LiA 2 Side 0. Lineær algebra 3. kursusgang
|
|
- Johanne Jespersen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 LiA 2 Side 0 Lineær algebra 3. kursusgang
2 LiA 2 Side 1 Højdeforskelle. D C E
3 LiA 2 Side 2 Vi har tre punkter C, D og E. Højderne er h C, h D, h E. (I det følgende benævnes disse også x, y, z.) Vi har følgende observationsligninger: h D h C = r 1, h E h C = r 2, h E h D = r 3.
4 LiA 2 Side 3 Designmatrix og observationsvektor: A = , b = Ligningssystemet kan skrives x y z = Vektorer der kan skrives som venstresiden i ovenstående (når x, y, z gennemløber alle tal) udgør søjlerummet Col A, som er et underrum. I dette tilfælde en plan i rummet..
5 LiA 2 Side 4 b ligger ikke i denne plan. Vi projicerer derfor b ned på planen og får vektoren ˆb i planen. Vektoren z = b ˆb er vinkelret (ortogonal) på planen, og altså ortogonal på hver af de tre søjler i A 1 1 z = 0, z = 0, Dette kan skrives som et matrix-vektor produkt altså A T z = z = A T z = A T (b ˆb) = 0., z = 0.
6 LiA 2 Side 5 Da ˆb ligger i planen Col A, findes en løsning ˆx = x x x = ˆb. x 1 x 2 x 3. Indsæt i ovenstående: Aˆx = ˆb. Løsningen ˆx opfylder altså A T (b ˆb) = A T (b Aˆx) = 0. og dermed A T (b Aˆx) = 0, A T Aˆx = A T b.
7 LiA 2 Side 6 De tre søjler er vist med rødt. De ligger i den gule plan Col A. b er blå og ˆb magenta. z tegnet ud fra (0, 0, 0) er grøn og brun mellem b og ˆb.
8 LiA 2 Side 7 Løsning h C h D = he t 1 t 0.5 t.
9 LiA 2 Side 8 Indsæt nu h C = 0.5. h D 0.5 = r 1, h E 0.5 = r 2, h E h D = r 3. Designmatrix og observationsvektor: A = , b =
10 LiA 2 Side 9 De to søjler er vist med rødt. De ligger i den gule plan Col A. b er blå og ˆb magenta. z tegnet mellem b og ˆb er brun.
11 LiA 2 Side 10 Løsning h C h D = he
12 LiA 2 Side 11 Resume: Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet som måleresultater med målefejl. Vi skal derfor finde en mindste kvadraters løsning ˆx som opfylder Aˆx = ˆb, hvor ˆb er den vektor i Col A hvis afstand til b er mindst. ˆb er altså ortogonal projektionen af b på Col A. Vi beregner ikke ˆb.
13 LiA 2 Side 12 En vektor x er mindste kvadraters løsning til Ax = b hvis og kun hvis den er løsning til normalligningen (A T A)x = A T b. Når en mindste kvadraters løsning ˆx er fundet ved at løse normalligningen kan man eventuelt bestemme ˆb = Aˆx. Fremgangsmåden virker kun for lineære ligninger.
14 LiA 2 Side 13 Ikke-lineære problemer.
15 LiA 2 Side y x
16 LiA 2 Side 15 Vi kender de præcise koordinater for et antal punkter (blå på figuren på forrige side). Desuden er der et ukendt punkt (rødt). Afstanden mellem det kendte punkt (1, 3) og det ukendte punkt (x, y) måles til værdien b. Vi har altså følgende ligning (hvis vi ser bort fra målefejl): (x 1) 2 + (y 3) 2 = b. Tilsvarende ligninger fås ved måling af aftanden til andre kendte punkter. Men disse ligninger er ikke-lineære.
17 LiA 2 Side 16 Lineær Approximation
18 LiA 2 Side x
19 LiA 2 Side 18 Lineær approximation af funktion af én variabel Ligningen for tangenten til grafen for f(x) i punktet (a, f(a)) er y = f(a) + f (a)(x a). Lineær approximation for x tæt på a: f(x) f(a) + f (a)(x a). F.eks. hvis f(x) = x 2 2 så er f (x) = 2x og ligningen for tangenten i punktet (a, f(a)), hvor a = 2 og f(2) = = 2, er: y = 2 + 4(x 2) eller y = 4x 6.
20 LiA 2 Side 19 Én ikke-lineær ligning med én ubekendt Løsning af ligning ved hjælp af lineær approximation (Dette kaldes Newton-Raphson metoden): Eksempel. Løs ligning f(x) = 0 hvor f(x) = x 2 2. Vi vil bestemme en følge af tal x 0, x 1, x 2, x 3,..., der konvergerer mod den præcise løsning. x 0 er vores første gæt på en løsning: x 0 = 2. I nærheden af x 0 er f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) = 4x 6.
21 LiA 2 Side 20 Da løsningen formodes at ligge tæt på x 0 kan vi løse ligningen 4x 6 = 0 i stedet for den ikke-lineære ligning. Denne ligning har løsning x 1 = 1.5.
22 LiA 2 Side x
23 LiA 2 Side x
24 LiA 2 Side 23 I nærheden af x 1 er f(x) f(x 1 ) + f (x 1 )(x x 1 ) = 3x I stedet for den ikke-lineære ligning løser vi ligningen 3x 4.25 = 0 som har løsning x 2 = Dernæst fås x 3 = og x 4 =
25 LiA 2 Side 24 To ikke-lineære ligninger med én ubekendt Eksempel Bestem et tal x, der bedst tilnærmer følgende to ligninger: x 2 2 = 0 x 2 6x + 6 = 0 Vores første gæt på en løsning er x 0 = 2.
26 LiA 2 Side 25
27 LiA 2 Side 26
28 LiA 2 Side 27 Linearisering af de to ligninger omkring x 0 : 4x 6 = 0 og 2x + 2 = 0. De omskrives til: 4x = 6 Altså Ax = b hvor A = [ 4 2 2x = 2 ] og b = [ 6 2 ]. Vi får A T A = [ 4 2 ] [ ] 4 2 = 20 og A T b = [ 4 2 ] [ ] 6 2 Normalligningen er altså 20x = 28 som har løsning x 1 = 1.4 = 28.
29 LiA 2 Side 28 De næste tilnærmelser er x 2 = x 3 = 1.325
30 LiA 2 Side 29 Funktion af to variable f(x, y): en funktion af to variable med partielle afledede f x (x, y) = f x og f y (x, y) = f y. Tilvæksten af f(x, y) ud fra punktet (a, b): approximeres af differentialet f = f(a + x, b + y) f(a, b) df = f x (a, b) x + f y (a, b) y. Differentialet kan fremkomme som prikprodukt af gradient vektoren f(a, b) = f x (a, b), f y (a, b) og vektoren x, y : df = f(a, b) x, y.
31 LiA 2 Side 30 Lineær approximation for funktion af to variable f(a + x, b + y) f(a, b) + f x (a, b) x + f y (a, b) y, Eller, når (x, y) er tilstrækkeligt tæt på (a, b): f(x, y) f(a, b) + f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b).
32 LiA 2 Side 31 Lad f(x, y) være afstanden mellem (x, y) og et fast punkt (x 1, y 1 ). f(x, y) = (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2. Så er f x (x, y) = x x 1 (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2, f y(x, y) = y y 1 (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2. For (x, y) i nærheden af punktet (x 0, y 0 ) er f(x, y) f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ).
33 LiA 2 Side 32 Vi kender de præcise koordinater for et antal punkter: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),...,(x m, y m ). Desuden er der et punkt med ukendte koordinater (x P, y P ). Vi har målt afstanden fra dette punkt til de m kendte punkter og får værdierne henholdsvis b 1, b 2,..., b m. Altså: (x P x 1 ) 2 + (y P y 1 ) 2 = b 1 (x P x 2 ) 2 + (y P y 2 ) 2 = b 2. (x P x m ) 2 + (y P y m ) 2 = b m P.g.a. målefejl er der ikke noget punkt (x P, y P ) der passer med alle ligninger. Vi ønsker at finder et punkt, der passer bedst muligt.
34 LiA 2 Side 33 Idé: Gæt et punkt (x 0 P, y0 P ). Da (x P, y P ) formodes at være tæt på (x 0 P, y0 P ) kan venstre side i ovenstående ligninger erstattes med den lineære approximation i punktet (x 0 P, y0 P ). Derved fås (inkonsistent) lineært ligningssystem med n ligninger. Lad (x 1 P, y1 P ) være en mindste kvadraters løsning til dette ligningssytem. (x 1 P, y1 P ) er så forhåbentligt tættere på den rigtige løsning end vores første gæt var.
35 LiA 2 Side 34 Gentag ovenstående med (x 0 P, y0 P ) erstattet af (x1 P, y1 P ) og find derved (x 2 P, y2 P ). Gentag indtil (x i P, yi P ) nærmer sig et bestemt punkt, som så er (x P, y P ).
36 LiA 2 Side 35 Funktion af n variable F i (x 1, x 2,..., x n ): en funktion af n variable, i = 1,..., m. x 0 = (x 0 1, x2 2,..., x0 n): fast punkt/vektor. j i = (j i1, j i2,..., j in ) = F i (x 0 ) er gradientvektoren af F i i punktet x 0, hvor j il er F i x l udregnet i punktet x 0. For et punkt x = (x 1, x 2,..., x n ) i nærheden af x 0 er F i (x) F i (x 0 ) + F i (x 0 ) (x x 0 ) = b 0 i + j i (x x 0 ), hvor b 0 i = F i(x 0 ).
37 LiA 2 Side 36 Vi har m observationer: F 1 (x 1,..., x n ) = b 1 F 2 (x 1,..., x n ) = b 2. F m (x 1,..., x n ) = b m. Venstresiderne erstattes af deres lineære approximationer i punktet x 0 : b j 1 (x x 0 ) = b 1 b j 2 (x x 0 ) = b 2. b 0 m + j m (x x 0 ) = b m.
38 LiA 2 Side 37 j 1 (x x 0 ) = b 1 b 0 1. j m (x x 0 ) = b m b 0 m. På matrixform: A(x x 0 ) = b, hvor A = j 11 j j 1n j 21. j j 2n. j m1 j m2... j mn og b = Med residualvektoren ˆr fås observationsligningen A(x x 0 ) = b + ˆr. b 1 b 0 1 b 2 b 0 2. b m b 0 m. A kaldes designmatricen.
39 LiA 2 Side y x
40 LiA 2 Side 39 Der er tre kendte punkter: (1, 3), (1, 1) og (5, 1) samt et ukendt punkt (x P, y P ) med afstande til de tre kendte punkter målt til henholdsvis 4, 6 og 5. F 1 (x, y) := F 2 (x, y) := F 3 (x, y) := (x 1) 2 + (y 3) 2 (x 1) 2 + (y 1) 2 (x 5) 2 + (y 1) 2 F 1 (x P, y P ) = 4, F 2 (x P, y P ) = 6, F 3 (x P, y P ) = 5.
41 LiA 2 Side 40 j 1 = F 1 (x 0 P, y0 P ) = x 0 P 1 y0 P 3 (x 0 P 1)2 +(yp 0 3)2, = (x 0 P 1)2 +(yp 0 3)2 ( x 0 P 1 b 0 1, y0 P 3 ) b 0 1 j 2 = F 2 (x 0 P, y0 P ) = ( x 0 P 1 b 0 2 j 3 = F 3 (x 0 P, y0 P ) = ( x 0 P 5 b 0 3, y0 P 1 ) b 0 2, y0 P 1 ) b 0, 3 hvor b 0 i = F i(x 0 P, y0 P ).
42 LiA 2 Side 41 Vi gætter en første værdi (x 0 P, y0 P ) = (6, 5) og udregner b 0 1 = F 1(6, 5) = (6 1) 2 + (5 3) 2 = 29 b 0 2 = F 2(6, 5) = (6 1) 2 + (5 1) 2 = 41 b 0 3 = F 1(6, 5) = (6 5) 2 + (5 1) 2 = 17 j 1 = ( , ) = (0.927, 0.372) j 2 = ( , ) = (0.781, 0.625) j 3 = ( , ) = (0.242, 0.968) b = =
43 LiA 2 Side 42 Observationsligning (uden residualer): (x x 0 ) = Normalligning (A T A)(x x 0 ) = A T b): [ ] (x x ) = Løsning: Altså: x 1 = [ x 1 P y 1 P ] x x 0 = = [ x 0 P y 0 P ] + [ ] [ ] [ ] = [ ]
44 LiA 2 Side 43 Gentag med (x 0 P, y0 P ) erstattet af (x1 P, y1 P ). Så fås: [ x 2 P y 2 P ] = [ x 1 P y 1 P ] + [ ] = [ ] Dernæst: [ x 3 P y 3 P ] = [ x 2 P y 2 P ] + [ ] = [ ] Så er F 1 (x 3 P, y3 P ) = 4.183, F 2(x 3 P, y3 P ) = 5.773, F 3(x 3 P, y3 P ) =
Lineær algebra 4. kursusgang
Lineær algebra 4. kursusgang Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger
Læs mereLineær algebra Kursusgang 6
Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,
Læs mereLiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5
LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs mereUdjævning. Peter Cederholm
Udjævning Peter Cederholm Udjævning Peter Cederholm Udjævning. 2. udgave, 1. revision, 2000. Forord Disse noter er skrevet i forbindelse med afholdelse af udjævningskurser for landinspektørstuderende på
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereOversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereOversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11.4 Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Test tangentplan Lineær approximation i en og flere variable Test approximation Differentiabilitet i flere variable
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereOpgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereLineære normale modeller (4) udkast
E6 efterår 1999 Notat 21 Jørgen Larsen 2. december 1999 Lineære normale modeller (4) udkast 4.5 Regressionsanalyse 4.5.1 Præsentation 1 Regressionsanalyse handler om at undersøge hvordan én målt størrelse
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereDifferentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid). Tangenthældninger langs en kurve.
Differentialligninger Hvad beskriver en differentialligning? Hvordan noget ændrer sig (oftest over tid) Tangenthældninger langs en kurve x Retningsfelter x x(t) sin(π t) + x / π cos(π t) Jeppe Revall Frisvad
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009
MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereUnderrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Læs mereDefinition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder
Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereOpgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus
Læs mereGrafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1
Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereOpgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereFigur y. Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf
Oversigt [S] 2.7, 2.9, 11. Tangentlinje [S] 2.7 Derivatives Nøgleord og begreber Tangentlinje for graf Tangentplan for graf Figur y y = f(a) + f (a)( a) Test tangentplan Lineær approimation i en og flere
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereLøsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni 2000 og Juni 2001.
Løsninger til udvalgte Eksamensopgaver i Lineær Algebra Juni og Juni. Preben Alsholm 9. november 9 Juni Opgave 3 f : P (R) R 3 er givet ved f (P (x)) P () a + P () b, hvor a (,, ) og b (, 3, ). Vi viser,
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsolm 24. april 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Differentiabilitet for funktion af én variabel Differentiabilitet for funktion af én variabel f kaldes differentiabel
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mere1 Regressionsproblemet 2
Indhold 1 Regressionsproblemet 2 2 Simpel lineær regression 3 2.1 Mindste kvadraters tilpasning.............................. 3 2.2 Prædiktion og residualer................................. 5 2.3 Estimation
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereMindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning
1 Regressionsproblemet 2 Simpel lineær regression Mindste kvadraters tilpasning Prædiktion og residualer Estimation af betinget standardafvigelse Test for uafhængighed Konfidensinterval for hældning 3
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
Læs mereOpgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra og Calculus Globale Forretningssystemer Eksamen - 6 Juni 206 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereMatematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.
Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs merePrøveeksamen A i Lineær Algebra
Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereMatematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer
Matematik: Stuktur og Form Lineære ligningssystemer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2016 1 / 10 Ligningssystemer og matricer Ligningssystem totalmatrix Til et ligningssystem
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs merePotensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul
Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i
Læs mereØkonometri 1. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 18. september 2006
Dagens program Økonometri Den multiple regressionsmodel 8. september 006 Opsamling af statistiske resultater om den simple lineære regressionsmodel (W kap..5). Den multiple lineære regressionsmodel (W
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereMATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.
MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer
Læs mereUgeseddel 12(10.12 14.12)
Ugeseddel (..) Matematisk Programmering Niels Lauritzen..7 FORELÆSNINGER I ugen. 7. gennemgik vi algoritmer til løsning af heltalsprogrammer ved hjælp af simplex algoritmen. Dette er heltalsprogrammeringsugesedlen
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereMatrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com
Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder
Læs mereer en n n-matrix af funktioner
Oversigt [S] 7.2, 7.5, 7.6; [LA] 18, 19 Ligning og løsning Nøgleord og begreber Eksistens og entdighed Elementære funktioner Eksponential af matrix Retningsfelt Hastighedsfelt for sstem for sstem Stabilitet
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mere