Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.

Transkript

1 Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver. For hvert spørgsmål er der angivet et antal point. Hele opgavesættet indeholder 00 point i alt. Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. Dine svar skal afkrydses i nærværende opgavesæt. Karaktergivningen baserer sig udelukkende på disse afkrydsninger. Husk at angive dit fulde navn og studienummer herunder. Held og lykke! NAVN: STUDIENUMMMER: Side af 8

2 Opgave (9 point) (a) (5 point). En anden ordens differentialligning er givet ved y + 4y + 9y = 0. Herunder er angivet en række funktionsudtryk, hvori c og c er arbitrære konstanter. Markér det udtryk, som udgør den fuldstændige løsning til differentialligningen. y(t) = c e t + c e 5t y(t) = c e t + c e 5t y(t) = c e t + c e t y(t) = c e t + c te t y(t) = c e t + c te t y(t) = c e t cos(5t) + c e t sin(5t) y(t) = c e t cos(4t) + c e t sin(4t) y(t) = c e t cos(t) + c e t sin(t) (b) (4 point). Betragt nu den inhomogene ligning y + 4y + 9y = e t. Hvilken af følgende funktioner er en partikulær løsning til ligningen? t + e t+ e t e t e t e t 4 e t 9 e t + e t e t+ Side af 8

3 Opgave (6 point) En flade F i rummet er bestemt ved ligningen F(x, y, z) = 0, hvor F(x, y, z) = x y + z 9. Fladen F har en tangentplan i punktet P = (,, ). Markér en ligning for denne tangentplan blandt følgende muligheder: x y + z = 5 x y + z = 9x + y + 6z = 5 x y + 6z = 7 x y + 7z = 5 x + y + 6z = x y z = x y + 5z = Opgave (0 point) En plan kurve er givet ved x = t t, y = t + t, hvor parameteren t gennemløber de reelle tal. (a) ( point). Hvilket punkt på kurven svarer til parameterværdien t =? (, 4) (, ) (, ) (, 4) (, ) (5, 4) (, 4) ( 5, 4) (b) (4 point). Hvad er kurvens krumning for t =? (c) (4 point). For hvilken værdi af parameteren t er krumningen maksimal? Side af 8

4 Opgave 4 (7 point) En funktion er defineret ved f (x) = ( 4x + ). (a) ( point). Hvad er den dobbelt afledede f (x)? ( 4x + ) x 4 ( 4x + ) 4 ( 4x + ) 6x 4 ( 4x + ) (b) (4 point). Hvilket af nedenstående polynomier er tredje ordens Taylor polynomiet for f med udviklingspunkt x = 0? + x x + 6 x x + x 6x x + x + x + x + 4x x + x x + 4x Opgave 5 (0 point) En partikkel bevæger sig langs en kurve i rummet. Positionsvektoren for partiklen til tiden t er r(t) = e t, e t, t. (a) ( point). Hvad er hastighedsvektoren v(t)? e t, e t, t e t, e t, e t, e t, t te t, te t, 0 e t, e t, e t, e t, t (b) (4 point). Hvad er farten ν(t)? e t + e t e t + e t + e t + e t + t e t + e t + 8 t e t + t e t + e t + t (c) ( point). Partiklen gennemløber et stykke af bevægelseskurven i tidsrummet 0 t. Hvad er buelængden af dette kurvestyke? e e + e e e e + ln() Side 4 af 8

5 Opgave 6 (6 point) To komplekse tal er givet ved z = + i i, z = i + i (a) ( point). Hvad er z skrevet på standard form? + i 5 i + 5 i + 5 i 8i i i (b) ( point). Hvad er z skrevet på polær form? e iπ/ e iπ e iπ/ 6e iπ/4 e iπ/4 e iπ/ e iπ e iπ/4 Opgave 7 (8 point) En funktion er givet ved f (x, y) = 4x y x y. Afkryds den rigtige mulighed i hvert delspørgsmål herunder. (a) (4 point). Definitionsmængden for f består af samtlige punkter (x, y), der opfylder x > 0 og y > 0 y = x og y = x x > y 4x x = 0 og y = 0 x = 0 eller y = 0 (b) (4 point). Niveaukurven med ligning f (x, y) = kan beskrives som: En parabel med ligning y = x + 5. En parabel med ligning y = x x + 4. En ret linje gennem (0, 5) med hældningskoefficienten 4. En ret linje gennem (0, ) med hældningskoefficienten. En cirkel med centrum i (, ) og radius. En cirkel med centrum i (, 0) og radius. Side 5 af 8

6 Opgave 8 (4 point) En funktion er defineret som f (x, y) = xy 6x y. (a) ( point). Hvad er funktionsværdien f (, )? (b) (4 point). Hvilke af følgende punkter er kritiske punkter for f? (Bemærk: Hver forkert afkrydsning i dette spørgsmål ophæver én rigtig afkrydsning.) (0, 0) (, ) (, ) (4, ) (, ) (, 6) (, 6) (4, 6) (c) (4 point). Hvad er den retningsafledede D u f (P) i punktet P = (, ) og retning givet ved enhedsvektoren u = (i + j) =,? (d) (4 point). Hvilken af følgende ligninger er en ligning for tangentplanen til grafen for f i punktet Q = (,, f (, ))? x + y z = x y + z = 9 9x + 0y z = x + 4y + z = 7 x + y z = 0x + y + z = Opgave 9 (5 point) Lad g(x, y, z) = arctan(x + y z ). I hvilken retning ud fra punktet P = (,, ) er den retningsafledede af funktionen g størst? Markér en enhedsvektor herunder, som peger i denne retning.,,,, 0, 0,,,,,, 4, 0 Side 6 af 8

7 Opgave 0 (0 point) Et område R i planen består af de punkter (x, y), som opfylder ulighederne Markér værdien af planintegralet 0 x, 0 y, x + y 6. R x x + y da Opgave (0 point) Et område T i rummet består af de punkter (x, y, z), som opfylder ulighederne 0 x, 0 y, 0 z 5 xy. Et legeme med massefylde (densitet) δ(x, y, z) = x dækker netop området T. (a) (5 point). Hvad er rumfanget (volumen) af T? 7 9 (b) (5 point). Hvad er massen af legemet, der dækker T? 4 8 0π 4π7 Side 7 af 8

8 Opgave (5 point) Figuren nedenfor viser grafen for funktionen r = f (θ), 0 θ π afbildet i polære koordinater. Hvilken af nedenstående forskrifter for f svarer til figuren? f (θ) = + sin θ f (θ) = + θ f (θ) = sin θ f (θ) = sin(θ) f (θ) = + cos θ f (θ) = + θ Side 8 af 8