Flade- og rum-integraler
|
|
- Per Dalgaard
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 enote 25 1 enote 25 Flade- og rum-integraler Flade og rumintegraler opstilles her på stort set samme måde som kurve- og planintegralerne i enote 22, som derved sammen med den grundlæggende generelle indførelse i Riemann-integralerne enote 21 danner basis for nærværende enote. Udgangspunktet for bestemmelse af flade- og rum-integralerne er fladernes og de rumlige områders respektive parameterfremstillinger. Til hver parameterfremstillling hører en Jacobi-funktion og det er denne funktion der benyttes til opstilling og beregning af integralerne Flade-integraler En parametriseret flade i rummet er givet ved en parameterfremstilling som meget ligner parameterfremstillingerne for plane områder, jvf. enote 22. Forskellen er dog den helt essentielle, at her er også z-koordinaten en funktion af de to parameterværdier u og v: F r : r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) R 3, u [a, b], v [c, d], (25-1) hvor x(u, v), y(u, v), og z(u, v) er givne glatte funktioner af de to variable u og v. Eksempel 25.1 Graf-flader for funktioner af to variable En funktion h(x, y) af to variable (x, y) R 2 har en grafflade F i rummet, som let kan parametriseres på den anviste form: F : r(u, v) = (u, v, h(u, v)), u R, v R. (25-2)
2 enote FLADE-INTEGRALER 2 Figure 25.1: Graf-fladen for funktionen h(x, y) = x 2 y 2 + y dels over kvadratet (x, y) [ 1, 1] [ 1, 1] og dels over cirkelskiven med radius 1 og centrum i (0, 0) i ((x, y))-planen. Typisk er vi kun interesserede i et udsnit af sådanne graf-flader, f.eks. det udsnit, der ligger over et rektangel i (x, y) planen: x [a, b], y [c, d]. Det udsnit parametriseres lige så let som hele graffladen: F : r(u, v) = (u, v, h(u, v)), u [a, b], v [c, d]. (25-3) Hvis vi derimod er interesserede i det udsnit af graffladen som ligger over cirkelskiven med radius a og centrum i (0, 0) så må vi først parametrisere cirkelskiven i (x, y)-planen med de to parametre u og v, hvorefter grafflade-udsnittet kan præsenteres ved at løfte cirkelskivepunkterne til den korrekte højde med funktionen h(x, y): F : r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), h (u cos(v), u sin(v))), (25-4) hvor parametrene u og v nu gennemløber parameterområdet for cirkelskiveparametriseringen: u [0, a], v [ π, π]. (25-5) I analogi med planintegralerne (jvf. enote 22) definerer vi nu fladeintegralerne således:
3 enote FLADE-INTEGRALER 3 Definition 25.2 Fladeintegralet Lad f (x, y, z) betegne en kontinuert funktion i R 3. Fladeintegralet af funktionen f (x, y, z) over den parametriserede flade F r defineres ved F r f dµ = d b hvor Jacobi-funktionen Jacobi r (u, v) c a f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv, (25-6) Jacobi r (u, v) = r u(u, v) r v(u, v) (25-7) er arealet af det parallelogram, der på stedet r(u, v) udspændes af de to tangentvektorer r u(u, v) og r v(u, v) til de respektive koordinatkurver igennem punktet r(u, v) på fladen. Definition 25.3 Regulær parameterfremstilling Parameterfremstillingen (25.1.1) siges at vre en regulær parameterfremstilling hvis der gælder følgende: Jacobi r (u, v) > 0 for alle u [a, b], v [c, d]. (25-8) Definition 25.4 En-entydig parameterfremstilling Som for parametriserede kurver siges parameterfremstillingen i (25.1.1) at vre enentydig hvis forskellige punkter i definitionsmængden afbildes i forskellige punkter i billedmængden. Eksempel 25.5 Kugleflade-parametrisering Hele kuglefladen med radius R og centrum i (0, 0, 0) kan parametriseres med geografiske parametre således: S R : r(u, v) = (R sin(u) cos(v), R sin(u) sin(v), R cos(u)), (25-9)
4 enote FLADE-INTEGRALER Figure 25.2: Enheds-kuglefladen og en del af enheds-kuglefladen. Delen er konstrueret ved at indskrænke parameterdomænet til (u, v) [π/3, 2π/3] [ 2π/3, 2π/3]. hvor u [0, π ] og v [ π, π ]. Jacobi-funktionen hørende til denne parametrisering fås af følgende beregninger: r0u = R (cos(u) cos(v), cos(u) sin(v), sin(v)) r0v, = R ( sin(u) sin(v), sin(u) cos(v), 0), Jacobir (u, v) = r0u r0v (25-10) 2 = R sin(u). Denne parametrisering er hverken regulær overalt eller en-entydig i det givne parameterområde. Hvorfor ikke? Hvor og hvordan er der brud på regulariteten? Hvor og hvordan er der brud på en-entydigheden? Se afnit afsnit 22.4 i enote 20. Eksempel 25.6 Grafflader Enhver standard-parametrisering af en grafflade for en glat funktion h( x, y) af to variable er en-entydig og regulær overalt. Hvis vi ser på standard-parametriseringen r(u, v) = (u, v, h(u, v)), u [ a, b], v [c, d] (25-11) får vi Jacobifunktionen ved følgende generelle beregning: r0u (u, v) = (1, 0, h0u (u, v)), r0v (u, v) = (0, 1, h0v (u, v)), r0u (u, v) r0v (u, v) = Jacobir (u, v) = ( h0u (u, v), h0v (u, v), 1) q (25-12), 1 + (h0u (u, v))2 + (h0v (u, v))2 = q 1 + h(u, v) 2,
5 enote FLADE-INTEGRALER 5 som jo klart er positiv for alle (u, v) i parameter-området. Definition 25.7 Areal af flade Arealet af den parametriserede flade F r : r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), u [a, b], v [c, d] defineres som fladeintegralet af den konstante funktion 1 over fladen: d b Areal(F r ) = 1 dµ = F r c a Jacobi r (u, v) du dv. (25-13) Eksempel 25.8 Areal af graf-flader Arealet af graffladen for funktionen h(x, y) over det rektangulære område [a, b] [c, d] i (x, y)-planen er derfor: Areal( F) = F 1 dµ = d b c a Jacobi r (u, v) du dv, (25-14) hvor sådan at F = F r : r(u, v) = (u, v, h(u, v)), u [a, b], v [c, d], (25-15) Jacobi r (u, v) = 1 + h(u, v) 2 Areal( F) = d b c a 1 + h(u, v) 2 du dv. (25-16) Opgave 25.9 Bestem arealet af den del af graffladen for funktionen h(x, y) = x + y 1 som ligger over kvadratet (x, y) [0, 1] [0, 1] i (x, y)-planen. Bemærk, at denne del af graffladen er et plant parallelogram. Brug dels dobbelt-integration som i eksempel 25.8 og dels den klassiske arealbestemmelse ved hjælp af grundlinje og højde.
6 enote FLADE-INTEGRALER 6 Figure 25.3: Dele af en plan grafflade. Opgave Bestem arealet af den del af graffladen for funktionen h(x, y) = x + y 1 som ligger over den cirkelskive i (x, y)-planen som har radius 1/2 og centrum i (1/2, 1/2). Bemærk, at denne del af graffladen er et plant område, som er afgrænset af en ellipse. Opgave Bestem arealet af den del af graf-fladen for funktionen h(x, y) = x y som ligger over kvadratet (x, y) [ 1, 1] [ 1, 1] i (x, y)-planen. Eksempel Areal af kugleflade En del af en kugleflade med radius R og centrum i (0, 0, 0) er parametriseret således: Ŝ : r(u, v) = (R sin(u) cos(v), R sin(u) cos(v), R cos(u)), (25-17) hvor u [a, b] [0, π] og v [c, d] [ π, π].
7 enote FLADE-INTEGRALER 7 Arealet af den del af kuglefladen er så, idet Jacobi r (u, v) = R 2 sin(u): Areal(Ŝ) = d b c a R 2 sin(u) du dv = R 2 (d c) [ cos(u)] u=b u=a = R 2 (d c) (cos(a) cos(b)). (25-18) Specielt får vi derfor også arealet af hele kuglefladen med a = 0, b = π, c = π, og d = π: Areal(S R ) = 4π R 2. (25-19) Motivering af fladeintegralet Hvis vi i stil med motiveringen af kurveintegralet deler begge intervallerne [a, b] og [c, d] i henholdsvis n og m lige store dele, så har hvert u-delinterval længden δ u = (b a)/n og hvert v-delinterval har længden δ v = (d c)/m. Tilsvarende bliver delepunkternes koordinater i (u, v)-parameterområdet (som jo er rektanglet [a, b] [c, d] i R 2 ) - jvf. afsnittet om dobbelt-integralsummer i enote 21: (u 1, v 1 ) = (a, c), (u 1, v j ) = (a, c + (j 1)δ v ), (u i, v 1 ) = (a + (i 1)δ u, c), (u i, v j ) = (a + (i 1)δ u, c + (j 1)δ v ),... (b, d) = (a + nδ u, c + mδ v ). (25-20) Med hvert af disse faste punkter (u i, v j ) som udviklingspunkt kan vi betragte Taylor s grænseformel for hver af de 3 koordinat-funktioner for r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) til første orden med tilhørende epsilon-funktioner: r(u, v) = r(u i, v j ) + r u(u i, v j ) (u u i ) + r v(u i, v j ) (v v j ) + ρ ij ε ij (u u i, v v i ), (25-21)
8 enote FLADE-INTEGRALER 8 hvor u [ u i, u i + δ u ], v [ v j, v j + δ v ]. Her betegner ρij = (u u i ) 2 + (v v j ) 2 afstanden mellem det variable punkt (u, v) og det faste udviklingspunkt (u i, v j ) i parameterområdet. Der gælder her, at ε ij (u u i, v v j ) (0, 0, 0) = 0 for (u u i, v v j ) (0, 0). Hvert delrektangel [u i, u i + δ u ] [v j, v j + δ v ] afbildes på flade-stykket r(u, v), u [u i, u i + δ u ], v [v j, v j + δ v ] og dette fladestykke kan vi approksimere med den lineære del af udtrykket i ( ), som fås ved at fjerne ε ij -bidraget fra højre side i ( ): r app ij (u, v) = r(u i, v j ) + r u(u i, v j ) (u u i ) + r v(u i, v j ) (v v j ), (25-22) hvor u og v stadig gennemløber del-intervallerne u [ u i, u i + δ u ], v [ v j, v j + δ v ]. Disse lineære approksimationer er parallelogrammer, som udspændes af de to tangentvektorer r u(u i, v j ) δ u og r v(u i, v j ) δ v. Se Figur 25.4 hvor de approksimerende parallelogrammer er vist for en parametrisering af en kegleflade. Areal Hvert enkelt af de ialt n m approksimerende parallelogrammer har et areal. Arealet af det (i, j) te parallelogram er længden af krydsproduktet af de to vektorer, der udspænder det pågældende parallelogram: Areal ij = (r u(u i, v j ) δ u ) (r v(u i, v j ) δ v ) = Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v. (25-23) Opgave Bevis denne påstand: Arealet af et parallelogram er længden af krydsproduktet af de to vektorer, der udspænder parallelogrammet. Summen af disse ialt n m arealer er klart en god approksimation til arealet af hele fladestykket, således at vi har Areal app (n, m) = m n j=1 i=1 Areal ij = m n j=1 i=1 Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v. (25-24) Da ovenstående sum er en dobbelt integralsum for den kontinuerte funktion Jacobi r (u, v) over parameter-rektanglet [a, b] [c, d] får vi i grænsen, hvor n og m begge går mod
9 enote FLADE-INTEGRALER uendelig (jvf. enote 21): Arealapp (n, m) Areal = Z dz b c a Jacobir (u, v) du dv = Z Fr 1 dµ for n, m. (25-25) Dette er begrundelsen for definitionen af arealet af en parametriseret flade som angivet ovenfor, nemlig som fladeintegralet af den konstante funktion 1. Figure 25.4: Kegle-fladen er givet ved parameterfremstillingen r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), u), u [ 1, 1], v [ π, π ]. Et system af koordinatkurver på fladen er vist til venstre og de tilsvarende areal-approksimerende parallelogrammer er vist til højre. Opgave Vis, at den givne parameterfremstilling i figur 25.4 hverken er regulær eller en-entydig i det givne parameterområde. Overvej, om der findes en regulær parameterfremstilling for keglefladen. Opgave Hvorfor er de approksimerende parallelogrammer på den øvre halvdel af keglefladen i figur 25.4 mindre end de tilsvarende parallelogrammer (med samme afstand til toppunktet) på den nedre halvdel?
10 enote FLADE-INTEGRALER 10 Figure 25.5: Denne vindelflade er givet ved parameterfremstillingen r(u, v) = (sinh(u) cos(v), sinh(u) sin(v), v). Figuren viser også en approksimation af fladen med parallelogrammer, som faktisk alle er kvadrater af forskellig størrelse. Se opgave Opgave Vis, at de approksimerende parallelogrammer i figur 25.5 alle er kvadrater. Massen af en flade Hvis vi nu antager, at hvert enkelt parallelogram i ( ) tildeles en konstant massetæthed givet ved værdien af funktionen f (x, y, z) i parallelogrammets kontaktpunkt med fladen, så får vi massen af det (i, j) te parallelogram : M ij = f (x(u i, v j ), y(u i, v j ), z(u i, v j )) Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v = f (r(u i, v j )) Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v. (25-26) Den totale masse af hele systemet af parallelogrammer er derfor følgende, som er en god approksimation til massen af hele fladen når denne gives massetætheden f (r(u, v)) i punktet r(u, v). M app (n, m) = m n j=1 i=1 M ij = m n j=1 i=1 f (r(u i, v j )) Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v. (25-27) Dette er en dobbelt integralsum for den kontinuerte funktion f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) over parameter-rektanglet [a, b] [c, d]. Vi får altså i grænsen, hvor n og m går mod
11 enote FLADE-INTEGRALER 11 uendelig: M app (n, m) M = d b c a f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv for n, m. (25-28) Dermed har vi motiveret definitionen af massen af en parametriseret flade med massetætheden f (r(u, v)) og dermed også den generelle definition af fladeintegralet, definition Omdrejningsflader Omdrejningsflader er de specielle flader, der fremkommer ved at dreje en plan kurve omkring en ret linje (omdrejningsaksen) som også ligger i samme plan. Kurven kaldes en profil-kurve eller en frembringer-kurve. Det antages, at profilkurven ikke skærer omdrejningsaksen. Profilkurven vælges typisk i (x, z)-planen og drejes om z-aksen i et (x, y, z)-koordinatsystem. Profil-kurven kan så repræsenteres ved en parameterfremstilling således: G p : p(u) = (g(u), 0, h(u)) R 3, u [a, b], (25-29) hvor g(u) > 0 og h(u) er givne funktioner af parameteren u. Den omdrejningsflade, der fremkommer ved at dreje G p en hel gang omkring z-aksen har derfor parameterfremstillingen: FG r : r(u, v) = (g(u) cos(v), g(u) sin(v), h(u)), u [a, b], v [ π, π]. (25-30) Opgave Vis, at Jacobifunktionen Jacobi r (u, v) for parameterfremstillingen r(u, v) for den generelle omdrejningsflade FG r i ( ) er givet ved Jacobi r (u, v) = g(u) (h (u)) 2 + (g (u)) 2. (25-31)
12 enote FLADE-INTEGRALER 12 Figure 25.6: Omdrejnings-fladen her er givet ved parameterfremstillingen r(u, v) = (g(u) cos(v), g(u) sin(v), h(u)), u [ π, π], v [ π, π], hvor g(u) = sin(u) og h(u) = u. Eksempel Torus-areal En given torus er parametriseret på følgende måde: T : r(u, v) = (g(u) cos(v), g(u) sin(v), h(u)), u [ π, π], v [ π, π], (25-32) hvor g(u) = 2 + cos(u) og h(u) = sin(u). Jacobifunktionen er Jacobi r (u, v) = g(u) så arealet af denne torus er simpelthen: Areal(T ) = π π (h (u)) 2 + (g (u)) 2 = 2 + cos(u), (25-33) π π (2 + cos(u)) du dv = 8π 2. (25-34) Hvis vi belaster denne torus med en vægtfunktion, massetæthed, givet ved funktionen f (x, y, z) = 2 + z får vi den totale vægt af torusen: M(T ) = π π π π (2 + sin(u)) (2 + cos(u)) du dv = 16π 2. (25-35)
13 enote RUM-INTEGRALER Figure 25.7: Denne såkaldte torus er omdrejningsfladen givet ved parameterfremstillingen r(u, v) = ( g(u) cos(v), g(u) sin(v), h(u)), u [ π, π ], v [ π, π ], hvor nu g(u) = 2 + cos(u) og h(u) = sin(u) Rum-integraler Et parametriseret rumligt område er på samme måde som kurver og flader givet ved en parameterfremstilling, nu med følgende form hvor de tre koordinatfunktioner x, y, og z nu er funktioner af de ialt 3 parameter-variable u, v, og w: Ωr : r(u, v, w) = ( x (u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) R3 u [ a, b], v [c, d], w [h, l ] Definition 25.19,. (25-36) Rumintegral Lad f ( x, y, z) betegne en kontinuert funktion i R3. Rumintegralet af funktionen f ( x, y, z) over det parametriserede rumlige område Ωr defineres ved Z Ωr f dµ = Z lz dz b h c a f (r(u, v, w)) Jacobir (u, v, w) du dv dw, (25-37). (25-38) hvor Jacobi-funktionen Jacobir (u, v, w) nu er givet ved Jacobir (u, v, w) = (r0u (u, v, w) r0v (u, v, w)) r0w (u, v, w) Det vil sige, Jacobir (u, v, w) er volumenet (her beregnet som et rumprodukt) af det parallelepipedum, der på stedet r(u, v, w) udspændes af de tre koordinatkurvetangentvektorer r0u (u, v, w), r0v (u, v, w) og r0w (u, v, w).
14 enote RUM-INTEGRALER 14 Figure 25.8: Denne torus er den samme som i figur 25.7, men er her givet vægtfunktionen f (x, y, z) = 2 + z. Den totale masse af den vgtede torus er M = 16π 2. Opgave Vis, at Jacobifunktionen Jacobi r (u, v, w) også kan findes som den numeriske værdi af determinanten af den matrix, der som søjler har koordinaterne for de tre vektorer r u(u, v, w), r v(u, v, w) og r w(u, v, w). Definition Regulær parameterfremstilling Parameterfremstillingen i ( ) kaldes en regulær parameterfremstilling hvis Jacobi r (u, v, w) > 0 for alle u [a, b], v [c, d], w [h, l].
15 enote RUM-INTEGRALER 15 Definition En-entydig parameterfremstilling Som for kurver og flader vil vi kalde parameterfremstillingen i ( ) en-entydig hvis forskellige punkter i definitionsmængden afbildes i forskellige punkter i billedmængden. Definition Rumfang, volumen Volumenet eller rumfanget af det rumlige område Ω r : r(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), (25-39) hvor u [a, b], v [c, d], og w [h, l], (25-40) defineres som rumintegralet af den konstante funktion 1: l d b Vol(Ω r ) = 1 dµ = Ω r h c a Jacobi r (u, v, w) du dv dw. (25-41) Figure 25.9: Billeder af det rumlige område givet ved parameterfremstillingen r(u, v, w) = (u v cos(w), u v sin(w), 1 2 (u2 v 2 )), u [ 1 2, 1], v [ 1 2, 1], w [π, 2π]. Opgave Vis, at parameterfremstillingen i figur 25.9 er regulær og en-entydig.
16 enote RUM-INTEGRALER Motivering af rumintegralet Intervallerne [a, b], [c, d] og [h, l] inddeles i henholdsvis n, m og q lige store dele. Så har hvert u-delinterval længden δ u = (b a)/n, hvert v-delinterval har længden δ v = (d c)/m og hvert w-interval har længden δ w = (l h)/q. Tilsvarende bliver delepunkternes koordinater i (u, v, w)-parameterområdet (som her er det retvinklede kasse-område [a, b] [c, d] [h, k] i R 3. (u 1, v 1, w 1 ) = (a, c, h),... (u i, v j, w k ) = (a + (i 1)δ u, c + (j 1)δ v, h + (k 1)δ w ),... (b, d, l) = (a + nδ u, c + mδ v, h + qδ w ). (25-42) Med hvert af disse faste punkter (u i, v j, w k ) som udviklingspunkt kan vi igen bruge Taylors grænseformel for hver af de 3 koordinat-funktioner for r(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) til første orden og med tilhørende epsilon-funktioner: r(u, v, w) = r(u i, v j, w k ) + r u(u i, v j, w k ) (u u i ) + r v(u i, v j, w k ) (v v j ) + r w(u i, v j, w k ) (w w k ) + ρ ijk ε ijk (u u i, v v j, w w k ), (25-43) hvor u [ u i, u i + δ u ], v [ v j, v j + δ v ], w [ wj, w j + δ w ]. Afstanden mellem det variable punkt (u, v, w) og det faste punkt (u i, v j, w k ) i parameterområdet betegnes med ρ ijk og vi har som før ε ijk (u u i, v v j, w w k ) 0 for (u u i, v v j, w w k ) (0, 0, 0). Hvert parameter-delområde eller delkasse [u i, u i + δ u ] [v j, v j + δ v ] [w k, w k + δ w ] afbildes på det rumlige billed-område r(u, v, w), u [u i, u i + δ u ], v [v j, v j + δ v ], w [w k, w k + δ w ] i billedrummet og dette område kan vi approksimere med den lineære del
17 enote RUM-INTEGRALER 17 af udtrykket i ( ), som fås ved at fjerne ε ijk -bidraget fra højre side i ( ): r app ijk (u, v, w) = r(u i, v j, w k ) + r u(u i, v j, w k ) (u u i ) + r v(u i, v j, w k ) (v v j ) + r w(u i, v j, w k ) (w w k ), (25-44) hvor vi stadig har at u [ u i, u i + δ u ], v [ v j, v j + δ v ], w [ wj, w j + δ w ]. Disse lineære rumlige approksimationer er parallelepipeda, som udspændes af de tre tangentvektorer r u(u i, v j, w k ) δ u, r v(u i, v j, w k ) δ v og r w(u i, v j, w k ) δ w. Volumen Hvert enkelt af de ialt n m q approksimerende parallelepipeda har et volumen. Volumenet af det (i, j, k) te parallelepipedum er den numeriske værdi af rumproduktet af de tre vektorer, der udspænder det pågældende parallelepipedum: Vol ijk = ( (r u(u i, v j, w k ) δ u ) (r v(u i, v j, w k ) δ v ) ) (r w(u i, v j, w k ) δ w ) = Jacobi r (u i, v j, w k ) δ u δ v δ w. (25-45) Opgave Bevis denne påstand: Volumenet af et parallelepipedum er den numeriske værdi af rumproduktet af de tre udspændende vektorer. Summen af de ialt n m q volumener er en god approksimation til volumenet af hele det rumlige område, således at vi har Vol app (n, m, q) = = q k=1 q k=1 m j=1 m j=1 n i=1 n i=1 Vol ijk Jacobi r (u i, v j, w k ) δ u δ v δ w. (25-46) Da ovenstående sum er en tredobbelt integralsum for den kontinuerte funktion af de tre variable, Jacobi r (u, v, w), over parameter-kassen [a, b] [c, d] [h, l] får vi i grænsen,
18 enote RUM-INTEGRALER hvor n, m og q alle går mod uendelig: Volapp (n, m, q) Vol = Z lz dz b h c a Jacobir (u, v, w) du dv dw for n, m, q. (25-47) Dette er begrundelsen for definitionen af volumenet af et parametriseret område i rummet som angivet ovenfor, nemlig som rumintegralet af den konstante funktion 1. Figure 25.10: To forskellige delvise kugle-fyldninger med parallelepipeda. Se Opgave Opgave Kugle-parameterfremstillingerne i figur er henholdsvis følgende: r1 (u, v, w) = [ w sin(u) cos(v), w sin(u) sin(v), w cos(u) ] r2 (u, v, w) = [ w sin(v) cos(u + v), w sin(v) sin(u + v), w cos(v) ], hvor parameterintervallerne i begge tilfælde er givet ved: u [ π, 0], v [0, π ], w [0, 1]. Bestem Jacobi-funktionerne for hver af de to parameterfremstillinger, og vis, at begge de viste rumlige områder har volumenet 2π/3, altså præcis halvdelen af hele enheds-kuglens volumen.
19 enote RUM-INTEGRALER 19 Masse Hvis vi nu antager, at hvert enkelt parallelepipedum givet ved ( ) tildeles en konstant massetæthed som er givet ved værdien af funktionen f (x, y, z) på stedet r(u i, v j, w k ), så bliver massen af det (i, j, k) te parallelepipedum: M ijk = f (x(u i, v j, w k ), y(u i, v j, w k ), z(u i, v j, w k )) Jacobi r (u i, v j, w k ) δ u δ v δ w = f (r(u i, v j, w k )) Jacobi r (u i, v j, w k ) δ u δ v δ w. (25-48) Den totale masse af hele systemet af appproksimerende parallelepipeda er derfor følgende, som nødvendigvis er en god approksimation til massen af hele det rumlige område: M app (n, m, q) = = q k=1 q k=1 m j=1 m j=1 n i=1 n i=1 M ijk f (r(u i, v j, w k )) Jacobi r (u i, v j, w k ) δ u δ v δ w. (25-49) Dette er en tredobbelt integralsum for den kontinuerte funktion f (r(u, v, w)) Jacobi r (u, v, w) over parameter-kassen [a, b] [c, d] [h, l]. Vi får i grænsen, hvor n, m og q går mod uendelig: M app (n, m, q) M = for n, m, q. l d b h c a f (r(u, v, w)) Jacobi r (u, v, w) du dv dw (25-50) Dermed har vi motiveret definitionen af massen af et parametriseret område med massetætheden f (r(u, v, w)) og dermed også den generelle definition af rumintegralet. Opgave I figur betragtes følgende parametrisering af et rumligt område: r(u, v, w) = (u sin(v) cos(w), u sin(v) sin(w), u cos(v)), (25-51) hvor u [1/2, 1], v [π/3, 2π/3], og w [ π, π]. Ved afbildning af det kasseformede parameterområde forventes ialt 6 sideflader for billed-mængden, dvs. for det rumlige område, der fremkommer ved parameterfremstillingen. Vi ser på figuren kun tre af de 6 sideflader. Hvor er de andre og hvordan ser de ud?
20 enote RUM-INTEGRALER 20 Figure 25.11: Dette rumlige område er givet ved parameterfremstillingen r(u, v, w) = (u sin(v) cos(w), u sin(v) sin(w), u cos(v)), u [1/2, 1], v [π/3, 2π/3], w [ π, π]. Parameterkassen, koordinatkurverne, billedet af det rumlige område ved parameterfremstillingen og et system af volumen-approksimerende parallellepipida er vist. Eksempel Rumfang af massiv ellipsoide En massiv ellipsoide med halvakser a, b, og c har en parameterfremstilling: r(u, v, w) = (a u sin(v) cos(w), b u sin(v) sin(w), c u cos(v)), (25-52) hvor u [0, 1], v [0, π] og w [ π, π]. Jacobi-funktionen for denne parametrisering er Jacobi(u, v, w) = abc u 2 sin(v), og deraf følger volumenet ved tredobbelt integration: Vol(Ω r ) = = Ω r 1 dµ π = abc π 1 π 0 π π = 4 3 π abc. Jacobi r (u, v, w) du dv dw 0 π u 2 sin(v) du dv dw For en massiv kugle B a med radius a får vi derfor rumfanget (25-53) Vol(B a ) = 4 3 π a3. (25-54)
21 enote RUM-INTEGRALER 21 Figure 25.12: Dette rumlige område er et rumvinkel -udsnit af kuglefladen repræsenteret ved r(u, v, w) = (u sin(v) cos(w), u sin(v) sin(w), u cos(v)), u [0, 1], v [0, π/6], w [ π, π]. Eksempel Graf-flade-afgrænset rumligt område En positiv funktion h(x, y) af to variable (x, y) har en grafflade, der over et givet område P i (x, y)-planen afgrænser et rumligt område. Det er let at parametrisere det rumlige område, når først det plane område er parametriseret. Hvis det plane område er givet ved et rektangel (x, y) [a, b] [c, d] har vi parameterfremstillingen for det rumlige område: Ω r : r(u, v, w) = (u, v, w h(u, v)), (u, v) [a, b] [c, d], w [0, 1]. (25-55) Jacobifunktionen er særlig simpel: Jacobi r (u, v, w) = ((1, 0, w h u(u, v)) (0, 1, w h v(u, v))) (0, 0, h(u, v)) = ((1, 0, ) (0, 1, )) (0, 0, h(u, v)) = h(u, v). (25-56) Rumfanget af det rumlig område, som graf-fladen afgrænser sammen med det plane område i (x, y)-planen er derfor: Vol(Ω r ) = 1 d b 0 c a h(u, v) du dv dw = d b c a h(u, v) du dv. (25-57) Hvis det plane område P i (x, y)-planen ikke er et rektangel som ovenfor, må vi først parametrisere P. Vi antager derfor nu, at det plane område P er billedet af et rektangulært
22 enote RUM-INTEGRALER 22 parameterområde ved en vektorfunktion r: P : r(u, v) = (ξ(u, v), η(u, v)), u [a, b], v [c, d], (25-58) hvor ξ(u, v) og η(u, v) er givne funktioner af u og v. Så er det rumlige område imellem P og graffladen for h(x, y) givet ved parameterfremstillingen: Ω r : r(u, v, w) = (ξ(u, v), η(u, v), w h(ξ(u, v), η(u, v))), (25-59) hvor (u, v) [a, b] [c, d] og w [0, 1] med tilhørende Jacobi-funktion: Jacobi r (u, v, w) = = ((ξ u(u, v), η u(u, v), ) (ξ v(u, v), η v(u, v), )) (0, 0, h(ξ(u, v), η(u, v))) = h(ξ(u, v), η(u, v)) Jacobi r (u, v). (25-60) Rumfanget af det rumlig område, som graf-fladen afgrænser sammen med det plane område i (x, y)-planen er derfor i denne mere generelle situation: Vol(Ω r ) = = 1 d b 0 c d b c a a h(ξ(u, v), η(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv dw h(ξ(u, v), η(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv. (25-61) Figure 25.13: Planetariet er afgrænset af graffladen for f (x, y) = 2 x y over en cirkulær grundplan i (x, y)-planen med radius 1 og centrum i (0, 0). Rumfanget er 2π.
23 enote RUM-INTEGRALER 23 Figure 25.14: Et planetarium med en lidt mere kompliceret tag-graf-flade; den benyttede funktion er her f (x, y) = y 2 x 2 + 2x + 3. Rumfanget er ca Eksempel Planetariet Rumfanget i en cylinder mellem to plane afskæringer (se figur 25.13) er bestemt ved parameterfremstillingen: Ω r : r(u, v, w) = (ξ(u, v), η(u, v), w h(ξ(u, v), η(u, v))), (25-62) hvor højdefunktionen er h(x, y) = 2 x y, parametrene er (u, v) [0, 1] [ π, π], w [0, 1], og det cirkulære grundareal er givet ved P : r(u, v) = (u cos(v), u sin(v)), u [0, 1], v [ π, π] (25-63) med Jacobi-funktionen således at Vol(Ω r ) = = = = = π 1 π 0 π 1 π 0 π 1 π π π π π 0 = 2 π. Jacobi r (u, v) = u, (25-64) h(ξ(u, v), η(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv (2 u cos(v) u sin(v)) u du dv (2u u 2 cos(v) u 2 sin(v)) du dv [ 1 cos(v) ( [ u 2] [ ] u=1 1 u=1 u=0 3 u3 u=0 (1 13 cos(v) 13 ) sin(v) dv 3 u3 ] u=1 u=0 sin(v)) dv (25-65) Bemærk, at det rumfang også vha. symmetri kan findes meget lettere som halvdelen af rumfanget af den cylinder, der har samme grundflade og er skåret vinkelret i højden 4.
24 enote OMDREJNINGSLEGEMER Omdrejningslegemer Omdrejningslegemer er de specielle rumlige områder, der fremkommer ved at dreje et plant område (f.eks. defineret i (x, z)-planen) omkring en omdrejningsakse i samme plan (z-aksen), som antages at ligge udenfor området. Jævnfør definitionen af omdrejningsflader i afsnit Det plane område - profilområdet - repræsenteres ved en parameterfremstilling således: P r : r(u, v) = (g(u, v), 0, h(u, v)) R 3, u [a, b], v [c, d], (25-66) hvor g(u, v) > 0 og h(u, v) er givne funktioner af parametrene u og v. Det rumlige område, det legeme, der fremkommer ved at dreje profilområdet en hel gang omkring z-aksen har derfor parameterfremstillingen: ΩP r : r(u, v, w) = (g(u, v) cos(w), g(u, v) sin(w), h(u, v)) R 3, u [a, b], v [c, d], w [ π, π]. (25-67) Figur 25.9 viser halvdelen af et omdrejningslegeme. Figur viser overfladen af et omdrejningslegeme defineret ved brug af kuglekoordinater. Cylinder-koordinater i rummet giver tilsvarende velkendte omdrejningslegemer som f.eks. det, der er vist i figur Figure 25.15: Cylinderkoordinatiseret rumligt område givet ved parameterfremstillingen r(u, v, w) = (g(u, v) cos(w), g(u, v) sin(w), h(u, v)), u [0, 1 2 ], v [ 1 2, 1 2 ], w [ π, π], hvor g(u, v) = u og h(u, v) = v.
25 enote OMDREJNINGSLEGEMER Opgave Vis, at Jacobifunktionen Jacobir (u, v, w) for parameterfremstillingen r(u, v, w) for det generelle omdrejningslegeme ΩPr i ( ) er givet ved Jacobir (u, v, w) = g(u, v) gu0 (u, v) h0v (u, v) h0u (u, v) gv0 (u, v). (25-68) Figure 25.16: Dele af henholdsvis omdrejnings-flaske og -fad, se Opgave Opgave En omdrejnings-flaske (eller -fad?) er (pånær bunden) givet ved sin profilkurves parameterfremstilling i ( x, z) planen således: Gr : hvor r(u) = ( g(u), 0, h(u)) R3, u [0, 1], g ( u ) = 2( R1 R2 ) u3 + 3( R2 R1 ) u2 + R1 h(u) = H u, (25-69) (25-70) for passende valg af positive konstanter R1, R2, og H. 1. Plot forskellige versioner af disse omdrejningsflader, se f.eks. figur Vis, at omdrejningsfladen står vinkelret på ( x, y) planen for ethvert valg af positive konstanter R1, R2, og H.
26 enote FLERE ARKITEKTONISK MOTIVEREDE RUMLIGE OMRÅDER Hvor meget rumfang (vand, f.eks.) kan omdrejningsfladen indeholde for givne værdier af positive konstanter R 1, R 2, og H? 4. Hvad er arealet af overfladen af omdrejningsfladen + bund for givne værdier af positive konstanter R 1, R 2, og H? 5. Hvilke(t) valg af konstanter giver mest rumfang i forhold til det totale overfladeareal? 25.4 Flere arkitektonisk motiverede rumlige områder Opgave Inspireret af Malmø s Turning Torso er det en interessant opgave at finde rumfang og overfladeareal af forskellige snoede bygningsværker: 1. Find en parameterfremstilling for det rumlige område, der er vist i figur til venstre. Vlg selv dimensionerne p din bygning, dvs. grundflade og hjde. Vink: De opadgende sidelinjer er skruelinjer, se eksempel?? i enote Hvad er rumfanget af din bygning? 3. Hvad er overfladearealet af bygningens sidevægge? 4. Med fastholdt højde og tværsnitsfigur: Vis, at rumfanget er uafhængig af drejningstallet (det antal gange tværsnitsfiguren drejes fra bund til top - for Torsoen er drejningstallet 1/5). Hvordan afhænger overfladearealet af drejningstallet? Med hvilket drejningstal fås det største volumen i forhold til det totale overfladeareal (af sidevæggene)? Opgave Find parameterfremstillinger af de to (højeste) tårne der vises i figur Vælg selv dimensionerne. Vink: Tårnet i venstre billede har elliptiske tværsnit. Find rumfang og overfladeareal for hver af bygningerne.
27 enote FLERE ARKITEKTONISK MOTIVEREDE RUMLIGE OMRÅDER 27 Figure 25.17: Fem-kantet Turning Torso model og the real thing in Malmø. Figure 25.18: Chinese Canadian projekt.
28 enote OPSUMMERING Opsummering Vi har i denne enote opstillet de begreber og metoder der gør det muligt at beregne (vægtede) arealer og rumfang af henholdsvis flader og rumlige områder for så vidt de er givet ved parameterfremstillinger ud fra rektangulære og kasseformede parameterområder. En række eksempler og opgaver viser hvordan meget forskellige flader og områder kan parametriseres ved rimeligt simple vektorfunktioner r(u, v) og r(u, v, w). Når først en relevant parametrisering er opstillet er resten kun et spørgsmål om at beregne den tilhørende Jacobifunktion Jacobi r (u, v) eller Jacobi r (u, v, w), gange den med en eventuel vægtfunktion f (x, y, z) restringeret til parametriseringens billedmængde i rummet, og til sidst beregne dobbelt- eller tredobbelt- integralet af dette produkt over parameter-rektanglet eller parameter-kassen: For en flade F r med parameterfremstillingen F r : r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) R 3, u [a, b], v [c, d] (25-71) er integralet af (vægt-)funktionen f (x, y, z) over fladen givet ved: d b f dµ = f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv, (25-72) F r hvor Jacobi-funktionen Jacobi r (u, v) c a Jacobi r (u, v) = r u(u, v) r v(u, v) (25-73) er arealet af det parallelogram, der på stedet r(u, v) udspændes af de to tangentvektorer r u(u, v) og r v(u, v) til de respektive koordinatkurver igennem punktet r(u, v) på fladen. Specielt er arealet af F r bestemt ved: Areal(F r ) = 1 dµ = F r d b For et rumligt område Ω r med parameterfremstillingen c a Jacobi r (u, v) du dv. (25-74) Ω r : r(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), (25-75) hvor u [a, b], v [c, d], og w [h, l] er integralet af (vægt-)funktionen f (x, y, z) over området givet ved: l d b f dµ = f (r(u, v, w)) Jacobi r (u, v, w) du dv dw, (25-76) Ω r h c a
29 enote OPSUMMERING 29 hvor Jacobi-funktionen Jacobi r (u, v, w) Jacobi r (u, v, w) = ( r u(u, v, w) r v(u, v, w) ) r w(u, v, w) (25-77) er volumenet af det parallelepipedum, der på stedet r(u, v, w) udspændes af de tre tangentvektorer r u(u, v, w), r v(u, v, w), og r w(u, v, w) til de respektive koordinatkurver igennem punktet r(u, v, w) i det rumlige område. Specielt er rumfanget af Ω r bestemt ved: Vol(Ω r ) = 1 dµ = Ω r l d b h c a Jacobi r (u, v, w) du dv dw. (25-78)
Flade- og rum-integraler
enote 23 1 enote 23 Flade- og rum-integraler Flade og rumintegraler opstilles her på stort set samme måde som kurve- og planintegralerne i enote 22, som derved sammen med den grundlæggende generelle indførelse
Læs mereKurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereIntegration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU
Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU 20. februar 2008 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.2 Approksimerende summer
Læs mereIntegration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU
Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU 14. februar 2006 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad er et punkt og hvordan ser vi det?...................... 6 1.2 Summer og integraler................................
Læs mereIntegration i flere Variable
Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik og Learning Lab DTU 28. januar 2005 2 Indhold Introduktion 5. Hvad er et punkt og hvordan ser vi det?...................... 6.2 Summer
Læs mereSTEEN MARKVORSEN DTU MATEMATIK
STEEN MARKVORSEN DTU MATEMATIK 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.1.1 Rumfang-problemet............................ 6 1.2 Approksimerende summer og
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereIntegration i flere Variable. Steen Markvorsen DTU Matematik
Integration i flere Variable Steen Markvorsen DTU Matematik 20. februar 2009 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.1.1 Rumfang-problemet............................
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereOPGAVE 1 Det nedenstående klip er fra et Maple-ark hvor en reel funktion f (x, y) med definitionsmængden (x,y) x 2 + y 2 < 1 } bliver undersøgt:
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 7. maj 00. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereStokes rotationssætning
enote 27 1 enote 27 Stokes rotationssætning I denne enote vil vi benytte Gauss divergenssætning fra enote 26 til at motivere, bevise, og illustrere Stokes sætning, som udtrykker en præcis sammenhæng mellem
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereGeometriske grundbegreber 8. lektion
1 / 14 Geometriske grundbegreber 8. lektion Martin Raussen Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.4.2008 2 / 14 (Regulære) parameterfremstillinger for en flade Eksempler Kurver på flader og
Læs mereCirkulær hyperboloide (snoet trætårn i Camp Adventure ved Gisselfeld Kloster v/ Haslev)
Cirkulær hyperboloide (snoet trætårn i Camp Adventure ved Gisselfeld Kloster v/ Haslev) https://en.wikipedia.org/wiki/quadric#euclidean_space Ligning og parametrisering https://en.wikipedia.org/wiki/hyperboloid
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 13. maj 2017.
Mat. -timersprøve den. maj 7. JE.5.7 Opgave restart:with(plots): En funktion f af to reelle variable er for x, y s, givet ved f:=(x,y)-y/(x^+y^); f d x, y / y x Cy f(x,y); y x Cy Spørgsmål I x, y Kplanen
Læs mereIntegration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU
Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU 13. februar 2007 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad er et punkt og hvordan ser vi det?...................... 6 1.2 Approksimerende
Læs mereMaj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereSupplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej
Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereMatematik A 5 timers skriftlig prøve
Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed
Læs mereGauss divergenssætning
enote 26 1 enote 26 Gauss divergenssætning I denne enote vil vi bruge flowkurver for vektorfelter til at undersøge hvordan overfladen af et rumligt område deformeres ved flowet og dermed afspejler en tilsvarende
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)
Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen maj 2018, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2018, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots!
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereSTEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017
STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereMatematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse.
HTX Matematik A Fredag den 18. maj 2012 Kl. 09.00-14.00 GL121 - MAA - HTX 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereKapitel 1. Planintegraler
Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik
Læs mereEksamen maj 2019, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereINERTIMOMENT for stive legemer
Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereSTEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016
STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereGUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 31. maj Kl Prøveform a GUX181 - MAA
GUX Matematik A-Niveau Torsdag den 31. maj 018 Kl. 09.00-14.00 Prøveform a GUX181 - MAA 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 11 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereOversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1
Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2016til juni 2019 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid i
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-dec. 2009 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Michael
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 9, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael ørdam 1 Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler: efinition (Egentlige
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 2st111-MAT/A-24052011 Tirsdag den 24. maj 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereNotesæt - Eksempler på polær integration
Notesæt - Eksempler på polær integration Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument forsøger blot at forklare,
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi
Læs mere7. Rumgeometri med Derive
7. Rumgeometri med Derive Kapitel 7: Rumgeometri med Derive Det er afgjort tricket at frembringe gode 3-dimensionalle illustrationer på en PCskærm, men med Derive V er der gjort et rigtigt hæderligt forsøg
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereProjekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal
Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at
Læs mereKommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen
Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mere