GUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 31. maj Kl Prøveform a GUX181 - MAA

Transkript

1 GUX Matematik A-Niveau Torsdag den 31. maj 018 Kl Prøveform a GUX181 - MAA 1

2 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 11 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse. Alle hjælpemidler er tilladt. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang klart fremgår, herunder om der i opgavebesvarelsen er: en kort præsentation af, hvad den enkelte opgave og de enkelte spørgsmål går ud på en hensigtsmæssig opstilling af besvarelsen dokumentation af beregninger og anvendt fremgangsmåde ved hjælp af mellemregninger, forklarende tekst og brug af it-værktøjer brug af figurer og illustrationer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og figurer en afrunding af de forskellige spørgsmål med præcise konklusioner, præsenteret i et klart sprog og med brug af almindelig matematisk notation.

3 GUX matematik A maj 018 side 1 af 7 Opgave 1 Tabellen herunder viser sammenhørende værdier af brudstyrke og diameter for tovværk af en bestemt type. diameter i mm brudstyrke i kg I en model beskrives sammenhængen mellem diameteren og brudstyrken ved en potensfunktion med forskriften f( x) = b x a hvor f( x ) er brudstyrken målt i kg for tovværk med en diameter på x mm. a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b. b) Benyt modellen til at bestemme brudstyrken ved en diameter på 30 mm, og bestem hvor mange procent brudstyrken stiger, når diameteren vokser med 5%. Kilde: Opgave To vektorer a og b er bestemt ved 1 a = 3 og 4 b = a) Bestem vinklen mellem a og b. Vektorerne a og t b udspænder for t 0 et parallelogram. b) Bestem de værdier af t, så arealet af parallelogrammet bliver 0.

4 GUX matematik A maj 018 side af 7 Opgave 3 På figuren ses graferne for funktionen f og dens afledede funktion f. a) Forklar hvilken funktion, der hører til hvilken graf. Opgave 4 Figuren viser en klippevæg, hvis højde PQ ønskes bestemt. I en model befinder midten af en fiskerbåd sig i et punkt C. Mastens højde er 4 meter, dvs. AC = 4. Fiskeren på båden siger: Når midten af min båd befinder sig 0 meter fra en klippe, og jeg fra agterenden af båden kan se toppen af klippen P via sigtelinjen fra B gennem A, så er højden på klippen ca. 17 meter. a) Undersøg om fiskerens påstand er korrekt, og bestem vinkel B. Senere ligger fiskerbåden ved en anden klippe med en højde på 1 meter. b) Bestem afstanden fra bådens midte C til denne klippes fod.

5 GUX matematik A maj 018 side 3 af 7 Opgave 5 En hotelejer ønsker at bygge en cirkelformet swimmingpool. Arealet af poolen skal være a) Bestem poolens radius R, og bestem omkredsen af poolen. 315 m. Hotelejeren ønsker, at siderne indvendigt i poolen skal være skrå. Herunder ses et tværsnit af poolen. R Volumen af poolen kan beregnes ud fra følgende formel 1 V = π h r + R + r R 3 ( ) hvor R er poolens radius ved overfladen, r er bundens radius, og h er dybden. Alle længder måles i meter. b) Bestem volumen af poolen, når arealet af poolen skal være r 315 m, og bundens radius skal være 6 m. c) Hvor stor skal bundens radius r være, hvis poolens volumen skal være m?

6 GUX matematik A maj 018 side 4 af 7 Opgave 6 En funktion er givet ved forskriften f x = x + x x> ( ) 18 ln( ), 0 Det oplyses, at funktionen f har netop et ekstremum. a) Nedenfor er ekstremumspunktet for funktionen bestemt. Forklar trinene ) til 6). 1) f ( x) = 0 1) Ekstremumsstedet bestemmes ved at sætte den afledede lig nul. ) 18 x + = 0 x 3) 18 x x = 4) 9 = x 5) x = ± 3 6) Ekstremumspunkt: (3;10,8) Opgave 7 Funktionen f er bestemt ved forskriften f( x) = (5 x) ln( x), 1 x 5 y f Grafen for f afgrænser sammen med x-aksen et område M. Se figuren. a) Bestem arealet af M. b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 om x-aksen. M 1 5 x

7 GUX matematik A maj 018 side 5 af 7 Opgave 8 Støddæmperne på en snescooter skal modvirke og dæmpe rystelser. Kilde: På en snescooter kan den lodrette bevægelse fra ligevægt for en støddæmper, der trykkes i bund og slippes, beskrives ved 3 t ( ) 8 e cos(6 ), 0 1,7 f t = t t hvor f() t måles i centimeter, og t er tiden i sekunder, efter der slippes. a) Tegn grafen for f. b) Bestem det tidspunkt, hvor den lodrette bevægelse har sit første maksimum. c) Hvor lang tid går der, inden den lodrette bevægelse forbliver under 1 centimeter fra ligevægt?

8 GUX matematik A maj 018 side 6 af 7 Opgave 9 Terninger med fire ens flader, som de viste på billedet, kaldes for tetraedre. En model af en tetraeder-terning er vist på figuren herunder sammen med oplysning om koordinaterne for de fire hjørnepunkter, A, B, C og D. A( 17, 10, 0) B(17, 10, 0) C (0, 0,0) D (0,0,8) a) Bestem en ligning for planen, der indeholder fladen ABD. b) Bestem terningens samlede overfladeareal. c) Bestem den indvendige vinkel mellem to af terningens flader. Opgave 10 Funktionen f er bestemt ved forskriften f x = x + x ( ) 8, 0 Figuren viser grafen for f indtegnet i et koordinatsystem med begyndelsespunkt O (0,0). Punktet Pxf (, ( x )) ligger på grafen for f, og punktet Qx (,0) ligger på x-aksen. Funktionen A er bestemt ved, at Ax ( ) er lig arealet af trekant OPQ. a) Bestem f (1), og bestem A (1). b) Vis, at 3 Ax ( ) x 4x = +. c) Bestem den værdi af x, for hvilken arealet af trekant OPQ er størst mulig.

9 GUX matematik A maj 018 side 7 af 7 Opgave 11 Nogle mennesker er uheldige at tabe deres smartphone i et toilet. I en model betegner st () en smartphones højde over gulvet til tiden t. Højden st () måles i meter, og tiden t måles i sekunder. I modellen antages det, at st () er en løsning til. ordens differentialligningen d y = 9,8 dt med betingelserne s (0) = 0 og s (0) = 1,3. a) Bestem en forskrift for s. Smartphonen rammer vandet i toilettet i højden 0,15 meter. b) Til hvilket tidspunkt rammer smartphonen vandet i toilettet? c) Bestem væksthastigheden for s, når smartphonen rammer vandet i toilettet.

10

11

12 Naqinneqarfia: Ilinniartitaanermut Aqutsisoqarfik Tryk: Uddannelsesstyrelsen 1 Ilinniartitaanermut, Kultureqarnermut, Ilisimatusarnermut Ilageeqarnermullu Naalakkersuisoqarfik Departementet for Uddannelse, Kultur, Forskning og Kirke