Matricer og lineære ligningssystemer

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matricer og lineære ligningssystemer"

Transkript

1 Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium

2 Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix og matrixligninger 1 Lineære ligningssystemer 15 1 To ligninger med to ubekendte 15 Højere ordens systemer, n lineære ligninger med n ubekendte 16 3 Totalmatricer og rækkeoperationer 19 A Matricer på TI-lommeregnere 6 A1 Indtastning 6 A11 TI A1 TI-89 6 A Regning med matricer og invers matrix 6 A1 TI A TI-89 6 A3 MATH-menu og determinant 7 A31 TI A3 TI-89 7 A4 Matrixligninger 7 A41 TI-83+ og TI

3 Kapitel 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber En matrix er et rektangulært skema af tal feks Matricen ovenfor er en (4 3)matrix dvs den består af re rækker og tre søjler Helt generelt er en matrix A med m rækker og n søjler, en (m n) matrix, et skema a 11 a 1 a 13 a 1 n 1 a 1 n a 1 a a 3 a n 1 a n a A = 31 a 3 a 33 a 3 n 1 a 3 n a m 1 1 a m 1 a m 1 3 a m 1 n 1 a n 1 n a m 1 a m a m 3 a m n 1 a n n Tallene i skemaet kaldes matricens elementer og tallet i den i te rækker og j te søjle betegnes a ij, og kaldes det ij'te element I taleksemplet ovenfor er a 11 = 1, a 3 = Rækken a i1 a i a i3 a i n 1 a in

4 KAPITEL 1 MATRICER 3 kaldes den i'te række og søjlen a 1j a j a mj kaldes den j te søjle Matricer betegnes med store bogstaver A, B, og betegnes kort som (a ij ) og (b ij ) Eksempel 111 En (3 )matrix kan skrives a 11 a 1 A = a 1 a a 31 a 3 Eksempel 11 Matricen har to rækker og fem søjler og er dermed en ( 5)matrix 1 Regning med matricer Hvis vi har to matricer med samme antal rækker og søjler, kan vi lægge de to matricer sammen Det gør man ved at lægge sammen "plads for plads" = Den resulterende matrix kaldes summen af matricerne Vi denerer Denition 11 Lad A = (a ij ) og B = (b ij ) være to (m n)matricer Så deneres A + B = (a ij + b ij ) Matricen A + B kaldes summen af A og B

5 KAPITEL 1 MATRICER 4 Eksempel = giver ikke mening Opgave 13 Udregn For matrixaddition gælder følgende Sætning 14 Lad A, B og C være vilkårlige (m n)matricer Så vil (i) A + (B + C) = (A + B) + C (ii) A + B = B + A (iii) Der ndes en matrix 0, kaldet nulmatricen, som opfylder for alle A A + 0 = A (iv) Til enhver matrix A ndes en modsat matrix A, så A + ( A) = 0 Bevis De første to regler følger umiddelbart af de tilsvarende regneregler for tal, som giver A + (B + C) = (a ij ) + ((b ij ) + (c ij )) = (a ij ) + (b ij + c ij ) = (a ij + b ij + c ij ) = (a ij + b ij ) + (c ij ) = (A + B) + C A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) = (b ij + a ij ) = (b ij ) + (a ij ) = B + A

6 KAPITEL 1 MATRICER 5 Nulmatricen skal selvfølgelig være (m n)matricen med 0 på alle pladser Den modsatte matrix til matricen A = (a ij ) får vi ved at skifte fortegn på elementerne i A dvs A = ( a ij ) Sætningen viser, at (m n)matricerne er en Abelsk gruppe med hensyn til addition, ligesom feks Z og R Ved brug af den modsatte matrix, kan vi denere dierensen A B som A B = A + ( B) Denne måde at denere på er fælles for alle grupper, og regneoperationen er dermed bare en addition af det modsatte element Feks er 7 4 deneret som 7 + ( 4) Man kan også gange en matrix med et tal Det gør man ved at gange alle elementer i matricen med tallet Denition 15 For (m n)matricen A = (a ij ) og tallet t deneres produktet t A ved t A = (ta ij ) Eksempel = Regnereglerne for multiplikation med et tal er følgende Sætning 17 Antag A og B er (m n)matricer og s og t er reelle tal Så er (i) (s t) A = s (t A) (ii) 1 A = A (iii) (s + t) A = s A + t A (iv) s (A + B) = s A + s B Bevis Regneregler følger let udfra de tilsvarende regneregler for reelle tal

7 KAPITEL 1 MATRICER 6 Opgave 18 I følgende opgave er A = , B = 1 3, C = , D = , E = Udregn (i) 4 B (ii) C (iii) 3 A E (iv) D + D Vi vil også indføre produktet af to matricer Det er ikke alle matricer, der kan ganges sammen Hvis vi skal kunne gange A med B, skal matricen A have lige så mange søjler, som B har rækker Hvis A er en (m n)matrix, skal B være en (n p)matrix Produktet A B bliver en (m p)matrix og hovedprincippet i multiplikationen kan illustres ved guren Vi vælger en række i den første matrix og en søjle i den anden Så bevæger vi os hen gennem rækken og ned gennem søjlen, idet vi ganger de tilsvarende elementer i rækken og søjlen med hinanden og lægger produkterne sammen Resultatet bliver et element i produktmatricen på pladsen med numre efter den første matrixs række og den anden matrixs søjle Produktmatricen får lige så mange rækker som den første matrix og lige så mange søjler som den anden Vi illustrerer princippet med et eksempel =

8 KAPITEL 1 MATRICER 7 = Vi har ganget en ( )matrix med en ( 3)matrix og resultatet er en ( 3)matrix Selve denitonen på multiplikationen er Denition 19 Lad A = (a ij ) være en (m n)matrix og B = (b ij ) en (n p)matrix Så er produktet A B (m p)matricen givet ved A B = (a i1 b 1j + a i b j + + a in b nj ) Matrixmultiplikation adskiller på et meget vigtigt punkt fra multiplikation af tal Selv om man kan udregne A B, er det ikke sikkert, at man kan udregne B A, og hvis begge produkter kan udregnes, er de normalt ikke ens Hvis vi feks ser på matricerne A og B A = B = vil A B = = 6 1, = mens 3 0 B A = = =

9 KAPITEL 1 MATRICER 8 A B bliver en ( )matrix og B A en (3 3)matrix Opgave 110 Udregn følgende produkter (i) , 7 5 (ii) , (iii) , (iv) , (v) Kontroller regningerne ved brug af en lommeregner (med TI-83+ og TI- 89, se side 6) Selv om produktet A B og har B A har samme størrelse, behøver de stadig ikke blive ens Opgave 111 Lad A = Udregn, B =

10 KAPITEL 1 MATRICER 9 AB = og BA = Sætning 11 For multiplikation af matricer gælder regnereglerne (i) (s A) B = s (A B) = A (s B) (ii) A (B + C) = A B + A C (iii) (A + B) C = A C + B C (iv) A (B C) = (A B) C Bevis Forbigås Sammen med de øvrige regneregler bevirker ovenstående regler, at man stort set kan regne med matricer som med tal, men med en betydningsfuld forskel Normalt er A B B A Derfor må man ikke ændre på rækkefølgen af faktorerne i et matrixprodukt 13 Kvadratiske matricer og determinant En (n n)matrix a 11 a 1 a 1 n 1 a 1n a 1 a a n 1 a n a n1 a n a n n 1 a nn kaldes også en kvadratisk matrix I en kvadratisk matrix siges et elementet a ij at stå i diagonalen, hvis i = j Når i j, står elementet uden for diagonalen En kvadratisk matrix kaldes en diagonalmatrix, hvis alle elementerne uden for diagonalen er 0

11 KAPITEL 1 MATRICER 10 En diagonalmatrix med lutter 1-taller i diagonalen kaldes en enhedsmatrix og betegnes med E eller evt E n,n, hvis man vil fremhæve antallet af rækker og søjler Nedenfor ses eksempler på nogle diagonalmatricer, hvoraf den sidste er en enhedsmatrix For en vilkårlig (n n)matrix A vil A E n,n = A og E n,n A = A dvs at multiplikation med E fra højre eller venstre ikke ændrer den oprindelige matrix Denne egenskab svarer til egenskaben ved tallet 1, når vi ganger tal sammen Opgave 131 Sæt A = og E = Udregn AE = og EA = Til en kvadratisk matrix A knyttes et tal det(a), kaldet determinanten af A For en ( )matrix A = a 11 a 1 a 1 a

12 KAPITEL 1 MATRICER 11 er determinanten af A tallet det(a) = a 11 a a 1 a 1 For determinanten af A benyttes også en skrivemåde med lodrette streger det(a) = det a 11 a 1 a 11 a 1 = a 1 a a 1 a Eksempel 13 Ifølge denitionen bliver det 3 = = 10 3 = det -1 = ( 1) ( 6) 3 = 6 6 = For en (3 3)matrix A = a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 deneres determinanten af A, det(a), som tallet det(a) = a 11 a a 33 +a 1 a 3 a 31 +a 13 a 1 a 3 a 13 a a 31 a 11 a 3 a 3 a 1 a 1 a 33 Determinanten skrives også a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 Eksempel = ( 1) 3 ( ) ( 1) ( ) = ( ) ( 8) 18 = 1

13 KAPITEL 1 MATRICER 1 Hvis man ser på leddende i udtrykkene for determinanterne, kan man se, at de er produkter, som hver indeholder præcis én faktor fra hver række og én fra hver søjle, og alle leddene repræsenterer de mulige valg Nogle produkter indgår med fortegnet +, andre med Vi vil ikke her komme inde på, hvad der bestemmer fortegnet Fremgangsmåden til beregning af determinanter af matricer, der er større end (3 3)matricer er det samme, men der kommer rigtigt mange led (n! for en (n n)matrix) Der ndes ere smarte metoder til at beregne determinanter, men vi vil stille os tilfreds med at kunne nde determinanter ved at bruge lommeregner (eller mat-programmer) Opgave 134 Find følgende determinanter ved håndkraft , Find følgende determinanter ved brug af lommeregner , Invers matrix og matrixligninger Hvis determinanten for en matrix A er forskellig fra nul, ndes en matrix A 1, som opfylder A 1 A = A A 1 = E Matricen A 1 kaldes A's inverse matrix Opgave 141 Undersøg om matricen

14 KAPITEL 1 MATRICER 13 er den inverse til matricen For ( )matricer er det nemt at nde den inverse matrix, hvis den ndes, altså hvis determinanten ikke er nul Antag A = a c med det(a) = ad bc 0 Så er den inverse matrix A 1 A 1 = b d 1 d b ad bc c a (11) (1) For at vise, at dette er sandt, udregnes A 1 A A 1 A = 1 d b ad bc c a a c b d = 1 ad bc da bc db bd ca + ac cb + ad = 1 ad bc ad bc 0 0 ad bc = = E Opgave 14 Vis, at A A 1 = E med A som i (11) og A 1 som i (1) Den inverse matrix kan også skrives A 1 = 1 d b det A c a For større matricer er der ikke nogen simple udtryk, der giver den inverse matrix Hvis man har brug for den inverse matrix kan man få den udregnet på lommeregneren

15 KAPITEL 1 MATRICER 14 Opgave 143 Find den inverse matrix til matricen ved håndkraft Find den inverse matrix til matricen ved hjælp af lommeregneren Inverse matricer kan bruges til at løse matrixligninger Hvis vi ser på ligningen A X = B, hvor A, X og B er matricer, kan vi isolere matricen X, når A har en invers matrix Hvis vi nemlig ganger med A 1 på begge sider, får vi A 1 (A X) = A 1 B, som ifølge regnereglerne er (A 1 A) X = A 1 B Da A 1 A = E og E X = X, bliver X = A 1 B Her skal man være opmærksom på rækkefølgen af matricerne på højre side, og den skal respekteres Tilsvarende kan man løse ligningen A X + B = C, hvis A er invertibel Løsningen bliver X = A 1 (C B)

16 Kapitel Lineære ligningssystemer 1 To ligninger med to ubekendte Man kommer tit ud for at skulle løse to ligninger med to ubekendte som feks x + y = 3 5x + 3y = 7 Løsningen er x = og y = 1 og kan ndes ved feks at isolere y i den øverste ligning og sætte det fundne udtryk for y ind i den anden ligning og nde x Den fundne x-værdi sættes så ind i udtrykket for y og y beregnes Man kan i stedet bruge matricer ved at skrive ligningerne på en lidt anden måde x + y = 3 5x + 3y 7 Venstre side kan nu omskrives til et produkt af matricer x + y = 1 x 5x + 3y 5 3 y, så vi alt i alt får en matrixligning 1 x 5 3 y = 3 7 Næste trin er nde den inverse til ( )matricen Vi sætter 15

17 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 16 A = Så bliver A 1 = = Vi ganger nu med A 1 fra venstre på begge sider af matrixligningen og får x = 3-1 3, y -5 7 så x y = 3 + ( 1) , dvs x y = 1, som giver x = og y = 1, hvilket det jo også gerne skulle Matricen A i eksemplet kaldes koecientmatricen, da dens elementer er koecienterne i ligningerne Første række indeholder koecienterne i den første ligning, og anden række indeholder koecienterne i den anden ligning Hvis determinanten af en koecientmatrix er forskellig fra nul, har de to ligninger med to ubekendte præcis en løsning, som kan ndes som i eksemplet ovenfor Højere ordens systemer, n lineære ligninger med n ubekendte Hvis man har en tredje ubekendt z, skal vi have en ligning mere, så vi har 3 ligninger med x, y and z Vi tager følgende ligninger x + y + z = 1 3y z = x y + 8z = 7

18 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 17 som kan omskrives til matrixligningen x y z = -1 7 Koecientmatricen er nu en 3 3 matrix, som vi igen kalder A Hvis det(a) 0, ndes der præcis en løsning, som ndes ved at gange matrixligningen igennem med A 1 fra venstre Vi nder determinanten af A på lommeregner til og den inverse matrix til Vi ganger igennem med A 1 x y z = og ganger matricerne på højre side sammen (det kunne man jo også gøre på lommeregneren) x y z = 11 ( 1) + ( 9) + ( 5) 7 ( ) ( 1) ( 3) ( 1) og får x y z = Dvs at løsningen bliver x = 64, y = 13 og z = 37

19 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 18 I det generelle tilfælde er et lineært ligningssystem med n ligninger og n ubekendte et system af n ligninger på formen a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a n1 x 1 + a n x + + a nn x n = b n Ligningssystemet kan skrives på matrixformen a 11 a 1 a 1n x 1 b 1 a 1 a a n x b = a n1 a n a nn eller kort Ax = b, hvor A er en n n matrix, b er en n 1 matrix og x er den n 1 matrix, der skal ndes Hvis deta 0, kan vi nde A 1 og ligningen har præcis en løsning x x = A 1 b hvor x 1 x x = Hvis deta = 0 kaldes matricen singulær, og så har ligningssystemet enten ingen løsninger eller uendeligt mange løsninger (Ligningsystemets evt løsninger kan ndes feks ved brug af Gauss elimination) Opgave 1 Løs ligningssystemerne og x n 4x + y = 7 x n x + 5y = 7 x 1 + 5x = 7 x 1 7x = 5 b n

20 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 19 Opgave Løs følgende 3 ligningssystemerne x y z = y + 3z = 0 x 3y + 3z = 4 x 1 3x + x 3 = 6x 1 + 4x + 11x 3 = 1 5x 1 x x 3 = 17 3x 1 + x = 11 x 1 5x + x 3 = 15 3x + 7x 3 = 17 Opgave 3 Løs ligningssystemet x 1 x 3 + 4x 4 = 4 x 1 + x 4x 3 + 6x 4 = 9 x 1 + x + 5x 3 3x 4 = 9 3x 1 + 3x 5x 3 + 4x 4 = 15 3 Totalmatricer og rækkeoperationer Vi vil nu se på en måde til at løse m lineære ligninger med n ubekendte, når m n Vi ser altså på et system a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m Når man skal løse ligningssystemet, foretager man nogle omformninger, der erstatter det oprindelige ligningssystem med et nyt, som har præcis de samme løsninger Et ligningssystems løsninger ændres ikke, hvis vi skriver ligningerne i en anden rækkefølge ganger en ligning igennem med et tal forskelligt fra nul lægger et tal gange en af ligningerne til en anden af ligningerne

21 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 0 Disse omformninger svarer til nogle tilladte rækkeoperationer i ligningssystemets totalmatrix (se nedenfor) Først skriver man ligningssystemet på matrixform a 11 a 1 a 1n x 1 b 1 a 1 a a n x b = a m1 a m a mn x n b m Totalmatricen fås ved at supplere matricen A med koecienterne med en søjle med b erne b 1,, b m a 11 a 1 a 1n b 1 a 1 a a n b a m1 a m a mn b m og en lodret streg, som markerer overgangen fra vestre side og højre side i ligningssystemet De nævnte omformninger af ligningssystemet svarer til nogle ændringer i rækkerne i totalmatricen, som kaldes rækkeoperationer Det er tilladt at lade to rækker skifte plads gange en række igennem med et tal forskelligt fra nul lægge et tal gange en række til en anden række Ved brug af rækkeoperationer kan man omforme totalmatricen til en matrix med lutter 0'er under diagonalen Det giver et ligningssystem, der er forholdsvis simpelt at løse ved "baglæns regninger" Eksempel 31 Vi vil løse ligningssystemet 3x + y + z = 39 x + 3y + z = 34 x + y + 3z = 6 som har totalmatricen

22 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 1 Vi bytter først om på den øverste række R 1 og den nederste R 3 (skrives kort R 1 R 3 ) Vi skaer os nu 0'er under 1-tallet i den første søjle ved trække gange den øverste række fra den anden række og 3 gange den øverste række fra den tredje række Det er selvfølgelig tilladt, da det at trække respektiv 3 gange en række fra, svarer til at lægge respektiv 3 gange rækken til = De to operationen skrives kort ved hjælp af dynamiske lighedstegn Skrivemåden R := R R 1 betyder, at den nye R fås som den gamle R minus gange R 1 Man skriver omformningen ovenfor kort R := R R 1 R 3 := R 3 3R Vi vil nu skae os et 0 i stedet for -4 i den nederste række Det gør vi ved at lægge 4 gange R til R R 3 := R 3 4R og endelig dividerer vi den sidste række igennem med R 3 := R Den nederste række i totalmatricen giver umiddelbart, at z = 11 4 Række giver, at y 5z = 18 dvs y = 18 5z Da z = 11 4, bliver y = = 17 4

23 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER og ifølge den øverste række, er x = 6 y 3z = = 37 4 Ligningssystemet har altså løsningen x = 37 4, y = 17 4, z = 11 4 I eksemplet er deta 0, så vi kunne have brugt A 1 (fundet på lommeregner) til at nde løsningen Eksemplet er valgt for illustrere metoden, når regningerne bliver pæne Eksempel 3 Matricen A for ligningssystemet 3x + z = x + 14y + 8z = 18 7x 7y = 5 har determinant 0 Derfor har ligningsystemet enten ingen løsning eller uendeligt mange løsninger Vi opskriver totalmatricen og vi vil skae os nuller under diagonalen Vi omformer totalmatricen R := 3R + R R 3 := 3R 3 7R 1 R := 1 R R 3 := R + R Den nederste ligning 0x + 0y + 0z = 0 er altid sand Hvis vi sætter z = t giver den anden række, at 1y + 14t = 9 dvs at y = 9 14t 1 = 9 1 3t Den øverste række giver, at 3x + t =, altså x = 3 3 t

24 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 3 Ligningssystemet har dermed uendeligt mange løsninger, en for hvert reelt tal t, som er givet ved x = 3 9 t, y = 3 1 t, z = t 3 Tallet t kaldes ofte en parameter, og udtrykkene ovenfor kaldes en parameterfremstilling af løsningen Eksempel 33 Hvis vi ændrer højre side i den nederste ligning i ligningssystemet i Eksempel 3 til 3 3x + z = x + 14y + 8z = 18 7x 7y = 3 er matricen A den samme og determinanten stadig nul Når man udfører de samme rækkeoperationer som før, får vi R := 3R + R R 3 := 3R 3 7R R := 1 R R 3 := R + R Den nederste ligning bliver nu 0x + 0y + 0z = 4, som aldrig er sand Ligningssystemet har dermed ingen løsninger Eksempel 34 Ligningssystemet x 1 x + x 3 + 3x 4 = 1 x 1 + x + 5x 3 x 4 = 1 x 1 6x x x 4 = 6 svarer til totalmatricen

25 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 4 R := R R 1 R 3 := R 3 R 1 R 3 := R 3 + R Ligningen svarende til den nederste række er altid opfyldt, og vi har kun to andre ligninger Hvis vi sætter x 3 = s og x 4 = t, skal og x + 3s 4t =, altså x = 1 3 s + t x 1 x + s + 3t = 1, altså x 1 = 1 s 3t s + t = 7 s t Løsningerne kan dermed skrives x 1 = 7 s t x = 1 3 s + t x 3 = s x 4 = t hvor s og t er relle tal Disse kaldes også her parametre og vi har ovenfor angivet en parameterfremstillingen af løsningen Opgave 35 Løs ligningssystemerne x y = 3x + y + 7z = 1 6x 5y + 7z = 1 x 1 + x + 3x 3 = 1 x 1 + 5x 3x 3 = 11x x 1x 3 = 11 x + 3y z = 7 x y + 3z = 1

26 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 5 x + y + z + u = 1 x y + z u = 3x 4y + 3z 3u = 3

27 Bilag A Matricer på TI-lommeregnere A1 Indtastning A11 TI-83+ Matricer indtastes på TI-83+ ved at vælge ND og x 1 og EDIT Vælg matricens navn og tryk Enter Så indtastes antal rækker og søjler og matricens elementer Indtastningen afsluttes med ND og QUIT A1 TI-89 Matricer indtastes på TI-89 ved at vælge APPS, Data/Matrixeditor og NEW Under Type vælges :Matrix og i variabel indtastes matricens navn feks A (pil op og a) Slå ALPHA fra og indtast antal rækker og søjler og ENTER Nu indtastes A's elementer og indtastningen afsluttes med ND og QUIT A Regning med matricer og invers matrix A1 TI-83+ Når man har indtastet en matrix A, kan den indlæses i displayet ved at taste ND, x 1 og vælge [A] Man kan nu lægge to indtastede matricer A og B sammen ved at indlæse A, trykke +, indlæse B og ENTER På samme tilsvarende måde udregnes A B og A B Den inverse matrix til A ndes ved at indlæse A og trykke x 1 A TI-89 Når man har indtastet to matricer A og B og feks skal lægge dem sammen eller gange dem sammen, vælges HOME og man skriver man blot A+B 6

28 BILAG A MATRICER PÅ TI-LOMMEREGNERE 7 eller A B og ENTER Tilsvarende med A B Den inverse matrix til A ndes ved at skrive A og trykke 1 A3 MATH-menu og determinant A31 TI-83+ Når man indtaster ND, x 1 og vælger MATH kan man se en menu, h- vor man bla kan vælge 1: det( Gør man det med ENTER, står der det( i displayet Indlæser man matricen og trykker ENTER, beregnes determinanten A3 TI-89 Når man taster ND og MATH, vælger 4 : ENTER, får man en menu frem, hvor man bla kan vælge : det Gør man det med ENTER, står der det( i basislinjen Vi indtaster matricens navn, ) og ENTER, og determinanten er beregnet A4 Matrixligninger A41 TI-83+ og TI-89 Hvis man skal løse matrixligningen AX = B indtastes en totalmatrix med A's elementer efterfulgt af B's elementer feks som C Under MATH-menuen vælges rref(, og matricen C indsættes Tryk ENTER og X læses som den matrix, der følger efter enhedsmatricen i displayet

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 3 udgave 03 FORORD Dette notat giver en

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org

Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org. OpenOffice.org Kom i gang med... Kapitel 11 Math: Formelredigering med OpenOffice.org OpenOffice.org Rettigheder Dette dokument er beskyttet af Copyright 2005 til bidragsyderne som er oplistet i afsnittet Forfattere.

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god matematisk fremstilling af Petur Birgir Petersen Et særpræg ved matematik som videnskab er den udstrakte brug af symboler. Det er vigtigt at symbolerne

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

1 Oligopoler (kapitel 27)

1 Oligopoler (kapitel 27) 1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Vi har set på to vigtige markedsformer: (a) Fuldkommen konkurrence. Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation mange små konkurrenter. (b) Monopol. Kun

Læs mere

Excel - begynderkursus

Excel - begynderkursus Excel - begynderkursus 1. Skriv dit navn som undertekst på et Excel-ark Det er vigtigt når man arbejder med PC er på skolen at man kan få skrevet sit navn på hver eneste side som undertekst.gå ind under

Læs mere

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014

Kom hurtigt i gang Maplesoft, 2014 Kom hurtigt i gang Maplesoft, 014 Kom hurtigt i gang med Maple Start Maple. Opstartsbilledet sådan ud Klik på knappen New Document, og du får nyt ark altså et blankt stykke papir, hvor første linje starter

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb

IT/Regneark Microsoft Excel 2010 Grundforløb Januar 2014 Indhold Opbygning af et regneark... 3 Kolonner, rækker... 3 Celler... 3 Indtastning af tekst og tal... 4 Tekst... 4 Tal... 4 Værdier... 4 Opbygning af formler... 5 Indtastning af formler...

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

AluData: Regneark og brevfletning i LibreOffice. AluData: Regneark og brevfletning i LibreOffice

AluData: Regneark og brevfletning i LibreOffice. AluData: Regneark og brevfletning i LibreOffice AluData: Regneark og brevfletning i LibreOffice Indholdsfortegnelse 1. Indledning...2 2. LibreOffice Calc...2 2.1. Vi lægger et simpelt budget i Calc...2 2.2. Afslutning...12 3. Brevfletning...12 3.1.

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Kapital- og rentesregning

Kapital- og rentesregning Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken

Læs mere

Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007

Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007 Vejledning i at tegne boksplot i Excel 2007 Indhold Tegning af boksplot. Man kan ikke tegne flere boksplot på samme figur i Excel 2007, men man kan sammenligne to boksplot ved at tegne dem hver for sig

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8

Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Lineær Programmering i GeoGebra Side 1 af 8 Grundlæggende find selv flere funktioner, fx i GG s indbyggede hjælpefunktion. Vær opmærksom på at grænsefladen i GeoGebra ændrer sig med tiden, da værktøjet

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Excel tutorial om lineær regression

Excel tutorial om lineær regression Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.

Læs mere

Indhold DANSK Statistikregning Display...S.158 Startvejledning Funktionelle, Videnskabelige Beregninger Indtastning af Udtryk og Vœrdier

Indhold DANSK Statistikregning Display...S.158 Startvejledning Funktionelle, Videnskabelige Beregninger Indtastning af Udtryk og Vœrdier Indhold Statistikregning Valg af Statistiktype...S.171 Indtast Statistikdata...S.172 Redigering af Statistiske Stikprøvedata...S.172 Skærmbilledet Statistikregning...S.172 Statistikmenu...S.172 Statistikregning...S.174

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit.

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit. Kapitel 20: Talsystemer 20 Resumé af talsystemer... 344 Indtastning og omregning af talsystemer... 345 Udførelse af matematiske beregninger med hexadecimale og binære tal... 346 Sammenligning eller manipulation

Læs mere

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11

VEUD ekstraopgave Opgave nr. 62-11 Opgavens art: Opgaveformulering: Fagområde: Opgavens varighed: Teoretisk Gennemgang af lommeregner Sprøjtestøbning 4 lektioner Niveau, sammenlignet med uddannelsen: Henvisning til hjælpemidler: Grunduddannelse

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

>> Analyse af et rektangels dimensioner

>> Analyse af et rektangels dimensioner >> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk

matematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,

Læs mere

Kom godt i gang. Sluttrin

Kom godt i gang. Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Kom godt i gang Sluttrin Forfatter Karsten Enggaard Redaktion Gert B. Nielsen, Lars Høj, Jørgen Uhl og Karsten Enggaard Fagredaktion Carl Anker Damsgaard, Finn Egede Rasmussen,

Læs mere

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain).

2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). En introduktion til Maple i 1.g. 1. En første introduktion til Maple. Kommandoerne expand, factor og normal. 2. Ligningsløsning i Maple. Kommandoerne solve, evalf, Digits og with(realdomain). 3. Uligheder

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Matematik for C niveau

Matematik for C niveau Matematik for C niveau M. Schmidt 2012 1 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk... 12 Talsystemet...

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Eksempler

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Eksempler Matematik på Åbent VUC Trin Indledning til kursister på Trin II Indledning til kursister på Trin II Dette undervisningsmateriale består af 10 moduler med opgaver beregnet til brug på Trin I og 7 moduler

Læs mere

Lektion 1 Grundliggende regning

Lektion 1 Grundliggende regning Lektion 1 Grundliggende regning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine... Talsystemets opbygning - afrunding af tal... Store tal og negative tal...

Læs mere

Dynamisk programmering. Flere eksempler

Dynamisk programmering. Flere eksempler Dynamisk programmering Flere eksempler Eksempel 1: Længste fælles delstreng Alfabet = mængde af tegn: {a,b,c,...,z}, {A,C,G,T}, {,1} Streng = sekvens x 1 x 2 x 3... x n af tegn fra et alfabet: helloworld

Læs mere

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne

Martin Geisler Mersenne primtal. Marin Mersenne Martin Geisler Mersenne primtal Marin Mersenne 3. årsopgave Aalborghus Gymnasium 22. 29. januar 2001 Forord Denne opgave skal handle om Mersenne primtal, men kommer også ind på meget andet. Da de forskellige

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Regnearket Excel - en introduktion

Regnearket Excel - en introduktion Regnearket Excel - en introduktion Flytte rundt i regnearket. Redigere celler Hjælp Celleindhold Kopiering af celler Lokalmenu og celleegenskaber Opgaver 1. Valutakøb 2. Hvor gammel er du 3. Momsberegning

Læs mere

Vejledning til Gym18-pakken

Vejledning til Gym18-pakken Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere