Kvant 2. Notesamling....Of doom!

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kvant 2. Notesamling....Of doom!"

Transkript

1 Kvant 2 Notesamling...Of doom!

2 Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation Udartet perturbationsteori Zeeman-effekt Tidsafhængig perturbation Variationsprincippet 5 5 WKB-approximation TM Tunnelering Snedige ting Symmetriske perturbationsmatricer Harmonisk oscillator Feynman-Hellmannteoremet Slater-determinant Kommutatorer for brint

3 1 To-partikelsystemer For skelnelige partikler i tilstande ψ a og ψ b kan den samlede bølgefunktion skrives som: ψ(r 1, r 2 ) = ψ a (r 1 )ψ b (r 2 ) (1) For ikke-skelnelige partikler ser det straks værre ud (dam dam dammmmm). De skal opfylde symmetrikravet (5.14): ψ(r 1, r 2 ) = ± ψ(r 2, r 1 ) (2) (plus for bosoner (som er symmetriske) og minus for fermioner (som er antisymmetriske)). Generelt kan en bølgefunktion skrives som et produkt af en rumdel φ(r) og en spindel χ(s) som kan være individuelt symmetriske eller antisymmetriske. Afhængigt af dette bliver den samlede bølgefunktion: symmetrisk symmetrisk = symmetrisk symmetrisk antisymmetrisk = antisymmetrisk antisymmetrisk antisymmetrisk = symmetrisk For systemer med to fermioner (ihvertfald med to elektroner), er det er snedigt at huske på at: Tilstande med antisymmetrisk spindel kaldes singlet-tilstande Tilstande med symmetrisk spindel kaldes triplet-tilstande 2 Brint Oversigt over egenværdier L, S og J-operatoerer på brint: 1

4 L 2 l m l = 2 l(l + 1) l m l L z l m l = m l l m l L ± l m l = (l m l )(l ± m l + 1) l (m l ± 1) S 2 s m s = 2 s(s + 1) s m s S z s m s = m s s m s S ± s m s = (s m s )(s ± m s + 1) s (m s ± 1) J 2 j m j = 2 j(j + 1) j m j J z j m j = m j j m j J ± j m j = (j m j )(j ± m j + 1) j (m j ± 1) -hvor J L + S er god at bruge ved spin-orbit-kobling. Kvantetallene kan kun antage bestemte værdier: n: 1, 2, 3,... l: 0, 1,..., n 1 m l : l, l + 1,..., l s: 0, 1/2, 1, 3/2,... m s : s. s + 1,..., s j: l s, l s + 1,..., l + s m j : j. j + 1,...j Relevante kommutatorer er opgivet i afsnit 6.5! 3 Perturbation Man pertuberer når hamiltonoperatoren for et kendt system (med hamiltonoperator Ĥ0 ) ændres en lille smule Ĥ0 Ĥ0 + Ĥ. Vi skal vist kunne udregne førsteordenskorrektionerne til både energier (E 1 n) og bølgefunktioner (ψ 1 n) og andenordenskorrektioner til energier (E 2 n). Det er ikke så slemt hvis energiniveauerne ikke er udartede: Førsteordensperturbation af energien findes med (6.9) fra Griffiths: E 1 n = ψ 0 n Ĥ ψ 0 n (3) 2

5 Andenordensperturbation af energien findes ved (6.15): E 2 n = m n ψ 0 m Ĥ ψ 0 n 2 E 0 n E 0 m (4) Til beregning af førsteordensperturbationer til bølgefunktioner kan jeg personligt anbefale ligning (6.13): ψ 1 n = m n 3.1 Udartet perturbationsteori ψm 0 Ĥ ψn 0 En 0 Em 0 ψm 0 (5) Det ser straks værre ud med udartet perturbationsteori - Så er man nødt til at bruge (6.27) som siger: E 1 ± = 1 2 (W aa + W bb ± (W aa W bb ) W ab 2 ) (6) - hvor W erne er defineret som perturbationens matrixelementer i basen af ψ er, dvs. W ij ψ 0 i Ĥ ψ 0 j. Det er dermed ulejligheden værd at udtrykke Ĥ i en basis hvor den er diagonal da dette vil betyde at W ab = 0, hvilket gør (6) mere overskuelig. Dette kan gøres på to måder: Hvis man er 1337 hax0r til at regne matrixelementer, kan man benytte sig af, at en matrices egenværdier er uafhængige af, hvilken basis de udtrykkes i, og skifte base til en god linearkombination TM af ψa 0 og ψb 0, ved at løse egenværdiligningen: ( Waa W ab W ba W bb ) ( α β ) ( = E 1 α β ) (7) (Dette er ækvivalent med at løse ligning (6.22) og (6.24) i Griffiths hvis man bedre kan lide det) Hvis man er snedig kan man bruge moralen fra teoremet på side og finde en operator  som kommuterer med både Ĥ0 og Ĥ og finde en linearkombination af egentilstande til Ĥ 0 som også er egentilstand til  (husk at alle linearkombinationer af egentilstande til Ĥ 0 automatisk er egentilstande til Ĥ 0 ). Ofte er det snedigt at anvende paritetsoperatoren A: Âf(x) = f( x) (som har egenværdierne ±1, da Â2 f(x) = f(x)). Endnu en grund til at paritetsoperatoren er et kløgtigt valg er at [Â, Ĥ0 ]f(x) = (V ( x) V (x))f( x), dvs. de kommuterer for symmetriske potentialer. Eksempelvis er bølgefunktionen i opgave 6.7 udtrykt ved ψ(x) = αe (ikx) + βe ( ikx), og man kan med lidt snilde se at for at ψ kan være egenfunktion for  skal koefficienterne opfylde β = ±α. Dette trick er absurd smart, og det kan virkelig anbefales at lære det. 3

6 3.2 Zeeman-effekt Zeeman-effekten er den opsplitning af energiniveauerne i atom som forekommer når det placeres i et eksternt magnetisk felt. Helt generelt for Zeeman-effekt er perturbationen givet ved Ĥ Z = (µ l + µ s ) B ext, hvor µ s = e m S, µ l = e 2m L. Man taler om stærk eller svag Zeeman-effekt afhængigt af forholdet mellem det interne (fine structure) og eksterne magnetiske felt: Der er stærk Zeeman-effekt hvis Der er svag Zeeman-effekt hvis Hvor B int = 1 e 4πɛ 0 mc 2 a 12T 3 B ext B int B ext B int Svag Zeeman Gode kvantetal: n, l, j og m j, Ved svag Zeeman-effekt dominerer det interne magnetfelt (finstrukturen) og det eksterne magnetfelt behandles derfor som perturbationen. Dermed er E 0 givet ved den almindelige grundenergi for brint (ligning 6.67): E nj = 13.6eV n 2 [1 + α2 n 2 ( n )] j + 1/2 3/4 De voksne (Griffiths, ligning 6.76) siger at førsteordensperturbationsenergien findes ved: [ ] EZ 1 = µ Bg J B ext m j, hvor µ B e 2m og g J 1 + j(j+1) l(l+1)+3/4 2j(j+1) Stærk Zeeman Gode kvantetal: n, l, m l og m s, Ved stærk Zeeman-effekt dominerer det eksterne magnetfelt og det interne magnetfelt betragtes som perturbationen. Altså er E 0 givet ved den normale grundtilstandsenergi for brint (uden finstruktur) plus energien fra Ĥ Z, dvs. E nml m s (8) = 13.6eV n 2 + µ B B ext (m l + 2m s ) (9) Igen har de voksne (ligning 6.82) udregnet førsteordensperturbationsenergien for os: E 1 fs = 13.6eV n 3 α 2 [ ] 3 l(l + 1) 4n ml m s l(l + 1/2)(l + 1) } {{ } =1, for l=0 4

7 Middel-Zeeman tjah... se side Tidsafhængig perturbation I tidsafhængig perturbationsregning afhænger ændringen af hamiltonoperatoren af tiden, Ĥ (t). De voksne (Griffiths) siger at diagonalelementerne i perturbationen ofte forsvinder, Ĥ aa = Ĥ bb = 0. Hvis dette er tilfældet, og hvis den upertuberede tilstand skrives som Ψ(t) = c a (t)ψ a e ieat/ +c b (t)ψ b e iebt/, kan man ved hjælp af den tidsafhængige schrödingerligning og lidt fancy footwork TM deducere sig frem til at koefficienterne opfylder: ċ a = i Ĥ abe iω0t, ċ b = i Ĥ bae iω0t (10) hvor ω 0 E b E a. I tilfælde af at Ĥ aa, Ĥ bb at bruge 0 ser det hele straks sortere ud og man er nødt til Og ikke nok med det! Ydermere er ċ a = i (c aĥ aa + c b Ĥ abe iω0t ) (11) ċ b = i (c bĥ bb + c a Ĥ bae iω0t ) (12) Ved at integrere (10) kan man få et fint udtryk for c b som funktion af tiden. Tidspunktet hvor perturbationen starter kaldes t 0 og det antages at c a (t 0 ) = 1, c b (t 0 ) = 0. Koefficienterne skal naturligvis opfylde at c a 2 + c b 2 = 1. Anyway: c (1) b (t) = i t t 0 Ĥ ab(t )e iω0t dt (13) Det er praktisk hvis man skal udregne sandsynligheden for at måle et system i tilstand b som funktion af tiden, da denne er P (1) a b (t) = c b(t) 2 (14) til første orden. Skal man finde anden orden eller højere er der en fin guide på side Variationsprincippet Variationsprincippet er en fantastisk metode til at estimere en øvre grænse for grundtilstandsenergien for et system uden en kendt bølgefunktion, som DU kan prøve derhjemme! Det eneste du skal bruge er en normaliseret testfunktion 5

8 ψ test, som i princippet kan antage en hvilken som helst form, og systemets hamiltonoperator. Variationsprincippet (ligning 7.1 i bogen) siger da: E gs ψ test Ĥ ψ test Ĥ (15) hvor det er værd at skrive sig bag øret at Ĥ = T + V ( T og V er forventningsværdierne af hhv kinetisk og potentielenergi for testfunktionen). Dermed er E gs ψ test T ψ test + ψ test V ψ test } {{ } } {{ } T V (16) Ofte vælger man at bruge en gaussisk funktion, ψ test = Ae bx2, A = ( ) 2b 1/4 π, som altid opfylder T = 2 b 2m. Da variationsprincippet giver en øvre grænse for grundtilstandsenergien vil det være kløgtigt, strategisk og smart at minimere højresiden af (16) ved at differentiere mht b. 5 WKB-approximation TM WKB er en metode til at approximere bølgefunktioner i potentialer som afhænger af x. Den virker fortræffeligt hvis: bølgefunktionens amplitude ændrer sig laaaaangsomt man ikke approximerer i nærheden af klassiske turning points, dvs hvor E V man gør det rigtigt Selve approximationen er udtrykt i ligning 8.10 i bogen: ψ(x) C e ± i p(x)dx, p(x) = 2m(E V (x)) (17) p(x) I nærheden af disse turning points er man nødt til at anvende nogle lappefunktioner som er djælvelsk besværlige at arbejde med. Heldigvis har Griffiths udført en del af fodarbejdet i et par eksempler i afsnit 8.1 og 8.3 og udregnet nogle betingelser som skal opfyldes i forskellige potentialer: Potentialer med to lodrette vægge: -med koordinater x = 0 og x = a (ligning 8.16): a 0 p(x)dx = nπ (18) Potentialer med én lodret væg -med koordinat x = 0 og turning point i x = x 2 (ligning 8.47): x2 0 p(x)dx = (n 1/4)π (19) 6

9 Potentialer uden lodrette vægge -med turning points i x = x 1 og x = x 2 (ligning 8.51): x2 5.1 Tunnelering x 1 p(x)dx = (n 1/2)π (20) Hvis man er i besiddelse af en linearkombination af snilde og snarrådighed, som ingen grænser kender, kan man også bruge WKB-metoden til at beregne tunnelleringskoefficienter: For en partikel som i området 0 < x < a har E < V kan tunneleringssandsynligheden findes (8.22) i Griffiths: 6 Snedige ting T = e 2γ, γ = 1 a 6.1 Symmetriske perturbationsmatricer Fra problem 7.15: I perturbationssærtilfældet hvor ψ a Ĥ ψ b = ψ b Ĥ ψ a = h således at den samlede hamiltonoperator er ( ) Ea h Ĥ = Ĥ0 + Ĥ = h Eb 0 2m(V (x) E)dx (21) bliver perturbationsenergierne E 1 a = E 1 b = 0, og: h 2 Ea 2 = (E b E a ), h 2 E2 b = (E b E a ) (22) 6.2 Harmonisk oscillator I harmoniske potentialer er det ofte givtigt at skrive x om til hæve/sænkeoperatorer, dvs benytte at: x = 2mω (â + + â ), â + ψ n = n + 1 ψ n+1 â ψ n = n ψ n 1 Ved høje potenser af x kan det dog være at man bliver gladere for at bruge tricket beskrevet i afsnit

10 6.3 Feynman-Hellmannteoremet Feynman-Hellmannteoremet ser sådan her ud hvis både ψ n, Ĥ og E n kan afhænge af en parameter λ: E n λ = ψ n Ĥ λ ψ n (23) Man kan ofte få nogle fornuftige ligninger hvis man differentierer efter parametre som kun ét led i Ĥ afhænger af. Et glimrende eksempel er vores allesammens harmoniske oscillator, der som bekendt har Ĥ = 2 [ 2 2m x + 1 ] [ 2 mω2 x 2 og E n = ω(n + 1/2). (24) Hvis man gerne vil beregne forventningsværdien af potentialet kan man enten være hardcore og skrive x 2 -leddet ud som hæve/sænkeoperatorer, eller man kan være snedig og differentiere mht ω, da det første led i Ĥ så forsvinder. Dette giver: E n = (n + 1/2) ω (25) Ĥ ω = mωx2 = 2 V ω, (26) V = ω 2 ψ n Ĥ ω ψ n V = ω 2 (n + 1/2) = 1 2 E n (27) -Især hvis ens potentiale afhænger af f.eks. x 128 vil man hellere bruge denne metode end at omskrive V (â + + â ) 128 (avavav). 6.4 Slater-determinant Hvis man skal konstruere en antisymmetrisk rumdel ud fra et større antal bølgefunktioner end man umiddelbart kan overskue, kan man opskrive den som Slater-determinanten: ψ(r 1, r 2,, r n ) = ψ a (r 1 ) ψ b (r 1 ) ψ n (r 1 ) ψ a (r 2 ) ψ b (r 2 ) ψ n (r 2 ) ψ a (r n ) ψ b (r n ) ψ n (r n ) (28) 6.5 Kommutatorer for brint Snedige kommutatorer: [L S, L] = i (L S) [L S, S] = i (S L) [L S, J] = [L S, L 2 ] = [L S, S 2 ] = [L S, J 2 ] = 0 8

Formelsamling til. Kvantemekanik. 27. marts Dennis Hansen 1

Formelsamling til. Kvantemekanik. 27. marts Dennis Hansen 1 Formelsamling til Kvantemekanik 7. marts 1 Dennis Hansen 1 Indhold 1 Grundlæggende ligninger 4 1.1 Generelt...................................... 4 1. Postulater i kvantemekanik............................

Læs mere

Kvantemekanik 8 Side 2 af 10 Observable og operatorer. Grundlæggende egenskaber ved operatorrepræsentanter ( ) O= O. (8.4)

Kvantemekanik 8 Side 2 af 10 Observable og operatorer. Grundlæggende egenskaber ved operatorrepræsentanter ( ) O= O. (8.4) Kvantemekanik 8 Side 1 af 10 Opsummering Egenskaber ved operatorrepræsentanter Det blev i KM3-4 vist, at enhver målbar bevægelsesegenskab (observabel) er repræsenteret ved en operator, som for position,

Læs mere

Minikvant Fysik 22 - nu også med fysik 312 for os aber

Minikvant Fysik 22 - nu også med fysik 312 for os aber Minikvant Fysik - nu også med fysik 31 for os aber. enrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert

Læs mere

Statitisk fysik Minilex

Statitisk fysik Minilex Statitisk fysik Minilex Henrik Dahl 15. januar 006 Indhold 1 Sandsynlighedsteori Fordelinger 3 Eksperimentelle usikkerheder 3 4 Parameterbestemmelse 3 5 Priors, entropi 3 6 Termodynamik 4 6.1 Kanonisk

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Stochastic Variational Method -Used on Small Atoms. 14. september 2011

Stochastic Variational Method -Used on Small Atoms. 14. september 2011 Stochastic Variational Method -Used on Small Atoms 14. september 2011 Jens Egebjerg Bækhøj Årskortnummer: 20082846 Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Denmark j j j Abstract j In this paper

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Rektangulær potentialbarriere

Rektangulær potentialbarriere Kvantemekanik 5 Side 1 af 8 ektangulær potentialbarriere Med udgangspunkt i det KM begrebsapparat udviklet i KM1-4 beskrives i denne lektion flg. to systemer, idet system gennemgås, og system behandles

Læs mere

Niels Wessel Larsen MOLEKYLSPEKTROSKOPI. En kvantitativ beskrivelse af vibrations- og rotations-spektroskopi. Noter til Gasfasespektroskopi

Niels Wessel Larsen MOLEKYLSPEKTROSKOPI. En kvantitativ beskrivelse af vibrations- og rotations-spektroskopi. Noter til Gasfasespektroskopi Niels Wessel Larsen MOLEKYLSPEKTROSKOPI En kvantitativ beskrivelse af vibrations- og rotations-spektroskopi Noter til Gasfasespektroskopi KEMISK INSTITUT KØBENHAVNS UNIVERSITET 007 ii Indhold KVANTEMEKANISK

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

1 Eksamen Spin Spin-halv-operatorer Spin-orbitaler... 3

1 Eksamen Spin Spin-halv-operatorer Spin-orbitaler... 3 . Indhold 1 Eksamen 1 1 1.1 Spin.................................. 1 1.1.1 Spin-halv-operatorer..................... 3 1.1.2 Spin-orbitaler......................... 3 2 Eksamen 2 5 2.1 Atomer................................

Læs mere

Stern og Gerlachs Eksperiment

Stern og Gerlachs Eksperiment Stern og Gerlachs Eksperiment Spin, rumkvantisering og Københavnerfortolkning Jacob Nielsen 1 Eksperimentelle resultater, der viser energiens kvantisering forelå, da Bohr opstillede sin Planetmodel. Her

Læs mere

Introduktion til kulstofnanorørs båndstruktur og elektromekaniske egenskaber under træk

Introduktion til kulstofnanorørs båndstruktur og elektromekaniske egenskaber under træk Introduktion til kulstofnanorørs båndstruktur og elektromekaniske egenskaber under træk Specialeopgave i fysik Jesper Nissen Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Vejledere: Anders Mathias Lunde

Læs mere

- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK

- I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK - I, OM OG MED MATEMATIK OG FYSIK Opgavesamling til Kvantemekanik Eksamensopgaver stillet i perioden januar 1978 til august 2013 Redigeret af Lyt Baden og Bo Jakobsen august 2013 nr. 495c - 2013 Roskilde

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Abstract. This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates

Abstract. This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates Abstract This paper examines the symmetries in particle physics and the mathematics behind. It investigates the algebraic structures and uses them to describe a vector space as it derives the Hilbert space

Læs mere

Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR)

Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 14 Øvelse i kvantemekanik Elektron-spin resonans (ESR) 3.1 Spin og magnetisk moment Spin er en partikel-egenskab med dimension af angulært moment. For en elektron har spinnets projektion på en akse netop

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Tillæg til partikelfysik (foreløbig)

Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Tillæg til partikelfysik (foreløbig) Vekselvirkninger Hvordan afgør man, hvilken vekselvirkning, som gør sig gældende i en given reaktion? Gravitationsvekselvirkningen ser vi bort fra. Reaktionen Der skabes

Læs mere

Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger. Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet

Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger. Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet E-mail: hjj@chem.sdu.dk 8. februar 2000 Orbitaler Kvalitativ beskrivelse af molekylære

Læs mere

Side af 43!"!# % &!'()! * &, -."!# Plac. Navn Født Point FINA 00m 200m 300m Opnået Status Klub /// 0..(!#'# (#(..-! /// 0.#(!#/) (! #(!' 2 # "!#! /// 0)-(!) ) ( 00#( ' % 3 ) & ' /// 0!(!0)# (' ##(.-0 %(%

Læs mere

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013

Heisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013 Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme

Læs mere

2 Lektion Opgave C Opgave Opgave Opgave Opgave a b...

2 Lektion Opgave C Opgave Opgave Opgave Opgave a b... . Indhold 1 Lektion 1 1 1.1 Opgave A............................... 1 1. Opgave 1............................... 1 1..1 1.a.............................. 1 1.. 1.b.............................. 1.3 Opgave

Læs mere

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A = OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform

Læs mere

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.

Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001. Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen

Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen Fysik 7 - Statistisk fysik Formelsamling til eksamen Sebastian B. Simonsen og Lykke Pedersen 18. januar 2006 Indhold 1 Kapitel 1 - Indledning 2 2 Kapitel 2 - Sandsynlighedsfordelinger 3 2.1 Binomial fordeling........................

Læs mere

BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47

BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47 BM121 Resume af tirsdags forlæsningen, Uge 47 Morten Källberg (kallberg@imada.sdu.dk) 22/11-2005 1 Probabilistiske modeller Vi vil i det følgende betragte to forskellige måder at evaluerer en given model

Læs mere

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She

Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitutionernes fest 53 Løsning af tredjegradsligningen Jens Siegstad, Kasper Fabæch Brandt og Jingyu She Substitution en masse Vi vil i denne artikel vise, hvorledes man kan løse den generelle tredjegradsligning

Læs mere

Atomers elektronstruktur I

Atomers elektronstruktur I Noget om: Kvalitativ beskrivelse af molekylære bindinger Hans Jørgen Aagaard Jensen Kemisk Institut, Syddansk Universitet E-mail: hjj@chem.sdu.dk 8. februar 2000 Orbitaler Kvalitativ beskrivelse af molekylære

Læs mere

Projekt Planlægning: PERT/CPM

Projekt Planlægning: PERT/CPM Chapter 10: Projekt Planlægning: PERT/CPM -> Planlægning og koordinering af aktiviteter, der tilsammen definerer et helt projekt, så projektet færdiggøres indenfor en planlagt tidsramme. Aktiviteterne

Læs mere

Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1

Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Heisenbergs Usikkerhedsrelationer Jacob Nielsen 1 Werner Heisenberg (1901-76) viste i 1927, at partiklers bølgenatur har den vidtrækkende konsekvens, at det ikke på samme tid lader sig gøre, at fastlægge

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning 49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Youngs dobbeltspalteforsøg 1

Youngs dobbeltspalteforsøg 1 Kvantemekanik Side af Youngs dobbeltspalteforsøg Klassisk beskrivelse Inden for den klassiske fysik kan man forklare forekomsten af et interferensmønster ud fra flg. bølgemodel. x Før spalterne beskrives

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Naturkræfter Man skelner traditionelt set mellem fire forskellige naturkræfter: 1) Tyngdekraften Den svageste af de fire naturkræfter.

Naturkræfter Man skelner traditionelt set mellem fire forskellige naturkræfter: 1) Tyngdekraften Den svageste af de fire naturkræfter. Atomer, molekyler og tilstande 3 Side 1 af 7 Sidste gang: Elektronkonfiguration og båndstruktur. I dag: Bindinger mellem atomer og molekyler, idet vi starter med at se på de fire naturkræfter, som ligger

Læs mere

Lærebogen i laboratoriet

Lærebogen i laboratoriet Lærebogen i laboratoriet Januar, 2010 Klaus Mølmer v k e l p Sim t s y s e t n a r e em Lærebogens favoritsystemer Atomer Diskrete energier Elektromagnetiske overgange (+ spontant henfald) Sandsynligheder,

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021

Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021 Bilag 2 - Spildevandsplan 2011-2021 Alle eksisterende ejendomme på følgende matrikler skal separatkloakeres Arninge 4c Ore By, Arninge 2016-2021 Arninge 4e Ore By, Arninge 2016-2021 Arninge 4f Ore By,

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Spinkæder som bindeled mellem partikler og strenge

Spinkæder som bindeled mellem partikler og strenge Spinkæder som bindeled mellem partikler og strenge Af Charlotte Fløe Kristjansen, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Traditionelt er partikelteorier og strengteorier blevet opfattet som konkurrerende

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Module 4: Ensidig variansanalyse

Module 4: Ensidig variansanalyse Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

DOKUMENT: Dato/løbenummer: TINGLYSNINGSDATO:

DOKUMENT: Dato/løbenummer: TINGLYSNINGSDATO: side 1 ================================================================================ DOKUMENTAKTUELHENT ================================================================================ DOKUMENT: Dato/løbenummer:

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

BYPLANVEDTÆGT FOR NØDEBO-OMRÅDET. Byplanvedtægt nr. 41

BYPLANVEDTÆGT FOR NØDEBO-OMRÅDET. Byplanvedtægt nr. 41 BYPLANVEDTÆGT FOR NØDEBO-OMRÅDET Byplanvedtægt nr. 41 Byplanvedtægt nr. 41 - for Nødebo-området I medfør af byplanloven (lovbekendtgørelse nr. 63 af 20. februar 1970) fastsættes følgende bestemmelser for

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Appendiks 1. I=1/2 kerner. -1/2 (højere energi) E = h ν = k B. 1/2 (lav energi)

Appendiks 1. I=1/2 kerner. -1/2 (højere energi) E = h ν = k B. 1/2 (lav energi) Appendiks NMR-teknikken NMR-teknikken baserer sig på en grundlæggende kvanteegenskab i mange atomkerner, nemlig det såkaldte spin som kun nogle kerner besidder. I eksemplerne her benyttes H og 3 C, som

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer

Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015 Teoretisk prøve Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 15 spørgsmål fordelt på 5 opgaver. Bemærk, at de enkelte spørgsmål ikke tæller

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Kolde atomare gasser Skræddersyet kvantemekanik. Georg M. Bruun Fysiklærerdag 2011

Kolde atomare gasser Skræddersyet kvantemekanik. Georg M. Bruun Fysiklærerdag 2011 Kolde atomare gasser Skræddersyet kvantemekanik Georg M. Bruun Fysiklærerdag Wednesday, January 6, Hovedbudskaber Bose-Einstein Kondensation = Identitetskrise for kvantepartikler BEC i atomare ultrakolde

Læs mere

Analytisk perturbationsteori

Analytisk perturbationsteori master 2009/6/2 23:09 page # f Analytisk perturbationsteori for lineære operatorer JUNI 2009 Speciale af Mette Kristensen AALBORG UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG FREDRIK BAYERS VEJ 7 G, 9220 AALBORG

Læs mere

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5.

Tilstandssummen. Ifølge udtryk (4.28) kan MB-fordelingen skrives , (5.1) og da = N, (5.2) . (5.3) Indføres tilstandssummen 1 , (5. Statistisk mekanik 5 Side 1 af 10 ilstandssummen Ifølge udtryk (4.28) kan M-fordelingen skrives og da er μ N e e k = N g ε k, (5.1) N = N, (5.2) μ k N Ne g = e ε k. (5.3) Indføres tilstandssummen 1 Z g

Læs mere

Danske besvarelser af udvalgte opgaver.

Danske besvarelser af udvalgte opgaver. IMFUFA, INM Carsten Lunde Petersen Danske besvarelser af udvalgte opgaver. Introduction Forslag til besvarelse af udvalgte opgaver. Opgave 7.9: Vis, at en ikke plan glat kurve α : I R 3 i rummet forløber

Læs mere

LOKALPLAN NR. 8. Fanø Kommune. Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979

LOKALPLAN NR. 8. Fanø Kommune. Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979 LOKALPLAN NR. 8 Fanø Kommune Klitarealer i sommerhusområderne Fanø Bad og Rindby Strand. Oktober 1979 2 Lokalplan 8 Fanø Kommune Anmelder: Advokat Chr. V. Thuesen Torvegade 28 6700 Esbjerg J.nr. 260 ct/aj

Læs mere

#$%$!&$#$!$ # ) * ##! % " ## ##%$ $!(!$*-!!.%!

#$%$!&$#$!$ # ) * ##! %  ## ##%$ $!(!$*-!!.%! !" #$%$!&$#$!$ # #%'!(" ) * ##! % " ## ##%$ $!( +,$*(#,"%$!$*-!!.%!.&.% /0 1 233+++0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 333$*,*#40 0 0 0 0 30 0 0 0 0 3330 0 0 0 0 0 0 0 0 33 33 3$"# $0 0 0 0 0 0 0 0

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Superstrenge: I grove træk (1)

Superstrenge: I grove træk (1) Superstrenge Superstrenge Superstrenge i grove træk Kendte ubesvarede spørgsmål Standard modellen Hvorfor superstrenge? Historik og teori Hvor er fysikken? Det sidste; M-branes Hvad forklarer strengteori?

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Standardmodellen. Allan Finnich Bachelor of Science. 4. april 2013

Standardmodellen. Allan Finnich Bachelor of Science. 4. april 2013 Standardmodellen Allan Finnich Bachelor of Science 4. april 2013 Email: Website: alfin@alfin.dk www.alfin.dk Dette foredrag Vejen til Standardmodellen Hvad er Standardmodellen? Basale begreber og enheder

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere