Hvad skal vi lave i dag?

Transkript

1 p. 1/15 Hvad skal vi lave i dag? Definition af sandsynlighedsrum. Egenskaber ved Sandsynlighedsmål. (Kap. 3). Fødselsdagsproblemet (supplerende eksempel 3.1). Betingede sandsynligheder og uafhængighed af to hændelser. Uafhængighed af tre hændelser. Uafhængighed af flere hændelser.

2 p. 2/15 Definition af ssrum Et sandsynlighedsrum (E, F,P) består af Udfaldsrummet E, der er mængden af udfald e. F, der er en σ-algebra, og omfatter de delmængder af E, der kan tillægges en sandsynlighed. mængderne i F kaldes hændelser. Enhver i praksis forekommende delmængde af E tilhører F (det vil sige kan tillægges en sandsynlighed). Sandsynlighedsmålet P.

3 p. 3/15 Egenskaber ved P Per definition af P har vi P( n=1 A n) = n=1 P(A n) når A 1,A 2,... er disjunkte. P(E) = 1. Heraf følger (Remark 2.2) P( ) = 0; P( i n=1 A n) = i n=1 P(A n) for disjunkte hændelser.

4 p. 3/15 Egenskaber ved P Per definition af P har vi P( n=1 A n) = n=1 P(A n) når A 1,A 2,... er disjunkte. P(E) = 1. Heraf følger (Remark 2.2) P( ) = 0; P( i n=1 A n) = i n=1 P(A n) for disjunkte hændelser. Bemærk at P(A) = 0 ikke medfører A = : Hvis vi udtrækker et tal mellem a og b (Example 2.5) så er P({x}) = 0 for ethvert x [a,b].

5 p. 4/15 Egenskaber ved P Theorem 3.1 i IPT. Lad P være et ssmål, og A,B være hændelser. Da gælder P(A\B) = P(A) P(B) hvis A B, (3.3) P(A C ) = 1 P(A) (3.4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). (3.5) Yderligere er P voksende : A B P(A) P(B) (3.6) (Bevises på tavlen).

6 p. 5/15 Fødselsdagsproblemet Supp. eksempel 3.1 Betragt k tilfældigt udvalgte personer (2 k 365). Hvad er sandsynligheden for at mindst to af disse personer fejrer fødselsdag på samme dag?

7 p. 5/15 Fødselsdagsproblemet Supp. eksempel 3.1 Betragt k tilfældigt udvalgte personer (2 k 365). Hvad er sandsynligheden for at mindst to af disse personer fejrer fødselsdag på samme dag? Vi observerer e = (f 1,...,f k ), hvor f j angiver fødseldagen for den jte person for j = 1,...,k. Det vil sige E er E = {e = (f 1,...,f k ) 1 f j 365} (Angiver fødseldagen som et tal mellem 1 og 365).

8 p. 6/15 Fødselsdagsproblemet Supp. eksempel 3.1 Der er 365 k elementer i E. Betragt det uniforme sandsynlighedsmål på E. Lad A være hændelsen mindst to personer fejrer fødselsdag på samme dag, og B = A C.

9 p. 6/15 Fødselsdagsproblemet Supp. eksempel 3.1 Der er 365 k elementer i E. Betragt det uniforme sandsynlighedsmål på E. Lad A være hændelsen mindst to personer fejrer fødselsdag på samme dag, og B = A C. Det vil sige B = {e = (f 1,...,f k ) f 1,...,f k er forskellige }. Vi ønsker at finde P(A) og finder først P(B).

10 p. 7/15 Fødselsdagsproblemet Supp. eksempel 3.1 Et optællingsargument (Jan forklarer nærmere) viser, at så ifølge (3.4) er P(B) = (365 k + 1) 365 k, P(A) = 1 P(B) = (365 k + 1) 365 k

11 p. 7/15 Fødselsdagsproblemet Supp. eksempel 3.1 Et optællingsargument (Jan forklarer nærmere) viser, at så ifølge (3.4) er P(B) = (365 k + 1) 365 k, P(A) = 1 P(B) = (365 k + 1) 365 k Hvis blot k er større end 22, så er sandsynligheden for A større end 50%.

12 p. 8/15 Betingede sandsynligheder Antag P(B) > 0. Da defineres den betingede sandsynlighed af A givet B som P(A B) = P(A B) P(B).

13 p. 8/15 Betingede sandsynligheder Antag P(B) > 0. Da defineres den betingede sandsynlighed af A givet B som P(A B) = P(A B) P(B). Bemærk at sandsynligheden for at A indtræffer ikke afhænger af om B er indtruffet eller ej, hvis P(A) = P(A B). Denne betingelse er opfyldt hvis og kun hvis P(A B) = P(A)P(B).

14 p. 9/15 Uafhængighed af to hændelser Således motiveret siger vi, at to hændelser A og B er uafhængige hvis der gælder P(A B) = P(A)P(B). (Her kræves ikke P(A) > 0 eller P(B) > 0).

15 p. 10/15 Uafhængighed af to hændelser Example 4.3 Antag at en rød og hvid terning kastes og at vi betragter det uniforme sandsynlighedsmål. Intuitivt klart (?): Hændelser vedr. den røde terning er uafhængige af hændelser vedr. den hvide terning. Vi præciserer dette.

16 p. 11/15 Uafhængighed af to hændelser Example 4.3 Vi har E = {(r,w) r,w = 1,...,6} Lad {R = r} = {(r, 1), (r, 2), (r, 3), (r, 4), (r, 5), (r, 6)} {W = w} = {(1,w), (2,w), (3,w), (4,w), (5,w), (6,w)} være hændelserne r røde øjne og w hvide øjne (r,w = 1,...6). Bemærk at {R = r} {W = w} = {(r,w)}.

17 p. 12/15 Uafhængighed af to hændelser Vi ser heraf at P({R = r} {W = w}) = 1 36 = P({R = r})p({w = w}) Derfor er {R = r} og {W = w} uafhængige.

18 p. 12/15 Uafhængighed af to hændelser Vi ser heraf at P({R = r} {W = w}) = 1 36 = P({R = r})p({w = w}) Derfor er {R = r} og {W = w} uafhængige. Illustration af {R = r} og {W = w} for r = 1 og w = 2. (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

19 p. 13/15 Uafhængighed af to hændelser I andre situationer kan det være vanskeligere at fortolke uafhængighed: (Supplerende Eksempel 4.3)

20 p. 13/15 Uafhængighed af to hændelser I andre situationer kan det være vanskeligere at fortolke uafhængighed: (Supplerende Eksempel 4.3) En ærlig mønt kastes n gange. (Ialt 2 n udfald). A er hændelsen alle kast giver plat eller alle kast giver krone. C er hændelsen højst en plat. Er A og C uafhængige?

21 p. 13/15 Uafhængighed af to hændelser I andre situationer kan det være vanskeligere at fortolke uafhængighed: (Supplerende Eksempel 4.3) En ærlig mønt kastes n gange. (Ialt 2 n udfald). A er hændelsen alle kast giver plat eller alle kast giver krone. C er hændelsen højst en plat. Er A og C uafhængige? A og C er uafhængige hvis og kun hvis n = 3.

22 p. 14/15 Uafhængighed af tre hændelser Supp. bem. 4.1 Lad os betragte tre hændelser A 1,A 2,A 3.

23 p. 14/15 Uafhængighed af tre hændelser Supp. bem. 4.1 Lad os betragte tre hændelser A 1,A 2,A 3. Disse hændelser siges at uafhængige, hvis P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) P(A 1 A 3 ) = P(A 1 )P(A 3 ) P(A 2 A 3 ) = P(A 2 )P(A 3 )

24 p. 14/15 Uafhængighed af tre hændelser Supp. bem. 4.1 Lad os betragte tre hændelser A 1,A 2,A 3. Disse hændelser siges at uafhængige, hvis P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 ) P(A 1 A 3 ) = P(A 1 )P(A 3 ) P(A 2 A 3 ) = P(A 2 )P(A 3 ) og P(A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A 3 ) Man skal checke alle fire ligninger.

25 p. 15/15 Uafhængighed af flere hændelser Definition 4.2 (IPT) Lad A 1,...,A n være hændelser. Vi siger, at A 1,...,A n er uafhængige, hvis ligningen P(A i1 A ij ) = P(A i1 ) P(A ij ) er opfyldt for ethvert j = 2,...,n og enhver delmængde {i 1,...,i j } af {1,...,n}.

26 p. 15/15 Uafhængighed af flere hændelser Definition 4.2 (IPT) Lad A 1,...,A n være hændelser. Vi siger, at A 1,...,A n er uafhængige, hvis ligningen P(A i1 A ij ) = P(A i1 ) P(A ij ) er opfyldt for ethvert j = 2,...,n og enhver delmængde {i 1,...,i j } af {1,...,n}. Altså: enhver fællesmængde splitter op i et produkt. Theorem 4.4 og Remark 4.5 giver nyttige regneregler for uafhængighed. (Kommer til øvelserne).