Nanostatistik: Konfidensinterval
|
|
- Sigrid Sidsel Dalgaard
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Nanostatistik: Konfidensinterval JLJ Nanostatistik: Konfidensinterval p. 1/37
2 Fraktilpåmindelse u p : Φ(u p ) = p, Φ( z ) = 1 Φ( z ) t p [f] : F t[f] (t p [f]) = p, F t[f] ( t ) = 1 F t[f] ( t ) F-fordeling: F p [f 1,f 2 ] = 1 F 1 p [f 2,f 1 ], Nanostatistik: Konfidensinterval p. 2/37
3 Fraktilpåmindelse Når f 1 og f 2 er så store at tabellen ikke slår til kan man benytte følgende grove approksimation for 95% fraktilen F 0.95 [f 1,f 2 ] f 2 f f 2 2 (f 1 + 2) f 1 (f 2 4) (f 2 2) f 2 2 (f 2 1) 2, og følgende grove approksimation for 97.5% fraktilen F [f 1,f 2 ] f 2 f f 2 2 (f 1 + 2) f 1 (f 2 4) (f 2 2) f 2 2 (f 2 1) 2. Et eksempel på denne approksimation er som følger: f 1 = 42, f 2 = 34, F [42,34] = 1.94, approksimation: 1.91, f 1 = 34, f 2 = 42, F [34,42] = 1.89, approksimation: 1.85, Nanostatistik: Konfidensinterval p. 3/37
4 Repetition To normalfordelinger, teste ens middelværdi: skriv på tavlen Nanostatistik: Konfidensinterval p. 4/37
5 Tyngdeaccelerationen i Ribe Experiment: n = 10 uafhængige målinger af tyngdeaccelerationen i Ribe gav Gennemsnittet er x = 9.853, som er vores estimat af tyngdeaccelerationen Skal jeg nu tro at tyngdeaccelerationen er 9.853m/s 2 i Ribe? Nej: gentager jeg forsøget får jeg en anden værdi end 9.853m/s 2 Alternativt: istedet for kun at angive et estimat kan vi angive et interval af trolige værdier baseret på data Nanostatistik: Konfidensinterval p. 5/37
6 Interval for middelværdi X 1,...,X n uafhængige, X i N(µ, 1), ˆµ = X N(µ, 1 n ) Intuitivt: Se på interval af formen [ x κ, x + κ], længde = 2κ R-plot med µ 0 = 0: X N(0, 1 n ) Hvad skal κ være? Hvor ofte ligger 0 i intervallet? Hvordan kommer n ind i det? Svar: P(0 [ X κ, X + κ]) = P( X 0 < κ) = P( N(0, n 1 ) < κ) = P( N(0, 1) < κ n) = 2Φ( κ n) Nanostatistik: Konfidensinterval p. 6/37
7 N(µ, σ 2 ): interval K(x) for µ Ex: X 1,...,X n uafhængige, X i N(µ,σ 2 ), ˆµ = X N(µ, σ2 n ) K(x) = [ x 1.96 σ n, x σ n ] κ = 1.96 σ n P µ0 (K(X) µ 0 ) = P µ0 ( X 1.96 σ n µ 0 X σ n ) ( = P µ0 µ σ X µ σ ) n n = P µ0 ( n X µ 0 σ ) 1.96 = P( N(0,1) < 1.96) = 0.95 Nanostatistik: Konfidensinterval p. 7/37
8 Konfidensinterval, K(x) Konfidensinterval intuitivt: de værdier af parameteren θ, der er næsten lige så gode som ˆθ" til at beskrive data 95% konfidensinterval (matematisk) Et interval K(data) med den egenskab at i 95% af tilfældene vil den sande parameterværdi være indeholdt i intervallet Resultat: Et 95% konfidensinterval kan fås ved at tage de parameterværdier θ 0 for hvilke data x fører til en accept af hypotesen θ = θ 0 ved et test på niveau 5% (95% =5%) Nanostatistik: Konfidensinterval p. 8/37
9 Konfidensinterval, K(x) P θ0 (interval(x) θ 0 ) = P θ0 (accept af hypotesen θ = θ 0 ) = 1 P θ0 (X forkastelsesområdet) = 1 α = = 0.95 (α = 0.05) Nanostatistik: Konfidensinterval p. 9/37
10 Konfidensinterval for middelværdi µ Model: X 1,...,X n uafhængige, X i N(µ,σ 2 ) X = n 1 n i=1 X i, s 2 = n 1 1 n i=1 (X i X) 2 σ 2 kendt: Φ(u ) = 0.975, Teststørrelse: Z = n X µ 0 σ N(0, 1) Accept: z u Forkast: z u { 95% konfidensinterval µ 0 } n x µ 0 σ u } σ = {µ 0 x µ 0 u n ] σ = [ x u n σ, x + u n (1 α) konfidensinterval: skift u ud med u 1 α/2 Nanostatistik: Konfidensinterval p. 10/37
11 σ 2 ukendt Når σ 2 er ukendt bruger vi: s 2 = 1 n 1 n i=1 (X i X) 2, F t[n 1] (t [n 1]) = 0.975, Teststørrelse: T = n X µ 0 s t[n 1] Accept: t t [n 1] Forkast: t t [n 1] { 95% konfidensinterval µ 0 } n x µ 0 s t [n 1] } {µ 0 x µ 0 t [n 1] n σ = = [ ] x t [n 1] s n, x + t [n 1] s n (1 α) konfidensinterval: skift t [n 1] ud med t 1 α/2 [n 1] Nanostatistik: Konfidensinterval p. 11/37
12 Simon Newcomb: lysets hastighed Den sande værdi med moderne måleteknikker er n = 64, x = 64 1 x i = 1776, x = = 27.75, s 2 = (x i x) 2 = 25.84, t (63) = 2.00 [ ] % konfidensinterval = , = [26.48, 29.02] Som ikke indeholder den rigtige lyshastighed 33.02: meget uheldig, eller systematiske fejl i måleopstilling Nanostatistik: Konfidensinterval p. 12/37
13 Konfidensinterval for varians σ 2 Model: X 1,...,X n uafhængige, X i N(µ,σ 2 ) Variansestimat: s 2 = n 1 1 n i=1 (X i X) 2 Hypotese: σ 2 = σ0 2, Alternativ: σ2 σ0 2 Teststørrelse: V = (n 1) s2 σ 0 χ 2 [n 1] Hvis V/(n 1) ligger omkring 1 tror vi på at den sande varians er σ 0. Hvis V/(n 1) er meget stor eller meget lille tror vi ikke på det p-fraktil i χ 2 [f]-fordeling: χ 2 p[f]. Test på niveau 5% Accept: χ [n 1] v χ [n 1] Forkast: v χ [n 1] eller v χ [n 1] Nanostatistik: Konfidensinterval p. 13/37
14 Konfidensinterval for varians σ 2 p-værdi = { 2F χ2 [n 1](v) v < 1 2{1 F χ2 [n 1](v)} v > 1 95% { konfidensinterval } σ 0 χ 2 s [n 1] (n 1) χ 2 σ { [n 1] = σ 0 χ [n 1] σ2 0 n 1 s2 χ [n 1] σ2 0 [ ] = s 2 (n 1) χ 2 [n 1], s 2 (n 1) χ [n 1] n 1 1 α konfidensinterval: skift og ud med α/2 og 1 α/2 } Nanostatistik: Konfidensinterval p. 14/37
15 Lysets hastighed n = 64, s 2 = 25.84, χ [n 1] = 42.95, χ [n 1] = % [ konfidensinterval = , ] = [18.75, 37.90] Nanostatistik: Konfidensinterval p. 15/37
16 Konfidensinterval for ss p Model: X 1,...,X n uafhængige, P(X i = 1) = p, P(X i = 0) = 1 p Hypotese: p = p 0 Alternativ: p p 0 Exact { p-værdi: 2F = binom(n,p0 )(x ) hvis x < np 0 2(1 F binom(n,p0 )(x 1)) hvis x > np 0 95% konfidensinterval: øvre grænse p up : 2F binom(n,p up )(x ) = 5% Besværligt! Nanostatistik: Konfidensinterval p. 16/37
17 Konfidensinterval for ss p Model: X 1,...,X n uafhængige P(X i = 1) = p, P(X i = 0) = 1 p Bruge normalfordelingsapproximation Test på niveau 5%: Teststørrelse: Z = n X p 0 p0 (1 p 0 ) Acceptområde: z u { 95% konfidensinterval p 0 } n x p 0 u p0 (1 p 0 ) = [a b,a + b] a = x+u /(2n) 1+u /n, b = a 2 x 2 (1 + u /n) 1 (1 α) konfidensinterval: skift u ud med u 1 α/2 Nanostatistik: Konfidensinterval p. 17/37
18 Konfidensinterval for ss p n x p p(1 p) = u x 2 2xp + p 2 = p(1 p) u2 n p 2 (1 + u2 n p = ) p(2x + u2 n ) + x2 = 0 2x + u2 n ± (2x + u2 n )2 4x 2 (1 + u2 n ) 2(1 + u2 n ) = a ± b Nanostatistik: Konfidensinterval p. 18/37
19 Konfidensinterval for ss p Ex: n = 20, x = 10, x = 0.5 a = / /20 = 0.5 b = /( /20) = % konfidensinterval (approksimativ): [ , ] = [0.30, 0.70] 2P(binom(20, 0.70) 10) = 0.096, 2P(binom(20, 0.728) 10) = P(binom(20, 0.30) 10) = 0.096, 2P(binom(20, 0.272) 10) = Stadig besværligt! Nanostatistik: Konfidensinterval p. 19/37
20 Differens mellem to middelværdier X 1,...,X n uafhængige, X i N(µ + δ,σ 2 ) Y 1,...,Y m uafhængige, Y i N(µ,σ 2 ) Teste: δ = δ 0 X = 1 n n i=1 X i, 1 m Ȳ = m s 2 = 1 n+m 2 (n 1)s 2 x+(m 1)s 2 y n+m 2 i=1 Y i { n i=1 (X i X) 2 + m i=1 (Y i Ȳ )2} = Teststørrelse: T = X Ȳ δ 0 t[n + m 2] s2 ( ) n m Accept: t < t [n + m 2], Nanostatistik: Konfidensinterval p. 20/37
21 Differens mellem to middelværdier { } x ȳ δ 95% konfidensinterval δ 0 0 t s [n + m 2] ( ) n m { } = δ 0 x ȳ δ 0 t [n + m 2] s 2 ( 1n + 1m ) = [ x ȳ t [n + m 2] s 2 ( n 1 + m 1 ), ] x ȳ + t [n + m 2] s 2 ( 1n + 1m ) (1 α) konfidensinterval: skift t [n + m 2] ud med t 1 α/2 [n + m 2] Nanostatistik: Konfidensinterval p. 21/37
22 Differens mellem to middelværdier Forskellige varianser σ 2 x σ 2 y: Skift s 2 ( 1 n + 1 m ) ud med s2 x n + s2 y m og skift frihedsgraderne n + m 2 ud med f =... Nanostatistik: Konfidensinterval p. 22/37
23 Michelsons lysmålinger Michelson målte lyshastigheden 100 gange i 1879 og 23 gange i Data er (fratrukket km/s, sande lyshastighed er på denne skala) 1879: : Vis qq-plot Konfidensinterval for forskellen mellem de to år: n = 100, x = , s 2 x = m = 23, ȳ = , s 2 y = s 2 = = , [ ] ( ), ( ) = [33.34, ] Nanostatistik: Konfidensinterval p. 23/37
24 Approksimative konfidensintervaller Parameter: θ, Hypotese: θ = θ 0, Estimat: ˆθ Hvis, under hypotesen, ˆθ N(θ 0,τ 2 ), hvor τ 2 ikke afhænger af θ 0, så vil [ˆθ τu0.975, ˆθ + τu ] være et 95% konfidensinterval: { θ 0 ˆθ θ 0 τ u } Hvis, τ 2 = 1 n σ(θ 0) 2 vil [ˆθ σ(ˆθ) n u 0.975, ˆθ + σ(ˆθ) n u ] være et approksimativt 95% konfidensinterval Nanostatistik: Konfidensinterval p. 24/37
25 Approksimative konfidensintervaller Hvis ˆθ kun er approksimativt normalfordelt ˆθ N(θ, n 1σ(θ)2 ) Kan vi stadig bruge [ˆθ σ(ˆθ) n u 0.975, ˆθ ] + σ(ˆθ) n u som et approksimativt 95% konfidensinterval Ex: X binomial(n,p), ˆp = X n N ( p, n 1 p(1 p)) 95% [ approksimativt konfidensinterval ] ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) ˆp n 1.96, ˆp + n 1.96 = Ex: [ n = 20, x = 10, ˆp = (1 0.5) , ] 0.5(1 0.5) = [0.28, 0.72] Nanostatistik: Konfidensinterval p. 25/37
26 CLT for gennemsnit Centrale grænseværdisætning = CLT X 1,X 2,...,X n uafhængige, E(X i ) = θ, V (X i ) = σ 2 n X θ σ N(0, 1), X = 1 n n i=1 X i eller X N ) (θ, σ2 n Nanostatistik: Konfidensinterval p. 26/37
27 CLT for funktion af gennemsnit h( X) = h( X θ + θ) = h(θ) + h (θ)( X θ) + Rest h(θ) + h (θ)( X θ) = h(θ) + σh (θ) n [ n X θ σ ] eller n h( X) h(θ) σh (θ) h( X) N n X θ σ (h(θ), σ2 h (θ) 2 ) n N(0,1) Nanostatistik: Konfidensinterval p. 27/37
28 Konfidensinterval for h(θ) Parameter ϕ = h(θ), ) ˆϕ N (ϕ, σ2 h (θ) 2 n Estimat: ˆϕ = h(ˆθ) = h( X) Approksimativt 95% konfidensinterval for ϕ: [ h(ˆθ) σ h (ˆθ) n ] u 0.975, h(ˆθ) + σ h (ˆθ) u n Nanostatistik: Konfidensinterval p. 28/37
29 Propagation of error Det vigtige i ovenstående beregninger for h( X) er variansangivelsen: V {h( X)} = V {h( X θ + θ)} = V {h(θ) + h (θ)( X θ) + Rest} V {h(θ) + h (θ)( X θ)} = h (θ) 2 V { X θ} = h (θ) 2σ2 n Fejlen ved denne variansapproksimation er af størrelsesorden 1 n 2 Nanostatistik: Konfidensinterval p. 29/37
30 Konfidensinterval for log odds Lad X = B B n være binomialforfordelt: X binomial(n,p) Vi har: ˆp = X, E(ˆp) = p, V (ˆp) = n 1 p(1 p) ( ) Betragt nu parameteren θ = log p 1 p, log odds ( ) ( ) Skøn over θ: ˆθ = log ˆp 1 ˆp = log X 1 X Funktion h( X), h(z) = log ( ) z 1 z h (z) = z z 1 = 1 z(1 z) V { ( )} X log 1 X ( ) 1 2 p(1 p) p(1 p) n = 1 np(1 p) Nanostatistik: Konfidensinterval p. 30/37
31 Konfidensinterval for log odds Approksimativt 95% konfidensinterval for θ [ ] 1 ˆθ u 0.975, ˆθ 1 + u nˆp(1 ˆp) nˆp(1 ˆp) Ex: n = 20, x = 10, ˆp = 0.5, ˆθ = log( ) = 0 95% approksimativt konfidensinterval: [ , 0 + ] = [ 0.88, 0.88] [ ( ) = log, log ( )] Nanostatistik: Konfidensinterval p. 31/37
32 Propagation of error h( X, Ȳ ) (X 1,Y 1 )...,(X n,y n ) uafhængige E(X i ) = µ X, E(Y i ) = µ Y, V (X i ) = σ 2 X, E(Y i) = σ 2 Y, Cov(X i,y i ) = σ X,Y h : R 2 R, h x = h x (µ X,µ Y ), h y = h y (µ X,µ Y ) h( X,Ȳ ) = h(µ X,µ Y ) + h x ( X µ X ) + h y (Ȳ µ Y ) + Rest Vores approksimation bliver nu V {h( X,Ȳ )} V {h x( X µ X ) + h y (Ȳ µ Y )} = h 2 xv ( X) + h 2 yv (Ȳ ) + 2h xh y Cov( X,Ȳ ) = 1 { h 2 n x σx 2 + h 2 yσy 2 } + 2h x h y σ X,Y Nanostatistik: Konfidensinterval p. 32/37
33 Produkt af to binomialfordelte µ X = p, µ Y = q, σ 2 X = p(1 p), σ2 Y = q(1 q), σ X,Y = 0 h(x,y) = xy, h x = q, h y = p V ( XȲ ) 1 n = 1 n [ h 2 x σ 2 X + h 2 yσ 2 Y [ q 2 p(1 p) + p 2 q(1 q) ] ] Den sande varians er: V ( XȲ ) = 1 [ n q 2 p(1 p) + p 2 q(1 q) ] + 1 p(1 p)q(1 q) n 2 = 1 [ n q 2 p(1 p) + p 2 q(1 q) ]{ } n n = 10, p = q = q 1 q + p 1 p = Nanostatistik: Konfidensinterval p. 33/37
34 Propagation of error h( X, Ỹ ) Generelt, hvor X og Ỹ har lille varians får vi: h( X,Ỹ ) = h(µ X,µ Y ) + h x ( X µ X ) + h y (Ỹ µ Y ) + Rest og V {h( X,Ỹ )} V {h x( X µ X ) + h y (Ỹ µ Y )} = h 2 xv ( X) + h 2 yv (Ỹ ) + 2h xh y Cov( X,Ỹ ) Nanostatistik: Konfidensinterval p. 34/37
35 Konfidensinterval for log odds ratio X binomial(n,p), Y binomial(m,q), uafhængige V ( X) = p(1 p) n, V (ȳ) = p(1 p) m, Cov( X,Ȳ ) = 0 ( ) θ = log p 1 p 1 q q = g(p) g(q), g(z) = log( 1 z z ) µ X = p, σx 2 = p(1 p), µ Y = q, σy 2 = q(1 q) h(x,y) = g(x) g(y), h x = 1 p(1 p), h y = 1 q(1 q) 1 V (ˆθ) np(1 p) + 1 mq(1 q) Approksimativt 95% konfidensinterval for θ [ˆθ 1 nˆp(1 ˆp) + 1 mˆq(1 ˆq) u 0.975, ˆθ ] + 1 nˆp(1 ˆp) + 1 mˆq(1 ˆq) u Nanostatistik: Konfidensinterval p. 35/37
36 Konfidensinterval for log odds ratio Ex: n = 230, x = 69, ˆp = 0.30, m = 540, y = 216, ˆq = 0.40 ˆθ = log( ) = 0.44 Approksimativt [ 95% konfidensinterval for θ , ] = [ 0.77, 0.11] Nanostatistik: Konfidensinterval p. 36/37
37 Log odds ratio: fede unge Ex: n = 11527, x = 795, ˆp = 0.069, m = 13000, y = 871, ˆq = ˆθ = log( ) = Approksimativt [ 95% konfidensinterval for θ , ] = [ 0.020, 0.082] Nanostatistik: Konfidensinterval p. 37/37
StatDataN: Plot af data
StatDataN: Plot af data JLJ StatDataN: Plot af data p. 1/39 Repetition binomial(n,p): P(X = k) = ( n) k p k (1 p) n k n uafhængige kast med en mønt, X= antal krone X binomial(n, p), Y binomial(m, p), uafhængige
Læs mereNanostatistik: Test af hypotese
Nanostatistik: Test af hypotese JLJ Nanostatistik: Test af hypotese p. 1/50 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereStatDataN: Test af hypotese
StatDataN: Test af hypotese JLJ StatDataN: Test af hypotese p. 1/69 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereHvad er danskernes gennemsnitshøjde? N = 10. X 1 = 169 cm. X 2 = 183 cm. X 3 = 171 cm. X 4 = 113 cm. X 5 = 174 cm
Kon densintervaller og vurdering af estimaters usikkerhed Claus Thorn Ekstrøm KU Biostatistik ekstrom@sund.ku.dk Marts 18, 2019 Slides @ biostatistics.dk/talks/ 1 Population og stikprøve 2 Stikprøvevariation
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingens venner og bekendte Helle Sørensen Uge 9, onsdag SaSt2 (Uge 9, onsdag) Normalfordelingens venner 1 / 20 Program Resultaterne fra denne uge skal bruges
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereNanostatistik: Opgaver
Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mere1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereProgram: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19
Program: 1. Repetition: p-værdi 2. Simpel lineær regression. 1/19 For test med signifikansniveau α: p < α forkast H 0 2/19 p-værdi Betragt tilfældet med test for H 0 : µ = µ 0 (σ kendt). Idé: jo større
Læs mereResumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat θˆmed en tilhørende se
Epidemiologi og biostatistik. Uge, torsdag 5. februar 00 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. Type og type fejl Statistisk styrke Nogle speciale metoder: Normalfordelte data : t-test eksakte sikkerhedsintervaller
Læs merePraktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser
Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag
Læs mereOmrådeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30
Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ)
Læs mereOpgaver til kapitel 3
Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer
Læs mereNanostatistik: Lineær regression
Nanostatistik: Lineær regression JLJ Nanostatistik: Lineær regression p. 1/41 Sammenhænge Funktionssammenhæng: y er en funktion af x. Ex: Hvis jeg kender afstanden mellem to galakser så kender jeg også
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereDagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at
Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af
Læs merePreben Blæsild og Jens Ledet Jensen
χ 2 Test Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen Institut for Matematisk Fag Aarhus Universitet Egå Gymnasium, December 2010 Program 8.15-10.00 Forelæsning 10.15-12.00 Statlab: I arbejder, vi cirkler rundt
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereVejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok
Opgave 1 Vejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok 2 2006 Inge Henningsen og Niels Richard Hansen Analysevariablen i denne opgave er variablen forskel, der for hver af 10 kvinder
Læs meremen nu er Z N((µ 1 µ 0 ) n/σ, 1)!! Forkaster hvis X 191 eller X 209 eller
Type I og type II fejl Type I fejl: forkast når hypotese sand. α = signifikansniveau= P(type I fejl) Program (8.15-10): Hvis vi forkaster når Z < 2.58 eller Z > 2.58 er α = P(Z < 2.58) + P(Z > 2.58) =
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression: Definitioner For en binær (0/) variabel Y antager vi P(Y)p P(Y0)-p Eksempel: Bil til arbejde vs alder
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereHvorfor er normalfordelingen så normal?
Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereHøjde af kvinder 2 / 18
Hvorfor er normalfordelingen så normal? og er den nu også det? Søren Højsgaard (updated: 2019-03-17) 1 / 18 Højde af kvinder 2 / 18 Inddeler man i mindre grupper kan man forestille sig at histogrammet
Læs mere1. februar Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 3. februar 005 Morten Frydenberg, Afdeling for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (ud
Læs mereProgram. Sammenligning af to stikprøver Ikke-parametriske metoder Opsummering. Test for ens spredninger
Program Sammenligning af to stikprøver Ikke-parametriske metoder Opsummering Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Analyse af ikke-parrede stikprøver: repetition of rettelse af fejl! Lidt
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereProgram. 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12
Program 1. ensidet variansanalyse. 2. forsøgsplanlægning: blocking. 1/12 Ensidet variansanalyse: analyse af grupperede data Nedbrydningsrate for tre typer af opløsningsmidler (opgave 13.8 side 523) Sorption
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π
Læs mereRettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007
Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mere02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset
02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mere1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ Teststatistik P-værdi Signifikansniveau...
Indhold 1 Statistisk inferens: Hypotese og test 2 1.1 Nulhypotese - alternativ.................................. 2 1.2 Teststatistik........................................ 3 1.3 P-værdi..........................................
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter
Læs mereModul 12: Regression og korrelation
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 12: Regression og korrelation 12.1 Sammenligning af to regressionslinier........................ 1 12.1.1 Test for ens hældning............................
Læs mereOpgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1)
Kursus 02402: Besvarelser til øvelsesopgaver i uge 9 Opgave 10.1, side 282 (for 6. og 7. ed. af lærerbogen se/løs opgave 9.1) Som model benyttes en binomialfordeling, som beskriver antallet, X, blandt
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden
Læs mereStatistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)
Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/26 PSfrag replacements Statistisk
Læs mereVejledende løsninger kapitel 8 opgaver
KAPITEL 8 OPGAVE 1 Nej den kan også være over 1 OPGAVE 2 Stikprøvestørrelse 10 Stikprøvegennemsnit 1,18 Stikprøvespredning 0,388158 Konfidensniveau 0,95 Nedre grænse 0,902328 Øvre grænse 1,457672 Stikprøvestørrelse
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs mereStatistiske principper
Statistiske principper 1) Likelihood princippet - Maximum likelihood estimater - Likelihood ratio tests - Deviance 2) Modelbegrebet - Modelkontrol 3) Sufficient datareduktion 4) Likelihood inferens i praksis
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereHvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau
Hvad skal vi lave? 1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ. Teststatistik P-værdi Signifikansniveau 2 t-test for middelværdi Tosidet t-test for middelværdi Ensidet t-test for middelværdi
Læs mereStatistisk hypotese. Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).)
Statistisk hypotese Lad P være en statistisk model på (X, E). (P er altså en familie af sandsynlighedsmål på (X, E).) En statistisk hypotese er en delmængde P 0 P.. p.1/23 Statistisk hypotese PSfrag replacements
Læs mereEstimation og usikkerhed
Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 1. IH kapitel 6
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 IH kapitel 6 Overheads til forelæsninger. Uge 41/2005 1 Test i Polynomialfordelingen Forsøg: n uafhængige gentagelse af forsøg med m udfald. Vi observerer x = x 1,...,
Læs mereRettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni timers prøve med hjælpemidler
Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni 2007 4 timers prøve med hjælpemidler Opgaven består af re delopgaver, som alle skal besvares. De re opgaver indgår med samme vægt. Opgaverne
Læs mereNanostatistik: Lineær regression
Nanostatistik: Lineær regression JLJ Nanostatistik: Lineær regression p. 1/69 Repetition Model: X 1,...,X n uafhængige, X i N(µ,σ 2 ) X = n 1 n i=1 X i, s 2 = n 1 1 n i=1 (X i X) 2 Teststørrelse: T = n
Læs mereBasal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse
Basal statistik Esben Budtz-Jørgensen 4. november 2008 Forsøgsplanlægning Stikprøvestørrelse 1 46 Planlægning af et studie Videnskabelig hypotese Endpoints Instrumentelle/eksponerings variable Variationskilder
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereDagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22
Dagens Emner Likelihood teori Lineær regression (intro) p. 1/22 Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 ) = ( 1 2πσ 2)n/2 e 1 2σ 2 P n (x i µ) 2 er tætheden som
Læs mere