EN SAMMENLIGNING AF KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR KONVERTERBARE REALKREDITLÅN

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "EN SAMMENLIGNING AF KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR KONVERTERBARE REALKREDITLÅN"

Transkript

1 EN SAMMENLIGNING AF KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR KONVERTERBARE REALKREDITLÅN PETER LØCHTE JØRGENSEN, KRISTIAN R. MILTERSEN OG CARSTEN SØRENSEN Resumé. I denne artikel undersøges og sammenlignes forskellige strategier til konvertering af realkreditlån. Vi foreslår en simpel konverteringsstrategi, der udspringer af et krav om en konverteringsgevinst af en vis størrelse, og sammenligner denne med den optimale konverteringsstrategi ved at beregne låntagers værditab, hvis låntager konverterer efter den simple (inoptimale) konverteringsstrategi. Undersøgelsen tager sit udgangspunkt i Cox-Ingersoll-Ross rentestrukturmodellen med parameterestimater fra danske ikkekonverterbare obligationsprisobservationer. Vi analyserer problemstillingen med tre forskellige skattesatser: 0%, 34% og 50%, og vi tager højde for forskellige omkostninger i forbindelse med konverteringen. Et resultat af denne undersøgelse er, at et i løbetiden lineært aftagende procentvis gevinstkrav er en særdeles god indikator for, hvornår det er optimalt at konvertere realkreditlån. Dette resultat understøtter altså det kriterium, som i forvejen anvendes af de fleste pengeinstitutter og realkreditinstitutter i deres konverteringsovervågningssystemer. 1. Introduktion Et konverterbart lån kan opfattes som en kombination af et tilsvarende inkonverterbart lån og en konverteringsret. Konverteringsretten kan sidestilles med en amerikansk calloption med det inkonverterbare lån som underliggende aktiv. Konverteringsretten giver låntager ret men ikke pligt til at (tilbage-)købe ydelsesrækken på det inkonverterbare lån mod at betale de påløbne renter frem til førstkommende termin og den til det tidspunkt tilbageværende restgæld. Optionen er amerikansk, da konverteringsretten kan udnyttes i hele lånets løbetid. I denne artikel vil vi vurdere værdien af det konverterbare lån fra låntagers perspektiv ved anvendelse af metoder fra optionsteori. Værdien af det konverterbare lån afhænger af, hvilken konverteringsstrategi låntager følger. En optimal konverteringsstrategi for låntager er en strategi, der minimerer nutidsværdien af de fremtidige betalinger på det konverterbare lån. Problematikken omkring værdifastsættelse af det konverterbare lån og bestemmelse af optimale konverteringsstrategier er forholdsvis komplicerede på grund af flere forhold. Dels er konverteringsretten i det konverterbare lån en renterelateret fordring. Dette sætter krav til den anvendte model, idet man ved prisfastsættelse af renterelaterede fordringer generelt må modellere udviklingen i hele rentestrukturen. Dels skal der tages højde for forskellige administrative forhold og omkostninger i forbindelse med konvertering samt beskatning af låntager. Dato: September Denne udgave: 28. april Stikord. Konverterbare realkreditlån, optimale/simple konverteringsstrategier. Vi vil gerne takke Johannes Raaballe, Bjarne G. Sørensen og finans/invest referee Svend Jakobsen for kommentarer og forslag, der har forbedret denne artikel både sprogligt og især indholdsmæssigt. Ligeledes takkes Aarhus Universitets Forskningsfond for finansiel støtte til den førstnævnte forfatter og det tværfaglige initiativ mellem De Samfundsvidenskabelige og Naturvidenskabelige Forskningsråd for finansiel støtte til de to sidstnævnte forfattere. 1

2 2 PETER LØCHTE JØRGENSEN, KRISTIAN R. MILTERSEN OG CARSTEN SØRENSEN Som model for udviklingen i rentestrukturen vælger vi Cox-Ingersoll-Ross modellen (CIR-modellen). Modellen har den attraktive egenskab, at vi kan beregne værdien af såvel ikke-konverterbare lån som konverterbare lån og ikke mindst den optimale konverteringsstrategi for konverterbare lån. Modellen sikrer desuden positive renter. Vi estimerer parametrene i modellen ud fra historiske data for den korte rente og observerede obligationspriser ultimo 95. CIR-modellen er også den grundlæggende model i Christensen (1988), som prisfastsætter konverterbare obligationer på følgende måde: Ved hjælp af CIR-modellen prisfastsættes inkonverterbare annuitetsobligationer ud fra en antagelse om skattefritagede investorer. Derefter bestemmes efter-skat renten for de beskattede låntagere, således at disse låntagere prisfastsætter de inkonverterbare lån til samme værdi som de skattefritagede investorer. Herefter findes den optimale konverteringsstrategi for låntagerne for de konverterbare lån. Denne strategi anvendes endelig til prisfastsættelse af de konverterbare obligationer fra de skattefritagede investorers perspektiv. Ligesom i vores model må den udledte partielle differentialligning løses numerisk. 1 Stort set samme metode benyttes i Mouritsen and Møller (1986a), Dahl (1991) og Jakobsen (1992), der også prisfastsætter konverterbare obligationer. Mouritsen and Møller (1986a) anvender en binomial-model med den inkonverterbare obligationspris som den underliggende stokastiske faktor, mens Dahl (1991) og Jakobsen (1992) anvender BDT-binomial-modellen, hvor den korte spotrente er den stokastiske faktor, der genererer modellens usikkerhed. Benyttelse af BDT-modellen har den fordel, at den kan tilpasses en vilkårlig initial observeret rentestruktur, hvilket ikke er tilfældet for CIR-modellen. 2 Et problem for modeller til prisfastsættelse af konverterbare obligationer er, at modelleringen af konverteringsretten som en amerikansk exercise-ret gør, at alle låntagerne finder det optimalt at konvertere samtidigt et fænomen, der ikke observeres i praksis. Dahl (1991) løser dette problem ved at opdele låntagerne i klasser efter deres respektive låns størrelse og ved samtidig at indføre konverteringsomkostninger. Ved efterfølgende at undersøge de enkelte låntagergruppers optimale konverteringsbeslutning særskilt opnås sekventiel konverteringsadfærd i modellen. Jakobsen (1992) afskriver helt den amerikanske optionstankegang i forbindelse med prisfastsættelse af konverterbare obligationer 3 og introducerer i stedet en eksogen given såkaldt prepayment funktion, der angiver, hvor stor en andel af de låntagere, der endnu ikke har konverteret, som vil konvertere ved et givet renteniveau. Denne prepayment funktion skal så estimeres ud fra historiske data om tidligere foretagne konverteringer. Modsat Mouritsen and Møller (1986a), Christensen (1988), Dahl (1991) og Jakobsen (1992) er ambitionsniveauet i denne artikel ikke at prisfastsætte konverterbare obligationer, men derimod udelukkende at analysere konverteringsstrategier set ud fra låntagernes perspektiv. I denne sammenhæng er det derfor en naturlig og nødvendig antagelse, at låntagerne opfører sig strengt rationelt, således at den amerikanske optionstankegang kan anvendes. 4 Af samme årsag kan vi i vores model undgå at modellere investorerne/långiverne. 5 Dette gør 1 Den anvendte numeriske løsningsmetode i Christensen (1988) er identisk med den, der anvendes i denne artikel. Dvs. endeligdifferensmetoden med Crank-Nicholson approksimationer af de partielle afledede, cf. Duffie (1992, pp ). 2 Ved at lade de indgående parametre i CIR-modellen være tidsafhængige kan CIR-modellen dog også tilpasses en vilkårlig initial rentestruktur, som vist i Hull and White (1993). 3 Jakobsen (1992) mener dog stadig, at den amerikanske optionstankegang er rigtig i forbindelse med vurdering af den optimal konverterinsadfærd for den enkelte låntager. 4 Spørgsmålet er desuden, om ikke rationalitetsantagelsen hos låntagerne bliver mere og mere plausibel i takt med, at de finansielle rådgiveres overvågning af klienternes låneporteføljer bliver mere og mere systematisk og effektiv. 5 Vi er dog nødt til at antage eksistensen af et obligationsmarked med tilhørende investorer, for at låntager kan få sitlån finansieret. Ligeledes skal vi eksplicit bruge investorsiden i forbindelse med estimationen af CIR-modellens parametre, der foretages med udgangspunkt i inkonverterbare statsobligationer.

3 KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR KONVERTERBARE REALKREDITLÅN 3 b 1 b 2 b N 2mdr -,,A A AA,, - Varselstidspunkt t 0 t 1 t 2 t N Figur 1. Tidslinie. samtidig en antagelse om, at alle låntagere har samme skattesats langt mindre kritisk, idet vi sådan set kun behøver at betragte en enkelt låntager. Udelukkelsen af investorerne har dog den konsekvens, at vi må antage, at de konverterbare obligationer på lånets optagelsestidspunkt er prisfastsat som nutidsværdien af de fremtidige efter-skat betalinger på låntagersiden. I den sammenhæng kan antagelsen om samme skattesats for alle låntagere kritiseres. Vi mener dog ikke, at denne antagelse er mere urealistisk end antagelser i, f. eks., Christensen (1988) om at alle investorer er skattefritagede og at alle låntagere har samme skattesats. Med henblik på at karakterisere den optimale konverteringsstrategi vil vi optegne kritisk rente og gevinstkrav for realkreditlån. For efterfølgende at kunne vurdere betydningen af den anvendte konverteringsstrategi, sammenligner vi optimale konverteringsstrategier i forskellige rentestrukturscenarier og for låntagere med forskellige skattesatser med nogle såkaldte simple strategier. Et kriterium for vurdering af forskellige simple strategier er værdien af det konverterbare lån set fra låntagers perspektiv, når man følger den givne strategi. Vi sammenholder derfor værdien af lånet, når man anvender den optimale konverteringsstrategi, og når man i stedet anvender en simpel strategi. Resten af denne artikel er disponeret som følger. I afsnit 2 beskriver vi problemstillingen nærmere, og viser, at det kun kan være optimalt at konvertere sit realkreditlån på selve varselstidspunktet. I afsnit 3 beskrives den metode, som vi benytter i vores analyse og i afsnit 4 beskrives kort metoden, vi benytter til at estimere modellen og resultaterne heraf præsenteres. Derefter følger analysen af de forskellige konverteringsstrategier. De optimale konverteringsstrategier beskrives i afsnit 5 mens de simple konverteringsstrategier analyseres i afsnit 6. Endelig sluttes artiklen af med en konklusion i afsnit Konvertering af realkreditlån I forbindelse med anvendelse af konverteringsretten på danskerealkreditlån skal konverteringen normalt varsles senest to måneder inden næstkommende termin. 6 Tidslinien i figur 1 har til hensigt at illustrere problemstillingen i forbindelse med konverteringsbeslutningen. Tidspunkterne t 0, t 1,..., t N angiver de følgende terminer. Hvis låntager ønsker at konvertere lånet til den førstkommende termin t 0, skal dette varsles senest to måneder før t 0. Ved en eventuel konvertering betaler låntager restgælden på tidspunkt t 0 samt de påløbne renter indtil tidspunkt t 0 for til gengæld i princippet at modtage den tilsvarende inkonverterbare obligation bestående af de fremtidige betalinger b 1,..., b N,derså netter ud med de fremtidige betalingsforpligtigelser fra det oprindelige realkreditlån, som låntager i forvejen besidder. 6 For visse låntyper er varselstiden dog fem måneder.

4 4 PETER LØCHTE JØRGENSEN, KRISTIAN R. MILTERSEN OG CARSTEN SØRENSEN Det er velkendt fra optionsteori, at det er inoptimalt at exercise amerikanske calloptioner bortset fra umiddelbart før et betalingstidspunkt på det underliggende aktiv eller ved udløb. 7 Tilsvarende kan det indses, at en eventuel konverteringsbeslutning altid bør udskydes til umiddelbart før et varselstidspunkt. Antag for eksempel, at låntager på et tidspunkt inden varselstidspunktet beslutter sig for at udnytte konverteringsrettigheden. Man kan således overbevise sig om, at låntager ikke er bedre stillet, end hvis beslutningen blev udskudt til selve varselstidspunktet, idet låntager på varselstidspunktet blot kan beslutte at konvertere og således være stillet præcis, som hvis konverteringsbeslutningen var taget tidligere. Alternativt kunne renten være steget så meget, at låntager i stedet for at konvertere til pari med fordel kunne vælge at opkøbe egne obligationer i markedet billigere. Dette argument er gyldigt, uanset eksistensen af eventuelle fastkursaftaler. Hvis man er overbevist om, at renten vil stige, kan man til enhvert tidspunkt indgå en fastkursaftale om optagelse af et nyt realkreditlån til en fastlåst rente ved næste konverteringstidspunkt. Uafhængigt af denne fastkursaftale kan man så tage stilling til, om man vil konvertere sit gamle realkreditlån eller blot købe obligationerne op i markedet, når varselstidspunktet oprinder. 8 En optimal konverteringsstrategi vil således kun involvere konvertering på selve varselstidspunktet. Dette er udnyttet i beregningsalgoritmen for optimale konverteringsstrategier som beskrevet i afsnit 3. På etgivet varselstidspunkt er låntagers problem at vurdere, om det er optimalt at konvertere nu eller at vente. Hvis låntager vælger at konvertere, realiseres en gevinst svarende til nutidsværdien af det inkonverterbare lån minus restgælden på det konverterbare lån minus omkostningerne ved konverteringen. Til gengæld mistes retten til at kunne konvertere på et senere tidspunkt eventuelt på endnu gunstigere vilkår. I forbindelse med en vurdering af det optimale tidspunkt og renteniveau for en konvertering, er det således væsentligt at kunne vurdere værdien af den mistede option. I det følgende har vi anvendt én-faktor modellen fra Cox, Ingersoll, and Ross (1985) (CIR-modellen) til at få et estimat for den mistede optionsværdi ved en konvertering. 3. Model og metode I dette afsnit beskrives modellens vigtigste antagelser og metoden, der er benyttet til bestemmelse af det konverterbare låns værdi og den optimale konverteringsstrategi. Det forudsættes, at låntager refinansierer på markedsvilkår, således at vi ikke behøver at tage højde for låntagers øjeblikkelige refinansieringsmuligheder. Udviklingen i den korte markedsrente, r t, antages at kunne beskrives ved dr t = κ(θ r t )dt + σ r t dz t, hvor parameteren κ bestemmer graden af tilpasning i den korte rente mod et langsigtsniveau θ, σ bestemmer usikkerheden omkring den fremtidige renteudvikling (rentevolatiliteten), og dz t er et støjled. Den relevante rente i nedenstående analyse er låntagers efter-skat refinansieringsrentesats. Alle betalinger vil tilsvarende blive opgjort på efter-skat basis, og der vil blive taget højde for gebyrer i forbindelse med 7 Se f.eks. Cox and Rubinstein (1985, p. 139). 8 Dette er også påpeget i Jakobsen (1992, pp ).

5 KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR KONVERTERBARE REALKREDITLÅN 5 omlægningen. 9 Vi vil yderligere antage, at låntagers korte efter-skat rente bestemmes som (1 s)r t,hvors betegner låntagers skattesats. 10 Metoden, der anvendes ved beregning af det konverterbare låns værdi, er følgende: Vi vil betegne værdien af det konverterbare lån på n te varselstidspunkt og ved CIR-kort-renten r med C(r, n), n =1,..., N. Ved sidste termin har det ingen værdi at konvertere, idet den sidste terminsbetaling under alle omstændigheder forfalder til kurs pari to måneder senere (svarende til 1 6 år), dvs. C(r, N )=b ND(r, 1 6 ), hvor b N er efterskatbetalingenvedrørendedensidsteterminogd(r, t) betegner værdien af en (inkonverterbar) nul-kupon obligation med t tidsenheder til udløb og en CIR-kort-rente på r. Denne nul-kupon obligationspris er et lukket formeludtryk i CIR-modellen. Dernæst beregnes det konverterbare låns værdi på tidspunkt N 1for alle renteniveauer. Herefter for tidspunkt N 2 for alle renteniveauer og så videre tilbage til første termin. Dette er nærmere beskrevet i det følgende. For at bestemme værdien af det konverterbare lån på et givet varselstidspunkt n, opgør man først restgælden og diverse efter-skat omkostninger i forbindelse med konverteringen. Nutidsværdien af et konverterbart lån beregnes ved at diskontere restgæld samt omkostninger tilbage til varselstidspunktet. Dernæst opgøres værdien af at vente med at konvertere; denne værdi afhænger af værdien ved næste varsel. I princippet findes værdien ved at tilbagediskontere de fremtidige værdier, C(r, n + 1), under hensyntagen til den stokastiske udvikling af de fremtidige renter. Denne nutidsværdi betegnes i det følgende C + (r, n). Den omtalte tilbagediskontering justeres for risiko ved hjælp af risikojusteringsparameteren λ. 11 Ipraksismå denne beregning foretages numerisk. Beregningsmetoden er kort beskrevet i appendiks. På et varselstidspunkt n med n<n er værdien af lånet altså givetved { ( ) RG(n)+O(n)+bn D(r, 1 6 ), hvis der konverteres, C(r, n) = C + (r, n)+b n D(r, 1 6 ), hvis der ikke konverteres, hvor RG(n) betegner restgælden, O(n) er efter-skat omkostningerne i forbindelse med omlægningen ved den n te termin, og b n betegner efter-skat betalingen vedrørende den n te termin. Alle betalinger er efterskat betalinger og er tilbagediskonteret til varselstidspunktet, hvor konverteringsbeslutningen skal tages. C + (r, n) kan også fortolkes som værdien af det konverterbare lån umiddelbart efter, at det blev besluttet ikke at konvertere lånet ved det n te varselstidspunkt. C + (r, n) indeholder selvsagt værdien af at bevare muligheden for at kunne konvertere på et senere tidspunkt. Til senere brug indfører vi ligeledes størrelsen K(r, n), der angiver nutidsværdien af de resterende betalinger på lånet, hvilket også er nutidsværdien af et tilsvarende inkonverterbart lån. Denne størrelse er summen af en række nul-kupon obligationspriser og kan derfor udregnes ud fra det lukkede formeludtryk i CIR-modellen. Den optimale konverteringsbeslutning er alene bestemt af, hvordan låntager minimerer nutidsværdien af sin forpligtelse. Dvs. låntager konverterer på detn te varselstidspunkt, hvis og kun hvis ( ) 1 RG(n)+O(n) D(r, 6 ) C +(r, n). 9 Vi antager her, at alle investorer har samme skattesats, samt at obligationernes værdi på markedet er bestemt ud fra, at lånet har en nutidsværdi på nulforlåntager. Dvs. at obligationerne er prisfastsat ud fra efter-skat betalingsrækken på låntagersiden. 10 Antagelsen om, at låntagers korte efter-skat rente kan bestemmes som (1 s)r, kan f. eks. begrundes med en antagelse om samtidighedsskat efter lagerprincippet med kontinuert lageropgørelse. 11 For en fyldestgørende beskrivelse af antagelser og resultater i CIR-modellen, henvises i øvrigt til originalartiklen af Cox, Ingersoll, and Ross (1985).

6 6 PETER LØCHTE JØRGENSEN, KRISTIAN R. MILTERSEN OG CARSTEN SØRENSEN Den kritiske rente på detn te varselstidspunkt, r n, er den rentesats, hvor låntager er indifferent mellem at konvertere og at vente. For et renteniveau under den kritiske rente vil der blive konverteret, mens der ved et renteniveau over den kritiske rente ikke vil blive konverteret. 4. Estimation af CIR-modellen Med henblik på en konkret anvendelse af modellen må vi fremskaffe estimater for modellens parametre, dvs. renteprocessens parametre κ, θ og σ samt risikojusteringsparameteren, λ. Renteprocesparametrene har vi estimeret ved hjælp af metoden beskrevet i Jørgensen and Hansen (1995), der er inspireret af Chan et al. (1992). Datagrundlaget er dag-til-dag renten, som rapporteres af Danmarks Nationalbank i publikationen Finansiel Månedsstatistik. Ved således at vælge en meget kort rente som grundlag for parameterestimationen er vi mest mulig tro mod CIR-modellens oprindelige specifikation. 12 I den konkrete estimationsprocedure anvendes data fra perioden 1. januar 1993 til 30. november 1995 i alt 739 observationer af dag-til-dag renten. De opnåede renteprocesparameterestimater er som følger: Parameterestimater κ 0,3421 θ 0,0752 σ 0,1185 Med disse værdier indsat i CIR-modellens obligationsprisudtryk foretager vi dernæst en implicit bestemmelse af risikojusteringsparameteren, λ. Mere præcist sammenholder vi på en række handelsdage i december 1995 CIR-modellens priser ud fra efter-skat betalingsrækkerne med observerede markedspriser for de 10 mest omsatte obligationer på Københavns Fondsbørs. Disse er alle inkonverterbare statsobligationer med udløbstidspunkter jævnt fordelt i perioden 1996 til Det viser sig, at λ-værdier i intervallet [ 0,1; 0,1] giver de bedste resultater; typisk en gennemsnitlig fejlprisfastsættelse af de 10 obligationer på mindre end et kvart kurspoint. 13 Med baggrund i disse resultater såvel som for overskuelighedens skyld, vil vi i det følgende vælge at sætte λ =0. 5. Optimale konverteringsstrategier I nærværende afsnit vil vi illustrere modellens anvendelse gennem præsentation af en række gennemregnede eksempler. Som repræsentativt eksempel har vi valgt at analysere konverteringsproblematikken for et 30-årigt kontantlån baseret på udstedelse af 9% annuitetsobligationer med kvartårlige terminer. Med en dagskurs for de bagvedliggende obligationer på 98,24 svarer det til en kontantlånsrente på 9,2%. Denne forholdsvis høje obligationsrente og tilsvarende høje kontantlånsrente er valgt af illustrative årsager, idet disse værdier giver 12 Der kan sættes spørgsmålstegn ved, om dag-til-dag renten er den rente med størst forklaringsgrad over for variationen i obligationspriserne. Omvendt er der næppe tvivl om, at det er den korte rente, der er styrende for renteudviklingen. Vi vil dog ikke komme yderligere ind på dette problem i nærværende artikel. 13 Oplysninger om den præcise fremgangsmåde kan rekvireres hos forfatterne. Det skal her bemærkes, at der er brugt efterskat betalingsrækker for de indgående obligationer, og at parameterestimatet på λ ikke afviger signifikant for de tre forskellige skattesatser.

7 KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR KONVERTERBARE REALKREDITLÅN 7 gode konverteringsmuligheder. Lånets hovedstol er sat til kr , og efter-skat konverteringsomkostningerne har vi specificeret som kr fast, samt 1 2 % af den til ethvert tidspunkt tilbageværende restgæld.14 Daderertaleometkontantlån, skal låntager i forbindelse med en eventuel konvertering altså tilbagebetale obligationsrestgælden, der som hovedregel er større end kontantlånsrestgælden. Desuden er obligationsrestgælden afhængig af det gældende renteniveau og derfor en stokastisk proces set fra låntagers perspektiv. Som diskuteret i afsnit 3 vil der på ethvert varselstidspunkt i lånets restløbetid eksistere et kritisk renteniveau, r n, som præcist identificerer det punkt, hvor værdien af lånet er det samme, uanset om låntager vælger at konvertere eller at udskyde beslutningen. Hvis den aktuelle rente er lavere end den kritiske rente, skal der konverteres, og vice versa. Ved hjælp af den beskrevne numeriske metode kan forløbet for de kritiske renter fastlægges. Nedenfor har vi valgt at illustrere forløbet for ikke den kritiske korte rente (dag-til-dag rente) men den effektive førskat rente på et (fiktivt) inkonverterbart tiårigt 8% stående lån, som er prisfastsat af CIR-modellen med de ovenfor estimerede parametre og ved et aktuelt kort renteniveau svarende til CIR-modellens kritiske korte rente. Vi har valgt denne transformation med henblik på mere meningsfuldt at kunne referere til et renteniveau lidt à la TV-avisens Dagens obligationsrente som om dette var et entydigt begreb. En tilsvarende konvention benyttes i Christensen (1988) og Jakobsen (1992). Vi har gennemført beregningerne for tre forskellige skattesatser: 0%, 34% og 50% i figur 2. Endvidere har vi varieret på rentevolatilitetsparameteren, σ, som har en afgørende indflydelse på obligationskursernes variation. Konkret har vi prøvet med σ =0,05, σ =0,1185 og σ =0,20 i figur 3. Af figur 2 ses det måske i første omgang lidt overraskende at de kritiske rentekurver er næsten sammenfaldende for de tre skattesatser. Først i slutningen af lånets løbetid er de optimale strategier for forskelligt beskattede låntagere tydeligt forskellige. Det ses, at skattefritagede låntagere altid vil konvertere før højere beskattede låntagere (den kritiske rentekurve ligger højest for skattesats nul og nås derfor først ved et rentefald). Dette resultat kan forklares ved, at en beskattet låntager alt andet lige må stille et højere krav til konverteringsgevinsten end en skattefritaget (lavere beskattet) låntager, idet man ved konvertering af et kontantlån mister sit skattesubsidium. Dette skattesubsidium opstår ved, at der ved optagelse af et kontantlån transformeres afdrag, som ikke er fradragsberettigede for låntager, til renter, som er fradragsberettigede for låntager. Ved en eventuel konvertering skal låntager tilbagebetale obligationsrestgælden og mister derved skattesubsidiet relateret til de fremtidige rentebetalinger disse rentebetalinger bliver så at sige transformeret tilbage til afdrag. Dette er årsagen til, at den højere beskattede låntager finder det optimalt at vente indtil renten falder yderligere. Det ses endvidere af figur 2, at de kritiske rentekurver afbrydes 2 3 år før lånets udløb. Dette skyldes, at det i lånets sidste år ikke vil være muligt at opnå konverteringsgevinster, som er store nok til at betale omkostningerne i forbindelse med konverteringen. Bortset fra en lidt anderledes definition af den kritiske rente, er kurverne i figur 2 ækvivalente med tilsvarende figurer pp i Jakobsen (1992). Det bemærkes endeligt, at det faktum, at de kritiske rentekurver for forskelligt beskattede låntagere er (næsten) ens for de fleste restløbetider, ikke er ensbetydende med, at de tre låntagertyper er indifferente 14 Se i øvrigt Grosen and Sørensen (1993) for en beskrivelse af de forskellige konverteringsomkostninger samt en analyse af, hvordan størrelsen af konverteringsgevinsten afhænger af konverteringsomkostninger, lånetyper og restløbetid for det betragtede konverterbare realkreditlån.

8 8 PETER LØCHTE JØRGENSEN, KRISTIAN R. MILTERSEN OG CARSTEN SØRENSEN 8 Kritisk effektiv rente på tiårig obl. 7,5 7 6,5 6 5, Restløbetid 0% skat 34% skat 50% skat Figur 2. Kritisk rente afbildet som den effektive rente på et inkonverterbart tiårigt 8% stående lån ved tre forskellige skattesatser. over for beskatningen. Det betyder blot, at de har nogenlunde ens optimal konverteringsadfærd. Størrelsen af gevinsten kan derimod godt være meget forskellig. Det vender vi tilbage til i afsnit 6. Figur 3 viser kritiske rentekurver for en ubeskattet låntager ved tre forskellige værdier af rentevolatilitetsparameteren, σ. Det ses, at kurven flyttes nedad, når volatiliteten øges. Dette er et generelt resultat, som hænger sammen med, at når renteusikkerheden og dermed usikkerheden (volatiliteten) omkring obligationskurserne øges, så øges samtidig sandsynligheden for højere konverteringsgevinster. Derfor vil/bør låntager også være villige til at vente på et endnu lavere renteniveau inden konverteringen effektueres i forhold til situationen med lavere volatilitet. 6. Simple strategier Efter at have beskrevet de optimale konverteringsstrategier kan vi nu arbejde os hen i mod et simpelt beslutningskriterium for, hvornår realkreditlån skal konverteres. Vi vil betegne dette beslutningskriterium for en simpel strategi. Mere præcist vil vi koncentrere os om et nøgletal kaldet kritisk procentvis gevinstkrav. Før vi gør det, defineres den procentvise gevinst formelt som PG(r, n) = 100% K(r, n) ( RG(n)+O(n) ) D(r, 1 6 ), K(r, n) hvor K(r, n) er nutidsværdien af de fremtidige betalinger på lånet. Tælleren i ovenstående formel angiver gevinsten ved en øjeblikkelig konvertering, idet ( RG(n)+O(n) ) D(r, 1 6 ) kan fortolkes som værdien af et nyt

9 KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR KONVERTERBARE REALKREDITLÅN 9 8 Kritisk effektiv rente på tiårig obl. 7,5 7 6,5 6 5, Restløbetid vol. 0,05 vol. 0,1185 vol. 0,20 Figur 3. Kritisk rente afbildet som den effektive rente på et inkonverterbart tiårigt 8% stående lån ved tre forskellige rentevolatilitetsniveauer. lån optaget på markedsvilkår til at refinansiere det gamle lån med, hvis det konverteres. Det giver derfor god mening, at kalde PG for den procentvise gevinst ved konvertering. Nøgletallet kritisk procentvis gevinstkrav ved den n te varselstidspunkt, PG(n), kan naturligt defineres som PG(n) =PG(r n,n), idet r n angiver det kritiske renteniveau som defineret i afsnit 3. Vi har afbildet det kritiske procentvise gevinstkrav i figurerne Som det fremgår af disse figurer, udviser nøgletallet kritisk procentvis gevinstkrav et nærmest lineært forløb fra nul og op til et givet niveau som funktion af lånets restløbetid. Grundet det stort set lineære forløb for PG( ) i figurerne 4 5 inspireres man til at prøve med følgende simple konverteringsstrategi: 1. Beregn vha. CIR-modellen PG(0) ved realkreditlånets optagelse. 2. Træk en ret linie fra PG(0) ved realkreditlånets optagelse og ned til 0 ved realkreditlånets udløb. 3. Benyt denne rette linie som beslutningsgrundlag for konvertering: Dvs. udregn til hvert varselstidspunkt gevinsten ved at konvertere i procent af værdien af det nuværende lån, hvis dette ikke konverteres, PG(r, n). Hvis denne PG(r, n) er større end eller lig med PG(n), konverteres lånet. For at kunne vurdere denne (simple) strategi relativt til den optimale strategi beskrevet tidligere, kan vi beregne nutidsværdien ved implementering af den optimale strategi og sammenligne med nutidsværdien fra 15 Bemærk, at parameteren n i PG(n) erdenn te termin, cf. figur 1, og altså ikke restløbetiden.

10 10 PETER LØCHTE JØRGENSEN, KRISTIAN R. MILTERSEN OG CARSTEN SØRENSEN 20 Kritisk procentvis gevinstkrav Restløbetid 0% skat 34% skat 50% skat Figur 4. Kritisk procentvis gevinstkrav ved tre forskellige skattesatser. kuponrente for kont.lånsrente Obligations NV af tilb. bet., prc. tab ved underlig. obl. ved optagelse PG(0) kurs simpel strategi simpel strategi 10% 13% 20,09% 79,50 79,56 0,08% 10% 12% 20,15% 85,21 85,27 0,06% 10% 11% 20,09% 92,09 92,13 0,05% 9% 12% 15,49% 78,20 78,26 0,07% 9% 11% 15,53% 84,44 84,48 0,05% 9% 10% 15,47% 91,68 91,72 0,04% 8% 11% 10,38% 77,21 77,26 0,06% 8% 10% 10,40% 83,65 83,69 0,05% 8% 9% 10,33% 91,16 91,20 0,04% 7% 10% 5,00% 75,93 75,98 0,06% 7% 9% 4,94% 82,69 82,73 0,06% 7% 8% 4,86% 90,63 90,68 0,05% 6% 9% 0,39% 74,49 74,52 0,05% 6% 8% 0,36% 81,68 81,72 0,05% 6% 7% 0,31% 90,15 90,19 0,04% Tabel 1. Vurdering af optimale versus simple konverteringsstrategier samt PG-værdier for udvalgte realkreditlån ved en skattesats på 0%. den simple strategi og vurdere den procentvise forskel for en række realkreditlån med forskellige underliggende obligationer og forskellige kontantlånsrenter.

11 KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR KONVERTERBARE REALKREDITLÅN Kritisk procentvis gevinstkrav Restløbetid vol. 0,05 vol. 0,1185 vol. 0,20 Figur 5. Kritisk procentvis gevinstkrav ved tre forskellige rentevolatilitetsniveauer. kuponrente for kont.lånsrente Obligations NV af tilb. bet., prc. tab ved underlig. obl. ved optagelse PG(0) kurs simpel strategi simpel strategi 10% 13% 14,91% 79,39 79,39 0,00% 10% 12% 15,46% 85,32 85,33 0,01% 10% 11% 16,10% 92,20 92,21 0,02% 9% 12% 10,15% 78,37 78,37 0,00% 9% 11% 10,79% 84,49 84,50 0,00% 9% 10% 11,49% 91,72 91,73 0,01% 8% 11% 5,07% 77,12 77,12 0,00% 8% 10% 5,83% 83,53 83,54 0,00% 8% 9% 6,68% 91,21 91,22 0,01% 7% 10% 0,57% 75,79 75,79 0,01% 7% 9% 1,16% 82,69 82,70 0,01% 7% 8% 1,94% 90,62 90,65 0,03% 6% 9% 74,48 74,48 0,00% 6% 8% 81,75 81,75 0,00% 6% 7% 90,12 90,12 0,00% Tabel 2. Vurdering af optimale versus simple konverteringsstrategier samt PG-værdier for udvalgte realkreditlån ved en skattesats på 34%. Tabellerne 1 3 er sådanne beregninger for skattesatserne s =0,s =0,34 og s =0,50. Udgangspunktet for disse tabeller er det samme lån med de samme omkostninger som i forrige afsnit. Tabellerne er bygget op ud

12 12 PETER LØCHTE JØRGENSEN, KRISTIAN R. MILTERSEN OG CARSTEN SØRENSEN kuponrente for kont.lånsrente Obligations NV af tilb. bet., prc. tab ved underlig. obl. ved optagelse PG(0) kurs simpel strategi simpel strategi 10% 13% 10,70% 79,32 79,37 0,06% 10% 12% 11,81% 85,32 85,33 0,01% 10% 11% 13,03% 92,25 92,25 0,00% 9% 12% 6,05% 78,38 78,45 0,08% 9% 11% 7,30% 84,61 84,63 0,02% 9% 10% 8,70% 91,70 91,71 0,00% 8% 11% 1,53% 77,08 77,09 0,01% 8% 10% 2,74% 83,53 83,54 0,01% 8% 9% 4,27% 91,18 91,18 0,00% 7% 10% 75,89 75,89 0,00% 7% 9% 82,63 82,63 0,00% 7% 8% 0,43% 90,67 90,68 0,01% 6% 9% 74,47 74,47 0,00% 6% 8% 81,76 81,76 0,00% 6% 7% 90,13 90,13 0,00% Tabel 3. Vurdering af optimale versus simple konverteringsstrategier samt PG-værdier for udvalgte realkreditlån ved en skattesats på 50%. fra de første to kolonner. Med en given kuponrente for de bagvedliggende obligationer og kontantlånsrente kan man forholdvis simpelt vha. annuitetsformlen udregne kursen på de bagvedliggende obligationer på optagelsestidspunktet (4. kolonne). Ud fra CIR-modellen beregnes den optimale konverteringsstrategi og tilhørende kritiske procentvise gevinstkrav på optagelsestidspunktet (3. kolonne). Dernæst beregnes den tilhørende værdi af lånet, hvis vi følger den simple strategi (5. kolonne). Værdien af lånet ved brug af den simple strategi må nødvendigvis være højere end ved brug af den optimale strategi, idet den optimale strategi netop er valgt ud fra et kriterium om, at låntager skal tilbagebetale så lidt som muligt. Endelig beregnes den procentvise afvigelse, der derfor må være positiv (6. kolonne). Som det kan konstateres ved at iagtage tabellerne 1 3, er forskellene ved brug af den optimale konverteringsstrategi og den simple strategi, målt som procentvis forringelse af realkreditlånenes nutidsværdi, uhyre små. Jakobsen (1992) analyserer også forskellige simple konverteringsstrategier. Hans resultater er rapporteret i Jakobsen (1992, Table 6.4), hvor det ses at disse simple strategier resulterer i betydeligt større afvigelser. Ligeledes fremgår det af tabellerne, hvorledes PG(0) skal sættes i den simple strategi for en række konverterbare realkreditlån. i tabellerne 2 3 markerer et gevinstkrav på 0%, som dog stort set aldrig opnås pga. den lave rente på disse lån. 16 For s =0,børPG(0) være uafhængig af kontantlånsrenten, da der her ikke er noget skattesubsidium, som låntager kan miste ved en eventuel konvertering. Den faste omkostning ved en eventuel konvertering udgør dog en varierende andel af obligationsrestgælden ved forskellige kontantlånsrentesatser. Denne relative forskel i de faste omkostninger samt numerisk unøjagtighed i den benyttede implementerede numeriske metode kan således forklare, hvorfor PG(0) alligevel ikke er fuldstændig uafhængig af kontantlånsrenten i tabel 1. Hvis vi afbildede den kritiske rente, r n sammen med PG(n) forde 16 Dette resultat er til dels en konsekvens af de estimerede parametre til CIR-modellen og valget af denne model i det hele taget. Med et langsigtsniveau for den korte rente på θ =0,0752 og en forholdsvis høj tilpasningsparameter på κ =0,3421 er der en meget lille sandsynlighed for, at renten kommer tilstrækkeligt langt ned, til at det kan betale sig at konvertere de kontantlån, der er baseret på udstedelse af 6%- og til dels 7%-obligationer.

13 KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR KONVERTERBARE REALKREDITLÅN 13 valgte realkreditlån ville vi se, at jo lavere PG(0) er, des lavere vil r n også være, cf. figurerne 2 og 4. Altså jo lavere PG(0) er, des længere skal renten ned, før der konverteres, og des mindre er sandsynligheden for, at et lån vil blive konverteret. Årsagen hertil er, at gevinstpotentialet ved en eventuel konvertering falder markant med faldende obligationsrente og stigende skattesats. Dvs. selvom der kompenseres ved, at gevinstkravet sænkes, vil sandsynligheden for, at det reducerede gevinstkrav opfyldes, være aftagende. Ovenstående analyse viser altså, at i en CIR-model vil et nøgletal som gevinstkrav (forstået som gevinst ved at konvertere frem for at fortsætte med det eksisterende lån frem til udløb) være et særdeles nyttigt redskab til bestemmelse af det optimale konverteringstidspunkt for et realkreditlån. 7. Afslutning I nærværende artikel blev der taget udgangspunkt i det faktum, at et konverterbart realkreditlån kan opfattes som et hybridaktiv sammensat af et tilsvarende inkonverterbart lån samt en amerikansk calloption. Med udgangspunkt i denne observation påviste vi, at den nyere options- og rentestrukturteori er velegnet til at håndtere problemet vedrørende bestemmelse af den bedst mulige konverteringsstrategi for realkreditlån. Som følge af realkreditlånets struktur er dette fuldstændigt ækvivalent med problemet vedrørende bestemmelse af exercise-strategier for amerikanske optioner. Som konkret model for renteudviklingen og -usikkerheden valgte vi den simple og relativt velkendte CIRmodel. De opnåede resultater er dog påingenmåde specifikke for lige netop dette valg. Uanset valg af rentestrukturmodel vil problemet med at fastlægge den optimale konverteringsstrategi i form af et kritisk renteforløb kræve implementering af en numerisk løsningsmetode på computer. Dette giver dog ikke anledning til synderlige problemer vi har undervejs i analysen ikke oplevet vanskeligheder med hverken præcision eller beregningstid. Den foreslåede metode blev illustreret ved hjælp af konkrete eksempler. Analysen gav inspirationen til konstruktion af et særligt gevinstnøgletal. Det blev vist, hvorledes man ud fra dette nøgletal kunne tilnærme de optimale konverteringsstrategier med simple lineære strategier. En sammenligning af gevinsterne ved at følge henholdsvis optimale og simple konverteringsstrategier viste negligerbare afvigelser i form af tab i nutidsværdi på det konverterbare realkreditlån. Gevinstnøgletallet benyttes reelt set allerede i dag, idet det faktisk er det tal, som indgår i de fleste realkreditinstitutter og pengeinstitutters programmer til overvågning af realkreditlån. Det er dog vores indtryk, at disse overvågningsprogrammer bruger et fast absolut gevinstkrav. I denne artikel har vi sandsynliggjort, at gevinstkrav er det rigtige nøgletal at benytte i overvågningen, men man bør benytte et relativt gevinstkrav (i procent) og lade dette krav aftage med lånets løbetid. Et andet og langt sværere spørgsmål at besvare er at finde det optimale niveau for det procentvise gevinstkrav ved lånets optagelse. Vi har i tabellerne 1 3 udregnet dette optimale niveau for en lang række realkreditlån, men det er klart, at disse resultater er stærkt afhængige af den anvendte model (CIR) og de konkrete parameterestimater til CIR-modellen.

14 14 PETER LØCHTE JØRGENSEN, KRISTIAN R. MILTERSEN OG CARSTEN SØRENSEN Appendiks I CIR-modellen vil værdien, V (r, t), af et finansielt aktiv set fra låntagers perspektiv opfylde følgende partielle differentialligning (PDE) 1 2 σ2 r t V rr + ( ) (1) κ(θ r t ) λr t Vr + V t (1 s)r t V =0, hvor λ er en risikopræmie. For at bestemme nutidsværdien på det finansielle aktiv løses denne partielle differentialligning med passende randbetingelser, der karakteriserer aktivet. For at bestemme C + (r, n) er ovenstående partielle differentialligning således løst numerisk. Den numeriske metode er beskrevet i Duffie (1992, pp ). At ligning (1) er den PDE, som værdien af et finansielt aktiv skal opfylde, kan man overbevise sig om ved følgende argument: Lad rt =(1 s)r t betegne efter-skat renten og lad V (r, t) ( V (r,t) ) betegne værdien af et finansielt aktiv til tidspunkt t, hvis (efter-skat) renten er r (r ). Udbetalingerne fra det finansielle aktiv beskattes ikke. På grund af loven om én pris er der følgende sammenhæng mellem V og V, V (r, t) =V (r,t)=v ( r 1 s,t)=v ( (1 s)r, t ). Af notationsmæssige årsager vil vi betegne afledte af V og V som V 11, V 1 og V 2 i stedet for de mere gængse betegnelser V rr, V r og V t. Som defineret i afsnit 3 har vi udviklingen i r beskrevet ved den stokastiske differentialligning (SDE) dr t = κ(θ r t )dt + σ r t dz t. Ved hjælp af Itô s lemma får vi så udviklingen i r som dr t = κ( θ(1 s) r t ) dt + σ 1 s r t dz t. For atter at simplificere notationen beskrives udviklingen i r ved og r ved dr t = b(r t,t)dt + a(r t,t)dz t, dr t = b (r t,t)dt + a (r t,t)dz t. Herefter følger så den velkendte udledning af PDE en fra CIR modellen. Dette indledes med at finde udviklingen i V,hvorV t = V (r t,t), ved hjælp af Itô s lemma dv t = V 1 dr t V 11d r t + V 2 dt = ( 1 2 a2 (r t,t)v 11 + b(r t,t)v 1 + V 2 ) dt + a(rt,t)v 1 dz t = V t α V (r t,t)dt + V t δ V (r t,t)dz t. Det sidste lighedstegn er igen blot for at simplificere notationen, idet α V og δ V betegner drift og volatilitet på afkastet af det finansielle aktiv med værdiprocessen V. Betragt nu to finansielle aktiver, V 1 og V 2.Vi

15 KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR KONVERTERBARE REALKREDITLÅN 15 danner nu en portefølje bestående af π 1 formueandele af V 1 og π 2 formueandele af V 2. Værdiprocessen for denne portefølje betegnes Π. Udviklingen i afkastet på porteføljen kan beregnes ved hjælp af Itô s lemma dπ t dvt 1 dvt 2 = π 1 Π t Vt 1 + π 2 Vt 2 = ( π 1 α 1 (r t,t)+π 2 α 2 (r t,t) ) dt + ( π 1 δ 1 (r t,t)+π 2 δ 2 (r t,t) ) dz t, hvor V -notationen på α og δ er undertrykt. Vælg nu π 1 og π 2 så afkastvolatiliteten på porteføljen bliver nul. Da skal der på grund af antagelsen om ingen arbitrage gælde, at ( π1 α 1 (r t,t)+π 2 α 2 (r t,t) ) =(1 s)r t, idet aktivets udbetalinger (og løbende kursgevinster) ikke beskattes. Ved et simpelt lineært algebra argument samt et argument om at aktiverne i porteføljen kan udskiftes med alle andre aktiver, hvis værdiproces er på formen V,kandetvises,at (2) α V (r t,t) (1 s)r t = γ(r t,t)δ V (r t,t), hvor funktionen γ er uafhængig af det betragtede aktiv, V. Indsættes definitionerne på α og δ fås 1 2 a2 (r t,t)v 11 + b(r t,t)v 1 + V 2 (1 s)r t V t = γ(r t,t)a(r t,t)v 1. Da funktionen a også er uafhængig af det betragtede aktiv, kan vi foretage substitutionen λ(r t,t)=γ(r t,t)a(r t,t). I overensstemmelse med CIR modellen indføres markedsprisen på risiko, λ CIR, i stedet for funktionen λ, så (3) λ(r t,t)=λ CIR r t. Herved reduceres vores ligning til 1 2 a2 (r t,t)v 11 + ( b(r t,t) λ CIR ) r t V1 + V 2 (1 s)r t V t =0. Ved indsættelse af udtrykkene for a og b fremkommer ligning (1). Alternativt kunne ligning (1) have været udledt udfra V ved følgende argument: Udviklingen i V,hvorV t = V (r t,t), kan igen udledes ved hjælp af Itô s lemma dv t = V1 dr t V 11 d r t + V2 dt ( 1 ( = a (rt 2,t)) 2 V 11 + b (rt,t)v 1 + V 2 = V t α V (r t,t)dt + V tδ V (r t,t)dz t. Et helt analogt porteføljeargument leder nu frem til, at ) dt + a (r t,t)v 1 dz t (4) α V (r t,t) r t = γ (r t,t)δ V (r t,t). Indsættes definitionerne på α og δ fås 1 ( a (rt,t) ) 2 V b (rt,t)v1 + V2 rt Vt = γ (rt,t)a (rt,t)v1.

16 16 PETER LØCHTE JØRGENSEN, KRISTIAN R. MILTERSEN OG CARSTEN SØRENSEN Igen indføres markedsprisen på risiko, λ CIR, i stedet for funktionen γ,så (5) γ (r t,t)a (r t,t)=λ CIR r t. Herved reduceres vores ligning til 1 ( a (r t,t) ) 2 V ( b (rt,t) λcir rt ) V 1 + V2 r t V t =0. Ved indsættelse af udtrykkene for a og b fremkommer 1 ( 2 σ2 (1 s)rt V11 + κ ( θ(1 s) rt ) ) λ CIR rt V1 + V2 rt Vt =0. Ved at benytte at V1 (rt,t)= 1 1 s V 1(r t,t), V11(r t,t)= 1 (1 s) V 2 11 (r t,t)ogv2 (rt,t)=v 2 (r t,t) fremkommer ligning (1) endnu en gang. Bemærk iøvrigt, at a (rt,t)=(1 s)a(r t,t)ogb (rt,t)=(1 s)b(r t,t), således at α V (r t,t)=α V (r t,t)og δv (r t,t)=δ V (r t,t). Dermed følger det af ligning (2) og (4), at γ (rt,t)=γ(r t,t), hvorved λ CIR i ligning (3) og (5) rent faktisk er den samme størrelse. Litteratur Bhattacharya, S. & G. M. Constantinides, editors (1989): Theory of Valuation, volume 1 of Frontiers of Modern Financial Theory. Rowman & Littlefield Publishers, Inc., Totowa, New Jersey, USA. Chan, K. C., G. A. Karolyi, F. A. Longstaff & A. B. Sanders (1992): An Empirical Comparison of Alternative Models of the Short-Term Interest Rate, The Journal of Finance, XLVII(3): Christensen, P. O. (1988): The Optimal Call Strategy on and the Pricing of Danish Callable Bond Issues, Publications from Department of Management, Odense Universitet 5/1988, Department of Management, Odense Universitet, Campusvej 55, DK 5230 Odense M, Denmark. Cox, J. C., J. E. Ingersoll, Jr. & S. A. Ross (1985): A Theory of the Term Structure of Interest Rates, Econometrica, 53(2): Reprinted in Bhattacharya and Constantinides (1989, p ). Cox, J. C. & M. Rubinstein (1985): Options Markets, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 07632, USA. Dahl, H. (1991): Konverterbare obligationer overreagerer markedet?, finans/invest, (5):8 12. Duffie, J. D. (1992): Dynamic Asset Pricing Theory, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, USA. Grosen,A.&H.D.Sørensen(1993): Boligejernes konverteringsgevinst, Ejendomsmægleren, (8):2 7. Hull, J. & A. White (1993): One-Factor Interest Rate Models and the Valuation of Interest Rate Derivative Securities, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 28(2): Jakobsen, S. (1992): Prepayment and the Valuation of Danish Morgage-Backed Bonds, Ph.D. dissertation, Department of Finance, The Aarhus School of Business, Fuglesangs Allé, DK 8210 Århus V, Denmark. Jørgensen, P. L. & M. B. Hansen (1995): Den korte renteproces, rentestrukturmodellering og optionsprisfastsættelse, finans/invest, (3): Mouritsen, J. & M. Møller (1986a): Konvertering af obligationer, finans/invest, (2):8 12. Anden halvdel af artiken findes i Mouritsen and Møller (1986b). (1986b): Konvertering af obligationer (2), finans/invest, (4): Afdeling for Virksomhedsledelse, Institut for Økonomi, Aarhus Universitet, Universitetsparken 350, DK 8000 Århus C address:

17 KONVERTERINGSSTRATEGIER FOR KONVERTERBARE REALKREDITLÅN 17 Institut for Virksomhedsledelse, Odense Universitet, Campusvej 55, DK 5230 Odense M address: Institut for Finansiering, Handelshøjskolen i København, Rosenørns Allé 31, DK 1970 Frederiksberg C address:

Ugeseddel nr. 14 uge 21

Ugeseddel nr. 14 uge 21 Driftsøkonomi 2 Forår 2004 Matematik-Økonomi Investering og Finansiering Mikkel Svenstrup Ugeseddel nr. 14 uge 21 Forelæsningerne i uge 21 Vi afslutter emnet konverterbare obligationer og forsætter med

Læs mere

Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2

Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 1 Det naturvidenskabelige fakultet Vintereksamen 96/97 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 Opgavetekst Generelle oplysninger: Der ses i nedenstående opgaver bort fra skat, transaktionsomkostninger,

Læs mere

Valgfrit afdragsfrie lån

Valgfrit afdragsfrie lån Valgfrit afdragsfrie lån Morten Nalholm nalholm@math.ku.dk Valgfrit afdragsfrie lån p. 1/32 Introduktion Prisfastsættelse Modellering af låntagerheterogenitet S.Jakobsen:"unødigt kompliceret" (om et RDs

Læs mere

Konverteringer af 30-årige realkreditobligationer

Konverteringer af 30-årige realkreditobligationer 59 Konverteringer af 3-årige realkreditobligationer gennem de sidste 1 år Ulrik Knudsen, Handelsafdelingen INDLEDNING OG SAMMENFATNING Det generelle rentefald siden begyndelsen af 199'erne har sammen med

Læs mere

Tid til konvertering til 4 % fastforrentet lån

Tid til konvertering til 4 % fastforrentet lån 31.august 2010 Tid til konvertering til 4 % fastforrentet lån Udgiver Realkredit Danmark Parallelvej 17 2800 Kgs. Lyngby Risikostyring & funding Redaktion Lise Nytoft Bergmann libe@rd.dk Den seneste tids

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3. Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet Esben Kolind Laustrup

Claus Munk. kap. 1-3. Afdeling for Virksomhedsledelse, Aarhus Universitet Esben Kolind Laustrup Claus Munk kap. 1-3 1 Dagens forelæsning Grundlæggende introduktion til obligationer Betalingsrækker og låneformer Det danske obligationsmarked Pris og kurs Effektive renter 2 Obligationer Grundlæggende

Læs mere

Finansanalytikerforeningen, 29 marts 2011 Svend Jakobsen Scanrate Financial Systems

Finansanalytikerforeningen, 29 marts 2011 Svend Jakobsen Scanrate Financial Systems Det danske realkreditsystem: Én obligation mange låntagere Finansanalytikerforeningen, 29 marts 2011 Svend Jakobsen Scanrate Financial Systems 1 Copyright Scanrate Financial Systems 29. marts 2011 Oversigt

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET INVESTERINGS- OG FINANSIERINGSTEORI 4 timers skriftlig eksamen, 10-14, tirsdag 1/6 2004. Ingen hjælpemidler (blyant & lommeregner dog tilladt).

Læs mere

Inkonverterbare lån til andelsboligforeninger

Inkonverterbare lån til andelsboligforeninger 135 Inkonverterbare lån til andelsboligforeninger Ib Hansen og Hans Henrik Knudsen, Handelsafdelingen INDLEDNING OG SAMMENFATNING Den danske realkreditmodel bygger på fleksibilitet og gennemsigtighed.

Læs mere

Konverterbare Realkreditobligationer

Konverterbare Realkreditobligationer Konverterbare Realkreditobligationer Niels Rom-Poulsen Danske Markets, Kvantitativ Analyse nrp@danskebank.dk Konverterbare Realkreditobligationer p. 1/20 Kurs-rente grafer 150 140 BND MBS 104 102 130 100

Læs mere

Attraktive omlægningsmuligheder for boligejerne

Attraktive omlægningsmuligheder for boligejerne 10. september 2014 Attraktive omlægningsmuligheder for boligejerne Renterne på fastforrentede realkreditlån har aldrig i nyere tid været lavere, og det giver boligejerne gunstige muligheder for at optimere

Læs mere

Realkreditmarkeder: - CF realkreditobligationer - Prisfastsættelse og kalibrering

Realkreditmarkeder: - CF realkreditobligationer - Prisfastsættelse og kalibrering Realkreditmarkeder: - CF realkreditobligationer - Prisfastsættelse og kalibrering Jesper Lund Quantitative Research Nykredit Markets 3. maj 2006 Plan for præsentationen Rene variabelt forrentede obligationer

Læs mere

Gustav Smidth Alm. Brand Børs 22. maj 2006

Gustav Smidth Alm. Brand Børs 22. maj 2006 Praktiske erfaringer om prepaymentmodellering Gustav Smidth Alm. Brand Børs 22. maj 2006 Agenda Teaser Modelsetup hos Alm. Brand Børs Rentestrukturmodel Prepaymentmodel Burnout Estimation / kalibrering

Læs mere

Hvor: D = forventet udbytte. k = afkastkrav. G = Vækstrate i udbytte

Hvor: D = forventet udbytte. k = afkastkrav. G = Vækstrate i udbytte Dec 64 Dec 66 Dec 68 Dec 70 Dec 72 Dec 74 Dec 76 Dec 78 Dec 80 Dec 82 Dec 84 Dec 86 Dec 88 Dec 90 Dec 92 Dec 94 Dec 96 Dec 98 Dec 00 Dec 02 Dec 04 Dec 06 Dec 08 Dec 10 Dec 12 Dec 14 Er obligationer fortsat

Læs mere

Konverter til FlexLån, hvis du har flytteplaner

Konverter til FlexLån, hvis du har flytteplaner 6. august 2008 Konverter til FlexLån, hvis du har flytteplaner Går du med flytteplaner, har du et 4 % eller 5 % lån og tror på, at renten falder? Så bør du konvertere nu. Årsagen er, at renterne ikke skal

Læs mere

Realkredit Danmark Skattepjece. Skattepjece

Realkredit Danmark Skattepjece. Skattepjece Realkredit Danmark Skattepjece Skattepjece Indledning Denne pjece beskriver i hovedtræk reglerne for selskabers beskatning i forbindelse med realkreditlån. Du kan blandt andet læse om de skattemæssige

Læs mere

Konverterbare Realkreditobligationer

Konverterbare Realkreditobligationer Konverterbare Realkreditobligationer Copenhagen Business School Summer school August 17, 2005 Niels Rom-Poulsen Danske Markets, Quantitative Research nrp@danskebank.dk Konverterbare Realkreditobligationer

Læs mere

Ordforklaring til Långuide

Ordforklaring til Långuide 20. april 2015 Ordforklaring til Långuide Oversigt Belåningsinterval... 2 Delydelse... 2 Effektiv rente ekskl. omkostninger... 2 Fradragskonto... 2 Færdigmelding i forbindelse med forhåndslån... 3 Kalkulationsrente...

Læs mere

Realkreditobligationer

Realkreditobligationer Skitsering af lånemarkedet i DK vs. kontantlån Fastforrentede lån tilpasningslån (FlexLån) udvikling og huspriser Warning: kortfattet simplificeret skitsering af et komplekst område! Den interesserede

Læs mere

Det naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2

Det naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 1 Det naturvidenskabelige fakultet Sommereksamen 1997 Matematisk-økonomisk kandidateksamen Fag: Driftsøkonomi 2 Opgavetekst Generelle oplysninger: Der ses i nedenstående opgaver bort fra skat, transaktionsomkostninger,

Læs mere

Planen idag. Fin1 (onsdag 11/2 2009) 1

Planen idag. Fin1 (onsdag 11/2 2009) 1 Planen idag Rentefølsomhedsanalyse; resten af kapitel 3 i Noterne Varighed og konveksitet 3 fortolkninger af varighed Varighed og konveksitet for porteføljer Multiplikative skift i rentestrukturen Fin1

Læs mere

Skitsering af lånemarkedet i DK

Skitsering af lånemarkedet i DK Skitsering af lånemarkedet i DK Obligationslån vs. kontantlån Fastforrentede lån tilpasningslån (FlexLån) udvikling og huspriser Warning: kortfattet simplificeret skitsering af et komplekst område! Den

Læs mere

Hedgeforeningen HP. Danske Obligationer. Mar. Apr. Maj Jun. Jul. Aug. Sep. Okt. Nov. Dec. 2007 78,71 79,05 84,60 88,00 93,13 96,36 100,64 104,48

Hedgeforeningen HP. Danske Obligationer. Mar. Apr. Maj Jun. Jul. Aug. Sep. Okt. Nov. Dec. 2007 78,71 79,05 84,60 88,00 93,13 96,36 100,64 104,48 HP Hedge august 2009 I august sluttede indre værdi 104,48, hvilket er all time high, og det betyder at afkastet i august var 3,82%. Siden årets start har afdelingen genereret et afkast på 38,26%, hvilket

Læs mere

Information om rentetilpasningslån(rt-lån)

Information om rentetilpasningslån(rt-lån) Information om rentetilpasningslån(rt-lån) DLR Kredit tilbyder rentetilpasningslån(rt-lån) i kroner(dkk) og i euro(eur). Bortset fra skattemæssige forhold og valutakursrisikoen ved lån i euro er karakteristika

Læs mere

Prisfastsættelse af konverterbare obligationer

Prisfastsættelse af konverterbare obligationer Prisfastsættelse af konverterbare obligationer H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave - efterår 2009 Opgaveløser: Mikkel H. Skovsgaard Jensen Vejleder: Niels Rom-Poulsen Opgave nr. E7 2. november 2009

Læs mere

Rentesregning: Lektion A2. Intern rente, Flere rentetilskrivninger, Excel. Introduktion. Peter Ove Christensen. Forår 2012

Rentesregning: Lektion A2. Intern rente, Flere rentetilskrivninger, Excel. Introduktion. Peter Ove Christensen. Forår 2012 Rentesregning: Lektion A2, Flere rentetilskrivninger, Excel Peter Ove Christensen Forår 2012 1 / 26 Definition Hvilken rentesats giver vores betalingsrække en ønsket værdi? Denne rentesats kaldes for den

Læs mere

Nyt lån nr. 1.1 Gruppe af nuværende lån Forskel/total Antal lån 1 2

Nyt lån nr. 1.1 Gruppe af nuværende lån Forskel/total Antal lån 1 2 Oversigt over lån 7. november 2014 Kunde A/B BRYGGERGÅRDEN Ejendom Pileborggade 6-10, 4100 Ringsted Kontaktperson Peter Erik Hansen, tlf. 45 12 58 00 Side 1 af 7 Pantnummer 1186.8263 Finansieringseksempel

Læs mere

Bolig: Låneanbefaling, september 2016

Bolig: Låneanbefaling, september 2016 Bolig: Låneanbefaling, september 2016 26. september 2016 Af Dorthe Petersen og Teis Knuthsen Negative renter og positive boligmarkeder Den Europæiske Centralbank (ECB) har i år udvidet både længden og

Læs mere

Nyt lån nr. 1.1 Gruppe af nuværende lån Forskel/total Antal lån 1 5

Nyt lån nr. 1.1 Gruppe af nuværende lån Forskel/total Antal lån 1 5 Oversigt over lån 24. juni 2015 Kunde ANDELSBOLIGFOREN. DYSTRUPPARKEN Ejendom Vestermarken 9-19, 8586 Ørum Djurs Kontaktperson Conny Baastrup Jensen, tlf. 45 12 43 90 Side 1 af 33 Pantnummer 2183.0496

Læs mere

3,5 %-lånet er attraktivt for mange låntagere

3,5 %-lånet er attraktivt for mange låntagere 16. januar 2012 3,5 %-lånet er attraktivt for mange låntagere De historiske rentefald i kølvandet på den sløje økonomiske udvikling har betydet, at det nu er blevet muligt at optage 3,5 % fastforrentet

Læs mere

Finansiel politik. November 2012. Næstved Varmeværk

Finansiel politik. November 2012. Næstved Varmeværk Finansiel politik November 2012 Næstved Varmeværk Generelt Formålet med den finansielle politik er fastlæggelse af rammerne for en aktiv styring af den finansielle portefølje, med henblik på optimering

Læs mere

FINANSIERING 1. Opgave 1

FINANSIERING 1. Opgave 1 FINANSIERING 1 3 timers skriftlig eksamen, kl. 9-1, onsdag 9/4 008. Alle sædvanlige hjælpemidler inkl. blyant er tilladt. Sættet er på 4 sider og indeholder 8 nummererede delspørgsmål, der indgår med lige

Læs mere

Er det nu du skal konvertere dit FlexLån?

Er det nu du skal konvertere dit FlexLån? 27. august 2010 Er det nu du skal konvertere dit FlexLån? I sommerens løb er kursen på de 30-årige fastforrentede 4 % lån steget ganske pænt. I skrivende stund ligger kursen på den 30-årige 4 % obligation

Læs mere

SDO-lovgivningen og dens betydning

SDO-lovgivningen og dens betydning SDO-lovgivningen og dens betydning Fra 1. juli af, blev de nye SDO- og SDRO-lån en realitet, og vi har allerede set de første produkter på markedet. Med indførelsen af de nye lån er der dermed blevet ændret

Læs mere

Dragør Kommunes Porteføljepolitik Godkendt i Kommunalbestyrelsen den. 26/1 2012

Dragør Kommunes Porteføljepolitik Godkendt i Kommunalbestyrelsen den. 26/1 2012 Dragør Kommunes Porteføljepolitik Godkendt i Kommunalbestyrelsen den. 26/1 2012 Porteføljepolitik Dragør Kommune Indholdsfortegnelse Resumé...3 Politik for aktiv styring af Dragør Kommunes gældsportefølje...5

Læs mere

The Valuation of Callable Bonds with Floored CMS-spread Coupons. Et case-studie af Dannevirke Obligationen

The Valuation of Callable Bonds with Floored CMS-spread Coupons. Et case-studie af Dannevirke Obligationen Temadag om Strukturerede Obligationer The Valuation of Callable Bonds with Floored CMS-spread Coupons Et case-studie af Dannevirke Obligationen David Skovmand (AU) & Peter Løchte Jørgensen (ASB) 6. december

Læs mere

Kommentar. Pari sikkerhed med fleksibilitet. 15. februar 2008. 15. februar 2008

Kommentar. Pari sikkerhed med fleksibilitet. 15. februar 2008. 15. februar 2008 15. februar 2008 15. februar 2008 Kommentar Pari sikkerhed med fleksibilitet Pari-swappen er en konverterbar fastrenteswap, som giver låntager sikkerhed i form af en fast finansieringsrente Swappen giver

Læs mere

. Tid til rentetilpasning hvad gør du med dit FlexLån?

. Tid til rentetilpasning hvad gør du med dit FlexLån? 22.oktober 2012. Tid til rentetilpasning hvad gør du med dit FlexLån? Årets største rentetilpasningsauktion står snart for døren. Samlet set skal realkreditinstitutterne refinansiere lån for over 450 milliarder

Læs mere

LÅNTYPER Privatkunder 1. juli 2016

LÅNTYPER Privatkunder 1. juli 2016 LÅNTYPER Privatkunder 1. juli 2016 OBLIGATIONSLÅN MED FAST RENTE Kort beskrivelse Rente Løbetid Obligationslån med fast rente. Lånets rente er lig med renten på obligationerne og er fast i hele lånets

Læs mere

Korte eller lange obligationer?

Korte eller lange obligationer? Korte eller lange obligationer? Af Peter Rixen Portfolio manager peter.rixen @skandia.dk Det er et konsensuskald at reducere rentefølsomheden på obligationsbeholdningen. Det er imidlertid langt fra entydigt,

Læs mere

Flexlånere sparer fortsat penge

Flexlånere sparer fortsat penge 7. november 2011 Flexlånere sparer fortsat penge Mange kritikere af FlexLån har gennem tiden spået, at flexlånerne ville komme til at betale dyrt, hvis der opstod ubalance i det finansielle system, og

Læs mere

Lånet sikres med pant i fast ejendom, og hvis der tillige stilles krav om kaution/meddebitorer, fremgår dette af lånetilbuddet.

Lånet sikres med pant i fast ejendom, og hvis der tillige stilles krav om kaution/meddebitorer, fremgår dette af lånetilbuddet. Avedøre B/S, afd. Store Hus Vester Voldgade 17 1552 København V Dato 31. maj 2013 Vores ref. Jess Bering Hansen Ejendomsnr. 0393644 16 Beliggenhed Sadelmagerporten 2-4 m.fl. 2650 Hvidovre Standardiseret

Læs mere

Bolig: Låneanbefaling, december 2016

Bolig: Låneanbefaling, december 2016 Bolig: Låneanbefaling, december 2016 20. december 2016 Af Dorthe Petersen og Teis Knuthsen Positivt syn på global økonomi presser lange renter op Lange obligationsrenter er efter et kraftigt fald henover

Læs mere

Investerings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3

Investerings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3 18. februar 2005 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3 Seneste forelæsninger Tirsdag 15/2: Afsnit 3.2 og 3.3 indtil eksempel 5. Fredag 18/2: Resten af afsnit 3.3, afsnit

Læs mere

Information om rentetilpasningslån (RT-lån)

Information om rentetilpasningslån (RT-lån) Side 1 af 5 Information om rentetilpasningslån (RT-lån) Maj 2015 DLR Kredit tilbyder rentetilpasningslån (RT-lån) i kroner (DKK) og i euro (EUR). Bortset fra skattemæssige forhold og valutakursrisikoen

Læs mere

Konsekvensberegning vedr. ejendommen Stationsvej 5, 4760 Vordingborg m.fl.

Konsekvensberegning vedr. ejendommen Stationsvej 5, 4760 Vordingborg m.fl. a/s Klampenborgvej 205 2800 Kongens Lyngby Team Andelsbolig Telefon 45 26 69 16 E-mail: andelsboliger@brf.dk Konsekvensberegning A/B Havnehaven afd. I C/O Lea Ejendomspartner Att. Line Farnov Axeltorv

Læs mere

Boliglån med variabel rente

Boliglån med variabel rente Boliglån med variabel rente BoligXlån fra Totalkredit BoligXlån er et lån med variabel rente. Renten tilpasses med kortere eller længere mellemrum, alt afhængig af hvilket BoligXlån du vælger. BoligXlån

Læs mere

Tillæg til noter om rentestrukturteori

Tillæg til noter om rentestrukturteori Tillæg til noter om rentestrukturteori 1 Forward Renter Lidt notation, hvor i afhængigheden af kalendertid undertrykkes. R (t) Den t årige nulkuponrente (spotrente) i procent p.a. d (t) den t årige diskonteringsfaktor

Læs mere

Låneanbefaling. Bolig. Markedsføringsmateriale. 8. juni 2012. Unikke lave renter: Et katalog af muligheder

Låneanbefaling. Bolig. Markedsføringsmateriale. 8. juni 2012. Unikke lave renter: Et katalog af muligheder Låneanbefaling Bolig Markedsføringsmateriale 8. juni 2012 Unikke lave renter: Et katalog af muligheder Det kan lyde som en forslidt frase, men renterne er historisk lave og lavere end langt de fleste nogensinde

Læs mere

Ekspertforudsigelser af renter og valutakurser

Ekspertforudsigelser af renter og valutakurser 87 Ekspertforudsigelser af renter og valutakurser Jacob Stæhr Mose, Handelsafdelingen INDLEDNING OG SAMMENFATNING Det er relevant for både pengepolitiske og investeringsmæssige beslutninger at have et

Læs mere

Region Hovedstaden Kvartalsrapport januar 2014 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector

Region Hovedstaden Kvartalsrapport januar 2014 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Region Hovedstaden Kvartalsrapport januar 214 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Sammenfatning (se side 3 for en uddybning) Region Hovedstaden har en passende fordeling mellem

Læs mere

- 1 - Materialet vil med fordel kunne indgå i et tværfagligt samarbejde med samfundsfag.

- 1 - Materialet vil med fordel kunne indgå i et tværfagligt samarbejde med samfundsfag. - 1 - Låntyper I bogens del 2 kan du læse om Procent og rente (s. 41-66). Vi vil i materialet her gå lidt videre til mere komplicerede renteberegninger ved forskellige låntyper. Stoffet er et muligt supplement

Læs mere

FlexLån har sparet dig for kroner eller 11 år

FlexLån har sparet dig for kroner eller 11 år 2. november 2009 FlexLån har sparet dig for 150.000 kroner eller 11 år Så er det endnu engang ved at være tid til at mere end ½ mio. danske boligejere og virksomheder skal have en ny rente. Langt de fleste

Læs mere

Endelige vilkår til prospekt for udbud af realkreditobligationer. kapitalcenter. D, G og I af 24. maj 2012, i serie 91D

Endelige vilkår til prospekt for udbud af realkreditobligationer. kapitalcenter. D, G og I af 24. maj 2012, i serie 91D Endelige vilkår til prospekt for udbud af realkreditobligationer udstedt ud af kapitalcenter D, G og I af 24. maj 2012, i serie 91D (inkonverterbare stående obligationer i DKK) Obligationsvilkår Udsteder

Læs mere

Til Københavns Fondsbørs. 20. september 2005. Nykredit Realkredit A/S åbner tre nye obligationer

Til Københavns Fondsbørs. 20. september 2005. Nykredit Realkredit A/S åbner tre nye obligationer Til Københavns Fondsbørs Nykredit Realkredit A/S åbner tre nye obligationer 20. september 2005 Nykredit Realkredit A/S åbner pr. 21. september 2005 tre nye fondskoder til finansiering af udlån i udlandet.

Læs mere

Faaborg-Midtfyn Kommune Kvartalsrapport oktober 2014 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector

Faaborg-Midtfyn Kommune Kvartalsrapport oktober 2014 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Faaborg-Midtfyn Kommune Kvartalsrapport oktober 214 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Sammenfatning (se side 3 for en uddybning) Med de nuværende renteforventninger har Faaborg-Midtfyn

Læs mere

Skærpede krav til rådgivning om boliglån

Skærpede krav til rådgivning om boliglån Skærpede krav til rådgivning om boliglån Under folketingets forhandlinger om den nye SDO lov blev der fra mange sider udtrykt frygt for, at de traditionelle realkreditlån fremover ville blive udkonkurreret

Læs mere

Peter Ove Christensen og Bjarne Graabech Sørensen. Opgavesamling. til. Rentesregning

Peter Ove Christensen og Bjarne Graabech Sørensen. Opgavesamling. til. Rentesregning Peter Ove Christensen og Bjarne Graabech Sørensen Opgavesamling til Rentesregning Institut for Regnskab, Finansiering og Erhvervsjura Syddansk Universitet 2001 Forord Nærværende opgavesamling er udarbejdet

Læs mere

TEORI OG PRAKTISK ANVENDELSE 8. UDGAVE

TEORI OG PRAKTISK ANVENDELSE 8. UDGAVE MICHAEL CHRISTENSEN OBLIGATIONS INVESTERING TEORI OG PRAKTISK ANVENDELSE 8. UDGAVE JURIST- OG ØKONOMFORBUNDETS FORLAG Obligationsinvestering Michael Christensen Obligationsinvestering Teori og praktisk

Læs mere

F. Tidspunktet for skyldnerens påtagelse af forpligtelsen(stiftelsestidspunktet) pkt. 17-21

F. Tidspunktet for skyldnerens påtagelse af forpligtelsen(stiftelsestidspunktet) pkt. 17-21 Side 1 af 7 Meddelelse fra Skattedirektoratet nr. 327 af 13.03.1995 Emne: Mindsterentereglen Indhold: A. Indledende bemærkninger pkt. 1-4 B. Skattepligtige personer, der omfattes af reglerne pkt. 5-6 C.

Læs mere

Kort kan man sige: ydelse = rente + afdrag

Kort kan man sige: ydelse = rente + afdrag LÅN 1q Begreber i forbindelse med lån En stor del af forbruget i det danske samfund finansieres ved hjælp af lån. Mange af os låner penge når vi skal købe større forbrugsgoder, såsom biler. Lån er imidlertid

Læs mere

Hedgeforeningen HP. Danske Obligationer. HP Hedge Ultimo april 2010. Index 100 pr. 15. marts 2007

Hedgeforeningen HP. Danske Obligationer. HP Hedge Ultimo april 2010. Index 100 pr. 15. marts 2007 HP Hedge april 2010 HP Hedge gav et afkast på 1,29% i april. Det er ensbetydende med et samlet afkast for 2010 på 9,18%. Benchmark for afdelingen er CIBOR 12 + 5%, som det var målsætningen minimum at matche

Læs mere

Model-baseret Realkreditrådgivning

Model-baseret Realkreditrådgivning DDF præsentation, den 20 marts 2012 Model-baseret Realkreditrådgivning Kourosh M. Rasmussen & Claus A. Madsen kmar@fineanalytics.com cam@fineanalytics.com 1 Låneunivers Mange nye produkter siden 1996.

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 9. oktober 2012 Dias 1/19 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

LÅNTYPER Privatkunder 10. april 2015

LÅNTYPER Privatkunder 10. april 2015 LÅNTYPER Privatkunder 10. april 2015 OBLIGATIONSLÅN MED FAST RENTE Kort beskrivelse Rente Løbetid Obligationslån med fast rente. Lånets rente er lig med renten på obligationerne og er fast i hele lånets

Læs mere

Hedgeforeningen HP. Danske Obligationer. Investeringsrådgiver. HP Fondsmæglerselskab A/S Kronprinsessegade 18, 1. sal DK-1306 København K

Hedgeforeningen HP. Danske Obligationer. Investeringsrådgiver. HP Fondsmæglerselskab A/S Kronprinsessegade 18, 1. sal DK-1306 København K HP Hedge marts 2010 HP Hedge gav et afkast på 2,90% i marts måned. Det betyder, at det samlede afkast for første kvartal 2010 blev 7,79%. Afdelingen har nu eksisteret i lige over 3 år, og det er tid at

Læs mere

Frederiksberg Kommune

Frederiksberg Kommune Frederiksberg Kommune Rapportering pr. 3. maj 2016 Modtagere: Økonomiafdelingen Afsender: Bettina Hedegaard Dato: 4. maj 2016 Side 1 af 7 Gældsplejerapportering Rapporteringens formål er, at sammenholde

Læs mere

Horisontberegninger for boliglån

Horisontberegninger for boliglån 1 Horisontberegninger for boliglån Svend Jakobsen, partner, ph.d., Scanrate Financial Systems 7. juni 2013 1 Baggrund Denne rapport er udarbejdet på baggrund af et kommissorium fra Boligfinansieringsudvalget

Læs mere

Hedgeforeningen HP. Danske Obligationer. Investeringsrådgiver. HP Fondsmæglerselskab A/S Kronprinsessegade 18, 1. sal DK-1306 København K

Hedgeforeningen HP. Danske Obligationer. Investeringsrådgiver. HP Fondsmæglerselskab A/S Kronprinsessegade 18, 1. sal DK-1306 København K HP Hedge ultimo november 2011 I november opnåede afdelingen et afkast på -0,12% og har dermed givet et afkast i 2011 på 6,66 %. Benchmark er cibor+5% kilde: Egen produktion November har som sagt været

Læs mere

Mulige bachelorprojekter

Mulige bachelorprojekter Bachelorprojektformalia Selvstændigt projekt (under vejledning), der involverer litteratursøgning og -studier og rapportskrivning. Ikke (for meget) overlap med (obligatoriske) kurser. Ekstern censur &

Læs mere

Projektbeskrivelse: En analyse af danske husholdningers valg af realkreditlån og -konvertering

Projektbeskrivelse: En analyse af danske husholdningers valg af realkreditlån og -konvertering Projektbeskrivelse: En analyse af danske husholdningers valg af realkreditlån og -konvertering Baggrund for projektet: Med et samlet realkreditudlån på 2.292 mia. kr. (godt 20% mere end Danmarks BNP) ved

Læs mere

Guide: Flex eller fast - se eksperternes valg

Guide: Flex eller fast - se eksperternes valg Guide: Flex eller fast - se eksperternes valg Nu skal du have det lange lys på, når det gælder din bolig-økonomi, lyder rådet fra økonomerne Af Uffe Jørgensen og Morten Mærsk, 23. oktober 2012 03 Eksperter:

Læs mere

Hedgeforeningen HP. Danske Obligationer. Investeringsrådgiver. HP Fondsmæglerselskab A/S Kronprinsessegade 18, 1. sal DK-1306 København K

Hedgeforeningen HP. Danske Obligationer. Investeringsrådgiver. HP Fondsmæglerselskab A/S Kronprinsessegade 18, 1. sal DK-1306 København K HP Hedge maj 2010 I maj måned, den mest volatile å-t-d, gav HP Hedge et afkast på 1,40%. Samlet set betyder det indtil videre et afkast på 10,71% i år. Benchmark for afdelingen er CIBOR 12 + 5%, som det

Læs mere

Bornholms Regionskommune

Bornholms Regionskommune 25. november 2011 Bornholms Regionskommune Finansiel strategi - Rapportering pr. 25. november 2011 Ordforklaring VaR = Value at Risk risiko hvor stor er vores risiko i kroner? Her: Med 95% sandsynlighed

Læs mere

Omlægningsberegning. Ejerlejlighed nr. 1 af 633 Sundbyøster, København Lyneborggade 13-17 M.Fl., 2300 København S

Omlægningsberegning. Ejerlejlighed nr. 1 af 633 Sundbyøster, København Lyneborggade 13-17 M.Fl., 2300 København S A/B Sadolinparken 2 C/O Sven Westergaards Ejd. Adm. Store Kongensgade 24b 1264 København K Lånenr 60 DLRs reference Henrik Laursen Tlf:33420828 E-mail: hkl@dlr.dk Omlægningsberegning Beregningen vedrører

Læs mere

Faxe Kommune Kvartalsrapport oktober 2014 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector

Faxe Kommune Kvartalsrapport oktober 2014 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Faxe Kommune Kvartalsrapport oktober 214 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Sammenfatning (se side 3 for en uddybning) Faxe Kommune har en passende fordeling i porteføljen

Læs mere

1 RD Cibor6 74.656.000 30 år 3.831.723 Annuitet / 4,89 Afdragsfri 4 terminer. Forudsætning for udbetaling af lånet side 2 Vigtigt at vide

1 RD Cibor6 74.656.000 30 år 3.831.723 Annuitet / 4,89 Afdragsfri 4 terminer. Forudsætning for udbetaling af lånet side 2 Vigtigt at vide Lånetilbud 17. april 2008 Kunde Ejendom A/B Havnehaven II Stationsvej 15-95 4760 Vordingborg Matr. nr. 43 CP Ore, Vordingborg Jorder Pantnummer 2270.7905 Sagsnummer 01-04-1 Din rådgiver Lene Thøgersen,

Læs mere

Frederiksberg Kommune

Frederiksberg Kommune Frederiksberg Kommune Rapportering pr. 26. august 2016 Modtagere: Økonomiafdelingen Afsender: Ole Ellyton Dyhr Dato: 29. august 2016 Side 1 af 7 Gældsplejerapportering Rapporteringens formål er, at sammenholde

Læs mere

Notat vedr. af schweizerfranc i låneporteføljen

Notat vedr. af schweizerfranc i låneporteføljen Den 28. januar 2010 Notat vedr. af schweizerfranc i låneporteføljen Norddjurs Kommune har i øjeblikket et lån 1 i schweizerfranc 2 på ca. 87,9 mio. kr. (ekskl. evt. kurstab) ud af en samlet låneportefølje

Læs mere

Metodebeskrivelse til Tjek Boliglån

Metodebeskrivelse til Tjek Boliglån Metodebeskrivelse til Tjek Boliglån I det følgende kan du læse om, hvordan og under hvilke forudsætninger de prisoplysninger, der fremgår af Tjek Boliglån, er indsamlet og beregnet, samt hvad prisoplysningerne

Læs mere

Prisfastsættelse af danske konverterbare realkreditobligationer

Prisfastsættelse af danske konverterbare realkreditobligationer HA-Almen 6. semester Institut for Økonomi Den 1. maj 2013 Forfattere: Michael Meldgaard Andersen (413121) Nicolaj Teilmann Toustrup (301393) Vejleder: Thomas Kokholm Bachelorafhandling Prisfastsættelse

Læs mere

Rente, lån og opsparing

Rente, lån og opsparing Rente, lån og opsparing Simpel rente og sammensat rente... 107 Nogle vigtige begreber omkring lån og opsparing... 109 Serielån... 110 Annuitetslån... 111 Opsparing... 115 Rente, lån og opsparing Side 106

Læs mere

Bekendtgørelse om realkreditinstitutters obligationsudstedelse, balanceprincip, rente- og valutakursrisici

Bekendtgørelse om realkreditinstitutters obligationsudstedelse, balanceprincip, rente- og valutakursrisici Bekendtgørelse nr. 1190 af 17. december 2003 Bekendtgørelse om realkreditinstitutters obligationsudstedelse, balanceprincip, rente- og valutakursrisici I medfør af 20, stk. 2, 21, 26, stk. 4, og 39, stk.

Læs mere

Aabenraa Kommune Kvartalsrapport juli 2012 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector

Aabenraa Kommune Kvartalsrapport juli 2012 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Aabenraa Kommune Kvartalsrapport juli 212 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Sammenfatning (se side 3 for en uddybning) Portefølje er godt afdækning med god spredning på rentekurven

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 19. marts 2015 Dias 1/22 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

1997-07-07: Privat korttidsopsparing i pengeinstitutter og obligationer

1997-07-07: Privat korttidsopsparing i pengeinstitutter og obligationer 1997-07-07: Privat korttidsopsparing i pengeinstitutter og obligationer Udgivet af KonkurrenceRådet 1997 Indhold Indledning Pengeinstitutternes højrentekonti Obligationer Omkostninger ved individuel opsparing

Læs mere

Økonomi- og Erhvervsministeriet Finansministeriet. Vilkår ved exit

Økonomi- og Erhvervsministeriet Finansministeriet. Vilkår ved exit Erhvervs-, Vækst- og Eksportudvalget 2012-13 ERU alm. del, endeligt svar på spørgsmål 91 Offentligt Økonomi- og Erhvervsministeriet Finansministeriet 13. januar 2009 Vilkår ved exit Ifølge model-notat

Læs mere

RETNINGSLINJER FOR JUSTERINGER AF DEN MODIFICEREDE VARIGHED EBA/GL/2016/09 04/01/2017. Retningslinjer

RETNINGSLINJER FOR JUSTERINGER AF DEN MODIFICEREDE VARIGHED EBA/GL/2016/09 04/01/2017. Retningslinjer EBA/GL/2016/09 04/01/2017 Retningslinjer for justeringer af den modificerede varighed for gældsinstrumenter som omhandlet i artikel 340, stk. 3, andet afsnit, i forordning (EU) nr. 575/2013 1. Compliance-

Læs mere

Jutlander Bank s beskrivelse af værdipapirer

Jutlander Bank s beskrivelse af værdipapirer Jutlander Bank s beskrivelse af værdipapirer Indledning I banken kan du som udgangspunkt frit vælge, hvordan du vil investere dine penge. En begrænsning er dog f.eks. gældende lovregler om pensionsmidlernes

Læs mere

Hedgeforeningen HP. Danske Obligationer. Mar. Apr. Maj Jun. Jul. Aug. Sep. Okt. Nov. Dec. 2007

Hedgeforeningen HP. Danske Obligationer. Mar. Apr. Maj Jun. Jul. Aug. Sep. Okt. Nov. Dec. 2007 HP Hedge juli 2009 Juli måned var atter en rigtig god måned for HP Hedge, som endelig er tilbage i en kurs omkring 100. Den indre værdi er nu 100,64, og det betyder at afkastet i juli var 4,44%. Afkastet

Læs mere

Faaborg-Midtfyn Kommune Kvartalsrapport januar 2015 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector

Faaborg-Midtfyn Kommune Kvartalsrapport januar 2015 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Faaborg-Midtfyn Kommune Kvartalsrapport januar 215 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Sammenfatning (se side 3 for en uddybning) Med det store rentefald de seneste kvartaler,

Læs mere

Vordingborg B/S afd. 163 Den 29.01.2014

Vordingborg B/S afd. 163 Den 29.01.2014 Vordingborg B/S afd. 163 Den 29.01.2014 Rådhustorvet 15 Kunderådgiver NDB Ejd.nr. 604991-3 4760 Vordingborg Matr. nr. 3 a Ejerlav Lendemarke, Stege Jorder Beliggenhed Ørnebjerg Haven 1-12 Kunde Vordingborg

Læs mere

Bornholms Regionskommune

Bornholms Regionskommune 2. marts 2010 Bornholms Regionskommune Finansiel strategi - rapportering Ordforklaring VaR = Value at Risk risiko hvor stor er vores risiko i kroner? Her: Med 95% sandsynlighed det værst tænkelige udfald

Læs mere

Skat af negative renter

Skat af negative renter - 1 Skat af negative renter Af advokat (L) og advokat (H), cand. merc. (R) Skatteministeriet har udarbejdet et udkast til et lovforslag om beskatningen af det særegne fænomen negative renter. Gennem de

Læs mere

Antal lån 1 3. Hovedstol 37.556.000 DKK. Løbetid 24 år 24 år Terminer pr. år 12

Antal lån 1 3. Hovedstol 37.556.000 DKK. Løbetid 24 år 24 år Terminer pr. år 12 Ombytning af lån 9. august 2012 Kunde Ejendom DSI - Søvangsgården Søvangsvej 19-23, 2650 Hvidovre Matr.nr. 11 M Avedøre By, Avedøre Pantnummer 2121.5303 Vores kundekontakt Rasmus Thagaard Jørgensen, tlf.

Læs mere

Dragør Kommune Kvartalsrapport januar 2014 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector

Dragør Kommune Kvartalsrapport januar 2014 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Dragør Kommune Kvartalsrapport januar 214 Nordea Markets, Derivatives Marketing Corporate & Public Sector Sammenfatning (se side 3 for en uddybning) Dragør Kommune har en passende fordeling mellem fast

Læs mere

DB CAPPED FLOATER 2019

DB CAPPED FLOATER 2019 DB C A PPED F LOAT ER 2019 2 DANSKE BANK DANSKE BANK 3 DB CAPPED FLOATER 2019 Danske Bank tilbyder nu en obligation med variabel rente og en løbetid på 5 år kaldet DB Capped Floater 2019. Obligationen

Læs mere

LÆGERNES PENSIONSBANKS BASISINFORMATION OM VÆRDIPAPIRER - IKKE KOMPLEKSE PRODUKTER

LÆGERNES PENSIONSBANKS BASISINFORMATION OM VÆRDIPAPIRER - IKKE KOMPLEKSE PRODUKTER LÆGERNES PENSIONSBANKS BASISINFORMATION OM VÆRDIPAPIRER - IKKE KOMPLEKSE PRODUKTER Indledning Lægernes Pensionsbank tilbyder handel med alle børsnoterede danske aktier, investeringsbeviser og obligationer

Læs mere

Fornyet udkast til nye internationale bestemmelser om nedskrivning på udlån

Fornyet udkast til nye internationale bestemmelser om nedskrivning på udlån Fornyet udkast til nye internationale bestemmelser om nedskrivning på udlån Kontakt Jan Fedders Telefon: 3945 9101 Mobil: 2370 6574 E-mail: jfe@pwc.dk Erik Stener Jørgensen Telefon: 3945 3088 Mobil: 4089

Læs mere

Nyt lån nr. 1.1 Nuværende lån Forskel/total Låntype Kontantlån Kontantlån Hovedstol DKK DKK Afdragsform Annuitet Annuitet

Nyt lån nr. 1.1 Nuværende lån Forskel/total Låntype Kontantlån Kontantlån Hovedstol DKK DKK Afdragsform Annuitet Annuitet Oversigt over lån 23. februar 2015 Kunde A/B SANDERS ARKADE Ejendom Ringstedgade 27 B, 4700 Næstved Kontaktperson Casper Rømer Elin, tlf. 45 12 67 10 Side 1 af 6 Pantnummer 1183.2694 Finansieringseksempel

Læs mere