Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion

Transkript

1 Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R. a+b 2. sa. sa+ta = (s+t)a 4. sa+sb = s(a+b) 5. s(ta) = (st) a 6. a+b = b+a 7. (a+b)+c = a+(b+c) 8., a : a+ = a og a+(-a) = (hvor -a betyder -a) 9. a = a Elementerne i et sådant vektorrum kalder vi vektorer Eksempel 2 = R 2 er et vektorrum (sammenlign med VI, s. 6) = R er et vektorrum (sammenlign med VI, s. 88) NB: reglerne og 2 sørger bare for at vi ved de to regneoperationer bliver inden for rummet; reglerne til 9 kender vi fra vores arbejde med R 2 og R = R n er et vektorrum = P er et vektorrum, hvor P er mængden af polynomier = P n er et vektorrum, hvor P n er mængden af polynomier af grad n eller derunder Reglerne -7 og 9 er nemme at efterprøve, regel 8 er opfyldt med = Definition : linearkombination Givet et antal vektorer a, a 2,, a n For alle reelle tal t, t 2,, t n kaldes a = t a +t 2 a 2 + +t n a n en linearkombination af vektorerne a, a 2,, a n 2MAT (JL).. 2 s. af 5 sider

2 Definition 4: span Givet en mængde af vektorer S= { a, a 2,, a n } span S er mængden af alle mulige linearkombinationer af a, a 2,, a n Sætning 5: span er vektorrum span S er et vektorrum - vi siger, at vektorerne a, a 2,, a n udspænder et vektorrum Definition 6: (lineært) underrum Givet et vektorrum = { a, a 2,, a n } Om en mængde S, hvor S Ø og S gælder: Hvis alle linearkombinationer af vektorer i S er elementer i mængden S, så kaldes S et (lineært) underrum i Sætning 7: underrum er vektorrum Hvis S er et underrum i et vektorrum, så er S et vektorrum med + og arvet fra - det vil sige, så reglerne -9 i definition gælder med S indsat i stedet for Eksempel 8 span 7 er et underrum i R 2 span 2 og span 2 2, er underrum i R 4 2MAT (JL).. 2 s. 2 af 5 sider

3 R 2* er et underrum i R R * er et underrum i R n hvis n Med betegnelserne fra eksempel 2 gælder P 7* et underrum i P 8 P k* et underrum i P n hvis k n P n* et underrum i P Ovenfor skal R 2* forstås som et vektorrum, der svarer til R 2, mere præcist som et vektorrum udspændt af basisvektorerne i * = og j* =. Tilsvarende gælder for R *, P 7*, P k* og P n*. Mere matematisk-præcist end formuleringen svarer til siger vi at R 2* og R 2 er isomorfe vektorrum. Definition 9: lineær uafhængighed og lineær afhængighed Vektorerne a, a 2,, a n er lineært uafhængige, hvis der gælder = t a +t 2 a 2 + +t n a n t = t 2 = = t n = - ellers kaldes vektorerne a, a 2,, a n lineært afhængige Eksempel I R 2 er to vektorer uafhængige, hvis de ikke er parallelle overvej! I R er tre vektorer uafhængige, hvis der ikke findes en plan, som er parallel med alle tre vektorer overvej! Definition : basis En mængde af vektorer som er lineært uafhængige og som udspænder et vektorrum kaldes basis for Det samme lidt mere formelt: Hvis = span { a, a 2,, a n } og hvis a, a 2,, a n er lineært uafhængige så er a, a 2,, a n basis for vektorrummet 2MAT (JL).. 2 s. af 5 sider

4 Eksempel 2: ethvert reelt tal s kan bruges som basis for R (s opfattes her som en vektor) i =, j =, k = er basis for R vektorerne e, e 2,, e n hvor e i er en vektor med på i te plads og ellers på de resterende pladser er basis for R n Med betegnelserne fra eksempel 2 gælder Polynomierne a =, a = x, a 2 = x 2, a n = x n er basis for P n Definition : dimension Dimensionen af et vektorrum er dim, hvis = { } dimn, hvis { a, a 2,, a n } er en basis for det vil sige antallet af vektorer i en endelig basis dim, hvis ikke har en endelig basis Sætning 4: dimension Dimensionen er uafhængig af valget af basis. Eksempel 5 dim R n = n Med betegnelserne fra eksempel 2 dim P = dim P n = n+ 2MAT (JL).. 2 s. 4 af 5 sider

5 Definition 6: skalarprodukt (indre produkt, prikprodukt) I et vektorrum er et skalarprodukt en regneoperation () på to vektorer, der opfylder at der for alle a, b, c og for alle reelle tal s R gælder:. ab R (resultatet er et tal, en skalar) 2. ab >, dog er = (positivitet). ab = ba (symmetri, kommutativitet) 4. (a+b)c = ac + bc (additivitet, distributivitet) 5. (sa) b = s(ab) (homogenitet, blandet associativitet) Der findes uendelige mange skalarprodukter i et vektorrum. Man vælger udfra behov! Definition 7: længde Længden af en vektor defineres som det reelle tal a = a a 2MAT (JL).. 2 s. 5 af 5 sider