk, 1977, s Kaldes i fodnoter Fysik for gymnasiet 3A. Flere forfattere: Audio Crossover, 2010, afsnit Passive. URL: Bilag G. Kaldes i fodnoter Wikipedia: Passive Crossover. Flere forfattere: Filter (signal processing), 2010, afsnittet Terminology. URL: Bilag F. Kaldes i fodnoter Wikipedia: Filter Terminology. Grand, Hans: Delefilter, URL: Bilag H. Kaldes i fodnoter Grand: Delefilter. Laursen, M. L: Magnetfelter 6. Svingningskreds, , afsnittet Tvungen svingning. URL: Bilag I. Kaldes i fodnoter Laursen. Pavlic, Theodore P.: Review of Circuits as LTI Systems, s. 3 og 4. URL: Bilag A. Kaldes i fodnoter Review of Circuits as LTI Systems. Pihl, Mogens og Henning Storm: Fysiske øvelser 3, Gads, s Kaldes i fodnoter Fysiske øvelser 3. Staffansson, Eve, Bengt Andersson og Karl-Erik Johansson: Fysik i grundtræk 3A, Munksgaard. s Kaldes i fodnoter Fysik 3A. Westermann, Mikael: Figur 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 og

28 8. Bilag Bilag A: Theodore P. Pavlic: Review of Circuits as LTI Systems Fra som adressen så ud : 29

29 30

30 31

31 32

32 Bilag B: Eksempel på eksporterede data fra oscilloskop I tekstboksen herunder står et eksempel på hvordan de øverste 35 linjer i dataene direkte eksporteret fra PC Lab ser ud. N er tiden, CH1 er spændingsfaldet over de reaktive komponenter, og CH2 er spændingsfaldet over resistoren: TIME STEP: 125 = 1ms VOLTAGE STEP: CH1: 32 = 5V~ CH2: 32 = 5V~ N CH1 CH

33 Bilag C: Eksempel på behandling af grunddata i regneark Herunder er de øverste linjer af regnearket for en bestemt frekvens ved serieforbindelsen af resistoren med en induktor og en kapacitor i serie vist. Feltet i 4. kolonne (f) er frekvensen aflæst på vekselstrømgeneratoren. Feltet i 10. kolonne (125 N) angiver tidsskridtet, og i feltet i 9. kolonne (t/n) er det sat i forhold til et sekund. I 5. kolonne (t) er 1. kolonne (N) omregnet til sekunder vha. feltet i 9. kolonne. I 6. kolonne (t) er 5. kolonne omregnet til t. Kolonne 7 og 8 angiver spændingen over kanal 1, u LC, og spændingen over kanal 2, u R, udregnet ved formlerne 20-CH1/6.4 og CH2/ N CH1 CH2 f / s^-1 t / s t / rad UCH1 / V UCH2 / V UCH1+UCH2 / V t/n s/n 125 N/ms E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E

34 Bilag D: Spændingsfald afbildet som funktion af t i LoggerPro og regneark med frekvenser og tilhørende maksimalspændinger LoggerPro-grafer: Grafer over alle dataene fra oscilloskopet behandlet som i bilag C. Seriekobling af en resistor med en kapacitor 35