Praktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
|
|
- Randi Hedegaard
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt 2 er på gade (Absalo) u. Tre dele: Del 1: Sadsylighedsregig. Ka laves u. Del 2: Simulatio. Ka laves u. Del 3: Dataaalyse. Spørgsmål 8 10 ka laves efter madag. Reste ka laves efter tirsdag/fredag. Bemærk: Hjælp! Vik til R mm. sidst i opgave. Me prøv selv først! Ret mage me små spørgsmål i del 3. Øvelsere madag og tirsdag i æste uge delvis sat af til projektarbejde. Sørg for at få startet u! Afleveres seest 11. jauar. Spørgetime de 8. jauar SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 1 / 21 SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 2 / 21 I dag I tirsdags Data: y = (y 1,...,y ) Først mere om aalyse af stikprøve med kedt varias: Repetitio fra tirsdag, icl. eksempel om læseprøver Mere om kofidesiterval, test af hypotese og deres sammehæg Derefter aalyse af stikprøve med ukedt varias: Hvad skal vi ædre år variase er ukedt i stedet for kedt? Maksimum likelihood estimatio Kofidesiterval for middelværdi Test for hypotese om middelværdi. I dag mest ituitio, bevis udskydes til på madag. Statistisk model: y = (y 1,...,y ) udfald af Y = (Y 1,...,Y ), hvor Y 1,...,Y er uafhægige Alle Y i N(,σ0 2) hvor σ 0 2 > 0 er et kedt tal mes R er ukedt. Estimatio: Estimat ˆ = ȳ. Estimator ˆ = Ȳ N(,σ 2 0 ). 95% kofidesiterval for : Ȳ ± 1.96 σ 0 Likelihood ratio test for hypotese H : = 0 : Udføres på u = ȳ 0 σ 0 /. p-værdi ε(y) = 2P(U u ) hvor U N(0,1). Afviser H hvis ε(y) 0.05, ellers ikke. SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 3 / 21 SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 4 / 21
2 Eksempel: atioal læsetest På ladspla: resultatere fra teste er N(100, 144)-fordelt. Bestemt skole: 55 elever testet, geemsitsscore på 97 poit. Påviser dette at skoles elever er dårligere ed ladsgeemsittet? Statistisk model: y 1,...,y 55 er realisatioer af Y 1,...,Y 55 Y 1,...,Y 55 uafh. og N(,σ 2 0 ) hvor R er ukedt og σ 2 0 = 144. Estimat og estimator for : ˆ = ȳ = 97, Ȳ N(,σ 2 0 /55). 95% kofidesiterval: 97 ± = 97 ± 3.2 = (93.8,100.2) Hypotese, H : = 100. Teststørrelse og p-værdi: u = / 55 = 1.85, ε(y) = 2 (1 Φ(1.85) ) = Middelværdie ikke sigifikat forskellig fra 100, me data er dog svagt usædvalige hvis skoles elever læser lige så godt som ladsgeemsittet. Mere om kofidesitervallet Husk: At Ȳ ± 1.96 σ 0 er et 95% KI for betyder: Hvis de sade middelværdi er 0 : ( P Ȳ 1.96 σ 0 < < Ȳ σ ) 0 = % ssh. for at få data y med KI som ideholder 0 5% ssh. for at få data y med KI som ikke ideholder 0 Getagelser af dataidsamlige: 0 KI for 95% af alle mulige datasæt. Hvad sker der med kofidesitervallet hvis... atallet af observatioer vokser? σ 2 0 vokser? vi øsker e ade kofidesgrad, 1 α i stedet for 0.95? SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 5 / 21 SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 6 / 21 Kofidesiterval Mere om hypotesetest Data simuleret fra N(0,σ 2 0 ). Hypotese, H : = 0 for give værdi 0. 95%, =10, σ 0 2 =1 95%, =40, σ 0 2 =1 95%, =10, σ 0 2 =2 75%, =10, σ 0 2 =1 Restriktio af modelle. Uder hypotese er Y i ( 0,σ 2 0 ). Kvotietteststørrelse og p-værdi: Lad u = ȳ 0 σ 0 /. Så er Q(y) = L ( y ( 0 ) L y (ˆ) = exp 1 ) 2σ0 2 (ȳ 0 ) 2 = exp ( 12 ) u2 ε(y) = P ( Q(Y ) Q(y) ) = P(U 2 u 2 ) = 2P(U u ), U N(0,1) Bemærk: Q(y) er e aftagede fuktio af u 2. Sigifikasiveau α fastlægges på forhåd: Afviser/forkaster hypotese hvis ε(y) α, ellers ikke Bruger ofte α = 0.05 me itet religiøst i det. SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 7 / 21 SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 8 / 21
3 Fortolkig af Q og p Type I og type II fejl Kvotietteststørrelse måler hvor meget dårligere hypotese = 0 passer til data ed de opridelige model hvor tillades at variere i R. p-værdi: ssh. for hvis hypotese er sad at få data der passer midst lige så dårligt med hypotese som de data vi fik, målt vha. Q. ε(y) lille vores data (eller ogle værre) er usædvalige. Hypotese er derfor formetlig falsk. ε(y) stor vores data (eller ogle værre) er ikke usædvalige. Me det betyder ikke ødvedigvis at hypotese er sad. Vi ka påvise modstrid med hypotese, me ikke decideret eftervise at hypotese er sad. Fire scearier: H sad H falsk Afviser ikke OK type II Afviser type I OK Hvis vi bruger sigifikasiveau α = 0.05, så laver vi type I fejl med 5% sadsylighed! Vi ka ædre på sadsylighede for type I og type II fejl ved at ædre på sigifikasiveauet. Hvis vi gør sigifikasiveauet α midre: Sværere at forkaste e hypotese Færre type I fejl, me flere type II fejl. Trade-off. SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 9 / 21 SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 10 / 21 Sammehæg mellem kofidesiterval og test Eksempel: prothrombiideks Har til dels brugt samme sprogbrug da vi sakkede om kofidesiterval og hypotesetest. Ikke tilfældigt... Sætig 3.10: Kofidesitervallet C 1 α = ȳ ± z 1 α/2 σ 0 med kofidesgrad 1 α består af etop de værdier 0 hvor hypotese H : = 0 ikke ka afvises på sigifikasiveau α. Bevis: Atag at 0 C 1 α Hvad betyder det for u? For ε(y)? For koklusioe på testet? De ade vej. Prothrombiideks: markør for leversvigt (lave værdier leversvigt). Eksperimet: 40 patieter med leverproblemer Prothrombiideks målt for hver patiet både før og efter behadlig. y i : forskel for patiet i (efter før). Positiv værdi af y i betyder at behadlige har været gavlig. Atagelser: y = (y 1,...,y 40 ) udfald af Y = (Y 1,...,Y 40 ) Y 1,...,Y 40 uafhægige. Alle Y i N(,σ 2 ). Iteresseret i forvetet effekt af behadlige for e tilfældig patiet. Har ige aelse om hvor stor variase er! Dvs. ige aelse om σ 2! SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 11 / 21 SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 12 / 21
4 Stikprøve med ukedt middelværdi og varias Data: y = (y 1,...,y ). Keder ikke variase på observatioere. Statistisk model: y = (y 1,...,y ) udfald af Y = (Y 1,...,Y ). Y 1,...,Y er uafhægige Alle Y i N(,σ 2 ) hvor R og σ 2 begge er ukedte parametre. Vi har altså e to-dimesioal parameter og e parametermægde Θ R 2 : (,σ 2 ) Θ = R (0, ) Hvad vil vi? Fide ML estimatet for (,σ 2 ) og estimatores fordelig. Lave kofidesiterval for. Teste hypotese H : = 0 for e give værdi 0. Maksimum likelihood estimatio Likelihoodfuktio L y : R (0, ) R L y (,σ 2 1 ) = (2πσ 2 ) /2 exp ( 1 2σ 2 (y i ) 2 ) Fid værdi af (,σ 2 ) der gør L y (,σ 2 ) størst mulig, dvs. fid (ˆ, ˆσ 2 ) så L y (ˆ, ˆσ 2 ) L y (,σ 2 ), (,σ 2 ) R (0, ). Sætig 4.3: ML estimatet er etydigt bestemt og givet ved ˆ = ȳ = 1 i, ˆσ y 2 = 1 Bevis: Lidt for sjusket i otere. I stedet: Hold σ 2 fast, og maksimaliser l y (,σ 2 ). (y i ȳ) 2. Afhæger maksimumpuktet af σ 2? Hvad er koklusioe vedr. ˆ? Maksimaliser σ 2 l y (ˆ,σ 2 ). SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 13 / 21 SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 14 / 21 Fordelig af estimatorer Kofidesiterval for : ituitio Estimatorer: ˆ = Ȳ, ˆσ 2 = 1 (Y i Ȳ )2 = 1 SSD Det følger direkte af MS sætig at Ȳ og ˆσ 2 er uafhægige, og at deres margiale fordeliger er givet ved Ȳ N(,σ 2 /), ˆ = Ȳ er e cetral estimator for. ˆσ 2 e ikke cetral estimator for σ 2. Hvorfor? ˆσ 2 = SSD σ 2 χ 2 1. Hvorda ka vi defiere e cetral estimator σ 2? Geked resultatet fra det svære spørgsmål i projekt 1... Husk kofidesitervallet for i tilfældet med kedt varias: Ȳ ± z 1 α/2 σ 0 Hvorda skal dette repareres til år variase ikke er kedt? Erstat kedt spredig σ 0 med estimeret spredig σ hvor σ 2 = 1 1 SSD Erstat N(0,1)-fraktil med et større tal skal tage højde for de ekstra usikkerhed i modelle. SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 15 / 21 SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 16 / 21
5 Kofidesiterval for : tekik Eksempel: prothrombiideks Hvorda var det vi fadt kofidesitervallet for kedt varias? Brugte at ( Ȳ ) U = = Ȳ σ 0 σ 0 / N(0,1) Reparatio: Hvad sker der hvis vi erstatter σ 0 med σ = SSD/( 1)? ( Ȳ ) ( Ȳ ) T = =? σ SSD/( 1) Sætig α kofidesiterval for : Ȳ ± t 1,1 α/2 σ Bevis: P(Ȳ t 1,1 α/2 σ < T < Ȳ + t 1,1 α/2 σ ) = NB: t-fraktil t 1,1 α/2 er større ed N-fraktil, z 1 α/2 så ituitioe passer. For prothrombidata får vi estimatere s 2 = 1 1 ˆ = ȳ = (y i ȳ) 2 = = 394.8, s = Bemærk otatioe s 2 for de observerede værdi af σ 2. Estimatorere ˆ = Ȳ og σ 2 = SSD/39 er uafhægige, Ȳ N(,σ2 /) og 39 σ 2 σ 2 χ % kofidesiterval: ± = ± 6.35 = (10.20,22.90) Nul ligger ikke i kofidesitervallet. Hvorfor er det iteressat? SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 17 / 21 SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 18 / 21 Test af hypotese: ituitio Eksempel: prothrombiideks Hypotese, H : = 0 for e give værdi 0 R. Med kedt varias kue kvotiettestet udføres på u = ȳ 0 σ 0 /, U = Ȳ 0 σ 0 / N(0,1) Hvis vi erstatter σ 0 med estimat s hhv. estimator σ: p-værdi: t = ȳ 0 s/, T = Ȳ 0 σ/ t 1 ε(y) = P(T 2 t 2 ) = 2P(T t ), T t 1 Vigtigt: Det er faktisk likelihood ratio testet der udføres på dee måde! Det viser vi på madag. Husk at y ere er forskelle mellem måliger før og efter e behadlig. Middelværdi ul svarer til at der ikke er oge effekt af behadlige. Iteresseret i at teste om dette er tilfældet: H : = 0. Teststørrelse og p-værdi ȳ t = = = 5.27 s ε(y) = 2P(T 5.27) < , T t 39 Stærk evides mod hypotese som afvises. Koklusio: Det er påvist at behadlige har e effekt. Stigige i prothrombiidekset er estimeret til 16.55, med kofidesiterval (10.2, 22.90). SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 19 / 21 SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 20 / 21
6 Resume Hvad skal I kue efter i dag? Opskrive statistisk model for e ekelt stikprøve. Opskrive estimater for modelles parametre samt agive estimatorers fordelig (og estimeret fordelig). Berege kofidesiterval for middelværdie, og fortolke det. Opstille relevate hypoteser samt teste dem, icl. fortolkig. Agive koklusioer på baggrud af aalyse. Hvad magler vi? Nogle beviser ifm. likelihood ratio testet Kotrollere om modelle er rimelig R SaSt (Uge 5, fredag) E stikprøve 21 / 21
Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs mere24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs mereStatistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion
Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mere13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )
3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs mere9. Binomialfordelingen
9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige
Læs mere30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed
Læs mereSpørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.
STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse
Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere 0.27. Det aslås
Læs mereSimpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Læs mereIntroduktion til Statistik
Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100
Læs mereStatistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
Læs mereGenerelle lineære modeller
Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1
Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab
Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af
Læs mereStikprøvefordelinger og konfidensintervaller
Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik
Læs mereAsymptotisk optimalitet af MLE
Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for
Læs mereUge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003
Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema
Læs mereProgram. Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve I SAS. Øvelse: effekt af diæter
Program Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Øvelse: effekt af diæter. Repetition fra sidst... Parrede og ikke-parrede
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs mereOversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger
Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereMikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007
Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereHovedpointer fra SaSt
Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio
Læs mereKonfidens intervaller
Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af
Læs mereSammenligning af to grupper
Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs mereTests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:
Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i
Læs mereModul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse
Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................
Læs mereProgram. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Læs mereOpsamling. Lidt om det hele..!
Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT Sætig 4.4 og kapitel 6 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae 8. udervisigsuge 1 E hypotese af forme H 0 : θ =
Læs mereSammensatte hypoteser i en polynomialfordeling
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT Sætig 44 og kapitel 6 E hypotese af forme H 0 : θ θ 0 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@mathkudk http://mathkudk/ susae hvor der ikke idgår ukedte
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple
Læs mereProjekt 9.10 St. Petersborg paradokset
Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i
Læs mereDiskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Læs mereEstimation og test i normalfordelingen
af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereKvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Læs mereStatistiske Modeller 1: Notat 1
Statistiske Modeller : Notat Jes Ledet Jese 9. august 005 Idhold Kast med k-sidet terig Betigig i multiomialfordelig 3 3 Fordelig af X + X - frembrigede fuktio 4 4 Maksimerig af log-likelihood 5 5 Afledede
Læs mereGamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)
Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereAsymptotisk estimationsteori
Kapitel 5 Asymptotisk estimatiosteori De fleste eksperimeter har e idbygget størrelse, som regel kaldet eller N. Dette repræseterer typisk atallet af foretage måliger, atallet af udersøgte idivider, atallet
Læs mereProjekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning
Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler
Læs mereLys og gitterligningen
Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar
Læs mereIndholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable
Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4
Læs mereMorten Frydenberg version dato:
Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereIMFUFA TEKST NR TEKSTER fra ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER. Jørgen Larsen
TEKST NR 435 2004 Basisstatistik 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereVi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser
Uge 37 I Teoretsk Statstk, 9.sept. 003. Fordelger kyttet tl N-ford. Gvet: uafhægge observatoer af samme N(µ,σ )-fordelte stokastske varabel. Formelt: X,X,,X uafhægge, alle N(µ,σ )-fordelt. Mddelværd µ
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a
Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereTest i polynomialfordelingen
Statisti og Sadsylighedsregig STAT apitel 4.4 Test i polyomialfordelige Lad X (X,..., X ) Poly (, p). Observatio: (,..., ) der agiver atal udfald, 2,..., Susae Ditlevse Istitut for Matematise Fag Email:
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs mereTeoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik
Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereNogle Asymptotiske Resultater. Jens Ledet Jensen Matematisk Institut, Aarhus Universitet. 1 Indledning 1
Nogle Asymptotiske Resultater Jes Ledet Jese Matematisk Istitut, Aarhus Uiversitet Idhold Idhold i Idledig 2 Resultater i et geerelt set-up 7 2. Eksistes af et kosistet estimat............... 7 2.2 Asymptotisk
Læs mereKapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL
Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereSTATISTIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
STATISTIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Jui 209 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse INDLEDNING...3 DESKRIPTIV STATISTIK...4 Skemaer...5 Diagrammer...8 Statistiske deskriptorer... 0 Typetal
Læs merePraktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser
Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag
Læs mereHypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mereOversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme
Itroduktio til Statistik Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009 Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig
Læs mereSpørgsmål 1 (5 %) Bestem sandsynligheden for at batteriet kan anvendes i mere end 5 timer.
TATITIK krftlg evaluerg, 3. semester, fredag de 4. jauar 3 kl. 9.-3.. Alle hjælpemdler er tlladt. Opgaveløsge forsyes med av og CR-r. OGAVE Et batter har e levetd tmer med de tlkyttede tæthedsfukto f (
Læs mereProgram. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger
Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig
Læs mereSkitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra
E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til
Læs mereLængde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.
Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske
Læs mereSandsynlighedsregning i biologi
Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.
Læs mereSTATISTISKE GRUNDBEGREBER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER 18 15 1 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7,1 7,3 7,5 7,7 7,9 ph 13 udgave 013 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig fremstillig af de statistiske
Læs mere(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)
(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler ide for deskriptiv statistik... 12 Normalfordeligskurver...
Læs mereStatistiske principper
Statistiske principper 1) Likelihood princippet - Maximum likelihood estimater - Likelihood ratio tests - Deviance 2) Modelbegrebet - Modelkontrol 3) Sufficient datareduktion 4) Likelihood inferens i praksis
Læs mereProgram. t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier. Hormonkonc.: statistisk model og konfidensinterval. Hormonkoncentration: data
Faculty of Life Sciences Program t-test Hypoteser, teststørrelser og p-værdier Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Resumé og hængepartier fra sidst. Eksempel: effekt af foder på hormonkoncentration
Læs mereEksempel 10.1 En autoregressiv proces af orden 1 (ofte blot kaldet en AR(1)- proces) pårhar et opdateringsskema (10.1) med funktionen. for y R.
Kapitel 0 Markovkæder Vi vil i det følgede studere processer Y 0, Y, Y 2,... med værdier irgivet på forme Y = f (Y +ǫ for =, 2,... (0. Her erǫ,ǫ 2,... e følge af iid støjvariable med middelværdi 0, alle
Læs mereElementær Matematik. Polynomier
Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere
Læs mereTEKST NR 435 2004. TEKSTER fra IMFUFA
TEKST NR 435 2004 Basisstatisti 2. udgave Jørge Larse August 2006 TEKSTER fra IMFUFA INSTITUT ROSKILDE UNIVERSITETSCENTER FOR STUDIET AF MATEMATIK OG FYSIK SAMT DERES FUNKTIONER I UNDERVISNING, FORSKNING
Læs mere