Maksimal udbøjning. Anvendelsesgrænsetilstand. Udbøjning. Lodret udbøjning: Acceptabel værdi (eurocode 3, s. 56, afsnit 7.2):

Transkript

1 Anvenelsesgrænsetilstan Maksimal ubøjning Ubøjning Loret ubøjning Acceptabel væri (eurocoe 3, s. 56, afsnit 7.) For bjælker kan følgene talværier for en maksimale ubøjning fra én variabel last uen eventuelle støtillæg tjene som vejlening for, hva er må betragtes som acceptable ubøjninger l Etageaskillelser 400 = l Tage og yervægge 00 - l spænvien ve simpelt unerstøttee og kontinuerte bjælker, en obbelte ukragning ve ukragee konstruktioner. Maksimal ubøjning pr. etage Breen = 5mm Længen at 5 igits 5.65mm Vanret ubøjning For søjler kan følgene talværier for en maksimale ubøjning af søjletoppen fra én variabel last tjene som vejlening for, hva er må betragtes som acceptable ubøjninger - Søjler i fleretages skeletbygninger h - For hver etage 300 h e - For hele højen 500 Kæler 350 at 5 igits 0.833mm 300 Stueetage/. og. sal 4900 at 5 igits 6.333mm 300 For hele bygningen

2 = 36mm Momentkurve Bjælkens ifferentialligning M x EIn = v'' E = 0000 MPa In = 458.5$0 6 mm 4 Nu skal er uregnes ubøjningen for e tre snit i konstruktionens 3 rammer. Hertil skal er anvenes 6 ranbetingelser. Ranbetingelser - billee v 0 = 0, fori er ikke kan ske ubøjning nee ve unerstøtningen. a h = a 0 v h = v 3 h v 0 = 0 v l = 0 v 3 0 = 0, fori er ikke kan ske ubøjning nee ve unerstøtningen (se neenståene billee)

3 Snit (0-8 m) restart Moment solve 0 = M C A x $x C v $x $, M = KA x x K v x x M x =KA x $x K $ v $ x Nu skal ubøjningen bestemmes for ette snit. E = 0000 MPa In = 458.5$0 6 mm 4 Her bruges bjælens iffenrentialligning statisk bestemt). M x EIn = v'' (krumning - anen orens, fori systemet er Nu bestemmes først v ' (vinkelrejning α ) ve at integrere gang M x =KA x $x K $ v $ x v' = KA x $x K $ v $ x = K x v x = A x K 6 v x 3 C k = a

4 Nu integreres igen, for at bestemme v (ubøjning). v = K A x K 6 v C k x = v = K 6 A x K 4 v x 4 C k x C k Snit (0-6m) restart Moment solve 0 = M C P y $ K A y $ C A x $8 m C v $8 m $9 m, M = K6 v m K 8 A x m C A y K P y M =Kv $6 m K A x $8 m C A y K P y Nu skal ubøjningen bestemmes for ette snit. E = 0000 MPa In = 458.5$0 6 mm 4 Her bruges bjælens iffenrentialligning statisk bestemt). M x EIn = v'' (krumning - anen orens, fori systemet er Nu bestemmes først v ' (vinkelrejning α ) ve at integrere gang M = Kv $6 m K A x $8 m C A y K P y v' = Kv $6 m K A x $8 m C A y K P y x v x = K6 v m = x K 8 A x m C A y x K P y = a??? Nu integreres igen, for at bestemme v (ubøjning). v = Kv $6 m K A x $8 m C A y K P y = v = K8 v m K 9 Ax m C 6 A y K 6 P y C k 4

5 Snit 3 (0-8m) restart Moment solve 0 =KM 3 C $x, M 3 M 3 = $ = x Nu skal ubøjningen bestemmes for ette snit. E = 0000 MPa In = 458.5$0 6 mm 4 Nu bestemmes først v ' (vinkelrejning α ) ve at integrere gang v' = = x v x = +k 5 = a Nu integreres er igen, for at bestemme v. v = C k 5 = v = 3 6 C k 5 C k 6 Snit, og 3 + ranbetingelser M x KA x $x K $ v $ x v '' v x u x K A x K 6 v C k K 6 A x K 4 v x 4 C k $x C k v' v M Kv $6 m K A x $8 m C A y K P y v '' v Kv $6 m K A x $8 m C A y K P y v'

6 u Kv $8 m K Ax $9 m C 6 A y K 6 P y $ C k 4 v M 3 $ v '' v 3 C k 5 v' u C k 5 $ C k 6 v Ranbetingelser u 0 = 0, fori er ikke kan ske ubøjning nee ve unerstøtningen. a h = a 0 u h = u 3 h u 0 = 0 u l = 0 u 3 0 = 0, fori er ikke kan ske ubøjning nee ve unerstøtningen Nu løses for konstanterne Værier C y K N B y N 0 A y K N A x K N P x K kn P y kn P x kn P y kn v kn / m v K kn / m E 0000 MPa In 458.5$0 6 mm 4

7 Gennem ranbetingelse u 0 = 0 fås solve u 0 = 0, k = 0 k = 0 (0 = Gennem ranbetingelse u 0 = 0 fås solve u 0 = 0, k 4 = 0 k 4 = 0 ( K 6 A x $03 K 4 v $04 C k $0 C k ) 0 = Kv $8 m 0 K A x $9 m 0 C 6 A y 03 K 6 P y 03 $0 C k 4 ) Gennem ranbetingelse u 3 0 = 0 solve u 3 0 = 0, k 6 = 0 k 6 = 0 (0 = C k 5 $0 C k 6 ) Så står vi tilbage me 3 ligninger me 3 ubekente, samt ranbetingelserne u l = 0, a h = a 0 og u h = u 3 h Nu bestemmes en første konstant k 3 ve ranbetingelsen u l = 0 Kv $8 m K Ax $9 m C 6 A y K 6 P y Værierne insættes solve $ C k 4 = 0 Kv $8 m $ 6 m KA x $9 m $ 6 m C 6 A y $ 6 m 3 K 6 P y $ 6 m 3 E$In $6 m C 0 = 0, k 3 k 3 =K K Nu bestemmes en anen konstant, k gennem ranbetingelsen a h = a 0 K A x K 6 v C k = Kv $6 m K A x $8 m C A y K P y

8 Nu insættes værierne og vi får K A x $ 8 m K 6 v $ 8 m 3 solve C k E$In Kv $6 m $0 m K A x $8 m $0 m C A y $ 0 m K P y $ 0 m = E$In C K , k k =K K Den siste konstant, k 5 bestemmes ve ranbetingelse u h = u 3 h K 6 A x K 4 v x 4 C k $x C k = 6 3 C k 5 $ C k 6 Værierne insættes og er fås K 6 A x $ 8 m 3 K 4 v $ 8 m 4 solve E$In C K $ 8 m C 0 = 6 $ 8 m 3 C k E$In 5 $ 8 m C 0, k 5 K k 5 =K Overblik over konstanterne k =K k = 0 k 3 =K k 4 = 0 k 5 =K k 6 = 0

9 Nu er konstanterne bestemt, og så skal ubøjningen bestemmes for e forskellige snit (stænger) Ubøjning K 6 A x u x u 8 m 3 x K 4 v $ x 4 C K $x C 0 K m - meget høj plot u x m, x = K x K0.4 K0.6 m K0.8 K K. K.4 K.6 u Kv $8 m K Ax $9 m $ C 6 A y $ K $ C 0 3 K 6 P y $ 3 C

10 u 3 m K m plot u m, =K m K0.0 K0.0 u 3 6 $ 3 C K $ C 0 u 3 8 m K m - MEGET HØJ! plot u 3 m, = 0..0

11 0 K K0.4 K0.6 K0.8 m K K. K.4 K.6 K.8 TEST AF UDBØJNING UD FRA FORMEL I TEKNISK STÅBI! u l = 8 $ q$l4 EI 8 $3.68 N 4 $ 8000 mm mm u = = u = mm 3 mm 0.$0 6 N mm $458.5$0 6 mm 4 mm 4 u = m 4 $3.68$ u = 0.$0 6 = u = mm 6 $458.5$0 Snit 4 (0-6m) - Laves kun, hvis vi får ti. Moment

12 0 =KM 4 KE s $x$ KE $8 m $xkp y $x C C y $xkvin $8 m $9 m isolate for M 4 = K kg s K kg s C N x C kg s m M 4 x K kg s K kg s C N x C kg s m M J M 4 6 m J m x K kn x m x K kn x Snit 5 (0-8m) - Laves kun, hvis vi får ti. Moment 0 =KM 5 KVin $x$ M 5 x M 5 0 = 0 M 5 8 m isolate for M 5 kg s = J kg s