OPGAVE 1 Det nedenstående klip er fra et Maple-ark hvor en reel funktion f (x, y) med definitionsmængden (x,y) x 2 + y 2 < 1 } bliver undersøgt:
|
|
- Sara Jessen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 7. maj 00. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Vægtning: De fire opgaver har samme vægt. NB: Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. OPGAVE Det nedenstående klip er fra et Maple-ark hvor en reel funktion f (x, y) med definitionsmængden { (x,y) x + y < } bliver undersøgt: > f(0,0); > diff(f(x,y),x); > diff(f(x,y),y); > diff(f(x,y),x,x); > diff(f(x,y),y,y); > diff(f(x,y),x,y); x x y y x y x y 4x ( x y ) x y 4y ( x y ) 4xy ( x y ). Find samtlige stationære punkter for f.. Find samtlige ekstrema for f.. Opstil det approksimerende polynomium P af højst anden grad for f med udviklingspunktet (x 0,y 0 ) = (0,0). OPGAVE. Bestem en symmetrisk matrix A der opfylder ligningen [ ] x x y z A y = x + y + z + x z for alle x,y,z R. z. Bestem en ortogonal matrix Q der opfylder ligningen [ ] x x y z Q T A Q y = x + y for alle x,y,z R, z hvor A er matricen fra spørgsmål. Opgavesættet fortsætter. Vend
2 OPGAVE En cylinderflade F har ledekurven y = cosh(x) for x [0;] og er desuden fastlagt ved z [0;].. Find en parameterfremstilling for F, og bestem den tilhørende Jacobi-funktion.. Bestem arealet af F. En parametriseret rumkurve K er givet ved r(u) = ( u, cosh(u), ) for u [0;].. Bestem Jacobi-funktionen der hører til r, og udregn kurveintegralet z ds.. K OPGAVE 4 Et massivt område Ω i rummet er givet ved parameterfremstillingen r(u,v,w) = ( u cos(v), u sin(v), w ( u ) ) for u [0;],v [0;π] og w [0;].. Bestem rumfanget af Ω. Lad F betegne overfladen af Ω. Om et vektorfelt V(x, y, z) oplyses det at divv(x, y, z) = 5 og at rotv(x,y,z) = (0,,0).. Bestem fluxen af V(x,y,z) ud gennem F. Lad K betegne randkurven af den del af F som ligger i (x,z)-planen.. Bestem det tangentielle kurveintegral af V(x,y,z) langs med K idet K forsynes med en selvvalgt orientering som vises på en skitse. - SLUT -
3 DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 6. maj 0. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. Vægtning: Opgave : 0%, opgave : 5%, opgave : 5% og opgave 4: 0%. OPGAVE En funktion f : R R har været undersøgt med Maple på følgende måde: > mtaylor(f(x),x=,) x + (x ) > diff(f(x),x,x,x); 4 x > plot(f(x),x=0.7...,scaling=constrained,view=[0...5, ]); K x K0.4 K0.6 Lad P (x) betegne det approksimerende andengradspolynomium for f (x) med udviklingspunktet x 0 =, og lad R (x) = f (x) P (x) betegne den tilsvarende restfunktion.. Opskriv P (x), og angiv f (), f () og f ().. Bestem P (.), og vurdér ved hjælp af R (x) den maksimale fejl der begås hvis man benytter værdien P (.) i stedet for værdien f (.). OPGAVE En reel funktion f af to reelle variable er givet ved f (x,y) = y x.. Bestem definitionsmængden for f, og gør rede for at f ikke har stationære punkter. En delmængde af enhedscirkelskiven i (x,y)-planen med centrum i Origo er givet ved M = {(x,y) x + y og x }.. Skitsér M, og bestem den globale maksimumsværdi (størsteværdien) for f på M samt et punkt hvori denne værdi antages. Opgavesættet fortsætter, vend
4 OPGAVE I (x,y,z)-rummet er der givet vektorfeltet V(x,y,z) = (e x, z, y) og en rumkurve K r med parameterfremstillingen r(u) = ( u,sin(u),cos(u) ), u [0, ].. Udregn prikproduktet V(r(u)) r (u), og bestem det tangentielle kurveintegral af V langs K r. En anden rumkurve K s er givet ved s(u) = ( u x o, u y o,u z o ), u [0, ] hvor x o, y o og z o er tre vilkårlige reelle tal.. Udregn prikproduktet V(s(u)) s (u), og bestem det tangentielle kurveintegral af V langs K s.. Undersøg om V er et gradientvektorfelt. OPGAVE 4 z F A x I (x,y)-planen er der givet en reel funktion h(x,y) og en afsluttet, begrænset punktmængde A som afgrænses af rektanglet med hjørnerne (0, ), (, ), (,) og (0,). I det følgende betragtes en flade F som består af den del af grafen for h som ligger (lodret) over A. Det oplyses at F kan parametriseres ved (x,y,z) = r(u,v) = (u, v, u v) hvor u [0, ] og v [, ].. Angiv regneforskriften for h(x,y) for (x,y) A.. En massetæthedsfunktion er givet ved f (x,y,z) = x+y+z. Bestem massen I (x,y,z)-rummet er der givet vektorfeltet V(x,y,z) = (x, y, x y). y F f (x,y,z)dµ.. Bestem det tangentielle kurveintegral (cirkulationen) af V langs randkurven F for F idet F orienteres som vist på figuren. 4. Lad Ω betegne det massive rumlige område som ligger (lodret) mellem A og F. Bestem fluxen af V ud gennem overfladen Ω af Ω. - Slut -
5 DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 0. maj 0. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. Vægtning: Opgave : 5%, opgave : 0%, opgave : 5% og opgave 4: 0%. En funktion f : R R er givet ved OPGAVE f (x,y) = e x y.. Bestem de partielle afledede af første og anden orden for f, og bestem deres værdier i punktet (x 0,y 0 ) = (0,0).. Opstil ved hjælp af resultaterne i spørgsmål det approksimerende andengradspolynomium for f med udviklingspunktet (x 0,y 0 ) = (0,0).. Vis at alle approksimerende andengradspolynomier for f som har udviklingspunkt på linjen y = x, er ens. OPGAVE Lad a være et vilkårligt reelt tal. Om den symmetriske matrix [ ] a A = a oplyses at den har to egenværdier λ = a + og λ = a. Endvidere oplyses at vektorerne (,) og (,) for ethvert a er egenvektorer for A hørende til henholdsvis λ og λ.. Bestem en diagonalmatrix Λ og en positiv ortogonal (også kaldet egentlig ortogonal) matrix Q således at Λ = Q T AQ. En andengradsligning i to variable er givet ved. For hvilke a beskriver ( ) en hyperbel?. For hvilke a beskriver ( ) en ellipse? ( ) ax + ay + x y =. Opgavesættet fortsætter, vend
6 OPGAVE En reel funktion af to reelle variable er givet ved h(x,y) = x. Lad G betegne den del af grafen for h som ligger (lodret) over punktmængden B i (x,y)-planen givet ved B = {(x,y) 0 x og y }.. Find en parameterfremstilling for G. Udregn (med alle mellemregninger) den hertil hørende Jacobi-funktion. En funktion f i rummet er givet ved f (x,y,z) = x + z. y. Gør rede for at G tilhører definitionsmængden for f.. Bestem f (x,y,z)dµ. G OPGAVE 4 Et vektorfelt V i (x,y,z)-rummet er givet ved V(x,y,z) = (z,5y, x).. Bestem divergensen af V og rotationen af V. I (x,z)-planen i rummet betragtes en plan flade F givet ved parameterfremstillingen r(u,v) = v( u ) 0, u [0,], v [0,]. u Z X Y. Bestem det tangentielle kurveintegral (cirkulationen) af V langs randkurven F for F, idet F orienteres som vist på figuren. Et massivt rumligt område Ω er det omdrejningslegeme der gennemløbes når F drejes vinklen π omkring z-aksen.. Opstil en parameterfremstilling for Ω, og bestem den til parameterfremstillingen hørende Jacobi-funktion. 4. Udregn (med alle mellemregninger) rumfanget af Ω. 5. Bestem fluxen af V ud gennem overfladen af Ω. - Slut -
7 DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den. maj 0. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. Vægtning: Opgave : 5%, opgave : 5%, opgave : 5% og opgave 4: 5%. En funktion f : R R er givet ved Endvidere er en punktmængde M givet ved OPGAVE f (x,y) = x cos(y). M = {(x,y) R x π og π y π}.. Bestem gradienten for f i ethvert punkt (x,y), og angiv specielt gradientens koordinater i punktet (0, 0).. Bestem samtlige stationære punkter for f i det indre af M.. Bestem det globale maksimum og det globale minimun for f på M. OPGAVE Lad (x,y,z) betegne koordinaterne for en vilkårlig vektor i (R, ). Et andengradspolynomium f er givet ved forskriften f (x,y,z) = xy z.. Bestem en symmetrisk matrix A som opfylder f (x,y,z) = [ x y z ] x A y. z. Bestem en sædvanligt orienteret ortonormal basis for R bestående af egenvektorer for 0 0 matricen Lad ( x,ỹ, z) betegne koordinaterne for en vektor med hensyn til den nye basis der er angivet som svar på spørgsmål. Angiv den reducerede form som forskriften for f antager i ( x, ỹ, z)-koordinater. Opgavesættet fortsætter, vend
8 OPGAVE Vi betragter en lukket, orienteret rumkurve K som ligger i (x,z)-planen. K består af to dele, K og K, se figuren. z K > - x K. y K er givet ved parameterfremstillingen r(u) = ( u,0,), u [, ]. K er givet som punktmængden { (x,y,z) x [, ], y = 0 og z = x }. K er orienteret som vist på figuren.. Angiv en parameterfremstilling for K. To vektorfelter, U og V, er givet ved U(x,y,z) = (x, xyz, x) og V = Rot(U).. Bestem det tangentielle kurveintegral af U langs K og langs K.. Bestem fluxen af V gennem den flade i (x,z)-planen som afgrænses af K idet fladens orientering er bestemt ved enhedsnormalvektoren n = (0,, 0). OPGAVE 4 I (x,y,z)-rummet er en parametriseret flade F givet ved r(u,v) = (u,v,) for u og v. Endvidere betragtes vektorfeltet V(x, y, z) = (x,, ).. Skitser F, og bestem r u(u,v) r v(u,v).. Udregn fluxen af V gennem F. Et massivt rumligt område Ω t er givet ved parameterfremstillingen s(u,v,w) = (ue w, v + w, + w), u [,], v [,] og w [0,t].. Bestem Jacobifunktionen for s, og udregn volumen af Ω t. 4. Lad f (t) betegne volumen af Ω t som funktion af t. Bestem f (0), og begrund at f (0) = V n dµ. F - Slut -
9 DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 7. maj 04. Kursus Navn: Matematik. Kursus nr Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Vægtning: De fire opgaver vægtes ens. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. En funktion f er givet ved OPGAVE f (x) = cos(x) sin(x), x R.. Bestem ved hjælp af elementære sætninger for differentiation de afledede f (x), f (x) og f (x). Lad P (x) betegne det approksimerende andengradspolynomium for f med udviklingspunktet x o = 0, og lad R (x) betegne den hertil hørende restfunktion givet ved R (x) = f (x) P (x) = f (ξ)!. Benyt resultater fra spørgsmål til at opstille P (x). x for et ξ mellem 0 og x.. Vis ved vurdering af R (x) at den fejl man begår ved at benytte P ( er mindre end eller lig med ) i stedet for f ( 0 ) En funktion f : R R er givet ved Endvidere betragtes den åbne punktmængde OPGAVE f (x,y) = y ysin(x). M = { (x,y) R < x < }.. Bestem de partielle afledede af første og anden orden for f.. Det oplyses at f har tre stationære punkter som tilhører M. Bestem disse tre stationære punkter.. Find samtlige punkter i M hvori f har lokalt minimum, og samtlige punkter i M hvori f har lokalt maksimum. Opgavesættet fortsætter
10 OPGAVE I (x,y,z)-rummet er en rumkurve K r givet ved parameterfremstillingen r(t) = (e t e t, e t + e t, t ), t [0, ].. Vis at r (t) = (e t + e t ), og bestem længden af K r. Et førsteordens vektorfelt V er givet ved V(x, y, z) = (y, x, ).. Bestem (med alle mellemregninger) det tangentielle kurveintegral af V langs K r.. Vis at K r er den flowkurve for V som starter i punktet (0,,) til tiden t = 0. OPGAVE 4 Et massivt område Ω i (x,y,z)-rummet er givet ved parameterfremstillingen r(u,v,w) = (ucos(w), u sin(w), v( u)) hvor u [, ], v [0, ], w [0, π].. To funktioner f : R R og g : R R er givet ved henholdsvis f (x,y,z) = og g(x,y,z) = y. Bestem (med alle mellemregninger) rumintegralerne f dµ og gdµ. Betragt vektorfeltet V givet ved V(x,y,z) = ( z, 4 y, y).. Bestem fluxen af V ud gennem overfladen Ω af Ω.. Angiv et vektorfelt U hvis divergens er konstant, og som opfylder U n Ω dµ = π. Ω Ω Ω er fremkommet ved at et plant trekant-område T beliggende i (x, z)-planen er drejet vinklen π omkring z-aksen i positiv omløbsretning. 4. Angiv en parameterfremstilling for T, og bestem cirkulationen af V langs randkurven T af T med den på figuren viste omløbsretning. Ω Opgavesættet er slut.
11 DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig -timersprøve i forårspensum den 8. maj 05. Kursus Navn: Matematik. Kursus nr Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Vægtning: De fire opgaver vægtes ens. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. En glat funktion f : R R er givet ved. Find alle stationære punkter for f. OPGAVE f (x,y) = x y + y y.. Undersøg for hvert af punkterne (, 0), (0, 0), (0, ) om f har egentligt lokal maksimum, egentligt lokal minimum eller ingen af delene i punktet.. Bestem samtlige retninger fra (0,0) hvori den retningsafledede af f i (0,0) antager værdien 0. Det oplyses at matricen ( har egenvektoren v =, hørende til egenværdien 0. OPGAVE A = ) ( hørende til egenværdien og egenvektoren v =. Gør rede for at vektorsættet (v, v ) er en ortonormal basis for R. En parabel er i et sædvanligt retvinklet (x,y)-koordinatsystem i planen givet ved ligningen x + xy + y + x y =.. Bestem parablens toppunkt og symmetriakse. ), OPGAVE Funktionen h : R R er givet ved h(x,y) = x. Vi betragter graffladen F givet ved F = {(x,y,z) x, y, z = h(x,y)}. Opgavesættet fortsætter
12 . Bestem en parameterfremstilling r(u, v) for F som opfylder at normalvektoren N(u,v) = r u(u,v) r v(u,v) har positiv z-koordinat. Et vektorfelt V er givet ved V(x,y,z) = (x, z xy, 4z).. Bestem fluxen V n dµ. F r Fr Lad Ω betegne det massive rumlige område der ligger lodret mellem (x,y)-planen og F.. Bestem rumfanget af Ω. 4. Bestem fluxen af V ud gennem overfladen Ω af Ω. OPGAVE 4 I (x,y,z)-rummet er der givet punkterne A(0,,), B(0,,), C(0,,) og D(0,,). Det plane kvadrat som udspændes af de fire punkter, betegnes K. Vi betragter endvidere vektorfeltet U givet ved U(x,y,z) = (xy, z,x ) og vektorfeltet V som er gradienten af funktionen f (x,y,z) = x y z.. Bestem fluxen af rot(u) gennem K, idet K parametriseres ved r(u,v) = (0,u,v) med u [,] og v [,].. Bestem det tangentielle kurveintegral af såvel U som V langs det rette linjestykke fra A til D.. Bestem cirkulationen af såvel U som V langs randen af K hvis orientering fastlægges ved punktrækkefølgen ABCDA. Opgavesættet er slut.
13 DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig -timersprøve i forårspensum den 7. maj 06. Kursus Navn: Matematik. Kursus nr Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Vægtning: De fire opgaver vægtes ens. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. En funktion f : R R er givet ved OPGAVE f (x) = x.. Bestem definitionsmængden Dm( f ) for f.. Bestem det approksimerende polynomium P (x) af grad for f med udviklingspunktet x 0 =.. Gør rede for at den til P (x) hørende restfunktion R (x) kan udtrykkes ved R (x) = 5 8 (x )4 (ξ ) 7/ for et ξ mellem og x. Vis ved vurdering ( ) af restfunktionen ( ) at den numeriske værdi af den fejl man begår ved at benytte P i stedet for f er mindre end eller lig med 5 7. OPGAVE Der er givet en symmetrisk matrix: A = Find i R en positiv ortogonal matrix Q og en diagonalmatrix Λ som opfylder Λ = Q AQ. En ellipse E er i et sædvanligt retvinklet (x, y)-koordinatsystem i planen givet ved matrixligningen [ ] [ ] x x y A = 44. y. Bestem halvakserne for E. Opgavesættet fortsætter
14 OPGAVE For en glat funktion f : R R med f (0,0) = 0 er et vektorfelt V i (x,y)-planen givet ved V(x,y) = f (x,y) = (x y +, xy).. Bestem samtlige stationære punkter for f.. Bestem Hessematricen for f, og gør rede for at f har netop ét egentligt lokalt minimum og ingen egentlige lokale maxima.. Bestem det tangentielle kurveintegral af V langs en selvvalgt kurve K fra origo til et vilkårligt punkt (x,y). Vink: Du kan bruge formlen (x,y) 0 V(ux,uy)du. Eller du kan integrere langs den trappelinje i (x,y)-planen der først går fra (0,0) til (x,0) og dernæst fra (x,0) til (x,y). 4. Bestem den værdi som f antager i det i spørgmål ) omtalte egentlige lokale minimum. OPGAVE 4 I (x,y)-planen i (x,y,z)-rummet er der givet punktmængden A = { (x,y) 0 x og π y π og funktionen h(x,y) = xcos(y). Lad F betegne den del af grafen for h som ligger lodret over A, se figuren. } > x y. Bestem en parameterfremstilling r(u, v) for F, og bestem den til r(u, v) hørende normalvektor N(u,v) = r u(u,v) r v(u,v). Om et vektorfelt V i (x,y,z)-rummet oplyses at Div(V)(x,y,z) = x + y + z og Rot(V)(x,y,z) = (z,x,y).. Bestem det tangentielle kurveintegral (cirkulationen) af V langs den lukkede randkurve F for F med den på figuren viste orientering af F.. Lad Ω betegne det massive rumlige område der ligger lodret mellem A og F. Bestem fluxen af V ud gennem den lukkede overflade Ω af Ω. Opgavesættet er slut.
15 DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig -timersprøve i forårspensum den. maj 07. Kursus Navn: Matematik. Kursus nr. 0005/005/006 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes og benyttes. Vægtning: De fire opgaver vægtes ens. Alle svar skal være begrundede, og mellemregninger skal anføres i passende omfang. Der må ikke kommunikeres med andre under prøven, hverken direkte eller elektronisk. OPGAVE En funktion f af to reelle variable er for (x, y) (0, 0) givet ved f (x,y) = y x + y.. Vi betragter tre punkter i (x,y)-planen: A = (0,), B = (0, ) og C = (, ). Netop to af dem ligger på den samme niveaukurve for f. Hvilke to? ( xy Det oplyses at gradienten for f er givet ved f (x,y) = (x + y ), x y ) (x + y ).. Gør rede for at f ingen stationære punkter har. Betragt den afsluttede og begrænsede punktmængde (en cirkelring) M = { (x,y) x + y 4 }.. Bestem det globale minimum og det globale maksimum af f på M, og angiv de punkter hvori det globale minimum og det globale maksimum antages. OPGAVE Om en reel funktion f (x, y) oplyses at dens approksimerende andengradspolynomium med udviklingspunktet (0, 0) har forskriften P (x,y) = + x + y har for- mens dens approksimerende andengradspolynomium med udviklingspunktet skriften ( Q (x,y) = 4 ) 6 e e x + e y. ( ) 6, 0. Bestem funktionsværdierne f (0,0), f x(0,0), f y(0,0), f xx(0,0), f yy(0,0) og f xy(0,0).. Gør rede for at (0,0) er et stationært punkter for f, og undersøg om f (0,0) er et egenligt lokalt minimum, et egentligt lokalt maksimum eller ingen af delene. ( ) ( ). Gør rede for at også 6, 0 er et stationært punkt for f, og undersøg om f 6, 0 er et egenligt lokalt minimum, et egentligt lokalt maksimum eller ingen af delene. Opgavesættet fortsætter
16 OPGAVE En cylinderflade F i (x,y,z)-rummet er givet ved parameterfremstillingen r(u,v) = ( u u, u + u, vu ) [ ] hvor u 0, og v [0,].. Bestem den til r hørende Jacobifunktion, og brug denne til at bestemme arealet af F. Lad L betegne den til F hørende ledekurve i (x,y)-planen (vist med rød på figuren).. Opskriv en parameterfremstilling for L, og bestem den til L hørende Jacobifunktion.. Bestem kurveintegralet (y x)dµ. L OPGAVE 4 Et vektorfelt i (x,y,z)-rummet er givet ved V(x,y,z) = (x, yx, z). I (x,z)-planen betragtes et profilområde A givet ved parameterfremstillingen hvor u [ 0, π] og v [0,]. s(u,v) = (u,0,v sin(u)), Et massivt omdrejningslegeme Ω fremkommer ved at A drejes vinklen π 4 uret set fra z-aksens positive ende. omkring z-aksen mod. Giv en parameterfremstilling for Ω.. Bestem fluxen af V ud gennem overfladen af Ω.. Lad G betegne den del af overfladen af Ω, som afgrænser Ω opadtil (blå på figuren). Bestem cirkulationen af V langs med randkurven af G idet randkurven orienteres som antydet med pilen. Opgavesættet er slut.
Mat 1. 2-timersprøve den 13. maj 2017.
Mat. -timersprøve den. maj 7. JE.5.7 Opgave restart:with(plots): En funktion f af to reelle variable er for x, y s, givet ved f:=(x,y)-y/(x^+y^); f d x, y / y x Cy f(x,y); y x Cy Spørgsmål I x, y Kplanen
Læs mereMaj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer,
Læs mereEksamen maj 2019, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.
Læs mereEksamen maj 2018, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2018, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots!
Læs mereMaj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 17. maj 2016.
Mat -timersprøve den 7 maj 6 JE 6 Opgave restart; Givet funktionen f:=x-sqrt(*x-); Spørgsmål f := x/ x K Funktionen er defineret for x K R x R Dvs Dm f er intervallet [ ;N[ Spørgsmål Med udviklingspunktet
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 14. maj 2018.
Mat. 2-timersprøve den 4. maj 28. JE 9.5.8 Opgave restart:with(linearalgebra):with(plots): En reel fnktion f af to reelle variable er givet ved f:(x,y)-4*y*(x^2+/3*y^2-); expand(f(x,y)); f d x, y 4 y x
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereKurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 17. maj 2016.
Opgave restart; Givet funktionen f:=x-sqrt(*x-); Spørgsmål Mat -timersprøve den 7 maj 6 JE 6 f := x/ x K Funktionen er defineret for x K R x R Dvs Dm f er intervallet [ ;N[ diff(f(x),x,x,x,x); K x K 7/
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereSTEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016
STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereEkstremum for funktion af flere variable
Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable
Læs mereFlade- og rum-integraler
enote 25 1 enote 25 Flade- og rum-integraler Flade og rumintegraler opstilles her på stort set samme måde som kurve- og planintegralerne i enote 22, som derved sammen med den grundlæggende generelle indførelse
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mereReeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013
Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015
Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med 12
Læs mereReeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016
Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01
Læs mereEksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereOpgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereMatematik A-niveau Delprøve 1
Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 24. maj 2016 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 1stx161-MATn/A
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx161-MATn/A-24052016 Tirsdag den 24. maj 2016 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten
Læs mereSTEEN MARKVORSEN DTU MATEMATIK
STEEN MARKVORSEN DTU MATEMATIK 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.1.1 Rumfang-problemet............................ 6 1.2 Approksimerende summer og
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereOpgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex
ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...
Læs mereMatematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013
Eksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereIntegration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU
Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU 20. februar 2008 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.2 Approksimerende summer
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereAndengradspolynomier - Gymnasienoter
- Gymnasienoter http://findinge.com/ Tag forbehold for eventuelle fejl/typos. Indhold Forord 3 Toppunktsformlen - Bevismetode 1 4 Toppunktsformlen - Bevismetode 6 Andengradspolynomiets symmetri 7 Rodfaktorisering
Læs mereStokes rotationssætning
enote 27 1 enote 27 Stokes rotationssætning I denne enote vil vi benytte Gauss divergenssætning fra enote 26 til at motivere, bevise, og illustrere Stokes sætning, som udtrykker en præcis sammenhæng mellem
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mere