Dette miniprojekt omhandler en anvendelse af Lineær Algebra til computergrafik og planeters omløbsbaner.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Dette miniprojekt omhandler en anvendelse af Lineær Algebra til computergrafik og planeters omløbsbaner."

Transkript

1 Lineær algebra Beskrivelse Denne dag vil bestå af to miniprojekter, hvor underviser vil give en kort præsentation af hvert emne et om formiddagen og et om eftermiddagen, og herefter være til rådighed til at hjælpe jer gennem opgaverne. De to miniprojekter bliver præsenteret nedenfor. Dagens to miniprojekter benytter bl.a. matrixmultiplikation, rotationsmatricer, skalering og translation, og I vil gøre brug af en stor del af det materiale, som er gennemgået i lineær algebra indtil nu i semesteret. Gennem både papir-og-blyant opgaver og med opgaver i MATLAB, vil miniprojekterne være med til at styrke jeres færdigheder i faget. Derfor er dette en god mulighed for at øve på sit lineær algebra og for at træne til eksamen. Billedrepræsentationer I dette miniprojekt vil vi arbejde med, hvordan billeder kan repræsenteres ved hjælp af matricer og benytte lineær algebra til at transformere billeder på forskellig vis. Ved brug af lineær algebra kan vi f.eks. spejle billedet omkring en linje, udføre rotationer samt translationer. Vi vil undersøge forskellige transformationer af billeder, og derfor vil opgaverne naturligt føre os over i MATLAB og give anledning til at afprøve sig selv her. Der er ligeledes et teoretisk aspekt af hver opgave, når vi forklarer hvilken type specifik transformation vi skal benytte og hvorfor. Her får vi brug for papir, blyant og gode matematiske argumenter. Computergrafik og planeters omløbsbaner Dette miniprojekt omhandler en anvendelse af Lineær Algebra til computergrafik og planeters omløbsbaner. Hvis vi antager, at omløbsbaner er cirkulære, så kan vi betragte dem ved fortløbende at tage produktet mellem rotationmatricer og vektoren, som beskriver planetens position. Vi vil skabe en grafisk simulation af planetens omløbsbane rundt om solen, ved at plotte produktet mellem planetens positionsvektor og en rotationmatrix på hvert billede, og så plotte adskillige billeder per sekund. Det næste trin vil være at tilføje en satellit som kredser om planeten, ved at anvende lignende teknikker. I dette tilfælde, vil vi bruge affine rotationmatricer, hvis centrum varierer med tiden. I miniprojektet vil I have mulighed for at arbejde med affine rotationmatricer, deres geometriske fortolkning og hvordan man programmerer en simulation i MATLAB af en genstands bevægelse. 1

2 2

3 Lineær algebra, Miniprojekt 1 Billederepræsentationer I dette miniprojekt vil vi se, hvordan billeder kan repræsenteres vha. matricer, og hvordan vi kan lave reflektioner, translationer og rotationer af billeder vha. redskaber vi kender fra lineær algebra. Repræsentation af jpg-billeder i MATLAB Her præsenteres udelukkende MATLABs repræsentation af billeder af typen jpg. Andre formater vil have lignende repræsentationer, dog med små forskelle, som ikke nævnes her. Opgaverne tager ligeledes udgangspunkt i jpg-repræsentationen af billeder, og de kommandoer der er nævnt som hjælp skal justeres hvis andre filtyper betragtes. Repræsentation af gråskala-billeder Vi starter med at betragte et billede i en 8-bit gråskala. Her vil hver kontrast fra hvid til sort være repræsenteret ved en sammenkædning af 8 binære værdier dvs. enten 0 eller 1. En 8-bit streng kan antage 256 forskellige værdier, og derfor repræsenteres hver kontrast på gråskalaen ved et tal fra 0 til 255, hvor 0 er sort og 255 er hvid. Et billede i 8-bit gråskala med størrelsen M N kan repræsenteres ved en M N-matrix A, hvor indgang i, j repræsenterer kontrasten der tilhører den pixel, som ligger i række i og søjle j. Bemærk at indgang 1, 1 er den pixel som ligger i øverste venstre hjørne af billedet. For hvert enkelt pixel har vi 3 størrelser at holde styr på: pixelens position i matricen både række- og søjleindeks og dens kontrast. Når vi translaterer, reflekterer og roterer billedet vil vi ændre på hver pixels position, men ikke på dens kontrast. Derfor er det pixelens indeks vi opererer på dvs. ganger, plusser, ombytter osv.. Dette forklares videre under reflektion af billeder. Repræsentation af billeder med RGB-skala RGB-skalaen fungerer meget lig gråskalaen. RGB står for red-green-blue, og til hvert pixel tilhører en 8-bit binær streng, præcis som den i gråskalaen, for hver af de tre farver. Dvs. et billede i RGB vil kunne repræsenteres ved 3 matricer, A R, A G og A B, alle indeholdende værdier fra 0 til 255. Indgang i, j i matrix A x forklarer x-farvens intensitet i dette pixel for x = R, G, B. Reflektion af billeder I forklaringen til reflektion og rotation af billeder, betragter vi kun gråskala-repræsentationer, da disse kun har én matrix tilknyttet. Alle metoder kan direkte benyttes til RGB farver, ved at lave de samme operationer på alle 3 matricer tilknyttet billedet. Positionen [ til hver pixel i et gråskalabillede af størrelse N M kan repræsenteres ved en, vektor n m] hvor n = 1,..., N og m = 1,..., M. Vi betragter en reflektion af matricen dvs. billedet i en af akserne i et 2D-koordinatsystem som en omarrangering af matricens indgange, dvs. en ændring i positionsvektoren for hvert pixel. De enkelte pixels vil da fortsat 3

4 4 have den samme værdi altså intensitet på gråskalaen. En spejling af vektoren [ n m] i den horisontale akse kan repræsenteres ved matricen S = [ ] Reflektionens position er dermed [ ] nref m ref = S [ ] n = m [ ] n m Her opstår et problem, da vektoren i det ene koordinat nu er negativt. Dette er problematisk, da vektoren repræsenterer en position eller et indeks-par i en billedmatrix, hvilket kun kan være positivt. Derfor skal vi flytte på koordinatsættet, eller med andre ord translatere vektoren. Til dette formål omdanner vi vektoren til en 3-dimensionel vektor med et ét-tal nederst, og translaterer positionsvektoren med δ n i n-retningen og δ m i m-retningen ved n m 1 0 δ n n ref n ref + δ n n + δ n = 0 1 δ m m ref = m ref + δ m = m + δ m Dermed er n, m det koordinatpar, opnået ved reflektion i den horisontale akse og translation med δ n, δ m af det oprindelige koordinatpar n, m. Vi skal nu vælge translationen på en sådan måde, der ikke opstår negative koordinater, og at det mindste koordinatpar n, m er 1, 1.

5 5 Opgave 1 Find translationen tilhørende reflektionen i den horisontale akse. Hvilken størrelse vil det reflekterede billede have? Brug MATLAB til at reflektere et billede i horisontale akse. I kan tage udgangspunkt i nedenstående script. A = imread image. jpg ; %i n d læs b i l l e d e f r a f i l e n image. jpg A = rgb2gray A ; % konverter t i l gr å s k a l a imshow A ; % v i s b i l l e d e t [N, M] = s i z e A ; % a n t a l rækker og s ø j l e r i b i l l e d e t N_ref =??? ; % indsæt : a n t a l rækker i det r e f l e k t e r e d e b i l l e d e M_ref =??? ; % indsæt : a n t a l s ø j l e r i det r e f l e k t e r e d e b i l l e d e delta_n =??? ; % indsæt : t r a n s l a t i o n e n i n dimension delta_m =??? ; % indsæt : t r a n s l a t i o n e n i m dimension A_ref = ones [ N_ref, M_ref ] 255; % d e f i n e r e r matricen som s k a l indeholde det r e f l e k t e r e d e b i l l e d e. A l l e p i x e l s s t a r t e s ud som hvide og opdateres s e n e r e. % Indsæt : dobbelt l økke, hvor A_ref s indgange d e f i n e r e s ud f r a % de passende indgange i A ved brug a f l i g n i n g e n f o r de % r e f l e k t e r e d e t r a n s l a t e r e d e k o o r d i n a t e r / indeks. % Vis det r o t e r e d e b i l l e d e : A_ref = mat2gray A_ref ; % konverter f r a matrix t i l gr å skala b i l l e d e f i g u r e ; % lav nyt f i g u r vindue imshow A_ref ; % v i s det r e f l e k t e r e d e b i l l e d e Opgave 2 Opskriv reflektionsmatricen og translationsmatricen tilhørende en reflektion i den vertikale akse. Opdater MATLAB scriptet fra forrige opgave til at lave denne reflektion. Opgave 3 Find forskriften for en reflektion i både horisontalaksen og vertikalaksen. Hvordan ser den resulterede matrix ud? Giv en intuition til resultatet. Opgave 4 ekstra Opskriv matricen for reflektionen gennem matricens billedets diagonal, altså hvor rækkeog søjleindeks er ens. Hvordan ser den resulterende ud? Giv en intuition til resultatet.

6 6 Billedrotationer Som ved reflektioner, kan vi bruge en koordinatvektor til hver pixel, og udføre rotationen på denne. Betragt rotationen af en vektor omkring origo med en vinkel på θ. Denne er givet ved [ ] [ ] [ ] nr cos θ sin θ n =, sin θ cos θ m m r hvor n r og m r er koordinatsættet tilhørende den roterede vektor. Det kan være nyttigt at benytte samme struktur som for translationerne, og her kan vi også introducere en ekstra indgang i vektoren, som blot har værdien 1. Rotationen er dermed givet ved n r cos θ sin θ 0 n m r = sin θ cos θ 0 m, Som regel vil samme problem opstå som ved reflektionen, nemlig at nogle koordinater er negative. Dette problem kan vi løses endnu engang ved translation. Bemærk: Til indgange i matricen skal vi altid bruge hele tal. I nogle tilfælde kommer vi ud for det problem, at MATLAB genkender en variabel som float eller double, hvilke er forskellige typer af decimaltal. Derfor kan vi muligvis komme i problemer, når MATLAB forsøger at finde A1.000, 2.000, og der vil komme en fejlbesked. Variablen i kan laves til et ikke-negativt heltal ved i = uint32i. Opgave 5 1. Betragt en rotation på θ = π 2 dvs. en 90 rotation. a Opskriv udtrykket for den roterede vektor [ n r m r 1]. b Find de værdier tilhørende translationen, således at der ikke opstår negative koordinater eller 0-koordinater, samt at 1, 1 er det mindste koordinatpar. c Hvilken størrelse har det roterede billede?

7 7 2. Brug MATLAB til at rotere et billede med vinklen θ = π 2. I kan tage udgangspunkt i nedenstående script. A = imread image. jpg ; %i n d læs b i l l e d e f r a f i l e n image. jpg A = rgb2gray A ; % konverter t i l gr å s k a l a imshow A ; % v i s b i l l e d e t [N, M, D] = s i z e A ; % a n t a l rækker N, s ø j l e r M i b i l l e d e t, samt b i l l e d e t s 3. dimension D, a l t s å a n t a l l e t a f NxM m a t r i c e r v i a r b e j d e r på theta =??? ; % v i n k e l delta_n =??? ; % indsæt : t r a n s l a t i o n e n i n dimension delta_m =??? ; % indsæt : t r a n s l a t i o n e n i m dimension N_rot =??? ; % indsæt : a n t a l rækker i det r o t e r e d e b i l l e d e M_rot =??? ; % indsæt : a n t a l s ø j l e r i det r o t e r e d e b i l l e d e s k a l e r i n g = 1 ; % ingen s k a l e r i n g c o s t = cos theta ; s i n t = s i n theta ; R =??? ; % indsæt : r o t a t i o n s m a t r i c e n T =??? ; % indsæt : i n v e r s e a f t r a n s l a t i o n s m a t r i c e n % Vi s k a l nu f i n d e det r o t e r e d e og t r a n s l a t e r e d e k o o r d i n a t sæt : % i_r, j_r = s k a l e r i n g T R n, m, 1 % f o r hvert n og m, og indsæt t e de r i g t i g e vær d i e r i matricen C = s k a l e r i n g T R; A_rot = ones [ N_rot, M_rot, 3 ] 255; % Matrix t i l det r o t e r e d e b i l l e d e. A l l e p i x e l s s t a r t e s som hvide % Indsæt : dobbelt l økke, der f i n d e r det r o t e r e d e og t r a n s l a t e r e d e k o o r d i n a t sæt : % Vis det r o t e r e d e b i l l e d e : A_ref = mat2gray A_ref ; % konverter f r a matrix t i l gr å skala b i l l e d e f i g u r e ; % lav nyt f i g u r vindue imshow A_ref ; Opgave 6 ekstra 1. Betragt en rotation på θ = π 4 dvs. en 45 rotation. [ a Opskriv udtrykket for den roterede vektor n r m r. 1] Bemærk at alle koordinater skal være hele tal, og vi er derfor nødt til at skalere billedet, dvs. gange en konstant på de ligninger som repræsenterer koordinatskiftet, således at dette altid er opfyldt.

8 8 b Find de værdier tilhørende translationen, således at der ikke opstår negative koordinater eller 0-koordinater, samt at 1, 1 er det mindste koordinatpar. c Hvilken størrelse har det roterede billede? 2. Brug MATLAB til at lave denne rotation. Ser det roterede billede ud, som I havde forventet?

9 Lineær algebra, Miniprojekt 2 Computergrafik og planeters omløbsbaner I dette miniprojekt studerer vi noget af den grundlæggende matematik, der ligger bag planeters omløbsbaner og bevægelser rundt om Solen. For dette, vil vi først antage, at planeters omløbsbaner er flade og helt cirkulære i virkeligheden er de elliptiske og ikke flade, og vi vil bruge rotationsmatricer til at beskrive dem. Vi vil også bruge MATLAB til at lave animeringer af disse baner. Idéen bagved er at skabe en del billeder per sekund, hvert fået ved at gange vektoren, der peger på den omløbende planet, med en rotationsmatrix, som afhænger af tiden. Vi vil forsætte med gradvis at øge sværhedsgraden. Først vil vi tilføje et legeme Månen der kredser om planeten Jorden, som selv kredser om Solen. Endeligt vil vi modificere omløbsbanerne til at være elliptiske. Virkelige omløbsbaner indeholder mange flere faktorer og typer af bevægelser, hvilke kræver mere avancerede matematiske værktøjer. Husk, at rotationsmatricen R θ med vinklen θ rundt om origo er cosθ sinθ R θ =. sinθ cosθ Rotationen er udført mod uret hvis θ > 0 og med uret hvis θ < 0. Opgave 1 Antag, at Solen svarer til punktet 0, 0 i planen, og Jorden beskriver en cirkulær omløbsbane rundt om den. 1. Hvis Jordens startposition er E 0 = x 0, y 0, og den har bevæget sig θ radianer på en cirkulær omløbsbane, angiv da Jordens position Eθ som en funktion, der afhænger af θ. Vink: Brug rotationsmatricen. 2. Vi kender ikke Jordens startposition E 0 = x 0, y 0, men vi ved, at den er bevæget sig θ = 2π 3 radianer, og at dens position nu er Eθ = 400, 100. Hvad var Jordens position, da den kun havde bevæget sig φ = π 3 radianer fra dens startposition? 3. En simpel måde at skabe en kort animering i MATLAB er at plotte billeder med en brøkdel af et sekunds pause imellem hvert. Til at skabe disse pauser, kan man bruge kommandoen pauses hvor s svarer til pausens varighed i sekunder Bemærk: Hvis vi skriver pause1/frames, så er frames antallet af billeder per sekund. Skab en for løkke med varierende værdier θ, og brug kommandoerne plot og pause i løkken til at skabe en animering af Jordens omløbsbane rundt om Solen. Vink: Husk at plotte Solen punktet 0, 0 i hvert billede sammen med Jordens opdaterede position. Brug hold on efter det første billede, og hold off bagefter til at plotte Solen og Jorden sammen. Du kan antage, at Jordens startposition er x 0, y 0 = 1000, 0, og du kan bruge de følgende kommandoer til at starte med de startpositioner: 9

10 10 Si = [ 0 0 ] ; % Solens s t a r t p o s i t i o n Ei = [ ] ; % Jordens s t a r t p o s i t i o n % Animation parameters : frames = 2 0 ; % Antal b i l l e d e r per sekund time = 5 ; % Total t i d i sekunder % Plot Jordens og Solens s t a r t p o s i t i o n e r p l o t Si 1, Si 2, r % Plot Solens p o s i t i o n a x i s [ ] % Lav grænserne f o r akserne hold on p l o t Ei 1, Ei 2, bo % Plot Jordens p o s i t i o n hold o f f pause 1/ frames % Orbit parameters : Rev = 2 ; % Antal a f omgange % Vi s t a r t e r bevæg e l s e n t o t a l f r a m e s = frames time ; % Indsæt : % f o r l økke, som opdaterer Jordens p o s i t i o n % i f t. Solen o r i g o og p l o t t e r d i s s e. Opgave 2 I den forrige opgave antog vi, at rotationens centrum eller omløbsbanen centrum er origo = 0, 0. I denne opgave vil vi studere rotationer rundt om et arbitrært punkt P 1 = x 1, y Vis og gør rede for, at rotationen med vinklen θ af punktet P 2 = x 2, y 2 rundt om punktet P 1 = x 1, y 1 er punktet P = x, y, hvor x y = R θ x2 x 1 y 2 y 1 + x1 y Vis og gør rede for, at x y = R θ x2 y 2 + I 2 R θ x1 y 1, hvor I 2 er 2 2 identitetsmatricen. 3. Antag, at Solens position altid er 0, 0, Jordens startposition er x 0, y 0 og Månens startposition er x 1, y 1. Jorden kredser om Solen og når punktet x 2, y 2. I mellemtiden kredser Månen om Jorden med vinklen φ. Vis og gør rede for, at Månens slutposition er x y = x2 y 2 + R φ x1 x 0 y 1 y 0.

11 11 4. Hvis Jorden er kredset θ radianer om Solen i mellemtiden, konkluder at x x0 x1 = R y θ R φ + R y φ. 0 y 1 5. Vi vil gerne finde Jorden og Månens startposition, og vi ved at: Solens position altid er 0, 0, Jordens position nu er 700, 600, Månens position nu er 700, 700, og fire måneder er gået. Hvis vi antager, at en måned er en tolvtedel af et år, at Jorden tager præcis et år til at kredse fuldstændigt om Solen, og at Månen tager præcis en måned til at kredse fuldstændigt om Jorden, hvad er Jorden og Månens startpositioner? 6. Modificer MATLAB-koden fra den forrige opgave til at skabe en animering, hvor Jorden kredser om Solen, lige som i den forrige opgave, men hvor Månen desuden kredser om Jorden. Du kan sætte Månens startposition på x 1, y 1 = x 0, y , 0 = 1100, 0: Si = [ 0 0 ] ; % Solens s t a r t p o s i t i o n Ei = [ ] ; % Jordens s t a r t p o s i t i o n Mi = Ei + [ ] ; % Må nens s t a r t p o s i t i o n % Animation parameters : frames = 2 0 ; % Antal b i l l e d e r per sekund time = 5 ; % Total t i d i sekunder % Plot Jordens, Må nens og Solens s t a r t p o s i t i o n e r p l o t Si 1, Si 2, r % Plot Solens p o s i t i o n a x i s [ ] % Lav grænserne f o r akserne hold on p l o t Ei 1, Ei 2, bo % Plot Jordens p o s i t i o n p l o t Mi 1, Mi 2, k. % Plot Må nens p o s i t i o n hold o f f pause 1/ frames % Orbit parameters : Rev = 2 ; % Antal omgange moonearthrate = pi ; % Må nens / Jordens c i r k u lære h a s t i g h e d s r a t e % Vi s t a r t e r bevæg e l s e n t o t a l f r a m e s = frames time ; % Indsæt : % f o r l økkke, som opdaterer Jordens p o s i t i o n i f h t Solen % o r i g o samt Må nens p o s i t i o n i f h t Jorden, og p l o t t e r % d i s s e. For at bestemme vinklen φ svarende til Månens rotation om Jorden, har vi defineret variablen moonearthrate inden for løkken, som bestemmer ratioen mellem Jordens rotationvinkel θ rundt om Solen og vinklen φ.

12 1 I for løkken har vi bagefter skrevet følgende ind phi = moonearthrate theta ; Prøv forskellige værdier af moonearthrate til at se, hvordan den ene omløbsbane opfører sig med hensyn til den anden. Bemærk, at hvis moonearthrate er positiv, så har begge omløbsbaner den samme retning, hvorimod hvis moonearthrate er negativ, så har de modsatte retninger. Opgave 3 ekstra I denne opgave vil vi studere, hvordan man får elliptiske omløbsbaner ved at bruge elliptiske rotationsmatricer. Vi vil antage, at ellipsens lilleakse og storakse er på x-aksen og y-aksen ikke nødvendigvis i denne orden. Hvis halvdelen af aksens længde svarende til x-aksen er a, og halvdelen af den anden akses længde er b, så definerer vi ellipsens rotationsmatrix med vinklen θ som cosθ k R θ,k = 1 sinθ, k sinθ cosθ hvor k = a b. 1. Hvis Jordens startposition er E 0 = x 0, y 0, og den er bevæget sig θ radianer i en elliptisk omløbsbane med halvdelen af aksernes længder a og b som før, angiv da Jordens nuværende position Eθ. Vink: Brug den elliptiske rotationsmatrix. 2. Hvis Solens position altid er 0, 0, Jordens startposition er 800, 0, og Jordens nuværende position er 400, 500, beregn da hvor mange måneder der er gået. Beregn derudover længderne a og b i Jordens omløbsbane. 3. Modificer MATLAB-koden i Opgave 1 til at gøre Jordens omløbsbane elliptisk med a = 1000 og b = Modificer MATLAB-koden i Opgave 2 til at gøre Jordens omløbsbane elliptisk med a = 1000 og b = 800, og hvor Månen stadigvæk beskriver en cirkulær omløbsbane rundt om Jorden. 5. Modificer MATLAB-koden i Opgave 2 til at gøre Jordens omløbsbane elliptisk med a = 1000 og b = 800, og hvor Månen også beskriver en elliptisk omløbsbane rundt om Jorden med halvdelen af aksernes længder c = 100 og d = 80.

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Reeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion

Læs mere

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel

Læs mere

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

En sumformel eller to - om interferens

En sumformel eller to - om interferens En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Fagets IT Introduktion til MATLAB

Fagets IT Introduktion til MATLAB Fagets IT Introduktion til MATLAB Mads G. Christensen mgc@kom.auc.dk Afdeling for Kommunikationsteknologi, Aalborg Universitet. MATLAB 2002 p.1/28 Kursusoversigt 1. Introduktion, matrix-indeksering, -operationer

Læs mere

Venus relative størrelse og fase

Venus relative størrelse og fase Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

NOGET OM ELLIPSEN. Mogens Esrom Larsen 20. april Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet

NOGET OM ELLIPSEN. Mogens Esrom Larsen 20. april Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet Noget om ellisen NOGET OM ELLIPSEN Mogens Esrom Larsen 20. aril 2012 Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet Ellisen som keglesnit. Ellisen er et af de første matematiske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads)

Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Skriftlig Eksamen Algoritmer og Datastrukturer (dads) Datalogisk Institut Aarhus Universitet Tirsdag den 27. maj 2003, kl. 9.00 3.00 Opgave (25%) For konstanten π = 3.4592... gælder identiteten π 2 6 =

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

SPHERO 2.0 undervisningsforløb til mellemtrinnet i matematik Polygoner og vinkler

SPHERO 2.0 undervisningsforløb til mellemtrinnet i matematik Polygoner og vinkler SPHERO 2.0 undervisningsforløb til mellemtrinnet i matematik Polygoner og vinkler Fælles mål 2014 Matematik Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende geometriske

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

Rækkeudvikling - Inertialsystem. John V Petersen

Rækkeudvikling - Inertialsystem. John V Petersen Rækkeudvikling - Inertialsystem John V Petersen Rækkeudvikling inertialsystem 2017 John V Petersen art-science-soul Vi vil undersøge om inertiens lov, med tilnærmelse, gælder i et koordinatsytem med centrum

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode

Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.

Læs mere

DTU M.SC. SKRIFTLIG EKSAMEN Reviderede Spørgsmål

DTU M.SC. SKRIFTLIG EKSAMEN Reviderede Spørgsmål Skriftlig prøve, 9. januar 1997. Kursus navn : 04250 - Indledende billedbehandling. Tilladte hjælpemidler : Alle sædvanling. "Vægtning" : Alle opgaver vægtes ligeligt. Navn :.................................................

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt.

DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt. Notat DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet 17. februar 2015 Projekt nr. 210914 Dokument nr. 1212704515 Version 5 Udarbejdet af MMKS 1 INDLEDNING Da DTU

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Antag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.

Antag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n. Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Steen Toft Jørgensen, Matematik 1, DTU Compute (2009-) ( : Helsingør Gymnasium)

Steen Toft Jørgensen, Matematik 1, DTU Compute (2009-) ( : Helsingør Gymnasium) 1 Steen Toft Jørgensen, Matematik 1, DTU Compute (2009-) (1979-2018: Helsingør Gymnasium) 2 Facts modtaget via mailkontakt. Facts: Tårnet er 45 m højt. Hyperboloiden er 28 m foroven og forneden i diameter,

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner

Elementær Matematik. Trigonometriske Funktioner Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

1. Bevægelse med luftmodstand

1. Bevægelse med luftmodstand Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Billedanalyse, vision og computer grafik. NAVN :..Lærerne... Underskrift :... Bord nr. :...

Billedanalyse, vision og computer grafik. NAVN :..Lærerne... Underskrift :... Bord nr. :... År: 3 Kursusnr: 5 Billedanalyse, vision og computer grafik Skriftlig prøve, den 5. december 3. Kursus navn: Billedanalyse, vision og computer grafik. Tilladte hjælpemidler: Alle sædvanlige. "Vægtning":

Læs mere

Grafikprogrammering i mat. og teknologi uv. Louis Køhrsen

Grafikprogrammering i mat. og teknologi uv. Louis Køhrsen Grafikprogrammering i mat. og teknologi uv Louis Køhrsen Mål med forløbet At give eleverne et kreativt udløb, hvor deres matematiske kompetencer sættes i spil med et kreativt mål At give eleverne et billede

Læs mere

Nedenfor er tegnet svingningsmønsteret for to sinus-toner med frekvensen 440 og 443 Hz:

Nedenfor er tegnet svingningsmønsteret for to sinus-toner med frekvensen 440 og 443 Hz: Appendiks 1: Om svævning: Hvis to toner ligger meget tæt på hinanden opstår et interessant akustisk og matematisk fænomen, der kaldes svævning. Det er dette fænomen, der ligger bag alle de steder, hvor

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium April 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... 1. Skæringer med koordinatakserne...

Læs mere

Matematik A 5 timers skriftlig prøve

Matematik A 5 timers skriftlig prøve Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed

Læs mere

Fable Kom godt i gang

Fable Kom godt i gang Fable Kom godt i gang Opdateret: 26-03-2018 Indholdsfortegnelse 1. Først skal du installere programmet på din computer 3 2. Når programmet er installeret er du klar til at pakke robotten ud 4 3. Nu er

Læs mere

Introduktion til den afledede funktion

Introduktion til den afledede funktion Introduktion til den afledede funktion Scenarie: Rutsjebanen Tilsigtede viden Bredere kompetencemål Nødvendige matematiske forudsætninger Tid Niveau Materialer til rådighed At give en forståelse for konceptet

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249 Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2 Eventuelle kommentarer kan sendes til olav@mathaaudk

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra

Læs mere

DATALOGI 1E. Skriftlig eksamen torsdag den 3. juni 2004

DATALOGI 1E. Skriftlig eksamen torsdag den 3. juni 2004 Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI 1E Skriftlig eksamen torsdag den 3. juni 2004 Opgaverne vægtes i forhold til tidsangivelsen herunder, og hver opgaves besvarelse bedømmes

Læs mere

Fable Kom godt i gang

Fable Kom godt i gang Fable Kom godt i gang Vers. 1.3.1 Opdateret: 29-08-2018 Indholdsfortegnelse 1. Installer programmet 3 2. Pak robotten ud 5 3. I gang med at programmere 6 4. Programmér Fable til at køre fra 90 til -90

Læs mere

Kom godt i gang med Fable-robotten

Kom godt i gang med Fable-robotten Kom godt i gang med Fable-robotten 1. Først skal du installere programmet på din computer. Gå ind på shaperobotics.com og under support vælger du download: Her vælger du, under PC App om du kører Windows

Læs mere

Løsninger til øvelser i kapitel 1

Løsninger til øvelser i kapitel 1 Øvelse 1.1 Øvelse 1. Øvelse 1.3 Afspil animationerne og forklar med dine egne ord, hvad du ser. a) Afspil lydfilerne og forklar med dine egne ord, hvad du hører. Frekvenserne fordobles for hver oktav.

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra

Reeksamen i Lineær Algebra Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning

D = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Notesæt - Eksempler på polær integration

Notesæt - Eksempler på polær integration Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Evaluering Matematik på htx

Evaluering Matematik på htx Evaluering af Matematik på htx Sommeren 2006 1 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Eksamensresultaterne i tal... 4 Matematik B... 4 Matematik A (ordinær prøve)... 5 Matematik A (forsøgsprøve)... 6 Vurdering

Læs mere