Bogstavregning. En indledning for stx og hf Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul"

Transkript

1 Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul

2 Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært denne, bliver alle emner nemmere. Indhold 1. Rækkefølge af udregninger Hæve parenteser Gange ind i parentes Samle led Flerleddet udtryk Produkt Reducere Brøker Ligninger Bogstavregning. En indledning for stx og hf 1. udgave Karsten Juul Dette hæfte kan downloades fra Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det samme sender en til som dels oplyser at dette hæfte benyttes, dels oplyser om klasse/hold, lærer og skole/kursus.

3 Afsnit 1. Rækkefølge af udregninger 1.1 Oplæg (Hvilken af de to udregninger skal vi starte med?) I et spil gælder at når x står for antal krydser, er antal point (a) 25 x Nogle tror at (a) betyder: (b) Træk antal krydser fra 25. Gang resultatet med. Andre tror at (a) betyder: (c) Gang antal krydser med. Træk resultatet fra 25. Læs vedtægterne nedenfor for at finde ud af om det er (b) eller (c) der er rigtig. 1.2 Vedtægter (Rækkefølge af udregninger) (a) Det der står i parentes, skal vi regne ud først. (b) Gange og dividere skal vi udregne før plus og minus. (c) Plus og minus skal vi udregne fra venstre mod højre. (d) Gange og dividere skal vi udregne fra venstre mod højre. Eksemplerne viser ved trinvis udregning rækkefølge af udregninger i regneudtryk. 1. Eksempel = 11 2 ifølge 1.2(c) = Eksempel = ifølge 1.2(b) = Eksempel 16 (5 2) = 16 ifølge 1.2(a) = Eksempel 1+ 8 : 2 4 = ifølge 1.2(b)(d) = ifølge 1.2(b) = Eksempel (Underforståede parenteser) Af 1.2 kan vi slutte at i udtrykkene og er underforstået de parenteser som er vist her: ( + 5) + (4 ) og (( 5 2) ) + 2 (c) (b) (b)(d) (b) Bogstaverne i parentes angiver de af reglerne i 1.2 som er begrundelse for parenteserne i udtrykkene. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

4 1.8 Eksempel (Oversæt mellem regneudtryk og dagligsprog) I et spil kan vi beregne antal point ved hjælp af følgende udregninger: (a) Læg antal krydser til 5. Gang resultatet med. Lad x stå for antal krydser. Regneudtrykket (b) 5 + x angiver ikke udregningerne (a). Regneudtrykket (b) fortæller nemlig: vi skal starte med at gange antal krydser med, mens (a) fortæller: vi skal starte med at lægge antal krydser til 5. Udregningerne (a) kan vi angive sådan: (c) ( 5 + x ) 1.9 Eksempel (Oversæt mellem regneudtryk og dagligsprog) Regneudtrykket (a) ( 8 ) (4 + 1) angiver følgende udregninger: (b) Træk fra 8. (c) Læg 1 til 4. (d) Gang resultaterne fra (b) og (c). Afsnit 1. Øvelser 1.10 Øvelse (Trinvis udregning) Vis (som i ) ved trinvis udregning rækkefølgen af udregninger i nedenstående udtryk. Skriv (a), (b), (c) og (d) for at angive de regler fra 1.2 som du bruger. (1) (4) (2) 2 (4 + ) 5 (5) 4 (1 + ) 2 () 2 (4 + 5) (6) ( 4 1+ ) Øvelse (Trinvis udregning) Vis (som i ) ved trinvis udregning rækkefølgen af udregninger i nedenstående udtryk. Skriv (a), (b), (c) og (d) for at angive de regler fra 1.2 som du bruger. (1) 8 ( 2 + 4) (4) 2 (6 4) (7) (2 5) (2) 8 + (2 4) (5) (8) 2 5 () (6) (9) ( 2) Øvelse (Trinvis udregning, omvendt opgave) I hvert af følgende tilfælde skal du skrive et regneudtryk sådan at vi ved trinvis udregning af udtrykket skal bruge reglerne fra 1.2 i den angivne rækkefølge. (1) (d), (d) (2) (b), (c), (c) () (a), (b), (c) Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

5 1.1 Øvelse (Underforståede parenteser) Skriv nedenstående udtryk og tilføj de parenteser som er underforstået. Angiv de anvendte regler fra 1.2 på den måde som er vist i 1.7. (1) () (2) 2 + (4 + 1) (4) 6 8 : Øvelse (Underforståede parenteser) Skriv nedenstående udtryk og tilføj de parenteser som er underforstået. Angiv de anvendte regler fra 1.2 på den måde som er vist i 1.7. (1) (10 + x k) 5 (2) 10 + x k 5 () + 10 x : k 1.15 Øvelse (Oversæt) Oversæt mellem regneudtryk og dagligsprog som i 1.8 og 1.9. (1) (2) () 10 6 : 2 (4) Divider 6 med. (5) Træk fra 6. (6) Træk 1 fra. Træk 1 fra resultatet. Læg 1 til resultatet. Træk resultatet fra Øvelse (Oversæt) I nogle spil kan antal point udregnes ved hjælp af udtrykkene nedenfor. Bogstavet x står for antal krydser. Oversæt mellem regneudtryk og dagligsprog som i 1.8 og 1.9. Husk også at oversætte x til dagligsprog i (1)-(). (1) x : (2) 7 x () 5 ( x + 2) (4) Gang 4 med antal (5) Læg til antal (6) Gang 2 med antal krydser. krydser. krydser. Læg til resultatet. Gang 4 med resul- Træk resultatet tatet. fra Øvelse (Oversæt) I nogle spil kan antal point bestemmes ved hjælp af de udregninger der står nedenfor. Oversæt (som i 1.8) hver af reglerne (1) og (2) fra dagligsprog til regneudtryk hvor bogstaverne k og b står for hhv. antallet af krydser og antallet af boller. (1) (a) Gang 2 med antal krydser. (b) Læg 1 til resultat i (a). (c) Træk antal boller fra 16. (d) Gang resultat i (b) med resultat i (c). (2) (a) Gang antal krydser med antal boller. (b) Divider 144 med resultatet i (a). (c) Træk 8 fra antal boller. (d) Træk resultat i (c) fra resultat i (b). Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side 2008 Karsten Juul

6 Afsnit 2. Hæve parenteser 2.1 Regler (Hæve parenteser) (a) Vi må hæve en minusparentes (dvs. fjerne parentesen og minusset foran) hvis vi samtidig ændrer fortegnet for hvert led i parentesen (på den måde som er vist i 2.2 og 2.4). (b) Vi må hæve en plusparentes (dvs. fjerne parentesen og plusset foran) (på den måde som er vist i 2. og 2.5). Eksemplerne viser hvordan vi kan bruge reglerne for at hæve parenteser. 2.2 Eksempel 7 ( 2 + x) + 2 ifølge 2.1(a) = 7 x 2.4 Eksempel 7 ( 2 x) 7 ( + 2 x da 2 = ifølge 2.1(a) = ) = 7 + x 2. Eksempel 7 + ( 2 + x) 2 + ifølge 2.1(b) = 7 x 2.5 Eksempel 7 + ( 2 x) 7 + ( + 2 x da 2 = ifølge 2.1(b) = ) = 7 x 2.6 Eksempel (To rækker udregninger der giver samme resultat) Vi udregner 7 ( 2 + x) og x når x er 5: 7 ( 2 + x) = 7 ( 2 + 5) = 7 = x = = 9 5 = 4 Vi ser at de to udtryk giver samme resultat. Hvis vi sætter x til et andet tal end 5, vil de også give samme resultat. Dette følger af 2.1(a). Afsnit 2. Øvelser 2.7 Øvelse (Trinvis udregning) Vis (som i ) ved trinvis udregning rækkefølgen af udregninger i nedenstående udtryk. Skriv (a), (b), (c) og (d) for at angive de regler fra 1.2 som du bruger. (1) 9 ( 2 + 5) (4) 5 (4 2) (2) 9 + ( + 2 5) (5) 5 + ( 4 + 2) () (6) Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

7 2.8 Øvelse (Hvilke er ens?) Hvilke af følgende udtryk er lig hindanden uanset hvilket tal x står for? (1) ( x ) + (6 x) (5) x x (2) x x (6) ( x ) + 6 x () ( x ) ( 6 + x) (7) x x (4) x + + (6 x) (8) x x 2.9 Øvelse (Hvilke er ens?) I nogle spil kan antal point bestemmes ved hjælp af de udregninger der står nedenfor. Hvilke af udregningerne giver samme resultat uanset antallet af krydser og boller? (1) Træk antal boller fra antal krydser. Læg 2 til resultatet. Træk det nye resultat fra 14. (2) Træk antal krydser fra 14. Læg antal boller til resultatet. Træk 2 fra det nye resultat. () Læg antal krydser til 14. Læg antal boller til resultatet. Træk 2 fra det nye resultat. (4) Træk antal krydser fra antal boller. Træk 2 fra resultatet. Læg det nye resultat til Øvelse (Hvad beregner regneudtrykket?) Figuren er dannet af et kvadrat og et rektangel der overlapper hinanden. Kvadratet har areal 6, rektanglet har areal 60 og det fælles område har arealet 12. (1) Afgør for hver af følgende tre udregninger, hvad det er den pågældende udregning beregner: (a) Træk 12 fra 6. Læg resultatet til 60. (b) Læg 6 til 60. Træk 12 fra resultatet. (c) Træk 12 fra 60. Træk 12 fra 6. Læg de to resultater sammen. (2) Skriv hver af de tre udregninger som et regneudtryk. () Afgør hvilke af regneudtrykkene der er lig hinanden, og skriv disse med lighedstegn imellem Øvelse (Opstille regneudtryk) Vi har 40 mønter. Først bruger vi 15 mønter og derefter bruger vi 4 mønter. Der er to nærliggende måder hvorpå vi kan regne ud hvor mange mønter vi har tilbage. (1) Beskriv disse i dagligsprog. (2) Skriv hver af dem som et regneudtryk med tallene 40, 15 og 4. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

8 2.12 Øvelse (Opstille regneudtryk) Vi har 65 mønter. Først betaler vi prisen for en vare, men vi får 10 mønter tilbage fordi der er en mangel ved varen. Der er to nærliggende måder hvorpå vi kan regne ud hvor mange mønter vi har tilbage. (a) Beskriv disse i dagligsprog. (b) Skriv hver af dem som et regneudtryk med tallene 65, x og 10, hvor x står for det antal mønter som var den oprindelige pris. Afsnit. Gange ind i parentes.1 Regel (Gange ind i parentes) Vi må gange et tal ind i en parentes hvis vi ganger hvert led i parentesen. Eksemplerne.2-.4 viser hvordan vi kan bruge reglen for at gange ind i parentes..2 Eksempel ( x 4) = x 4 ifølge.1 = x 12. Eksempel 4 (1 + 2x) = x ifølge.1 = 4 + 8x.4 Eksempel ( k + 1) x = k x + 1 x ifølge.1 = kx + x.5 Eksempel (To rækker udregninger der giver samme resultat) Vi udregner ( x 4) og x 4 når x er 7: ( x 4) = (7 4) = = 9 x 4 = 7 4 = = 9 Vi ser at de to udtryk giver samme resultat. Hvis vi sætter x til et andet tal end 7, vil de også give samme resultat. Dette følger af.1. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

9 Afsnit. Øvelser.6 Øvelse (Anskueligt eksempel) Bogstaverne u og v står for to tal. En lille klods vejer u gram, og en stor klods vejer v gram. Angiv for hvert af udtrykkene (1)-(5) den tilhørende af figurerne (a)-(d). (1) u + v (2) ( u + v) () u + v (4) u + v (5) v + u (a) (b) (c) (d).7 Øvelse (Trinvis udregning) Vis (som i ) ved trinvis udregning rækkefølgen af udregninger i nedenstående udtryk. Skriv (a), (b), (c) og (d) for at angive de regler fra 1.2 som du bruger. (1) (5) 2 ( 5) (2) 2 (4 + 1) (6) ( 2 ) (2 5) () (7) 2 5 (4) (8) (2 5).8 Øvelse (Hvilke er ens?) Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden uanset hvilket tal x står for? (1) 4 2 ( x) (5) 2 ( x) (2) 4 (6 2x) (6) x + x () 4 + ( 6 + 2x) (7) 6 x (4) x (8) 6 2x.9 Øvelse (Hvilke er ens?) I nogle spil kan antal point bestemmes ved hjælp af de udregninger der står nedenfor. Hvilke af udregningerne giver samme resultat uanset antallet af krydser og boller? (1) Gang antal krydser med 2. Træk antal boller fra resultatet. (2) Træk antal boller fra antal krydser. Gang resultatet med 2. () Gang antal krydser med 2. Gang antal boller med 2. Træk sidste resultat fra første. (4) Træk antal boller fra antal krydser. Træk antal boller fra antal krydser. Læg de to resultater sammen. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

10 .10 Øvelse (Hvad beregner regneudtrykket?) Der er 6 personer på hvert hold. I en hal er der nogle drengehold og pigehold. Der er flest drengehold. (1) Afgør for hver af følgende fire udregninger, hvad det er den pågældende udregning beregner: (a) Gang antal drengehold med 6. Gang antal pigehold med 6. Læg de to resultater sammen. (b) Læg antal pigehold til antal drengehold. Gang resultatet med 6. (c) Træk antal pigehold fra antal drengehold. Gang resultatet med 6. (d) Gang antal drengehold med 6. Gang antal pigehold med 6. Træk sidste resultat fra første. (2) Skriv hver af de fire udregninger som et regneudtryk hvor d står for antal drengehold, og p står for antal pigehold. () Afgør hvilke af regneudtrykkene der er lig hinanden, og skriv disse med lighedstegn imellem..11 Øvelse (Opstille regneudtryk) Først køber vi 5 bøger og derefter køber vi 9 bøger til. For hver bog betaler vi 8 mønter. Der er to nærliggende måder hvorpå vi kan regne ud hvor mange mønter vi i alt betaler for bøgerne. (1) Beskriv disse i dagligsprog. (2) Skriv hver af dem som et regneudtryk med tallene 5, 9 og Øvelse (Opstille regneudtryk) Først køber vi et antal bøger som hver koster 8 mønter. Derefter leverer vi 6 bøger tilbage og får pengene igen. Der er to nærliggende måder hvorpå vi kan regne ud hvor mange mønter vi har betalt for de bøger vi har tilbage. (1) Beskriv disse i dagligsprog. (2) Skriv hver af dem som et regneudtryk med tallene x, 8 og 6, hvor x står for det antal bøger vi oprindelig købte. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

11 Afsnit 4. Samle led 4.1 Eksempel (Samle led) I følgende eksempel står x for tal: I udtrykket 2 x + x har vi først x to gange og derefter tre gange til, dvs. antal gange vi har x, er 2 + = 5. Altså gælder 2 x + x = 5x. 4.2 Eksempel (Samle led) I følgende eksempel står k for tal: I udtrykket 7k 4k har vi først k syv gange, og derefter trækker vi fire gange k fra, så antal gange vi har k, er 7 4 =. Der gælder altså 7 k 4k = k. 4. Regel (Samle led) Vi må samle led på den måde som er vist i eksempel 4.1 og Eksempel (To rækker udregninger der giver samme resultat) Vi udregner 2 x + x og 5 x når x er 4: 2 x + x = = = 20 5 x = 5 4 = 20 Vi ser at de to udtryk giver samme resultat. Hvis vi sætter x til et andet tal end 4, vil de også give samme resultat. Dette følger af 4.. Afsnit 4. Øvelser 4.5 Øvelse (Hvilke er ens?) Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden uanset hvilket tal x står for? (1) x + 5x (5) ( x + x + x) + ( x + x + x + x + x) (2) x + 5 x (6) 5x x () ( + 5) x (7) ( 5 ) x (4) 8 x (8) 2 x Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

12 Afsnit 5. Flerleddet udtryk 5.1 Eksempel (Hvordan vi kan ændre rækkefølgen hvori led lægges sammen) Udtrykket (a) 4 2x x betår af leddene 4, 2x, 2 og x. Uanset hvilken rækkefølge vi lægger disse fire tal sammen i, er resultatet det samme, så udtrykket (a) er lig ( 2x + x) + (4 + 2) som ifølge 4. er lig x Regel (Ændre rækkefølge hvori led lægges sammen) I et flerleddet udtryk må vi ændre den rækkefølge hvori leddene lægges sammen (på den måde som er vist i 5.1). 5. Eksempel (Simpel reduktion af flerleddet udtryk) 14 a + 2b + 7b a b = 14a a + (2b + 7b b) ifølge regel om lægge sammen-rækkefølge, dvs. 5.2 = 11 a + 8b ifølge regel om at samle led, dvs. 4. x + x + y + y + y + y = x + x + ( y + y + y + y) ifølge regel om lægge sammen-rækkefølge, dvs. 5.2 = 2 x + 4y ifølge regel om at samle led, dvs. 4. Afsnit 5. Øvelser 5.4 Øvelse (Hvilke er ens?) Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden uanset hvilket tal a står for? (1) a + a (5) 2a a (2) 2 a + (6) 5a + a () 1 + a + 1+ a + 1 (7) a + a + a + a + 2a (4) 2 a a (8) + 2 a 5.5 Øvelse (Reducér) Reducér følgende udtryk. (1) 14 x + 4 5x + 2x (4) x + y y 2x (2) + 6a 6 a (5) 16 16x + 8y + 8y y () a 1 a 2 2 a + 2a (6) 1 + u + 2u 2v v + 5 Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

13 Afsnit 6. Produkt 6.1 Regel (Ændre rækkefølge hvori faktorer ganges) I et produkt må vi ændre den rækkefølge hvori faktorerne ganges. 6.2 Eksempel (Ændre gange-rækkefølge) Vi vil udregne 2b h når b h = 5. 2b h = ( 2 ) ( b h) ifølge regel om at ændre gange-rækkefølge, dvs. 6.1 = 6 5 = 0 6. Eksempel (Advarsel) Da 2 ( x) = 2 x ifølge regel om at ændre gange-rækkefølge, dvs. 6.1 er men 2 ( x) = 6 x 2 ( x) = 6 2x Vi kan ikke omskrive 2 ( x) til 6 x Vi kan ikke omskrive 2 ( x) til 6 2x 6.4 Regler (To særlige produkter) Uanset hvilket tal x står for, så gælder følgende. (a) 1 x = 1x = x (b) 0 x = 0x = Regler (Fortegn for produkt) Uanset hvilke tal a og b står for, gælder følgende: (a) ( a) b = a b (c) ( a) ( b) = a b (b) a ( b) = a b (d) a = ( 1) a 6.6 Eksempel (Reduktion af produkt) ( 2) = ( 1) ( 2) ifølge reglen a = ( 1) a, dvs. 6.5(d) = 1 2 ifølge reglen ( a) ( b) = a b, dvs. 6.5(c) = 2 ifølge reglen 1 x = x, dvs. 6.4(a) Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

14 6.7 Eksempel (Reduktion af produkt) ( 2) x ( ) = ( 2) ( ) x ifølge regel om gange-rækkefølge, dvs. 6.1 = 2 x ifølge reglen ( a) ( b) = a b, dvs. 6.5(c) = 6x 6.8 Regel (Underforstået gangetegn) Ofte lader man gangetegn være underforståede (se ). 6.9 Eksempel (Underforstået gangetegn) Normalt vil vi skrive ( x + 2) ( 2)( x) + 4x i stedet for ( x + 2) ( 2) ( x) + 4 x 6.10 Eksempel (Advarsel) Der er ikke et underforstået gangetegn i udtrykket ( x + 2) Dette udtryk udregnes sådan: Læg 2 til det tal som x står for. Træk resultatet fra Eksempel (Underforstået gangetegn) Normalt vil vi skrive ( 2 5a) b = 2b 5ab i stedet for ( 2 5 a) b = 2 b 5 a b Afsnit 6. Øvelser 6.12 Øvelse (Reducér) Reducér følgende udtryk. (1) 2 ( 4) (4) x 4 ( ) (2) ( 5) (5) a ( 2)( 5) () 6 ( a ) ( 2) (6) ( 1) x Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

15 6.1 Øvelse (Hvilke er ens?) Hvilke af følgende udtryk er lig hinanden uanset hvilke tal a og b står for? (1) 2b( a) (4) a ( 2b + 1) (2) 2( b a) (5) 2 ab () ( 2b 2a) (6) 2 ab + a Afsnit 7. Reducere 7.1 Eksempel Ofte kan vi reducere et udtryk ved at bruge nogle af de foregående regler til først at fjerne parenteser og derefter at trække led sammen. Her er et eksempel på dette: x 2 ( x + ) = x ( 2x + 6) ifølge regel om at gange ind i parentes (.1) = x 2x 6 ifølge regel om at hæve minusparentes (2.1) = x 6 ifølge regel om at samle led (4.) Uanset hvilket tal x står for, gælder altså at x 2( x + ) = x Eksempel Ofte kan vi reducere et udtryk ved at bruge nogle af de foregående regler til først at reducere hvert led og derefter at trække led sammen. Her er et eksempel på dette: Udtrykket ( 2) ( x) + 2 x ( ) x består af de tre led ( 2) ( x) og 2 x ( ) og x Ved hjælp af reglerne i afsnit 6 kan vi reduceres disse led til 2 x og 6x og x Ved at lægge disse sammen får vi 5x Uanset hvilket tal x står for, gælder altså at ( 2) ( x) + 2 x ( ) = 5x Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

16 Afsnit 7. Øvelser 7. Øvelse (Reducér som i 7.1) Reducér følgende udtryk. (1) (4 x ) (2x 2) (4) (2x + 1) 2( 4x) (2) x 4 4(2 x) (5) a( 4 + b) 2ab () + 5( + 4x) x (6) 4(1 + 2b ) (2a ) b 7.4 Øvelse (Reducér som i 7.2) Reducér følgende udtryk. (1) ( ) x + 2 ( 4) + x 1 (4) ( 5) 1+ 5( x) x (2) ( 2) x + ( 4) x 1 (5) a 2 b + ( a)( b) a () 4x ( )( x) + ( 5) 1 (6) 2a 4a( b) + a ( ) 7.5 Øvelse (Reducér som i 7.1 og 7.2) Reducér følgende udtryk. (1) (5x 4) + ( 2)( x) (4) 7 ( ) x + (4x + 2) ( 2) (2) x ( 4) (6x + 8) (5) ( 2)( x) + ( 4) (4 x) () 4x ( 5)( x) (6) 4(1 2x) ( )( x) Afsnit 8. Brøker 8.1 Regler (Hvad er en brøk?) Når m og n står for tal, og n ikke står for 0, så gælder: (a) Brøken m er det samme som m: n, dvs. m divideret med n. n 12 Da 4 går gange op i 12, er =. 4 (b) Brøken m er det samme som en n'tedel af m. n 12 Da en fjerdedel af 12 er, er =. 4 (c) m Brøken er det samme som m n'tedele, dvs. m 1. n n Tre femtedele er = Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

17 8.2 Oplæg (Dividere produkt med tal) h og b står for højde og bredde i rektanglet ABCD. I rektanglet BCFE er højden h. Areal af ABCD er h b A D Areal af BCFE er en tredjedel af dette areal: h b Areal af BCFE er Dette areal kan også udregnes som højde gange bredde: h E h F Areal af BCFE er b h h b h B C Altså er = b b 8. Oplæg (Dividere flerleddet udtryk med tal) Rektangel ABCD er delt op i to rektangler med areal H og K. Rektangel ABEF er en tredjedel af rektangel ABCD. A D Areal af ABCD er H + K Areal af ABEF er en tredjedel af dette areal: H H + K Areal af ABEF er Areal af ABEF fås også ved at lægge de to delarealer sammen: H K Areal af ABEF er + B A F K C D Altså er H + K = H K + H K B E C 8.4 Regler (Dividere produkt eller flerleddet udtryk med tal) (a) (b) Vi kan dividere et produkt med et tal ved at dividere en af faktorerne med tallet: m n m n = n = m k k k Vi kan dividere en flerleddet størrelse med et tal ved at dividere hvert af leddene med tallet: m + n m n m n m n = + og = k k k k k k Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

18 8.5 Eksempel (Dividere produkt og flerleddet udtryk med tal) Vi beregner en fjerdedel af 12 x + 8 : 12 x x 8 = + ifølge regel for at dividere flerleddet udtryk med tal, dvs. 8.4(b) = x + ifølge regel for at dividere produkt med tal, dvs. 8.4(a) 4 4 = x Eksempel Vi beregner halvdelen af x + : x + 2 x = 2 + ifølge regel for at dividere flerleddet udtryk med tal, dvs. 8.4(b) 2 1 m = x + ifølge reglen = 1 m, dvs. 8.1(c) 2 2 n n 8.7 Regler (Forkorte nævner væk) (a) (b) m n n = m n n = m m 8.8 Regler (Fortegn for brøk) (a) (b) m n m n = m m = n n = m m = n n = m n 8.9 Regel (Forlænge og forkorte en brøk) En brøks talværdi ændres ikke når brøken forlænges (dvs. tæller og nævner ganges med samme tal) eller forkortes (dvs. tæller og nævner divideres med samme tal). Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

19 8.10 Regel (Tre særlige brøker) Uanset hvilket tal x står for, så gælder (a) x = 1 Hvis x ikke står for 0, så gælder men x x (b) = 1 x 0 (c) = 0 x x 0 står ikke for noget tal, da man ikke kan dividere med Eksempel 4x ifølge regler for at dividere flerleddet udtryk = x og produkt med tal, dvs. 8.4(a)(b) 2 1 = x ifølge regler for fortegn og forkortning, dvs. 8.8 og Afsnit 8. Øvelser 8.12 Øvelse (Forkorte nævner væk) Reducér (se 8.7). (1) 4x 4 () (2) x (4) 5 a (5) x 5 x 5x 5 (6) a ( x + 2) a 8.1 Øvelse (Dividere produkt eller flerleddet udtryk med tal) Af hver af følgende skal du beregne en tredjedel efter princippet fra 8.5 og 8.6. (1) 15 x + 6 (4) 12 x (2) 12 9x (5) x + 15 () 12 x (6) 2 x Øvelse (Dividere produkt eller flerleddet udtryk med tal) Af hver af følgende skal du beregne en femtedel efter princippet fra 8.5 og 8.6. (1) 10 a + 5b + 20 (2) 10 ( a + 5b) + 20 Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

20 8.15 Øvelse (Hvad beregner regneudtrykket?) I et rektangulært område på en mur danner små kvadratiske fliser et skakbrætmønster. Den øverste femtedel af fliserne er mørke, de andre lyse. Den tredjedel af fliserne der er længst mod højre, er glatte, de andre er ru. (1) Afgør for hver af følgende fire udregninger, hvad det er den pågældende udregning beregner: (a) Læg antal glatte til antal ru. (b) Læg antal glatte til antal ru. Divider resultatet med 5. (c) Divider antal ru med 5. Divider antal glatte med 5. Læg de to resultater sammen. (d) Divider antal glatte med 5. Læg resultatet til antal ru. (2) Skriv hver af de fire udregninger som et regneudtryk hvor g står for antal glatte, og r står for antal ru. () Afgør hvilke af regneudtrykkene der er lig hinanden, og skriv disse med lighedstegn imellem Øvelse (Opstille regneudtryk) Rektanglet ABCD er delt op i fire lige store rektangler. Når vi får oplyst højde og bredde af rektanglet ABCD, er der to nærliggende måder hvorpå vi kan beregne arealet af ABEF (se 8.2). (1) Beskriv hver af disse to udregninger i dagligsprog. (2) Skriv hver af udregningerne som et regneudtryk hvor h og b står for højde og bredde af rektanglet ABCD. A B F E D C 8.17 Øvelse (Opstille regneudtryk) Rektanglet ABCD er delt op i fire lige store rektangler. Når vi har fået oplyst arealerne af delrektanglerne ABEF og FECD, er der to nærliggende måder hvorpå vi kan beregne arealet af GBCH (se 8.). (1) Beskriv hver af disse to udregninger i dagligsprog. (2) Skriv hver af udregningerne som et regneudtryk hvor V og H står for arealerne af de to delrektangler. A G B F E D H C 8.18 Øvelse Omskriv følgende som vist i 8.11: 2 x + 4 (1) 4 (2) 1 2x 8 Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

21 Afsnit 9. Ligninger 9.1 Oplæg (Tænk på en vægt når du løser en ligning) På første figur ser vi en vægt hvor der er lagt nogle blyterninger og nogle papirposer. Alle poser indeholder samme antal blyterninger. Vi kender endnu ikke antallet af terninger i en pose, men vi lader x stå for dette antal. Vi ser at det der ligger på de to vægtskåle, vejer lige meget. Denne oplysning kan skrives sådan: 5 x = 2x + 12 Vi forestiller os at vi fjerner to poser fra hver vægtskål. Så må der stadig være ligevægt. Der gælder altså: dvs. 5x 2x = 2x x x = 12 En tredjedel af det der er på venstre vægtskål, må veje det samme som en tredjedel af det der er på højre vægtskål: dvs. x 12 = x = 4 Der er altså 4 terninger i hver pose. 9.2 Regler (Løsning af ligning) (a) I en ligning må vi lægge det samme tal til eller trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. (b) I en ligning må vi gange eller dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet hvis det tal vi ganger eller dividerer med, ikke er nul. 9. Eksempel (Ligning hvor der er lagt et tal til x) Vi vil løse ligningen x +14 = 25 Vi trækker 14 fra begge sider: x = 11 Løsningen er altså Eksempel (Ligning hvor der er trukket et tal fra x) Vi vil løse ligningen x 8 = 1 Vi lægger 8 til begge sider: x = 21 Løsningen er altså 21. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

22 9.5 Eksempel (Ligning hvor x er ganget med et tal) Vi vil løse ligningen 8 x = 40 Vi dividerer begge sider med 8: 8x 40 = 8 8 Vi reducerer begge sider: x = 5 Løsningen er altså Eksempel (Ligning hvor x er delt med et tal) Vi vil løse ligningen x 9 5 = Vi ganger begge sider med 5: x 5 = Vi reducerer begge sider: x = 45 Løsningen er altså Eksempel (Simpel ligning) Vi vil løse ligningen x 9 = 7x + 11 På begge sider trækker vi 7 x fra og lægger 9 til: 4 x = 20 Vi dividerer begge sider med 4 : 4x 20 = 4 4 Vi reducerer begge sider: x = 5 Løsningen er altså Eksempel (Kontrol af løsning) I eksempel 9.7 regnede vi os frem til at 5 er løsning til ligningen x 9 = 7x + 11 dvs. at ligningens to sider giver det samme når x står for tallet 5. Vi vil kontrollere om dette er rigtigt. Når x = 5 får vi: x 9 7 x + 11 = ( 5) 9 = 7 ( 5) + 11 = 15 9 = = 24 = 24 Da ligningens to sider giver samme resultat når x = 5, så er 5 løsning til ligningen. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

23 9.9 Eksempel (Advarsel) Hvis vi for at løse ligningen (a) 19 = 2x + 5 dividerer begge sider med 2, så får vi ikke 19 2 = x + 5 Ifølge 8.4(b) får vi 19 5 = x Det er dog mere smart hvis vi starter med at trække 5 fra begge sider i (a) så vi får 14 = 2x 9.10 Eksempel (Ligning med parentes) Vi vil løse ligningen x 2 (5 x) = 4 Vi ganger 2 ind i parentesen: x ( 10 6x ) = 4 Vi hæver parentesen: x x = 4 Vi reducerer venstre side: 7 x 10 = 4 Vi lægger 10 til begge sider: 7 x = 14 Vi dividerer begge sider med 7: 7x 14 = 7 7 Vi reducerer begge sider: x = 2 Løsningen er altså Eksempel (Opstille ligning) Følgende er oplyst: En skole har 6 klasser med lige mange elever i hver. En dag hvor 11 elever er fraværende, er der 97 elever i skole. Ud fra denne oplysning vil vi opstille en ligning: (1) Antal elever i en klasse: x (2) Antal elever på skolen: 6 x () Antal elever der er i skole: 6x 11 (4) Ligning: 6 x 11 = 97 Ved at løse ligningen som i 9.7 finder vi ud af at der er 18 elever i hver klasse. Afsnit 9. Øvelser 9.12 Øvelse (Ligninger som i 9. og 9.4) Løs hver af ligningerne ved brug af reglerne 9.2. Skriv hvad du gør, som det er gjort i 9. og 9.4. (1) x +12 = 19 (4) x 7 = 8 (2) 14 = x + 22 (5) 5 = x 1 () 6 + x = 8 (6) 16 = 9 + x Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

24 9.1 Øvelse (Ligninger som i 9.5 og 9.6) Løs hver af ligningerne ved brug af reglerne 9.2. Skriv hvad du gør, som det er gjort i 9.5 og 9.6. (1) 4 x = 24 (5) 24 = x (2) 18 = x (6) x 5 6 = () x 6 = 0 (7) (4) 5 x = 40 (8) 8 = x 4 1 x = Øvelse (Ligninger som i ) Løs hver af ligningerne ved brug af reglerne 9.2. Skriv hvad du gør, som det er gjort i (1) 14 = x + 8 (4) 1 9 = x 2 (2) 2 = 8x (5) 1 + x = x () = 12 (6) 7 = x 9.15 Øvelse (Ligninger som i 9.7, men lidt simplere) Løs hver af ligningerne ved brug af reglerne 9.2. Skriv hvad du gør, som det er gjort i 9.7. (1) 8 x 18 = 6 (4) 14 = x + 5 (2) 8 x 18 = 6x (5) 12 = + 5x () 8 7x = 6 (6) x = 8 5x 9.16 Øvelse (Ligninger som i 9.7) Løs hver af ligningerne ved brug af reglerne 9.2. Skriv hvad du gør, som det er gjort i 9.7. (1) x + 4 = 16 x (4) 2 + 5x = 2x + 11 (2) + 4x = 4 x (5) x 4 = 2x + 6 () 1 x = x + 1 (6) 6 x + 4 = x Øvelse (Ligninger med parentes) Løs hver af ligningerne ved brug af reglerne 9.2. Skriv hvad du gør, som det er gjort i (1) 4 x 6 = x 10 (4) ( 2x 4) + 2(1 x) = 2 (2) 5 (x + 6) = 2x + 9 (5) 1 4x = 4 (2x + 5) () 6 ( x + 2) = x + 12 (6) 5( x + 2) = (4 x) Opskriv kontrol af løsningerne som vist i 9.8. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

25 9.18 Øvelse (Oversætte fra dagligsprog til ligning) (1) Følgende er oplyst: Når vi lægger 6 til antal drenge, så får vi det samme som hvis vi ganger antal drenge med 4. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for antal drenge, og bestem antal drenge. (2) Følgende er oplyst: Når vi ganger antal piger med og lægger 8 til, så får vi det samme som når vi ganger antal piger med 5. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for antal piger, og bestem antal piger Øvelse (Oversætte fra dagligsprog til ligning) (1) Følgende er oplyst: Når vi lægger 7 til antal drenge og ganger resultatet med 8, så får vi 96. Skriv denne oplysning som en ligning hvor d står for antal drenge, og bestem antal drenge. (2) Følgende er oplyst: Når vi trækker antal piger fra 2 og trækker resultatet fra 24, så får vi 1. Skriv denne oplysning som en ligning hvor p står for antal piger, og bestem antal piger Øvelse (Opstille ligning) (1) Følgende er oplyst: I en klasse er der 16 piger og 20 drenge. Der er lige mange piger og drenge i skole en dag hvor dobbelt så mange drenge som piger er fraværende. Skriv ud fra denne oplysning en ligning hvor x står for antal fraværende piger, og bestem antal fraværende piger; men besvar først følgende hjælpespørgsmål: (a) Hvis vi kendte antal fraværende piger, hvordan kunne vi så regne ud hvor mange piger der er i skole? (b) Skriv svaret på (a) som et regneudtryk hvor x står for antal fraværende piger. (c) Hvis vi kendte antal fraværende piger, hvordan kunne vi så regne ud hvor mange drenge der er fraværende? (d) Skriv svaret på (c) som et regneudtryk hvor x står for antal fraværende piger. (e) Hvis vi kendte antal fraværende piger, hvordan kunne vi så regne ud hvor mange drenge der er i skole? (d) Skriv svaret på (e) som et regneudtryk hvor x står for antal fraværende piger. (2) Følgende er oplyst: En ny klasse dannes ved at en klasse med 15 piger og 11 drenge bliver slået sammen med en lille klasse hvor der er tre gange så mange drenge som piger. I den nye klasse er der lige mange piger og drenge. Skriv ud fra denne oplysning en ligning hvor x står for antal piger i den lille klasse, og bestem antal piger i den lille klasse. Bogstavregning. En indledning for stx og hf Side Karsten Juul

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

for matematik på C-niveau i stx og hf

for matematik på C-niveau i stx og hf VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. . Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Differential- ligninger

Differential- ligninger Differential- ligninger Et oplæg 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der kan gennemgås før man går i gang med en lærebogs fremstilling af emnet differentialligninger Læreren skal

Læs mere

ALGEBRA OG LIGNINGER. Opgave 11

ALGEBRA OG LIGNINGER. Opgave 11 A. 12 B. 40 2 4 2 C. 8 x 416 A. 9,5a B. 2a + 5b A. 0 A. B. Elevforklaring 1 A. B. Elevforklaring 2 A. Omkreds: 2 3a + 2 a = 8a B. Areal: a 3a =3a 2 B. = 4 cm 3 A. Fx A. 4x = 120 m B. 30 m C. D. 245,92

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2 Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Mattip om. Brøker 1. Tilhørende kopi: Brøker 1. Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner

Mattip om. Brøker 1. Tilhørende kopi: Brøker 1. Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner Mattip om Brøker Du skal lære at: En brøk består af en tæller og en nævner Kan ikke Kan næsten Kan Det samme tal kan skrives både som brøk og decimaltal I en uægte brøk er tælleren større end nævneren

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:

Algebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Mattip om. Ligninger 1. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. Hvad en ligning er. Hvordan du kan genkende en ligning

Mattip om. Ligninger 1. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. Hvad en ligning er. Hvordan du kan genkende en ligning Mattip om Ligninger 1 Du skal lære: Hvad en ligning er Kan ikke Kan næsten Kan Hvordan du kan genkende en ligning Ligningsløsning ved gæt og kontrol Reducering og løsning af ligninger 2016 mattip.dk 1

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Brug af brøker. Men brøker kan også bruges til at beskrive andet end størrelser Kapitlet handler om noget af det, brøker kan bruges til at beskrive.

Brug af brøker. Men brøker kan også bruges til at beskrive andet end størrelser Kapitlet handler om noget af det, brøker kan bruges til at beskrive. Brug af brøker Brøker er tal ligesom de hele tal. På tallinjen er der uendelig mange brøker imellem de hele tal. Vi kan beskrive mange af de størrelser vi har brug for med brøker - fx længder og rumfang.

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger G ISBN: 978-87-92488-07-7 10. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger.

Matematik for malere. praktikopgaver. Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger. Matematik for malere praktikopgaver 3 Tilhører: Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger 2 Indhold: Tegneopgave... side 4 Ligninger... side 8 Areal...

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Mattip om. Brøker 2. Tilhørende kopier: Brøker 2 og 3. Du skal lære: Om addition af brøker. At forkorte en brøk. At forlænge en brøk

Mattip om. Brøker 2. Tilhørende kopier: Brøker 2 og 3. Du skal lære: Om addition af brøker. At forkorte en brøk. At forlænge en brøk Mattip om Brøker 2 Du skal lære: Om addition af brøker Kan ikke Kan næsten Kan At forkorte en brøk At forlænge en brøk At gange en brøk med et helt tal Tilhørende kopier: Brøker 2 og 2016 mattip.dk 1 Brøker

Læs mere

Korncirkler og matematik

Korncirkler og matematik Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

brikkerne til regning & matematik brøker basis+g preben bernitt

brikkerne til regning & matematik brøker basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker basis+g preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker, basis ISBN: 978-87-92488-04-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

brøker trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik brøker, trin 1 ISBN: 978-87-92488-04-6 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Brøker og forholdstal

Brøker og forholdstal Brøker og forholdstal Hvad er brøker - nogle eksempler... 6 Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... 0 Regning med brøker - plus og minus... Regning

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence Facit til demoopgaver for 6. og 7. klassetrin Navn og klasse 3 point pr. opgave Facit 1 Hvilken figur har netop halvdelen farvet? A B C D E 2 På min paraply fra Australien står der KANGAROO: Hvilket af

Læs mere

Mattip om. Arealer 1. Tilhørende kopier: Arealer 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Arealberegning af et kvadrat eller rektangel

Mattip om. Arealer 1. Tilhørende kopier: Arealer 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Arealberegning af et kvadrat eller rektangel Mattip om realer 1 Du skal lære om: De vigtigste begreber Kan ikke Kan næsten Kan realberegning af et kvadrat eller rektangel Tegning/konstruktion af kvadrater og rektangler realberegning af et parallelogram

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

TAL OM - '" EKSEMPEL EKSEMPEL. a c. - x =.2 -f.)(

TAL OM - ' EKSEMPEL EKSEMPEL. a c. - x =.2 -f.)( Al gebra og ligning er 7..0-1 Ligninger '? k 'Z "-0'1 Zo '8 x.:: 3-4)("'~g 3~X"'3,.il ''

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Kort om Eksponentielle Sammenhænge

Kort om Eksponentielle Sammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Kom i gang-opgaver til differentialregning

Kom i gang-opgaver til differentialregning Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Format FACITLISTE I I I I I I I I I. Træningshæfte 1. klasse. Side 3. Facit, side 1-3. Format, Træningshæfte 1.1. Alinea. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx.

Format FACITLISTE I I I I I I I I I. Træningshæfte 1. klasse. Side 3. Facit, side 1-3. Format, Træningshæfte 1.1. Alinea. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Fx. Side Format Træningshæfte klasse Tæl ting Side FCITLISTE Side Skriv tallene Talforståelse. Marker med krydser antallet af blomster og deres blade, bier og deres vinger samt biller og deres ben. I I I.

Læs mere

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 003, 004, 006 & 007 Afleveringsdato: Uge 35:

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 003, 004, 006 & 007 Afleveringsdato: Uge 35: Sæt 01 Ligninger og algebra 01 Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 003, 004, 006 & 007 Afleveringsdato: Uge 35: 28-08-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 45 min. = 0,75 timer

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus og minus... Gange og division... Plus, minus, gange og division... Negative tal...7 Parenteser...9 Brøkstreger...1 Tekst og regnestykker hvad passer sammen?... Potenser...

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal

Decimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat7 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker

Læs mere

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul

sammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere