Matricer og lineære ligningssystemer

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matricer og lineære ligningssystemer"

Transkript

1 Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium

2 Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix og matrixligninger 1 Lineære ligningssystemer 15 1 To ligninger med to ubekendte 15 Højere ordens systemer, n lineære ligninger med n ubekendte 16 3 Totalmatricer og rækkeoperationer 19 A Matricer på TI-lommeregnere 6 A1 Indtastning 6 A11 TI A1 TI-89 6 A Regning med matricer og invers matrix 6 A1 TI A TI-89 6 A3 MATH-menu og determinant 7 A31 TI A3 TI-89 7 A4 Matrixligninger 7 A41 TI-83+ og TI

3 Kapitel 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber En matrix er et rektangulært skema af tal feks Matricen ovenfor er en (4 3)matrix dvs den består af re rækker og tre søjler Helt generelt er en matrix A med m rækker og n søjler, en (m n) matrix, et skema a 11 a 1 a 13 a 1 n 1 a 1 n a 1 a a 3 a n 1 a n a A = 31 a 3 a 33 a 3 n 1 a 3 n a m 1 1 a m 1 a m 1 3 a m 1 n 1 a n 1 n a m 1 a m a m 3 a m n 1 a n n Tallene i skemaet kaldes matricens elementer og tallet i den i te rækker og j te søjle betegnes a ij, og kaldes det ij'te element I taleksemplet ovenfor er a 11 = 1, a 3 = Rækken a i1 a i a i3 a i n 1 a in

4 KAPITEL 1 MATRICER 3 kaldes den i'te række og søjlen a 1j a j a mj kaldes den j te søjle Matricer betegnes med store bogstaver A, B, og betegnes kort som (a ij ) og (b ij ) Eksempel 111 En (3 )matrix kan skrives a 11 a 1 A = a 1 a a 31 a 3 Eksempel 11 Matricen har to rækker og fem søjler og er dermed en ( 5)matrix 1 Regning med matricer Hvis vi har to matricer med samme antal rækker og søjler, kan vi lægge de to matricer sammen Det gør man ved at lægge sammen "plads for plads" = Den resulterende matrix kaldes summen af matricerne Vi denerer Denition 11 Lad A = (a ij ) og B = (b ij ) være to (m n)matricer Så deneres A + B = (a ij + b ij ) Matricen A + B kaldes summen af A og B

5 KAPITEL 1 MATRICER 4 Eksempel = giver ikke mening Opgave 13 Udregn For matrixaddition gælder følgende Sætning 14 Lad A, B og C være vilkårlige (m n)matricer Så vil (i) A + (B + C) = (A + B) + C (ii) A + B = B + A (iii) Der ndes en matrix 0, kaldet nulmatricen, som opfylder for alle A A + 0 = A (iv) Til enhver matrix A ndes en modsat matrix A, så A + ( A) = 0 Bevis De første to regler følger umiddelbart af de tilsvarende regneregler for tal, som giver A + (B + C) = (a ij ) + ((b ij ) + (c ij )) = (a ij ) + (b ij + c ij ) = (a ij + b ij + c ij ) = (a ij + b ij ) + (c ij ) = (A + B) + C A + B = (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) = (b ij + a ij ) = (b ij ) + (a ij ) = B + A

6 KAPITEL 1 MATRICER 5 Nulmatricen skal selvfølgelig være (m n)matricen med 0 på alle pladser Den modsatte matrix til matricen A = (a ij ) får vi ved at skifte fortegn på elementerne i A dvs A = ( a ij ) Sætningen viser, at (m n)matricerne er en Abelsk gruppe med hensyn til addition, ligesom feks Z og R Ved brug af den modsatte matrix, kan vi denere dierensen A B som A B = A + ( B) Denne måde at denere på er fælles for alle grupper, og regneoperationen er dermed bare en addition af det modsatte element Feks er 7 4 deneret som 7 + ( 4) Man kan også gange en matrix med et tal Det gør man ved at gange alle elementer i matricen med tallet Denition 15 For (m n)matricen A = (a ij ) og tallet t deneres produktet t A ved t A = (ta ij ) Eksempel = Regnereglerne for multiplikation med et tal er følgende Sætning 17 Antag A og B er (m n)matricer og s og t er reelle tal Så er (i) (s t) A = s (t A) (ii) 1 A = A (iii) (s + t) A = s A + t A (iv) s (A + B) = s A + s B Bevis Regneregler følger let udfra de tilsvarende regneregler for reelle tal

7 KAPITEL 1 MATRICER 6 Opgave 18 I følgende opgave er A = , B = 1 3, C = , D = , E = Udregn (i) 4 B (ii) C (iii) 3 A E (iv) D + D Vi vil også indføre produktet af to matricer Det er ikke alle matricer, der kan ganges sammen Hvis vi skal kunne gange A med B, skal matricen A have lige så mange søjler, som B har rækker Hvis A er en (m n)matrix, skal B være en (n p)matrix Produktet A B bliver en (m p)matrix og hovedprincippet i multiplikationen kan illustres ved guren Vi vælger en række i den første matrix og en søjle i den anden Så bevæger vi os hen gennem rækken og ned gennem søjlen, idet vi ganger de tilsvarende elementer i rækken og søjlen med hinanden og lægger produkterne sammen Resultatet bliver et element i produktmatricen på pladsen med numre efter den første matrixs række og den anden matrixs søjle Produktmatricen får lige så mange rækker som den første matrix og lige så mange søjler som den anden Vi illustrerer princippet med et eksempel =

8 KAPITEL 1 MATRICER 7 = Vi har ganget en ( )matrix med en ( 3)matrix og resultatet er en ( 3)matrix Selve denitonen på multiplikationen er Denition 19 Lad A = (a ij ) være en (m n)matrix og B = (b ij ) en (n p)matrix Så er produktet A B (m p)matricen givet ved A B = (a i1 b 1j + a i b j + + a in b nj ) Matrixmultiplikation adskiller på et meget vigtigt punkt fra multiplikation af tal Selv om man kan udregne A B, er det ikke sikkert, at man kan udregne B A, og hvis begge produkter kan udregnes, er de normalt ikke ens Hvis vi feks ser på matricerne A og B A = B = vil A B = = 6 1, = mens 3 0 B A = = =

9 KAPITEL 1 MATRICER 8 A B bliver en ( )matrix og B A en (3 3)matrix Opgave 110 Udregn følgende produkter (i) , 7 5 (ii) , (iii) , (iv) , (v) Kontroller regningerne ved brug af en lommeregner (med TI-83+ og TI- 89, se side 6) Selv om produktet A B og har B A har samme størrelse, behøver de stadig ikke blive ens Opgave 111 Lad A = Udregn, B =

10 KAPITEL 1 MATRICER 9 AB = og BA = Sætning 11 For multiplikation af matricer gælder regnereglerne (i) (s A) B = s (A B) = A (s B) (ii) A (B + C) = A B + A C (iii) (A + B) C = A C + B C (iv) A (B C) = (A B) C Bevis Forbigås Sammen med de øvrige regneregler bevirker ovenstående regler, at man stort set kan regne med matricer som med tal, men med en betydningsfuld forskel Normalt er A B B A Derfor må man ikke ændre på rækkefølgen af faktorerne i et matrixprodukt 13 Kvadratiske matricer og determinant En (n n)matrix a 11 a 1 a 1 n 1 a 1n a 1 a a n 1 a n a n1 a n a n n 1 a nn kaldes også en kvadratisk matrix I en kvadratisk matrix siges et elementet a ij at stå i diagonalen, hvis i = j Når i j, står elementet uden for diagonalen En kvadratisk matrix kaldes en diagonalmatrix, hvis alle elementerne uden for diagonalen er 0

11 KAPITEL 1 MATRICER 10 En diagonalmatrix med lutter 1-taller i diagonalen kaldes en enhedsmatrix og betegnes med E eller evt E n,n, hvis man vil fremhæve antallet af rækker og søjler Nedenfor ses eksempler på nogle diagonalmatricer, hvoraf den sidste er en enhedsmatrix For en vilkårlig (n n)matrix A vil A E n,n = A og E n,n A = A dvs at multiplikation med E fra højre eller venstre ikke ændrer den oprindelige matrix Denne egenskab svarer til egenskaben ved tallet 1, når vi ganger tal sammen Opgave 131 Sæt A = og E = Udregn AE = og EA = Til en kvadratisk matrix A knyttes et tal det(a), kaldet determinanten af A For en ( )matrix A = a 11 a 1 a 1 a

12 KAPITEL 1 MATRICER 11 er determinanten af A tallet det(a) = a 11 a a 1 a 1 For determinanten af A benyttes også en skrivemåde med lodrette streger det(a) = det a 11 a 1 a 11 a 1 = a 1 a a 1 a Eksempel 13 Ifølge denitionen bliver det 3 = = 10 3 = det -1 = ( 1) ( 6) 3 = 6 6 = For en (3 3)matrix A = a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 deneres determinanten af A, det(a), som tallet det(a) = a 11 a a 33 +a 1 a 3 a 31 +a 13 a 1 a 3 a 13 a a 31 a 11 a 3 a 3 a 1 a 1 a 33 Determinanten skrives også a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 Eksempel = ( 1) 3 ( ) ( 1) ( ) = ( ) ( 8) 18 = 1

13 KAPITEL 1 MATRICER 1 Hvis man ser på leddende i udtrykkene for determinanterne, kan man se, at de er produkter, som hver indeholder præcis én faktor fra hver række og én fra hver søjle, og alle leddene repræsenterer de mulige valg Nogle produkter indgår med fortegnet +, andre med Vi vil ikke her komme inde på, hvad der bestemmer fortegnet Fremgangsmåden til beregning af determinanter af matricer, der er større end (3 3)matricer er det samme, men der kommer rigtigt mange led (n! for en (n n)matrix) Der ndes ere smarte metoder til at beregne determinanter, men vi vil stille os tilfreds med at kunne nde determinanter ved at bruge lommeregner (eller mat-programmer) Opgave 134 Find følgende determinanter ved håndkraft , Find følgende determinanter ved brug af lommeregner , Invers matrix og matrixligninger Hvis determinanten for en matrix A er forskellig fra nul, ndes en matrix A 1, som opfylder A 1 A = A A 1 = E Matricen A 1 kaldes A's inverse matrix Opgave 141 Undersøg om matricen

14 KAPITEL 1 MATRICER 13 er den inverse til matricen For ( )matricer er det nemt at nde den inverse matrix, hvis den ndes, altså hvis determinanten ikke er nul Antag A = a c med det(a) = ad bc 0 Så er den inverse matrix A 1 A 1 = b d 1 d b ad bc c a (11) (1) For at vise, at dette er sandt, udregnes A 1 A A 1 A = 1 d b ad bc c a a c b d = 1 ad bc da bc db bd ca + ac cb + ad = 1 ad bc ad bc 0 0 ad bc = = E Opgave 14 Vis, at A A 1 = E med A som i (11) og A 1 som i (1) Den inverse matrix kan også skrives A 1 = 1 d b det A c a For større matricer er der ikke nogen simple udtryk, der giver den inverse matrix Hvis man har brug for den inverse matrix kan man få den udregnet på lommeregneren

15 KAPITEL 1 MATRICER 14 Opgave 143 Find den inverse matrix til matricen ved håndkraft Find den inverse matrix til matricen ved hjælp af lommeregneren Inverse matricer kan bruges til at løse matrixligninger Hvis vi ser på ligningen A X = B, hvor A, X og B er matricer, kan vi isolere matricen X, når A har en invers matrix Hvis vi nemlig ganger med A 1 på begge sider, får vi A 1 (A X) = A 1 B, som ifølge regnereglerne er (A 1 A) X = A 1 B Da A 1 A = E og E X = X, bliver X = A 1 B Her skal man være opmærksom på rækkefølgen af matricerne på højre side, og den skal respekteres Tilsvarende kan man løse ligningen A X + B = C, hvis A er invertibel Løsningen bliver X = A 1 (C B)

16 Kapitel Lineære ligningssystemer 1 To ligninger med to ubekendte Man kommer tit ud for at skulle løse to ligninger med to ubekendte som feks x + y = 3 5x + 3y = 7 Løsningen er x = og y = 1 og kan ndes ved feks at isolere y i den øverste ligning og sætte det fundne udtryk for y ind i den anden ligning og nde x Den fundne x-værdi sættes så ind i udtrykket for y og y beregnes Man kan i stedet bruge matricer ved at skrive ligningerne på en lidt anden måde x + y = 3 5x + 3y 7 Venstre side kan nu omskrives til et produkt af matricer x + y = 1 x 5x + 3y 5 3 y, så vi alt i alt får en matrixligning 1 x 5 3 y = 3 7 Næste trin er nde den inverse til ( )matricen Vi sætter 15

17 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 16 A = Så bliver A 1 = = Vi ganger nu med A 1 fra venstre på begge sider af matrixligningen og får x = 3-1 3, y -5 7 så x y = 3 + ( 1) , dvs x y = 1, som giver x = og y = 1, hvilket det jo også gerne skulle Matricen A i eksemplet kaldes koecientmatricen, da dens elementer er koecienterne i ligningerne Første række indeholder koecienterne i den første ligning, og anden række indeholder koecienterne i den anden ligning Hvis determinanten af en koecientmatrix er forskellig fra nul, har de to ligninger med to ubekendte præcis en løsning, som kan ndes som i eksemplet ovenfor Højere ordens systemer, n lineære ligninger med n ubekendte Hvis man har en tredje ubekendt z, skal vi have en ligning mere, så vi har 3 ligninger med x, y and z Vi tager følgende ligninger x + y + z = 1 3y z = x y + 8z = 7

18 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 17 som kan omskrives til matrixligningen x y z = -1 7 Koecientmatricen er nu en 3 3 matrix, som vi igen kalder A Hvis det(a) 0, ndes der præcis en løsning, som ndes ved at gange matrixligningen igennem med A 1 fra venstre Vi nder determinanten af A på lommeregner til og den inverse matrix til Vi ganger igennem med A 1 x y z = og ganger matricerne på højre side sammen (det kunne man jo også gøre på lommeregneren) x y z = 11 ( 1) + ( 9) + ( 5) 7 ( ) ( 1) ( 3) ( 1) og får x y z = Dvs at løsningen bliver x = 64, y = 13 og z = 37

19 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 18 I det generelle tilfælde er et lineært ligningssystem med n ligninger og n ubekendte et system af n ligninger på formen a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a n1 x 1 + a n x + + a nn x n = b n Ligningssystemet kan skrives på matrixformen a 11 a 1 a 1n x 1 b 1 a 1 a a n x b = a n1 a n a nn eller kort Ax = b, hvor A er en n n matrix, b er en n 1 matrix og x er den n 1 matrix, der skal ndes Hvis deta 0, kan vi nde A 1 og ligningen har præcis en løsning x x = A 1 b hvor x 1 x x = Hvis deta = 0 kaldes matricen singulær, og så har ligningssystemet enten ingen løsninger eller uendeligt mange løsninger (Ligningsystemets evt løsninger kan ndes feks ved brug af Gauss elimination) Opgave 1 Løs ligningssystemerne og x n 4x + y = 7 x n x + 5y = 7 x 1 + 5x = 7 x 1 7x = 5 b n

20 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 19 Opgave Løs følgende 3 ligningssystemerne x y z = y + 3z = 0 x 3y + 3z = 4 x 1 3x + x 3 = 6x 1 + 4x + 11x 3 = 1 5x 1 x x 3 = 17 3x 1 + x = 11 x 1 5x + x 3 = 15 3x + 7x 3 = 17 Opgave 3 Løs ligningssystemet x 1 x 3 + 4x 4 = 4 x 1 + x 4x 3 + 6x 4 = 9 x 1 + x + 5x 3 3x 4 = 9 3x 1 + 3x 5x 3 + 4x 4 = 15 3 Totalmatricer og rækkeoperationer Vi vil nu se på en måde til at løse m lineære ligninger med n ubekendte, når m n Vi ser altså på et system a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m Når man skal løse ligningssystemet, foretager man nogle omformninger, der erstatter det oprindelige ligningssystem med et nyt, som har præcis de samme løsninger Et ligningssystems løsninger ændres ikke, hvis vi skriver ligningerne i en anden rækkefølge ganger en ligning igennem med et tal forskelligt fra nul lægger et tal gange en af ligningerne til en anden af ligningerne

21 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 0 Disse omformninger svarer til nogle tilladte rækkeoperationer i ligningssystemets totalmatrix (se nedenfor) Først skriver man ligningssystemet på matrixform a 11 a 1 a 1n x 1 b 1 a 1 a a n x b = a m1 a m a mn x n b m Totalmatricen fås ved at supplere matricen A med koecienterne med en søjle med b erne b 1,, b m a 11 a 1 a 1n b 1 a 1 a a n b a m1 a m a mn b m og en lodret streg, som markerer overgangen fra vestre side og højre side i ligningssystemet De nævnte omformninger af ligningssystemet svarer til nogle ændringer i rækkerne i totalmatricen, som kaldes rækkeoperationer Det er tilladt at lade to rækker skifte plads gange en række igennem med et tal forskelligt fra nul lægge et tal gange en række til en anden række Ved brug af rækkeoperationer kan man omforme totalmatricen til en matrix med lutter 0'er under diagonalen Det giver et ligningssystem, der er forholdsvis simpelt at løse ved "baglæns regninger" Eksempel 31 Vi vil løse ligningssystemet 3x + y + z = 39 x + 3y + z = 34 x + y + 3z = 6 som har totalmatricen

22 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 1 Vi bytter først om på den øverste række R 1 og den nederste R 3 (skrives kort R 1 R 3 ) Vi skaer os nu 0'er under 1-tallet i den første søjle ved trække gange den øverste række fra den anden række og 3 gange den øverste række fra den tredje række Det er selvfølgelig tilladt, da det at trække respektiv 3 gange en række fra, svarer til at lægge respektiv 3 gange rækken til = De to operationen skrives kort ved hjælp af dynamiske lighedstegn Skrivemåden R := R R 1 betyder, at den nye R fås som den gamle R minus gange R 1 Man skriver omformningen ovenfor kort R := R R 1 R 3 := R 3 3R Vi vil nu skae os et 0 i stedet for -4 i den nederste række Det gør vi ved at lægge 4 gange R til R R 3 := R 3 4R og endelig dividerer vi den sidste række igennem med R 3 := R Den nederste række i totalmatricen giver umiddelbart, at z = 11 4 Række giver, at y 5z = 18 dvs y = 18 5z Da z = 11 4, bliver y = = 17 4

23 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER og ifølge den øverste række, er x = 6 y 3z = = 37 4 Ligningssystemet har altså løsningen x = 37 4, y = 17 4, z = 11 4 I eksemplet er deta 0, så vi kunne have brugt A 1 (fundet på lommeregner) til at nde løsningen Eksemplet er valgt for illustrere metoden, når regningerne bliver pæne Eksempel 3 Matricen A for ligningssystemet 3x + z = x + 14y + 8z = 18 7x 7y = 5 har determinant 0 Derfor har ligningsystemet enten ingen løsning eller uendeligt mange løsninger Vi opskriver totalmatricen og vi vil skae os nuller under diagonalen Vi omformer totalmatricen R := 3R + R R 3 := 3R 3 7R 1 R := 1 R R 3 := R + R Den nederste ligning 0x + 0y + 0z = 0 er altid sand Hvis vi sætter z = t giver den anden række, at 1y + 14t = 9 dvs at y = 9 14t 1 = 9 1 3t Den øverste række giver, at 3x + t =, altså x = 3 3 t

24 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 3 Ligningssystemet har dermed uendeligt mange løsninger, en for hvert reelt tal t, som er givet ved x = 3 9 t, y = 3 1 t, z = t 3 Tallet t kaldes ofte en parameter, og udtrykkene ovenfor kaldes en parameterfremstilling af løsningen Eksempel 33 Hvis vi ændrer højre side i den nederste ligning i ligningssystemet i Eksempel 3 til 3 3x + z = x + 14y + 8z = 18 7x 7y = 3 er matricen A den samme og determinanten stadig nul Når man udfører de samme rækkeoperationer som før, får vi R := 3R + R R 3 := 3R 3 7R R := 1 R R 3 := R + R Den nederste ligning bliver nu 0x + 0y + 0z = 4, som aldrig er sand Ligningssystemet har dermed ingen løsninger Eksempel 34 Ligningssystemet x 1 x + x 3 + 3x 4 = 1 x 1 + x + 5x 3 x 4 = 1 x 1 6x x x 4 = 6 svarer til totalmatricen

25 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 4 R := R R 1 R 3 := R 3 R 1 R 3 := R 3 + R Ligningen svarende til den nederste række er altid opfyldt, og vi har kun to andre ligninger Hvis vi sætter x 3 = s og x 4 = t, skal og x + 3s 4t =, altså x = 1 3 s + t x 1 x + s + 3t = 1, altså x 1 = 1 s 3t s + t = 7 s t Løsningerne kan dermed skrives x 1 = 7 s t x = 1 3 s + t x 3 = s x 4 = t hvor s og t er relle tal Disse kaldes også her parametre og vi har ovenfor angivet en parameterfremstillingen af løsningen Opgave 35 Løs ligningssystemerne x y = 3x + y + 7z = 1 6x 5y + 7z = 1 x 1 + x + 3x 3 = 1 x 1 + 5x 3x 3 = 11x x 1x 3 = 11 x + 3y z = 7 x y + 3z = 1

26 KAPITEL LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 5 x + y + z + u = 1 x y + z u = 3x 4y + 3z 3u = 3

27 Bilag A Matricer på TI-lommeregnere A1 Indtastning A11 TI-83+ Matricer indtastes på TI-83+ ved at vælge ND og x 1 og EDIT Vælg matricens navn og tryk Enter Så indtastes antal rækker og søjler og matricens elementer Indtastningen afsluttes med ND og QUIT A1 TI-89 Matricer indtastes på TI-89 ved at vælge APPS, Data/Matrixeditor og NEW Under Type vælges :Matrix og i variabel indtastes matricens navn feks A (pil op og a) Slå ALPHA fra og indtast antal rækker og søjler og ENTER Nu indtastes A's elementer og indtastningen afsluttes med ND og QUIT A Regning med matricer og invers matrix A1 TI-83+ Når man har indtastet en matrix A, kan den indlæses i displayet ved at taste ND, x 1 og vælge [A] Man kan nu lægge to indtastede matricer A og B sammen ved at indlæse A, trykke +, indlæse B og ENTER På samme tilsvarende måde udregnes A B og A B Den inverse matrix til A ndes ved at indlæse A og trykke x 1 A TI-89 Når man har indtastet to matricer A og B og feks skal lægge dem sammen eller gange dem sammen, vælges HOME og man skriver man blot A+B 6

28 BILAG A MATRICER PÅ TI-LOMMEREGNERE 7 eller A B og ENTER Tilsvarende med A B Den inverse matrix til A ndes ved at skrive A og trykke 1 A3 MATH-menu og determinant A31 TI-83+ Når man indtaster ND, x 1 og vælger MATH kan man se en menu, h- vor man bla kan vælge 1: det( Gør man det med ENTER, står der det( i displayet Indlæser man matricen og trykker ENTER, beregnes determinanten A3 TI-89 Når man taster ND og MATH, vælger 4 : ENTER, får man en menu frem, hvor man bla kan vælge : det Gør man det med ENTER, står der det( i basislinjen Vi indtaster matricens navn, ) og ENTER, og determinanten er beregnet A4 Matrixligninger A41 TI-83+ og TI-89 Hvis man skal løse matrixligningen AX = B indtastes en totalmatrix med A's elementer efterfulgt af B's elementer feks som C Under MATH-menuen vælges rref(, og matricen C indsættes Tryk ENTER og X læses som den matrix, der følger efter enhedsmatricen i displayet

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet

Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonfo. Rang og nullitet Matematik og Form 3. Rækkereduktion til reduceret echelonform Rang og nullitet Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 11.2.2013 Reduktion til (reduceret) echelonmatrix Et eksempel Et ligningssystem

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 5 udgave 05 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan dels kan løse lineære

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af programmerne TI-Nspire og Maple 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 4 udgave 04 FORORD Dette notat giver en gennemgang af de matrixoperationer,

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 3 udgave 03 FORORD Dette notat giver en

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Anvendelse af lineære ligningssystemer

Anvendelse af lineære ligningssystemer Anvendelse af lineære ligningssystemer i kemi Grete Ridder Ebbesen Virum 23. august 2005 Anvendelse af lineære ligningssystemer i kemi Indhold Afstemning af reaktionsskemaer. De almindelige metoder....................2

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

De fire elementers kostbare spejl

De fire elementers kostbare spejl Projekt.6 Lineær algebra moderne og klassisk kinesisk De fire elementers kostbare spejl "Som bekendt anses matematikken for at være en meget vigtig videnskab. Denne bog om matematik vil derfor være af

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 0 4 4 0 0 0 4 x x x x 6 udgave 06 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER. Usikkerhedsberegning

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER. Usikkerhedsberegning MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER LINEÆRE LIGNINGER Usikkerhedsberegning med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 = x x x x. udgave 0 FORORD Dette

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

DesignMat Uge 11. Vektorrum

DesignMat Uge 11. Vektorrum DesignMat Uge 11 (fortsat) Forår 2010 Lad L betegne R eller C. Lad V være en ikke-tom mængde udstyret med en addition + og en multiplikation med skalar. (fortsat) Lad L betegne R eller C. Lad V være en

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Mat10 eksamensspørgsmål

Mat10 eksamensspørgsmål Mat10 eksamensspørgsmål Martin Geisler 9. januar 2002 Resumé Dette dokument er en gennemgang af de eksamensspørgsmål der blev stillet til den mundtlige eksamen i Mat10, januar 2002

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Biologisk model: Epidemi

Biologisk model: Epidemi C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab)

Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331 Version 10 2 februar 2016 Indhold 1 Introduktion, lineære afbildninger og matricer 3 11 Talrum (R & C) 3 12

Læs mere

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden

Brug af TI-83. Løsning af uligheder: Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden Brug af TI-83 Løsning af andengradsligninger med TI-83 Indtast formlerne for d, og rødderne og gem dem i formellagrene u,v eller w. Gem værdierne for a, b og c i lagrene A, B og C Nedenstående display

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter

Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere