Elementær Matematik. Trigonometri
|
|
- Bjarne Mørk
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Elementær Mtemtik Trigonometri Ole Witt-Hnsen 11
2 Indhold 1. Vinkler...1. Sinus, osinus og tngens Overgngsformler Den retvinklede treknt Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne Projektion på en linie Kordeformlen. Sinusreltionerne Cosinusreltionerne Arelet f en treknt ved trigonometri De 5 trekntstilfælde...14
3 Trigonometri 1 1. Vinkler To hlvlinier med fælles egyndelsespunkt siges t dnne en vinkel. Det fælles egyndelsespunkt kldes for vinklens toppunkt. Set fr toppunktet tler mn om vinklens venstre en og højre en. Det mest lmindelige måltl for vinkler er grdtl. Grdtllet estemmes ved t tegne en irkel med entrum i vinklens toppunkt og med en vilkårlig rdius. Denne irkel inddeles i 36 lige store stykker, og hvert stykke etegnes 1 (én grd). Hele irklen er således 36. Vinklen måles d ved det ntl grder, som den fskærer på irklen. Med denne definition er ligger en vinkel ltid mellem og 36. Bemærk, t 1 ikke er en længde, men fhænger f (fktisk proportionl med) irklens rdius. Lidt mere formelt kn mn sige, t grdtllet for vinklen er 36 gnge den røkdel, som uen udgør f irklens omkreds. v 36 r Vinklen mellem hlvlinierne l og m etegnes (lm). Vi vil nu indføre vinkler, som er negtive og som er større end 36. For t gøre dette tegner vi et koordintsystem og en enhedsirkel med entrum i (,). Vi indlægger d vinklen, så toppunktet er i (,) og l flder smmen med x-ksens positive retning. Vi indfører nu en omløsretning i plnen, således t en drejning mod uret regnes for positiv og modst negtiv. Begrundelsen for dette vlg kunne være, t jordens rottion set fr nordpolen er positiv. Smtidig indfører vi vinkler, som er større end 36 eller mindre end -36, ved drejninger som evæger sig mere end en gng rundt. Ved en retningsvinklen for en hlvlinie l, som hr egyndelsespunkt i O, forstår mn en drejning, der fører x-ksens positive hlvkse over i l. Liniens skæringspunkt med enhedsirklen, kldes for retningspunktet for vinklen.
4 Trigonometri Med udvidelse f vinkelegreet, ses det, t en hlvlinie hr uendelig mnge retningsvinkler. Hvis v er den numerisk mindste, så vil nemlig v + 36, v - 36, v + 36.osv., også føre x over i l. Smtlige retningsvinkler kn d skrives: (xl): v = v + p 36, p Z Med det udvidede vinkelegre, vil vi nu ved en vinkel (lm) mellem to linier l og m forstå en drejning, der fører l over i m. Smtidig vil der (indlysende) gælde (ml) = -(lm). Hvis u, v og w er retningsvinkler for (xl), (xm) og (lm), følger en indskudsreglen for vinkler. (xm) = (xl) +(lm) (lm) = (xm) (xl) w = v - u Vi hr her enyttet x-ksen som den ene hlvlinie, men det er underordnet. Hvis linierne er som vist på tegningen er sætningen indlysende. Der er også underordnet om retningsvinklerne er større eller mindre end 36. Hvis m ligger mellem x og l, vil der derimod gælde: (xl) = (xm)+(ml) (xl) = (xm)-(lm) (xm)=(xl)+(lm) (lm) =(xm) (xl) Vi ser, t såvel indskudssætningen, som udtrykket for en vinkel mellem l og m er uforndret det smme. Hvis linierne ligger i rækkefølgen m, l, x, vil der gælde: (xl) (mx) =(ml) + (lx)+ -(xm) = -(lm)-(xl) (xm)=(xl)+(lm) (lm) =(xm) På smme måde, kn mn vise, t ligegyldig, hvd pleringen er f x, l og m, så gælder indskudssætningen for vinkler, og t mn ltid kn finde en vinkel w mellem to hlvlinier med retningsvinkler u og v som w = v u Eksempel
5 Trigonometri 3 Når mn tler om vinklen mellem to linier, er det i lmindelighed den numerisk mindste vinkel. Vi vil estemme vinklen mellem de to linier l og m, som hr retningsvinklerne u = og v = -37. Vinklen er ifølge ovenstående: w = v u. w = -37 = -57. Den numerisk mindste vinkel er derfor (18-57 )=77.. Sinus, osinus og tngens Der er tegnet et koordintsystem med en enhedsirkel. Ld der være givet en vinkel med grdtl v (evt. større end 36 eller negtiv). Ld x-ksens positive hlvlinie udføre en drejning på v. Skæringspunktet mellem linien og enhedsirklen kldes for retningspunket P for v. Vi definerer herefter os v, (læses: osinus til v), og sin v, (læses: sinus til v), som henholdsvis sisse og ordint til vinklens retningspunkt. P(os v, sin v) v kldes for rgumentet til os v. Efter indførelsen f mtemtiske lommeregnere skriver mn ind imellem os v og sin v, med en prentes omkring rgumentet, som os(v) og sin(v). Det ses umiddelrt, t os = 1, sin =, os 9 =, sin 9 = 1, os 18 = -1, sin18 =, os 7 =, sin 7 = -1 Mn hr for vne, t skrive potenser f os v og sin v uden rug f prenteser. Således skriver mn (os v) som os v. Det må ikke forveksles med os v, d dette etyder, t mn tger osinus f kvdrtet på vinklen. Tilsvrende (sin v) 3 skrives sin 3 v.
6 Trigonometri 4 Det ses f figuren t OP =1. Udregnes OP med fstndsformlen mellem O(,) og P(os v, sin v), får mn. OP 1 (os v - ) (sin v - ) os v sin v 1 Denne vigtige reltion etegnes ofte som grundreltionen mellem osinus og sinus. Foruden sinus og osinus, definerer mn tn v (læses: tngens til v) og ot v (læses: otngens til v). De er defineret ved: sin v tn v, v 9 p 18, osv p Z osv ot v, v p 18, sin v p Z Foreholdene for vinklerne er gjort fordi nævnerne ikke må live nul. Der gælder t tn v ot v =1. I lmindelighed nvender mn nu om dge kun tngens. Vi vil vise, t tn v kn flæses, hvor forlængelsen f OP (vinklens ndet en) skærer irkeltngenten i E. Hældningskoeffiienten for denne linie kn nemlig udregnes ved de to punkter: O(,) og P(os v, sin v) smt punkterne O(,) og T(1,t) (som ligger på tngenten). (Se figuren ovenfor) sin v t osv 1 tn v t.1 Overgngsformler Vi vil nu vise nogle nyttige formler, der knytter sinus, osinus og tngens smmen med vinkler, der hr retningspunkter, der ligger symmetrisk med hensyn til koordintkserne. Sådnne formler kldes for overgngsformler.
7 Trigonometri 5 På den første figur er indtegnet vinklerne v og v. De to retningspunkter P og Q, hr ifølge definition f retningspunkt koordinterne (os v, sin v) og (os(- v), sin(- v)). D punkterne ligger symmetrisk mht. 1. ksen hr de smme sisse og modstte ordinter. Der gælder derfor: os(-v) = os(v) og sin(-v) = - sin v Når vinklen skifter fortegn er osinus uforndret mens sinus skifter fortegn. På den nden figur er indtegnet vinklerne v og 18 v. De to retningspunkter P og Q, hr ifølge definition f retningspunkt koordinterne (os v, sin v) og (os(18 - v), sin(18 - v)). Vinklen 18 - v kn opnås ved en drejning på 18 efterfulgt f en drejning på v. Punkterne ligger derfor symmetrisk mht.. ksen, og hr derfor smme ordint og modstte sisser. os(18 - v ) = - os(v) og sin(18 - v) = sin v To vinkler (som 18 v og v), som tilsmmen er 18 kldes for supplementvinkler. Ovenstående kn derfor formuleres: For supplementvinkler gælder det, t osinus skifter fortegn mens sinus er uforndret. På den første figur, ser vi på vinklerne v og 9 +v. De to retningspunkter P og Q, hr ifølge definition f retningspunkt koordinterne (os v, sin v) og (os(9 + v), sin(9 + v)). Vil søger smmenhængen mellem et punkt (x 1, y 1 ) og et punkt (x, y ), som er drejet 9 i forhold til det første. x 1 vil live drejet op på y-ksen, så y = x 1. y 1 liver drejet ned på x-ksens negtive side, så x = -y 1. Der gælder ltså: (x, y ) =(-y 1, x 1 ). Anvendes dette på koordinterne til de to retningspunkter får mn:
8 Trigonometri 6 os(9 + v ) = - sin(v) og sin(9 + v) = os v Af forskellige grunde nvendes ovenstående formler ikke så ofte, i stedet nvendes formler for v og 9 v. Disse kn imidlertid let opnås ved t ersttte v med v i formlerne ovenfor. os(9 - v ) = - sin(-v) og sin(9 - v) = os(- v) Ved t nvende de første f overgngsformlerne får mn så. os(9 - v) = sin v og sin(9 - v) = os v To vinkler (som v og 9 v), der tilsmmen er 9 kldes for komplementvinkler. Ovenstående overgngsformler, kn derfor formuleres: Når mn ersttter en vinkel med den komplementvinkel, liver sinus til osinus og omvendt. På den sidste figur, ser vi på vinklerne v og 18 + v. På helt tilsvrende måde som før finder vi: os(18 + v ) = - sin(v) og sin(18 + v) = - os v Formlerne kunne i øvrigt være opnået ved t ersttte v med v i fomlerne: os(18 - v ) = - os(v) og sin(18 - v) = sin v Ud fr definitionen f tngens, finder mn følgende overgngsformler for tngens. tn(-v) = -tn v, tn(18 v) = - tn v, tn(9 v) = ot v 3. Den retvinklede treknt Vi vil nu vise, hvorledes de trigonometriske funktioner sinus, osinus og tngens kn nvendes til t eregne de øvrige ukendte stykker i en retvinklet treknt, når to stykker, (dog ikke de to spidse vinkler) er kendte. Først emærker vi om vinklerne, d A + B + C =18 og C = 9 følger t A + B = 9.
9 Trigonometri 7 De to spidse vinkler i en retvinklet treknt er tilsmmen 9. Hvis A er kendt, kn mn finde B som B = 9 A og omvendt. På figuren er tegnet en retvinklet treknt ABC, hvor C = 9, og som hr kteterne og og hypotenusen. For retvinklede treknter gælder som ekendt Pythgors sætning: + =. Vi hr på den nden figur indlgt treknten i et koordintsystem, hvor der også er tegnet en enhedsirkel. P er her retningspunkt for vinkel A, så P hr koordinterne (os A, sin A) Det ses nu t treknterne ABC er ensvinklet med APQ. Herf følger t forholdet mellem ensliggende sider er konstnt. Dette udnytter vi til t opskrive: os A 1 sin A 1 sin A os A sin A Ved omformning, (idet mn husker, t tn A ), finder mn de tre grundlæggende os A trigonometriske formler for den retvinklede treknt. os A sin A tn A Der gælder nturligvis helt tilsvrende formler for vinkel B. os B sin B tn B Det er de færreste retvinklede treknter mn møder, hvor vinklerne hedder A, B og C. Af den grund er det meget vigtigt t kunne huske en mundtlig formulering f de 3 ligninger. Cosinus til en vinkel i en retvinklet treknt er lig med den hosliggende ktete divideret med hypotenusen. Sinus til en vinkel i en retvinklet treknt er lig med den modstående ktete divideret med hypotenusen. Tngens til en vinkel i en retvinklet treknt er lig med den modstående ktete divideret med den hosliggende. De tre reltioner kn omformes til: = os A = sin A = tn A I en retvinklet treknt er en ktete lig med hypotenusen gnge sinus til den modstående vinkel.
10 Trigonometri 8 I en retvinklet treknt er en ktete lig med hypotenusen gnge osinus til den hosliggende vinkel. I en retvinklet treknt er den ene ktete lig med den nden gnge tngens til den førstes modstående vinkel. Eksempler 1. I en retvinklet treknt er den ene ktete lig med 5 og hypotenusen er 7. Beregn de ukendte vinkler og sider. Bemærkning: den nden ktete kunne være eregnet med Pythgors, men det er ltid lettere, t nvende de trigonometriske formler. 5 Løsning: sin A A45,58, B9 A44,4, os A7os 45,48 4, 9 7 Mn kn kontrollere med Pythgors, t 5 4,9 7. En retvinklet treknt hr kteterne 3 og 5. estem hypotenusen og de ukendte vinkler. 3 3 Løsning: tn A A 3,96, B 9 A 59,4, 5, 83 5 sin A sin 3,96 Igen kunne mn hve eregnet hypotenusen med Pythgors, men det er lettere t ruge formlerne for retvinklet treknt. Som kontrol kn vi udregne: 3 5 5, 83. Eksempel. Speielle vinkler. I lmindelighed er mn henvist til en mtemtik-regner, når mn skl estemme sinus og osinus til en vinkel. For vinklerne 3, 45 og 6, kn mn dog opnå ekskte udtryk ved hjælp f de trigonometriske formler. I den viste retvinklede treknt er vinklerne 6 og 3, mens den ene ktete er 1. Ud fr den rette vinkel fsættes en linie med vinklerne 6 og 3. Herved liver såvel treknt ADC og BDC ligeenede. DC = DB og AD = CD, d vinklerne ved grundlinien i treknt CDB er 6, er den sidste vinkel også 6, så treknten er ligesidet. DC er derfor lig med 1 lig med AD. Hypotenusen er derfor og den nden ktete eregnes f Pythgors til 3. Vi nvender nu de trigonometriske formler på denne treknt. 1 sin 3 os 3 3 tn sin 6 3 os 6 1 tn For en vinkel på 45 emærker vi lot, t sin 45 = os 45, d vinklen 45 svrer til y = x, hvorefter det følger f grundreltionen: sin 45 + os 45 = 1 sin 45 = 1 sin 45 = 1 der gælder således: sin 45 = os 45 =. 4. Den lmindelige treknt. Sinus og osinus reltionerne Vi vil nu vise nogle trigonometriske formler, som gælder for lle treknter, og ikke kun for retvinklede
11 Trigonometri Projektion på en linie Ved projektionen f et punkt på en linie, forstår mn nedfældning f den vinkelrette. Mn tegner (konstruerer) en (stiplet) linie, gennem punktet P vinkelret på linien l. Projektionen P l f P på linien l er d skæringspunktet mellem de to linier. Projektionen f et liniestykke AB på en linie l er liniestykket A l B l, som forinder projektionen f A og projektionen f B på l. Hvis AB er vinkelret på l, vil projektionen udrte til et punkt. For t få en mere generel formel for projektion, indfører vi en orientering f såvel linien l, som en orientering f liniestykket AB regnet positiv fr A til B. Hvis AB= AB, så er BA = - BA, således t BA = -AB. Når liniestykker regnes med fortegn, gælder følgende indskudssætning ufhængig f pleringen f punkterne A, B og C. AB = AC + CB Hvis punkterne er pleret i rækkefølgen A, C og B, så følger sætningen trivielt f, t AB = AC + CB. Hvis derimod punkterne f.eks. ligger i rækkefølgen: C, B og A, vil der som før gælde: CA = CB + BA -AC = CB AB AB = AC + CB Noget tilsvrende kn vises t gælde for lle øvrige pleringer f punkterne A, B og C. Når liniestykkerne regnes med fortegn, og v etyder drejningsvinklen mellem de positive retninger fr l til AB, vil vi d vise, t projektionen f AB på l er givet ved: A l B l = AB os v
12 Trigonometri 1 Hvis vi prllelforskyder AB vinkelret på linien l, så A ligger på l er projektionen f AB uforndret. Se figuren ovenfor. Hvis v < 9, ses ud fr den retvinklede treknt A l BB l, t A l B l = AB os v og dermed A l B l = AB os v. Hvis 9 < v < 18, vil der gælde: A l B l = AB os (18 -v). Idet A l B l = - A l B l (som følge f orienteringen) gælder som før: A l B l = AB os v. Når liniestykker regnes med fortegn, kn mn vise projektionssætningen: Summen f de med fortegn regnede projektioner f en rudt linie, er lig med projektionen f liniestykket, der forinder endepunkterne f den rudte linie. Sætningen følger f formlen for orienteret projektion på et liniestykke, smt f indskudssætningen f punkter på en linie. På figuren til venstre er det indlysende, t A l B =A l C l + C l B l, idet A l B l = A l C l + C l B l. I det ndet tilfælde gælder ligeledes: A l B l = A l C l + C l B l ifølge indskudssætningen. Men for længderne f liniestykkerne gælder der derimod: A l B l = A l C l - C l B l. Nu er C l B l =CB os(18-v), hvor v<9 er den numerisk mindste vinkel mellem l og CB, så C l B l er negtiv, som den skl være. (Se figuren) 4. Kordeformlen. Sinusreltionerne En korde i en irkel er som ekendt et liniestykke, der forinder to punkter f periferien. Rdius i irklen etegnes R. Længden f korden etegnes k. Den mindste f vinklerne, som korden fskærer f irklen etegnes v. Vi vil vise kordeformlen: k v R sin k v R sin En korde kn eregnes som gnge rdius i irklen gnge sinus til det hlve f den vinkel den spænder over.
13 Trigonometri 11 Cirklens entrum O forindes med kordens røringspunkter på periferien, hvorefter mn hr en ligeenet treknt med korden som grundlinie. Midtnormlen på korden går gennem entrum for irklen og hlverer vinklen v. Af den første figur ses, t den retvinklede treknt med ktete k og entervinkel v t: hvilket viser kordeformlen. k v R sin, Ld der være givet en vilkårlig treknt ABC. Trekntens omskrevne irkel hr rdius R. Hver f siderne, og i treknten er korder i den omskrevne irkel og hver f vinklerne A, B og C er periferivinkler. Fr geometrien ved vi t en periferivinkel måles ved den hlve ue den spænder over. Betegnes uen (entervinklen) svrende til A som v, så er A = v. Af kordeformlen følger så umiddelrt: ndre vinkler. Rsin Rsin A og Rsin B og Rsin C v Rsin A. Tilsvrende får mn for de to Herf følger sin A sin B sin C R sin A sin B sinc Det sidste udtryk etegnes som sinusreltionerne. De kn nturligvis også skrives som de omvendte forhold, hvilket er det mest lmindelige. sin A sin B sinc Sinusreltionerne nvendes, når mn vil eregne ukendte sider og vinkler i en lmindelig treknt, hvor to sider og en vinkel eller to vinkler og en side er kendte.
14 Trigonometri Cosinusreltionerne På figurerne er vist to treknter ABC med sider, og. I det første tilfælde flder fodpunktet H for højden fr B mellem A og C. I det ndet tilfælde flder fodpunktet uden for AC. Vi vil imidlertid vise, t der i lle tilfælde gælder: projektionssætningen. os A osc. Dette er en konsekvens f I det første tilfælde følger dette umiddelrt idet = AC = AH + HB og ifølge projektionsformlen er AH = os A, og HB = os C. I det ndet tilfælde ses, t = AC = AH - HB. Som før er AH = os A, mens HB = os(18-c) = - osc, - HB = osc. Vi finder derfor igen os A osc. Vi emærker, t formlen er symmetrisk i og, så den vil være uforndret hvis H ligger til venstre for A. Vi smmenholder nu formlen os A osc os A osc sin A sinc med sinusreltionen:, som vi omskriver til: sin A sinc Begge ligninger kvdreres. os A osc os A osc os A os A os C
15 Trigonometri 13 sin A sin C sin A sin C sin A sin C Ved ddition f ligningerne: os A sin A os A os C sin C os A sin A os A os C sin C os A Den sidste f ligninger kldes for osinus-reltionen. Den skrives i lmindelighed, hvor mn hr yttet om på højre og venstreside. Der gælder tilsvrende reltioner for de to ndre sider. os A os B osc Cosinus-reltionerne kldes også for den udvidede pythgoræiske læresætning. Hvis nemlig C = 9, så er os C =, og den sidste osinusreltion redueres til Pythgors' sætning. Cosinus-reltionen kn nvendes til t finde en side, når mn kender de to ndre sider og den modstående vinkel. Den kn også nvendes til t estemme vinklerne i en treknt, når de tre sider er kendte. I dette tilfælde, omskriver mn ofte osinus-reltionerne lidt. os A os B osc 4.3 Arelet f en treknt ved trigonometri
16 Trigonometri 14 Ovenfor er vist to treknter. Vi viste I geometrien, t i egge tilfælde kn relet eregnes som T = ½h g (Arelet f en treknt er ½ højde x grundlinie) På figuren liver dette: T = ½h. Højden h fr B, er imidlertid ktete i den retvinklede treknt ABH, som hr hypotenusen og den modstående vinkel A. Ifølge formlerne for den retvinklede treknt, gælder derfor h = sin A, som indsættes i formlen T = ½h, så mn finder T =½ sin A Bemærk, t den udledte formel også gælder, hvis fodpunktet for højden flder udenfor AC. Ved ogstvomytning finder mn to tilsvrende formler for relet f treknten. T = ½ sin C T = ½ sin A T = ½ sin B Mn kn udlede sinusreltionerne f disse 3 formler. Dividerer mn nemlig udtrykket (T=) ½ sin A = ½ sin B = ½ sin C igennem med ½, får mn netop sinusreltionerne, (dog ikke smmenhængen med rdius i den omskrevne irkel) sin A sin B sinc 4.4 De 5 trekntstilfælde Når mn kender 3 stykker i en treknt, som ikke lle er vinkler, så kn de øvrige stykker eregnes ved hjælp f sinus- og osinusreltionerne. I geometrien ehndlede vi også de 5 trekntstilfælde og vi eskrev, hvorledes treknterne kn konstrueres ved hjælp f psser og linel. Det er en grundlæggende sætning for plngeometrien, t hvis en figur kn konstrueres ved hjælp f psser og linel, så kn de ukendte stykker også eregnes ved trigonometri og omvendt. Første trekntstilfælde: Givet de 3 sider, og. I geometrien, så vi t etingelsen for t opgven hr en løsning er, t < < +.
17 Trigonometri 15 Eksempel De 3 vinkler eregnes ved hjælp f de tre osinus-reltioner. os A os B os C os A os B osc A 41, B 55, C 8,8 4 Mn kontrollerer t A + B + C = 18. Andet trekntstilfælde: To sider og den mellemliggende vinkel er kendte. Opgven hr ltid netop 1 løsning. Eksempel A = 35, = 1, = 7. Siden eregnes f osinusreltionen: os A os For t eregne B eller C, skl vi nvende sinusreltionerne. Her støder vi imidlertid på det prolem, t sin v = t hr to løsninger (i intervller til 18 ), nemlig v og 18 v. Begge vinkler kn ikke være større end 9. Den mindste vinkel ligger overfor den mindste side, så den må være mindre end 9. Vi vælger derfor t eregne vinkel C, og udregner B = 18 (A + C). Ifølge sinusreltionerne: sinc sin A sin A sinc sin 35 sin C 7 C 43,5. B = 18 (35+43,5) = 11,75 5,86 Hvis vi i stedet hvde eregnet B ud fr sinusreltionerne, så ville vi hve fået vinklen 18 11,75 = 78,5. Tredje trekntstilfælde: Givet en vinkel, en hosliggende og en modstående side. Som det fremgår f nedenstående tegninger, hr opgven ingen, én eller to løsninger.
18 Trigonometri 16 Ingen løsninger < os A. Netop 1 løsning. = os A eller >. To løsninger: < os A og < Det ses, t i eksemplet med to løsninger er B 1 = 18 B, som det netop vil være tilfældet, når mn eregner B med sinusreltionerne. Eksempel A = 9, = 9 og = 13 B eregnes ud fr sinusreltionen: sin B sin A sin A sin B sin 9 sin B 13 B 1 44,45 B 18 44,45 135,55 9 Herf fås de to vinkler C 1 =18- (A+B 1 ) = 16,55 og C =18- (A+B ) = 15,45. 1 og eregnes ud fr sinusreltionen: sin C sin A sin C sin A 9 9 sin15,45 4,95 og 1 sin16,55 17,79 sin 9 sin 9 Fjerde Trekntstilfælde: Der er givet en side, og de to hosliggende vinkler. Opgven hr ltid netop én løsning. Den sidste vinkel findes ud fr A + B + C =18, og de to mnglende sider findes d f sinusreltionerne. Eksempel A = 3, C =69 og = 7 B = 18 (A + C) = 79. og estemmes f sinusreltionerne: A sin sin B sin A sin B 7 sin 3 sin 79 3,78 sin A sin B sinc sinc sin B sin C sin B 7 sin 69 sin 79 6,66 Femte trekntstilfælde: Givet en side, en hosliggende og en modstående vinkel. Femte trekntstilfælde redueres til fjerde trekntstilfælde ved t eregne den nden hosliggende vinkel ud fr A + B = C = 18.
Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c
Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole
Læs mereMatematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Læs mereTrigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Læs mereTrigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1
Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt
Læs mereElementær Matematik. Analytisk geometri
Elementær Mtemtik Anltisk geometri Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. koordintsstemet.... Afstndsformlen.... Liniens ligning...4 4. Ortogonle linier...7 5. Liniers skæring. To ligninger med to uekendte....7 6.
Læs mere3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Læs mereDet dobbelttydige trekantstilfælde
Det dobbelttydige trekntstilfælde Heine Strømdhl, Københvns Kommunes Ungdomsskoler Formålet med denne rtikel er t formulere en meget simpel grfisk løsningsmetode til det dobbelttydige trekntstilfælde med
Læs mereElementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter
Læs mereMichel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C
Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.
Læs mere1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri
Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler
Læs mereElementær Matematik. Plangeometri
Elementær Mtemtik Plngeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 006 Kp Indhold. Plngeometriens Aksiomer.... Vinkler.... Et pr simple geometriske sætninger...3 Kp. Trekntskonstruktion...5. Kongruenssætningerne...5.
Læs mereTrigonometri FORHÅNDSVIDEN
Trigonometri I dette kpitel skl du rejde med trigonometri. Ordet trigonometri stmmer fr græsk og etyder trekntsmåling. Den mtemtik, der ligger g trigonometrien, hr du llerede rejdet med. Det drejer sig
Læs mereGeometriske egenskaber & sammenhæng - Fase 3
Nvn: Klsse: Geometriske egensker smmenhæng - Fse 3 Vurdering fr 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer eviser og forslg til foredring 1. Jeg kender til og kn ruge Pythgors lærersætning. 2. Jeg
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs mereLektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3
Læs meregudmandsen.net Geometri C & B
gudmndsen.net Geometri C & B Indholdsfortegnelse 1 Geometri & trigonometri...2 1.1 Område...2 2 Ensvinklede treknter...3 2.1.1 Skleringsfktoren...4 3 Retvinklede treknter...5 3.1 Pythgors lærersætning...5
Læs mereK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Matematik F Geometri
K TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Mtemtik F Geometri www.if.dk Mtemtik F Geometri Forord Redktør Hgen Jørgensen År 2004 est. nr. Erhvervsskolernes Forlg Munkehtten 28 5220 Odense
Læs mereFormelsamling Matematik C Indhold
Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...
Læs mereProjekt 6.5 Vektorers beskrivelseskraft
Hvd er mtemtik? ISBN 978877066879 Projekt 65 Vektorers eskrivelseskrft Indhold Vektorer i gymnsiet Linjestykker og prllelogrmmer Bevis inden for den klssiske geometri Bevis med nvendelse f vektorer 3 Digonlerne
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... BRØER... LIGNINGER... 3 PARENTESER... 3 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...
Læs mereMattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2 og 3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum
Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2
Læs mereElementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner
Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....
Læs mereProjekt 7.3 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Hv er mtemtik? Projekt 7.3 Firkntstrigonometri og Ptolemios sætning i ykliske firknter Trigonometrien til eregning f ukente vinkler, sier og reler for treknter er stort set utømt me ulening f sinusreltionerne,
Læs mereTAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Læs mereSimple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Læs mereNy Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Læs mereKompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014
Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning
Læs mereSfærisk Geometri Ole Witt-Hansen nov. 2016
Sfærisk Geometri Ole Witt-Hnsen nov. 6 Indhold. Geometri på en kugle.... Sfæriske toknter og treknter...3. Polrtreknter...4 3. Den retvinklede sfæriske treknt...5 4. Beregning f sider og vinkler i den
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs merePotens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Læs mereMatematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
Læs mereImplicit differentiation Med eksempler
Implicit fferentition Implicit fferentition Indhold. Implicit fferentition.... Tngent til ellipse og hperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik
Læs mereEksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Læs mereOversigt. geometri exempler. areal: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m. areal: 5 5 = 25 cm 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 cm. areal: 8 5 = 40 dm 2
geometri exempler 4 m 3 m rel: 4 3 = 12 m 2 omkreds: 4+3+4+3 = 14 m 5 m 5 m rel: 5 5 = 25 m 2 omkreds: 5+5+5+5 = 20 m 8 dm 5 dm rel: 8 5 = 40 dm 2 8 dm 5 mm 4 mm 1 2 rel: 4 (5+9) = 28 mm 2 9 mm 7 km rel:
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? C, i-og Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deduere sig til og konstruere ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige, t l den viden, der
Læs mereTrigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v
Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...
Læs mereGEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y
GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for
Læs mereRegneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Læs mereINTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Læs mereProjekt 10.3 Terningens fordobling
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 0 Projekt 0.3 Terningens fordoling Elementerne indeholder, hvd mn kn deducere sig til og konstruere sig til ud fr de få givne ksiomer. Mn kn derfor i en vis forstnd sige,
Læs mereFormelsamling Mat. C & B
Formelsmling Mt. C & B Indhold FORMELSAMLING MAT. C & B... 1 BRØER... PARENTESER... 3 PROCENT... 4 RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter...
Læs mere2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Læs mereFORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse
FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Læs mereProjekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Læs mereRegneregler. 1. Simple regler for regning med tal.
Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,
Læs mereProjekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD
Læs mereIntegralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach
Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen
Læs mereALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,
INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1
Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Forfttere: Jytte Melin og Ole Dlsgrd April 209 ISBN: 978-87-603-3238-8 (web udgve) Denne
Læs mereEksamensopgave august 2009
Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er
Læs mereElementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet
Elementæ Mtemtik Lineæe funktione og Andengdspolynomiet Ole Witt-Hnsen Indhold. Den lineæe funktion.... Stykkevis lineæe funktione.... Andengdspolynomiet.... Pllelfoskydning f koodintsystemet.... Pllelfoskydning
Læs mereMat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler
Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel
Læs mereFormelsamling Mat. C LINEÆR VÆKST... 11 EKSPONENTIEL VÆKST... 11 POTENS-VÆKST... 11
Formelsmling Mt. C BRØER... LIGNINGER... PARENTESER... RENTE... 5 INDES... 6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... VILÅRLIG TREANT... Sinusreltionerne:... Cosinusreltionerne:...
Læs mereTAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.
TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mereMichel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...
MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS
Læs mereMatematik notater: Mængder:...5. uligheder:...5 tegn:...5 Sætning Sætning Sætning Sætning 4...6
Mtemtik noter.g mtemtisk Mtemtik notter: Diverse:...4 Formlen for volumen f en pyrmide og en tetrede:...4 Formlen for volumen f en keglestu:...4 ojekter:...4 udtryk:...4 udsgn:...4 Fiunni:...4 Reiprok
Læs mereGrundlæggende funktioner
Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Udgve 5 018 Krsten Juul Grundlæggende funktioner for A-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. Vækstrte... 3. Gennemsnitlig procent... Lineær vækst
Læs mereAnalysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a
Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs mereImplicit differentiation
Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger
Læs mereMATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)
Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i
Læs mereFigurer. Planere: glatte, udjævne. Linjer. EB og AI, GK og HJ, MO og NP. Linjer. Vinkler Plane figurer Flytninger. 2 Linjestykker. 1 Hvad husker I?
Figurer Linjer Vinkler Plne figurer Flytninger Plnere: gltte, udjævne 1 Hvd husker I? 2 2 Linjestykker Fortsæt sætningerne. En linje er... Et linjestykke er... Tegn linjestykkerne: I, C, CE, F og FI. b
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereKort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereVektorer. koordinatgeometri
Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs mereFormelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til
Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mere1. Eksperimenterende geometri og måling
. Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkldte Firfrveproblem. For mere end 00 år siden fndt mn ved sådnne undersøgelser frem til, t fire frver er nok til t
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereINFINITESIMALREGNING del 2 Stamfunktioner og differentialkvotienter Regneregler Optimering Taylorrækker
INFINITESIMALREGNING del Stmfunktioner og differentilkvotienter Regneregler Optimering Tylorrækker -klsserne Gmmel Hellerup Gymnsium Indholdsfortegnelse STAMFUNKTIONER... 3 REGNEREGLER... 9 AFLEDEDE FUNKTIONER...
Læs mereErik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Læs mereGymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen
Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.
Læs mere1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mere( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes
Læs meregudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Læs mereDiverse. Ib Michelsen
Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent
Læs mereVektorer. koordinatgeometri
Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet Ä 0 Krsten Juul Dette håfte kn downlodes fr mtdk/noterhtm HÅftet mç ruges i undervisningen hvis låreren med
Læs mereLektion 6 Bogstavregning
Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret
Læs mere