Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal"

Transkript

1 Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med et projekt om modee kryptologi med brug af primtal (projekt 06 i A-bogen), og yderligere underbygges ved at inddrage filmen Peter Landrock: Kryptologi i serien Matematisk Forskning 10 danske matematikere 10 matematiske fortællinger, der er frit tilgængelig og tilgås her Hvis man aktuelt alene er interesseret i Euklids sætning om antallet af primtal så gå til side 6-7, diskuter indholdet i aritmetikkens fundamentalsætning, og gennemfør et heuristisk argument for denne Anvend deæst resultatet i beviset for sætning 7 side 7, der er Euklids sætning i modee formulering Man kan også vælge at gennemgå Euklids sætning ud fra et særskilt dokument herom, som du kan hente her Betegnelser Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes At et tal a er et helt tal angives med: a, der læses a tilhører Når vi har to vilkårlige hele tal, kan vi dividere a op i b ved den metode, vi lærte i folkeskolen Resultatet skrives således: b qa r, hvor q Z, og 0 r a (*) Vi vil altid skrive resultatet således, at resten r ligger i dette interval Denne rest kaldes den principale rest Opskrivningen af (*) kaldes divisionsligningen Hvis a går op i b, dvs hvis resten er 0, siger vi at a er divisor i b, og vi skriver: a b Hvis a ikke går op i b skriver vi det af og til således:, men det er ikke en del af det fælles inteationale matematiske sprog ab, ał b Eksempel 1 a = 5, b = 32: a = 3, b = 16: a = 3, b = -16: Bemærk at kravet om 0ragiver en lidt anden divisionsligning for negative tal Eksempel ł Sætning 1 For vilkårlige tal ab, er divisionsligningen éntydig Bevis Antag at vi har to opskrivninger af divisionsligningen: b q1 a r1 b q2a r2, og lad os sige r 1 r 2 Træk fra og få: q q a r r Da 0 r1 a og 0 r2 a vil 0 r2 r1 a Derfor må der gælde: q1q2 0, dvs q1 q2 Indsæt nu dette i de to første ligninger: b q1 a r1 b q1 a r2, hvoraf vi let ser at også r 2 r 1 Konklusion: De to opskrivninger af divisionsligningen var i virkeligheden ens

2 Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Definition Største fælles divisor Givet to tal Det største tal blandt alle de fælles divisorer i a og b kaldes den største fælles divisor ab, ab, i a og b og betegnes med Bemærkning 1 Man møder ofte betegnelsen, men vi nøjes med SFD ab, Bemærkning 2 Undersøg hvilken notation dit værktøjsprogram anvender ab, Eksempel 3 (10,25) = 5 (42,14) = 14 (56,15) = 1 Øvelse 1 a) Hvilken strategi vil du anvende til at bestemme følgende, uden brug af dit værktøjsprogram: 1) (1134,6615) 2) (3026,1489) b) Løs som kontrol opgavee med brug af dit værktøjsprogram Når vi har to ikke alt for store tal, som i øvelsen ovenfor, er det en overkommelig opgave at finde den største fælles divisor uden brug af værktøjsprogrammer, selvom det godt kan tage lidt tid Specielt hvis man usystematisk gætter løs Den hurtigste metode, når vi har med overskuelige tal at gøre, er at finde de to tals fælles primfaktorer Og vi kan jo nøjes med at finde det ene tals primfaktorer, og se hvilke der går op i det andet Største fælles divisor er så produktet af disse primfaktorer Men hvad gør vi, hvis opgaven er at finde største fælles divisor mellem tallene: og ? Der findes en metode til at regne sig frem til ab, for vilkårlige tal a og b En regnemetode kaldes også en algoritme Vi kender en hel del algoritmer: I folkeskolen lærte vi fx multiplikations- og divisionsalgoritmer, så vi kan gange og dividere vilkårlige tal med hinanden Måske har du i gymnasiet lært algoritmen til at udføre polynomiers division, eller en algoritme til bestemmelse af nulpunkter, i tilfælde, hvor vi ikke har en formel

3 Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Euklids algoritme Metoden til at finde største fælles divisor har været kendt siden oldtiden og kaldes Euklids algoritme Den virker på følgende måde overfor tallene a og b, hvor vi antager at a er større end b : Først opskrives divisionsligningen for a divideret med b: a q b r 0 0 Deæst divideres resten b q r r r 0 op i b: Således fortsættes Næste trin er at dividere r0 q2 r1 r2 osv så vi får følgende system af ligninger: a q b r 0 0 b q r r r q r r r q r r n1 n1 n n1 3 r q r r r q r n n2 n1 r 1 op i r 0 : (**) På et tidspunkt vil divisionen gå op og resten blive 0, fordi alle rester er (Overvej selv hvorfor dette er tilfældet) 0 r r r og: Sætning 2, Det tal vi finder ved Euklids algoritme er den største fælles divisor: Før vi argumenterer for denne påstand ser vi på hvordan Euklids algoritme virker i praksis a b Eksempel 4 Vi ønsker at finde den største fælles divisor af to store tal, som fx og Vi opskriver trin for trin divisionsligningee efter systemet i (**): Altså er de to store tals største fælles divisor ifølge Euklids algoritme lug med 18 Et lille teknisk råd: Ved de enkelte divisioner fås decimaltal fx: : = 30, De fleste værktøjsprogrammer kan udføre heltals division med rest undersøg om dit kan Hvis ikke, så kan heltalsdelen 30 let aflæses kvotienten Resten findes lettest ved at gange decimalresten 0, med Det giver den søgte rest:

4 Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Bevis for sætning 2, dvs for at Euklids algoritme virker Først vises, at er en divisor i a og b Se igen på ligningssystemet (**) (og sammenlign evt med taleksemplet) Gennemgå det nedefra og op: Sidste ligning fortæller, at Næstsidste ligning giver derfor, at går op i r n går op i begge led på højre side, derfor også op i venstre side, dvs går op i Tredjesidste ligning giver derfor Og næstøverste ligning giver derfor at r n+1 går op i begge led på højre side, derfor også op i venstre side, dvs går op i b Øverste ligning giver derfor at r n+1 går op i begge led på højre side, derfor også op i venstre side, dvs går op i a Konklusion: er en divisor i a og b Deæst vises, at er den største divisor i a og b Dette gør vi ved at vise, at såfremt et tral t går op i både a og b, så går tallet t også op i Men så vil t specielt være mindre end Dertil laver vi følgende lille ændring i ligningssystemet (**): a q b r 0 0 b q r r r q r r r1 q3 r2 r3 r q r r n1 n1 n n1 qn2 1 0 Læs disse ligninger oppe fra og ned igennem: Første ligning fortæller, at hvis et tal t er divisor i a og b, går det op i begge led på venstre side, derfor også op i højre side, dvs t er divisor i Anden ligning fortæller, at hvis t er divisor i b og i op i højre side, dvs t er divisor i Tredje ligning fortæller Og næstsidste ligning giver endelig, at t går op i r 0 r 1 r 0 (***) Konklusion: Hvis et tal t er en divisor i a og b er det også en divisor i a b, største fælles divisor: beviset!), så går det op i begge led på venstre side, derfor også Denne må derfor være den (Slut på Euklids algoritme er et vigtigt værktøj i modee kryptografiske systemer som RSA Den anvendes bla til at konstruere nøglen, der kan låse en smæklås op Følgende sætning, der er en af hovedsætningee i talteorien, og som vi får ud fra Euklids algoritme, er et af de centrale værktøjer her: Sætning 3 Den største fælles divisor d af to tal a og b ( a, b d )) kan skrives på formen: d sat b, hvor st, Vi siger også, at d er skrevet som en linearkombination af a og b (Bemærk, at et af tallene s og t naturligvis vil være negativt)

5 Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Bevis Se på ovenstående udgave (***) af ligningssystemet, hvor alle r'ee er isoleret til højre fælles divisor, som vi nu kalder d Start med den næstnederste: d 1qn 1, og indsæt heri fra den tredjenederste, (der hedder 2 qn 1 ) d r q r r n n1 n1 n r q r q r n1 n1 n2 n n1 q q r q r n1 n n1 n1 n2 Nu er d skrevet som en kombination af Indsæt heri som en kombination af r og r n1 n2 fra den fjerdenederste, (opskriv selv hvad denne hedder: r og r n2 n3 r n 1 er den største ), reducer og få d skrevet Vi fortsætter nu med at indsætte ligning efter ligning op gennem rækken For hvert trin skrives d som en kombination af r'ee, indtil vi til sidst indsætter Tilbage på højre side er så 'et eller andet tal' gange a + 'et eller andet tal' gange b: d sat b, hvor st, r og r 1 0 Øvelse 2 18 kan altså skrives som en sådan kombination af de to store tal fra eksemplet ovenfor Det kræver lidt regnearbejde Men uden Euklids algoritme ville opgaven nok have virket uoverkommelig a) Undersøg om dit værktøjsprogram kan løse opgaven b) De 4 nederste divisionsligninger var: og her står jo, at de4 også gælder at 3240, Bestem ved håndkraft s og t så 18 s3240 t 2898 Øvelse 3 a) Bestem største fælles divisor af tallene og 10465, og skriv den største fælles divisor som en linearkombination af de to tal, som angivet i sætning 3 b) Vis, at største fælles divisor af tallene 1309 og 1235 er tallet 1, og bestem s og t så 1 s1309 t 1235

6 Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Primiske tal og primtal Øvelse 4 For ethvert par af tal s og t vil s a t b d a, b være et helt tal er et af disse tal ifølge sætning 3 Der gælder yderligere, at det er lige præcis det mindste positive tal, der kan skrives således Vis dette (Hint: Der må findes et mindste positivt tal e, på formen: s a t b Vis at e = d) Definition Indbyrdes primisk Hvis den største fælles divisor for a og b er 1, kaldes a og b for indbyrdes primiske Når findes ifølge sætning 3 tal s og t, så sat b Dette kan vi nu udnytte til at vise en vigtige sætning i talteorien: ab, Sætning 4 Hvis og p er primisk med a (dvs Bevis Når p er primisk med a, findes hele tal s og t, så: sa t p Gange ligningen igennem med b: sab t pb b p går op i tallene på venstre side af lighedstegnet p a b Derfor går p også op i højre side: pb ap, ), så gælder: pb To forskellige primtal er altid primiske Og hvis et primtal går op i et andet primtal, må der være tale om det samme primtal Sætning 4 giver derfor umiddelbart også: Sætning 5 Antag tallet N er skrevet som et produkt af primtal: N p1 p2 p3 pn Hvis p er et primtal, og pn, så gælder, at : p pi for et af primtallene i faktoriseringen af N

7 Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Øvelse 5 Anvend sætning 5 til at bevise aritmetikkens fundamentalsætning: Sætning 6 (Aritmetikkens fundamentalsætning) Ethvert helt tal kan skrives på en og kun en måde som et produkt af primtal, dvs primtalsfaktoriseringen af et helt tal er entydig (Hint: Første del, nemlig at der findes en primtalsfaktorisering af ethvert helt tal, er simpelt: Enten er det selv et primtal, eller det er et sammensat tal, dvs det kan skrives som et produkt Hver af disse tal er enten primtal eller sammensatte tal osv, indtil vi når frem til, at alle faktorer er primtal Anden del, entydigheden: Antag, at der to primtalsfaktoriseringer af et tal: p p p p q q q q, n hvor alle faktorer er primtal Anvend nu sætning 5 til at vise, at væk og tag fat på det næste p osv) m p 1 må være lig med et af q ee Forkort Vi kalder denne opskrivning for primfaktoropløsningen af N Sætningen siger altså at primfaktoropløsningen er éntydig Eksempel 4 Primfaktoropløsninger a) b) Øvelse 6 Opskriv uden brug af værktøj en primfaktoropløsning af : a) 42 b) 81 c) 225 d) 117 e) 1368 f) 2093 g) 1024 h)1025 Øvelse 7 Anvend dit værktøj til at opskrive en primfaktoropløsning af: 32 a) 3397 b) c) d) 2 Sætning 7 Den største fælles divisor for to hele tal a og b er produktet af deres fælles primfaktorer Bevis: Vi opskriver en primfaktoropløsning af de to tal således: a p1 p2 p3 pk q1 q2 q3 qs b p1 p2 p3 pk r1 r2 r3 rt hvor q'ee og r'ee alle er forskellige Overvej selv hvorfor vi kan gøre det! Sætningen siger: d ( a, b) p1 p2 p3 pk Det er klart at d er en divisor i a og b Lad os nu sige vi har et tal e, der er divisor i a og b Opskriv så for e: e e1 e2 e3 en Alle 'ee er divisor i a og b Hvis af a's primfaktorer Det samme må gælde for b Så lig en af d's primfaktorer Således ser vi, at e1 går op i d Dette kan vi fortsætte, og får derfor, at e går op i d, så d er den største fælles divisor e i e 1 går op i a, må det gå op i en af primfaktoree; men e 1 er selv et primtal, så e 1 må være lig med en e 1 må være lig en af de fælles primfaktorer, altså netop

8 Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Øvelse 8 Når vi bevæger os op gennem talrækken til stadigt større tal, og på vores vej leder efter primtal, så smider vi undervejs alle sammensatte tal væk, dvs alle tal i 2-tabellen, alle tal i 3-tabellen, alle tal i 5-tabellen osv Man kunne få den tanke, at vi på et tidspunkt får smidt alle tale væk, dvs at der ikke findes flere primtal Men det gør der Allerede hos Euklid finder vi den næste sætning, der i vores formulering lyder: Sætning 7 Der findes uendeligt mange primtal Bevis: Vi viser det inddirekte Antag der kun var endeligt mange primtal: p1, p2, p3,, p k Vi vil bevise, at dette fører til en modstrid Dermed må vi så få, at antagelsen er forkert Betragt tallet: N p1 p2 p3 p 1 k N er større end alle p'ee Hvis N er et primtal har vi allerede en modstrid, for så har vi fundet endnu et primtal Hvis N er sammensat har det en primfaktor q Hvis q er et af tallene p1, p2, p3,, pk vil q gå op i tallet p1 p2 p3 pk Men så kan q jo ikke også gå op i N p1 p2 p3 p 1 k (q er større end 1, så "qtabellens" skridt fremad på talaksen er større end 1) Derfor kan q ikke være et af tallene p1, p2, p3,, p k Altså har vi fundet et nyt primtal q Men det var i modstrid med antagelsen Der findes således uendeligt mange primtal Man har gennem tidee været fascineret af disse mærkelige tal, og søgt at finde et system i dem Men man regner i dag med, at der ikke kan findes en formel eller en algoritme, der giver os primtallene Hvert nyt primtal må vi lede efter Men nøjes vi med at se statistisk på sagee findes der et mærkeligt system i primtallene Man har i matematikhistorien indført en funktion, der betegnes, og som angiver antallet af primtal der er mindre end n Det viser sig nu, at der gælder følgende mærkelige formel (hvor tegnet betyder, det er en tilnærmelse: πn n ln( n) Det var Gauss ( ), en af de største matematikere, der har levet, der har æren af formlen En dag, han som 14 årig sad og kiggede i en logaritme-tabel fik han ideen, og kradsede den ned i margenen Et egentlig bevis blev først givet sidst i 1800-tallet, og beviset er meget vanskeligt Men faktisk kan vi allerede hos Euler finde noget, der minder om denne formel Leonard Euler ( ) er den mest produktive matematiker, der har levet - han skrev artikler og bøger, og en stor del af dem i de sidste 20 år af sit liv, hvor han var blind π n Øvelse 8 a) Giv en fortolkning af tallet πn n (Hint: Husk formlen fra sandsynlighedsregningen: Antal gunstige divideret med Antal mulige) b) Vi trækker et tilfældigt tal mindre end 1 million Vis, at sandsynligheden for, at det er et primtal er ca 7,2% c) Vis, at sandsynligheden for, at et tilfældigt valgt tal under 1 mia er et primtal, er ca 4,8%

9 Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Øvelse 9 Kryptosystemet RSA, som vi undersøger i et projekt i Hvad er matematik? 3, bygger netop på det manglende system i primtallene For at undgå at koden kan knækkes ved at starte forfra med primtallene 2,3,5, skal vi have nogle gigantiske primtal til rådighed I RSA drejer det sig om primtal med et antal cifre på flere hundrede Er det nu muligt overhovedet at finde primtal med feks 100 cifre? Kan du afgøre, hvad sandsynligheden er for, at et tilfældigt tal mellem og er primtal?

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering RSA

Matematikken bag kryptering og signering RSA Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem

Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Eulers sætning Matematikken bag kryptering og signering v.hj.a. RSA Et offentlig nøgle krypteringssytem Johan P. Hansen 18. april 2013 Indhold 1 Indbyrdes primiske hele tal 1 2 Regning med rester 3 3 Kryptering

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering RSA

Matematikken bag kryptering og signering RSA Matematikken bag kryptering og signering RSA Oversigt 1 Indbyrdes primiske tal 2 Regning med rester 3 Kryptering og signering ved hjælp af et offentligt nøgle kryptosystem RSA Indbyrdes primiske hele tal

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Noter om primtal. Erik Olsen

Noter om primtal. Erik Olsen Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et

Læs mere

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi)

KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) KRYPTOLOGI ( Litt. Peter Landrock & Knud Nissen : Kryptologi) 1. Klassiske krypteringsmetoder 1.1 Terminologi klartekst kryptotekst kryptering dekryptering 1.2 Monoalfabetiske kryptosystemer 1.3 Additive

Læs mere

Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen

Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Matematiske metoder - Opgavesæt

Matematiske metoder - Opgavesæt Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

Projekt 0.6 RSA kryptering

Projekt 0.6 RSA kryptering Projekt 0.6 RSA kryptering 1. Introduktion. Nøgler til kryptering Alle former for kryptografi prøver at løse følgende problem: En afsender, A ønsker at sende en mdelelse til en modtager, M, såles at den

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 24. august 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

Integer Factorization

Integer Factorization Integer Factorization Per Leslie Jensen DIKU 2/12-2005 kl. 10:15 Overblik 1 Faktorisering for dummies Primtal og aritmetikkens fundamentalsætning Lille øvelse 2 Hvorfor er det interessant? RSA 3 Metoder

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Elementær Matematik. Mængder og udsagn

Elementær Matematik. Mængder og udsagn Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011

Archimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011 Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Projekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal

Projekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur

6. december. Motivation. Internettet: Login til DIKU (med password) Handel med dankort Fortrolig besked Digital signatur 6. december Talteoretiske algoritmer, RSA kryptosystemet, Primtalstest Motivation Definitioner Euclids algoritme Udvidet Euclid RSA kryptosystemet Randominserede algoritmer Rabin-Miller primtalstest Svært

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)

Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau) Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette

Læs mere

Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF

Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF Matematikken bag kryptering og signering NemID RSA Foredrag i UNF Disposition 1 PKI - Public Key Infrastructure Symmetrisk kryptografi Asymmetrisk kryptografi 2 Regning med rester Indbyrdes primiske tal

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

DM72 Diskret matematik med anvendelser

DM72 Diskret matematik med anvendelser DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Regning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.

Regning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab. Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske

Læs mere

Polynomiumsbrøker og asymptoter

Polynomiumsbrøker og asymptoter Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Elementær Matematik. Tal og Algebra

Elementær Matematik. Tal og Algebra Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Forord 3 Strukturen i denne bog 6

Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Projekt Pascals trekant

Projekt Pascals trekant ISBN 988089 Projekter: Kapitel 9 Projekt 9 Pascals trekant Projekt 9 Pascals trekant Et af målene i dette afsnit er at generalisere kvadratsætningerne, så vi fx umiddelbart og uden nødvendigvis at bruge

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru. 1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π

π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst

Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet

Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Store Uløste Problemer i Matematikken. Lisbeth Fajstrup Aalborg Universitet Oversigt Hvad er et stort problem i matematik Eksempler fra 1900 og fra 2000 Problemer om tal perfekte tal, primtal. Meget store

Læs mere

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003

Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 Primtalsfaktorisering - nogle nye resultater og anvendelser Regionalmøde Haderslev, 19. november 2003 http://home.imf.au.dk/matjph/haderslev.pdf Johan P. Hansen, matjph@imf.au.dk Matematisk Institut, Aarhus

Læs mere

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point:

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point: Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium De 4 regnearter (aritmetik) Aritmetik: kommer af græsk: arithmetike = regnekunst arithmos = tal Aritmetik er læren om tal og operationer på tal som de 4 regnearter.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Secret sharing - om at dele en hemmelighed Matematiklærerdag 2017

Secret sharing - om at dele en hemmelighed Matematiklærerdag 2017 Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik, Aarhus universitet 24. marts 2017 Resumé Secret sharing henviser til metoder til fordeling af en hemmelighed blandt en gruppe af deltagere, som hver især

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Fortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P

Fortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P Fortløbende summer NMCC 2018 Danmark Muldbjergskolen 8.P 1 Indholdsfortegnelse: S. 3 Vores første observationer S. 4 Ulige antal af fortløbende tal S. 6 Lige antal af fortløbende tal S. 8 Udvikling af

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere