konstant? S1 rum1 S2 rum2

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "konstant? S1 rum1 S2 rum2"

Transkript

1 INTRO Indhold MATHeCADEMY... 2 PYRAMIDeUDDANNELSE... 2 LÆRINGSMØDER... 2 KOMMENTARER... 3 INDHOLDSBESKRIVELSE Talesprog & talsprog, sand & falsk abstraktion, fortolkning & forførelse Demokratiets IDB Blyantsdilemmaet Talesprog og talsprog Falske og sande abstraktioner Mate-matik nedefra og meta-matik oppefra... 7 Studiets organisering... 8 Pyramideundervisning... 8 Periodens seminar... 8 Periodens arbejde... 8 Eksamensprojekt... 9 C1 C2 A1 A2 T1 T2 S1 S2 PoMo KL GE Fra bunke til bundt - mangfoldighed, bundtning & stakning Uforudsigelig variation kan forudsiges af gennemsnitstal Sammenstakning af konkrete og abstrakte stakke Sammenlægning af per-tal Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning Stakke i tid, konstant og forudsigelig variation Stakke i rum, geometri Stakke i gitre, koordinatgeometri Mængde-matematik eller mangfoldigheds-matematik Kvantitativ litteratur, Algebra: Opsamle & opdele Geometri: Jordmåling MATHeCADEMY: Matematik nedefra

2 MATHeCADEMY MATHeCADEMY tilbyder gratis PYRAMIDeUDDANNELSE til matematiklærere, som vil undervise i mangfoldighedsbaseret matematik nedefra, efter naturmetoden. Materialet er udviklet i forbindelse med web-baseret fjernundervisning i liniefaget matematik på et dansk seminarium. MATHeCADEMY flytter autoriteten fra biblioteket tilbage til laboratoriet, hvor matematikken opstår gennem 2*4 opgaver i at tælle og regne i tid og rum. C1&2: Tæl, A1&2: Regn, T1&2: Tid, S1&2: Rum. Matematik nedefra opbygger matematikken på baggrund af aktiviteter i et Tæl&Regn i Tid&Rum TR-laboratorium hvor 8 læringsmøder med mangfoldigheden finder sted efter mottoet først gribe så begribe. I modsætning til matematik oppefra som udleder matematikken fra bibliotekets mængde-begreb efter mottoet først lære så anvende. Primærskolens matematik læres gennem sætningsfrie læringsmøder med sætningens grundled, dvs. som automatisk grib&begrib - læring. Herved udvikles tavs kompetence og individuelle sætninger, som kommer fra og valideres i laboratoriet (CATS1) Sekundærskolens matematik læres gennem sætningsfyldte læringsmøder med sætningens grundled, dvs. som automatisk sladder - læring. Herved bliver matematik mangfoldighedslære kommende fra og valideret i laboratoriet (CATS2). PYRAMIDeUDDANNELSE PYRAMIDeUDDANNELSE er 8 studerende i 2 teams á 4 studerende som vælger 3 par og 2 instruktører på skift. Læreren støtter instruktørerne som underviser hver deres team. Et par samarbejder om at løse tæl&regn-opgaverne, om at stille og rette hinandens rutineopgaver og om at udføre en undervisningsopgave med en rapport rig på observationer af både genkendelse og erkendelse, dvs. af både assimilation og akkommodation. Instruktører retter tæl&regn-opgaverne med støtte fra læreren. Hvert par opponerer på et andet pars rapport. Den studerende betaler for sin undervisning ved at være støttelærer på en ny gruppe med 8 studerende. 1 støttelærer 2 instruktører 3 par 2 teams 8 studerende og 1 støttelærer På denne måde vil mangfoldigheds-baseret matematik nedefra brede sig som en selvreproducerende virus på Internettet indtil den kommer frem om ti år når halvdelen af matematiklærerne er gået på pension ude af stand til at reproducere sig og gøre mængde-baseret matematik relevant for de matematikstuderende. LÆRINGSMØDER SPØRGSMÅL C1 Hvordan optælles mangfoldighed? tæl1 Hvordan omtælles: T = 8 =? 3s T = 6 kg =?$ Hvordan optælles i standardbundter? C2 tæl2 A1 regn1 A2 regn2 T1 tid1 T2 tid2 Hvordan kan vi regne os frem til slut-tallet, hvis tilvæksten er uforudsigelig? Hvordan sammenstakkes konkrete stakke? T= 27+16= 2 ti 7+1 ti 6= 3 ti 13=? Hvordan sammenstakkes abstrakte stakke? Hvordan sammenlægges per-tal? Hvordan kan vi vende en regneproces om fra fremad-regning til tilbage-regning? Hvordan kan vi regne os frem til sluttallet, hvis tilvæksten er SVAR Ved at bundte og stakke at optælle T i 3ere som T = (T/3)*3. T= 8=?*3=?3ere, T= 8=(8/3)*3 = 2*3 +2 = 2*3 +2/3*3 = 2 2/3*3 Hvis 4kg = 2$ så er 6kg = (6/4)*4kg = (6/4)*2$ = 3$ Ved bundtning og stakning i en mange-stak (antal, polynomium): T = 423 = = 4titi+2ti+3 = 4*B^2+2*B+3 Hvis optælling kan bagud-sige, at gennemsnittet er 8.2 og spredningen er 2.3, kan vi forud-sige, at det næste tal vil ligge i intervallet: gennemsnit ± 2*spredning, dvs. 8.2 ± 4.6, med 95% sandsynlighed Sammenstakning kan give overlæs som fjernes ved en omstakning og ombundtning forudsagt af omstaknings-ligningen T = (T-b)+b. T = = 2 ti 7+1 ti 6 = 3 ti 13 = 3 ti 1 ti 3 = 4 ti 3 = 43 Ved at bruge menter i lodrette tal-opstillinger, og FYIS-ligningen T = (a+b)*(c+d) = ac + (ad+bc) + bd i vandrette talopstillinger $/dag-tallet a skal ganges med dag-tallet b før det kan tillægges det totale $-tal T: T2 = T1 + a*b 6$/dg + 8$/dag = 7.2$/dag 1/2 af 2 coke + 2/3 af 3 coke= 3 af 5 coke= 3/5 af 5 coke 1/2 af 4 coke + 2/3 af 3 coke= 4 af 7 coke= 4/7 af 7 coke Ved at overflytte tal og vende deres regnetegn: x*3+2=14 vendes til x = (14-2)/3. Eller generelt: x+a=b vendes til x=b-a, x*a=b vendes til x=b/a, x^a=b vendes til x=a b, a^x=b vendes til x=logb/loga Ved anvendelse af konstante vækstligninger: Hvis Ko = 30 og K/n = a = 2, så er K7 = Ko+a*n = 30+2*7 = 44 2

3 S1 rum1 S2 rum2 KL PM GN konstant? Hvordan kan vi regne os frem til sluttallet, hvis tilvæksten er variabelt? Hvordan kan vi beskrive stakkes rumlige egenskaber som areal og diagonal? Hvordan kan vi beskrive figurers rumlige egenskaber? Hvordan kan vi regne os frem til punkter og linier? Hvordan kan vi bruge den nye regneteknologi? Hvad beskriver talsprogets kvantitative litteratur? Har talsprogets litteratur også genrerne fakta, fiktion og fidus? Hvad er forskellen på moderne og postmoderne matematik Kan geometriens begreber også opstå i laboratoriet? Hvis Ko=30 og K/K =r= 2%, så er K7= Ko*(1+r)^n = 30*1.02^7= Ved anvendelse af variable vækstligninger: Hvis Ko = 30 og K = 2 og K = -1, så er K = Ko+b*n+a*n^2 Hvis Ko = 30 og dk/dx = K, så er K = K-Ko = K dx Ved den Græske geometris 3 Pythagoras er, mini, midi og maxi. Ved den arabiske geometris 3 vinkel-side relationer sina=a/c, cosa=b/c og tana=a/b Ved rumfangsformler, samt ved forskellige typer 2-dimensional afbildning af 3-dimensionale figurer Ved brug af koordinatsystemet: Hvis Po(x,y) = (3,4) og y/ x = (y-4)/(x-3) = 2, så er P1(8,y) = (8,2*(8-3)+4) = (8,14) Med indførelse af computeren kan vi nu regne på tal, tal-sæt (vektorer) og på vektor-sæt (matricer). En talfortælling fortæller om mangfoldighed i tid og rum. Talesproget og talsproget har samme genrer:. Fakta er Da-Så beregninger eller FritFalds-beregninger. Fiktion er Hvis-Så beregninger eller Affalds-beregninger. Fidus er Hvad-Så beregninger eller Dødsfaldsberegninger Moderne matematik har mængden som sit grundbegreb og fremstiller matematikken oppefra som eksempler på abstraktioner, Postmoderne (og førmoderne) matematik har mangfoldigheden som sit grundbegreb og fremstiller matematikken nedefra som abstraktioner fra eksempler Geometri betyder jordmåling. Et område kan opdeles i mangekanter, så i trekanter og til sidst i retvinklede trekanter, halv-stakke. En a*b stak har areal a*b, og en diagonal med længde c som findes af Pythagoras a^2+b^2=c^2. Vinklen kan findes ved tana= a/b, som ombundter a i b ere. Også rummåling hører under geometri, hvor kantede og runde former har overflader og rumfang. KOMMENTARER Fremstillingsformen er valgt for at tilbyde en mulighed for læring i alle fire læringsrum. De fire læringsrum stammer fra de fire forskellige svar på spørgsmålet hvor kommer begreber fra - oppefra eller nedefra, udefra eller indefra? De to traditionelle læringsrum, meddelelsesrummet og konstruktivisme-rummet, siger hhv. oppefra&udefra og oppefra&indefra, de to oversete læringsrum, fortællerummet og mesterlærerummet, siger hhv. nedefra&udefra og nedefra&indefra. De traditionelle læringsrum tager udgangspunkt i faget og ser verden som anvender af matematik. De oversete læringsrum ser verden som skaber af matematik, og tager udgangspunkt i mangfoldighed under devisen først gribe, så begribe. Meddelelsesrummet og fortællingsrummet etablerer sætningsfyldte læringsmøder med sætninger med hhv. abstrakte og konkrete grundled. Konstruktivismerummet og mesterlærerummet etablerer sætningsfrie læringsmøder med hhv. abstrakte og konkrete grundled. Matematikkens begreber kan således fremstilles på to forskellige måder, oppefra eller nedefra. Historisk er matematikken opstået nedefra som abstraktioner fra eksempler. Men i dag er matematikken vendt på hovedet og fremstilles oppefra som eksempler på abstraktioner, dvs. som noget der burde kaldes meta-matik i stedet for den historiske mate-matik, som så kunne kaldes matematik nedefra efter naturmetoden. Matematik nedefra er udviklet gennem en undersøgelse, som med baggrund i det globale matematik-fravalgs problem stillede spørgsmålet findes der en postmoderne matematik?. Undersøgelsen opstillede den hypotese, at det er metamatik, der fravælges, ikke mate-matik. For at teste denne hypotese udvikledes et undervisningsmateriale i postmoderne matematik nedefra inspireret af matematikken historiske udvikling. Undersøgelsen viste at matematik nedefra er en forskel som gør en forskel både i undervisningen og i læreruddannelsen. Dette kompendium er således en redigeret form af dette materiale. Først angives en oversigt over de 8 studieenheder med tilhørende udforskningsspørgsmål. I indledningen skitseres tanken bag matematik nedefra, ønsket om at opbygge en matematik på et forførelsesfrist grundlag, så den fremstår som sand udforskning af noget som er og altid har været i verden, verdens mangfoldighed, i modsætning til fortolkning af et problematisk mængdebegreb som blev udviklet omkring år Mate-matik nedefra er således mangfoldighedsfortællinger, hvor meta-matik oppefra er mængde-fortællinger. 3

4 INDHOLDSBESKRIVELSE C1 Mangfoldighed kan optælles i stakke ved tæl&stak-ligningen: T = (T/b)*b Mangfoldighed findes i tid og rum: Sæt fingeren på pulsen, og sæt en streg for hver gentagelse. Tidslig mangfoldighed bliver da overført til rumlig mangfoldighed gennem en ikonsættelse, som kan organiseres forskelligt, som: 1. Streger ved siden af hinanden: 2. Streger samlet i talsymboler (4 streger i 4-tallet) 3. Bundtet og stakket: -> -> 2 3s = 2*3 Mangfoldighed kan ombundtes (omtælles) til en anden bundtstørrelse: T = 3 7ere = 3*7 =?*4 =? 4ere Fjernes 4ere, optælles i 4ere. Processen at fjerne 4ere ikonsættes som /4 og italesættes som optalt eller opdelt i 4ere. Tæl&stak-ligningen får da udseendet T = (T/4)*4. T/4 kaldes et per-tal. Svaret kan optælles eller forudsiges ved regning: T=3 7ere=3*7=(3*7/4)*4=5*4+1=5*4 + ¼*4=(5 ¼)*4 Gange betyder standard-ombundtning i ti ere: T = 3 6ere = 3*6 = 18 = 1*10 + 8*1. Ombundtning i tiere giver decimal-tal og procent-tal: T= 3 6ere= 3*6= 18= (18/10)*10= (1 8/10)*10=1.8*10 T = 3 6ere = 3*6 = 18 = (18/100)*100 = 18%*100 Sukker kan optælles på forskellige måder, f.eks. som kilogram, liter, kroner, procent osv. Bundtningsformen kan skiftes ved en ombundtning (omveksling): 2 kg = 5 $ = 6 liter = 100 %, T = 7 kg =? T = 7 kg = (7/2)*2kg = (7/2)*5 $ = $ T = 7 kg = (7/2)*2kg = (7/2)*6 litres = 21 liter T = 7 kg = (7/2)*2kg = (7/2)*100 % = 350 % P = 5% = (5/100)*100% = (5/100)*2 kg = 0.1 kg Også bundter kan bundtes i bundter af bundter, bundter og ubundtede, så en given mangfoldighed kan altid italsættes som en mangestak (et polynomium, et antal): T=234=2 bundter-af-bundter+3 bundter+4 ubundtede. T = 2345 = = 2*B^3 + 3*B^2 + 4*B + 5*1. T = 2 7ere. Hvor ti-bundteren optæller bundt + 4, dvs. 14, vil tolv-bundteren optælle bundt + 2 dvs. 12. Altså er T = (14)10 = (12)12 C2 Uforudsigelige tal kan forudsiges af det gennemsnitlige niveau og variation Optælling af de forskellige muligheder i et vind-eller-tab spil fører til Pascals trekant. Tal kan variere uforudsigeligt f.eks i spørgeskemaundersøgelser. Optælling giver en tabel over hyppigheden, hvoraf den gennemsnitlige niveau og variation kan beregnes. Disse gennemsnitstal bestemmer et interval som med 95% sandsynlighed vil indeholde det næste tal: T = Tgns. ± 2* Tgns. A1 Overlæs ved sammenstakning fjernes af omstakningsligningen T = (T-b)+b T = = 3 ti ti 9 = 5 ti 17 =? Overlæs fjernes ved omstakning og ombundtning. Først omstakkes overlæsset ved at fjerne 10 1ere: T = 17 = (17-10)+10 = Så ombundtes 10*1 til 1*10, som så overføres til 10erne som i bogføring: T = = 3t8+2t9 = 5t17 = (5+1)t(17-10) = 6t7= 67 T = 38+29=3ti8+2ti9=5ti17=5ti1ti7 =6ti7=67 Processen at fjerne 10 ikonsættes som -10 og italesættes som minus 10. Omstaknings-ligningen får da udseendet T = (T-b)+b. 4

5 Svaret kan findes ved optælling eller forudsiges ved regning. Gentaget sammenstakning kan give store overlæs: T = 4*18 = 4*(1ti8) = 4ti32 = 4ti3ti2 = 7ti2 = 72 A2 Per-tal sammenlægges som totaler $/dag-tallet a skal ganges med dag-tallet b før det kan tillægges det totale $-tal T: T2 = T1 + a*b 2dage á 6$/dg + 3dage á 8$/dag = 5dage á 7.2$/dag 2dage á 6% + 5dage á 8% = 7dage á 7.4% 1/2 af 2 coke + 2/3 af 3 coke= 3 af 5 coke= 3/5 af 5 coke 1/2 af 4 coke + 2/3 af 3 coke= 4 af 7 coke= 4/7 af 7 coke Gentaget og omvendt sammenlægning af pertal fører til Integration: T2=T1+a*b; T2-T1= +a*b; T= a*b= y*dx Differentiation: T2=T1+a*b; a= (T2-T1)/b= T/ b= dy/dx T1 Fremadregning kan vendes til tilbageregning x*3+2=14 -> (x*3)+2=14 -> x=(14-2)/3 Fremadregning 4*3=? kan vendes til tilbageregning (en ligning)?*3=12 eller x*3=12. *3 /3 frem: x > 12 tilbage: 4 < 12 Også gentaget beregning 4*3+2 kan vendes: *3 +2 from: x > x*3 > (x*3)+2 tilbage: 4 < 12 < 14 /3-2 Frem- og tibageregning kan danses på gulvet eller opstilles i kolonner i et regneskema som FLYT& VEND metoden: Flyt over og vend regnetegnet. a =? T = b + a*n T = 80 b = 20 n = 5 T = b + (a*n) T-b = a*n (T-b)/n = a (80-20)/5 = a 12 = a Kontrol: 80 = 20+12*5 80 = 80 T2 Stakke i tid kan variere med konstant eller variabel tilvækst En mangfoldighed kan være konstant eller variabel. En variabel mangfoldighed har både et niveau T og en variation, eller tilvækst, T = Tslut-Tbeg Tilvæksten af en stak T=c*b kan være et tal eller en %: T = c*b + c* b (+ c* b), eller T/T c/c + b/b Tilvæksten kan være konstant eller variabel: tal T = a T = b + a*x procent T = r*t T = b * (1+r)^x tal&% T = r*t + a T/a = R/r, 1+ R = (1+r)^x voksende tal T = b + a*x T = 1/2*a*x^2 + b*x + c forudsigelig dt = y*dx T = b + y*dx, y = T S1 Stakke i rum kan omformes, gøres runde mm.: a*b=(a*b/c)*c = (a*b)^2; a=a/b*b=tana*b Et område kan opdeles i mangekanter, så i trekanter og til sidst i retvinklede trekanter, halv-stakke. En a*b stak har areal a*b, og en diagonal med længde c som findes af Pythagoras a^2+b^2=c^2. Vinklen kan findes ved tana= a/b, som ombundter a i b ere. Et kvadrat med diameter d har omkredsen c = d*4* sin(180/4). En cirkel med diameter d har omkredsen c= d*n*sin(180/n)= d*π, hvor n->. 5

6 S2 Former og positioner kan forudsiges når de placeres i et gitter I en a*b stak har øverste højre hjørne P koordinaterne P(b,a). En geometrisk figur har punkter P(x,y), hvor En skrå ret linie: y = a*x+b En lodret ret linie: x = c En cirkel med radius r: (x/r)^2 + (y/r)^2 = 1 En ellipse med radius a og b: (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 En hyperbel: y*x = a En parabel: y = a*x^2 + b*x + c Hvis Po(x,y) = (3,4) og hvis y/ x = 2, så er P1(8,y)= (x+ x,y+ y)= ((8-3)+3,4+2*(8-3))= (8,14). Computere kan beregne bade tal, talsæt (vektorer) og vektorsæt (matricer KL Kvantitativ litteratur: Fakta, fiktion og fidus Kvantitativ litteratur forekommer inden for algebra (genforening), geometri (jordmåling), økonomi og naturlære, hvor den er grundlaget for den moderne tid ved at kunne forudsige en fysisk masses adfærd i rum og tid. Der er tre genrer for kvantitativ litteratur: - Fakta er da-så beregninger, som kvantificerer det kvantificerbare, og beregner det beregnelige: Da prisen er 4 kr/kg, så koster 6 kg 6*4 = 24 kr. - Fiktion er hvis-så beregninger, som kvantificerer det kvantificerbare, og beregner det uberegnelige: Hvis indkomsten er 4 mio$/år, så vil 6 års indkomst være 6*4 = 24 mio$. - Fidus er hvad-så beregninger, som kvantificerer det ikke-kvantificerbare: Hvis konsekvensen brækket ben K sættes til 2 mio$, og hvis sandsynligheden S sættes til 30%, så vil risikoen R være R = K*S = 2*0.3 = 0.6 mio$. Der er tre handlemuligheder over for kvantitativ litteratur: Fakta kontrolberegnes, fiktion scenarieberegnes, fidus henvises fra kvantitativ behandling i talsproget til kvalitativ behandling i talesproget. PoMo Hvad er forskellen på moderne og postmoderne matematik? Her sammenlignes moderne mængdematematik med postmoderne mangfoldighedsmatematik. Moderne matematik har mængden som sit grundbegreb og fremstiller matematikken oppefra som eksempler på abstraktioner, Postmoderne (og førmoderne) matematik har mangfoldigheden som sit grundbegreb og fremstiller matematikken nedefra som abstraktioner fra eksempler GE Kan geometriens begreber også opstå i laboratoriet? Geometri betyder jordmåling. Et område kan opdeles i mangekanter, så i trekanter og til sidst i retvinklede trekanter, halv-stakke.en a*b stak har areal a*b, og en diagonal med længde c som findes af Pythagoras a^2+b^2=c^2. Vinklen kan findes ved tana= a/b, som ombundter a i b ere. Også rummåling hører under geometri, hvor kantede og runde former har overflader og rumfang. GN giver en eksperimenterende opbygning af geometrien som supplement til S1. Appendiks C giver en beskrivelse af studieformen pyramideundervisning samt forslag til dagsordner for 12 læringsmøder med mangfoldigheden, omfattende faglige opgaver, rutineopgaver og didaktiske opgaver. 6

7 0. Talesprog & talsprog, sand & falsk abstraktion, fortolkning & forførelse Inden for demokratiet er det vigtigt at skelne mellem information og debat. Inden for videnskab er det vigtigt at skelne mellem forskning og fortolkning. Inden for sprog er det vigtigt at skelne mellem sprog og metasprog, og mellem talesprog og talsprog. Inden for matematik er det vigtigt at skelne mellem sande og falske abstraktioner. 0.1 Demokratiets IDB Demokrati er et valg mellem alternativer gennem en IDB-proces. Først informerer vi sig om alternativerne, så debatteres alternativerne og til sidst træffes en beslutning. Information er forhold som ikke kan være anderledes og afsluttes derfor med et udråbstegn!. Debat er forhold som kan være anderledes og afsluttes derfor med et spørgsmålstegn?. I det første demokrati, det græske, underviste de vidende, sofisterne (sophia betyder viden på græsk), i forskellen på information og debat, på natur og vedtægt, på logos og nomos. Nutidens sofister hedder postmodernister eller poststrukturalister. De udviser skepsis over for metafortællinger, eller sagt på en anden måde, de skelner mellem naturlig korrekthed og politisk korrekthed, som f.eks. illustreres i blyantsdilemmaet : 0.2 Blyantsdilemmaet Anbragt mellem en lineal og en ordbog kan en blyant udpege sin længde, men ikke sin betegnelse. Sætningens grundled, tingen, kan altså selv falsificere et tal-udsagn om sin længde, men ikke et ord-udsagn om sin betegnelse. Tal-udsagn om længde kan derfor udtrykke en naturlig korrekthed, der kan danne basis for forskning, dvs. for validerbare udsagn baseret på troværdige data. Ord-udsagn kan kun udtrykke en politisk korrekthed, en fortolkning, som hvis den bliver fremført som forskning bliver til forførelse. Heraf den postmoderne grundsætning: Der findes ingen sandhed kun forførelse. 0.3 Talesprog og talsprog Ved hjælp af en lineal og en ordbog kan vi sætte tal og ord på ting, ting kan ital-sættes i vort tal-sptrog og ting kan itale-sættes i vort talesprog. Vi har således både ord-sætninger med grundled, udsagnsled og genstandsled; og tal-sætninger, ligninger, med tal, lighedstegn og regnestykker. Men også sætninger kan gøres til genstand for beskrivelse fra et over-sprog, et meta-sprog. Talesprogets meta-sprog hedder grammatik, og talsproget meta-sprog hedder matematik. Metasproget beskriver sproget, og sproget beskriver verden. Vore to sprog og deres metasprog kan opfattes som et sprog-hus med to etager: I nederste etage bruges sproget til at beskrive verden, og i den øverste etage bruges metasproget til at beskrive sproget. Bruges metasproget til at beskrive verden opstår der syntaksfejl som Udsagnsordet drak for meget. Matematik beskriver altså ikke verden, matematik beskriver talsproget, og talsproget beskriver verden. SPROGHUSET META-SPROG GRAMMATIK Grundled Konstanter og variabler MATEMATIK SPROG TALE-SPROG Blyanten er rød Areal = længde*bredde TAL-SPROG VERDEN TING I TID OG RUM 0.4 Falske og sande abstraktioner I matematik findes forskning og fortolkning i form af sande og falske abstraktioner. En abstraktioner er sand, hvis alle dens eksempler er sande. En abstraktion er falsk hvis nogle af dens eksempler er falske. Udsagnet 2+2 = 4 er en falsk abstraktion da f.eks. 2uger + 2 dage =16 dage, og 2 m + 2 cm = 202 cm. Udsagnet 2*2 = 4 er en sand abstraktion da 2 toere altid kan omtælles til 4 enere. 0.5 Mate-matik nedefra og meta-matik oppefra Matematik nedefra efter naturmetoden opbygger talsproget og dets grammatik, matematikken, på et forførelsesfrit grundlag som er naturlig korrekt og ikke kun politisk korrekt. Matematik nedefra efter naturmetoden kunne også kaldes mangfoldighedslære, hvis opgave det er at beskrive mangfoldighed med tal som kan optælles eller beregnes, og som kan være konstante eller variable. Matematik som begrunder sig ved henvisning til sig selv kunne modsat kaldes metamatik oppefra. 7

8 Studiets organisering En studiegruppe består af en lærer og 8 studerende som mødes fire semestre med to seminarer pr. semester hver på ½ dag. Første og sidste seminar er på 1 dag. Pyramideundervisning Makkerpar. Hver studerende finder en makker at danne makkerpar med. Makkerparret er fælles om at løse periodens didaktiske opgave, og fælles om at opponere på en didaktisk opgave fra et andet makkerpar, som findes inden for periodens teampar. Et makkerpar opstiller, udveksler og retter indbyrdes et sæt rutineopgaver. Et makkerpar mødes en gang om ugen. Team. Hvert makkerpar finder et andet makkerpar at danne team med. Teamet er fælles om at løse periodens faglige opgave. Dette arbejde tilrettelægges på periodemødets team-time. Teamet mødes en gang om ugen til undervisning varetaget af periodens instruktor. Instruktorpar. Hvert team udpeger hver periode på skift en periodeinstruktor som står for periodens undervisningen. En instruktor virker i to perioder, oplæringsperioden og instruktionsperioden. Instruktorparrets makkerpar danner et midlertidigt makkerpar i instruktionsperioden. Oplæringsperioden begynder med en times instruktion af læreren på et periodeseminar. Herefter mødes instruktorparret en gang om ugen med hinanden og en gang om ugen til konference med læreren. Ved det følgende seminar underviser instruktorparret. I instruktionsperioden underviser instruktoren sit team en gang om ugen, mødes med makkeren en gang om ugen og mødes til konference med læreren en gang om ugen. Instruktorparret er fælles om at aflevere en didaktisk rapport om deres undervisning i stedet for periodens didaktiske rapport. Læreren opponerer på instruktorparrets didaktiske opgave. For den enkelte studerende betyder denne organiseringsform to ugentlige møder, et med makkeren og et med teamet. Hvis vi er instruktor kommer hertil et konferencemøde med læreren. Periodens didaktiske opgave er en træning til det endelige eksamensprojekt. Samt et middel til at opnå uddannelsens endelige mål, at uddanne den studerende til en fagdidaktikker, som kan observere, reflektere og arbejde i team. Periodens seminar De 2*4 4-timers periodeseminarer vil typisk have følgende dagsorden: Lektion 1+2: Introduktion til periodens fagbilag. Instruktorpar 8 underviser alle. Lektion 2: Fællessang. Afslutning af periode 7. Instruktorpar 7 fremlægger deres instruktoropgaver. Team3 fremlægger et afsnit fra appendiks A samt en fagdidaktisk artikel. Lektion 3: Team-dannelse og TeamTime. Der dannes makkerpar mhp. den didaktiske opgave. Der dannes teams mhp. den faglige opgave. Gensidig opponering aftales. Teamet mødes og aftaler arbejdsgangen for næste periode. Læreren underviser instruktorpar 9. Periodens arbejde Der vil være to ugentlige møder, et didaktisk møde med makkeren om den didaktiske opgave, et med fagligt møde med teamet om den faglige opgave. Instruktorparrene 8 og 9 har desuden en ugentlig instruktorkonference med læreren. Eventuelle spørgsmål stilles til teamets instruktor. Et fagligt møde vil typisk bestå af et undervisningsforløb og et opgaveregningsforløb. Instruktoren står for undervisningen som gerne må omfatte besvarelsen af opgaver udleveret til teamet ugen forinden. Uge ) Læs periodens fagbilag samt relevante dele af lærebogen. 2) Løs periodens rutineopgaver og send et opgavesæt til din makker. Nedskriv observationer i en logbog, og vær særlig opmærksom på eksempler på assimilering og akkommodering (genkendelse og erkendelse), dvs. hvor du kan genbruge eller må ændre eksisterende tænkemåder. 3) Påbegynd løsning af den faglige opgave og nedskriv undervejs observationer i en logbog. 4) Påbegynd løsning af den didaktiske opgave og nedskriv undervejs observationer i en logbog. I stedet for den didaktiske opgave skriver instruktorerne en instruktoropgave, som er en didaktisk projektopgave der beskriver, analyserer og vurderer periodens instruktion og som indeholder både observationer og fagdidaktiske referencer. Uge ) Regn det modtagne rutineopgavesæt og returner det til makkeren. 2) Færdiggør den didaktiske opgave. Besvarelsen skal have kronikformat (ca anslag). Indlæg opgavebesvarelsen i tråden 8

9 periode9 i mappen didaktiske opgaver og send den til opponenten. 3) Færdiggør den faglige opgave. Indlæg opgavebesvarelsen i tråden periode9 i mappen faglige opgaver og send den til opponenten. Uge ) Der opponeres på den didaktisk opgavebesvarelse fra opponenten. Kommentarerne indeholder en beskrivelse, analyse og vurdering. De er detaljerede og fylder ½ kronik (ca anslag). 2) Det modtagne rutineopgavesæt rettes, kommenteres og returneres til makkeren. 3) Instruktorparrene opponerer på hinandens projektopgaver, som fremlægges på næste møde. Kommentarerne indlægges i tråden periode8 i mappen didaktiske opgaver. Nedskriv undervejs observationer i en logbog. 4) Hvert instruktorpar opponerer på de faglige opgaver fra det andet instruktorpars teams. Kommentarerne indlægges i tråden periode8 i mappen faglige opgaver. Uge 5+6. Udvidelse af personlig arbejdsportfolio. Indsæt bl.a. 1) periodens didaktiske opgave og opponentens svar, 2) periodens faglige opgave, 3) refleksionsbrevet til kusine Lise, som sendes i kopi til læreren. 4) Næste seminar forberedes ved at læse det indlagte materiale. Eksamensprojekt I eksamensprojektet udvælges en af de didaktiske opgaver, som gives en uddybende beskrivelse analyse og vurdering under anvendelse af IDB-princippet. IDB-princippet indeholder 3 faser: Information, Debat og Beslutning. I informationsfasen informere man sig om hvilke alternativer der findes inden for det valgte område. I debatfasen diskuteres disse alternativer i form af didaktiske mål-middel overvejelser. Endelig træffes en beslutning om hvordan tilrettelæggelsen skal være, næste gang der undervises i det pågældende emne hvorefter denne beskrives i detaljer. Eksamensprojektet vil typisk fylde 5000 ord. Projektet afsluttes med at lave et udkast til et undervisningsforløb over timer, som indeholder - planer for hver uge (3 timer), herunder forslag til hjemmeopgaver. - mulighed for tværfaglig undervisning med et eller flere andre fag. - referencer til relevant didaktisk og pædagogisk teori. 9

2m/s voksende? til 4m/s = 18m). Kort sagt, faget må respektere, at geometri er vokset ud af det, ordet betyder på græsk, jordmåling.

2m/s voksende? til 4m/s = 18m). Kort sagt, faget må respektere, at geometri er vokset ud af det, ordet betyder på græsk, jordmåling. KOMMOD-rapporten Allan.Tarp@gmail.com, læseplansarkitekt, september 2002 KOMMOD-rapporten giver et alternativt svar til KOM-projektets kommissorium i forventning om at dettes giver, Naturvidenskabeligt

Læs mere

Sammenlægning af per-tal

Sammenlægning af per-tal A2 Sammenlægning af per-tal 1.1 Sammenlægning af stakke...2 1.1.1 Forhøje en stak...2 1.1.2 Forlænge en stak...2 1.2 Sammenlægning af Per-tal I... 1.2.1 Gentaget sammenlægning af per-tal, integration...

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Interaktiv Whiteboard og geometri

Interaktiv Whiteboard og geometri Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere

Indholdsfortegnelse. Regneark for matematiklærere Indholdsfortegnelse Forord... 3 Diskettens indhold... 4 Grafer i koordinatsystemet... 5 Brug af guiden diagram... 5 Indret regnearket fornuftigt... 9 Regneark hentet på Internettet... 15 Læsevenlige tal

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006 05-B-2-U Typeopgave 2 Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/a-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Handelsskolen Silkeborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Frede

Læs mere

AVU trin 2 prøver i matematik Facitforslag Dec. 2005. ISBN: 87-90652-65-7 ISSN: 1603-9432 EH-Mat 2006

AVU trin 2 prøver i matematik Facitforslag Dec. 2005. ISBN: 87-90652-65-7 ISSN: 1603-9432 EH-Mat 2006 Denne udgave på internettet er ment som en gennemsynsudgave. Ønsker du at anvende materialet, kan du købe materialet i en trykt version. Et VUC eller en anden undervisningsinstitution kan købe en digital

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

VisiRegn og folkeskolens skriftlige afgangsprøve i matematik, maj-juni 2000 Inge B. Larsen (ibl@dpu.dk)

VisiRegn og folkeskolens skriftlige afgangsprøve i matematik, maj-juni 2000 Inge B. Larsen (ibl@dpu.dk) VisiRegn og folkeskolens skriftlige afgangsprøve i matematik, maj-juni 2000 Inge B. Larsen (ibl@dpu.dk) I det følgende gives et forslag til, hvordan en elev i 9. klasse med programmet VisiRegn til rådighed

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007 07-0-6-U Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen

Læs mere

Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Ikke så vigtigt (bortset fra beløb). Alle decimaler skal med i mellemregninger.

Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Ikke så vigtigt (bortset fra beløb). Alle decimaler skal med i mellemregninger. Tal og brøker Der anvendes blandet tal. Der anvendes ikke blandet tal, men uægte brøker. Anvender både blandet tal og brøker. Anvender både blandet tal og brøker. Antal cifre Der skal afrundes til et passende

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006 05-A-2-U Typeopgave 2 Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består af 6 opgaver, der indgår

Læs mere

Håndbog for net-studerende ved IT-Universitetet i København

Håndbog for net-studerende ved IT-Universitetet i København Håndbog for net-studerende ved IT-Universitetet i København Jane Andersen IT-Universitetet i København, Rued Langgaards Vej 7, 2300 København S, jane@itu.dk 31. januar 2005 1. Indledning IT-Universitetets

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

Repetition og eksamensforberedelse.

Repetition og eksamensforberedelse. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) maj-juni 2014 skoleår 13/14 Herning HF og VUC Hf Matematik C

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Uddannelsescenter

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

fsa 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær i Simons klasse 6 En figur af kvarte cirkler

fsa 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær i Simons klasse 6 En figur af kvarte cirkler fsa Folkeskolens Afgangsprøve Matematisk problemløsning Maj 2012 Et svarark er vedlagt som bilag til dette opgavesæt 1 Simons fritidsjob 2 Simons opsparing 3 Højden af en silo 4 Simons kondital 5 Fravær

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke addition bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke - decimaltal bunker osv. Det kan desuden vise decimaler og dermed give eleven visuel støtte

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale SMARTBOARD Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale Materialet må ikke kopieres eller på anden måde videredistribueres Opgave 1 Det grundlæggende a) Skriv med håndskrift på tavlen følgende brug pen eller

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik niveau C Alexander

Læs mere

Introduktion til IBSE-didaktikken

Introduktion til IBSE-didaktikken Introduktion til IBSE-didaktikken Martin Krabbe Sillasen, Læreruddannelsen i Silkeborg, VIA UC IBSE-didaktikken tager afsæt i den opfattelse, at eleverne skal forstå, hvad det er de lærer, og ikke bare

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution Vestegnens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Jack

Læs mere

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse

Lærervejledning. Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning Matematik i Hasle Bakker 4.-6. klasse Lærervejledning I Matematik for 4.-6. klasse sendes eleverne gruppevis ud i for at løse matematikopgaver med direkte afsæt i både natur og menneskeskabte

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hf2 Matematik,

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015. Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Benny Jørgen

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh10-mat/a-1608010 Mandag den 16. august 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2hf Mat C Trine Eliasen

Læs mere

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2

Spørgsmål Nr. 1. Spørgsmål Nr. 2 Spørgsmål Nr. 1 TITEL: Statistik Definition af beskrivende statistik Opdeling af beskrivende statistik i grupperede observationer og ikke grupperede observationer Deskriptorerne typetal og middelværdi

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx111-mat/a-305011 Mandag den 3. maj 011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever.

Beviserne: Som en det af undervisningsdifferentieringen er a i lineære, eksponentiel og potens funktioner er kun gennemgået for udvalgte elever. År Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse HF2-årigt Fag og Matematik C niveau Lærer Søren á Rógvu Hold 1b Oversigt over forløb Forløb 1 Forløb 2 Forløb 3 Forløb 4 Forløb 5 Forløb 6 Forløb

Læs mere

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen)

Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Årsplan for matematik på mellemtrinnet 2015-2016 (Lærere: Ebba Frøslev og Esben O. Lauritsen) Bog: Vi bruger grundbogssystemet Format, som er et fleksibelt matematiksystem, der tager udgangspunkt i læringsstile.

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Side 1/5 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Matematik C Nst 16A Oversigt

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performanc. Læringsmål Faglige aktiviteter. Emne Tema Materialer. ITinddragelse.

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performanc. Læringsmål Faglige aktiviteter. Emne Tema Materialer. ITinddragelse. Fag:matematik Hold:18 Lærer:ym Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer ITinddragelse Evaluering 33-37 Hovedvægten er elevernes forståelse for matematiske begreber.

Læs mere

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

grafer og funktioner trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik grafer og funktioner, trin 1 ISBN: 978-87-92488-11-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2hf Matematik C Lise A.

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Matematik naturvidenskaben om Mange -regning med formelregner

Matematik naturvidenskaben om Mange -regning med formelregner A Matematik naturvidenskaben om Mange -regning med formelregner FORmler FORudsiger Algebra Geometri y = 0 y = b AB = ( x y ) B y = a y = b + a*x r^2 = x^2 + y^2 x r y y/y y = a = a y = b * a^x A sin A

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014 Forenklede Fælles Mål Matematik i marts 27. marts 2014 Læringskonsulenter klar med bistand Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt

Læs mere