Den homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1

Transkript

1 1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy an 1 + any = 0 (1.2) dt D n(y) = 0 (1.6)

2 2/7 Karakterligningen og løsninger Karakterligningen hørende til ligningen D n(y) = 0 er P (λ) = a 0λ n + a 1λ n a n 1λ + a n = 0. Man er ofte interesseret i den fuldstændige reelle løsning. I den forbindelse er der to problemstillinger: Sætning 1.6 giver kun en basis for løsningsrummet, hvis karakterligningen har n forskellige rødder. Karakterligningen kan have komplekse rødder, der leder til komplekse løsninger.

3 Multiple rødder 3/7

4 Reelle løsninger 4/7

5 Den fuldstændige reelle løsning 5/7

6 6/7 Den inhomogene ligning Vi betragter nu den inhomogene ligning D n(y) = u (1.14) En partikulær løsning findes ved hjælp af gættemetoden. Betragt en ligning på formen D n(y) = c 1u 1 + c 2u 2

7 7/7 Overføringsfunktioner Til en differentialligning på formen a 0y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = b 0u (m) + b 1u (m 1) + + b mu (1.16) knyttes overføringsfunktionen H(s) = b0sm + b 1s m b m 1s + b m a 0s n + a 1s n a n 1s + a n, (1.20) defineret på mængden {s C P (s) 0}.

8 1/9 Det homogene system Vi betragter det homogene system ẋ = Ax. (2.10) Vi definerer det karakteristiske polynomium som P (λ) = det (A λi)

9 Reelle løsninger 2/9

10 Geometrisk multiplicitet og løsninger 3/9

11 4/9 Geometrisk multiplicitet og løsninger Se Eksempel 2.12 i bogen.

12 Fuldstændig løsning 5/9

13 6/9 Det inhomogene system Vi betragter det inhomogene system ẋ = Ax + u. (2.21) Sætning (Analog til Sætning 1.20) Lad y 0 betegne en løsning til ligningen (2.21) og lad y HOM betegne samtlige løsninger til den tilsvarende homogene ligning. Da er samtlige løsninger til (2.21). y = y 0 + y HOM En partikulær løsning kan ofte findes via gættemetoden. Superpositionsprincippet gælder for lineære systemer af differentialligninger.

14 7/9 Fundamentalmatricen Vi giver her samme definition med et lidt andet ordvalg: Definition (Fundamentalmatrix) Antag at x 1(t), x 2(t),..., x n(t) er n lineært uafhængige løsninger til det homogene system ẋ = Ax. Vi definerer fundamentalmatricen Φ ved Φ(t) = (x 1(t), x 2(t),..., x n(t)), t I. (2.17) Dvs. Φ(t) er matricen med funktionerne x 1(t),..., x n(t) som søjler. Det bemærkes at fundamentalmatricen ikke er entydigt bestemt. F.eks. kan søjlerne ombyttes frit.

15 Fundamentalmatricens egenskaber 8/9

16 9/9 Den generelle løsningsformel Den generelle løsningsformel er meget regnetung og bør derfor kun anvendes, hvis gættemetoden ikke virker.

17 1/7 Overføringsfunktioner for systemer Vi betragter et system på den specielle form { ẋ = Ax + bu, y = d x (2.32) Vi definerer overføringsfunktionen hørende til systemet (2.32) ved for de s C for hvilke det(a si) 0. H(s) = d (A si)b (2.36)

18 2/7 Begrænsede funktioner Definition (Begrænset funktion) Lad I R. En funktion f : I C siges at være begrænset, hvis der findes en konstant K > 0 således at f(t) K for alle t I. En vektorfunktion x: I C n, x(t) = x 1(t). x n(t) er begrænset, hvis alle dens koordinatfunktioner x 1,..., x n hver især er begrænsede. Dette er ensbetydende med at der findes en konstant K > 0 så x(t) := x 1(t) x n(t) 2 K for alle t I.

19 3/7 Stabilitet Vi betragter de homogene system ẋ(t) = Ax(t), t [t 0, [. (2.41)

20 4/7 Resultater vedrørende stabilitet Vi betragter de homogene system ẋ(t) = Ax(t), t [t 0, [. (2.41)

21 Routh-Hurwitz kriterium Det er muligt at afgøre om et system er asymptotisk stabilt uden at udregne egenværdierne. 5/7

22 Korollarer Routh-Hurwitz kriterium 6/7

23 7/7 Stabilitet for inhomogene systemer Vi betragter det inhomogene system ẋ(t) = Ax(t) + u(t), t [t 0, [. (2.51)

24 1/4 Uegentlige integraler Nyttigt resultat: Lad p R. Det uegentlige integral 1 1 x p dx er konvergent for p > 1 og divergent for p 1.

25 2/4 Talfølger For en uendelige talfølge anvendes notationen {x n} n=1 = {x 1, x 2,...}.

26 3/4 Taylorpolynomier Definition (Taylorpolynomiet) Lad I R være et interval og lad f : I R være en (uendeligt ofte) differentiabel funktion. Lad x 0 I og N N. Det N te Taylorpolynomium for f i punktet x 0 defineres som P N (x) = f(x 0) + f (x 0) 1! N = n=0 f (n) (x 0) (x x 0) n. n! (x x 0) + f (x 0) 2! (x x 0) f (N) (x 0) (x x 0) N N!

27 Taylors sætning 4/4

28 1/5 Uendelige rækker En uendelig række er et udtryk på formen hvor a n R (eller C) for alle n N. a n n=1 For en given uendelige række defineres den N te afsnitssum som tallet N S N = a a N = a n (4.20) n=1 Den N te afsnitssum er altså summen af rækkens N første led.

29 2/5 Uendelige rækker Bemærk: n te-ledskriteriet kan aldrig bruges til at slutte at en række er konvergent.

30 Konvergenskriterier 3/5

31 4/5 Absolut konvergens Bemærk at (4.27) er en generalisering af trekantsuligheden.

32 5/5 Kvotientkriteriet Bemærk at hvis C = 1 giver kvotientkriteriet ingen konklusion. Man må i så fald finde en anden metode til at afgøre om rækken er konvergent eller divergent.

33 1/5 Integralkriteriet Betragt en uendelig række n=1 a n. I visse tilfælde kan det være en fordel at betragte rækkens led som funktionsværdier. Man skal altså finde en funktion f : [1, [ C, så a n = f(n) for alle n N (eller i hvert fald fra et vist n og opefter).

34 Integralkriteriet 2/5

35 3/5 Vurdering af summen af en uendelig række Lad os antage at vi ønsker at bestemme summen f(n) med en fejl der ikke overstiger et givet tal ε > 0. Metode (i): Vælg N N således at Så vil den endelige sum uendelige sum. N+1 N n=1 n=1 f(x)dx + f(n + 1) ε. f(n) højst afvige med ε fra den ønskede Metode (ii): Vælg N N således at f(n + 1) ε. Da vil tallet N n=1 f(n) + f(x)dx N+1 højst afvige med ε fra den ønskede uendelige sum.

36 4/5 Alternerende rækker Rækker med skiftevis positive og negative led kaldes alternerende rækker.

37 Alternerende rækker 5/5

38 Kvotientrækker 1/5

39 Taylorrækker / potensrækker 2/5

40 3/5 Potensrækker Tallet ρ kaldes for rækkens konvergensradius. I tilfældene (i) og (ii) sættes ρ til henholdsvis 0 og. Bemærk at tilfældet (iii) ikke udtaler sig om konvergens hvis x = ρ.

41 Potensrækker 4/5

42 Differentiation og integration af potensrækker 5/5

43 Uniform konvergens 1/3

44 Majorantrække og uniform konvergens 2/3

45 Ledvis integration og differentiation 3/3

46 1/4 Fourierrækker En funktion f : R C kaldes 2π-periodisk hvis f(x + 2π) = f(x) for alle x R. Se også Appendix C i lærebogen om funktioner med andre perioder.

47 Lige og ulige funktioner 2/4

48 Fourierrækker for lige og ulige funktioner 3/4

49 Fouriers sætning 4/4

50 Vurdering af sum for Fourierrækker 1/5

51 Fourierrækker på kompleks form 2/5

52 Reel form kompleks form 3/5

53 4/5 Reel form og kompleks form Det bemærkes at den reelle form og den komplekse form af en Fourierrække blot er to forskellige notationer for præcis den samme række. Der gælder altså 1 2 a0 + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) = c ne inx n=1 n= Fouriers sætning (Sætning 6.12) kan derfor også skrives med den komplekse notation:

54 5/5 Parsevals sætning For visse uendelige rækker kan summen findes ved brug af Parsevals sætning - nemlig hvis rækken kan skrives som en sum af Fourierkoefficienter for en funktion f.

55 Fourierrækkemetoden 1/2

56 2/2 Fourierrækkemetoden Procedure for brug af Sætning 7.8: 1. Tjek at differentialligningssystemet (2.32) er asymptotisk stabilt. 2. Beregn overføringsfunktionen H(s) (husk at angive definitionsmængden). 3. Opstil Fourierrækken for påvirkningen u, u n= c ne int. 4. Tjek at u er 2π-periodisk, stykkevis differentiabel og kontinuert, så u(t) = n= c ne int. 5. Opstil løsningen y(t) = n= cnh(in)eint. 6. (Ofte:) Find N N så y(t) N n= N c nh(in)e int ɛ for alle t R.

57 1/4 Ligninger med variable koefficienter Vi betragter den inhomogene 2. ordensligning d 2 y dt 2 dy + a1(t) + a2(t)y = u(t), t I, (1.36) dt hvor a 1, a 2 og u er givne funktioner, og y = y(t) er den søgte løsning. Den tilsvarende homogene ligning er d 2 y dt 2 dy + a1(t) + a2(t)y = 0, t I. (1.37) dt Sætning 1.31 (se næste slide) fortæller at hvis vi kan finde en løsning y 1 til den homogene ligning (1.37), som opfylder at y 1(t) 0 for alle t I, så kan vi også finde den fuldstændige løsning både til den homogene ligning (1.37) og til den inhomogene ligning (1.36).

58 Ligninger med variable koefficienter 2/4

59 3/4 Potensrækkemetoden Vi betragter en differentialligning på formen a 0(t) dn y dt n + a1(t) dn 1 y dt n 1 dy + + an 1(t) + an(t)y = 0, t I (7.1) dt Oftest vil vi have n = 2 og a 0(t) = 1, så ligningen får formen d 2 y dt 2 dy + a1(t) + a2(t)y = 0, t I. (1.37) dt Potensrækkemetoden: 1. Gæt på en potensrækkeløsning y(t) = n=0 cntn. 2. Indsæt i den homogene ligning (7.1) eller (1.37) og bestem koefficienterne c n, så vi får en løsning. 2.1 Start med (om nødvendigt) at ændre summationsindex, så alle summer får t (eller x) i samme potens, 2.2 Træk dernæst (om nødvendigt) led ud af nogle summer, så der summes over de samme n i alle summer. 3. Find konvergensradius for den fundne potensrække. 4. Evt. find N så y(t) N n=0 cnxn ɛ for t i et passende interval.

60 4/4 Potensrækkemetoden Er der nogen garanti for at potensrækkemetoden virker? Ja, hvis a 1 og a 2 er analytiske funktioner (se sætning nedenfor).

61 1/4 Ulineære systemer Vi betragter et system på formen ẋ 1(t) = f 1 (x 1(t),..., x n(t)),. ẋ n(t) = f n (x 1(t),..., x n(t)), (3.1) hvor f 1,..., f n er funktioner R n R. På vektorform kan systemet skrives som ẋ(t) = f (x(t)). (3.2) Systemet kaldes et ulineært autonomt differentialligningssystem.

62 Stationære punkter og stabilitet 2/4

63 3/4 Stationære punkter og stabilitet For en vektorfunktion f : R n R n defineres funktionalmatricen Df i et punkt x R n ved f 1 f x 1 (x) 1 x n (x) Df(x) = f n f x 1 (x) n x n (x)

64 4/4 Faseportræt i Maple Eksempel: Vi vil tegne et faseportræt for systemet { ẋ1 = x 2, x 2 = x 1 + x 1x 2. Nedenfor defineres systemet som ligningerne eqn1 og eqn2. Dernæst beder vi Maple om et faseportræt på området x 1 [ 2, 2], x 2 [ 2, 2] og vi lader t [ 1, 1]. Se mere i lærebogens appendix D.3.2.

65 1/7 Vurdering af sum for uendelige rækker Matematik 2 August 2016

66 Rækker med positive led Lad f : [1, [ [0, [ være en kontinuert og aftagende funktion. Vi ønsker at bestemme summen a n = f(n) med en fejl der ikke overstiger et givet tal ε > 0. n=1 n=1 Metode (i): Vælg N N således at N+1 N f(x)dx + f(n + 1) ε. Så vil den endelige sum f(n) højst afvige med ε fra den ønskede n=1 uendelige sum, dvs. f(n) N f(n) ɛ. n=1 n=1 Metode (ii): Vælg N N således at f(n + 1) ε. Da vil tallet N f(n) + f(x)dx N+1 n=1 højst afvige ( med ε fra den ønskede uendelige sum, dvs. N f(n) f(n) + ) f(x)dx ɛ. N+1 n=1 n=1 2/7

67 3/7 Rækker med positive led Bemærk: Både metode (i) og metode (ii) giver en tilnærmet værdi for rækken f(n), men det er forskelligt, hvordan det tilnærmende udtryk n=1 ser ud. I metode (i) er det afsnitssummen n=1 f(n) + f(x)dx. N+1 N n=1 f(n), i metode (ii) er det Dette betyder at hvis opgaven lyder på at bestemme N så afsnitssummen kommer tæt på den uendelige række, dvs. så N a n a n ɛ n=1 er man nødt til at benytte metode (i). n=1

68 Alternerende rækker Rækker med skiftevis positive og negative led kaldes alternerende rækker, se Definition 4.37 i lærebogen. Til at vurdere summen for en alternerende række benyttes Leibniz kriterium (hvis forudsætningerne for dette er opfyldt). 4/7

69 5/7 Generelle rækker For en absolut konvergent række a n bemærkes at (ifølge sætning 4.27) n=0 n=0 N a n a n = n=0 n=n+1 a n n=n+1 a n. Rækken til højre har positive led, så hvis vi kan finde en kontinuert, aftagende funktion f : [1, [ [0, [, således at har vi ifølge korollar 4.35 at n=n+1 f(n) = a n for alle n N a n N+1 f(x)dx + f(n + 1). Vi skal nu blot finde et N, så f(x)dx + f(n + 1) ɛ, og dette vil så N+1 sikre at N a n a n ɛ. n=0 n=0

70 6/7 Forierrækker Hvis f er en kontinuert, stykkevis differentiabel og 2π-periodisk funktion (og derfor ifølge Korollar 6.13 lig med sin egen Fourierrække) kan vi bruge korollar 6.16 til at finde N. Dette kan dog kun bruges hvis vi kender funktionen f, så vi kan finde dens afledede f. Hvis vi kun kender f udtrykt som en række, kan vi ikke bruge korollar I stedet kan vi bruge sætning 6.17 (se næste slide).

71 7/7 Forierrækker Hvis vi har en funktion f som er givet ved (altså lig med) sin Fourierrække, dvs. f(x) = 1 2 a0 + (a n cos(nx) + b n sin(nx)) n=0 kan vi benytte sætning 6.17, som giver f(x) S N (x) n=n+1 ( a n + b n ), for all x R. Rækken til højre har positive led, så hvis vi kan finde en kontinuert, aftagende funktion g : [1, [ [0, [, således at har vi ifølge korollar 4.35 at n=n+1 g(n) = a n + b n for alle n N ( a n + b n ) N+1 g(x)dx + g(n + 1). Vi skal nu blot finde et N, så g(x)dx + g(n + 1) ɛ, og dette vil så N+1 sikre at f(x) S N (x) ɛ.