Anvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse

Transkript

1 Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse

2 Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere Det aslås at populatiosadele er mellem 0.25 og Begreber: De 0.27 er et pukt-estimat Itervallet 0.25 til 0.29 er et iterval-estimat. Dvs. populatiosadele falder (aslået) idefor pukt-estimat +/- fejl-margi. Fejl-margi er her 0.02

3 Pukt-estimat og -estimator E estimator er e geerel formel, der bruges til at estimere e parameter med, fx. y = y 1 + y + + Et estimat er e kokret udregig af e estimator, ved at idsætte data. 2 y Der ka være mage estimatore for de samme parameter. Hvis populatiosfordelige er symmetrisk er både stikprøve-media og -geemsit estimatore for populatios-middelværdie.

4 E god estimator E god estimator har typisk følgede egeskaber: De er Ubiased dvs. at estimatore i geemsit er lig parametere. De er Efficiet dvs. fejl-margi bliver midre jo mere data der er til rådighed. Stikprøve-mediae er e biased estimator for populatiosmiddelværdie, hvis fordelige ikke er symmetrisk.

5 Notatio e på hatte Stikprøve-geemsittet y er e estimator for populatiosmiddelværdie µ. Geerelt vil vi betege e estimator med e hat ^. ^ Fx. beteger µ e estimator for µ.

6 Kofidesiterval Motivatio: Ifølge udersøgelse: 54% er vilde med pålægschokolade! Spørgsmål: Hvor sikkert er dette estimat? Kofidesiterval Et kofidesiterval agiver et iterval, hvor vi tror parametere ligger. Sadsylighede for at kofidesitervallet ideholder parametere beteges kofidesiveauet. Kofidesiveauet er typisk 0.95 eller 0.99.

7 Kofidesiterval: Typisk opskrift I mage tilfælde er stikprøvefordelige for estimatore (tilærmelsesvis) ormalfordelt. Fx stikprøvegeemsittet. I disse tilfælde er kofidesitervallet givet ved pukt-estimat fejl-margi Spørgsmål: Hvorda fider vi fejl-margi?

8 Kofidesiterval for adele Notatio π : populatios-adel ^ π : stikprøve-adel Bemærk: π er e estimator for π. Atag y = 1 : succes / vild med pålægschokolade y = 0 : fiasko / ikke vild med pålægschokolade Vi har ^ P(1) = π og P(0) = 1-π. Middelværdi og stadard-afvigelse for y (populatioe) er hhv. µ = π og σ = π(1 π)

9 Adele er et geemsit Bemærk: πˆ = y y 1 + y2 + + y i i = Dvs. stikprøve-adele er et geemsit. For geemsit ved vi at stadard-fejle er så for stikprøve-adele er de σ = y σ σ ˆ π = π (1 π )

10 Kofidesiterval for π for stort ^ Da π er et geemsit siger CLT, at π ca. følger e ormalfordelig hvis bare er stor ok. ^ Med 95% sadsylighed vil π falde i itervallet π ±1.96 σ ˆ π Omvedt: Med 95% sadsylighed vil π ligge i itervallet ˆ π ± 1.96 σ ˆ π ^

11 Kofides-iterval: E figur Stikprøvefordelige for π^ % % 2.5% 0.0 ˆ π 1.96 π ( 1 π ) π ˆ π π x ( 1 π ) πˆ πˆ * πˆ πˆ πˆ πˆ πˆ πˆ πˆ *

12 Kofidesiterval I praksis keder vi ikke π, dvs. vi keder ikke stadard fejle: = π (1 π ) σ ˆ π I stedet for π bruger vi estimatet π : ^ Et 95% kofides-iterval for π er u givet ved πˆ ± se hvor se = ˆ π (1 ˆ π ) se = stadard error

13 Eksempel Af 1200 adspurgte i Florida svarer 396 ja til reduktio af abortrettigheder. Fid et 95% kofidesiterval for populatiosadele af ja-sigere. ^ π = se = 95% kofidesiterval:

14 Hvad med et 99% kof. iterval? Et 99% kofidesiterval: πˆ ± se % Et (1-α)100% kofidesiterval ˆ π ( 1 ˆ π ) ˆ π ± z z= α/2 (1 α)% Egeskaber ved kofidesitervaller: o o o Jo højere kofidesiveau, jo større z og jo lægere kofides-iterval Jo større stikprøve () jo kortere kofidesiterval Firdoblig af sikre halverig af kofidesiterval. z

15 Kofidesiterval for middelværdi Igredieser: µ : Populatios-middelværdi y : Stikprøve-geemsit y er et puktestimat for µ. For store stikprøver er y ormalfordelt. Stadardfejle er altid σ σ y = hvor σ er stadard-afvigelse for populatioe. De estimerede stadard-fejl er se = s

16 Eksempel Kofidesiterval for middelværdi er y ± z se, hvor se = s Eksempel: På et spørgsmål om atal seksuelle partere bladt = 231 kvider, var geemsittet y = 4.96 og stadard-afvigelse Fid et 95% kofidesiterval for populatios-middelværdie µ.

17 Kofidesiterval for middelværdi små stikprøver Atag: populatioe er ormal-fordelt. Da er y ormalfordelt uaset stikprøve-størrelse. Hvis vi keder pop. stadard-afvigelse σ er et (eksakt) kofidesiterval givet ved y ± z Hvis σ er ukedt, erstatter vi med stikprøve stadardafvigelse s. Problem: For små stikprøver medfører dette e ekstra usikkerhed. Løsig: Erstat z med t! σ

18 t-fordelige t-fordelige er Klokkeformet og symmetrisk omkrig 0 Stadard-afvigelse er lidt større ed 1 Facoe afhæger af atal frihedsgrader (df). Har lidt tykkere haler ed stadard ormalfordelige. Liger e ormalfordelig for df 30. N(0,1) df = 6 df =

19 Kofidesiterval for små stikprøver For e ormalfordelt populatio er et (1-a)100% kofidesiterval for µ s y ± tα / 2 se, hvor se = hvor df = -1. α/2 α/2 1 α Eksempel: Vi har observeret 29 vægtædriger, hvor y = 3.01 og s = Fid et 95% kof. iterval for µ : Løsig: df = -1 = 28, α = 0.025, så t = t α/2 t α/2

20 t-tabelle a

21 I SPSS SPSS: Aalyze Compare Meas Oe-Sample T-Test

22 Valg af stikprøvestørrelse Hvorda vælger ma stikprøvestørrelse så vi opår e Give fejl-margi ved et Givet kofidesiveau Eksempel: Vi øsker at bestemme et kofidesiterval for π, så Fejl-margi : Max 0.04 Kofidesiveau : 95% Løsig:

23 Geerel løsig for adele For at populatiosadel π vælg Fejl-margi: M Sigifikasiveau: (1-α)100% Stikprøvestørrelse skal da være: z = π ( 1 π ) M 2 Hvis populatios-adele π er helt og aldeles ukedt bruges π = 0.5 i formle (1 α)100% α/2 z z α/

24 Geerel løsig for middelværdi For middelværdie µ vælg Fejl-margi: M Sigifikasiveau: (1-α)100% Stikprøvestørrelse skal da være: = σ z M (1 α)100% 2 Hvis populatiosstadardafvigelse σ er ma ød til at gætte sig frem til. Hellere lidt for stor ed for lille. α/2 z z α/

25 Eksempel Middel atal års uddaelse bladt idiaere Øsker: Fejl-margi: M = 1år Kofidesiveau: 99% Først skal vi gætte σ! Vi tror (æste) alle har mellem 5 og 20 års uddaelse Derfor er vores gæt σ = 2.5 år!