Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Talteori. Georg Mohr-Konkurrencen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Talteori. Georg Mohr-Konkurrencen"

Transkript

1 Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal går op i et andet helt tal. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se på om lidt. Her præsenteres idéer til hvordan man løser talteoriopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale principper og idéer til hvordan man benytter fx delelighedsregler og primfaktoropløsning. For at blive god til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen er det allervigtigste at løse mange opgaver, og derfor er der også en masse opgaver hvor mange har været stillet som opgaver til 1. runde. Til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen er de første ti opgaver multiple choice-opgaver med fem svarmuligheder, mens de sidste ti opgaver skal besvares med et positivt helt tal. Derfor er opgaverne her en blanding af multiple choice-opgaver og opgaver hvor facit er et positivt helt tal. Der er løsningsskitser til alle opgaver bagerst. Divisor Tallet 3 går op i 99 da 99 = Mere generelt gælder at hvis d og n er hele tal, så går d op i n hvis der findes et helt tal q så n = q d. Vi siger også at d er divisor i n, eller at n er delelig med d. Primtal Et positivt heltal større end 1 kaldes et primtal hvis de eneste positive divisorer i tallet er 1 og tallet selv. De første ti primtal er derfor 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Delelighedsregler Der findes mange regler om delelighed. Børn lærer hurtigt at 2 går op i et tal når sidste ciffer er lige, og at 5 går op i et tal når sidste ciffer er 0 eller 5, men der findes flere regler som ikke er helt så kendte og intuitive. 3-reglen Tallet 3 går op i et tal netop hvis det går op i tværsummen. Tværsummen af et tal er summen af dets cifre. Fx går 3 op i da 3 går op i tværsummen = reglen Tallet 9 går op i et tal netop hvis det går op i tværsummen. Fx går 9 op i da det går op i tværsummen reglen Tallet 11 går op i et tal netop hvis det går op i den alternerende tværsum. Den alternerende tværsum af et tal får man ved at lægge hvert andet ciffer til og trække hvert andet ciffer fra. Fx går 11 op i da den alternerende tværsum er = 22 Produkt af primtal Et produkt p q af to forskellige primtal p og q går op i et tal hvis både p og q går op. Hvis vi fx skal undersøge om et tal er deleligt med 6 = 2 3, så skal vi blot tjekke om det både er deleligt med 2 og med 3. Produkt Hvis der om de hele tal n, m, a og b gælder at n går op i a og m går op i b, så går n m op i a b. Fx går 27 = 3 9 op i da 3 går op i 6, og 9 går op i Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal går 9 op i? , , , , Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, 2018, Kirsten Rosenkilde.

2 Opgave 2. Hvilket af følgende tal er ikke deleligt med 3? A) B) C) D) E) (Georg Mohr 2006, opgave 3) Opgave 7. Hvis m er et lige tal, og n er delelig med 6, hvilket af følgende tal er så med sikkerhed deleligt med 4? A) m + n B) mn m C) m 2 + n D) m(m + n) E) (m + 1)n (Georg Mohr 2009, opgave 10) Opgave 3. Georg tænker på et helt tal. Først ganger han tallet med 5, og derefter trækker han 7 fra resultatet. Så ganger han det nye resultat med 9 og får tallet x. Hvad kan man med sikkerhed slutte om x? A) x er ulige B) x er lige C) 3 går op i x D) 5 går op i x E) 7 går op i x (Georg Mohr 2016, opgave 2) Opgave 4. Hvad er det mindste hele tal som kun består af cifrene 1, 2 og 3, som indeholder hvert af de tre cifre mindst én gang, og som 3 ikke går op i? (Georg Mohr 2015, opgave 12) Opgave 5. Hvilken af følgende opgaver er uløselig? Dan et 5-cifret tal bestående af alle cifrene 1, 2, 3, 4 og 5 så A) 4 går op i tallet B) 5 går op i tallet C) 6 går op i tallet D) 11 går op i tallet E) 125 går op i tallet (Georg Mohr 2007, opgave 10) Opgave 6. Peter har skrevet to positive hele tal x og y på en seddel som han viser til sine venner A, B, C, D og E. De fem venner udtaler følgende: A) x + y er ulige B) 3 går op i y C) y = 2x D) x y er ulige E) x < y Peter fortæller at netop én af de fem venner lyver. Hvem? (Georg Mohr 2014, opgave 8) Opgave 8. På et bord står der 12 gaver nummereret fra 1 til 12. Arnes yndlingstal er 2, Bents yndlingstal er 3, Carls yndlingstal er 4, Doras yndlingstal er 5, og Ellas yndlingstal er 6. Arne, Bent, Carl, Dora og Ella går op til bordet i en eller anden rækkefølge og får udleveret de gaver (blandt dem der er tilbage) hvis nummer deres yndlingstal går op i. Det viser sig at den sidste får to gaver. Hvem er den sidste? A) Arne B) Bent C) Carl D) Dora E) Ella (Georg Mohr 2018, opgave 9) Primfaktoropløsning Når vi primfaktoropløser et tal, skriver vi det som et produkt af primtal. Fx er primfaktoropløsningen af 60 lig med , mens primfaktoropløsningen af 6 er lig med 2 3 og primfaktoropløsningen af 13 blot er 13. Alle positive heltal større end 1 har en primfaktoropløsning, og den er entydig pånær rækkefølgen af faktorerne. Primfaktoropløsningen af et tal fortæller noget om hvilke tal der går op i tallet. Fx kan man umiddelbart se at 7 går op i , mens 13 og 17 ikke går op. Man kan også se at 25 = 5 2 og 70 = går op. Hvis man fx skal bestemme samtlige divisorer i 30, så kan man se på primfaktoropløsningen og hurtigt nå frem til at samtlige divisorer er 1, 2, 3, 5, 2 3, 2 5, 3 5 og Tilsvarende er samtlige divisorer i 16 = 2 4 tallene 1, 2, 2 2, 2 3, 2 4. Primtallene fungerer som en slags byggesten alle positive heltal er bygget op af, og derfor er de helt centrale når man arbejder med hele tal. 2 Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, 2018, Kirsten Rosenkilde.

3 Opgave 9. Hvilket af følgende tal går ikke op i ? A) 6 B) 14 C) 39 D) 121 E) 64 Opgave 10. En mand har hele sin formue fordelt i solide skindposer der hver indeholder 49 guldmønter. En dag omfordeler han formuen så den i stedet ligger i 35 bokse med lige mange guldmønter i hver. Der går forskellige rygter om hvor mange guldmønter hans formue udgør i alt. Hvilket af de fem rygter A, B, C, D og E nedenfor er måske sandt? A) B) 6335 C) 2450 D) E) 4931 Sidste ciffer Sidste ciffer i summen af to tal Hvis man skal bestemme sidste ciffer i en sum af to heltal, kan man blot se på det sidste ciffer i hvert af de to tal, lægge dem sammen og finde sidste ciffer i denne sum. Fx er sidste ciffer i lig med 1 da = 11. Sidste ciffer i produktet af to tal Hvis man tilsvarende skal finde sidste ciffer i produktet at to tal, kan man igen blot tage sidste ciffer i hver af de to faktorer og finde sidste ciffer i deres produkt. Fx er sidste ciffer i lig med 4, da 8 8 = 64. (Georg Mohr 2014, opgave 9) Opgave 11. Fire forskellige positive heltal giver 1001 når man ganger dem sammen. Hvad er deres sum? Opgave 12. Tallene fra 1 til n står på en lang liste. Fra listen fjernes nu alle tal som 3 går op i, og alle tal som 5 går op i. Herefter står der 240 tal tilbage på listen. Det oplyses at både 3 og 5 går op i tallet n. Hvad er n? (Georg Mohr 2014, opgave 15) Opgave 13. Om de hele tal a, b og c vides at a 2 b 3 c 4 = 27. Hvor mange muligheder er der for værdien af c? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 (Georg Mohr 2016, opgave 7) Opgave 14. Lad p være et primtal. Hvor mange forskellige positive heltal går op i p 10? Eksempel Vi ønsker at bestemme sidste ciffer i Da sidste ciffer i et tal kun afhænger af det sidste ciffer i hver af faktorerne, svarer det til at finde sidste ciffer i Dette er stadig et kæmpe tal som er helt umuligt at udregne, så vi har brug for at reducere problemet yderligere. Hvis vi ser på 7 2 = 49, så slutter det på 9. Det kan vi bruge, når vi skal finde sidste ciffer i 7 3 = 7 7 2, for det må jo være det samme som sidste ciffer i 7 9 = 63, altså 3. Tilsvarende må sidste ciffer i 7 4 = være det samme som sidste ciffer i 7 3 = 21, altså 1. Sidste ciffer i 7 5 = er lig med sidste ciffer i 7 1 = 7. Sidste ciffer i 7 6 er sidste ciffer i 7 7 = 49, osv. Da sidste ciffer i 7 n hele tiden kun afhænger sidste ciffer i 7 n 1 ganget med 7, kan vi se at der kommer et fast mønster i sidste ciffer i potenserne: Potens Sidste ciffer Sidste ciffer i potenserne gentager sig altså med en periode på 4. Derfor er det nu ikke svært at bestemme sidste ciffer i Da 2007 = , kan vi se at må have samme sidste ciffer som 7 3, dvs. 3. Opgave 15. Hvad er sidste ciffer i ? 3 Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, 2018, Kirsten Rosenkilde.

4 Opgave 16. Hvad er sidste ciffer i ? Opgave 17. Hvilket af følgende tal ender ikke på 5? A) B) C) D) E) (Georg Mohr 2011, opgave 11) Eksempel Vi ønsker at bestemme alle positive heltal a så a + 3 går op i 4a Derfor omskriver vi 4a + 16: 4a + 16 = 4(a + 3) + 4. Hvis a + 3 skal gå op i tallet 4a + 16, må det derfor også gå op i 4 = 4a (a + 3). Det eneste positive heltal a for hvilket a + 3 går op i 4, er a = 1. Opgave 18. Tallet er et tal som ender på mange nuller. Hvad er det sidste ciffer som ikke er et nul? Opgave 19. En person har udregnet n 16 for alle værdier af n fra 1 til 100 og omhyggelig noteret sidste ciffer af hvert af resultaterne på et stykke papir. Hvor mange forskellige cifre optræder der på dette stykke papir? Mere om delelighed Nogle helt grundlæggende delelighedsregeler for sum og differens: Sum Hvis et heltal d går op i to heltal n og m, da går d også op i deres sum n + m. Hvis fx a = 3b + 12c, da må 3 gå op i a fordi 3 går op i 3b, og 3 går op i 12c, og dermed også i summen 3b + 12c. Differens Hvis et heltal d går op i to heltal n og m, da går d også op i deres differens n m. Eksempel Hvis der om to positive heltal a og b gælder at a + 5b = b 3, Opgave 20. Det positive heltal n har egenskaben at 4n + 1 går op i 12n Hvad er tværsummen af n? A) 6 B) 7 C) 11 D) Der er flere muligheder E) Der findes ingen n med denne egenskab Opgave 21. Hvilket af følgende tal er ikke deleligt med 18? A) 540 B) C) D) E) (Georg Mohr 2008, opgave 5) Opgave 22. Hvor mange positive heltal n findes der så 2n +1 går op i 8n +69? Opgave 23. Om de hele tal n og m ved man at n + m = n 2. Dermed kan man med sikkerhed slutte at A) n går op i m B) m går op i n C) n og m er ulige D) n og m er lige E) n = m da kan vi slutte at b må gå op i a fordi b går op i 5b og i b 3, og dermed også i deres differens a = b 3 5b. 4 Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, 2018, Kirsten Rosenkilde.

5 Ekstra udfordringer Opgave 24. Peter og hans venner har 100 store chokoladefrøer. De deler dem så de får lige mange hver. Peter spiser straks en af sine frøer og en til, men på et tidspunkt bliver han dårlig og spiser ikke flere. Han regner ud at han har spist helt præcis en fjerdedel af sine frøer. Hvor mange frøer har Peter tilbage? (Georg Mohr 2017, opgave 18) Opgave 25. I en kasse ligger der tres sedler nummereret fra 1 til 60. I en anden kasse ligger der også tres sedler nummereret fra 1 til 60. Tres personer trækker hver en tilfældig seddel fra hver kasse og ganger deres to tal sammen. Hvis 6 går op i resultatet, får personen en sodavand. Hvor mange sodavand er der højst brug for? (Georg Mohr 2015, opgave 19) Opgave 26. Det oplyses at ét af tallene 14, 15, 16, 20, 25 er løsning til ligningen Hvilket af tallene er det? 5x 5 + 3x 3 + x = x 4 + 2x 2. A) 14 B) 15 C) 16 D) 20 E) 25 (Georg Mohr 2014, opgave 10) Opgave 27. På gulvet har Georg stillet 1001 spande op i en lang række efter hinanden. I første runde lægger Georg en glaskugle i hver af de 1001 spande. I anden runde lægger han en glaskugle i hver anden spand, og han starter med at lægge en glaskugle i den forreste spand. Sådan fortsætter han i 1000 runder hvor han i runde nummer n lægger en glaskugle i hver n te spand, og han starter altid med at lægge en glaskugle i den forreste spand. Hvor mange glaskugler er der til slut i den sidste spand? (Georg Mohr 2018, opgave 18) Opgave 28. Tallene a, b, c, d, e og f er hele positive tal under 1000, og de opfylder 4a = 5b = 6c = 7d = 8e = 9f. Hvad er tallet a? (Georg Mohr 2016, opgave 19) 5 Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, 2018, Kirsten Rosenkilde.

6 Løsningsskitser Opgave 1 Svar: 4. Ved at benytte tværsumsreglen for delelighed med 9 ses umiddelbart at og er delelige med 9, mens ikke er. Tallet har tværsum 21, og det er derfor deleligt med 3. Tallet 15 er også deleligt med 3. Altså er deres produkt deleligt med 9 = 3 2. Tallet er deleligt med 9, da den ene af faktorerne er delelig med 9. Opgave 2 Svar: B. Tallet 3 går ikke op i = da det ikke går op i tværsummen. Det er let at se at det går op i de fire andre muligheder ved at bruge tværsumsreglen. Opgave 3 Svar: C. Da x er fremkommet ved at gange et helt tal med 9, må 3 gå op i x da 3 går op i 9. Vi kan udelukke de andre muligheder: Hvis Georg tænker på 2, er x = 27, hvilket udelukker B, D og E. Hvis Georg tænker på 3, er x = 72, hvilket udelukker A. Opgave 4 Svar: Hvis et 3-cifret tal består af cifrene 1, 2 og 3, så går 3 op i tallet da det går op i tværsummen. Altså skal det tal vi leder efter, mindst have fire cifre. Det mindste 4-cifrede tal der kun består af cifrene 1, 2 og 3, og som indeholder hvert ciffer mindst en gang, er 1123, og her går 3 ikke op da det ikke går op i tværsummen. Opgave 5 Svar: D. A) Da 4 går op i 100, kan man se om 4 går op i et tal udelukkende ved at se på de to sidste cifre. Tallet 4 går fx op i 13524, da det går op i 24. B) Da 5 går op i et tal hvis det slutter på 0 eller 5, går 5 fx op i C) Da 6 går op i et tal netop hvis både 2 og 3 går op, går 6 fx op i D) Den alternerende tværsum af et tal med cifrene 1, 2, 3, 4 og 5 kan aldrig blive delelig med 11 da den altid vil ligge mellem 9 og 9 fordi = 9, og den ikke kan blive 0 da der er tre ulige tal. Dermed går 11 ikke op i nogen af tallene bestående af cifrene 1, 2, 3, 4 og 5. E) Da 125 går op i 1000, kan man se på de sidste tre cifre i et tal om 125 går op. Tallet 125 går fx derfor op i da det går op i 125. Opgave 6 Svar: D. Hvis x + y er ulige, er det ene tal lige og det andet ulige. Hvis x y er ulige, er begge tal ulige. A og D kan derfor ikke begge tale sandt. Det betyder at B, C og E taler sandt. Altså er y = 2x, hvilket viser at y er lige. Derfor må D lyve. Vi kan se at alle andre taler sandt hvis fx x = 3 og y = 6. Opgave 7 Svar: D. Hvis n er delelig med 6, må n være lige. Derfor er både n og m lige tal, og deres sum er derfor også lige. Da 2 går op i m og 2 går op i n +m, må 4 = 2 2 gå op i m(n +m). Ingen af de andre muligheder er altid delelig med 4: A) n + m er ikke altid delelig med 4, fx ikke for n = 2 og m = 12. B) nm m, C) m 2 + n og E) n(m + 1) er ikke altid delelig med 4, fx ikke for n = 2 og m = 6. Opgave 8 Svar: B. Bent får udleveret de gaver der af tilbage af gaverne 3, 6 og 9 hvis han går op til slut. Da ingen af de andres yndlingstal går op i hverken 3 eller 9, må de være tilbage til slut, mens 6 er taget af enten Arne eller Ella. Altså får Bent to gaver hvis han er til sidst. Det samme gælder ikke for nogen af de andre. Hvis Arne er til slut, får han kun gaven 2. Hvis Carl eller Ella er til slut, får de ingen gaver. Hvis Dora er til slut, får hun kun gaven 5. Opgave 9 Svar D. Man kan se af primfaktoropløsningen at tallet 121 = 11 2 ikke går op. Det er nemt at se ud fra primfaktor-opløsningen at 6 = 2 3, 14 = 2 7, 39 = 3 13 og 64 = 2 6 alle går op i Opgave 10 Svar C. Da guldmønterne kan fordeles i skindposer der hver indeholder 49 guldmønter, må 49 = 7 2 gå op i antallet af guldmønter. Da guldmønterne kan fordeles i 35 bokse med lige mange guldmønter i hver, må 35 = 5 7 gå op i antallet af guldmønter. Det betyder at = 245 går op i antallet af guldmønter. Det er derfor muligt at manden har 2450 = guldmønter. De andre rygter er ikke sande da 245 ikke går op i de andre tal. Opgave 11 Svar: 32. Primfaktoropløsningen af 1001 er Hvis produktet af fire forskellige positive heltal skal give 1001, må disse derfor være 1, 7, 11 og 13. Deres sum er 32. Opgave 12 Svar: 450. Da 3 og 5 går op i n, så må 3 5 = 15 gå op i n. Læg mærke til at af tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, fjernes 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, dvs. der er 8 tal tilbage. Dette mønster gentager sig for de nætse 15 tal osv. Da der til slut er 240 = 8 30 tal tilbage, må der fra starten være n = = 450. Opgave 13 Svar: C. De hele tal a, b og c skal opfylde at a 2 b 3 c 4 = 27 = Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, 2018, Kirsten Rosenkilde.

7 Altså skal c 4 gå op i 3 3. Tallet c 4 er et helt positivt tal, og de eneste positive tal der går op i 3 3 er 1, 3, 3 2 og 3 3, og af dem er det kun 1 der kan være lig med c 4. De eneste hele tal c der er løsning til c 4 = 1, er c = 1 og c = 1. Disse opfylder begge ligningen når a = 1 og b = 3. Der er derfor 2 muligheder for c. Opgave 14 Svar: 11. Divisorerne i p 10 er netop 1,p,p 2,p 3,...,p 10. Opgave 15 Svar: 1. Da sidste ciffer i et produkt kun afhænger af sidste ciffer i hver af faktorerne, er sidste ciffer i lig med sidste ciffer i 1 3 = 1, dvs. 1. Opgave 16 Svar: 9. Da 9 2 = 81 har 1 som sidste ciffer, må 9 3 = have samme sidste ciffer som 9 1 = 9. Tilsvarende må 9 4 = have samme sidste ciffer som 9 9 = 81, dvs. 1, og sådan fortætter det. Dette viser at 9 n ender på 1 hvis n er lige, og 9 n ender på 9 hvis n er ulige. Derfor er sidste ciffer i lig med 9. Opgave 17 Svar: E. A) Sidste ciffer i tallet er sidste ciffer i = 25, dvs. sidste ciffer er 5. B) Sidste ciffer i er sidste ciffer i 5 5. Når man ganger 5 med 5, ender det igen på 5, og derfor er sidste ciffer 5. C) Sidste ciffer i 19 2 er sidste ciffer i 9 2 = 81, dvs. 1. Sidste ciffer i 16 2 er sidste ciffer i 6 3 = 36, dvs. 6. Dermed er sidste ciffer i differensen lig med 5. D) Sidste ciffer i tallet = = er 5 da det er deleligt med 5, men ikke med 10. E) Sidste ciffer i er det samme som sidste ciffer i 5 25, og som før ved vi at en potens af 5 har 5 som sidste ciffer. Tilsvarende er sidste ciffer i 25 5 også 5. Altså er sidste ciffer i differensen lig med sidste ciffer i 5 5 = 0, dvs. 0. Opgave 18 Svar: 6. Tallet = = , ender på 3000 nuller. Cifferet lige før de 3000 nuller må være sidste ciffer i Hvis man ser på potenserne 2, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, 2 6, 2 7, 2 8, af 2 har de sidste ciffer 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2,..., og dette system må fortsætte da sidste ciffer i et produkt kun afhænger af sidste ciffer i faktorerne. Da 1000 er delelig med 4, må have 6 som sidste ciffer. Opgave 19 Svar: 4. Sidste ciffer i et produkt afhænger kun af sidste ciffer i hver af faktorerne. Hvis vi skal finde de mulige slutcifre i n 16 for n = 1, 2, , behøver vi derfor kun tjekke for n = 0, 1, 2,..., 9. Vi udnytter at n 16 = (((n 2 ) 2 ) 2 ) 2. For at bestemme de mulige slutcifre i n 2 finder vi slutcifrene i 0 2, 1 1,..., 9 2 og når frem til mulighederne 0, 1, 4, 5, 6, 9. De mulige slutcifre i n 4 = (n 2 ) 2 kan vi nu finde ved at se på slutcifrene i tallene 0 2, 1 2, 4 2, 5 2, 6 2, 9 2, og de er 0, 1, 5, 6. De mulige slutcifre i n 8 = (n 4 ) 2 kan vi nu finde ved at se på slutcifrene i 0 2, 1 2, 5 2, 6 2, og de er 0, 1, 5, 6. Når vi gentager dette en gang til for at finde de mulige slutcifre i n 16 = (n 8 ) 2, får vi endnu engang 0, 1, 5, 6. Opgave 20 Svar: E. Hvis 4n + 1 går op i 12n + 10 = 3(4n + 1) + 7, så går 4n + 1 også op i 7. Der findes ikke noget positivt heltal n så 4n + 1 går op i 7: For n = 1 er 4n + 1 = 5. For n 2 er 4n + 1 9, og det kan derfor ikke gå op i 7. Derfor er svaret E). Opgave 21 Svar: B. Et tal er deleligt med 18 netop hvis det er deleligt med både 9 og med 2, da 9 og 2 ikke har nogen fælles divisorer. Man kan tjekke om 9 går op i et tal ved at se om det går op i tværsummen. A) 540: Både 9 og 2 går op, og dermed går 18 også op. B) : 9 går op i 1818, men ikke i 7216, og dermed går det ikke op i summen af de to tal. Altså går 18 heller ikke op. C) : Da 18 går op i 36, går det også op i et multiplum af 36. D) Da 9 går op i 2007 og 2 går op i 2008, går 18 op i produktet af de to tal, og dermed også i produktet af alle de tre tal. E) : Da 9 går op i 9, og 2 går op i 888, går 18 op i produktet På samme måde ser vi at 18 går op i Når 18 går op i begge de to tal, går det også op i differensen. 7 Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, 2018, Kirsten Rosenkilde.

8 Opgave 22 Svar: 3. Tallet 2n + 1 går op i 8n + 69 = 4(2n + 1) + 65, netop når det går op i 65. Divisorerne i 65 = 5 13 er 1, 5, 13 og 65. Tallet 2n + 1 er større end 1, dvs. det skal være lig med 5, 13 eller 65. Tallet n er derfor 2, 6 eller 32. Opgave 23 Svar: A). Når n + m = n 2, må n gå op i m = n 2 n, da n går op i både n 2 og n og dermed også i deres differens. Da n = 3 og m = 6 opfylder at n + m = n 2, kan vi ikke slutte hverken B) m går op i n, C) n og m er ulige, D) n og m er lige, eller E) n = m. Opgave 24 Svar: 15. Peter spiser n chokoladefrøer, og vi ved fra opgaven at n > 1. Da Peter spiser 1 4 af sine frøer, får Peter 4n chokoladefrøer. Lad m være antal personer som deler chokoladefrøerne. Vi ved at Peter har flere venner, dvs. m er mindst 3. Da hver person får 4n chokoladefrøer, er 4n m = 100 n m = 25 = 5 2. Nu er n og m to positive hele tal som begge er større end 1, hvis produkt er 5 2, og dermed er eneste mulighed n = m = 5. Peter får altså 4 5 = 20 frøer, og da han spiser 5, har han til slut 15 tilbage. Opgave 25 Svar: 40. Hvis en person trækker to sedler hvor 6 = 2 3 går op i resultatet, så skal 3 gå op i mindst et af de to tal. Der er kun 20 sedler i hver kasse hvor 3 gå op, dvs. højst 40 personer kan trække en seddel hvor 3 går op. Det kan faktisk lade sig gøre at der bliver brug for 40 sodavand: I hver kasse er der 20 tal hvor 3 går op, og 20 lige tal ud over disse. Hvis de 20 tal hvor 3 går op, kombineres med de 20 lige tal hvor 3 ikke går op fra den anden kasse, så giver alle disse kombinationer sodavand. Tilsvarende den anden vej rundt. Opgave 26 Svar: 15. Først omskriver vi ligningen: 5x 5 + 3x 3 + x = x 4 + 2x = x (5x 4 + 3x x 3 2x ). Vi ved at et af de hele tal 14, 15, 16, 20 og 25 er løsning til ligningen. Tallet x kan ikke være et lige tal, for da er højresiden lige, mens venstresiden er ulige. Det udelukker 14, 16 og 20 som løsninger. Tallet x kan heller ikke være 25, for da ville 25 gå op i højresiden, men ikke i venstresiden: Man ser let at 25 ikke går op i da 25 går op i et tal netop hvis det går op i de to sidste cifre. Altså må x = 15 løse ligningen. Opgave 27 Svar: 16. Nummerer spandene 0, 1, 2, 3,..., I runde k kommer Georg kugler i samtlige spande med et nummer som k går op i. Fx putter han i runde 3 kugler i spand nummer 0, 3, 6,..., 999. Den sidste spand har nummer 1000 = Til slut har den fået en glaskugle for hver divisor i Dem er der 16 af, nemlig alle kombinationer af 1, 2, 2 2, 2 3 ganget med 1, 5, 5 2, 5 3 : Opgave 28 Svar: 630. Når man ser på kan man se at a = 5b = 6c = 7d = 8e = 9f, 4a = 5b, dvs. at 5 går op i 4a og dermed i a da 5 er et primtal som ikke går op i 4. 2a = 3c, dvs. at 3 går op i 2a og dermed i a da 3 er et primtal som ikke går op i 2. 4a = 7d, dvs. at 7 går op i 4a og dermed i a da 7 er et primtal som ikke går op i 4. a = 2e, dvs. at 2 går op i a. 4a = 3 2 f, dvs. at 3 2 går op i 4a og dermed i a da 3 er et primtal som ikke går op i 4. Da både 2, 3, 3 2, 5 og 7 skal gå op i a, må = 630 gå op i a da er det mindste tal som er delelig med både 2, 3, 3 2, 5 og 7. Da a højst er 1000, må a = 630. Bemærk at ligningerne er sande når a = = 630, b = = 504, c = = 420, d = = 360, e = = 315, f = = Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, 2018, Kirsten Rosenkilde.

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9? Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se

Læs mere

Opgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?

Opgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst? Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.

TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning. Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36

t a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36 Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Matematiske metoder - Opgavesæt

Matematiske metoder - Opgavesæt Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

Opgave 1. På hvor mange måder kan nedenstående skema fyldes ud med kryds og boller?

Opgave 1. På hvor mange måder kan nedenstående skema fyldes ud med kryds og boller? Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde, hvordan man beregner sandsynligheden

Læs mere

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier

Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts Kombinatorik Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 Kombinatorik Disse noter er en introduktion til kombinatorik og starter helt fra bunden, så en del af det indledende er sikkert kendt for dig allerede

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

TAL I MÆNGDER OM KAPITLET

TAL I MÆNGDER OM KAPITLET TAL I MÆNGDER OM KAPITLET I dette kapitel om tal i mængder skal eleverne arbejde med talmængderne N, Z, Q og R og tallenes forskellige egenskaber. 14 ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne:

Læs mere

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik

Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.

Læs mere

OM KAPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER LÆS OG SKRIV MATEMATIK. 6. Det vil derfor være relativt nyt for de fleste elever, at

OM KAPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER LÆS OG SKRIV MATEMATIK. 6. Det vil derfor være relativt nyt for de fleste elever, at OM KAPITLET I dette kapitel om tal i mængder skal eleverne arbejde med de naturlige tal N, de hele tal Z og de rationale tal Q. Eleverne skal ligeledes erfare, at der er brug for endnu flere tal end de

Læs mere

TAL I MÆNGDER ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE OM KAPITLET FAGLIGE BEGREBER FÆLLES MÅL ELEVFORUDSÆTNINGER

TAL I MÆNGDER ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE OM KAPITLET FAGLIGE BEGREBER FÆLLES MÅL ELEVFORUDSÆTNINGER TAL I MÆNGDER I den efterfølgende del skal eleverne arbejde med de rationale tal Q, hvor de bla præsenteres for de endelige OM KAPITLET I dette kapitel om tal i mængder skal eleverne arbejde med de naturlige

Læs mere

Elementær Matematik. Tal og Algebra

Elementær Matematik. Tal og Algebra Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Additionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012

Additionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012 Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen

Invarianter. 1 Paritet. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 3. april 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede sig

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet

Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet Note omkring RSA kryptering. Gert Læssøe Mikkelsen Datalogisk institut Aarhus Universitet 24. august 2009 1 Kryptering med offentlige nøgler Indtil midt i 1970 erne troede næsten alle, der beskæftigede

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2

Læs mere

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point: Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med

Læs mere

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point:

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point: Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium De 4 regnearter (aritmetik) Aritmetik: kommer af græsk: arithmetike = regnekunst arithmos = tal Aritmetik er læren om tal og operationer på tal som de 4 regnearter.

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Matematikbingo. Lærerark

Matematikbingo. Lærerark Matematikbingo Lærerark I dette spil har eleverne selv mulighed for at få indflydelse på indholdet i opgaverne. Spillet tager udgangspunkt i det klassiske bingospil, men der medtænkt bevægelse, i og med

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen

Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Undersøgende aktivitet om primtal. Af Petur Birgir Petersen Definition: Et primtal er et naturligt tal større end 1, som kun 1 og tallet selv går op i. Eksempel 1: Tallet 1 ikke et primtal fordi det ikke

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så

Divisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Fermat, ABC og alt det jazz...

Fermat, ABC og alt det jazz... Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk

Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk Af Marc Skov Madsen PhD-studerende Aarhus Universitet email: marc@imf.au.dk 1 Besøgstjenesten Jeg vil gerne bruge lidt spalteplads til at reklamere for besøgstjenesten ved Institut for Matematiske Fag

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Æstetik og reduktioner Matematisk takt og tone. Mikkel Findinge

Æstetik og reduktioner Matematisk takt og tone. Mikkel Findinge Æstetik og reduktioner Matematisk takt og tone Mikkel Findinge Indhold Indledning. Hvad er god matematisk skik?...................... Starttips før ulvehyl 4. Primtalsfaktorisering...........................

Læs mere

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard

RSA-kryptosystemet. RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard RSA-kryptosystemet RSA-kryptosystemet Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 007. Billeder: Forside: istock.com/demo10 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning

Læs mere

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

RSA Kryptosystemet. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet RSA Kryptosystemet Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Kryptering med RSA Her følger først en kort opridsning af RSA kryptosystemet, som vi senere skal bruge til at lave digitale signaturer.

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

A. Appendix: Løse ender.

A. Appendix: Løse ender. Løse ender A.1 A. Appendix: Løse ender. (A.1). I dette appendix giver vi et bevis for Bertrand s Postulat, nævnt i Kapitel 1. Som nævnt følger Postulatet af en tilstræelig nøjagtig vurdering af primtalsfuntionen

Læs mere

Lille Georgs julekalender 2010. 1. december

Lille Georgs julekalender 2010. 1. december 1. december I hver af de øverste bokse skal der skrives et af tallene 1, 2, 3,..., 9. Alle tre tal skal være forskellige. I de næste bokse skrives de tal der fremkommer ved at man lægger sammen som vist.

Læs mere

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a Af Peter Harremoës, Herlev Gymnasium Indledning De fleste lærebogssystemer til brug i gymnasiet eller HF indeholder et afsnit om vort positionssystem. Det bliver gerne fremstillet som noget af det mest

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Polynomiumsbrøker og asymptoter

Polynomiumsbrøker og asymptoter Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

DiMS 2010 Uge 7,

DiMS 2010 Uge 7, DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger. ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE FÆLLES MÅL FAGLIGE BEGREBER. Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne

ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE FÆLLES MÅL FAGLIGE BEGREBER. Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne N, Z, Q og R. kan anvende de naturlige tal, hele tal, rationale tal og reelle tal i forskellige

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Fortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P

Fortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P Fortløbende summer NMCC 2018 Danmark Muldbjergskolen 8.P 1 Indholdsfortegnelse: S. 3 Vores første observationer S. 4 Ulige antal af fortløbende tal S. 6 Lige antal af fortløbende tal S. 8 Udvikling af

Læs mere

ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK)

ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK) ESLC prøveredskaber: Vejledning for elever (DK) Indholdsfortegnelse 1 INDLEDNING 3 2 PRØVERNE 3 2.1 Log in 3 2.2 Lydtjek til lytteprøven 5 2.3 Under prøven 5 3 Prøvens opgaver 7 3.1 Lytteopgaver 7 3.2

Læs mere

Løsninger til KÆNGURUEN International matematikkonkurrence. Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.

Løsninger til KÆNGURUEN International matematikkonkurrence. Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger. Løsninger til 2015 60 minutter Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave 1. 2 3 15 A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere