Kvant 2. Notesamling....Of doom!
|
|
- Birgit Asmussen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kvant 2 Notesamling...Of doom!
2 Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation Udartet perturbationsteori Zeeman-effekt Tidsafhængig perturbation Variationsprincippet 5 5 WKB-approximation TM Tunnelering Snedige ting Symmetriske perturbationsmatricer Harmonisk oscillator Feynman-Hellmannteoremet Slater-determinant Kommutatorer for brint
3 1 To-partikelsystemer For skelnelige partikler i tilstande ψ a og ψ b kan den samlede bølgefunktion skrives som: ψ(r 1, r 2 ) = ψ a (r 1 )ψ b (r 2 ) (1) For ikke-skelnelige partikler ser det straks værre ud (dam dam dammmmm). De skal opfylde symmetrikravet (5.14): ψ(r 1, r 2 ) = ± ψ(r 2, r 1 ) (2) (plus for bosoner (som er symmetriske) og minus for fermioner (som er antisymmetriske)). Generelt kan en bølgefunktion skrives som et produkt af en rumdel φ(r) og en spindel χ(s) som kan være individuelt symmetriske eller antisymmetriske. Afhængigt af dette bliver den samlede bølgefunktion: symmetrisk symmetrisk = symmetrisk symmetrisk antisymmetrisk = antisymmetrisk antisymmetrisk antisymmetrisk = symmetrisk For systemer med to fermioner (ihvertfald med to elektroner), er det er snedigt at huske på at: Tilstande med antisymmetrisk spindel kaldes singlet-tilstande Tilstande med symmetrisk spindel kaldes triplet-tilstande 2 Brint Oversigt over egenværdier L, S og J-operatoerer på brint: 1
4 L 2 l m l = 2 l(l + 1) l m l L z l m l = m l l m l L ± l m l = (l m l )(l ± m l + 1) l (m l ± 1) S 2 s m s = 2 s(s + 1) s m s S z s m s = m s s m s S ± s m s = (s m s )(s ± m s + 1) s (m s ± 1) J 2 j m j = 2 j(j + 1) j m j J z j m j = m j j m j J ± j m j = (j m j )(j ± m j + 1) j (m j ± 1) -hvor J L + S er god at bruge ved spin-orbit-kobling. Kvantetallene kan kun antage bestemte værdier: n: 1, 2, 3,... l: 0, 1,..., n 1 m l : l, l + 1,..., l s: 0, 1/2, 1, 3/2,... m s : s. s + 1,..., s j: l s, l s + 1,..., l + s m j : j. j + 1,...j Relevante kommutatorer er opgivet i afsnit 6.5! 3 Perturbation Man pertuberer når hamiltonoperatoren for et kendt system (med hamiltonoperator Ĥ0 ) ændres en lille smule Ĥ0 Ĥ0 + Ĥ. Vi skal vist kunne udregne førsteordenskorrektionerne til både energier (E 1 n) og bølgefunktioner (ψ 1 n) og andenordenskorrektioner til energier (E 2 n). Det er ikke så slemt hvis energiniveauerne ikke er udartede: Førsteordensperturbation af energien findes med (6.9) fra Griffiths: E 1 n = ψ 0 n Ĥ ψ 0 n (3) 2
5 Andenordensperturbation af energien findes ved (6.15): E 2 n = m n ψ 0 m Ĥ ψ 0 n 2 E 0 n E 0 m (4) Til beregning af førsteordensperturbationer til bølgefunktioner kan jeg personligt anbefale ligning (6.13): ψ 1 n = m n 3.1 Udartet perturbationsteori ψm 0 Ĥ ψn 0 En 0 Em 0 ψm 0 (5) Det ser straks værre ud med udartet perturbationsteori - Så er man nødt til at bruge (6.27) som siger: E 1 ± = 1 2 (W aa + W bb ± (W aa W bb ) W ab 2 ) (6) - hvor W erne er defineret som perturbationens matrixelementer i basen af ψ er, dvs. W ij ψ 0 i Ĥ ψ 0 j. Det er dermed ulejligheden værd at udtrykke Ĥ i en basis hvor den er diagonal da dette vil betyde at W ab = 0, hvilket gør (6) mere overskuelig. Dette kan gøres på to måder: Hvis man er 1337 hax0r til at regne matrixelementer, kan man benytte sig af, at en matrices egenværdier er uafhængige af, hvilken basis de udtrykkes i, og skifte base til en god linearkombination TM af ψa 0 og ψb 0, ved at løse egenværdiligningen: ( Waa W ab W ba W bb ) ( α β ) ( = E 1 α β ) (7) (Dette er ækvivalent med at løse ligning (6.22) og (6.24) i Griffiths hvis man bedre kan lide det) Hvis man er snedig kan man bruge moralen fra teoremet på side og finde en operator  som kommuterer med både Ĥ0 og Ĥ og finde en linearkombination af egentilstande til Ĥ 0 som også er egentilstand til  (husk at alle linearkombinationer af egentilstande til Ĥ 0 automatisk er egentilstande til Ĥ 0 ). Ofte er det snedigt at anvende paritetsoperatoren A: Âf(x) = f( x) (som har egenværdierne ±1, da Â2 f(x) = f(x)). Endnu en grund til at paritetsoperatoren er et kløgtigt valg er at [Â, Ĥ0 ]f(x) = (V ( x) V (x))f( x), dvs. de kommuterer for symmetriske potentialer. Eksempelvis er bølgefunktionen i opgave 6.7 udtrykt ved ψ(x) = αe (ikx) + βe ( ikx), og man kan med lidt snilde se at for at ψ kan være egenfunktion for  skal koefficienterne opfylde β = ±α. Dette trick er absurd smart, og det kan virkelig anbefales at lære det. 3
6 3.2 Zeeman-effekt Zeeman-effekten er den opsplitning af energiniveauerne i atom som forekommer når det placeres i et eksternt magnetisk felt. Helt generelt for Zeeman-effekt er perturbationen givet ved Ĥ Z = (µ l + µ s ) B ext, hvor µ s = e m S, µ l = e 2m L. Man taler om stærk eller svag Zeeman-effekt afhængigt af forholdet mellem det interne (fine structure) og eksterne magnetiske felt: Der er stærk Zeeman-effekt hvis Der er svag Zeeman-effekt hvis Hvor B int = 1 e 4πɛ 0 mc 2 a 12T 3 B ext B int B ext B int Svag Zeeman Gode kvantetal: n, l, j og m j, Ved svag Zeeman-effekt dominerer det interne magnetfelt (finstrukturen) og det eksterne magnetfelt behandles derfor som perturbationen. Dermed er E 0 givet ved den almindelige grundenergi for brint (ligning 6.67): E nj = 13.6eV n 2 [1 + α2 n 2 ( n )] j + 1/2 3/4 De voksne (Griffiths, ligning 6.76) siger at førsteordensperturbationsenergien findes ved: [ ] EZ 1 = µ Bg J B ext m j, hvor µ B e 2m og g J 1 + j(j+1) l(l+1)+3/4 2j(j+1) Stærk Zeeman Gode kvantetal: n, l, m l og m s, Ved stærk Zeeman-effekt dominerer det eksterne magnetfelt og det interne magnetfelt betragtes som perturbationen. Altså er E 0 givet ved den normale grundtilstandsenergi for brint (uden finstruktur) plus energien fra Ĥ Z, dvs. E nml m s (8) = 13.6eV n 2 + µ B B ext (m l + 2m s ) (9) Igen har de voksne (ligning 6.82) udregnet førsteordensperturbationsenergien for os: E 1 fs = 13.6eV n 3 α 2 [ ] 3 l(l + 1) 4n ml m s l(l + 1/2)(l + 1) } {{ } =1, for l=0 4
7 Middel-Zeeman tjah... se side Tidsafhængig perturbation I tidsafhængig perturbationsregning afhænger ændringen af hamiltonoperatoren af tiden, Ĥ (t). De voksne (Griffiths) siger at diagonalelementerne i perturbationen ofte forsvinder, Ĥ aa = Ĥ bb = 0. Hvis dette er tilfældet, og hvis den upertuberede tilstand skrives som Ψ(t) = c a (t)ψ a e ieat/ +c b (t)ψ b e iebt/, kan man ved hjælp af den tidsafhængige schrödingerligning og lidt fancy footwork TM deducere sig frem til at koefficienterne opfylder: ċ a = i Ĥ abe iω0t, ċ b = i Ĥ bae iω0t (10) hvor ω 0 E b E a. I tilfælde af at Ĥ aa, Ĥ bb at bruge 0 ser det hele straks sortere ud og man er nødt til Og ikke nok med det! Ydermere er ċ a = i (c aĥ aa + c b Ĥ abe iω0t ) (11) ċ b = i (c bĥ bb + c a Ĥ bae iω0t ) (12) Ved at integrere (10) kan man få et fint udtryk for c b som funktion af tiden. Tidspunktet hvor perturbationen starter kaldes t 0 og det antages at c a (t 0 ) = 1, c b (t 0 ) = 0. Koefficienterne skal naturligvis opfylde at c a 2 + c b 2 = 1. Anyway: c (1) b (t) = i t t 0 Ĥ ab(t )e iω0t dt (13) Det er praktisk hvis man skal udregne sandsynligheden for at måle et system i tilstand b som funktion af tiden, da denne er P (1) a b (t) = c b(t) 2 (14) til første orden. Skal man finde anden orden eller højere er der en fin guide på side Variationsprincippet Variationsprincippet er en fantastisk metode til at estimere en øvre grænse for grundtilstandsenergien for et system uden en kendt bølgefunktion, som DU kan prøve derhjemme! Det eneste du skal bruge er en normaliseret testfunktion 5
8 ψ test, som i princippet kan antage en hvilken som helst form, og systemets hamiltonoperator. Variationsprincippet (ligning 7.1 i bogen) siger da: E gs ψ test Ĥ ψ test Ĥ (15) hvor det er værd at skrive sig bag øret at Ĥ = T + V ( T og V er forventningsværdierne af hhv kinetisk og potentielenergi for testfunktionen). Dermed er E gs ψ test T ψ test + ψ test V ψ test } {{ } } {{ } T V (16) Ofte vælger man at bruge en gaussisk funktion, ψ test = Ae bx2, A = ( ) 2b 1/4 π, som altid opfylder T = 2 b 2m. Da variationsprincippet giver en øvre grænse for grundtilstandsenergien vil det være kløgtigt, strategisk og smart at minimere højresiden af (16) ved at differentiere mht b. 5 WKB-approximation TM WKB er en metode til at approximere bølgefunktioner i potentialer som afhænger af x. Den virker fortræffeligt hvis: bølgefunktionens amplitude ændrer sig laaaaangsomt man ikke approximerer i nærheden af klassiske turning points, dvs hvor E V man gør det rigtigt Selve approximationen er udtrykt i ligning 8.10 i bogen: ψ(x) C e ± i p(x)dx, p(x) = 2m(E V (x)) (17) p(x) I nærheden af disse turning points er man nødt til at anvende nogle lappefunktioner som er djælvelsk besværlige at arbejde med. Heldigvis har Griffiths udført en del af fodarbejdet i et par eksempler i afsnit 8.1 og 8.3 og udregnet nogle betingelser som skal opfyldes i forskellige potentialer: Potentialer med to lodrette vægge: -med koordinater x = 0 og x = a (ligning 8.16): a 0 p(x)dx = nπ (18) Potentialer med én lodret væg -med koordinat x = 0 og turning point i x = x 2 (ligning 8.47): x2 0 p(x)dx = (n 1/4)π (19) 6
9 Potentialer uden lodrette vægge -med turning points i x = x 1 og x = x 2 (ligning 8.51): x2 5.1 Tunnelering x 1 p(x)dx = (n 1/2)π (20) Hvis man er i besiddelse af en linearkombination af snilde og snarrådighed, som ingen grænser kender, kan man også bruge WKB-metoden til at beregne tunnelleringskoefficienter: For en partikel som i området 0 < x < a har E < V kan tunneleringssandsynligheden findes (8.22) i Griffiths: 6 Snedige ting T = e 2γ, γ = 1 a 6.1 Symmetriske perturbationsmatricer Fra problem 7.15: I perturbationssærtilfældet hvor ψ a Ĥ ψ b = ψ b Ĥ ψ a = h således at den samlede hamiltonoperator er ( ) Ea h Ĥ = Ĥ0 + Ĥ = h Eb 0 2m(V (x) E)dx (21) bliver perturbationsenergierne E 1 a = E 1 b = 0, og: h 2 Ea 2 = (E b E a ), h 2 E2 b = (E b E a ) (22) 6.2 Harmonisk oscillator I harmoniske potentialer er det ofte givtigt at skrive x om til hæve/sænkeoperatorer, dvs benytte at: x = 2mω (â + + â ), â + ψ n = n + 1 ψ n+1 â ψ n = n ψ n 1 Ved høje potenser af x kan det dog være at man bliver gladere for at bruge tricket beskrevet i afsnit
10 6.3 Feynman-Hellmannteoremet Feynman-Hellmannteoremet ser sådan her ud hvis både ψ n, Ĥ og E n kan afhænge af en parameter λ: E n λ = ψ n Ĥ λ ψ n (23) Man kan ofte få nogle fornuftige ligninger hvis man differentierer efter parametre som kun ét led i Ĥ afhænger af. Et glimrende eksempel er vores allesammens harmoniske oscillator, der som bekendt har Ĥ = 2 [ 2 2m x + 1 ] [ 2 mω2 x 2 og E n = ω(n + 1/2). (24) Hvis man gerne vil beregne forventningsværdien af potentialet kan man enten være hardcore og skrive x 2 -leddet ud som hæve/sænkeoperatorer, eller man kan være snedig og differentiere mht ω, da det første led i Ĥ så forsvinder. Dette giver: E n = (n + 1/2) ω (25) Ĥ ω = mωx2 = 2 V ω, (26) V = ω 2 ψ n Ĥ ω ψ n V = ω 2 (n + 1/2) = 1 2 E n (27) -Især hvis ens potentiale afhænger af f.eks. x 128 vil man hellere bruge denne metode end at omskrive V (â + + â ) 128 (avavav). 6.4 Slater-determinant Hvis man skal konstruere en antisymmetrisk rumdel ud fra et større antal bølgefunktioner end man umiddelbart kan overskue, kan man opskrive den som Slater-determinanten: ψ(r 1, r 2,, r n ) = ψ a (r 1 ) ψ b (r 1 ) ψ n (r 1 ) ψ a (r 2 ) ψ b (r 2 ) ψ n (r 2 ) ψ a (r n ) ψ b (r n ) ψ n (r n ) (28) 6.5 Kommutatorer for brint Snedige kommutatorer: [L S, L] = i (L S) [L S, S] = i (S L) [L S, J] = [L S, L 2 ] = [L S, S 2 ] = [L S, J 2 ] = 0 8
Formelsamling til. Kvantemekanik. 27. marts Dennis Hansen 1
Formelsamling til Kvantemekanik 7. marts 1 Dennis Hansen 1 Indhold 1 Grundlæggende ligninger 4 1.1 Generelt...................................... 4 1. Postulater i kvantemekanik............................
Læs mereDen klassiske oscillatormodel
Kvantemekanik 6 Side af 8 n meget central model inden for KM er den såkaldte harmoniske oscillatormodel, som historisk set spillede en afgørende rolle i de banebrydende beskrivelser af bla. sortlegemestråling
Læs mereNoter til KM1 og KM2 på KU (Kvantemekanik 1 og 2)
Noter til KM1 og KM2 på KU (Kvantemekanik 1 og 2) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331. Version 1.1 Indhold I Kvant 1 4 1 Bølgefunktionen 4 1.1 Schrödingerligningen....................................... 4
Læs mereHans Harhoff Andersen juni 2010 Projekt i numeriske metoder. Resumé
Hans Harhoff Andersen 20072394 25. juni 2010 Projekt i numeriske metoder Resumé Ved hjælp af en finite difference approksimation og dertilhørende diskretisering af akserne konstrueres matricer for Schrödingerligningen.
Læs mereKvantemekanik 8 Side 2 af 10 Observable og operatorer. Grundlæggende egenskaber ved operatorrepræsentanter ( ) O= O. (8.4)
Kvantemekanik 8 Side 1 af 10 Opsummering Egenskaber ved operatorrepræsentanter Det blev i KM3-4 vist, at enhver målbar bevægelsesegenskab (observabel) er repræsenteret ved en operator, som for position,
Læs mereUskelnelige kvantepartikler
Kvantemekanik 3 Side af 4 Inden for den klassiske determinisme kan man med kendskab til de kræfter, der virker på et partikelsystem, samt begyndelsesbetingelserne for position og hastighed, vha. Newtons
Læs mereMinikvant Fysik 22 - nu også med fysik 312 for os aber
Minikvant Fysik - nu også med fysik 31 for os aber. enrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert
Læs mereIndhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...
Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...
Læs mereAnvendelser af den kvantemekaniske bølgemekanik
Syddansk Universitet, Teknisk Fakultet Anvendelser af den kvantemekaniske bølgemekanik FY529, projekt nr. 2 Skrevet af: Simon Holst Traberg-Larsen;Søren Emil Wegner Petersen d. 24. marts 2013 Resumé el.
Læs mereStatitisk fysik Minilex
Statitisk fysik Minilex Henrik Dahl 15. januar 006 Indhold 1 Sandsynlighedsteori Fordelinger 3 Eksperimentelle usikkerheder 3 4 Parameterbestemmelse 3 5 Priors, entropi 3 6 Termodynamik 4 6.1 Kanonisk
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereRektangulær potentialbarriere
Kvantemekanik 5 Side 1 af 8 ektangulær potentialbarriere Med udgangspunkt i det KM begrebsapparat udviklet i KM1-4 beskrives i denne lektion flg. to systemer, idet system gennemgås, og system behandles
Læs mereStochastic Variational Method -Used on Small Atoms. 14. september 2011
Stochastic Variational Method -Used on Small Atoms 14. september 2011 Jens Egebjerg Bækhøj Årskortnummer: 20082846 Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Denmark j j j Abstract j In this paper
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereNiels Wessel Larsen MOLEKYLSPEKTROSKOPI. En kvantitativ beskrivelse af vibrations- og rotations-spektroskopi. Noter til Gasfasespektroskopi
Niels Wessel Larsen MOLEKYLSPEKTROSKOPI En kvantitativ beskrivelse af vibrations- og rotations-spektroskopi Noter til Gasfasespektroskopi KEMISK INSTITUT KØBENHAVNS UNIVERSITET 007 ii Indhold KVANTEMEKANISK
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereStern og Gerlachs Eksperiment
Stern og Gerlachs Eksperiment Spin, rumkvantisering og Københavnerfortolkning Jacob Nielsen 1 Eksperimentelle resultater, der viser energiens kvantisering forelå, da Bohr opstillede sin Planetmodel. Her
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mere- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Opgavesamling til Kvantemekanik Eksamensopgaver stillet i perioden januar 1978 til august 2013 Redigeret af Lyt Baden og Bo Jakobsen august 2013 nr. 495c - 2013 Roskilde
Læs mere1 Eksamen Spin Spin-halv-operatorer Spin-orbitaler... 3
. Indhold 1 Eksamen 1 1 1.1 Spin.................................. 1 1.1.1 Spin-halv-operatorer..................... 3 1.1.2 Spin-orbitaler......................... 3 2 Eksamen 2 5 2.1 Atomer................................
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereTillæg til partikelfysik (foreløbig)
Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereLys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision
Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereAtomers elektronstruktur I
Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet E-mail: hjj@chem.sdu.dk 8. februar 2000 Orbitaler Kvalitativ beskrivelse af molekylære
Læs mereIntroduktion til kulstofnanorørs båndstruktur og elektromekaniske egenskaber under træk
Introduktion til kulstofnanorørs båndstruktur og elektromekaniske egenskaber under træk Specialeopgave i fysik Jesper Nissen Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Vejledere: Anders Mathias Lunde
Læs merenr. 495c (2. udgave)
- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Opgavesamling til Kvantemekanik Eksamensopgaver stillet i perioden januar 1978 til august 2016 Redigeret af Bo Jakobsen marts 2017 nr. 495c - 2017 (2. udgave) Roskilde
Læs mereØvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR)
14 Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 3.1 Spin og magnetisk moment Spin er en partikel-egenskab med dimension af angulært moment. For en elektron har spinnets projektion på en akse netop
Læs mereNoget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger. Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet
Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet E-mail: hjj@chem.sdu.dk 8. februar 2000 Orbitaler Kvalitativ beskrivelse af molekylære
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs mereAtomare kvantegasser. Michael Budde. Institut for Fysik og Astronomi og QUANTOP: Danmarks Grundforskningsfonds Center for Kvanteoptik
Atomare kvantegasser Når ultrakoldt bliver hot Michael Budde Institut for Fysik og Astronomi og QUANTOP: Danmarks Grundforskningsfonds Center for Kvanteoptik Aarhus Universitet Plan for foredraget Hvad
Læs mereResonant Tunneling Diodes
Resonant Tunneling Diodes Af studerer nanoteknologi på 8. semester ved Institut for Fysik og Nanoteknologi på Aalborg Universitet. Hans primære interesser er teori og modellering af fysiske fænomener indenfor
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereParameterkurver. Et eksempel på en rapport
x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs merePolynomier. Frank Villa. 26. marts 2012
Polynomier Frank Villa 26. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 2
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mere2 Lektion Opgave C Opgave Opgave Opgave Opgave a b...
. Indhold 1 Lektion 1 1 1.1 Opgave A............................... 1 1. Opgave 1............................... 1 1..1 1.a.............................. 1 1.. 1.b.............................. 1.3 Opgave
Læs mereAbstract. This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates
Abstract This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates the algebraic structures and uses them to describe a vector space as it derives the Hilbert space
Læs mereSide af 43!"!# % &!'()! * &, -."!# Plac. Navn Født Point FINA 00m 200m 300m Opnået Status Klub /// 0..(!#'# (#(..-! /// 0.#(!#/) (! #(!' 2 # "!#! /// 0)-(!) ) ( 00#( ' % 3 ) & ' /// 0!(!0)# (' ##(.-0 %(%
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47
BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47 Morten Källberg (kallberg@imada.sdu.dk) 22/11-2005 1 Probabilistiske modeller Vi vil i det følgende betragte to forskellige måder at evaluerer en given model
Læs mereLiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5
LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer
Læs mereUge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
Læs mereLøsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereLøsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She
Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning
Læs mereProjekt Planlægning: PERT/CPM
Chapter 10: Projekt Planlægning: PERT/CPM -> Planlægning og koordinering af aktiviteter, der tilsammen definerer et helt projekt, så projektet færdiggøres indenfor en planlagt tidsramme. Aktiviteterne
Læs mereSuperstrenge: I grove træk (1)
Superstrenge Superstrenge Superstrenge i grove træk Kendte ubesvarede spørgsmål Standard modellen Hvorfor superstrenge? Historik og teori Hvor er fysikken? Det sidste; M-branes Hvad forklarer strengteori?
Læs mereNaturkræfter Man skelner traditionelt set mellem fire forskellige naturkræfter: 1) Tyngdekraften Den svageste af de fire naturkræfter.
Atomer, molekyler og tilstande 3 Side 1 af 7 Sidste gang: Elektronkonfiguration og båndstruktur. I dag: Bindinger mellem atomer og molekyler, idet vi starter med at se på de fire naturkræfter, som ligger
Læs mereFysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen
Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen Sebastian B. Simonsen og Lykke Pedersen 18. januar 2006 Indhold 1 Kapitel 1 - Indledning 2 2 Kapitel 2 - Sandsynlighedsfordelinger 3 2.1 Binomial fordeling........................
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereHeisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1
Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Werner Heisenberg (1901-76) viste i 1927, at partiklers bølgenatur har den vidtrækkende konsekvens, at det ikke på samme tid lader sig gøre, at fastlægge
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereDansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer
Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015 Teoretisk prøve Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 15 spørgsmål fordelt på 5 opgaver. Bemærk, at de enkelte spørgsmål ikke tæller
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereStandardmodellen. Allan Finnich Bachelor of Science. 4. april 2013
Standardmodellen Allan Finnich Bachelor of Science 4. april 2013 Email: Website: alfin@alfin.dk www.alfin.dk Dette foredrag Vejen til Standardmodellen Hvad er Standardmodellen? Basale begreber og enheder
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereUdeladelse af én observation. Note til kapitlerne 4, 5 og 6
Udeladelse af én observation Note til kapitlerne 4, 5 og 6 I de følgende resultater 1-10 bevises en række resultater, der alle vedrører udeladelse af én observation. Derved bevises og uddybes en række
Læs mereMLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som
MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereYoungs dobbeltspalteforsøg 1
Kvantemekanik Side af Youngs dobbeltspalteforsøg Klassisk beskrivelse Inden for den klassiske fysik kan man forklare forekomsten af et interferensmønster ud fra flg. bølgemodel. x Før spalterne beskrives
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereA B C D E Hjemmeværnmuseet's arkiv/depot Søgaard Distrikter - LMD. Reol/hylde Region/distrikt/m.m. Kasse nr. Indhold 2C3 Flyverhjemmeværne 1
0 A B C D E Hjemmeværnmuseet's arkiv/depot Søgaard LMK Distrikter - LMD. Reol/hylde Region/distrikt/m.m. Kasse nr. Indhold C Flyverhjemmeværne Flyverhjemmeværnet LMD Odense Nyt fra stabseskadrillen -.
Læs mereLOKALPLAN NR. 8. Fanø Kommune. Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979
LOKALPLAN NR. 8 Fanø Kommune Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979 2 Lokalplan 8 Fanø Kommune Anmelder: Advokat Chr. V. Thuesen Torvegade 28 6700 Esbjerg J.nr. 260 ct/aj
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs mereLærebogen i laboratoriet
Lærebogen i laboratoriet Januar, 2010 Klaus Mølmer v k e l p Sim t s y s e t n a r e em Lærebogens favoritsystemer Atomer Diskrete energier Elektromagnetiske overgange (+ spontant henfald) Sandsynligheder,
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereNyere fortolkninger af kvantemekanikken og måleproblemet. Anja Skaar Jacobsen Institut for de Eksakte Videnskabers Historie
Nyere fortolkninger af kvantemekanikken og måleproblemet Anja Skaar Jacobsen Institut for de Eksakte Videnskabers Historie November 1995 ii Indhold 1 Indledning 1 1.1 Problemformulering........................
Læs mereEstimation af bilkøbsrelationen med nye indkomst- og formueudtryk
Danmarks Statistik MODELGRUPPEN Arbejdspapir* Edith Madsen 21. juli 1997 Estimation af bilkøbsrelationen med nye indkomst- og formueudtryk Resumé: Papiret præsenterer en reestimationen af fcb-relationen.
Læs mere