Bogstavregning. En indledning for stx og hf Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul"

Transkript

1 Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul

2 Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært denne, bliver alle emner nemmere. Indhold 1. Rækkefølge af udregninger Hæve parenteser Gange ind i parentes Samle led Flerleddet udtryk Produkt Reducere Brøker Ligninger Bogstavregning. En indledning for stx og hf 1. udgave Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om klasse/hold, lærer og skole/kursus.

3 Afsnit 1. Rækkefølge af udregninger 1.1 Oplæg (Hvilken af de to udregninger skal vi starte med?) I et spil gælder at når x står for antal krydser, er antal point (a) 25 x Nogle tror at (a) betyder: (b) Træk antal krydser fra 25. Gang resultatet med. Andre tror at (a) betyder: (c) Gang antal krydser med. Træk resultatet fra 25. Læs vedtægterne nedenfor for at finde ud af om det er (b) eller (c) der er rigtig. 1.2 Vedtægter (Rækkefølge af udregninger) (a) Det der står i parentes, skal vi regne ud først. (b) Gange og dividere skal vi udregne før plus og minus. (c) Plus og minus skal vi udregne fra venstre mod højre. (d) Gange og dividere skal vi udregne fra venstre mod højre. Eksemplerne viser ved trinvis udregning rækkefølge af udregninger i regneudtryk. 1. Eksempel = 11 2 ifølge 1.2(c) = Eksempel = ifølge 1.2(b) = Eksempel 16 (5 2) = 16 ifølge 1.2(a) = Eksempel 1+ 8 : 2 4 = ifølge 1.2(b)(d) = ifølge 1.2(b) = Eksempel (Underforståede parenteser) Af 1.2 kan vi slutte at i udtrykkene og er underforstået de parenteser som er vist her: ( + 5) + (4 ) og (( 5 2) ) + 2 (c) (b) (b)(d) (b) Bogstaverne i parentes angiver de af reglerne i 1.2 som er begrundelse for parenteserne i udtrykkene. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

4 1.8 Eksempel (Oversæt mellem regneudtryk og dagligsprog) I et spil kan vi beregne antal point ved hjælp af følgende udregninger: (a) Læg antal krydser til 5. Gang resultatet med. Lad x stå for antal krydser. Regneudtrykket (b) 5 + x angiver ikke udregningerne (a). Regneudtrykket (b) fortæller nemlig: vi skal starte med at gange antal krydser med, mens (a) fortæller: vi skal starte med at lægge antal krydser til 5. Udregningerne (a) kan vi angive sådan: (c) ( 5 + x ) 1.9 Eksempel (Oversæt mellem regneudtryk og dagligsprog) Regneudtrykket (a) ( 8 ) (4 + 1) angiver følgende udregninger: (b) Træk fra 8. (c) Læg 1 til 4. (d) Gang resultaterne fra (b) og (c). Afsnit 1. Øvelser 1.10 Øvelse (Trinvis udregning) Vis (som i ) ved trinvis udregning rækkefølgen af udregninger i nedenstående udtryk. Skriv (a), (b), (c) og (d) for at angive de regler fra 1.2 som du bruger. (1) (4) (2) 2 (4 + ) 5 (5) 4 (1 + ) 2 () 2 (4 + 5) (6) ( 4 1+ ) Øvelse (Trinvis udregning) Vis (som i ) ved trinvis udregning rækkefølgen af udregninger i nedenstående udtryk. Skriv (a), (b), (c) og (d) for at angive de regler fra 1.2 som du bruger. (1) 8 ( 2 + 4) (4) 2 (6 4) (7) (2 5) (2) 8 + (2 4) (5) (8) 2 5 () (6) (9) ( 2) Øvelse (Trinvis udregning, omvendt opgave) I hvert af følgende tilfælde skal du skrive et regneudtryk sådan at vi ved trinvis udregning af udtrykket skal bruge reglerne fra 1.2 i den angivne rækkefølge. (1) (d), (d) (2) (b), (c), (c) () (a), (b), (c) Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

5 1.1 Øvelse (Underforståede parenteser) Skriv nedenstående udtryk og tilføj de parenteser som er underforstået. Angiv de anvendte regler fra 1.2 på den måde som er vist i 1.7. (1) () (2) 2 + (4 + 1) (4) 6 8 : Øvelse (Underforståede parenteser) Skriv nedenstående udtryk og tilføj de parenteser som er underforstået. Angiv de anvendte regler fra 1.2 på den måde som er vist i 1.7. (1) (10 + x k) 5 (2) 10 + x k 5 () + 10 x : k 1.15 Øvelse (Oversæt) Oversæt mellem regneudtryk og dagligsprog som i 1.8 og 1.9. (1) (2) () 10 6 : 2 (4) Divider 6 med. (5) Træk fra 6. (6) Træk 1 fra. Træk 1 fra resultatet. Læg 1 til resultatet. Træk resultatet fra Øvelse (Oversæt) I nogle spil kan antal point udregnes ved hjælp af udtrykkene nedenfor. Bogstavet x står for antal krydser. Oversæt mellem regneudtryk og dagligsprog som i 1.8 og 1.9. Husk også at oversætte x til dagligsprog i (1)-(). (1) x : (2) 7 x () 5 ( x + 2) (4) Gang 4 med antal (5) Læg til antal (6) Gang 2 med antal krydser. krydser. krydser. Læg til resultatet. Gang 4 med resul- Træk resultatet tatet. fra Øvelse (Oversæt) I nogle spil kan antal point bestemmes ved hjælp af de udregninger der står nedenfor. Oversæt (som i 1.8) hver af reglerne (1) og (2) fra dagligsprog til regneudtryk hvor bogstaverne k og b står for hhv. antallet af krydser og antallet af boller. (1) (a) Gang 2 med antal krydser. (b) Læg 1 til resultat i (a). (c) Træk antal boller fra 16. (d) Gang resultat i (b) med resultat i (c). (2) (a) Gang antal krydser med antal boller. (b) Divider 144 med resultatet i (a). (c) Træk 8 fra antal boller. (d) Træk resultat i (c) fra resultat i (b). Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side 2008 Karsten Juul

6 Afsnit 2. Hæve parenteser 2.1 Regler (Hæve parenteser) (a) Vi må hæve en minusparentes (dvs. fjerne parentesen og minusset foran) hvis vi samtidig ændrer fortegnet for hvert led i parentesen (på den måde som er vist i 2.2 og 2.4). (b) Vi må hæve en plusparentes (dvs. fjerne parentesen og plusset foran) (på den måde som er vist i 2. og 2.5). Eksemplerne viser hvordan vi kan bruge reglerne for at hæve parenteser. 2.2 Eksempel 7 ( 2 + x) + 2 ifølge 2.1(a) = 7 x 2.4 Eksempel 7 ( 2 x) 7 ( + 2 x da 2 = ifølge 2.1(a) = ) = 7 + x 2. Eksempel 7 + ( 2 + x) 2 + ifølge 2.1(b) = 7 x 2.5 Eksempel 7 + ( 2 x) 7 + ( + 2 x da 2 = ifølge 2.1(b) = ) = 7 x 2.6 Eksempel (To rækker udregninger der giver samme resultat) Vi udregner 7 ( 2 + x) og x når x er 5: 7 ( 2 + x) = 7 ( 2 + 5) = 7 = x = = 9 5 = 4 Vi ser at de to udtryk giver samme resultat. Hvis vi sætter x til et andet tal end 5, vil de også give samme resultat. Dette følger af 2.1(a). Afsnit 2. Øvelser 2.7 Øvelse (Trinvis udregning) Vis (som i ) ved trinvis udregning rækkefølgen af udregninger i nedenstående udtryk. Skriv (a), (b), (c) og (d) for at angive de regler fra 1.2 som du bruger. (1) 9 ( 2 + 5) (4) 5 (4 2) (2) 9 + ( + 2 5) (5) 5 + ( 4 + 2) () (6) Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

7 2.8 Øvelse (Hvilke er ens?) Hvilke af følgende udtryk er lig hindanden uanset hvilket tal x står for? (1) ( x ) + (6 x) (5) x x (2) x x (6) ( x ) + 6 x () ( x ) ( 6 + x) (7) x x (4) x + + (6 x) (8) x x 2.9 Øvelse (Hvilke er ens?) I nogle spil kan antal point bestemmes ved hjælp af de udregninger der står nedenfor. Hvilke af udregningerne giver samme resultat uanset antallet af krydser og boller? (1) Træk antal boller fra antal krydser. Læg 2 til resultatet. Træk det nye resultat fra 14. (2) Træk antal krydser fra 14. Læg antal boller til resultatet. Træk 2 fra det nye resultat. () Læg antal krydser til 14. Læg antal boller til resultatet. Træk 2 fra det nye resultat. (4) Træk antal krydser fra antal boller. Træk 2 fra resultatet. Læg det nye resultat til Øvelse (Hvad beregner regneudtrykket?) Figuren er dannet af et kvadrat og et rektangel der overlapper hinanden. Kvadratet har areal 6, rektanglet har areal 60 og det fælles område har arealet 12. (1) Afgør for hver af følgende tre udregninger, hvad det er den pågældende udregning beregner: (a) Træk 12 fra 6. Læg resultatet til 60. (b) Læg 6 til 60. Træk 12 fra resultatet. (c) Træk 12 fra 60. Træk 12 fra 6. Læg de to resultater sammen. (2) Skriv hver af de tre udregninger som et regneudtryk. () Afgør hvilke af regneudtrykkene der er lig hinanden, og skriv disse med lighedstegn imellem Øvelse (Opstille regneudtryk) Vi har 40 mønter. Først bruger vi 15 mønter og derefter bruger vi 4 mønter. Der er to nærliggende måder hvorpå vi kan regne ud hvor mange mønter vi har tilbage. (1) Beskriv disse i dagligsprog. (2) Skriv hver af dem som et regneudtryk med tallene 40, 15 og 4. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

8 2.12 Øvelse (Opstille regneudtryk) Vi har 65 mønter. Først betaler vi prisen for en vare, men vi får 10 mønter tilbage fordi der er en mangel ved varen. Der er to nærliggende måder hvorpå vi kan regne ud hvor mange mønter vi har tilbage. (a) Beskriv disse i dagligsprog. (b) Skriv hver af dem som et regneudtryk med tallene 65, x og 10, hvor x står for det antal mønter som var den oprindelige pris. Afsnit. Gange ind i parentes.1 Regel (Gange ind i parentes) Vi må gange et tal ind i en parentes hvis vi ganger hvert led i parentesen. Eksemplerne.2-.4 viser hvordan vi kan bruge reglen for at gange ind i parentes..2 Eksempel ( x 4) = x 4 ifølge.1 = x 12. Eksempel 4 (1 + 2x) = x ifølge.1 = 4 + 8x.4 Eksempel ( k + 1) x = k x + 1 x ifølge.1 = kx + x.5 Eksempel (To rækker udregninger der giver samme resultat) Vi udregner ( x 4) og x 4 når x er 7: ( x 4) = (7 4) = = 9 x 4 = 7 4 = = 9 Vi ser at de to udtryk giver samme resultat. Hvis vi sætter x til et andet tal end 7, vil de også give samme resultat. Dette følger af.1. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

9 Afsnit. Øvelser.6 Øvelse (Anskueligt eksempel) Bogstaverne u og v står for to tal. En lille klods vejer u gram, og en stor klods vejer v gram. Angiv for hvert af udtrykkene (1)-(5) den tilhørende af figurerne (a)-(d). (1) u + v (2) ( u + v) () u + v (4) u + v (5) v + u (a) (b) (c) (d).7 Øvelse (Trinvis udregning) Vis (som i ) ved trinvis udregning rækkefølgen af udregninger i nedenstående udtryk. Skriv (a), (b), (c) og (d) for at angive de regler fra 1.2 som du bruger. (1) (5) 2 ( 5) (2) 2 (4 + 1) (6) ( 2 ) (2 5) () (7) 2 5 (4) (8) (2 5).8 Øvelse (Hvilke er ens?) Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden uanset hvilket tal x står for? (1) 4 2 ( x) (5) 2 ( x) (2) 4 (6 2x) (6) x + x () 4 + ( 6 + 2x) (7) 6 x (4) x (8) 6 2x.9 Øvelse (Hvilke er ens?) I nogle spil kan antal point bestemmes ved hjælp af de udregninger der står nedenfor. Hvilke af udregningerne giver samme resultat uanset antallet af krydser og boller? (1) Gang antal krydser med 2. Træk antal boller fra resultatet. (2) Træk antal boller fra antal krydser. Gang resultatet med 2. () Gang antal krydser med 2. Gang antal boller med 2. Træk sidste resultat fra første. (4) Træk antal boller fra antal krydser. Træk antal boller fra antal krydser. Læg de to resultater sammen. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

10 .10 Øvelse (Hvad beregner regneudtrykket?) Der er 6 personer på hvert hold. I en hal er der nogle drengehold og pigehold. Der er flest drengehold. (1) Afgør for hver af følgende fire udregninger, hvad det er den pågældende udregning beregner: (a) Gang antal drengehold med 6. Gang antal pigehold med 6. Læg de to resultater sammen. (b) Læg antal pigehold til antal drengehold. Gang resultatet med 6. (c) Træk antal pigehold fra antal drengehold. Gang resultatet med 6. (d) Gang antal drengehold med 6. Gang antal pigehold med 6. Træk sidste resultat fra første. (2) Skriv hver af de fire udregninger som et regneudtryk hvor d står for antal drengehold, og p står for antal pigehold. () Afgør hvilke af regneudtrykkene der er lig hinanden, og skriv disse med lighedstegn imellem..11 Øvelse (Opstille regneudtryk) Først køber vi 5 bøger og derefter køber vi 9 bøger til. For hver bog betaler vi 8 mønter. Der er to nærliggende måder hvorpå vi kan regne ud hvor mange mønter vi i alt betaler for bøgerne. (1) Beskriv disse i dagligsprog. (2) Skriv hver af dem som et regneudtryk med tallene 5, 9 og Øvelse (Opstille regneudtryk) Først køber vi et antal bøger som hver koster 8 mønter. Derefter leverer vi 6 bøger tilbage og får pengene igen. Der er to nærliggende måder hvorpå vi kan regne ud hvor mange mønter vi har betalt for de bøger vi har tilbage. (1) Beskriv disse i dagligsprog. (2) Skriv hver af dem som et regneudtryk med tallene x, 8 og 6, hvor x står for det antal bøger vi oprindelig købte. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

11 Afsnit 4. Samle led 4.1 Eksempel (Samle led) I følgende eksempel står x for tal: I udtrykket 2 x + x har vi først x to gange og derefter tre gange til, dvs. antal gange vi har x, er 2 + = 5. Altså gælder 2 x + x = 5x. 4.2 Eksempel (Samle led) I følgende eksempel står k for tal: I udtrykket 7k 4k har vi først k syv gange, og derefter trækker vi fire gange k fra, så antal gange vi har k, er 7 4 =. Der gælder altså 7 k 4k = k. 4. Regel (Samle led) Vi må samle led på den måde som er vist i eksempel 4.1 og Eksempel (To rækker udregninger der giver samme resultat) Vi udregner 2 x + x og 5 x når x er 4: 2 x + x = = = 20 5 x = 5 4 = 20 Vi ser at de to udtryk giver samme resultat. Hvis vi sætter x til et andet tal end 4, vil de også give samme resultat. Dette følger af 4.. Afsnit 4. Øvelser 4.5 Øvelse (Hvilke er ens?) Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden uanset hvilket tal x står for? (1) x + 5x (5) ( x + x + x) + ( x + x + x + x + x) (2) x + 5 x (6) 5x x () ( + 5) x (7) ( 5 ) x (4) 8 x (8) 2 x Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

12 Afsnit 5. Flerleddet udtryk 5.1 Eksempel (Hvordan vi kan ændre rækkefølgen hvori led lægges sammen) Udtrykket (a) 4 2x x betår af leddene 4, 2x, 2 og x. Uanset hvilken rækkefølge vi lægger disse fire tal sammen i, er resultatet det samme, så udtrykket (a) er lig ( 2x + x) + (4 + 2) som ifølge 4. er lig x Regel (Ændre rækkefølge hvori led lægges sammen) I et flerleddet udtryk må vi ændre den rækkefølge hvori leddene lægges sammen (på den måde som er vist i 5.1). 5. Eksempel (Simpel reduktion af flerleddet udtryk) 14 a + 2b + 7b a b = 14a a + (2b + 7b b) ifølge regel om lægge sammen-rækkefølge, dvs. 5.2 = 11 a + 8b ifølge regel om at samle led, dvs. 4. x + x + y + y + y + y = x + x + ( y + y + y + y) ifølge regel om lægge sammen-rækkefølge, dvs. 5.2 = 2 x + 4y ifølge regel om at samle led, dvs. 4. Afsnit 5. Øvelser 5.4 Øvelse (Hvilke er ens?) Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden uanset hvilket tal a står for? (1) a + a (5) 2a a (2) 2 a + (6) 5a + a () 1 + a + 1+ a + 1 (7) a + a + a + a + 2a (4) 2 a a (8) + 2 a 5.5 Øvelse (Reducér) Reducér følgende udtryk. (1) 14 x + 4 5x + 2x (4) x + y y 2x (2) + 6a 6 a (5) 16 16x + 8y + 8y y () a 1 a 2 2 a + 2a (6) 1 + u + 2u 2v v + 5 Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

13 Afsnit 6. Produkt 6.1 Regel (Ændre rækkefølge hvori faktorer ganges) I et produkt må vi ændre den rækkefølge hvori faktorerne ganges. 6.2 Eksempel (Ændre gange-rækkefølge) Vi vil udregne 2b h når b h = 5. 2b h = ( 2 ) ( b h) ifølge regel om at ændre gange-rækkefølge, dvs. 6.1 = 6 5 = 0 6. Eksempel (Advarsel) Da 2 ( x) = 2 x ifølge regel om at ændre gange-rækkefølge, dvs. 6.1 er men 2 ( x) = 6 x 2 ( x) = 6 2x Vi kan ikke omskrive 2 ( x) til 6 x Vi kan ikke omskrive 2 ( x) til 6 2x 6.4 Regler (To særlige produkter) Uanset hvilket tal x står for, så gælder følgende. (a) 1 x = 1x = x (b) 0 x = 0x = Regler (Fortegn for produkt) Uanset hvilke tal a og b står for, gælder følgende: (a) ( a) b = a b (c) ( a) ( b) = a b (b) a ( b) = a b (d) a = ( 1) a 6.6 Eksempel (Reduktion af produkt) ( 2) = ( 1) ( 2) ifølge reglen a = ( 1) a, dvs. 6.5(d) = 1 2 ifølge reglen ( a) ( b) = a b, dvs. 6.5(c) = 2 ifølge reglen 1 x = x, dvs. 6.4(a) Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

14 6.7 Eksempel (Reduktion af produkt) ( 2) x ( ) = ( 2) ( ) x ifølge regel om gange-rækkefølge, dvs. 6.1 = 2 x ifølge reglen ( a) ( b) = a b, dvs. 6.5(c) = 6x 6.8 Regel (Underforstået gangetegn) Ofte lader man gangetegn være underforståede (se ). 6.9 Eksempel (Underforstået gangetegn) Normalt vil vi skrive ( x + 2) ( 2)( x) + 4x i stedet for ( x + 2) ( 2) ( x) + 4 x 6.10 Eksempel (Advarsel) Der er ikke et underforstået gangetegn i udtrykket ( x + 2) Dette udtryk udregnes sådan: Læg 2 til det tal som x står for. Træk resultatet fra Eksempel (Underforstået gangetegn) Normalt vil vi skrive ( 2 5a) b = 2b 5ab i stedet for ( 2 5 a) b = 2 b 5 a b Afsnit 6. Øvelser 6.12 Øvelse (Reducér) Reducér følgende udtryk. (1) 2 ( 4) (4) x 4 ( ) (2) ( 5) (5) a ( 2)( 5) () 6 ( a ) ( 2) (6) ( 1) x Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

15 6.1 Øvelse (Hvilke er ens?) Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden uanset hvilke tal a og b står for? (1) 2b( a) (4) a ( 2b + 1) (2) 2( b a) (5) 2 ab () ( 2b 2a) (6) 2 ab + a Afsnit 7. Reducere 7.1 Eksempel Ofte kan vi reducere et udtryk ved at bruge nogle af de foregående regler til først at fjerne parenteser og derefter at trække led sammen. Her er et eksempel på dette: x 2 ( x + ) = x ( 2x + 6) ifølge regel om at gange ind i parentes (.1) = x 2x 6 ifølge regel om at hæve minusparentes (2.1) = x 6 ifølge regel om at samle led (4.) Uanset hvilket tal x står for, gælder altså at x 2( x + ) = x Eksempel Ofte kan vi reducere et udtryk ved at bruge nogle af de foregående regler til først at reducere hvert led og derefter at trække led sammen. Her er et eksempel på dette: Udtrykket ( 2) ( x) + 2 x ( ) x består af de tre led ( 2) ( x) og 2 x ( ) og x Ved hjælp af reglerne i afsnit 6 kan vi reduceres disse led til 2 x og 6x og x Ved at lægge disse sammen får vi 5x Uanset hvilket tal x står for, gælder altså at ( 2) ( x) + 2 x ( ) = 5x Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

16 Afsnit 7. Øvelser 7. Øvelse (Reducér som i 7.1) Reducér følgende udtryk. (1) (4 x ) (2x 2) (4) (2x + 1) 2( 4x) (2) x 4 4(2 x) (5) a( 4 + b) 2ab () + 5( + 4x) x (6) 4(1 + 2b ) (2a ) b 7.4 Øvelse (Reducér som i 7.2) Reducér følgende udtryk. (1) ( ) x + 2 ( 4) + x 1 (4) ( 5) 1+ 5( x) x (2) ( 2) x + ( 4) x 1 (5) a 2 b + ( a)( b) a () 4x ( )( x) + ( 5) 1 (6) 2a 4a( b) + a ( ) 7.5 Øvelse (Reducér som i 7.1 og 7.2) Reducér følgende udtryk. (1) (5x 4) + ( 2)( x) (4) 7 ( ) x + (4x + 2) ( 2) (2) x ( 4) (6x + 8) (5) ( 2)( x) + ( 4) (4 x) () 4x ( 5)( x) (6) 4(1 2x) ( )( x) Afsnit 8. Brøker 8.1 Regler (Hvad er en brøk?) Når m og n står for tal, og n ikke står for 0, så gælder: (a) Brøken m er det samme som m: n, dvs. m divideret med n. n 12 Da 4 går gange op i 12, er =. 4 (b) Brøken m er det samme som en n'tedel af m. n 12 Da en fjerdedel af 12 er, er =. 4 (c) m Brøken er det samme som m n'tedele, dvs. m 1. n n Tre femtedele er = Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

17 8.2 Oplæg (Dividere produkt med tal) h og b står for højde og bredde i rektanglet ABCD. I rektanglet BCFE er højden h. Areal af ABCD er h b A D Areal af BCFE er en tredjedel af dette areal: h b Areal af BCFE er Dette areal kan også udregnes som højde gange bredde: h E h F Areal af BCFE er b h h b h B C Altså er = b b 8. Oplæg (Dividere flerleddet udtryk med tal) Rektangel ABCD er delt op i to rektangler med areal H og K. Rektangel ABEF er en tredjedel af rektangel ABCD. A D Areal af ABCD er H + K Areal af ABEF er en tredjedel af dette areal: H H + K Areal af ABEF er Areal af ABEF fås også ved at lægge de to delarealer sammen: H K Areal af ABEF er + B A F K C D Altså er H + K = H K + H K B E C 8.4 Regler (Dividere produkt eller flerleddet udtryk med tal) (a) (b) Vi kan dividere et produkt med et tal ved at dividere en af faktorerne med tallet: m n m n = n = m k k k Vi kan dividere en flerleddet størrelse med et tal ved at dividere hvert af leddene med tallet: m + n m n m n m n = + og = k k k k k k Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

18 8.5 Eksempel (Dividere produkt og flerleddet udtryk med tal) Vi beregner en fjerdedel af 12 x + 8 : 12 x x 8 = + ifølge regel for at dividere flerleddet udtryk med tal, dvs. 8.4(b) = x + ifølge regel for at dividere produkt med tal, dvs. 8.4(a) 4 4 = x Eksempel Vi beregner halvdelen af x + : x + 2 x = 2 + ifølge regel for at dividere flerleddet udtryk med tal, dvs. 8.4(b) 2 1 m = x + ifølge reglen = 1 m, dvs. 8.1(c) 2 2 n n 8.7 Regler (Forkorte nævner væk) (a) (b) m n n = m n n = m m 8.8 Regler (Fortegn for brøk) (a) (b) m n m n = m m = n n = m m = n n = m n 8.9 Regel (Forlænge og forkorte en brøk) En brøks talværdi ændres ikke når brøken forlænges (dvs. tæller og nævner ganges med samme tal) eller forkortes (dvs. tæller og nævner divideres med samme tal). Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

19 8.10 Regel (Tre særlige brøker) Uanset hvilket tal x står for, så gælder (a) x = 1 Hvis x ikke står for 0, så gælder men x x (b) = 1 x 0 (c) = 0 x x 0 står ikke for noget tal, da man ikke kan dividere med Eksempel 4x ifølge regler for at dividere flerleddet udtryk = x og produkt med tal, dvs. 8.4(a)(b) 2 1 = x ifølge regler for fortegn og forkortning, dvs. 8.8 og Afsnit 8. Øvelser 8.12 Øvelse (Forkorte nævner væk) Reducér (se 8.7). (1) 4x 4 () (2) x (4) 5 a (5) x 5 x 5x 5 (6) a ( x + 2) a 8.1 Øvelse (Dividere produkt eller flerleddet udtryk med tal) Af hver af følgende skal du beregne en tredjedel efter princippet fra 8.5 og 8.6. (1) 15 x + 6 (4) 12 x (2) 12 9x (5) x + 15 () 12 x (6) 2 x Øvelse (Dividere produkt eller flerleddet udtryk med tal) Af hver af følgende skal du beregne en femtedel efter princippet fra 8.5 og 8.6. (1) 10 a + 5b + 20 (2) 10 ( a + 5b) + 20 Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

20 8.15 Øvelse (Hvad beregner regneudtrykket?) I et rektangulært område på en mur danner små kvadratiske fliser et skakbrætmønster. Den øverste femtedel af fliserne er mørke, de andre lyse. Den tredjedel af fliserne der er længst mod højre, er glatte, de andre er ru. (1) Afgør for hver af følgende fire udregninger, hvad det er den pågældende udregning beregner: (a) Læg antal glatte til antal ru. (b) Læg antal glatte til antal ru. Divider resultatet med 5. (c) Divider antal ru med 5. Divider antal glatte med 5. Læg de to resultater sammen. (d) Divider antal glatte med 5. Læg resultatet til antal ru. (2) Skriv hver af de fire udregninger som et regneudtryk hvor g står for antal glatte, og r står for antal ru. () Afgør hvilke af regneudtrykkene der er lig hinanden, og skriv disse med lighedstegn imellem Øvelse (Opstille regneudtryk) Rektanglet ABCD er delt op i fire lige store rektangler. Når vi får oplyst højde og bredde af rektanglet ABCD, er der to nærliggende måder hvorpå vi kan beregne arealet af ABEF (se 8.2). (1) Beskriv hver af disse to udregninger i dagligsprog. (2) Skriv hver af udregningerne som et regneudtryk hvor h og b står for højde og bredde af rektanglet ABCD. A B F E D C 8.17 Øvelse (Opstille regneudtryk) Rektanglet ABCD er delt op i fire lige store rektangler. Når vi har fået oplyst arealerne af delrektanglerne ABEF og FECD, er der to nærliggende måder hvorpå vi kan beregne arealet af GBCH (se 8.). (1) Beskriv hver af disse to udregninger i dagligsprog. (2) Skriv hver af udregningerne som et regneudtryk hvor V og H står for arealerne af de to delrektangler. A G B F E D H C 8.18 Øvelse Omskriv følgende som vist i 8.11: 2 x + 4 (1) 4 (2) 1 2x 8 Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

21 Afsnit 9. Ligninger 9.1 Oplæg (Tænk på en vægt når du løser en ligning) På første figur ser vi en vægt hvor der er lagt nogle blyterninger og nogle papirposer. Alle poser indeholder samme antal blyterninger. Vi kender endnu ikke antallet af terninger i en pose, men vi lader x stå for dette antal. Vi ser at det der ligger på de to vægtskåle, vejer lige meget. Denne oplysning kan skrives sådan: 5 x = 2x + 12 Vi forestiller os at vi fjerner to poser fra hver vægtskål. Så må der stadig være ligevægt. Der gælder altså: dvs. 5x 2x = 2x x x = 12 En tredjedel af det der er på venstre vægtskål, må veje det samme som en tredjedel af det der er på højre vægtskål: dvs. x 12 = x = 4 Der er altså 4 terninger i hver pose. 9.2 Regler (Løsning af ligning) (a) I en ligning må vi lægge det samme tal til eller trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. (b) I en ligning må vi gange eller dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet hvis det tal vi ganger eller dividerer med, ikke er nul. 9. Eksempel (Ligning hvor der er lagt et tal til x) Vi vil løse ligningen x +14 = 25 Vi trækker 14 fra begge sider: x = 11 Løsningen er altså Eksempel (Ligning hvor der er trukket et tal fra x) Vi vil løse ligningen x 8 = 1 Vi lægger 8 til begge sider: x = 21 Løsningen er altså 21. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

22 9.5 Eksempel (Ligning hvor x er ganget med et tal) Vi vil løse ligningen 8 x = 40 Vi dividerer begge sider med 8: 8x 40 = 8 8 Vi reducerer begge sider: x = 5 Løsningen er altså Eksempel (Ligning hvor x er delt med et tal) Vi vil løse ligningen x 9 5 = Vi ganger begge sider med 5: x 5 = Vi reducerer begge sider: x = 45 Løsningen er altså Eksempel (Simpel ligning) Vi vil løse ligningen x 9 = 7x + 11 På begge sider trækker vi 7 x fra og lægger 9 til: 4 x = 20 Vi dividerer begge sider med 4 : 4x 20 = 4 4 Vi reducerer begge sider: x = 5 Løsningen er altså Eksempel (Kontrol af løsning) I eksempel 9.7 regnede vi os frem til at 5 er løsning til ligningen x 9 = 7x + 11 dvs. at ligningens to sider giver det samme når x står for tallet 5. Vi vil kontrollere om dette er rigtigt. Når x = 5 får vi: x 9 7 x + 11 = ( 5) 9 = 7 ( 5) + 11 = 15 9 = = 24 = 24 Da ligningens to sider giver samme resultat når x = 5, så er 5 løsning til ligningen. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

23 9.9 Eksempel (Advarsel) Hvis vi for at løse ligningen (a) 19 = 2x + 5 dividerer begge sider med 2, så får vi ikke 19 2 = x + 5 Ifølge 8.4(b) får vi 19 5 = x Det er dog mere smart hvis vi starter med at trække 5 fra begge sider i (a) så vi får 14 = 2x 9.10 Eksempel (Ligning med parentes) Vi vil løse ligningen x 2 (5 x) = 4 Vi ganger 2 ind i parentesen: x ( 10 6x ) = 4 Vi hæver parentesen: x x = 4 Vi reducerer venstre side: 7 x 10 = 4 Vi lægger 10 til begge sider: 7 x = 14 Vi dividerer begge sider med 7: 7x 14 = 7 7 Vi reducerer begge sider: x = 2 Løsningen er altså Eksempel (Opstille ligning) Følgende er oplyst: En skole har 6 klasser med lige mange elever i hver. En dag hvor 11 elever er fraværende, er der 97 elever i skole. Ud fra denne oplysning vil vi opstille en ligning: (1) Antal elever i en klasse: x (2) Antal elever på skolen: 6 x () Antal elever der er i skole: 6x 11 (4) Ligning: 6 x 11 = 97 Ved at løse ligningen som i 9.7 finder vi ud af at der er 18 elever i hver klasse. Afsnit 9. Øvelser 9.12 Øvelse (Ligninger som i 9. og 9.4) Løs hver af ligningerne ved brug af reglerne 9.2. Skriv hvad du gør, som det er gjort i 9. og 9.4. (1) x +12 = 19 (4) x 7 = 8 (2) 14 = x + 22 (5) 5 = x 1 () 6 + x = 8 (6) 16 = 9 + x Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

24 9.1 Øvelse (Ligninger som i 9.5 og 9.6) Løs hver af ligningerne ved brug af reglerne 9.2. Skriv hvad du gør, som det er gjort i 9.5 og 9.6. (1) 4 x = 24 (5) 24 = x (2) 18 = x (6) x 5 6 = () x 6 = 0 (7) (4) 5 x = 40 (8) 8 = x 4 1 x = Øvelse (Ligninger som i ) Løs hver af ligningerne ved brug af reglerne 9.2. Skriv hvad du gør, som det er gjort i (1) 14 = x + 8 (4) 1 9 = x 2 (2) 2 = 8x (5) 1 + x = x () = 12 (6) 7 = x 9.15 Øvelse (Ligninger som i 9.7, men lidt simplere) Løs hver af ligningerne ved brug af reglerne 9.2. Skriv hvad du gør, som det er gjort i 9.7. (1) 8 x 18 = 6 (4) 14 = x + 5 (2) 8 x 18 = 6x (5) 12 = + 5x () 8 7x = 6 (6) x = 8 5x 9.16 Øvelse (Ligninger som i 9.7) Løs hver af ligningerne ved brug af reglerne 9.2. Skriv hvad du gør, som det er gjort i 9.7. (1) x + 4 = 16 x (4) 2 + 5x = 2x + 11 (2) + 4x = 4 x (5) x 4 = 2x + 6 () 1 x = x + 1 (6) 6 x + 4 = x Øvelse (Ligninger med parentes) Løs hver af ligningerne ved brug af reglerne 9.2. Skriv hvad du gør, som det er gjort i (1) 4 x 6 = x 10 (4) ( 2x 4) + 2(1 x) = 2 (2) 5 (x + 6) = 2x + 9 (5) 1 4x = 4 (2x + 5) () 6 ( x + 2) = x + 12 (6) 5( x + 2) = (4 x) Opskriv kontrol af løsningerne som vist i 9.8. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

25 9.18 Øvelse (Oversætte fra dagligsprog til ligning) (1) Følgende er oplyst: Når vi lægger 6 til antal drenge, så får vi det samme som hvis vi ganger antal drenge med 4. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for antal drenge, og bestem antal drenge. (2) Følgende er oplyst: Når vi ganger antal piger med og lægger 8 til, så får vi det samme som når vi ganger antal piger med 5. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for antal piger, og bestem antal piger Øvelse (Oversætte fra dagligsprog til ligning) (1) Følgende er oplyst: Når vi lægger 7 til antal drenge og ganger resultatet med 8, så får vi 96. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for antal drenge, og bestem antal drenge. (2) Følgende er oplyst: Når vi trækker antal piger fra 2 og trækker resultatet fra 24, så får vi 1. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for antal piger, og bestem antal piger Øvelse (Opstille ligning) (1) Følgende er oplyst: I en klasse er der 16 piger og 20 drenge. Der er lige mange piger og drenge i skole en dag hvor dobbelt så mange drenge som piger er fraværende. Skriv ud fra denne oplysning en ligning hvor x står for antal fraværende piger, og bestem antal fraværende piger; men besvar først følgende hjælpespørgsmål: (a) Hvis vi kendte antal fraværende piger, hvordan kunne vi så regne ud hvor mange piger der er i skole? (b) Skriv svaret på (a) som et regneudtryk hvor x står for antal fraværende piger. (c) Hvis vi kendte antal fraværende piger, hvordan kunne vi så regne ud hvor mange drenge der er fraværende? (d) Skriv svaret på (c) som et regneudtryk hvor x står for antal fraværende piger. (e) Hvis vi kendte antal fraværende piger, hvordan kunne vi så regne ud hvor mange drenge der er i skole? (d) Skriv svaret på (e) som et regneudtryk hvor x står for antal fraværende piger. (2) Følgende er oplyst: En ny klasse dannes ved at en klasse med 15 piger og 11 drenge bliver slået sammen med en lille klasse hvor der er tre gange så mange drenge som piger. I den nye klasse er der lige mange piger og drenge. Skriv ud fra denne oplysning en ligning hvor x står for antal piger i den lille klasse, og bestem antal piger i den lille klasse. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Eksempler

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Eksempler Matematik på Åbent VUC Trin Indledning til kursister på Trin II Indledning til kursister på Trin II Dette undervisningsmateriale består af 10 moduler med opgaver beregnet til brug på Trin I og 7 moduler

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker, trin 1 ISBN: 978-87-92488-04-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11 Opgavens art: Opgaveformulering: Fagområde: Opgavens varighed: Teoretisk Gennemgang af lommeregner Sprøjtestøbning 4 lektioner Niveau, sammenlignet med uddannelsen: Henvisning til hjælpemidler: Grunduddannelse

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og regning basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og regning basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og regning basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og regning, basis ISBN: 978-87-92488-01-5 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model

HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

2 Brøker, decimaltal og procent

2 Brøker, decimaltal og procent 2 Brøker, decimaltal og procent Faglige mål Kapitlet Brøker, decimaltal og procent tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Brøker: kunne opstille brøker efter størrelse samt finde det antal af en helhed,

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1

JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 JENS CARSTENSEN JESPER FRANDSEN JENS STUDSGAARD MAT A1 stx MAT A1 stx 005-007 Jens Carstensen, Jesper Frandsen, Jens Studsgaard og Systime A/S Kopiering fra denne bog må kun finde sted i overensstemmelse

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Matematik Test 6. 6.1. Talskrivning: 6.2 Sandt eller falskt udsagn. 30 mm = 3 cm 500 m = 5 km 3 ton = 300 Kg. 4 dm > 80 mm 3000 m < 3 km 2 cm > 10 mm

Matematik Test 6. 6.1. Talskrivning: 6.2 Sandt eller falskt udsagn. 30 mm = 3 cm 500 m = 5 km 3 ton = 300 Kg. 4 dm > 80 mm 3000 m < 3 km 2 cm > 10 mm 1 Denne PDF fil består af 1. Evalueringstest ( side 1-5) 2. Elevstatusark (side 6) 3. Eksempler på henvisningsopgaver (s. 7-12 ) - vist med fed/kursiv skrift på statusarket. Matematik Test 6 Navn: Klasse

Læs mere

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

areal og rumfang trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik areal og rumfang, trin 1 ISBN: 978-87-92488-17-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse

Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Mondiso matematik for 1. til 3. klasse Programmet henvender sig til elever i indskoling. Det kan også benyttes af børn på højere klassetrin, som har behov for at få genopfrisket det grundlæggende i matematikken.

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring:

Her følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring: BRØK 1 Vejledning Udvidelsen af talområdet til også at omfatte brøker er en kvalitativt anderledes udvidelse end at lære om stadigt større tal. Det handler ikke længere bare om nye tal af samme type, som

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke addition bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke - decimaltal bunker osv. Det kan desuden vise decimaler og dermed give eleven visuel støtte

Læs mere

Lekion 4 Brøker og forholdstal

Lekion 4 Brøker og forholdstal Lekion Brøker og forholdstal Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Hvad er brøker... Forlænge og forkorte brøker... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... Regning

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug. Bestil venligst på www.forlagetdelta.dk. Enhver mangfoldiggørelse af dette hæfte er forbudt.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug. Bestil venligst på www.forlagetdelta.dk. Enhver mangfoldiggørelse af dette hæfte er forbudt. Bestil venligst på www.forlagetdelta.dk Enhver mangfoldiggørelse af dette hæfte er forbudt. Forord REMA 3b er en del af forlagets REMA - serie, som nu er fuldt udbygget til 10. kl. I REMA 3b anvendes tallene

Læs mere

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning

Kombinatorik og Sandsynlighedsregning Kombinatorik Teori del 1 Kombinatorik er en metode til at tælle muligheder på. Man kan f.eks. inden for valg til en bestyrelse eller et fodboldhold, kodning af en lås, valg af pinkode eller telefonnummer,

Læs mere

Lektion 1 Grundliggende regning

Lektion 1 Grundliggende regning Lektion 1 Grundliggende regning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine... Talsystemets opbygning - afrunding af tal... Store tal og negative tal...

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Kom godt i gang. Mellemtrin

Kom godt i gang. Mellemtrin Kom godt i gang Mellemtrin Kom godt i gang Mellemtrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

POWER GRID SPILLEREGLER

POWER GRID SPILLEREGLER POWER GRID SPILLEREGLER FORMÅL Hver spiller repræsenterer et energiselskab som leverer elektricitet til et antal byer. I løbet af spillet køber hver spiller et antal kraftværker i konkurrence med andre

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere