Landmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8

Transkript

1 Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj /13

2 Fordeling af slutfejl Betragt en situation hvor vi ved at summen af vores observationer skal være lig en kendt værdi x 0. Dette kunne eksempelvis være: x 0 = 200 gon, hvor vores målinger er vinkler i en trekant. x 0 = 0 mm, hvor vi nivellerer i et lukket net, dvs. slut- og startpunkt er det samme. x 0 = H 2 H 1, hvor målinger er for at bestemme kote til et punkt (eksempel fra sidste gang).... I dag viser vi generelt hvorledes slutfejlen r fordeles. 2/13

3 Model Vi har X 1,..., X n uafhængige stokastiske variable. Der gælder at E(X i ) = µ i for alle i = 1,...,n. Målingerne er ikke nødvendigvis af samme nøjagtighed, dvs V(X i ) = σ 2 i. Vi bruger derfor vægtrelationen så vægtene p i opfylder σ 2 0 = p 1σ 2 1 = p 2σ 2 2 = = p nσ 2 n. Det betyder således at σ 2 i = σ2 0 p i for alle i = 1,...,n. Fra vores viden om forsøget ved vi at middelværdierne skal summere sammen til x 0, µ 1 + µ µ n = x 0. Fx. skal vinklerne i en trekant α + β + γ = 200 gon. 3/13

4 Slutfejlen r Vi observerer x 1,..., x n ved opmåling (fx. vinkler eller højde forskelle). Der skal ligeledes gælde at disse værdier summere sammen til x 0. Pga målefejl er dette ikke muligt - derfor indføres slutfejlen r: x 1 + x x n + r = x 0. Fx. skal vores målinger af vinklerne i en trekant opfylde de tilsammen giver 200 gon. Hvis vi har observeret x 1 x 2 x 3 Sum 70 gon 90 gon 43 gon 203 gon Kan vi bestemme r til at være r = x 0 (x 1 + x 2 + x 3 ) = = 3 gon. 4/13

5 Estimat af µ i Til at estimere µ i kan vi bruge den direkte observation x i samt den indirekte observation x 0 (x 1 + x i 1 + x i+1 + x n ) = x i + r. Vi kan bestemme variansen af de to bidrag til vores estimat: V(X i ) = σ 2 i V(x 0 (X X i 1 + X i X n )) = σ 2 + σ2 i, hvor σ 2 + = σ σ2 n. 5/13

6 Vægte Vægtrelationen skal være opfyldt: p 1 σ 2 i = p 2 (σ 2 + σ 2 i ) Vi vælger p 1 = σ2 + σ 2 i Det betyder at = p 1 + p 2 er givet ved og p 2 = σ2 + σ 2 + σ 2 i = σ2 + σ 2 i + σ2 + σ 2 + σ 2 i = σ2 +(σ 2 + σ 2 i ) σ 2 i (σ2 + σ 2 i ) + σ 2 +σ 2 i ) σ 2 i (σ2 + σ 2 i ) = (σ 2 +) 2 σ 2 i (σ2 + σ 2 i ). 6/13

7 Estimat af µ i - fortsat Til at estimere µ i anvendes det vægtede gennemsnit x i. På forrige slide bestemte vi vægtene p 1 og p 2 til observationerne x i og x i + r, x i = p 1 x i + p 2 (x i + r) = p 1 + p 2 x i + p 2 r = x i + p 2 r. Vi kigger nu nærmere på p2, p 2 = σ 2 + σ+ 2 σ2 i = (σ+ 2 )2 σi 2(σ2 + σ2 i ) σ 2 + σ 2 + σ 2 i σi 2(σ2 + σi 2) (σ+) 2 = σ2 i 2 σ+ 2. Dvs. slutfejlen fordeles efter andelen af den totale varians. 7/13

8 Estimat af µ i - take home message Altså - til at estimere µ i anvendes det vægtede gennemsnit x i som er givet ved x i = x i + σ2 i σ+ 2 r. Fordi σ 2 i = σ2 0 p i (fra vægtrelationen) kan udtrykket simplificeres yderligere, x i = x i + σ 2 0 p i σ 2 0 p σ2 0 p n r = x i + 1 p i 1 p r. p n 8/13

9 Fordeling af slutfejl i nivellement Ved nivellering har vi tidligere vist at variansen på en højdemåling over en længde l er V(H) = σ 2 k l, hvor σ k er kilometerspredningen. Derfor er vægtene p i = 1 l i 1 p i = l i. Dvs vores estimat for µ i (højdeforskel i): x i = x i + 1 p i 1 p r = x i + p n l i l l n r. Fra eksemplet med koten (lektion 7) havde vi µ 1 = µ 2 = µ. Estimatet for µ er således x 1 = x 1 + l 1 l 1 + l 2 r. 9/13

10 Fordelingen af slutfejl i en trekant På samme måde kan vi for en trekant let bestemme hvorledes slutfejlen skal fordeles. Antag vi måler vinklerne α, β og γ med samme nøjagtighed σv 2, men med et forskelligt antal satser. Observation Satser Varians på middelsats Vægt x α k α σv 2 k α x β k β σ 2 v k β x γ k γ σ 2 v k γ k α k β k γ Estimatet af fx. β er derfor givet ved det vægtede gennemsnit x β, x β = x β + 1 k β 1 k α + 1 k β + 1 k γ r. Hvis antallet af satser er ens for alle vinkler får vi x β = x β r. 10/13

11 Udgangspunktet er 2n målinger hvor målingerne to og to måler samme størrelse, altså n forskellige størrelser i alt. Eks.: siderne i et polygon hvor hver sidelængde måles to gange. X 11 X 12 X 21 X X n1 X n2... x 11 x 12 x 21 x x n1 x n2 De n forskellige størrelser har sande værdier µ 1,...,µ n, og vi antager således E(X 11 ) = E(X 12 ) = µ 1... E(X n1 ) = E(X n2 ) = µ n. Ydermere antages målingerne uafhængige af hinanden og foretaget med samme målekvalitet, dvs. ens varians σ 2. 11/13

12 Estimat af σ 2 Idet X i1 og X i2 måler samme størrelse µ siger deres differens Y i = X i1 X i2 noget om målekvaliteten. Da målekvaliteten antages at være ens for alle 2n målinger, kan alle n par anvendes til at estimere σ 2. Vi ved E(Y i ) = E(X i1 ) E(X i2 ) = µ µ = 0 V(Y i ) = V(X i1 ) + V(X i2 ) = σ 2 + σ 2 = 2σ 2. Dvs. vi kender den sande middelværdi af Y i, E(Y i ) = µ Yi = 0. Derfor er ŝ 2 = 1 2n n i=1 (y i µ Yi ) 2 = 1 2n n i=1 y 2 i = 1 2n n (x i1 x i2 ) 2 i=1 et estimat af σ 2, som er variansen på den enkelte måling. 12/13

13 Approximativt konfidensinterval for σ 2 Idet vi kan estimere σ 2 vha af ŝ 2 kan vi ligeledes konstruere et konfidensinterval for σ 2. Vi har ikke gennemgået teorien for et eksakt konfidensinterval, men nedenstående er et approximativt 95%-konfidensinterval for σ, [ ŝ 1.96 ŝ ; ŝ ŝ ]. 2n 2n 13/13