Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaard Andreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaard Andreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi"

Transkript

1 Formelsamling Matematik på højniveau version 2.0 af Daniel Thaagaar Anreasen & Kristian Jerlsev Aarhus Universitet Institut for Fysik og Astronomi

2 Inhol 1 Foror 2 2 Potensregneregler 3 3 Kvaratsætninger 4 4 Anengrasligning Generelle løsning Nulreglen Faktorisering af anenrgasligning faktorisering af n te grasligning Funktions analyse Den lineære funktion Den eksponentielle funktion Halverings- og foroblingskonstant Potens funktionen Trigonometri Retvinklee trekanter Trigonometriske sammenhænge Vilkårlige trekanter Grænseværi Regneregler L Hospitals regel Infinitesimalregning Differentialregning Generelle regneregler Nyttige regneregler Integralregning Ubestemt integral Bestemt integral Areal- og volumenfunktion Hyppige integraler Vektorregning Regneregler Nyttige kommanoer til TI

3 1 Foror Denne formelsamling er lavet til alle er har matematik på højniveau og som måske har lit svær ve at huske alle e små regler. Jeg har prøvet at forklar e mange formler og lave enkelte eksempler i formelsamlingen, men ikke så meget, at et bliver en egentlig bog. Pga. tispres er er nogle ting som jeg ikke har nået, hvoraf et vigtigste emne for em er har Mat A er ifferentialligninger esværre ikke er kommet me, så et er klar til jeres skriftlig eksamen. Vektorregnings afsnittet er måske heller ikke et beste, men et er min intention at gøre ette afsnit færigt, så em er skal til eksamen næste år har et klart. Jeg motager gerne mails me kommentare, båe ris og ros, eller evt. rettelser. Jo mere kritik jeg får, esto bere kan en blive til e kommene årgange. Mails kan senes til følgene aresse eller Ænringer sien version 1.1 Et helt kapitel om brug af lommeregner er tilføjet. Få rettelser i tekst. TEX filen er nu også kompitabel me linux. Ænringer sien version 1.0 Korrekturlæst. Æstetiske ænringer samt enkelte tilføjelser. 2

4 2 Potensregneregler Potensregneregler kan være svære at hole styr på, så her er nogle generelle utryk samt et par eksempler. a n a m = a n+m (2.1) a n a m = an m (2.2) a n b n = (ab) n (2.3) a n b n = ( a b ) n (2.4) a n = 1 a n (2.5) ma n = m a n (2.6) (a n ) m = a nm (2.7) 1 a = a 2 (2.8) 1 n a = a n (2.9) n a m = a m n (2.10) a n ± b n = a n ± b n (2.11) a n b m = a n b m (2.12) Ligning (2.11) 1 og (2.12) er for at vise, at e IKKE kan reuceres yerligere. Læg mærke til, at ligning (2.5) er et speciel tilfæle af ligning (2.6), et samme gæler (2.9) og (2.10). Her kommer et par eksempler. x 3 x 5 = x3 5 = x 2 = 1 x 2 Unervejs har jeg brugt ligning (2.2) og (2.5) 4 a 8 = a 8 4 = a 2 Her har jeg brugt (2.10). 1 hvis er står a n b n = a 2 b 2 kan en reuceres vha. 3. kvaratsætning 3

5 3 Kvaratsætninger Kvaratsætninger ser u på følgene måe: (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab (3.1) (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab (3.2) (a + b) (a b) = a 2 b 2 (3.3) I or bliver (3.1): Kvaratet på en toleet sum er lig me kvaratet på første le plus kvaratet på anet le plus et obbelte proukt. På samme vis bliver (3.2): Kvaratet på en toleet ifferens er lig me kvaratet på første le plus kvaratet på anet le minus et obbelte proukt. Til sist har vi (3.3): To tals sum ganget to tals ifferens er lig me kvaratet på første le minus kvaratet på anet le. Her et to eksempler og (2a + 3b) 2 = (2a) 2 + (3b) a 3b = 4a 2 + 9b ab 4x 2 9y 2 = (2x + 3y)(2x 3y) 4

6 4 Anengrasligning I ette afsnit vil jeg kun behanle en generelle løsning samt løsning ve brug af nulreglen når ette er muligt. Enviere vil jeg kort komme in på formlen før faktorisering. 4.1 Generelle løsning Hvis et anengrasligning er på formen er en tilhørene generelle løsning ax 2 + bx + c = 0 x = b ± 2a (4.1) hvor = b 2 4ac kales iskriminanten. Diskriminanten fortæller noget om antallet af løsninger 2. Der gæler følgene: < 0 ingen løsninger (4.2) = 0 én løsning (4.3) > 0 to løsninger (4.4) 4.2 Nulreglen Generelt siger nulreglen at, hvis a b = 0 (4.5) så er enten a eller b lig me 0. Husk på, at a og b got kan være to parantesers proukt, så er kan got stå (ax + by)(cx + y) = 0 så skal er gæle at ax + by = 0 eller cx + y = 0 Nulreglen kan bruges i et tilfæle hvor c = 0 i vores anengrasligning, så er står Denne kan løses ve at sætte x uen for en parantes. ax 2 + bx = 0 (4.6) ax 2 + bx = 0 (4.7) x(ax + b) = 0 (4.8) x = 0 ax + b = 0 (4.9) x = 0 x = b a (4.10) Dette er løsningerne til en anengrasligning, når c = 0. 2 I et tilfæle hvor man kun kigger på reele løsninger, vs. x R. 5

7 4.3 Faktorisering af anenrgasligning Ve en faktorisering er anengrasligningen skrevet op i faktorer i steet for en sum. Man kan vise at f(x) = ax 2 + bx + c kan skrives som f(x) = ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) (4.11) hvor x 1 og x 2 er røer i ette polynomium. Altså kan man fine et anengraspolynomium hvis man har et punkt P (x p, f(x p ) og e to røer ve at sætte et hele in i (4.11). f(x) = a(x x 1 )(x x 2 ) f(x p ) = a(x p x 1 )(x p x 2 ) a = f(x p ) (x p x 1 )(x p x 2 ) Jeg har isoleret a, a et er hva man typisk skal fine. Man kan fine b og c ve at fine prouktet af e to paranteser i (4.11) faktorisering af n te grasligning generelt gæler er, at et polynomium af gra n p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n hvor a n 0 (4.12) kan skrives som p(x) = a n (x x n )(x x n 1 )... (x x 1 ) (4.13) hvor x 1 x n er røer i polynomiet 6

8 5 Funktions analyse Her vil jeg se på e tre kente funktion, en lineære funktion, en eksponentielle funktion og potens funktionen. 5.1 Den lineære funktion Den lineære funktion er af typen y = ax + b (5.1) hvor a er hælningskoefficienten og b er skæring me y-aksen 3. Hvis man har to punkter P (x 1, y 1 ) og P (x 2, y 2 ) kan man fine en fule løsning for y. Først finer man a nu kan man fine b u fra følgene formel. a = y 2 y 1 x 2 x 1 = y x (5.2) y 1 = ax 1 + b (5.3) b = y 1 ax 1 (5.4) Man kan sagten bruge y 2 og x 2 hvis ette er nemmere, man må bare ikke blane punkterne sammen. 5.2 Den eksponentielle funktion Den eksponentielle funktion er givet ve y = ba x (5.5) Her fortæller a om grafen for y er voksene, konstant eller aftagene. a kales for fremskrivningsfaktoren og er givet ve a = 1 + r (5.6) hvor r er en procent hvorme grafen for y vokser/aftager. Der gæler følgene tre ting. 1. Hvis r < 0 a < 1 er funktionen aftagene 2. Hvis r > 0 a > 1 er funktionen voksene 3. Hvis r = 0 a = 1 er funktionen konstant, a y = b1 x = b. Der gæler generelt at 1 n = 1 for n RDette gæler også for komplekse tal Også her er b skæring me y-aksen. Det ses ve at sætte x = 0 y = ba 0 = b her gæler et også generelt at n 0 = 1 for n R 4 Hvis to punkter er givet P (x 1, y 1 ) og P (x 2, y 2 ) kan man fine en fule løsning for y. Først finer man a ( ) 1 y2 y2 a = x 2 x x 2 x 1 1 = (5.7) y 1 3 Dette ses ve at sætte x = 0 4 Dette gæler også for komplekse tal y 1 7

9 Herefter bestemmer man b ve at insætte ét punkt og en kente væri for a. Igen kan man også bruge et anet punkt. y 1 = ba x 1 (5.8) b = y 1 a x 1 (5.9) Halverings- og foroblingskonstant Halveringstien fines ve at sige: T 1/2 = ln( 1 2 ) ln(a) (5.10) og foroblingskonstanten finer man ve at sige: T 2 = ln(2) ln(a) (5.11) 5.3 Potens funktionen Potensfunktionen er givet ve: y = bx a (5.12) Her er b ikke længere skæring me y-aksen; erimo fines et når x = 1 a y = b1 a = b Dvs. at punktet P (1, b) fines på en potensfunktions graf. hvis to punkter er givet P (x 1, y 1 ) og P (x 2, y 2 ) kan man fine en fule løsning for y. Først finer man a ( ) a = ln y2 y 1 Nu kan man fine b ln ( x2 x 1 ) (5.13) b = y 1 x a 1 (5.14) 8

10 6 Trigonometri Trigonometri er geometri for trekanter. Her vil jeg først behanle retvinklee trekanter og erefter vilkærlige trekanter. Summen af alle vinkler i en trekant er konstant, nemlig 6.1 Retvinklee trekanter A + B + C = 180 o (6.1) I en retvinklet trekant ABC kales e to kateter a og b og hypotenusen kales c. I en retvinklet trekant gæler er a 2 + b 2 = c 2 (6.2) hvor (6.2) kales phytagoras lærersætning for retvinklee trekanter. Arealet for en retvinklet trekant fines nemt, a et for en vilkårlig trekant er A = 1 2 hg = 1 ab (6.3) Trigonometriske sammenhænge De trigonometriske sammenhænge hanler om brugen af cos, sin og tan. Jeg vil her kort skrive op hva er gæler af sammenhænge i en retvinklet trekant. Hosliggene katete cos(a) = = b Hypotenusen c Moståene katete sin(a) = = a Hypotenusen c Moståene katete tan(a) = Hosliggene katete = a b (6.4) (6.5) (6.6) Et par små huskeregler som man tit kan bruge til reuktion er tan(a) = sin(a) cos(a) cos 2 (A) + sin 2 (A) = 1 2 cos(a) sin(a) = sin(2a) Nogle gange regnes er i raianer og så er et got at vie, hva et egentlig er. 6.2 Vilkårlige trekanter 1ra = 180o π 1 o π = 180ra For vilkårlige trekanter gæler phytagoras ikke, men man kan heligvis ulee nogle relationer mellem sin og cos, isse kales hhv. sinusrelationen og cosinusrelationen og ser u på følgene måe, først sinusrelationen a sin A = b sin B = c sin C (6.7) 9

11 og her kommer cosinusrelationen Arealet kan nu fines u fra følgene formel a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A (6.8) b 2 = a 2 + c 2 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C A = 1 2 bc sin(a) = 1 2 ac sin(b) = 1 ab sin(c) (6.9) 2 Det ses at cosinusrelationen og sinusrelationen giver os nogle formler, så vi kun behøver tre kente informationer for at fine alt anet er har me trekanten at gære 10

12 7 Grænseværi En grænseværi er en væri en funktion går imo, når en variable går mo en bestemt væri. Det kan skrives matematisk på følgene måe lim f(x) = f(a) (7.1) x a som læses: grænseværien af f(x) for x gåene mo a er lig me f(a). Ofte er man interesseret i at fine en væri når x ± ; ette gør man fori, man ikke må insætte ± i et funktionsutryk. 7.1 Regneregler Her er nogle få regneregler, som måske giver sig selv, men et er alti got at se em. 7.2 L Hospitals regel lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) (7.2) x a x a x a (f(x) g(x)) = lim g(x) (7.3) lim x a lim x a ( f(x) g(x) ) x a f(x) lim x a = lim x a f(x) lim x a g(x) Hvis man skal fine en grænseværi for en brøk og en går mo: (7.4) f(x) lim x a g(x) = 0 0 (7.5) eller f(x) lim x a g(x) = ± ± (7.6) siger L Hospitals regel at man må ifferentiere f(x) og g(x) hver for sig, for erefter at prøve at fine grænseværien igen, altså f(x) lim x a g(x) = lim x a x f(x) = = lim g(x) x a x n x n f(x) n x n g(x) (7.7) Man stopper selvfølgelig når man har funet en grænseværi. Jeg vil lige sige, at L Hospitals regel IKKE er gymnasiestof, men meget nyttig at kunne. 11

13 8 Infinitesimalregning Infinitesimalregning er en af e vigtigste grene i matematikkens veren og består af to store områer, nemlig ifferentialregning og integralregning. Infinitesimalregning er meget anvent inen for fysik og anre naturvienskabelige fag. Jeg vil i ette kapitel først komme in på nogle regler om ifferentialregning for erefter at fortælle om integralregning samt regneregler. 8.1 Differentialregning For at kunne ifferentiere en funktion f(x) i et interval [a; b] skal funktionen være kontinueret og ifferentiabel i ette interval. Når man ifferentiere en funktion f(x) i et bestemt punkt x 0 finer man hælningen af tangenten. Dette betegnes på to måer, hvor jeg primært benytter mig af en første fori et er tyeligt, hva er ifferetieres me hensyn til: hvor a er hælningen for tangenten til f(x) i x 0. Forskriften for tangenten fines u fra følgene formel Generelle regneregler x f(x 0) = f (x 0 ) = a (8.1) y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) (8.2) Her kommer et lille afsnit om nogle generelle regneregler for ifferetiation af én og to funktioner. x c f(x) = c f(x) x (8.3) (f(x) ± g(x)) = x x f(x) ± g(x) x (8.4) (f(x) g(x)) = f(x) g(x) + f(x) g(x) (8.5) x x x ( ) f(x) xf(x) g(x) f(x) x = x g(x) (g(x)) 2 (8.6) x f(g(x)) = x g(x) f(g(x)) x (8.7) hvor båe f(x) og g(x) er kontinuerte og ifferentiable funktioner. Formel (8.7) er en sværste at forstå, så jeg forklare en lige. Hvis man skal ifferentiere en sammensat funktion, skal man først tage en inre ifferentieret gange på en yre ifferentieret taget på en inre. For go orens skyl kommer er et eksempel. ( ) cos(3x 3 ) = x x cos(3x3 ) x 3x3 = 9x 2 ( sin(3x 3 )) = 9x 2 sin(3x 3 ) Her var en inre funktion f(x) = 3x 3 og en yre funktion var g(y) = cos(y) 12

14 8.1.2 Nyttige regneregler Foruen e generelle regneregler ovenfor er er mange regneregler alt efter hvilken slags funktion man skal ifferentiere. Jeg har her valgt em u, som jeg mener er vigtigst at kunne. x c = 0 c R x xn = nx n 1 x eax = ae ax cos(x) = sin(x) x sin(x) = cos(x) x x tan(x) = 1 cos 2 (x) x ax = ln(a)a x a > 0 1 x = x 2 x n x x m = m n x m n n x ln(x) = 1 x 8.2 Integralregning Der fines to former for integraler; et bestemte og et ubestemte. Det bestemte integral giver os et tal, som tolkes som arealet uner en funktion i et interval. De ubestemte integral giver os en stamfunktion til vores oprinelige funktion Ubestemt integral Først kommer nogle generelle regneregler for ting man må gøre ve et ubestem integral. a f(x) x = a f(x) x (8.8) f(x) ± g(x) x = f(x) x ± g(x) x (8.9) f(x) g(x) x = f(x) g(x) x f (x) x g(x) x (8.10) Bemærk at et kun er generelle regneregler. Mere specifikke regneregler kommer længere nee. 13

15 8.2.2 Bestemt integral Hvis F (x) er stamfunktionen til f(x) i et interval [a; b], kan man fine et bestemte integral ve at integrere f(x) i ette interval. Det betegnes og regnes på følgene måe. b a f(x) x = [F (x)] b a = F (b) F (a) (8.11) Ve et bestemte integrale gæler selvfølgelig e samme regneregler som ve et ubestemt integrale; forskellen er, at man får hhv. en funktion og et tal Areal- og volumenfunktion Man kan bruge integralregning til bestemmelse af arealer uner/mellem funktioner, samt at fine volumen af en funktion er roteres om en fast akse. Først ser vi på arealet uner en funktion. Hvis en funktion f(x) ligger over x-aksen i et interval [a; b] finer man simpelthen arealet uner grafen for f(x) ve at integrere. A = b a f(x) x (8.12) Hvis funktionen ligger uner x-aksen skal man tage en numeriske væri for at fine arealet over funktionen. Og hvis en i intervallet [a; b] kryser x-aksen er et vigtigt, at man finer et bestemte integral fra nulpunkt til nulpunkt. La for en funktion f(x) være n nulpunkter i et interval vi vil fine arealet uner/over grafen 5 og la os kale isse nulpunkter for x 1... x n, a er arealet givet ve x1 x2 A = f(x) x + b f(x) x + + f(x) x (8.13) a x n x 1 Der er sat numerisk tegn for at sikre et positivt areal. I praksis skal man nok ikke have numerisk tegn ve alle leene, men et kan være. Nu kommer er lige lit om et volumen man kan få fra en funktion. Hvis man roterer en funktion f(x) 360 o runt om x-aksen kan man fine et volumen en fremkomne figur har skabt. Man kan forestille sig en ret linie gennem origo rejet runt om x-aksen vil anne en kegle, og på en måe, kan man komme frem til hva volumen af en kegle er. Det generelle utryk er: b V = π f(x) 2 x (8.14) a Læg mærke til at f(x) er kvareret og husk π uen for integralet. 5 alt efter om funktionen er over eller uner x-aksen 14

16 8.3 Hyppige integraler Her kommer en bunke af integraler som er goe at kunne. Det skal lige siges, at er i alle tilvæle skal være plus en konstant, men ette unlaer jeg me vilje. x n x = 1 n + 1 xn+1 (8.15) k x = kx (8.16) e kx x = 1 k ekx cos(x) x = sin(x) sin(x) x = cos(x) tan(x) x = ln( cos(x) ) k x x = kx ln(k) x 2x 3/2 x = 3 n x m x = mxm/n+1 m + n ln(x) x = x ln(x) x log(x) x = x(log(x) log(e)) Læg mærke til, at 8.16 er en konsekvens af 8.15, a k = k 1 = k x 0, hvor jeg herfra kan bruge regel

17 9 Vektorregning I ette afsnit vil jeg behanle vektorer i n imensioner, selvom man kun har om 2 og 3 imensioner i gymnasiet. Dette er og intet problem, hvilket man kan se u fra formlerne. En vektor er egentlig bare en pil, som har to egenskaber; en har en længe og en har en retning. En vektor er ikke bunet til noget fast punkt i et koorinatsystem, hvilket er en stor hjælp, når man skal fine en sum af vektorer eller beregne vinkler imellem to vektorer. Nu et kig på hvoran en vektor egentlig ser u. hvor a 1, a 2,..., a n kales ingange i a. 9.1 Regneregler a 1 a 2 a =. a n (9.1) Her vil vi se på nogle generelle regneregler, bl.a aition, subtraktion, skalarmultiplikation mm. Først kommer noget aition. Hvis vi har to vektorer a og b er summen/ifferensen af em: a 1 ± b 1 a ± a 2 ± b 2 b = (9.2). a n ± b n Altså er en sum/ifferens af to vektorer blot summen/ifferensen af ingangene. Man kan også gange en skalar 6 på en vektor ve at gange skalaren in på alle ingange, ette skrives sålees n a 1 n a 2 n a = (9.3). n a n Nu vil vi også se på et proukt af to vektorer. Dette er kalet et skalarproukt og er givet ve: n a b = a i b i = a 1 b 1 + a 2 b a n b n (9.4) i=1 ni=1 a i b i er nok en ny notation for mange, men et betyer bare summen af e forskellige ingange ganget sammen. Det egenommelige ve et skalarproukt er, at man ikke før en ny vektor, men en skalar. Man kan bruge skalarprouktet til at fine vinklen mellem to vektorer, men først skal vi lige se på hvoran man finer længen af en vektor. Længen finer man vha. Phytagoras læresætning om retvinklee trekanter. a = a a a2 n (9.5) 6 ette er bare et anet or for tal 16

18 Nu er vi klar til at fine vinklen mellem to vektorer. Det er en vinkel er er mellem em, når e starter i samme punkt. a b = a b cos(θ) (9.6) a b cos(θ) = a b (9.7) Nu skal vi se lit på krysprouktet, men kun i 3 imensioner. Det er givet ve ( ) a2 b et 2 a a 1 b a 3 b 3 ( ) 1 a3 b b = a 2 b 2 = et 3 a 2 b 3 a 3 b 2 = a a a 3 b 3 1 b ( 1 3 b 1 a 1 b 3 (9.8) ) a1 b a 1 b 2 a 2 b 1 et 1 a 2 b 2 Hvis man kryser to vektorer får man en vektor er er ortogonal på en plan e to vektorer uspæner. Man kan også fine arealet af et parallelogram e to vektorer uspæner. Det er givet ve: a b = a b sin(θ) (9.9) hvor θ er vinklen mellem a og b. Hvis a og b begyner i samme punkt og man tegner en ret linie fra eres enepunkter så man får en trekant, kan man også fine arealet af enne: 1 a 2 b = 1 2 a b sin(θ) (9.10) 17

19 10 Nyttige kommanoer til TI-89 Til en skriftlig eksamen er man oftest ret tispresset, erfor kan man lae sin lommeregner gøre meget af et triste og håre arbeje. Her kommer nogle kommanoer, er gør livet nemmere for em er er til eksamen. Hvis er er problemer me nogle af kommanoerne, kan et være fori er regnes eksakt, så ette skal skiftes ine i MODE. solve F2 1 Denne kommano løser en ligning; et kan båe være alminelige ligninger såsom y = ax + b, anengrasligninger eller mere eksotiske ligninger som y (t) = k 7. Måen man bruger solve på er vist heruner. solve(y = ax + b, x) x = y b a Ovenståne var et eksempel. Men man skriver sit algebrariske utryk op hvorefter man trykker komma 8 og så en variabel man ønsker isoleret. Man kan også løse to ligninger me to ubekente (eller flere), et gør man på følgene måe solve(y = ax + b an y = cx +, x, y) Husk e rigtige paranteser runt om et man løser me hensyn til. Rent grafisk er ovenståene et eksempel på, hvoran man finer skæringen mellem to linier. Det er meget nyttigt, hvis man skal fine skæring mellem to kurver, som man skal fine arealet imellem. Differentiere F3 1 Hvis man gerne vil ifferentiere en funktion f(x) kan in lommeregner også gøre et. Man skriver blot (f(x), x) = f (x) Man kan også fine et specielle ve, at trykke på en blå knap og så 8. Integrere F3 2 Lommeregneren kan også sagtens integrere. Dette gøres på næsten samme måe som at ifferentiere. b (f(x), x, a, b) = f(x) x Man finer integraletegnet ve at trykke en blå knap efterfulgt af 7. a og b er grænserne på et bestemte integrale. Hvis man vil regne ubestemt intaster man blot uen grænserne, vs. (f(x), x) = f(x) x Vær opmærksom på, at når TI-89 regner ubestemt metager en ikke en ekstra konstant, et skal man selv huske. 7 senere kommer et lille afsnit om flere kommanoer samtiig 8 en er ligger lige uner T a 18

20 Differentialligninger F3 C Her kommer er lit om, hvoran man løser en ifferentialligning, hvis man har fået en initialværi, vs. y(t 0 ) = y 0. esolve(y = ky an y(t 0 ) = y 0, t, y) Her er er nogle ting er er vigtig at huske! Man skal have an me, en kan fines uner CATALOG. Det mærke man bruger på y finer man ve at trykke blå knap efterfulgt af =. Til sist er et vigtigt at huske en rigtige rækkefølge hvorme man løser me hensyn til, vs. t skal stå før y. Limit F3 3 Nogle gange kan et være svært at fine en grænseværi, så et klare in lommeregner for ig. Intast blot limit(f(x), x, a) og så finer u en grænseværi, hvis er fines en, som f(x) går mo, når x går mo a. Factor F2 2 Denne kommano faktoriserer et polynomium factor(ax 2 + bx + c) Og så får man et på samme form som i (4.11) Vektorer Man kan også regne me vektorer, men i mosætning til ovenståene funktioner, kan en her got være ret tiskrævene, og et anbefales, at man kun bruger nogle af kommanoerne her til at tjekke sit resultat. At skrive en vektor Det er hovesageligt pga. en besværlige syntax at et tager lang ti. Her kommer et eksempel. x [[x][y][z]] = y z På venstre sie er et man skal skrive på sin lommeregner, og resultatet er vist på højre sie. Man kan me forel gemme et i en variabel. Dette gøres ve at trykke STO og så en variable, f.eks. m. Nu laver jeg to vektorer jeg bruger til resten af et afsnit om vektorer. Kommanoerne fines uner CATALOG [[x][y][z]] STO m [[a][b][c]] STO n Altså har jeg to vektorer er er gemt uner m og n. Længen norm Man kan fine længen af en vektor ve at bruge kommanoen norm. norm(m) = x 2 + y 2 + z 2 19

21 Prikproukt otp Man finer prikprouktet på følgene måe. otp(m, n) = ax + by + cz Prikproukt crossp Her ser I hvoran man finer krysprouktet. cy bz crossp(m, n) = az cx bx ay Vinklen mellem to vektorer Jeg har ennu ikke funet en kommano for ette, men et giver mig en mulighe for, at vise hvoran man kan bruge flere kommanoer samtiig. Vinklen mellem to vektorer er givet ve (9.7). Derfor kan et nu skrives som: ( ) ( ) θ = cos 1 otp(m,n) = cos 1 ax + by + cz norm(m)norm(n) x 2 + y 2 + z 2 a 2 + b 2 + c 2 20

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Duborg-Skolen Matematisk Formelsamling Indholdsfortegnelse Emne side Vektorer i planen... 1 og 2 Linje... 3 Cirkel, ellipse, hyperbel og parabel... 4 Trekant...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b

13 -Integralregning. Hayati Balo, AAMS,Århus. 1. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. 2. Det bestemte integrale som betegnes med b 3 -Integralregning Hayati Balo, AAMS,Århus 3. Stamfunktioner Der er to slags integralregning:. Det ubestemte integrale som betegnes med f (x)dx. Det bestemte integrale som betegnes med b a f (x)dx Det

Læs mere

Interferens og gitterformlen

Interferens og gitterformlen Interferens og gitterformlen Vi skal stuere fænomenet interferens og senere bruge enne vien til at sige noget om hva er sker, når man sener monokromatisk lys, altså lys me én bestemt bølgelænge, igennem

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller 1 Ligninger a. Fortæl om algebraisk og grafisk løsning af ligninger ud fra ét eller flere eksempler. b. Gør rede for algebraisk løsning af andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0. 2 Ligninger a. Fortæl om

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hf Matematik C-B Pia Hald ph@kvuc.dk

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus

Læs mere

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2 Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2012 Institution Tradium Handelsgymnasiet Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Vestegnen HF & Vuc Uddannelse Fag og niveau Lærer Hf-enkeltfag Matematik B Gert

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse.

Skriv punkternes koordinater i regnearket, og brug værktøjet To variabel regressionsanalyse. Opdateret 28. maj 2014. MD Ofte brugte kommandoer i Geogebra. Generelle Punktet navngives A Geogebra navngiver punktet Funktionen navngives f Funktionen navngives af Geogebra Punktet på grafen for f med

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014, skoleår 13/14 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Grafisk design. Workflow. Hvordan blev det lavet?

Grafisk design. Workflow. Hvordan blev det lavet? Grafisk esign Workflow Hvoran blev et lavet? Workflow af forsie For at påbegyne en kreative process best muligt startee jeg me at lave en brainstorm. Det gjore jeg for at få et overblik over hvilket slags

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 IBC-Kolding

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Mat C-B Henrik Jessen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 09/10 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse HHX Fag og niveau Matematik A (2 årigt forløb

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006 05-A-2-U Typeopgave 2 Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består af 6 opgaver, der indgår

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 10/11 Institution Frederikshavn Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Jan Houmann

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2015 VUC

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik B Ashuak Jakob France

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærere Hold Favrskov Gymnasium Stx Matematik A Peter Lundøer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin 2012-2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Stx Matematik A MT 3.a Matematik Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2. juni 2014 Institution Kolding HF og VUC, Ålegården 2, 6000 Kolding (tovholder) VUC Vest, Stormgade 47,

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2011-2012

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2011-2012 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 011-01 18. maj 011: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 5x 11 19x 17 1117 19x 5x 8 14x x Opgave : T K T K KT T K T K KT KT T Parentesen er udregnet ved hjælp

Læs mere

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005

Anvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Vejledning til Gym18-pakken

Vejledning til Gym18-pakken Vejledning til Gym18-pakken Copyright Maplesoft 2014 Vejledning til Gym18-pakken Contents 1 Vejledning i brug af Gym18-pakken... 1 1.1 Installation... 1 2 Deskriptiv statistik... 2 2.1 Ikke-grupperede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E

H Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Undervisningsbeskrivelse Termin Maj/juni 2015 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik B Janne Skjøth Winde 2.s mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

matx.dk Vejledning i Maple

matx.dk Vejledning i Maple matx.dk Vejledning i Maple Dennis Pipenbring February 1, 2012 Contents 1 Indledning 4 2 Layout 5 2.1 Sidehoved......................... 5 2.2 Antallet af decimaler................... 6 3 Grundlæggende

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2014 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik B Trine Eliasen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Campus vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B (Valghold) PEJE

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Efterår 2014 Institution Niels Brock Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HHX Matematik - Niveau A Peter Harremoës GSK hold t14gymaau1o2 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution VUC Storstrøm / Næstved Uddannelse HFE Fag og niveau Matematik B Lærer(e) Hold Nils

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2009 EUC

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma

Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma Undervisningsbeskrivelse for: 670e 1208 Ma Fag: Matematik C->B, HFE Niveau: B Institution: VoksenUddannelsescenter Frederiksberg (147248) Hold: 670e 1208 Ma (Matematik C-B, halvårshold) Termin: December

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2013 Institution VUC Vest Esbjerg Afdeling, Eksamens nr. 582 / Skolenummer 561 248 Uddannelse Fag

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2010 Institution Handelsskolen Sjælland Syd, Campus Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2011 Institution ZBC, Vordingborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Jørgen Slot

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Ikke så vigtigt (bortset fra beløb). Alle decimaler skal med i mellemregninger.

Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Ikke så vigtigt (bortset fra beløb). Alle decimaler skal med i mellemregninger. Tal og brøker Der anvendes blandet tal. Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Anvender både blandet tal og brøker. Anvender både blandet tal og brøker. Antal cifre Der skal afrundes til et passende

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Årsprøve i matematik 1y juni 2007

Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25

Læs mere

Et CAS program til Word.

Et CAS program til Word. Et CAS program til Word. 1 WordMat WordMat er et CAS-program (computer algebra system) som man kan downloade gratis fra hjemmesiden www.eduap.com/wordmat/. Programmet fungerer kun i Word 2007 og 2010.

Læs mere

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11.

Side 1 af 8. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2010/11. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2010/11 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Zealand Business College Hhx Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-Juni 2015 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold hf Matematik C Dorte Christoffersen

Læs mere