Foreløbig lærervejledning. Version juni 2017

Transkript

1 Foreløbig lærervejledning Version juni 2017 Kontext 9 Kapitel 1 Foreløbig lærervejledning juni 2017

2 Om Afstande og vinkler Kernebogen side 4-23 Fælles Mål Geometriske egenskaber og sammenhænge/fase 3 Måling/Fase 3 Geometriske tegning/fase 2-3 Ræsonnement og tankegang/fase 3 Eleven kan forklare sammenhænge mellem sidelængder og vinkler i retvinklede trekanter. Eleven kan bestemme afstande med beregning. Eleven kan fremstille præcise tegninger ud fra givne betingelser. Eleven kan udvikle og vurdere matematiske ræsonnementer, herunder med inddragelse af digitale værktøjer. Eleven har viden om den pythagoræiske læresætning og trigonometri knyttet til retvinklede trekanter. Eleven har viden om metoder til afstandsbestemmelse. Eleven har viden om metoder til at fremstille præcise tegninger, herunder med digitale værktøjer. Eleven har viden om enkle matematiske beviser. Beregninger i den retvinklede trekant Den pythagoræiske læresætning I dette kapitel skal der arbejdes videre med beregninger i den retvinklede trekant. Den pythagoræiske læresætning har været indgående behandlet i KonteXt+8 i kapitlet Former, linjer og punkter side og i lærervejledningen på side 39 til KonteXt+8. Vi repeterer denne viden i kapitlet for at sætte den i sammenhæng med en generel beskrivelse af beregninger af afstande og vinkler i en retvinklet trekant. Bemærk i øvrigt, at mange elever ofte bruger sætningen uden at reflektere over, hvilken side der er hypotenusen. Det er muligt at genopfriske beviset for den pythagoræiske læresætning ved at se denne lille video, som viser et kinesisk bevis for sætningen. Sinus, cosinus og tangens Sinus, cosinus og tangens omtales ofte som trigonometriske funktioner, hvor den uafhængige variabel er en vinkel og den afhængige variabel er et reelt tal. Det knyttes ofte til betragtninger i en enhedscirkel (en cirkel med radius 1), som illustrationen viser. Værdien af sinus og cosinus knyttes til et et punkt på enhedscirklen og værdien af tangens knyttes til et punkt Kontext 9 Kapitel 1 Foreløbig lærervejledning juni 2017

3 på den lodrette tangent til enhedscirklen gennem punktet (1,0). I KonteXt vælger vi en anden vej, idet vi betragter sinus, cosinus og tangens som forholdstal. Denne måde at beskrive cosinus, sinus og tangens på er ikke i modstrid med det ovenfor nævnte, og bidrager i vores optik med en forenkling af sammenhængen mellem sidelængder og vinkler i den retvinklede trekant. Konkret bliver der taget udgangspunkt i en situation, hvor en stige står på jorden op ad en væg. Illustrationen viser en retvinklet trekant, hvor vinkler og sidemål er kendt. Regneudtrykkene herunder viser sammenhængen. Sin A = a/c = 8/14,4 = 0,56 Sin(33,7 ) = 0,56 Cos A = b/c = 12/14,4 = 0,83 Cos(33,7 ) = 0,83 Tan A = 8/12 = 0,67 Tan(33,7 ) = 0,67 Sammenhængen mellem sinus, cosinus og tangens som forholdstal og den traditionelle tilgang med en enhedscirkel eller enhedstrekant kan illustreres på følgende måde: I enhedscirklen er tegnet en enhedstrekant, som er ligedannet med trekant ABC. Derfor gælder følgende forhold. c/1 = a/sin(26,6 ) som kan omskrives til sin(26,6 ) = a/c c/1 = b/cos(26,6 ) som kan omskrives til cos(26,6 ) = b/c Kontext 9 Kapitel 1 Foreløbig lærervejledning juni 2017

4 Der ligger en særlig udfordring, når eleverne skal bruge regnetekniske hjælpemidler til trigonometriske beregninger, da vinkelmål kan angives på tre forskellige måder. Normalt angiver man vinkelmål som et gradtal mellem 0 og 360. Når man bruger en lommeregner eller GeoGebra skal indstillingen være grader. På de fleste lommeregnere skal man vælge indstillingen DEG. I GeoGebra skal man i foretrukne indstillinger vælge Grader. Men mange regnetekniske hjælpemidler regner i radian, hvor størrelsen af en vinkel bliver angivet som et reelt tal mellem 0 og 2π. Dette gælder de fleste cas-værktøjer og regneark. Hvis man vil bruge den type værktøjer, er det nødvendigt at omregne et vinkelmål i grader til et vinkelmål i radian. Her er vist, hvordan man ved at indtaste en formel kan omregne gradtallet i celle A2 til et radiantal i celle B2. Den formel der bruges i celle B2 kan generelt skrives som Radian = gradtal/360 2π GeoGebra kan som ovenfor omtalt regne med grader, men her er det nødvendigt at indtaste gradtegnet i regneudtrykket. Hvis man ikke gør det regner GeoGebra automatisk i radian. Her er vist et eksempel på forskellen på de to værdier. Tegneformer De forskellige tegneformer der skal arbejdes med er udførligt omtalt i Lærevejledningen til KonteXt+7 på side 94 og 95. I dette kapitel er flere af tegneformerne en del af fremstillingen i grundbogen, men der arbejdes særligt med den tegneform, som tidligere gik under betegnelsen konstruktion, men som nu omtales som en præcis tegning. Ved fremstillingen af tegningerne kan eleverne i dette kapitel med fordel anvende traditionelle tegneredskaber som passer, lineal og vinkelmåler. I kapitlet skal eleverne derudover arbejde med store konstruktioner ved at afsætte figurer på skolens boldbane eller lignende udearealer Inde - ude - inde Arbejdet med geometri giver mulighed for at arbejde med matematiske aktiviteter uden for klasserummet. Forudsætningen for, at det giver mening, er at eleverne har arbejdet med den mere teoretiske del af stoffet inden de bevæger sig uden for klasserummet, hvor de skal arbejde med aktiviter, hvor der indgår indirekte måling af højder og afstande eller konstruktioner af store figurer. Når eleverne kommer tilbage i klassen skal der efterfølgende ske en opsamling og fællesgørelse af aktiviteten. Dette er betydningsfuldt for elevernes refleksion og bearbejdning af de aktiviteter, de har arbejdet med uden for klassen. Kontext 9 Kapitel 1 Foreløbig lærervejledning juni 2017

5 De matematiske kompetencer Som det kan læses i indledningen om de matematiske kompetencer vil de seks kompetencer fra fælles mål indgå på tværs af arbejdet med indholdet i kapitlet. Eleverne vil gennem forskellige typer af aktiviteter og udfordringer arbejde med matematisk virksomhed, som berører mange sider af de seks kompetencer. I dette kapitel vil der dog være særligt fokus på ræsonnement- og tankegangskompetencen. Matematisk kompetence Eksempel Problembehandling Udfordringen side 9 Modellering Landmåling side 21 Ræsonnement og tankegang Opgave 14 side 9 Symbol og repræsentationskomp Side 12 5

6 Kommunikation Store konstruktioner side 20 Hjælpemiddel Opgave 3 side 7 Muligt kompetencefokus I dette kapitel er der særligt fokus på ræsonnement- og tankegangskompetencen, hvor færdigheds- og vidensmål er som anført herunder Eleven kan stille og besvare matematiske spørgsmål Eleven har viden om kendetegn ved matematiske spørgsmål og svar 3. Eleven kan give og følge uformelle matematiske forklaringer Eleven har viden om enkle matematiske forklaringer I kapitlet er der særligt fokus på, at eleverne skal opdage sammenhænge mellem vinkelstørrelser og sidelængder i den retvinklede trekant. Det sker ved, at elvernes skal tage stilling til matematiske spørgsmål som, hvad sker der, hvis stigens længde bliver kortere eller længere. Når eleverne kan svare på den type spørgsmål, har de matematisk tankegangskompetence. Når eleverne skal svare på, om det er muligt at bruge den pythagoræiske læresætning til at undersøge om en trekant er spids- eller stumpvinklet, opstiller de en hypotese, som kan være første trin i et matematisk ræsonnement. 6

7 Intro Kernebog side 4-5 I kapitlet skal eleverne arbejde med afstande og vinkler i den retvinklede trekant. Dette bygger videre på viden om ensvinklede trekanter og retvinklede trekanter, som er blevet indgående behandlet i KonteXt+ 7. og 8. klasse. Om klassesamtalen Start med at tale om forskellige trekanttyper og bring gerne begrebet ligedannede/ensvinklede trekanter i spil. Viden om ligedannede trekanter er centralt for at arbejde med udfordringerne i dette kapitel. Tal med eleverne om begrebet ligedannethed. For trekanters vedkommende gælder det særlige, at to ensvinklede trekanter er ligedannede, og at to ligedannede trekanter er ensvinklede. Dette forhold gælder kun for trekanter. Overvej sammen med eleverne, hvorfor fx to rektangler, som jo er ensvinklede, ikke nødvendigvis er ligedannede. Vis evt. eleverne tegninger af flere par af ligedannede trekanter og tal særligt om, hvad der gælder vedrørende forholdet mellem ensliggende linjestykker i par af ligedannede trekanter. Kom specielt ind på deres viden om den retvinklede trekant. Lad dem gå på opdagelse i klassen hvor man ser den retvinklede trekant. Repeter evt. den pythagoræiske læresætning med dem. Se på vinkler i den retvinklede trekant, hvor der kun er to vinkler som varierer mens den tredje er konstant. Brug et bræt evt tavlelinealen som hypotenuse mod en væg til at illustrere hvordan en større vinkel A giver en større længde a. Om fotoet Antennemasten der er vist på fotoet kaldes for Hedensted eller Kragelundsenderen. Den er opstillet ved byen Kragelund i det sydvestlige Jylland og er 381 m høj. Det er muligt at hente flere oplysninger og billeder af senderen på dette link Beskriv vinklen mellem jordoverfladen og antennemasten. Vinklen mellem jordoverfladen og antennemasten er ca. 90. Hvis antennemasten ikke stod vinkelret på jordoverfladen, ville den komme til hælde og stå mindre stabilt. Kom evt. ind på fænomenet, at noget står lodret. Her kan indgå en lodsnor og et vaterpas. Man kan tjekke om ting i klasselokalet er lodrette. Hvilke typer trekanter kan I se på billedet? Lad eleverne måle vinkler og sidelængder på de trekanter man kan se på fotoet. De vil se, at jordoverfladen ikke er helt vandret, så der er tale om at barduner og antenne danner henholdsvis 7

8 stumpvinklede og spdisvinklede trekanter. Se på bardunlængder og bemærk at den yderste trekant har lidt forskel i sidelængderne mens den inderste trekant ser ud til at være ligebenet. Hvilke typer trekanter danner bardunerne, antennemasten og jordoverfladen, hvis jordoverfladen er helt vandret? Er fænomenet lodret ikke berørt, så lad det indgå her. Lad eleverne indtænke en vandret linje hvis vi går ud fra, at antennen står lodret. Der er så tale om en retvinklet trekant. Hvilke vinkler vil der så indgå ved jorden når vinklen ved antennen bevares? Hvilke trekanter og længder vil der så være tale om på disse trekanter? Hvordan kan man bestemme højden af antennemasten? Regn med at målestoksforholdet er ca. 1:2500. Lad eleverne derefter bestemme antennens cirka højde. Indgå i en dialog med klassen om, hvordan man ved at bruge pythagoras læresætning kan beregne højden af antennen, hvis man kender bardunernes længde og afstanden hen til antennen. Hvis det er muligt at måle afstanden fra antennemasten ud til en af bardunerne, kan man ved at måle vinklen mellem jordoverfladen og bardunen bestemme højden af antennemasten ved tegning i et bestemt målestoksforhold. Få eleverne til at se, at der er en sammenhæng mellem jordvinklen på en bardun, og hvor højt oppe den sidder fast på antennen. Gå ikke nærmere ind i beregninger - det kommer senere i scenariet, men skab en fornemmelse for denne sammenhæng hos eleverne. Om klasseaktiviteten Klasseaktiviteten lægger op til, at eleverne skal sortere trekanter efter både sidelængder og vinkler. Aktiviteten giver gode muligheder for, at eleverne kommunikerer med brug af det matematiske fagsprog Nogle elever har brug for støtte til deres aktivitet med at sortere trekanter. Fx er der nogle som vil sortere efter areal. En oversigt over de forskellige trekanttyper kan fx se ud som vist herunder. Spidsvinklet Retvinklet Stumpvinklet Tre forskellige sidelængder Ligebenet trekant Ligesidet trekant - - Eleverne udfordres ved at spørge til de rum, hvor de ikke har lagt trekanter. Hvordan vil en retvinklet ligesidet trekant se ud? Kan I forklare, hvorfor der ikke findes trekanter, som er ligesidede og stumpvinklede? Supplerende aktiviteter <kommer senere>

9 Stigen Kernebogen s. 6-9 Læringsmål Eleverne kan Bestemme vinkler i en retvinklet trekant Redegøre for sammenhænge mellem afstande og vinkler i en retvinklet trekant Anvende den pythagoræiske læresætning til beregning af sidelængder og afgøre om en given trekant er retvinklet. Anvende hjælpemidler hensigtsmæssigt ved tegning konstruktion og beregninger af vinkler og sidelængder. Opstille og efterprøve hypoteser. Faglige og metodiske kommentarer Scenariet bygger en forestilling om at en stige - en væg og jorden tilsammen danner en model for den retvinklede trekant. Der er gjort en del ud af at skabe en passende overgang fra virkelighed til skitse og endelig formalisering i beskrivelser af cosinus- og sinusbegrebet. Vi har yderligere symbolisreret med særlige farvevalg så væggen (den lodrette katete) er rød - Jorden (den vandrette katete) er sort og stigen (hypotenusen) er blå. Der indgår brug af bogstavsymboler for vinkler og sider. Eleverne kommer ind i repetition omkring den pythagoræiske læresætning samt kommer ind i overvejelser knyttet til forholdet mellem vinkler og afstande. GeoGebra inddrages som en støtte til denne del af erfaringsdannelsen. Flere stiger Kernebogen s Læringsmål Eleverne kan Bestemme afstande og vinkler ved brug af cosinus og sinus. Redegøre for sinus og cosinus som forholdstal i den retvinklede trekant. Bruge digitale værktøjer til at undersøge matematiske påstande. Faglige og metodiske kommentarer Vi fortsætter med at anvende stige-billedet ved at brug det til at indføre sinus som forholdet mellem længden af den modstående katete og længden af hypotenusen. Vi opfatter det som en meget grundlæggende pointe, at sinus til en vinkel beskriver et forholdstal. Det betyder bl.a., at

10 ligegyldig hvor stor fx en trekant er så er sin(30 ) = 0,5. Det udvides efterfølgende med beskrivelsen af cosinus som forholdet mellem den hosliggende katete og hypotenusen. Der indgår tablelægninger af både cosinus og sinus - så man bl.a. kan iagttage, at lommeregneren beregner sin (90 ) = 1. Det kan undre, idet det må betyde, at tæller og nævner skal være lige store i forholdstallet katete/hypotenuse. Overfører man det til stigen, kan man billedgøre det ved at lade det svare til, at stigen står helt inde til væggen - og dermed er stige og væghøjde identiske. Undersøger man sin(0 ) på lommeregner får man værdien 0 - hvilket kan svare til, at stigen ligger fladt på jorden og dermed ikke har nogen højde på væggen. Undersøger vi cosinus dukker der er system op idet cos(90 ) = 0, svarende til situationen hvor stigen er helt inde ved væggen. En hosliggende katete vil her have værdien nul idet afstanden fra væg til stige opfattes som værende 0. Værdien cos (0 ) = 1 svarende til en situaion hvor stigen ligger fladt på jorden - her er så stigens længde og og den hosliggende katete lige lange. Ved at bruge GeoGebra-filen Vinduespudserstigen er det muligt at illustrere, de sammenhænge, der er beskrevet ovenfor. Eleverne prøver både at beregne længder og vinkler ved brug af lommeregner. Vær opmærksom på at lonmmeregnere kan have forskellige notationer - dog typisk fx hvis der skal findes sin(v) = 0,36 vil man typisk kunne bregne det ved sin -1 (0,36)) 21. Bemærk at vi har valgt at simplificere sinus og cosinus til forholdstal i den retvinklede trekant. Det betyder at vi derfor begrænser os til vinkler mellem 0 og 90. En yderligere abstraktion ved at indføre sinus og cosinus som trigonometiske funktioner overlader vi til 10. klasse eller undgdomsuddannelserne. Dette mener vi er i fase med intensionerne i Fælles mål. Hangglider Kernebogen s

11 Læringsmål Eleverne kan Bestemme højder og vinkler ved brug af tangens. Redegøre for tangens som forholdstal. Bruge digitale værktøjer til at undersøge matematiske påstande I scenariet er de vandrette distancer i forhold til jordoverfladen. For at dette skal gælde kræver det, at der er vindstille. Når man svæver med en hangglider bliver de vandrette afstande målt i forhold til vinden, som kan komme fra forskellige retninger. Dette har vi valgt at se bort fra i scenariet, da det ikke er foreneligt med de matematikfaglige opdagelser, som er intentionen i scenariet. Faglige og metodiske kommentarer Tangens indføres som en højdemåling - indlejret i overvejelser omkring glidetal og glidevinkler på en hangglider - eller drageflyver. Vi har valgt det engelske udtryk idet den forening i Danmark der beskæftiger sig med det her hedder Dansk hanggliding og paragliding union Vi har som ovenfor omtalt forenklet situationen - en glidning foregår sjældent så enkel - men det kan ske. Muligheden for at deltage som 16-årig er i øvrigt en mulighed - så vidt vi er orienteret fra foreningen. Eleverne skal erfare, at længden på de to kateter i den retvinklede trekant kan beskrives som et forholdstal - forstået som den modstående katete (højden) i forhold til den hosliggende katete (her den vandrette jordafstand) og at dette forholdstal svarer til tangens til vinklen mellem hypotenusen og jordoverfladen. Udled videre at tan(v) = a/b svarer til at b * tan(v) = a. Oversat til vores scenarie så er tangens til glidevinklen ganget med den vandrette afstand lig med højden. Her vil eleverne opdage at glidetallet svarer til tangens til vinklen.

12 Fuglekasser Kernebogen s Læringsmål Eleverne kan Udføre en geometrisk konstruktion efter givne betingelser (mere komplicerede). Anvende skitse og konstruktion hensigtsmæssigt. Faglige og metodiske kommentarer Geometrisk konstruktion i en kombination mellem skitse og præcis tegning er hovefokus i dette scenarie. Vi forbinder den med autentiske materialer som konstruktionsvejledninger som eleven skal kunne følge og forholde sig til. Derfor kan der med fordel anvendes traditionelle tegneredskaber, som passer, lineal og vinkelmåler. Det er dog også muligt at bruge et geometriprogram til konstruktionen. Målene på fuglekasserne er autentiske, så aktiviteten kan bruges i et projekt, hvor klassen eller en gruppe af elever bygger rigtige fuglekasser.

13 Aktiviteter Læringsmål Bestemme afstande og vinkler ved brug af ligedannethed. Højdemåling Side 18 Materialer: Målebånd, Pind der kan stikke en 1 m op af jorden Skyggemåling Metoden som anvendes blev anvendt helt tilbage i det gamle Gærkenland, hvor man udnyttede viden om ligedannede trekanter. Solens stråler kan opfattes om parallelle linjer, så den retvinklede trekant, der dannes med skygge og pind, er ligedannet med den trekant, som dannes med skygge og flagstang. Måler man længden af de to skygger kan man således regne sig til flagstandens højde. Vær opmærksom på at eleverne forstår at pinden skal være i lod - med bring evt. snor med lod til at kontrollere dette. Det kan være vanskeligt at sætte pinde i jorden så de står ordentlig fast. Det kræver en hammer af en art - og en lille klods til at sætte mellem hammer og pind. De valgte pinde skal således ikke være for tynde og skrøbelige. Man kan bl.a. i byggemarkeder købe aluminiumsstænger med en diameter på 6 mm som er 6 meter lange som er anvendelige. Det er også muligt at bruge hegnspæle. Skyggemåling er en en primitiv, men ret præcis metode til højdemåling. Vinkelmåling Eleverne bruger her en vinkelmåler sopm er hensigtsmæssig. En teodolit er en mulighed hvis man har en sådan. Et klinometer er meget enkelt måleinstrument som kan anbefales. De simple vinkelmålere af to pinde kan også bruges men er mere besværlige. Man kan anvende formlen vandret afstand til træ * tan(v) = højde Bemærk, at den højde man måler vinklen i skal lægges til når den samlede højde bestemmes. Man kan også anvende forskellige andre metoder som Eksempler på metoder kommer senere. Det er betydningsfuldt at eleverne opdager, at højdemåling, hvor der måles vinkler ofte er ret upræcise. En måleusikkerhed på 1 grad giver store forskelle på resultatet, hvis de målte vinkler er over 45.

14 Afstande som ikke direkte kan måles Side 19 Materialer: Målebånd, vinkelmåler og pinde. Eleverne vil her gå på opdagelse i anvendeligheden af ligedannethedsbegrebet. De skal forestille sig en situation hvor man ønsker at beregne afstande som ikke uden videre kan måles. Mere herom senere Store konstruktioner Side 20 Materialer: Hjælpeark med konstruktionsopgaver. Mere herom senere Landmåling Side 21 Materialer: Mere herom senere

15 Eftertanken Side 29 Som afsluttende evaluering på kapitlet kan der anvendes: De to kompetenceorienterede opgaver på Eftertankesiden. Se senere. Et EVA-ark, som er en test, der undersøger elevernes målopfyldelse inden for kapitlets stofområde. Se hjemmesiden. Evalueringsarket består af to sider. o Første side er færdighedsregning med udvalgte opgaver, som kan afsløre elevernes misopfattelser. o Anden side er problemregning, som er mere kontekstorienterede, og hvor der skal udvises en større problemløsningsadfærd. Vis og forklar Mere herom senere Afstandsmåling i universet Mere herom senere