Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaard Andreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaard Andreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi"

Transkript

1 Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaar Anreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi

2 Inhol 1 Foror 2 2 Potensregneregler 3 3 Kvaratsætninger 4 4 Anengrasligning Generelle løsning Nulreglen Faktorisering af anenrgasligning faktorisering af n te grasligning Funktions analyse Den lineære funktion Den eksponentielle funktion Halverings- og foroblingskonstant Potens funktionen Trigonometri Retvinklee trekanter Trigonometriske sammenhænge Vilkårlige trekanter Grænseværi Regneregler L Hospitals regel Infinitesimalregning Differentialregning Generelle regneregler Nyttige regneregler Integralregning Ubestemt integral Bestemt integral Areal- og volumenfunktion Hyppige integraler Vektorregning Regneregler Nyttige kommanoer til TI

3 1 Foror Denne formelsamling er lavet til alle er har matematik på højniveau og som måske har lit svær ve at huske alle e små regler. Jeg har prøvet at forklar e mange formler og lave enkelte eksempler i formelsamlingen, men ikke så meget, at et bliver en egentlig bog. Pga. tispres er er nogle ting som jeg ikke har nået, hvoraf et vigtigste emne for em er har Mat A er ifferentialligninger esværre ikke er kommet me, så et er klar til jeres skriftlig eksamen. Vektorregnings afsnittet er måske heller ikke et beste, men et er min intention at gøre ette afsnit færigt, så em er skal til eksamen næste år har et klart. Jeg motager gerne mails me kommentare, båe ris og ros, eller evt. rettelser. Jo mere kritik jeg får, esto bere kan en blive til e kommene årgange. Mails kan senes til følgene aresse eller Ænringer sien version 1.1 Et helt kapitel om brug af lommeregner er tilføjet. Få rettelser i tekst. TEX filen er nu også kompitabel me linux. Ænringer sien version 1.0 Korrekturlæst. Æstetiske ænringer samt enkelte tilføjelser. 2

4 2 Potensregneregler Potensregneregler kan være svære at hole styr på, så her er nogle generelle utryk samt et par eksempler. a n a m = a n+m (2.1) a n a m = an m (2.2) a n b n = (ab) n (2.3) a n b n = ( a b ) n (2.4) a n = 1 a n (2.5) ma n = m a n (2.6) (a n ) m = a nm (2.7) 1 a = a 2 (2.8) 1 n a = a n (2.9) n a m = a m n (2.10) a n ± b n = a n ± b n (2.11) a n b m = a n b m (2.12) Ligning (2.11) 1 og (2.12) er for at vise, at e IKKE kan reuceres yerligere. Læg mærke til, at ligning (2.5) er et speciel tilfæle af ligning (2.6), et samme gæler (2.9) og (2.10). Her kommer et par eksempler. x 3 x 5 = x3 5 = x 2 = 1 x 2 Unervejs har jeg brugt ligning (2.2) og (2.5) 4 a 8 = a 8 4 = a 2 Her har jeg brugt (2.10). 1 hvis er står a n b n = a 2 b 2 kan en reuceres vha. 3. kvaratsætning 3

5 3 Kvaratsætninger Kvaratsætninger ser u på følgene måe: (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab (3.1) (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab (3.2) (a + b) (a b) = a 2 b 2 (3.3) I or bliver (3.1): Kvaratet på en toleet sum er lig me kvaratet på første le plus kvaratet på anet le plus et obbelte proukt. På samme vis bliver (3.2): Kvaratet på en toleet ifferens er lig me kvaratet på første le plus kvaratet på anet le minus et obbelte proukt. Til sist har vi (3.3): To tals sum ganget to tals ifferens er lig me kvaratet på første le minus kvaratet på anet le. Her et to eksempler og (2a + 3b) 2 = (2a) 2 + (3b) a 3b = 4a 2 + 9b ab 4x 2 9y 2 = (2x + 3y)(2x 3y) 4

6 4 Anengrasligning I ette afsnit vil jeg kun behanle en generelle løsning samt løsning ve brug af nulreglen når ette er muligt. Enviere vil jeg kort komme in på formlen før faktorisering. 4.1 Generelle løsning Hvis et anengrasligning er på formen er en tilhørene generelle løsning ax 2 + bx + c = 0 x = b ± 2a (4.1) hvor = b 2 4ac kales iskriminanten. Diskriminanten fortæller noget om antallet af løsninger 2. Der gæler følgene: < 0 ingen løsninger (4.2) = 0 én løsning (4.3) > 0 to løsninger (4.4) 4.2 Nulreglen Generelt siger nulreglen at, hvis a b = 0 (4.5) så er enten a eller b lig me 0. Husk på, at a og b got kan være to parantesers proukt, så er kan got stå (ax + by)(cx + y) = 0 så skal er gæle at ax + by = 0 eller cx + y = 0 Nulreglen kan bruges i et tilfæle hvor c = 0 i vores anengrasligning, så er står Denne kan løses ve at sætte x uen for en parantes. ax 2 + bx = 0 (4.6) ax 2 + bx = 0 (4.7) x(ax + b) = 0 (4.8) x = 0 ax + b = 0 (4.9) x = 0 x = b a (4.10) Dette er løsningerne til en anengrasligning, når c = 0. 2 I et tilfæle hvor man kun kigger på reele løsninger, vs. x R. 5

7 4.3 Faktorisering af anenrgasligning Ve en faktorisering er anengrasligningen skrevet op i faktorer i steet for en sum. Man kan vise at f(x) = ax 2 + bx + c kan skrives som f(x) = ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) (4.11) hvor x 1 og x 2 er røer i ette polynomium. Altså kan man fine et anengraspolynomium hvis man har et punkt P (x p, f(x p ) og e to røer ve at sætte et hele in i (4.11). f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) f(x p ) = a(x p x 1 )(x p x 2 ) a = f(x p ) (x p x 1 )(x p x 2 ) Jeg har isoleret a, a et er hva man typisk skal fine. Man kan fine b og c ve at fine prouktet af e to paranteser i (4.11) faktorisering af n te grasligning generelt gæler er, at et polynomium af gra n p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n hvor a n 0 (4.12) kan skrives som p(x) = a n (x x n )(x x n 1 )... (x x 1 ) (4.13) hvor x 1 x n er røer i polynomiet 6

8 5 Funktions analyse Her vil jeg se på e tre kente funktion, en lineære funktion, en eksponentielle funktion og potens funktionen. 5.1 Den lineære funktion Den lineære funktion er af typen y = ax + b (5.1) hvor a er hælningskoefficienten og b er skæring me y-aksen 3. Hvis man har to punkter P (x 1, y 1 ) og P (x 2, y 2 ) kan man fine en fule løsning for y. Først finer man a nu kan man fine b u fra følgene formel. a = y 2 y 1 x 2 x 1 = y x (5.2) y 1 = ax 1 + b (5.3) b = y 1 ax 1 (5.4) Man kan sagten bruge y 2 og x 2 hvis ette er nemmere, man må bare ikke blane punkterne sammen. 5.2 Den eksponentielle funktion Den eksponentielle funktion er givet ve y = ba x (5.5) Her fortæller a om grafen for y er voksene, konstant eller aftagene. a kales for fremskrivningsfaktoren og er givet ve a = 1 + r (5.6) hvor r er en procent hvorme grafen for y vokser/aftager. Der gæler følgene tre ting. 1. Hvis r < 0 a < 1 er funktionen aftagene 2. Hvis r > 0 a > 1 er funktionen voksene 3. Hvis r = 0 a = 1 er funktionen konstant, a y = b1 x = b. Der gæler generelt at 1 n = 1 for n RDette gæler også for komplekse tal Også her er b skæring me y-aksen. Det ses ve at sætte x = 0 y = ba 0 = b her gæler et også generelt at n 0 = 1 for n R 4 Hvis to punkter er givet P (x 1, y 1 ) og P (x 2, y 2 ) kan man fine en fule løsning for y. Først finer man a ( ) 1 y2 y2 a = x 2 x x 2 x 1 1 = (5.7) y 1 3 Dette ses ve at sætte x = 0 4 Dette gæler også for komplekse tal y 1 7

9 Herefter bestemmer man b ve at insætte ét punkt og en kente væri for a. Igen kan man også bruge et anet punkt. y 1 = ba x 1 (5.8) b = y 1 a x 1 (5.9) Halverings- og foroblingskonstant Halveringstien fines ve at sige: T 1/2 = ln( 1 2 ) ln(a) (5.10) og foroblingskonstanten finer man ve at sige: T 2 = ln(2) ln(a) (5.11) 5.3 Potens funktionen Potensfunktionen er givet ve: y = bx a (5.12) Her er b ikke længere skæring me y-aksen; erimo fines et når x = 1 a y = b1 a = b Dvs. at punktet P (1, b) fines på en potensfunktions graf. hvis to punkter er givet P (x 1, y 1 ) og P (x 2, y 2 ) kan man fine en fule løsning for y. Først finer man a ( ) a = ln y2 y 1 Nu kan man fine b ln ( x2 x 1 ) (5.13) b = y 1 x a 1 (5.14) 8

10 6 Trigonometri Trigonometri er geometri for trekanter. Her vil jeg først behanle retvinklee trekanter og erefter vilkærlige trekanter. Summen af alle vinkler i en trekant er konstant, nemlig 6.1 Retvinklee trekanter A + B + C = 180 o (6.1) I en retvinklet trekant ABC kales e to kateter a og b og hypotenusen kales c. I en retvinklet trekant gæler er a 2 + b 2 = c 2 (6.2) hvor (6.2) kales phytagoras lærersætning for retvinklee trekanter. Arealet for en retvinklet trekant fines nemt, a et for en vilkårlig trekant er A = 1 2 hg = 1 ab (6.3) Trigonometriske sammenhænge De trigonometriske sammenhænge hanler om brugen af cos, sin og tan. Jeg vil her kort skrive op hva er gæler af sammenhænge i en retvinklet trekant. Hosliggene katete cos(a) = = b Hypotenusen c Moståene katete sin(a) = = a Hypotenusen c Moståene katete tan(a) = Hosliggene katete = a b (6.4) (6.5) (6.6) Et par små huskeregler som man tit kan bruge til reuktion er tan(a) = sin(a) cos(a) cos 2 (A) + sin 2 (A) = 1 2 cos(a) sin(a) = sin(2a) Nogle gange regnes er i raianer og så er et got at vie, hva et egentlig er. 6.2 Vilkårlige trekanter 1ra = 180o π 1 o π = 180ra For vilkårlige trekanter gæler phytagoras ikke, men man kan heligvis ulee nogle relationer mellem sin og cos, isse kales hhv. sinusrelationen og cosinusrelationen og ser u på følgene måe, først sinusrelationen a sin A = b sin B = c sin C (6.7) 9

11 og her kommer cosinusrelationen Arealet kan nu fines u fra følgene formel a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A (6.8) b 2 = a 2 + c 2 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C A = 1 2 bc sin(a) = 1 2 ac sin(b) = 1 ab sin(c) (6.9) 2 Det ses at cosinusrelationen og sinusrelationen giver os nogle formler, så vi kun behøver tre kente informationer for at fine alt anet er har me trekanten at gære 10

12 7 Grænseværi En grænseværi er en væri en funktion går imo, når en variable går mo en bestemt væri. Det kan skrives matematisk på følgene måe lim f(x) = f(a) (7.1) x a som læses: grænseværien af f(x) for x gåene mo a er lig me f(a). Ofte er man interesseret i at fine en væri når x ± ; ette gør man fori, man ikke må insætte ± i et funktionsutryk. 7.1 Regneregler Her er nogle få regneregler, som måske giver sig selv, men et er alti got at se em. 7.2 L Hospitals regel lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) (7.2) x a x a x a (f(x) g(x)) = lim g(x) (7.3) lim x a lim x a ( f(x) g(x) ) x a f(x) lim x a = lim x a f(x) lim x a g(x) Hvis man skal fine en grænseværi for en brøk og en går mo: (7.4) f(x) lim x a g(x) = 0 0 (7.5) eller f(x) lim x a g(x) = ± ± (7.6) siger L Hospitals regel at man må ifferentiere f(x) og g(x) hver for sig, for erefter at prøve at fine grænseværien igen, altså f(x) lim x a g(x) = lim x a x f(x) = = lim g(x) x a x n x n f(x) n x n g(x) (7.7) Man stopper selvfølgelig når man har funet en grænseværi. Jeg vil lige sige, at L Hospitals regel IKKE er gymnasiestof, men meget nyttig at kunne. 11

13 8 Infinitesimalregning Infinitesimalregning er en af e vigtigste grene i matematikkens veren og består af to store områer, nemlig ifferentialregning og integralregning. Infinitesimalregning er meget anvent inen for fysik og anre naturvienskabelige fag. Jeg vil i ette kapitel først komme in på nogle regler om ifferentialregning for erefter at fortælle om integralregning samt regneregler. 8.1 Differentialregning For at kunne ifferentiere en funktion f(x) i et interval [a; b] skal funktionen være kontinueret og ifferentiabel i ette interval. Når man ifferentiere en funktion f(x) i et bestemt punkt x 0 finer man hælningen af tangenten. Dette betegnes på to måer, hvor jeg primært benytter mig af en første fori et er tyeligt, hva er ifferetieres me hensyn til: hvor a er hælningen for tangenten til f(x) i x 0. Forskriften for tangenten fines u fra følgene formel Generelle regneregler x f(x 0) = f (x 0 ) = a (8.1) y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) (8.2) Her kommer et lille afsnit om nogle generelle regneregler for ifferetiation af én og to funktioner. x c f(x) = c f(x) x (8.3) (f(x) ± g(x)) = x x f(x) ± g(x) x (8.4) (f(x) g(x)) = f(x) g(x) + f(x) g(x) (8.5) x x x ( ) f(x) xf(x) g(x) f(x) x = x g(x) (g(x)) 2 (8.6) x f(g(x)) = x g(x) f(g(x)) x (8.7) hvor båe f(x) og g(x) er kontinuerte og ifferentiable funktioner. Formel (8.7) er en sværste at forstå, så jeg forklare en lige. Hvis man skal ifferentiere en sammensat funktion, skal man først tage en inre ifferentieret gange på en yre ifferentieret taget på en inre. For go orens skyl kommer er et eksempel. ( ) cos(3x 3 ) = x x cos(3x3 ) x 3x3 = 9x 2 ( sin(3x 3 )) = 9x 2 sin(3x 3 ) Her var en inre funktion f(x) = 3x 3 og en yre funktion var g(y) = cos(y) 12

14 8.1.2 Nyttige regneregler Foruen e generelle regneregler ovenfor er er mange regneregler alt efter hvilken slags funktion man skal ifferentiere. Jeg har her valgt em u, som jeg mener er vigtigst at kunne. x c = 0 c R x xn = nx n 1 x eax = ae ax cos(x) = sin(x) x sin(x) = cos(x) x x tan(x) = 1 cos 2 (x) x ax = ln(a)a x a > 0 1 x = x 2 x n x x m = m n x m n n x ln(x) = 1 x 8.2 Integralregning Der fines to former for integraler; et bestemte og et ubestemte. Det bestemte integral giver os et tal, som tolkes som arealet uner en funktion i et interval. De ubestemte integral giver os en stamfunktion til vores oprinelige funktion Ubestemt integral Først kommer nogle generelle regneregler for ting man må gøre ve et ubestem integral. a f(x) x = a f(x) x (8.8) f(x) ± g(x) x = f(x) x ± g(x) x (8.9) f(x) g(x) x = f(x) g(x) x f (x) x g(x) x (8.10) Bemærk at et kun er generelle regneregler. Mere specifikke regneregler kommer længere nee. 13

15 8.2.2 Bestemt integral Hvis F (x) er stamfunktionen til f(x) i et interval [a; b], kan man fine et bestemte integral ve at integrere f(x) i ette interval. Det betegnes og regnes på følgene måe. b a f(x) x = [F (x)] b a = F (b) F (a) (8.11) Ve et bestemte integrale gæler selvfølgelig e samme regneregler som ve et ubestemt integrale; forskellen er, at man får hhv. en funktion og et tal Areal- og volumenfunktion Man kan bruge integralregning til bestemmelse af arealer uner/mellem funktioner, samt at fine volumen af en funktion er roteres om en fast akse. Først ser vi på arealet uner en funktion. Hvis en funktion f(x) ligger over x-aksen i et interval [a; b] finer man simpelthen arealet uner grafen for f(x) ve at integrere. A = b a f(x) x (8.12) Hvis funktionen ligger uner x-aksen skal man tage en numeriske væri for at fine arealet over funktionen. Og hvis en i intervallet [a; b] kryser x-aksen er et vigtigt, at man finer et bestemte integral fra nulpunkt til nulpunkt. La for en funktion f(x) være n nulpunkter i et interval vi vil fine arealet uner/over grafen 5 og la os kale isse nulpunkter for x 1... x n, a er arealet givet ve x1 x2 A = f(x) x + b f(x) x + + f(x) x (8.13) a x n x 1 Der er sat numerisk tegn for at sikre et positivt areal. I praksis skal man nok ikke have numerisk tegn ve alle leene, men et kan være. Nu kommer er lige lit om et volumen man kan få fra en funktion. Hvis man roterer en funktion f(x) 360 o runt om x-aksen kan man fine et volumen en fremkomne figur har skabt. Man kan forestille sig en ret linie gennem origo rejet runt om x-aksen vil anne en kegle, og på en måe, kan man komme frem til hva volumen af en kegle er. Det generelle utryk er: b V = π f(x) 2 x (8.14) a Læg mærke til at f(x) er kvareret og husk π uen for integralet. 5 alt efter om funktionen er over eller uner x-aksen 14

16 8.3 Hyppige integraler Her kommer en bunke af integraler som er goe at kunne. Det skal lige siges, at er i alle tilvæle skal være plus en konstant, men ette unlaer jeg me vilje. x n x = 1 n + 1 xn+1 (8.15) k x = kx (8.16) e kx x = 1 k ekx cos(x) x = sin(x) sin(x) x = cos(x) tan(x) x = ln( cos(x) ) k x x = kx ln(k) x 2x 3/2 x = 3 n x m x = mxm/n+1 m + n ln(x) x = x ln(x) x log(x) x = x(log(x) log(e)) Læg mærke til, at 8.16 er en konsekvens af 8.15, a k = k 1 = k x 0, hvor jeg herfra kan bruge regel

17 9 Vektorregning I ette afsnit vil jeg behanle vektorer i n imensioner, selvom man kun har om 2 og 3 imensioner i gymnasiet. Dette er og intet problem, hvilket man kan se u fra formlerne. En vektor er egentlig bare en pil, som har to egenskaber; en har en længe og en har en retning. En vektor er ikke bunet til noget fast punkt i et koorinatsystem, hvilket er en stor hjælp, når man skal fine en sum af vektorer eller beregne vinkler imellem to vektorer. Nu et kig på hvoran en vektor egentlig ser u. hvor a 1, a 2,..., a n kales ingange i a. 9.1 Regneregler a 1 a 2 a =. a n (9.1) Her vil vi se på nogle generelle regneregler, bl.a aition, subtraktion, skalarmultiplikation mm. Først kommer noget aition. Hvis vi har to vektorer a og b er summen/ifferensen af em: a 1 ± b 1 a ± a 2 ± b 2 b = (9.2). a n ± b n Altså er en sum/ifferens af to vektorer blot summen/ifferensen af ingangene. Man kan også gange en skalar 6 på en vektor ve at gange skalaren in på alle ingange, ette skrives sålees n a 1 n a 2 n a = (9.3). n a n Nu vil vi også se på et proukt af to vektorer. Dette er kalet et skalarproukt og er givet ve: n a b = a i b i = a 1 b 1 + a 2 b a n b n (9.4) i=1 ni=1 a i b i er nok en ny notation for mange, men et betyer bare summen af e forskellige ingange ganget sammen. Det egenommelige ve et skalarproukt er, at man ikke før en ny vektor, men en skalar. Man kan bruge skalarprouktet til at fine vinklen mellem to vektorer, men først skal vi lige se på hvoran man finer længen af en vektor. Længen finer man vha. Phytagoras læresætning om retvinklee trekanter. a = a a a2 n (9.5) 6 ette er bare et anet or for tal 16

18 Nu er vi klar til at fine vinklen mellem to vektorer. Det er en vinkel er er mellem em, når e starter i samme punkt. a b = a b cos(θ) (9.6) a b cos(θ) = a b (9.7) Nu skal vi se lit på krysprouktet, men kun i 3 imensioner. Det er givet ve ( ) a2 b et 2 a a 1 b a 3 b 3 ( ) 1 a3 b b = a 2 b 2 = et 3 a 2 b 3 a 3 b 2 = a a a 3 b 3 1 b ( 1 3 b 1 a 1 b 3 (9.8) ) a1 b a 1 b 2 a 2 b 1 et 1 a 2 b 2 Hvis man kryser to vektorer får man en vektor er er ortogonal på en plan e to vektorer uspæner. Man kan også fine arealet af et parallelogram e to vektorer uspæner. Det er givet ve: a b = a b sin(θ) (9.9) hvor θ er vinklen mellem a og b. Hvis a og b begyner i samme punkt og man tegner en ret linie fra eres enepunkter så man får en trekant, kan man også fine arealet af enne: 1 a 2 b = 1 2 a b sin(θ) (9.10) 17

19 10 Nyttige kommanoer til TI-89 Til en skriftlig eksamen er man oftest ret tispresset, erfor kan man lae sin lommeregner gøre meget af et triste og håre arbeje. Her kommer nogle kommanoer, er gør livet nemmere for em er er til eksamen. Hvis er er problemer me nogle af kommanoerne, kan et være fori er regnes eksakt, så ette skal skiftes ine i MODE. solve F2 1 Denne kommano løser en ligning; et kan båe være alminelige ligninger såsom y = ax + b, anengrasligninger eller mere eksotiske ligninger som y (t) = k 7. Måen man bruger solve på er vist heruner. solve(y = ax + b, x) x = y b a Ovenståne var et eksempel. Men man skriver sit algebrariske utryk op hvorefter man trykker komma 8 og så en variabel man ønsker isoleret. Man kan også løse to ligninger me to ubekente (eller flere), et gør man på følgene måe solve(y = ax + b an y = cx +, x, y) Husk e rigtige paranteser runt om et man løser me hensyn til. Rent grafisk er ovenståene et eksempel på, hvoran man finer skæringen mellem to linier. Det er meget nyttigt, hvis man skal fine skæring mellem to kurver, som man skal fine arealet imellem. Differentiere F3 1 Hvis man gerne vil ifferentiere en funktion f(x) kan in lommeregner også gøre et. Man skriver blot (f(x), x) = f (x) Man kan også fine et specielle ve, at trykke på en blå knap og så 8. Integrere F3 2 Lommeregneren kan også sagtens integrere. Dette gøres på næsten samme måe som at ifferentiere. b (f(x), x, a, b) = f(x) x Man finer integraletegnet ve at trykke en blå knap efterfulgt af 7. a og b er grænserne på et bestemte integrale. Hvis man vil regne ubestemt intaster man blot uen grænserne, vs. (f(x), x) = f(x) x Vær opmærksom på, at når TI-89 regner ubestemt metager en ikke en ekstra konstant, et skal man selv huske. 7 senere kommer et lille afsnit om flere kommanoer samtiig 8 en er ligger lige uner T a 18

20 Differentialligninger F3 C Her kommer er lit om, hvoran man løser en ifferentialligning, hvis man har fået en initialværi, vs. y(t 0 ) = y 0. esolve(y = ky an y(t 0 ) = y 0, t, y) Her er er nogle ting er er vigtig at huske! Man skal have an me, en kan fines uner CATALOG. Det mærke man bruger på y finer man ve at trykke blå knap efterfulgt af =. Til sist er et vigtigt at huske en rigtige rækkefølge hvorme man løser me hensyn til, vs. t skal stå før y. Limit F3 3 Nogle gange kan et være svært at fine en grænseværi, så et klare in lommeregner for ig. Intast blot limit(f(x), x, a) og så finer u en grænseværi, hvis er fines en, som f(x) går mo, når x går mo a. Factor F2 2 Denne kommano faktoriserer et polynomium factor(ax 2 + bx + c) Og så får man et på samme form som i (4.11) Vektorer Man kan også regne me vektorer, men i mosætning til ovenståene funktioner, kan en her got være ret tiskrævene, og et anbefales, at man kun bruger nogle af kommanoerne her til at tjekke sit resultat. At skrive en vektor Det er hovesageligt pga. en besværlige syntax at et tager lang ti. Her kommer et eksempel. x [[x][y][z]] = y z På venstre sie er et man skal skrive på sin lommeregner, og resultatet er vist på højre sie. Man kan me forel gemme et i en variabel. Dette gøres ve at trykke STO og så en variable, f.eks. m. Nu laver jeg to vektorer jeg bruger til resten af et afsnit om vektorer. Kommanoerne fines uner CATALOG [[x][y][z]] STO m [[a][b][c]] STO n Altså har jeg to vektorer er er gemt uner m og n. Længen norm Man kan fine længen af en vektor ve at bruge kommanoen norm. norm(m) = x 2 + y 2 + z 2 19

21 Prikproukt otp Man finer prikprouktet på følgene måe. otp(m, n) = ax + by + cz Prikproukt crossp Her ser I hvoran man finer krysprouktet. cy bz crossp(m, n) = az cx bx ay Vinklen mellem to vektorer Jeg har ennu ikke funet en kommano for ette, men et giver mig en mulighe for, at vise hvoran man kan bruge flere kommanoer samtiig. Vinklen mellem to vektorer er givet ve (9.7). Derfor kan et nu skrives som: ( ) ( ) θ = cos 1 otp(m,n) = cos 1 ax + by + cz norm(m)norm(n) x 2 + y 2 + z 2 a 2 + b 2 + c 2 20

Grafregner-projekt om differentiation.

Grafregner-projekt om differentiation. Grafregner-projekt om ifferentiation. Motivation: Når nu ifferentieret giver, og e ifferentieret giver e, hvorfor får man så ikke e når man ifferentiere e? Formål: ) At opnå kenskab til, og forståelse

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Koblede svingninger. Thomas Dan Nielsen Troels Færgen-Bakmar Mads Sørensen juni 2005

Koblede svingninger. Thomas Dan Nielsen Troels Færgen-Bakmar Mads Sørensen juni 2005 Koblee svingninger Thomas Dan Nielsen 20041151 Troels Færgen-Bakmar 20041116 Mas Sørensen 20040795 1. juni 2005 Institut for Fysik og Astronomi Det Naturvienskabelige Fakultet Aarhus Universitet Inhol

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Løsningsforslag Mat B August 2012

Løsningsforslag Mat B August 2012 Løsningsforslag Mat B August 2012 Opgave 1 (5 %) a) Løs uligheden: 2x + 11 x 1 Løsning: 2x + 11 x 1 2x x + 1 0 3x + 12 0 3x 12 Divideres begge sider med -3 (og husk at vende ulighedstegnet!) x 4 Opgave

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

2x MA skr. årsprøve

2x MA skr. årsprøve MA skr. årsprøve 8.0.08 Prøven uen hjælpemiler Opg. + = 0 ( ) + = 0 I parentesen står et anengraspolynomium. Det har = = 9 + og erme røerne = = og = = Af nulregelen ses at også 0 er en løsning, så

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Hjemmeopgavesæt 01.02.10

Hjemmeopgavesæt 01.02.10 Rami Kaoura Matematik A Dato 01.0.010 Hjemmeopgavesæt 01.0.10 Navn: Rami Kaoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Vejleer: Jørn Christian Bentsen Skole: Roskile tekniske gymnasium, Htx Dato: 01.0.010 1 Rami

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1

Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Matematik B-niveau 31. maj 2016 Delprøve 1 Opgave 1 - Ligninger og reduktion (a + b) (a b) + b (a + b) = a 2 ab + ab b 2 + ab + b 2 = a 2 + ab Opgave 2 - Eksponentiel funktion 23 + 2x = 15 2x 2 = 8 x =

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik A-niveau Delprøve 1

Matematik A-niveau Delprøve 1 Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±

Læs mere

Kursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition

Kursusgang 5 Afledte funktioner og differentialer Repetition Kursusgang 5 Repetition - froberg@math.aau.k http://people.math.aau.k/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 30. september 2008 1/15 Differenskvotient og Differentialkvotient

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Formelsamling Matematik C

Formelsamling Matematik C Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner

DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner DesignMat Uge 8 Integration og elementære funktioner Preben Alsholm Forår 008 Hyperbolske funktioner. sinh og cosh sinh og cosh Sinus hyperbolsk efineres sålees for alle x R sinh x = ex e x Cosinus hyperbolsk

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette okument må kun anvenes til unervisning i klasser som aonnerer på MatBog.k. Se yerligere etingelser for rug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012 Dette

Læs mere

M I K E A U E R B A C H. c a

M I K E A U E R B A C H. c a M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 4. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14

Læs mere

Elementære funktioner

Elementære funktioner enote 14 1 enote 14 Elementære funktioner I enne enote vil vi els repetere nogle af e basale egenskaber for et uvalg af e (fra gymnasiet) velkente funktioner f (x) af én reel variabel x, og els introucere

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

M A T E M A T I K B 1

M A T E M A T I K B 1 M A T E M A T I K B 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c h a A b x H x C Matematik B1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 2009 Institution Silkeborg Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik, niveau

Læs mere

Matematik - September 2001 Afleveret d. 27/4-2006

Matematik - September 2001 Afleveret d. 27/4-2006 Matematik - September Afleveret. 7/ - 6 Opgave For at lave en paremeterfremstilling for en ret linje, så skal jeg bruge et punkt på linjen, og en retningsvektor. Punktet kener jeg a jeg får opgivet to

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

10. Differentialregning

10. Differentialregning 10. Differentialregning Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2, 2. udg. 10.1 Grænseværdibegrebet I afsnit 7. Funktioner på side

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Løsningsforslag MatB Jan 2011

Løsningsforslag MatB Jan 2011 Løsningsforslag MatB Jan 2011 Opgave 1 (5 %) Funktionen f er givet ved forskriften f (x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). Løsning: a) f (x) = ln(x 2) + x 2 Da den naturlige

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.

Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf. Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2014

Løsningsforslag MatB Juni 2014 Løsningsforslag MatB Juni 2014 Opgave 1 (5 %) a) Bestem en ligning for den rette linje l, der indeholder punkterne P( 2,4) og Q(4, 1) Løsning: Da de to punkter er givet kan vi beregne hældningen på følgende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Matematik B. Anders Jørgensen

Matematik B. Anders Jørgensen Matematik B Anders Jørgensen Løste opgaver: Juni 2015 Dette opgavesæt er givet til FriViden Dette opgavesæt blev lavet til en terminsprøve d. 7. april af Anders Jørgensen, VUC Vestsjælland Syd Karakteren

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1

Matematik A eksamen 14. august Delprøve 1 Matematik A eksamen 14. august 2014 www.matematikhfsvar.page.tl Delprøve 1 Info: I denne eksamensopgave anvendes der punktum som decimaltal istedet for komma. Eks. 3.14 istedet for 3,14 Opgave 1 - Andengradsligning

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1

Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Opgaver til Maple kursus 2012

Opgaver til Maple kursus 2012 Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +

Læs mere

GL. MATEMATIK B-NIVEAU

GL. MATEMATIK B-NIVEAU GL. MATEMATIK B-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 29. maj 2013 2016 Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

MATEMATIK B. Videooversigt

MATEMATIK B. Videooversigt MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 11 hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Contents. Introduktion 2

Contents. Introduktion 2 Contents Introduktion 2 Differentialregning 2 Grænseværdi................................ 2 Tid/distance................................ 2 Regler og eksempler............................ 3 Differentiering

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2014 Københavns

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 13 Uddannelsescenter

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler

Stx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem

Læs mere

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier.

Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister. 1. Polynomier. 2. Polynomier. Eksamensspørgsmål til matematik B på HF Den 3.-4. juni 2014 22 eller 23 kursister 1. Polynomier. Redegør for andengradspolynomiets graf og udled en formel for koordinatsættet til parablens toppunkt. 2.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 15/16 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Bodil

Læs mere

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller 1 Ligninger a. Fortæl om algebraisk og grafisk løsning af ligninger ud fra ét eller flere eksempler. b. Gør rede for algebraisk løsning af andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0. 2 Ligninger a. Fortæl om

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Line Dorthe

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Mette

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Interferens og gitterformlen

Interferens og gitterformlen Interferens og gitterformlen Vi skal stuere fænomenet interferens og senere bruge enne vien til at sige noget om hva er sker, når man sener monokromatisk lys, altså lys me én bestemt bølgelænge, igennem

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik A Rita Ahrenfeldt hh12okoa11

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 HTX

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2011-juni 2014 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Termin hvori undervisningen afsluttes: maj juni 10 HTX Sukkertoppen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleåret 2014/15, eksamen maj-juni 2015 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner

Eksamensspørgsmål. Spørgsmål 1: Funktioner . Spørgsmål 1: Funktioner Gør rede for udvalgte sætninger vedrørende andengradsfunktioner. Du skal herunder redegøre for differentiation af en andengradsfunktion, samt formlen til at beregne nulpunkterne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Juli-august 2011 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK-hold Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere