6 Geometri. Faglige mål. Geometriske begreber. Vinkler. Modeller. Kongruens og ligedannethed

Transkript

1 6 Geometri Faglige mål Kapitlet Geometri tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Geometriske begreber: kunne sætte matematiske begreber ind i en matematisk kontekst samt kende den visuelle betydning af et geometrisk begreb. Vinkler: kende til regulære og irregulære polygoner, sammenhængen mellem polygoners vinkelsum og antallet af trekanter i polygonen samt kende til supplementvinkler og topvinkler. Modeller: kunne arbejde med skitse, model, foto og præcis konstruktion og foretage et begrundet valg af repræsentation. Kongruens og ligedannethed: kunne konstruere præcise plane tegninger ud fra givne betingelser, kunne beregne forhold mellem ligedannede figurer og konstruere tegninger i korrekt målestoksforhold. Cirkler: kende til sammenhængen mellem centervinkel og periferivinkel samt kunne konstruere forskellige cirkellogoer i korrekt målestoksforhold. Flytninger: kunne identificere flytningstyper ved forskellige illustrationer samt kende til forskellige typer af fladedækkende mønstre. Areal: kunne forklare hvordan arealet af et parallelogram og trapez kan beregnes samt kunne beregne arealer af store pladser ud fra tegninger i et givent målestoksforhold. I kapitlet arbejdes der videre med den viden eleverne opnåede i kapitlerne Figurer og Tegning i 6. klasse. Her præsenteres eleverne for nye geometriske begreber i planen, hvor eksemplerne hentes i hverdagen og i den rene matematik. I kapitlet arbejdes der en del med GeoGebra for at konsolidere elevernes kompetencer i at se mulighederne i et dynamisk geometriprogram. Geometriske begreber Som optakt til kapitlet repeterer eleverne nogle centrale geometriske begreber. Dette gøres ved at koble begrebet til illustrationer samt ved at indsætte manglende geometriske begreber i en tekst, så der skabes den korrekte sammenhæng. Vinkler Eleverne skal arbejde med begreberne regulære og irregulære polygoner og finde sammenhængen mellem vinkelsummen og antallet af trekanter i polygonen. De arbejder også med supplementvinkler og topvinkler. Modeller Eleverne skal arbejde med sammenhængen mellem model, foto, skitse og konstruktion. De skal kunne foretage et begrundet valg af repræsentation i en given situation. Kongruens og ligedannethed De centrale begreber er kongruens, ligedannethed og målestoksforhold. Eleverne skal tegne skitser ud fra skriftlige oplysninger og konstruere figurer ud fra skitser. De skal arbejde med målestoksforhold; beregne virkelige længder ud fra plantegning, forstørre og formindske givne figurer ud fra viden om ligedannethed.

2 Cirkler Her arbejdes der med de geometriske begreber, der er knyttet til cirklen. Dette gøres ved at koble beskrivelse med tegning og ved at konstruere ud fra begreberne i Geogebra. Eleverne skal undersøge vinkler ved cirklen og benytte deres viden til at konstruere cirkellogoer. Opslaget afsluttes med et tjek på, hvor mange begreber fra opslaget eleverne kan huske. Flytninger Udgangspunktet for elevernes arbejde er de kendte flytninger: spejling, drejning og parallelforskydning. Disse føres nu for alvor over i GeoGebra. Begrebet vektor indføres, da det er nødvendigt for at kunne parallelforskyde en figur. Udover at kunne flytte figurer skal eleverne også afgøre, hvilken type flytning, der har flyttet en given figur. Eleverne skal lave undersøgelser af fladedækninger med begrundelser for, hvilke regulære polygoner der kan fladedække. Dette samler op på elevernes viden om vinkelsummer i polygoner. Areal Det faglige indhold er udvikling af formler til beregning af areal af parallelogram og trapez ved eksperimenter i GeoGebra. Der er fokus på, at eleverne får formuleret skriftlige forklaringer på resultaterne. Side til side-vejledning Geometriske begreber Intro 1 Mødet (klasseaktivitet) og kopiark 6.01 Kapitlet begynder med repetition af geometriske begreber. Alle elever får udleveret et kopiark. Eleverne går rundt mellem hinanden og svarer med hverdagseksempler på hinandens begreber. Eleverne bestemmer selv, hvilket begreb de ønsker at svare på. Derved kan de svageste elever også være med i aktiviteten. 2 Beskrivelse (gruppeaktivitet) Eleverne beskriver parvis vejskilte med geometriske begreber. 3 Fire på stribe (gruppeaktivitet) og kopiark 6.02, 6.03, 6.04, 6.05 og 6.06 Alle elever får udleveret spillepladen (kopiark 6.03). Brikkerne med illustrationer fra kopiark 6.04, 6.05 og 6.06 klippes ud og spredes ud på bordet med bagsiden opad. På skift trækker eleverne en brik og finder på spillepladen det begreb, der passer til illustrationen på brikken. Brikken lægges oven på begrebet på spillepladen. Det er tilladt at flytte allerede lagte brikker til andre begreber, hvor de også passer. Det gælder om at få fire på stribe. Spillet fortsætter til alle brikker er trukket. Der tælles, hvor mange fire på stribe deltagerne har. Den med flest har vundet. 4 Begrebsstafet (gruppeaktivitet) og kopiark 6.04, 6.05 og 6.06 Brikkerne fra de 3 kopiark lægges på et bord med bagsiden opad. Klassen deles i to hold. Den første elev i hver række løber hen til bordet, vender en brik og løber over til modstandernes hold, hvor brikken vises og det tilhørerende begreb siges. Hvis svaret er rigtig, vindes brikken. Hvis svaret er forkert, lægges brikken tilbage på bordet. Eleven løber tilbage til egen række, og den næste i rækken løber af sted. Holdet, der først samler 10 brikker, vinder. 5 Ordfyld og kopiark 6.07 Eleverne får udleveret kopiarket. De manglende ord indsættes, så sætningerne er matematisk korrekte. Vinkler

3 6 Regulære polygoner I GeoGebrafilen undersøger eleverne sammenhængen mellem antal trekanter i polygoner og vinkelsummen. Polygoners vinkelsum kan beskrives ved antallet af trekanter multipliceret Irregulære polygoner Eleverne undersøger om sammenhængen mellem antal trekanter og vinkelsummen også gælder for irregulære polygoner. Ved at konstruere en polygon i Geogebra og efterfølgende trække i den, kan de hurtigt få genereret mange eksempler på irregulære polygoner. 8 Kanter og vinkelsum (paraktivitet) Ved konstruktion af forskellige polygoner undersøges antallet af kanter, når polygonens vinkelsum er kendt. Antallet af kanter i en polygon findes ved at dividere den kendte vinkelsum med 180 og herefter lægge 2 til. 9 Supplementvinkler og topvinkler (paraktivitet) Eleverne har tidligere arbejdet med topvinkler og nabovinkler. Her anvendes begrebet supplementvinkler frem for nabovinkler. Opgaven er derfor repetition. 10 De manglende vinkler og kopiark 6.08 Uden brug af vinkelmåler finder eleverne størrelsen på vinklerne på kopiarket. De anvender definitionerne på supplementvinkler, topvinkler samt reglen vedr. vinkelsum. Modeller 11 Fotos og skitser (paraktivitet) Opgaven lægger op til, at eleverne ser forskelle og ligheder, når de kigger på et foto af en genstand og den tilhørende skitse. Beskrivelserne skal indeholde geometriske begreber. 12 Tegn skitser (gruppeaktivitet) Eleverne skal ud fra en skriftlig forklaring tegne tilhørende skitser og sætte mål på dem. 13 Foto og skitse (paraktivitet) Eleverne begrunder, hvilken type model der skal udleveres til given håndværker. Kunstmaleren skal have udleveret et foto, og de to andre håndværkere skal have udleveret en skitse med mål på. 14 Repræsentationer (paraktivitet) og kopiark 6.09 og 6.10 Brikkerne fra kopiarkene lægges ud på bordet med bagsiden opad. På skift vender en elev to brikker og finder ud af, om der er et stik. Et stik består af en skitse og en tilhørende konstrueret figur. Eleverne spiller til alle brikker er væk fra bordet. De svageste elever kan evt. sætte sig sammen og sætte brikkerne i par, mens de kan se alle brikkerne på bordet. Efterfølgende bruger eleverne den viden, de har fået ved at spille, til at vurdere fordele og ulemper ved en konstruktion frem for en skitse. 15 Skitser og beskrivelser og kopiark 6.11 Eleverne finder de fire skitser på kopiarket, der passer med beskrivelserne i bogen. Beskrivelserne i bogen omskrives, så der indgår flere matematiske begreber. De kan også ændre nogle af ordene i beskrivelserne til mere korrekte geometriske begreber, som fx cirklens centrum frem for midten af cirklen. 16 Skitser, konstruktioner og fotos (paraktivitet) I denne opgave overvejes, hvilke faglige dele af en instruktion, der kan føre til, at resultatet ikke bliver som forventet. 17 Interviewrunden (paraktivitet) Eleverne vælger forskellige situationer, hvortil de vælger hvilken repræsentation, de vil benytte. Dernæst interviewer eleverne hinanden ud fra de spørgsmål, som står i bogen. 18 Konstruktion og kopiark 6.12 Skitserne på kopiarket omsætter eleverne til korrekte konstruktioner i GeoGebra.

4 19 Konstruktion af polygoner og kopiark 6.13 Skitserne på kopiarket omsættes til korrekte konstruktioner i GeoGebra. 20 Figurstafet (gruppeaktivitet) Gruppen opdeles i to par, som konkurrerer mod hinanden. Hvert par tegner tre skitser af polygoner med højst 5 kanter. På skitserne er længdemål og vinkler angivet. Skitserne skal kunne konstrueres. Parret kan derfor konstruere polygonerne i GeoGebra, og herefter tegne skitserne. Parrene bytter skitser. Hvert par har en terning. På skift kastes med terningen og den anden konstruerer noget af polygonerne. Det gælder om at blive først færdig med at konstruere de tre polygoner i GeoGebra. I denne opgave er fokus, hvordan polygonerne kan konstrueres hurtigst muligt, og derved får eleverne øjnene op for, hvilke kanter det bedst kan betale sig at tegne først. Kongruens og ligedannethed 21 Firkanter (gruppeaktivitet) Alle elever i gruppen tegner skitser af firkanter. Herefter konstrueres firkanterne i GeoGebra. Konstruktionerne udskrives og sammenlignes i gruppen. Parvis tilføjer eleverne oplysninger til beskrivelserne i opgave a. Parrene bytter beskrivelser, konstruerer firkanterne og sammenligner igen. Formålet med opgaven er, at eleverne bliver opmærksomme på præcisionen i deres beskrivelser, når andre skal konstruerer ud fra dem. 22 Geometridiktat (paraktivitet) Den ene GeoGebrafil åbnes, og den ene læser konstruktionsbeskrivelsen op, mens den anden tegner en skitse på et stykke papir. Begge elever konstruerer derefter figuren i GeoGebrafilen. Til slut åbner eleverne algebravinduet og klikker den skjulte figur frem. Den anden GeoGebrafil åbnes og øvelsen gentages med byttede roller. 23 Konstruktionsspil (paraktivitet) og kopiark 6.14 Eleverne trækker på skift en konstruktionsbrik og forklarer den anden, hvordan figuren skal konstrueres. Det er kun oplæseren, som må kigge på brikken. Når figuren er konstrueret, åbner eleven algebravinduet og klikker den skjulte figur frem. GeoGebrafilerne til denne opgave er nummererede i den rækkefølge, som brikkerne er illustreret på kopiarket. Når brikkerne klippes ud, kan eleverne med fordel skrive numrene på, så de nemmere kan konstruere figurerne i de rigtige filer. 24 Plantegning Eleverne måler længder på plantegningen og beregner målestoksforholdet. De skal også finde virkelige plantegninger på nettet og beregne målestoksforholdet, så de ser anvendeligheden af matematikken 25 Målestoksforhold (paraktivitet) I denne opgave arbejder eleverne med forholdet mellem to figurer. De ser, at rækkefølge figurerne nævnes på har betydning for det beregnede målestoksforhold. Forholdet mellem Rundetårn (ca. 30 m) og Eiffeltårnet (ca. 300 m) er 1:10, hvor forholdet mellem Eiffeltårnet og Rundetårn er 10:1. 26 Papirflyvere og kopiark 6.15 Eleverne konstruerer papirflyvere i større og mindre målestoksforhold. 27 To til tre Opgaven træner elevernes forståelse for målestoksforhold. De konstruerer en selvvalgt figur i et givent målestoksforhold. 28 Find ligedannede figurer (klasseaktivitet) og kopiark 6.16

5 Eleverne trækker en brik hver fra kopiarket. Er der mere end 21 elever i klassen udarbejdes det antal brikker, der mangler. Alternativt kan læreren dele klassen op i to hold og udlevere de brikker, som har 3 ligedannede figurer. Eleverne danner grupper, hvor figurerne på brikkerne er ligedannede. Grupperne kan variere i antal. 29 Konstruktion ud fra skitser (gruppeaktivitet) Hver elev vælger i klasselokalet en genstand, som de tegner en skitse af og sætter virkelige mål på. Dernæst konstrueres genstanden i GeoGebra. Alle elever i gruppen fremlægger konstruktionen og beskriver fremgangsmåden. De andre elever stiller spørgsmål til fremlæggelsen. 30 Festival (paraktivitet) og kopiark 6.17, 6.18 og 6.19 Først gætter eleverne, hvilken festival der er tættest på deres bopæl, og herefter beregnes den virkelige afstand ud fra kortene på kopiarkene. Eleverne undersøger gåafstande ved at opmåle på kort og beregne de virkelige mål. Cirkler 31 Cirkelspil (gruppeaktivitet) og kopiark 6.20 Brikkerne på kopiarket klippes ud og fordeles ligeligt mellem deltagerne i gruppen. Det gælder om at få stik. Et stik består af en beskrivelse og en tilhørerende illustration. På skift trækker en deltager en brik fra den, der sidder til højre. Der kontrolleres om der er stik. Spillet slutter, når der er en deltager, som sidder med 1 brik tilbage (sorteper). Dette kort er en illustration af et cirkeludsnit. 32 Cirkelbegreber Eleverne konstruerer beskrivelserne fra opgave 31 i GeoGebrafilen og skriver begreberne på. 33 Vinkler i cirkler I denne opgave undersøger eleverne centervinklen og periferivinklen, men ikke sammenhængen imellem dem. De kommunikerer skriftligt vedrørende resultaterne. 34 Periferivinkler og centervinkler Eleverne undersøger sammenhængen mellem centervinkel- og periferivinkel i GeoGebra. De finder ud af, at centervinklen er dobbelt så stor som den periferivinkel, der spænder over samme buestykke. Hvis eleverne har svært ved at gennemskue sammenhængen, kan de i indstillinger lave afrundingen om, så vinklerne er hele tal. Det giver en afrundingsusikkerhed, men det bliver nemmere at se sammenhængen. 35 Cirkellogoer I GeoGebra tegnes et af de 3 illustrerede cirkellogoer, som er vist i bogen. Det er vigtigt, at der måles på illustrationerne, så konstruktionen gengives i et korrekt forhold. 36 Dit eget logo (gruppeaktivitet) Eleverne konstruerer deres eget cirkellogo i GeoGebra. De udarbejder en skærmoptagelse, hvor de forklarer konstruktionen samtidig med, at de konstruerer logoet. De andre i gruppen ser skærmoptagelsen og konstruerer logoet. Der gives feedback på skærmoptagelsen. Den mundtlige kommunikation er i fokus. 37 Tegneserie (paraktivitet) Eleverne konstruerer en af de to illustrationer i bogen. Undervejs tages screen shots af konstruktionerne og de sættes sammen til en tegneserie. 38 Spørgecirkler (gruppeaktivitet) Hver elev vælger en af de to cirkelmønstre fra opgave 37. Alle elever får udleveret et stykke papir og skriver øverst, hvilken figur de stiller spørgsmål til. Derefter konstruerer hver elev mindst 5 opgaver eller spørgsmål til det valgte cirkelmønster. Når alle i gruppen er færdige sendes arket med spørgsmålene til personen til højre. Eleverne svarer på et valgfrit spørgsmål eller opgave og sender arket videre til højre. Aktiviteten fortsætter indtil arket returnerer til den, der skrev spørgsmålene. Svarerne kontrolleres til sidst. 39 Korncirkler (paraktivitet)

6 Her undersøges fotoet af en korncirkel med henblik på at finde flest matematiske begreber, der kan beskrive den. Dernæst forklares på skift begreberne, og hvor de ses på korncirklen. Herefter overvejes hvor få målinger, der skal til for at konstruere korncirklen i GeoGebra. Dernæst konstrueres korncirklen i GeoGebra. Flytninger 40 Figurflytning (paraktivitet) og kopiark 6.21 Eleverne undersøger, hvilke typer flytning der er fortaget på kopiarket. De kan evt. klippe figuren ud og bruge den i undersøgelserne. De samme flytninger tegnes i GeoGebra ved hjælp af flytteværktøjerne. Husk at tegne en spejlingsakse ved spejling, konstruere en vektor for at kunne parallelforskyde og afsætte et punkt for en drejning. Herefter tegner eleverne en figur i GeoGebra, som parallelforskydes, spejles og drejes. 41 Vektorer Værktøjskassen anvendes i denne opgave. Eleverne skriver vektorer, hvordan figurerne er parallelforskudt. 42 Vejen dertil (paraktivitet) Eleverne undersøger i GeoGebrafilen hvordan værdierne i en vektor fremkommer. 43 Forskydninger Her skal eleverne konstruere en polygon i GeoGebra og lukke algebravinduet. Dernæst forskydes figuren efter anvisningerne i bogen. Hvis figuren ikke ender tilbage ved udgangspunktet, åbner eleverne algebravinduet og gennemgår vektorerne. 44 Flytningspil (gruppeaktivitet) og kopiark 6.22 og 6.23 Alle brikkerne fra kopiarkene lægges på bordet med bagsiden opad. Eleverne spiller vendespil, hvor et stik består at en tegnet flytning og en brik, hvor typen på flytning er angivet. Vinderen er den med flest stik. 45 Se på mønstre (paraktivitet) og kopiark 6.24 Eleverne finder flytninger i mønstrene på kopiarket ved at tegne spejlingsakser, vektorer og drejningspunkter. De markerer ligeledes kongruente og ligedannede figurer. De hurtige elever kan selv finde mønstre på nettet, og importere et billede til GeoGebra, hvor de ved hjælpe af værktøjerne kan undersøge typer af flytninger i mønstret. 46 Afgør flytningstypen (gruppeaktivitet) I GeoGebra konstruerer eleverne en polygon, som de spejler, parallelforskyder og drejer. De skjuler spejlingsakser, vektorer og drejningspunkter og bytter computer med en makker. De finder flytningerne af makkerens polygon ved at bruge GeoGebra. To par går sammen og afprøver hinandens opgaver. 47 Flere måder (paraktivitet) Eleverne konstruerer en polygon i Geogebra, som flyttes mindst 3 gange. Den første polygon og den sidste polygon gøres til faste objekter og alt andet skjules. Eleverne bytter computer og skal undersøge hvilke flytninger, der kan anvendes for at flytte den første polygon over i den sidste polygon. De undersøger desuden hvor få flytninger, de kan nøjes med. 48 Fladedækninger (paraktivitet) I denne opgave undersøger eleverne sammenhængen mellem regulære polygoners vinkler og deres muligheder for at kunne tesselleres. De finder frem til at det kun er 3-, 4- og 6-kanter, som kan tesselleres. Filerne med undersøgelserne gemmes, da de skal bruges igen i næste opgave. 49 Mønstre Der arbejdes videre med filerne fra opgave 48. Eleverne undersøger, hvordan de kan kombinere forskellige polygoner, så der kan fladedækkes med 5-, 7- og 8 kanter. De udvælger et af mønstrene og analyserer det med henblik på typer af flytninger og fremkomsten af ligedannede og kongruente figurer. 50 Dit eget tapet

7 I denne opgave designer eleverne deres eget tapet. De finder inspiration på nettet, tegner skitser på papir og konstruerer tapet i GeoGebra. De overvejer betydningen af, hvad der sker, når to baner tapet sættes op ved siden af hinanden. 51 Fladespil (paraktivitet) 3 ere, 4 ere, 5 ere og 6 ere fra et spil kort lægges på bordet med bagsiden opad. Eleverne trækker hver et kort og konstruerer en polygon med antal sider, som kortet viser. Rødt kort irregulær polygon og sort, kort regulær polygon. Eleverne konstruerer et flademønster med polygonen og højst to andre typer polygoner. Areal 52 Parken Med udgangspunkt i banestørrelsen i Parken konstruerer eleverne et rektangel med et areal på ca m 2. De ændrer rektanglet til et parallelogram med samme areal ved at trække i punkterne. 53 Areal for parallelogram (gruppeaktivitet) og kopiark 6.25 Eleverne finder frem til formlen for arealet af et parallelograms. De konstruerer et parallelogram i GeoGebra, som de printer. De klipper i parallelogrammet efter opskriften i bogen. I opgave b anvendes kopiarket. Højder og grundlinjer i parallelogrammet måles og arealet beregnes. Derudover skriver eleverne en forklaring på, hvordan parallelogrammets areal beregnes og fremlægger det for et andet par. 54 Areal for trapez (klasseaktivitet) og kopiark 6.26 Eleverne følger instruktionen i bogen og finder frem til formlen for arealet af et trapez. På kopiarket er der flere trapezer, som eleverne kan bruge i undersøgelsen eller de kan beregne arealet af trapezerne, hvis de har fundet frem til formlen. Der er fokus på elevernes kommunikation, da de på skrift skal forklare formlen. Eleverne planlægger en præsentation af, hvordan man finder arealet af et trapez og et parallelogram. Denne præsentation kan fortsætte med fokus på den skriftlige del, eller eleverne kan omsætte deres skriftlige forklaringer til mundtlige. 55 Festivalplads og kopiark 6.27 I denne opgave skal eleverne finde arealet af festivalpladsen på Skanderborg Festival, som er illustreret på kopiarket. Eleverne inddeler festivalpladsen i mindre figurer, som de beregner det samlede arealet af. De kan vælge at bruge kopiarket, eller de kan importere billedet til GeoGebra. 56 Polygonbanko (klasseaktivitet) og kopiark 6.28 og 6.29 Eleverne spiler sammen parvis med spillepladen (kopiark 6.28). Der udpeges en opråber. Brikkerne fra kopiark 6.29 lægges i en pose og opråberen tager en brik ad gangen. Parrene vurderer, om de har en ledig figur på spillepladen, som har egenskaben, som bliver læst op. Nummeret på brikken noteres ud for den figur, som passer til. Hvis ingen får fuld plade, er vinderen det par, som har flest rigtige numre på pladen. Eleverne lægger en strategi for spillet på baggrund af første spil. Spillet gentages. Skriftlig problemløsning 1 Dannebrog Eleverne konstruerer Dannebrog og løser opgaverne ved at bruge værktøjerne i Geogebra. 2 Maries bolig I denne opgave skal eleverne indrette en lejlighed ud fra forskellige krav omkring lejlighedsstørrelse og møbelvalg.