Kvant 2. Notesamling....Of doom!

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kvant 2. Notesamling....Of doom!"

Transkript

1 Kvant 2 Notesamling...Of doom!

2 Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation Udartet perturbationsteori Zeeman-effekt Tidsafhængig perturbation Variationsprincippet 5 5 WKB-approximation TM Tunnelering Snedige ting Symmetriske perturbationsmatricer Harmonisk oscillator Feynman-Hellmannteoremet Slater-determinant Kommutatorer for brint

3 1 To-partikelsystemer For skelnelige partikler i tilstande ψ a og ψ b kan den samlede bølgefunktion skrives som: ψ(r 1, r 2 ) = ψ a (r 1 )ψ b (r 2 ) (1) For ikke-skelnelige partikler ser det straks værre ud (dam dam dammmmm). De skal opfylde symmetrikravet (5.14): ψ(r 1, r 2 ) = ± ψ(r 2, r 1 ) (2) (plus for bosoner (som er symmetriske) og minus for fermioner (som er antisymmetriske)). Generelt kan en bølgefunktion skrives som et produkt af en rumdel φ(r) og en spindel χ(s) som kan være individuelt symmetriske eller antisymmetriske. Afhængigt af dette bliver den samlede bølgefunktion: symmetrisk symmetrisk = symmetrisk symmetrisk antisymmetrisk = antisymmetrisk antisymmetrisk antisymmetrisk = symmetrisk For systemer med to fermioner (ihvertfald med to elektroner), er det er snedigt at huske på at: Tilstande med antisymmetrisk spindel kaldes singlet-tilstande Tilstande med symmetrisk spindel kaldes triplet-tilstande 2 Brint Oversigt over egenværdier L, S og J-operatoerer på brint: 1

4 L 2 l m l = 2 l(l + 1) l m l L z l m l = m l l m l L ± l m l = (l m l )(l ± m l + 1) l (m l ± 1) S 2 s m s = 2 s(s + 1) s m s S z s m s = m s s m s S ± s m s = (s m s )(s ± m s + 1) s (m s ± 1) J 2 j m j = 2 j(j + 1) j m j J z j m j = m j j m j J ± j m j = (j m j )(j ± m j + 1) j (m j ± 1) -hvor J L + S er god at bruge ved spin-orbit-kobling. Kvantetallene kan kun antage bestemte værdier: n: 1, 2, 3,... l: 0, 1,..., n 1 m l : l, l + 1,..., l s: 0, 1/2, 1, 3/2,... m s : s. s + 1,..., s j: l s, l s + 1,..., l + s m j : j. j + 1,...j Relevante kommutatorer er opgivet i afsnit 6.5! 3 Perturbation Man pertuberer når hamiltonoperatoren for et kendt system (med hamiltonoperator Ĥ0 ) ændres en lille smule Ĥ0 Ĥ0 + Ĥ. Vi skal vist kunne udregne førsteordenskorrektionerne til både energier (E 1 n) og bølgefunktioner (ψ 1 n) og andenordenskorrektioner til energier (E 2 n). Det er ikke så slemt hvis energiniveauerne ikke er udartede: Førsteordensperturbation af energien findes med (6.9) fra Griffiths: E 1 n = ψ 0 n Ĥ ψ 0 n (3) 2

5 Andenordensperturbation af energien findes ved (6.15): E 2 n = m n ψ 0 m Ĥ ψ 0 n 2 E 0 n E 0 m (4) Til beregning af førsteordensperturbationer til bølgefunktioner kan jeg personligt anbefale ligning (6.13): ψ 1 n = m n 3.1 Udartet perturbationsteori ψm 0 Ĥ ψn 0 En 0 Em 0 ψm 0 (5) Det ser straks værre ud med udartet perturbationsteori - Så er man nødt til at bruge (6.27) som siger: E 1 ± = 1 2 (W aa + W bb ± (W aa W bb ) W ab 2 ) (6) - hvor W erne er defineret som perturbationens matrixelementer i basen af ψ er, dvs. W ij ψ 0 i Ĥ ψ 0 j. Det er dermed ulejligheden værd at udtrykke Ĥ i en basis hvor den er diagonal da dette vil betyde at W ab = 0, hvilket gør (6) mere overskuelig. Dette kan gøres på to måder: Hvis man er 1337 hax0r til at regne matrixelementer, kan man benytte sig af, at en matrices egenværdier er uafhængige af, hvilken basis de udtrykkes i, og skifte base til en god linearkombination TM af ψa 0 og ψb 0, ved at løse egenværdiligningen: ( Waa W ab W ba W bb ) ( α β ) ( = E 1 α β ) (7) (Dette er ækvivalent med at løse ligning (6.22) og (6.24) i Griffiths hvis man bedre kan lide det) Hvis man er snedig kan man bruge moralen fra teoremet på side og finde en operator  som kommuterer med både Ĥ0 og Ĥ og finde en linearkombination af egentilstande til Ĥ 0 som også er egentilstand til  (husk at alle linearkombinationer af egentilstande til Ĥ 0 automatisk er egentilstande til Ĥ 0 ). Ofte er det snedigt at anvende paritetsoperatoren A: Âf(x) = f( x) (som har egenværdierne ±1, da Â2 f(x) = f(x)). Endnu en grund til at paritetsoperatoren er et kløgtigt valg er at [Â, Ĥ0 ]f(x) = (V ( x) V (x))f( x), dvs. de kommuterer for symmetriske potentialer. Eksempelvis er bølgefunktionen i opgave 6.7 udtrykt ved ψ(x) = αe (ikx) + βe ( ikx), og man kan med lidt snilde se at for at ψ kan være egenfunktion for  skal koefficienterne opfylde β = ±α. Dette trick er absurd smart, og det kan virkelig anbefales at lære det. 3

6 3.2 Zeeman-effekt Zeeman-effekten er den opsplitning af energiniveauerne i atom som forekommer når det placeres i et eksternt magnetisk felt. Helt generelt for Zeeman-effekt er perturbationen givet ved Ĥ Z = (µ l + µ s ) B ext, hvor µ s = e m S, µ l = e 2m L. Man taler om stærk eller svag Zeeman-effekt afhængigt af forholdet mellem det interne (fine structure) og eksterne magnetiske felt: Der er stærk Zeeman-effekt hvis Der er svag Zeeman-effekt hvis Hvor B int = 1 e 4πɛ 0 mc 2 a 12T 3 B ext B int B ext B int Svag Zeeman Gode kvantetal: n, l, j og m j, Ved svag Zeeman-effekt dominerer det interne magnetfelt (finstrukturen) og det eksterne magnetfelt behandles derfor som perturbationen. Dermed er E 0 givet ved den almindelige grundenergi for brint (ligning 6.67): E nj = 13.6eV n 2 [1 + α2 n 2 ( n )] j + 1/2 3/4 De voksne (Griffiths, ligning 6.76) siger at førsteordensperturbationsenergien findes ved: [ ] EZ 1 = µ Bg J B ext m j, hvor µ B e 2m og g J 1 + j(j+1) l(l+1)+3/4 2j(j+1) Stærk Zeeman Gode kvantetal: n, l, m l og m s, Ved stærk Zeeman-effekt dominerer det eksterne magnetfelt og det interne magnetfelt betragtes som perturbationen. Altså er E 0 givet ved den normale grundtilstandsenergi for brint (uden finstruktur) plus energien fra Ĥ Z, dvs. E nml m s (8) = 13.6eV n 2 + µ B B ext (m l + 2m s ) (9) Igen har de voksne (ligning 6.82) udregnet førsteordensperturbationsenergien for os: E 1 fs = 13.6eV n 3 α 2 [ ] 3 l(l + 1) 4n ml m s l(l + 1/2)(l + 1) } {{ } =1, for l=0 4

7 Middel-Zeeman tjah... se side Tidsafhængig perturbation I tidsafhængig perturbationsregning afhænger ændringen af hamiltonoperatoren af tiden, Ĥ (t). De voksne (Griffiths) siger at diagonalelementerne i perturbationen ofte forsvinder, Ĥ aa = Ĥ bb = 0. Hvis dette er tilfældet, og hvis den upertuberede tilstand skrives som Ψ(t) = c a (t)ψ a e ieat/ +c b (t)ψ b e iebt/, kan man ved hjælp af den tidsafhængige schrödingerligning og lidt fancy footwork TM deducere sig frem til at koefficienterne opfylder: ċ a = i Ĥ abe iω0t, ċ b = i Ĥ bae iω0t (10) hvor ω 0 E b E a. I tilfælde af at Ĥ aa, Ĥ bb at bruge 0 ser det hele straks sortere ud og man er nødt til Og ikke nok med det! Ydermere er ċ a = i (c aĥ aa + c b Ĥ abe iω0t ) (11) ċ b = i (c bĥ bb + c a Ĥ bae iω0t ) (12) Ved at integrere (10) kan man få et fint udtryk for c b som funktion af tiden. Tidspunktet hvor perturbationen starter kaldes t 0 og det antages at c a (t 0 ) = 1, c b (t 0 ) = 0. Koefficienterne skal naturligvis opfylde at c a 2 + c b 2 = 1. Anyway: c (1) b (t) = i t t 0 Ĥ ab(t )e iω0t dt (13) Det er praktisk hvis man skal udregne sandsynligheden for at måle et system i tilstand b som funktion af tiden, da denne er P (1) a b (t) = c b(t) 2 (14) til første orden. Skal man finde anden orden eller højere er der en fin guide på side Variationsprincippet Variationsprincippet er en fantastisk metode til at estimere en øvre grænse for grundtilstandsenergien for et system uden en kendt bølgefunktion, som DU kan prøve derhjemme! Det eneste du skal bruge er en normaliseret testfunktion 5

8 ψ test, som i princippet kan antage en hvilken som helst form, og systemets hamiltonoperator. Variationsprincippet (ligning 7.1 i bogen) siger da: E gs ψ test Ĥ ψ test Ĥ (15) hvor det er værd at skrive sig bag øret at Ĥ = T + V ( T og V er forventningsværdierne af hhv kinetisk og potentielenergi for testfunktionen). Dermed er E gs ψ test T ψ test + ψ test V ψ test } {{ } } {{ } T V (16) Ofte vælger man at bruge en gaussisk funktion, ψ test = Ae bx2, A = ( ) 2b 1/4 π, som altid opfylder T = 2 b 2m. Da variationsprincippet giver en øvre grænse for grundtilstandsenergien vil det være kløgtigt, strategisk og smart at minimere højresiden af (16) ved at differentiere mht b. 5 WKB-approximation TM WKB er en metode til at approximere bølgefunktioner i potentialer som afhænger af x. Den virker fortræffeligt hvis: bølgefunktionens amplitude ændrer sig laaaaangsomt man ikke approximerer i nærheden af klassiske turning points, dvs hvor E V man gør det rigtigt Selve approximationen er udtrykt i ligning 8.10 i bogen: ψ(x) C e ± i p(x)dx, p(x) = 2m(E V (x)) (17) p(x) I nærheden af disse turning points er man nødt til at anvende nogle lappefunktioner som er djælvelsk besværlige at arbejde med. Heldigvis har Griffiths udført en del af fodarbejdet i et par eksempler i afsnit 8.1 og 8.3 og udregnet nogle betingelser som skal opfyldes i forskellige potentialer: Potentialer med to lodrette vægge: -med koordinater x = 0 og x = a (ligning 8.16): a 0 p(x)dx = nπ (18) Potentialer med én lodret væg -med koordinat x = 0 og turning point i x = x 2 (ligning 8.47): x2 0 p(x)dx = (n 1/4)π (19) 6

9 Potentialer uden lodrette vægge -med turning points i x = x 1 og x = x 2 (ligning 8.51): x2 5.1 Tunnelering x 1 p(x)dx = (n 1/2)π (20) Hvis man er i besiddelse af en linearkombination af snilde og snarrådighed, som ingen grænser kender, kan man også bruge WKB-metoden til at beregne tunnelleringskoefficienter: For en partikel som i området 0 < x < a har E < V kan tunneleringssandsynligheden findes (8.22) i Griffiths: 6 Snedige ting T = e 2γ, γ = 1 a 6.1 Symmetriske perturbationsmatricer Fra problem 7.15: I perturbationssærtilfældet hvor ψ a Ĥ ψ b = ψ b Ĥ ψ a = h således at den samlede hamiltonoperator er ( ) Ea h Ĥ = Ĥ0 + Ĥ = h Eb 0 2m(V (x) E)dx (21) bliver perturbationsenergierne E 1 a = E 1 b = 0, og: h 2 Ea 2 = (E b E a ), h 2 E2 b = (E b E a ) (22) 6.2 Harmonisk oscillator I harmoniske potentialer er det ofte givtigt at skrive x om til hæve/sænkeoperatorer, dvs benytte at: x = 2mω (â + + â ), â + ψ n = n + 1 ψ n+1 â ψ n = n ψ n 1 Ved høje potenser af x kan det dog være at man bliver gladere for at bruge tricket beskrevet i afsnit

10 6.3 Feynman-Hellmannteoremet Feynman-Hellmannteoremet ser sådan her ud hvis både ψ n, Ĥ og E n kan afhænge af en parameter λ: E n λ = ψ n Ĥ λ ψ n (23) Man kan ofte få nogle fornuftige ligninger hvis man differentierer efter parametre som kun ét led i Ĥ afhænger af. Et glimrende eksempel er vores allesammens harmoniske oscillator, der som bekendt har Ĥ = 2 [ 2 2m x + 1 ] [ 2 mω2 x 2 og E n = ω(n + 1/2). (24) Hvis man gerne vil beregne forventningsværdien af potentialet kan man enten være hardcore og skrive x 2 -leddet ud som hæve/sænkeoperatorer, eller man kan være snedig og differentiere mht ω, da det første led i Ĥ så forsvinder. Dette giver: E n = (n + 1/2) ω (25) Ĥ ω = mωx2 = 2 V ω, (26) V = ω 2 ψ n Ĥ ω ψ n V = ω 2 (n + 1/2) = 1 2 E n (27) -Især hvis ens potentiale afhænger af f.eks. x 128 vil man hellere bruge denne metode end at omskrive V (â + + â ) 128 (avavav). 6.4 Slater-determinant Hvis man skal konstruere en antisymmetrisk rumdel ud fra et større antal bølgefunktioner end man umiddelbart kan overskue, kan man opskrive den som Slater-determinanten: ψ(r 1, r 2,, r n ) = ψ a (r 1 ) ψ b (r 1 ) ψ n (r 1 ) ψ a (r 2 ) ψ b (r 2 ) ψ n (r 2 ) ψ a (r n ) ψ b (r n ) ψ n (r n ) (28) 6.5 Kommutatorer for brint Snedige kommutatorer: [L S, L] = i (L S) [L S, S] = i (S L) [L S, J] = [L S, L 2 ] = [L S, S 2 ] = [L S, J 2 ] = 0 8

Minikvant Fysik 22 - nu også med fysik 312 for os aber

Minikvant Fysik 22 - nu også med fysik 312 for os aber Minikvant Fysik - nu også med fysik 31 for os aber. enrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert

Læs mere

Statitisk fysik Minilex

Statitisk fysik Minilex Statitisk fysik Minilex Henrik Dahl 15. januar 006 Indhold 1 Sandsynlighedsteori Fordelinger 3 Eksperimentelle usikkerheder 3 4 Parameterbestemmelse 3 5 Priors, entropi 3 6 Termodynamik 4 6.1 Kanonisk

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Rektangulær potentialbarriere

Rektangulær potentialbarriere Kvantemekanik 5 Side 1 af 8 ektangulær potentialbarriere Med udgangspunkt i det KM begrebsapparat udviklet i KM1-4 beskrives i denne lektion flg. to systemer, idet system gennemgås, og system behandles

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

1 Eksamen Spin Spin-halv-operatorer Spin-orbitaler... 3

1 Eksamen Spin Spin-halv-operatorer Spin-orbitaler... 3 . Indhold 1 Eksamen 1 1 1.1 Spin.................................. 1 1.1.1 Spin-halv-operatorer..................... 3 1.1.2 Spin-orbitaler......................... 3 2 Eksamen 2 5 2.1 Atomer................................

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Introduktion til kulstofnanorørs båndstruktur og elektromekaniske egenskaber under træk

Introduktion til kulstofnanorørs båndstruktur og elektromekaniske egenskaber under træk Introduktion til kulstofnanorørs båndstruktur og elektromekaniske egenskaber under træk Specialeopgave i fysik Jesper Nissen Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Vejledere: Anders Mathias Lunde

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Stern og Gerlachs Eksperiment

Stern og Gerlachs Eksperiment Stern og Gerlachs Eksperiment Spin, rumkvantisering og Københavnerfortolkning Jacob Nielsen 1 Eksperimentelle resultater, der viser energiens kvantisering forelå, da Bohr opstillede sin Planetmodel. Her

Læs mere

- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK

- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Opgavesamling til Kvantemekanik Eksamensopgaver stillet i perioden januar 1978 til august 2013 Redigeret af Lyt Baden og Bo Jakobsen august 2013 nr. 495c - 2013 Roskilde

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR)

Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 14 Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 3.1 Spin og magnetisk moment Spin er en partikel-egenskab med dimension af angulært moment. For en elektron har spinnets projektion på en akse netop

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

Abstract. This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates

Abstract. This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates Abstract This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates the algebraic structures and uses them to describe a vector space as it derives the Hilbert space

Læs mere

Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger. Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet

Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger. Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet E-mail: hjj@chem.sdu.dk 8. februar 2000 Orbitaler Kvalitativ beskrivelse af molekylære

Læs mere

Tillæg til partikelfysik (foreløbig)

Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes

Læs mere

Side af 43!"!# % &!'()! * &, -."!# Plac. Navn Født Point FINA 00m 200m 300m Opnået Status Klub /// 0..(!#'# (#(..-! /// 0.#(!#/) (! #(!' 2 # "!#! /// 0)-(!) ) ( 00#( ' % 3 ) & ' /// 0!(!0)# (' ##(.-0 %(%

Læs mere

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen

Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen Sebastian B. Simonsen og Lykke Pedersen 18. januar 2006 Indhold 1 Kapitel 1 - Indledning 2 2 Kapitel 2 - Sandsynlighedsfordelinger 3 2.1 Binomial fordeling........................

Læs mere

Atomers elektronstruktur I

Atomers elektronstruktur I Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet E-mail: hjj@chem.sdu.dk 8. februar 2000 Orbitaler Kvalitativ beskrivelse af molekylære

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Projekt Planlægning: PERT/CPM

Projekt Planlægning: PERT/CPM Chapter 10: Projekt Planlægning: PERT/CPM -> Planlægning og koordinering af aktiviteter, der tilsammen definerer et helt projekt, så projektet færdiggøres indenfor en planlagt tidsramme. Aktiviteterne

Læs mere

BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47

BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47 BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47 Morten Källberg (kallberg@imada.sdu.dk) 22/11-2005 1 Probabilistiske modeller Vi vil i det følgende betragte to forskellige måder at evaluerer en given model

Læs mere

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning 49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Naturkræfter Man skelner traditionelt set mellem fire forskellige naturkræfter: 1) Tyngdekraften Den svageste af de fire naturkræfter.

Naturkræfter Man skelner traditionelt set mellem fire forskellige naturkræfter: 1) Tyngdekraften Den svageste af de fire naturkræfter. Atomer, molekyler og tilstande 3 Side 1 af 7 Sidste gang: Elektronkonfiguration og båndstruktur. I dag: Bindinger mellem atomer og molekyler, idet vi starter med at se på de fire naturkræfter, som ligger

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Lærebogen i laboratoriet

Lærebogen i laboratoriet Lærebogen i laboratoriet Januar, 2010 Klaus Mølmer v k e l p Sim t s y s e t n a r e em Lærebogens favoritsystemer Atomer Diskrete energier Elektromagnetiske overgange (+ spontant henfald) Sandsynligheder,

Læs mere

Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021

Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021 Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021 Alle eksisterende ejendomme på følgende matrikler skal separatkloakeres Arninge 4c Ore By, Arninge 2016-2021 Arninge 4e Ore By, Arninge 2016-2021 Arninge 4f Ore By,

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Spinkæder som bindeled mellem partikler og strenge

Spinkæder som bindeled mellem partikler og strenge Spinkæder som bindeled mellem partikler og strenge Af Charlotte Fløe Kristjansen, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Traditionelt er partikelteorier og strengteorier blevet opfattet som konkurrerende

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Module 4: Ensidig variansanalyse

Module 4: Ensidig variansanalyse Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

BYPLANVEDTÆGT FOR NØDEBO-OMRÅDET. Byplanvedtægt nr. 41

BYPLANVEDTÆGT FOR NØDEBO-OMRÅDET. Byplanvedtægt nr. 41 BYPLANVEDTÆGT FOR NØDEBO-OMRÅDET Byplanvedtægt nr. 41 Byplanvedtægt nr. 41 - for Nødebo-området I medfør af byplanloven (lovbekendtgørelse nr. 63 af 20. februar 1970) fastsættes følgende bestemmelser for

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Appendiks 1. I=1/2 kerner. -1/2 (højere energi) E = h ν = k B. 1/2 (lav energi)

Appendiks 1. I=1/2 kerner. -1/2 (højere energi) E = h ν = k B. 1/2 (lav energi) Appendiks NMR-teknikken NMR-teknikken baserer sig på en grundlæggende kvanteegenskab i mange atomkerner, nemlig det såkaldte spin som kun nogle kerner besidder. I eksemplerne her benyttes H og 3 C, som

Læs mere

Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer

Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015 Teoretisk prøve Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 15 spørgsmål fordelt på 5 opgaver. Bemærk, at de enkelte spørgsmål ikke tæller

Læs mere

Kolde atomare gasser Skræddersyet kvantemekanik. Georg M. Bruun Fysiklærerdag 2011

Kolde atomare gasser Skræddersyet kvantemekanik. Georg M. Bruun Fysiklærerdag 2011 Kolde atomare gasser Skræddersyet kvantemekanik Georg M. Bruun Fysiklærerdag Wednesday, January 6, Hovedbudskaber Bose-Einstein Kondensation = Identitetskrise for kvantepartikler BEC i atomare ultrakolde

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Superstrenge: I grove træk (1)

Superstrenge: I grove træk (1) Superstrenge Superstrenge Superstrenge i grove træk Kendte ubesvarede spørgsmål Standard modellen Hvorfor superstrenge? Historik og teori Hvor er fysikken? Det sidste; M-branes Hvad forklarer strengteori?

Læs mere

LOKALPLAN NR. 8. Fanø Kommune. Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979

LOKALPLAN NR. 8. Fanø Kommune. Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979 LOKALPLAN NR. 8 Fanø Kommune Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979 2 Lokalplan 8 Fanø Kommune Anmelder: Advokat Chr. V. Thuesen Torvegade 28 6700 Esbjerg J.nr. 260 ct/aj

Læs mere

Standardmodellen. Allan Finnich Bachelor of Science. 4. april 2013

Standardmodellen. Allan Finnich Bachelor of Science. 4. april 2013 Standardmodellen Allan Finnich Bachelor of Science 4. april 2013 Email: Website: alfin@alfin.dk www.alfin.dk Dette foredrag Vejen til Standardmodellen Hvad er Standardmodellen? Basale begreber og enheder

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

#$%$!&$#$!$ # ) * ##! % " ## ##%$ $!(!$*-!!.%!

#$%$!&$#$!$ # ) * ##! %  ## ##%$ $!(!$*-!!.%! !" #$%$!&$#$!$ # #%'!(" ) * ##! % " ## ##%$ $!( +,$*(#,"%$!$*-!!.%!.&.% /0 1 233+++0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 333$*,*#40 0 0 0 0 30 0 0 0 0 3330 0 0 0 0 0 0 0 0 33 33 3$"# $0 0 0 0 0 0 0 0

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Som tidligere år bliver skemaerne annullerede i visse uger pga. tv rgående projektarbejde / helhedsuger / praktik / brobygning mm.

Som tidligere år bliver skemaerne annullerede i visse uger pga. tv rgående projektarbejde / helhedsuger / praktik / brobygning mm. Kommentarer Som tidligere år bliver skemaerne annullerede i visse uger pga. tv rgående projektarbejde / helhedsuger / praktik / brobygning mm. Procestimerne (st ttetimerne) fremgår ikke af skemaerne. Der

Læs mere

Ny bevaringsliste 14. april 2011

Ny bevaringsliste 14. april 2011 VEJNAVN HUSNR MATRIKELID EJENDOMSNR ABELIG Omr_bev Dronningvej 3 3v 0010164 Dronningvej 3 A Dronningvej 4A 3o 0010172 Dronningvej 4 A og B A Dronningvej 5 3x 0010180 Dronningvej 5 A Dronningvej 6 3p 0010199

Læs mere

Klassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet

Klassisk kaos. Kaotiske systemer. Visse regulariteter universalitet Klassisk kaos 11.1 Deterministiske bevægelsesligninger kan under visse omstændigheder udvise løsninger som er uforudsigelige, dvs. løsninger der opfører sig kaotisk: Faserum Forudsigelige Integrable systemer

Læs mere

Spinkæder som bindeled mellem partikler og strenge

Spinkæder som bindeled mellem partikler og strenge Spinkæder som bindeled mellem partikler og strenge Af Charlotte Fløe Kristjansen, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Traditionelt er partikelteorier og strengteorier blevet opfattet som konkurrerende

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet

Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 29 Øvelse i kvantemekanik Kvantiseret konduktivitet 5.1 Indledning Denne øvelse omhandler et fænomen som blandt andet optræder i en ganske dagligdags situation hvor et mekanisk relæ afbrydes. Overraskende

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Sdr. Svenstrup By, Svenstrup. Signaturer: 9f. 7000f. 7000p. 7r 11y 11aa. 8l 7000b. 4gm Bonderup Gde., Ellidshøj 1p. 7000m 11q. Dalvej. 11z. 12e.

Sdr. Svenstrup By, Svenstrup. Signaturer: 9f. 7000f. 7000p. 7r 11y 11aa. 8l 7000b. 4gm Bonderup Gde., Ellidshøj 1p. 7000m 11q. Dalvej. 11z. 12e. 2.000 o 47 2an 15b Banevej 15c 29d 30b 2a Sdr. By, 23s 23l 2ps 2h 4g 4ir 5bq 5o 3c holm Sdr. By, 7000aq 7do 15o 7000r 6l 7000q 10q 9ah 9ai 6dd 4h 5p 2b 9f 4c 10d 14g 1 5m 5r 8m 7000p 7p 6f 27d 4iø 4iz

Læs mere

Udeladelse af én observation. Note til kapitlerne 4, 5 og 6

Udeladelse af én observation. Note til kapitlerne 4, 5 og 6 Udeladelse af én observation Note til kapitlerne 4, 5 og 6 I de følgende resultater 1-10 bevises en række resultater, der alle vedrører udeladelse af én observation. Derved bevises og uddybes en række

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Noter til Lineær Algebra

Noter til Lineær Algebra Noter til Lineær Algebra Eksamensnoter til LinAlg Martin Sparre, www.logx.dk, August 2007, Version π8 9450. INDHOLD 2 Indhold 0. Om disse noter.......................... 3 Abstrakte vektorrum 4. Definition

Læs mere

Kvantefysik med Bose-Einstein Kondensater

Kvantefysik med Bose-Einstein Kondensater Kvantefysik med Bose-Einstein Kondensater Michael Budde og Nicolai Nygaard Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet 21. oktober 2009 Naturkonstanter Følgende naturkonstanter er anvendt i teksten.

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius

13.1 Matrixpotenser og den spektrale radius SEKTION 3 MATRIXPOTENSER OG DEN SPEKTRALE RADIUS 3 Matrixpotenser og den spektrale radius Cayley-Hamilton-sætningen kan anvendes til at beregne matrixpotenser: Proposition 3 (Lasalles algoritme) Lad A

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Supplerende dokumentation af boligligningerne

Supplerende dokumentation af boligligningerne Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Ralph Bøge Jensen 13. september 2010 Supplerende dokumentation af boligligningerne Resumé: Papiret skal ses som et supplement til den nye Dec09-ADAM dokumentation

Læs mere

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook

July 23, 2012. FysikA Kvantefysik.notebook Klassisk fysik I slutningen af 1800 tallet blev den klassiske fysik (mekanik og elektromagnetisme) betragtet som en model til udtømmende beskrivelse af den fysiske verden. Den klassiske fysik siges at

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

DET MÅ KUNNE GØRES BEDRE DESIGN EKSAMEN C

DET MÅ KUNNE GØRES BEDRE DESIGN EKSAMEN C DET MÅ KUNNE GØRES BEDRE DESIGN EKSAMEN C FORSIDE 1 IDÉ 1 EMBALLAGE TIL TYGGEGUMMI PROBLEM IDÉ 2 EMBALLAGE TIL PISTACHENØDDER Brugt tyggegummi sviner i gadebiledet og skader naturen, fordi folk bare spytter

Læs mere

17 B 17 A 19 B 1 9 C A. Antal boliger: 37 Bolig størrelse: m2. 12 J 7000aa 31 J F 3 31 N 31 M. Tiltag:

17 B 17 A 19 B 1 9 C A. Antal boliger: 37 Bolig størrelse: m2. 12 J 7000aa 31 J F 3 31 N 31 M. Tiltag: 000p bb cg u F C D L z C ay ac bt 0af ae bi Nav: Tøreha resse: Søgae tal bolig: olig størrelse: - m 0ao s 0am bq 0p Nav: øgeha resse: Tøre -J tal bolig: 0 olig størrelse: m bl bx H y G br 000ak 0l bk bv

Læs mere

Program 1. del. Kvantemekanikken. Newton s klassiske mekanik. Newton s klassiske mekanik

Program 1. del. Kvantemekanikken. Newton s klassiske mekanik. Newton s klassiske mekanik Kvantemekanikken Kvantemekanikken som fysisk teori Kvantemekanikkens filosofiske paradokser og paradoksale anvendelser. Program 1. del. Introduktion til klassisk fysik Niels Bohrs atom (1913) Kvantemekanikken

Læs mere

Module 3: Statistiske modeller

Module 3: Statistiske modeller Department of Statistics ST502: Statistisk modellering Pia Veldt Larsen Module 3: Statistiske modeller 31 ANOVA 1 32 Variabelselektion 4 321 Multipel determinationskoefficient 5 322 Variabelselektion med

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Ugeseddel 12(10.12 14.12)

Ugeseddel 12(10.12 14.12) Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere