Kapitel1 Matematik, matematiklæring og matematikundervisning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kapitel1 Matematik, matematiklæring og matematikundervisning"

Transkript

1 Kapitel1 Matematik, matematiklæring og matematikundervisning I dette indledende kapitel præsenteres tre temaer. Det ene tema er, hvordan synet på skolefaget matematik har ændret sig over de sidste årtier, herunder hvad ændringen betyder for de situationer, eleverne sættes i i matematikundervisningen. Det andet tema drejer sig om læring og stiller spørgsmålet om, hvordan man kan forstå, hvad læring er. Det er ikke et nemt begreb at få fat i, og det kan betragtes på i hvert fald to forskellige måder. Og det tredje tema er, hvordan man som lærer kan agere for at støtte elevernes arbejde med matematik, når nu synet på faget er blevet ændret. Det drejer sig altså om undervisning i betydningen, hvad læreren kan gøre. Alle tre temaer behandles kun kort og indledningsvist her og bliver senere uddybet. Idéen i dette første kapitel er blot at sætte scenen for det kommende arbejde med matematik, med børns læring af matematik og med undervisning i matematik. Det gør vi ved at have følgende oplæg som gennemgående eksempel: Oplæg 1 a) grupper af 12 = 10 grupper af 6 b) 30 grupper af 2 = grupper af 4 c) grupper af 7 = grupper af 21 d) grupper af 18 = grupper af 21 e) Hvor mange løsninger kan du finde til d)? Er der et mønster i de løsninger, du har fundet? f) Stil selv andre tilsvarende opgaver. Kan du finde et generelt svar på spørgsmål af samme type som i e)? Denne opgave er inspireret af en lignende for 5. klasse, som Magdalena Lampert beskriver i sin bog Teaching Problems and the Problems of Teaching (Lampert, 2001, s. 104). Opgaven i Lamperts bog består kun af spørgsmål a), b) og c). Den er et eksempel på det, Lampert kalder the Problem of the Day, et indledende problem som eleverne i hendes klasse får i begyndelsen af timen uden mange forklarende instruktioner. Oplæg 2 Analyser arbejdet med oplæg 1, helst sammen med en medstuderende. Skriv ned, hvordan I løste opgaverne, inklusive foreløbige og mislykkede forsøg. Hvad kan tale for at bruge en sådan opgave i en 5. klasse? Lampert gør i sin bog rede for, hvilke overvejelser hun gjorde sig, da hun valgte at lade eleverne gå i gang med opgaven. Idéen var at give eleverne mulighed for at gøre sig flere erfaringer med udregninger i forbindelse med multiplikation og at få dem til at fokusere på at tælle i grupper, dvs. at skiptælle med fx 6 (altså tælle: ). Desuden forventede hun, at eleverne ville komme til at arbejde med: - Talmønstre og -sammenhænge. - Sammenhængen mellem addition og multiplikation. 1

2 - Sammenhængen mellem multiplikation og division. - Sekstabellen og med gentagen addition af toere, firere og tolvere. - Forskellige måder at repræsentere tal på. (Lampert, 2001, s. 107). Oplæg 3 Sammenlign Lamperts intentioner med opgaven med jeres eget arbejde med den. Virkede opgaven på jer efter Lamperts hensigter? Formålet med dette kapitel er nu, at læseren med Lamperts opgave fra oplæg 1 som gennemgående eksempel og ud fra egne erfaringer med sådanne opgaver får et første kendskab til: - Udviklingen i skolefaget matematik over de seneste årtier: Faget må nu både ses som processer og som produkter. - Moderne syn på elevers læring af matematik i skolen: Læring kan både ses som tilegnelse af faglig viden og kunnen og som et aspekt af deltagelse i fællesskaber, hvor der arbejdes med matematik. - Et moderne syn på undervisning i matematik i skolen: Undervisning består i at skabe så gode betingelser som muligt for, at eleverne kan lære med de forståelser, der er hensigten. Matematik i skolen: faglige produkter og faglige processer Matematik i skolen har gennemgået nogle ganske drastiske forandringer i de seneste år. Traditionelt har faget ofte været domineret af, at der er en række centrale faglige begreber og færdigheder, som eleverne skal kende til og kunne bruge. Det drejer sig fx om: de fire regningsarter, procenter og brøker, måder at løse ligninger på og metoder til at finde areal og rumfang af forskellige to- og tredimensionale figurer med. Det er en central del af skolematematikkens identitet, at eleverne kommer til at beherske sådanne og lignende begreber og metoder. Imidlertid er der sket et skifte i skolematematikkens indhold og arbejdsmetoder i de sidste årtier. Samtidig med at eleverne skal kende til og kunne bruge begreber og færdigheder som de nævnte, skal de også kunne give sig i kast med fx at undersøge, beskrive, forklare og forudsige sammenhænge og mønstre af forskellig slags. Den opgave, vi stillede som indledning til kapitlet, indeholder også den sidste slags krav. Eleverne skal her arbejde med multiplikative sammenhænge, men de skal ikke bare træne tabeller eller skriftlige regnestykker. De har ikke fået at vide, hvordan de skal løse opgaven, så en væsentlig del af deres indsats består i at systematisere deres egen aktivitet og finde sammenhænge mellem de svar, de måtte finde. De skal altså meget mere end blot gentage en procedure, som er beskrevet i lærebogen, eller som læreren har vist på tavlen. Denne ændring af skolematematikken kan beskrives som en bevægelse, der fra et ensidigt fokus på fagets produkter (fx de nævnte begreber og færdigheder) lægger stadig større vægt på fagets processer. Produkter og processer angiver altså to perspektiver på matematik, der begge er relevante i en uddannelsesmæssig sammenhæng. I forbindelse med det indledende eksempel kunne man tænke på gangetabellerne, eller på måder at opstille og regne skriftlige gangestykker på efter en på forhånd given skabelon eller 2

3 procedure, dvs. efter det, man også kalder en given multiplikationsalgoritme. Som nævnt ovenfor har traditionen i skolematematik haft sådanne produkter som sit centrale omdrejningspunkt. Men produkterne er ikke kommet ud af ingenting. Fx er de på skolematematikkens område resultatet af langvarige og ihærdige forsøg på at systematisere arbejdet med tal og geometri. En multiplikationsalgoritme er fx et resultat eller produkt af en lang udviklingsproces, hvor det at behandle gentagen addition er blevet systematiseret og sat på en relativt simpel form. Idéen i denne proces har været at finde svar på spørgsmålet: hvordan finder man lettest og mest hensigtsmæssigt resultater af gangestykker? Det er imidlertid en helt anden opgave at finde mulige svar på det spørgsmål, end det er at bruge algoritmen eller at lære at bruge den når den først er lavet. Det sidste, at bruge eller lære at bruge den, er et arbejde med et af fagets produkter, den færdige algoritme. Det første, at udvikle algoritmen, er at engagere sig i den anden side af matematikfaget, dets processide. Det har indtil for ikke så forfærdelig mange år siden været en fast del af skolematematikken, at eleverne brugte næsten al deres energi på produkterne, fx på at træne multiplikationsopgaver, som skulle løses efter en på forhånd opstillet algoritme, som læreren havde gennemgået. Der er flere grunde til, at fagets processer er kommet til at stå stærkere, dvs. at den proces, det er at skabe matematik, har fået mere plads. For det første er der ikke nødvendigvis en stærk sammenhæng mellem at lære færdighederne og at udvikle grundlæggende faglige forståelser. Således kan man godt lære at gange flercifrede tal med hinanden, uden at man af den grund udvikler en god forståelse af, hvorfor metoden virker (du kan fx prøve at gange 3123 med 45 i hånden og bagefter se, om du kan forklare, hvorfor din metode virker). Desuden følger det ikke af, at man kan algoritmen, at man i en given situation kan se, om det overhovedet er en god idé at bruge multiplikation. Og endelig er det ikke sikkert, at færdighedsbeherskelsen bygger på og bidrager yderligere til elevernes talforståelse. Fx kan man godt lære at gange 3123 med 45, uden at man i læreprocessen videreudvikler sin forståelse af positionssystemet, dvs. af at værdien af det første og det sidste 3-tal i 3123 har forskellig værdi i kraft af deres placering eller position i rækken af cifre. Der er således ganske ofte læringsproblemer af forskellig slags knyttet til en for ensidig fokusering på de faglige produkter. For det andet tegnes der et ensidigt og skævt billede af, hvad matematik er, hvis faget i skolen udelukkende præsenteres for eleverne som træning af på forhånd fastlagte begreber og procedurer. Sådanne begreber og procedurer er jo kun resultaterne af matematisk aktivitet. Hvis eleverne i skolen udelukkende arbejder med den færdige algoritme, bliver de snydt for den indsigt og forståelse, der følger af at arbejde med processen, og selve aktiviteten med at udvikle algoritmen bliver usynlig. Eleverne kan da få den opfattelse, at det i matematik udelukkende drejer sig om at huske, hvordan man gør snarere end at finde ud af, hvad man gør. Man kan altså sige, at eleverne i en sådan undervisning kun præsenteres for den ene side af matematikken, dens produktside, mens den anden side, de faglige processer med at udvikle produkterne, ikke bliver en del af elevernes billede af faget deres fagopfattelse. Og for det tredje er der nu elektroniske hjælpemidler til rådighed, der hurtigere, nemmere og bedre kan udføre en stor del af det arbejde, som man tidligere skulle lave i hånden. Det gør, at det ikke længere er af samme betydning som tidligere, at eleverne behersker den hurtigste metode til fx at multiplicere to flercifrede tal. Noget af den opmærksomhed, der tidligere skulle rettes mod færdig- 3

4 hedstræning, kan derfor nu bruges på noget andet. Færdighedsbeherskelsen har således af teknologiske grunde ikke længere samme betydning som tidligere. Matematiske processer kompetencer og standarder Processynet, altså opfattelsen af matematik som en proces, er kommet til at stå stærkere i matematikkens didaktik over de sidste to årtier. Det kan man fx se af, at der i den fagdidaktiske forskningslitteratur er stadigt flere henvisninger til matematikfilosofiske tekster, der indeholder en procesvinkel på faget. Og man kan også se det af, at der bliver offentliggjort flere praktiske analyser og beskrivelser af, hvad matematikundervisningen skal beskæftige sig med, der lægger vægt på fagets processer. Matematiske kompetencer I Danmark er det stærkeste udtryk for procesorienteringen den beskrivelse af matematik i kompetencetermer, der findes i undervisningsministeriets rapport Kompetencer og matematiklæring (Niss & Jensen (red.), 2002). Her defineres en matematisk kompetence som en indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematiske udfordringer (s. 43). Kompetencebeherskelse drejer sig således om at ville og kunne begå sig med matematik. Det indebærer fx at have fornemmelse for, hvilke typer af spørgsmål man stiller i faget, og hvilke typer af svar man kan forvente at finde. Og det kræver, at man selv kan opstille og løse problemer inden for matematikken og i forbindelse med fagets anvendelser bl.a. ved at benytte dets ræsonnementer og symboler. Tillige indebærer det, at man både aktivt og passivt kan kommunikere vha. matematik, herunder at kunne vælge og behandle en sprog- og symbolbrug, der er hensigtsmæssig for en given sammenhæng. Det er et udgangspunkt for kompetencerapportens forfattere, at de vil gøre op med pensumbeskrivelser af matematik i uddannelsessystemet. Sådanne beskrivelser hæfter sig udelukkende ved faglige begreber og metoder, dvs. ved det, vi ovenfor kaldte fagets produkter. En identifikation af matematisk faglighed med pensumbeherskelse udgør, ifølge forfatterne, en reduktion af forestillingen om faglighed, som leder til et for lavt ambitionsniveau for undervisningen (s. 40, fremhævning i originalen). Kompetencerapporten kan således ses som et dansk udtryk for en procesorientering af matematik i uddannelserne. 1 Kompetencetænkningen om matematik har vakt en del international opmærksomhed. Således har den fået indflydelse på den del af PISA (en sammenligning på tværs af nationer af skoleelevers præstationer i flere skolefag), der angår matematik. Der er dog også andre centrale dokumenter om undervisningsfaget, der indeholder et processyn. Den internationalt set vigtigste af dem er The Principles and Standards for School Mathematics. Det er et stort og omfattende materiale, som den amerikanske matematiklærerforening, The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), udgav i år 2000, og som derfor ofte omtales som Standards 2000 (NCTM, 2000) 2. Standards 2000 I Standards 2000 skal ordet standard ikke her forstås som et mindstemål for elevernes læring, dvs. som en mindstestandard, som eleverne skal leve op til. Derimod er det en hensigtserklæring om, hvad der skal ske i undervisningen, dvs. et pejlemærke for det, læreren skal orientere sin 1 Vi skal senere vende tilbage med en mere uddybende beskrivelse af kompetencetænkningen om matematik, ligesom kompetencebegrebet inddrages i ϒ -, ε- og ω-bøgerne. 2 Hele Standards 2000 kan ses på hvorfra the executive summary kan downloades. 4

5 undervisning imod vha. af de ressourcer, der er til rådighed. På den måde er der paralleller mellem KOM-projektet og Standards Standards 2000 bygger på en vision om matematikundervisning, som bl.a. beskrives således: [The students] draw on knowledge from a wide variety of mathematical topics, sometimes approaching the same problem from different mathematical perspectives or representing the mathematics in different ways until they find methods that enable them to make progress. Teachers help students make, refine, and explore conjectures on the basis of evidence and use a variety of reasoning and proof techniques to confirm or disprove those conjectures. (NCTM, 2000, s. 3). Som det fremgår af citatet, er visionen, at eleverne anvender viden fra mange felter og undersøger og går til matematiske problemer på forskellige måder, indtil de finder metoder, der sætter dem i stand til at komme videre. De opstiller og undersøger med lærernes hjælp formod-ninger conjectures på baggrund af erfaringer og ved brug af ræsonnementer. Det er en vision om aktivt undersøgende og udforskende elever, der kommer frem til vigtig matematik med lærerens hjælp. Standards 2000 kommer med et omfattende og detaljeret forslag til en matematikundervisning, der skal kunne realisere visionen. Denne beskrivelse dækker alle skolesystemets niveauer fra børnehave til og med gymnasium delt op på fire faser: børnehave til 2. klasse, 3. til 5. klasse, 6. til 8. klasse og 9. til 12. klasse. På alle niveauerne beskrives undervisningen i relation til 10 standarder, der angiver vigtige indholds- og procesfelter i skolen. De første fem standarder, produktstandarderne, drejer sig om det faglige indhold i en traditionel forstand, mens de sidste fem er processtandarder: 1) Tal og regningsarter 2) Algebra 3) Geometri Produkt- eller indholdsstandarder 4) Måling 5) Data analyse og sandsynligheder 6) Problemløsning 7) Ræsonnement og bevis 8) Kommunikation Processtandarder 9) Forbindelser/sammenhænge 10) Repræsentation Vi skal senere vende tilbage til flere af disse standarder, men foreløbig nøjes med at se på nogle få dele af de tre, der måske mest oplagt relaterer sig til den indledende opgave, nemlig den første standard om tal og regningsarter i forbindelse med de hele tal, den sjette om problemløsning og den 5

6 syvende om ræsonnement og bevis. I alle tre tilfælde skal vi naturligvis se på formuleringerne for klasse. For hele skoleforløbet er Standard 1 om tal og regningsarter delt op i tre overskrifter. Således hedder det, at: Undervisningen fra børnehave til 12. klasse bør sætte alle elever i stand til: - at forstå tal, repræsentationer af tal, sammenhænge mellem tal og talsystemer, - at forstå meningen med regningsarter, og med hvordan de forholder sig til hinanden, - at kunne regne flydende og kunne foretage rimelige overslagsberegninger. (NCTM, 2000, s. 32, vores oversættelse). Det er måske især det andet af disse punkter, der er relevant i forbindelse med den indledende opgave. Om dette punkt, der handler om regningsarterne, hedder det i afsnittet om elever i klasse bl.a., at de bør komme til at forstå forskellige betydninger af multiplikation og division, at de bør kunne forstå effekten af at gange og dividere med hele tal, og at de bør kunne identificere og bruge sammenhænge mellem regnearterne, når de løser problemer, fx at multiplikation er det omvendte af division. For Standard 6 om problemløsning hedder det for hele skoleforløbet, at undervisningen skal give eleverne mulighed for at arbejde med faglige problemer på en række forskellige måder: Undervisningen fra børnehave til 12. klasse bør sætte alle elever i stand til: - at opbygge ny matematisk viden gennem arbejde med problemer, - at løse problemer som opstår i matematikken selv og i andre sammenhænge, - at anvende og tilpasse en vifte af egnede strategier til at løse problemer, - at holde øje med og reflektere over matematiske problemløsningsprocesser [som de engageres i]. (NCTM, 2000, s. 52, vores oversættelse). Det centrale i denne sammenhæng er, hvad der menes med et problem. I Standards 2000 er et problem en opgave, som man ikke kender en metode til at løse. Hvis man på forhånd kender til en metode, som man kan bruge til at løse opgaven med, har den altså ikke karakter af et problem. Det er denne forståelse af problem, der normalt benyttes i matematikdidaktisk litteratur. Der er to umiddelbare følger af denne definition på et problem. Den ene er, at det ikke giver megen mening blot og bart at snakke om et problem. Det er en relativ sag, om noget er et problem, idet det afhænger af den, der skal løse det. Således er det for de fleste elever i 4. klasse ikke et problem at finde en sum af to tocifrede tal, mens det sagtens kan være et problem for et barn i 1. klasse. Den anden følge er, at hvis man i en given situation vil undervise vha. problemløsning, kan man som lærer ikke præsentere sine elever for, hvordan de skal løse en opgavetype på forhånd for bagefter at lade dem øve sig på den pågældende procedure. Opgaven vil så ikke længere have problemkarakter for eleverne. Derimod er det en del af udfordringen for elever, der arbejder med problemløsning, at de selv skal finde på måder at gå til en ukendt opgavetype på. Standards 2000 (s. 6

7 183) giver et eksempel på et problem for elever i 4. klasse, der omhandler samme faglige område, som det, der behandles i den indledende opgave fra Lampert: Eksempel 1 Forestil dig, at du har 24 fliser. Du skal bruge dem alle sammen til at dække et rektangulært område med. Tæl areal og omkreds af hvert rektangel, du kan lave, og led så efter og beskriv evt. sammenhænge, du måtte finde. Tælleaktiviteten har ikke problemkarakter for elever i 4. klasse. Det fremgår af teksten, at eleverne ikke tidligere har arbejdet med at finde arealer ved at multiplicere sidelængderne med hinanden. Så det er en pointe ved forløbet, at de udvikler en forståelse af, at arealet kan findes på denne måde. Det kan de gøre ved at lede efter sammenhænge mellem sidelængder og -bredder på deres rektangler. Eleverne fandt både denne og andre sammenhænge ved at undersøge en tabel, hvor søjlerne hed længde, bredde, areal og omkreds. I den færdige tabel stod tallene 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 og 24 i den rækkefølge i den første kolonne, mens de stod i omvendt rækkefølge i kolonne nummer to (se tabellen). Blandt de andre observationer, der kom ud af elevernes arbejde og af klassens samtale om det, kan nævnes: - Hvis den ene sidelængde blev større, blev den anden mindre. - Omkredsen er altid et lige tal. - De rektangler, der står øverst i tabellen, er lige sådan som dem, der står nederst, de er bare drejet rundt. - Omkredsen er ikke den samme, selv om arealet er det: de lange og tynde rektangler har større omkreds end de tykke. Standard 7 i Standards 2000 handler om bevis og ræsonnement. I beskrivelsen af denne standard for hele skoleforløbet hedder det: Undervisningen fra børnehave til 12. klasse bør sætte alle elever i stand til: - At erkende at ræsonnement og bevis er fundamentale aspekter af matematik. - At udforme og undersøge matematiske hypoteser. - At udvikle og vurdere matematiske argumenter og beviser. Længde (L) Bredde (B) Areal (A) Omkreds (O) At udvælge og bruge forskellige typer ræsonnementer og beviser. (NCTM, 2000, s. 56, vores oversættelse). 7

8 Ræsonnementer og bevisførelse skal altså stå stærkt. Det har arbejdet med beviser også gjort tidligere, men det har da ofte haft karakter af, at et matematisk resultat har været bevist i lærebogen, og at eleverne skulle huske skridtene i den kæde af ræsonnementer, som beviset udgør. Dette er i stærk modsætning til anbefalingerne i Standards Der står ikke ovenfor, at eleverne skal kende til beviser eller kunne præsentere beviser. Derimod står der fx, at de skal kende til den rolle beviser spiller i matematik, og de skal udvikle matematiske argumenter og beviser og bedømme kvaliteten af dem. 3 I afsnittet om ræsonnementer og beviser i Standards 2000 for klasse hedder det i forlængelse heraf, at eleverne selv skal formulere hypoteser, som de siden kan be- eller afkræfte. Det skal de for at udfordre tendensen til, at elever på dette alderstrin ofte baserer sig på nogle få erfaringer på det, der plejer at ske når de skal afgøre, om noget er rigtigt. Der er omfattende erfaringer med, at man selv med elever, der er endnu yngre, kan udvikle klassekulturer, hvor man redegør for, begrunder og udfordrer egne og andres hypoteser med logiske argumenter snarere end med reference til de resultater, man plejer at få (fx Yackel & Hanna, 2003). Det forudsætter dog, at der i det fællesskab, som klassen udgør, i høj grad arbejdes med at udvikle en sådan kultur. Vægtningen af problemløsning (jf. ovenfor) og af ræsonnementer og beviser går meget godt i spænd med hinanden. Et problem er som nævnt en opgave, der er karakteriseret ved, at dem, der skal løse den, ikke på forhånd kender en standardmetode, der kan give dem et svar. Den slags opgaver giver mange muligheder for at opstille hypoteser, som der så skal argumenteres for og imod. Oplæg 4 Sammenlign hensigten med at arbejde med tal og regningsarter fra Standards 2000 (s. 6) med udbyttet af jeres arbejde med den indledende opgave i oplæg 1. På hvilke måder kan arbejdet med opgaven være med til at opfylde hensigten? Oplæg 5 Se igen på den indledende opgave. Hvilke dele af den har problemkarakter for elever i 5. klasse? Hvilke sammenhænge vil børn i 5. klasse kunne få øje på i den opgave? Oplæg 6 Hvilke ræsonnementer tror I, eleverne i 5. klasse kan komme ind i, hvis de skal svare på de første tre spørgsmål? Overvej igen jeres eget arbejde med den indledende opgave. Indgik der i jeres arbejde ræsonnementer og beviser i Standards 2000 s forstand? Kan I udbygge jeres arbejde med opgaven ved at stille nye spørgsmål, så den i højere grad kræver, at I involveres i ræsonnementer eller bevisførelse? Matematiklæring I Lamperts 5. klasse, der skulle lave den opgave, der er i indledningen til dette kapitel, er der etableret en del rutiner for, hvad man som elev skal gøre i matematikundervisningen. Én af dem er at strukturere sin notesbog. På hver side skal der øverst være en angivelse af datoen, og resten af siden deles i tre. I første del kopieres the problem of the day fra tavlen, mens resten af siden deles i to felter, der har overskrifterne hhv. Eksperimenter og Ræsonnementer. Eksperiment-feltet er tænkt som et privat felt, hvor eleven kan forsøge sig frem med forskellige løsningsstrategier for at finde et muligt svar på dagens problem. I ræsonnements-feltet skal eleven forklare sin tænkning. Det er tænkt både som en måde at få eleven til at ræsonnere over og strukturere sine eksperimenter, og som en støtte til elevens kommunikation til læreren og til de andre elever om det, hun har gjort (Lampert, 2001, s. 87). I figur 1 kan vi se, hvordan en af eleverne, Ellie, har udfyldt sin side om det indledende problem. 3 Vi har en uddybet beskrivelse af arbejdet med beviser i skolen i kapitel 12 om Bevisets stilling i ϒ -bogen. 8

9 Figur 1. (Lampert, 2001, s ) 4 Den midterste del er forsøgt oversat her, da den er vanskelig at læse. Ræsonnement Jeg tror mine svar er rigtige, fordi jeg har tjekket dem igen og igen på forskellig måde og fundet ud af små dele for at kunne finde ud af store dele, og jeg har dem. a) fordi 5 12 er lig med 10 6 b) fordi 15 4 er lig med

10 Oplæg 7 Kig grundigt på Ellies eksperimenter. Prøv at fortolke dem som aktiviteter, der har fået eller ikke har fået hende på vej mod at løse problemet. (For nogle notaters vedkommende er det ikke nemt, mens det går lidt nemmere med andre; begynd fx med den indrammede del til højre i hendes eksperiment-felt). Oplæg 8 Vend tilbage til jeres løsning på problemet, især på de sidste spørgsmål. Er der fællestræk mellem den måde, I arbejdede på, og det Ellie har gjort? Ellie har her givet sit bud på en løsning af det indledende problem. Som nævnt ovenfor, er det en pointe ved at bruge sådanne problemer, at eleverne får et andet og bredere billede af, hvad matematik er, end de gør i en undervisning, der mere entydigt lægger vægt på de faglige produkter. Men ud over hensynet til det fagsyn, som eleverne kan udvikle, er der en yderligere grund til, at eleverne skal arbejde med problemløsning inden for centrale faglige områder. Den hænger sammen med, at synet på læring, viden og kunnen er ændret, hvilket vi kommer ind på i næste afsnit. To perspektiver på læring Vi skal senere vende tilbage med en grundigere diskussion af læring, og vi skal da pege på forskellige forståelser af læringsbegrebet, som på sin vis er uforenelige, men som på den anden side hver for sig synes at indfange dele af, hvad der er centralt i begrebet (se kapitel 2 og 3). Foreløbig skal vi give et bud på nogle få elementer af det, man kunne kalde læring med henblik på faglig forståelse i en skolesammenhæng. Til det formål kan læring ses ud fra følgende to perspektiver: 1) Som tilegnelse, dvs. som en sikring, en udbygning af eller en ændring i de forståelser og færdigheder, man i forvejen har udviklet. I eksemplet kunne der være tale om nye procedurer til at multiplicere flercifrede tal med eller om bedre forståelser af sammenhængene mellem regningsarterne. 2) Som et aspekt af deltagelse i sociale sammenhænge, dvs. som det at kunne agere på måder, der er accepteret (eller måske netop ikke accepteret) i den lokale sammenhæng. I eksemplet kunne der være tale om, at der mellem lærer og elever etableres normer for, hvad der er forventet og lødig aktivitet i matematikklasser. Begge perspektiver på læring kan lægges på Ellies arbejde med det indledende problem i Lamperts klasse. c) fordi der er mange muligheder og jeg tog en af dem = 3 grupper med 7 = 1 gruppe med 21. Jeg kan godt lide din idé med at finde ud af små dele som hjælp til at finde ud af [større] dele. Lampert skriver, at udtrykket små og store dele ikke er noget, hun har sagt i klassen, men det, som Ellie gør, ville normalt blive kaldt decomposition og recomposition. Det tyder på, at Ellie måske sammen med en kammerat ud fra Lamperts undervisning har konstrueret sit eget udtryk og en medfølgende forståelse. At det giver mening for hende at opdele tal, som hun ikke magter, ses af, at hun for at addere 15 4 ere, opdeler disse i tre grupper med fem 4 ere i hver, hvilket giver 20. Til højre for rammen adderer hun 20 tre gange og får

11 Læring som tilegnelse Mht. det første perspektiv, læring som tilegnelse, har Ellie tilsyneladende både benyttet sig af sine 5 additive og sine multiplikative forståelser. Fx bygger hun på en forståelse af multiplikation som gentagen addition i sine eksperimenter. Hun har desuden tjekket sit resultat om 15 grupper af 4 ved at regne på 4 grupper af 15. Det kunne se ud, som om hun (måske intuitivt) har benyttet sig af og muligvis videreudviklet sin forståelse af, at multiplikation er kommutativ, det der i daglig tale omtales som at faktorernes orden er ligegyldig. Desuden har hun arbejdet med og muligvis tilegnet sig en bedre forståelse af sammenhængen mellem gruppestørrelsen og antallet af grupper. Alene ud fra Ellies besvarelse er det svært at afgøre, hvor langt hun er kommet med det, men hun har arbejdet med omgrupperinger af det samlede antal elementer, tilsyneladende ved både at se at hver 4 er indeholder to 2 ere, og ved at samle 4 erne først i tre 20 ere som siden samles i 60. I sin ræsonnementsdel siger hun som forklaring på b), at hun har fået 15, because 15 4 = Det er muligt, at hun har forstået den mere generelle sammenhæng, at hvis grupperne bliver dobbelt så store, så bliver der kun halvt så mange af dem. I hvert fald synes hun at have et grundlag for at tilegne sig en sådan forståelse. Det ser desuden ud, som om Ellie har vanskeligt ved at multiplicere skriftligt. Hun er således to gange gået i gang med Den ene gang er hun ikke kommet langt, og den anden har hun fået resultatet 928 (hvordan mon hun har tænkt?). Denne udregning har hun også forsøgt sig med på andre måder, nemlig som ni 12 ere skrevet under hinanden og adderet og som en optælling af en grafisk repræsentation af opgaven. Det er dog ikke klart, hvad 12 9 har med den oprindelige opgave at gøre. En mulighed er, at hun har forsøgt sig med selv at finde på en ny opgave af samme type som de givne. Læring som deltagelse Det andet perspektiv ser læring som et aspekt af at være del af en social praksis. Der er efterhånden i Lamperts klasse opbygget et sæt af gensidige forventninger om, hvad man som elev skal gøre i matematiktimerne. En del af det er, at man kan fremkomme med hypoteser baseret på sine observationer, og at man forventes at begrunde, hvorfor man mener, at de kan være rigtige. Et andet aspekt er, at man er forpligtet på at lytte til andres hypoteser og søge at forklare dem eller at komme med modeksempler. Læring i dette perspektiv drejer sig således i høj grad om nogle normer for, hvad der er matematisk aktivitet, og for hvordan man kan engagere sig i en sådan aktivitet. Det mest centrale aspekt af de faglige normer i Lamperts klasse synes at være, at eleverne undersøger problemstillinger uden, at de først har fået forklaret, hvordan de kan gå i gang. Det indebærer, at eleverne eksperimenterer og argumenterer for deres forslag, og at de betragter det som en del af deres opgave at forstå, forklare, udfordre og revidere andre elevers bidrag. Læringspotentialet for eleverne drejer sig her ikke udelukkende om det faglige indhold i en snæver forstand (sammenhængen mellem multiplikation og division fx). Derimod drejer det sig om, at eleverne fx kan lære, hvad et væsentligt matematisk spørgsmål er, hvad lødig matematisk aktivitet er, og hvad et godt matematisk argument er. Det lærer de imidlertid ikke primært ved at få en beskrivelse af, hvad der fx karakteriserer et godt argument. Det gør de derimod ved at blive involveret i sammenhænge, hvor det at kvalificere 5 Lampert fortolker ikke Ellies arbejde på disse måder og fortolkningerne er udelukkende baseret på den ene side, der er kopieret fra Ellies notesbog. 11

12 hinandens matematiske argumenter er en vigtig del af praksis, en praksis som eleverne gradvist kommer til at spille en mere og mere central rolle i. Flere aspekter ved matematiklæring Samlet kan man således se matematiklæring som en proces, der fører til ændringer i de måder, hvorpå man kan forstå, behandle og indgå i arbejdet med faglige processer og produkter. Desuden er der for begge perspektiver på læring et element af målrettet aktivitet involveret. Det betyder, at det, der læres, er knyttet til det, man som elev orienterer sig imod den pågældende situation. Man kan som elev arbejde med forskellige hensigter i en skolesammenhæng, også hvis man tager situationen alvorligt som en forpligtende læringssituation. Ellie har således tilsyneladende forsøgt at løse det forelagte problem ved at engagere sig i nogle eksperimenter med at omgruppere de relevante tal. Dog kan hendes svar læses, som om hun overvejende har været interesseret i at producere et svar på hver af de forelagte opgaver. I den fortolkning tjekker hun sine resultater ikke så meget for at arbejde med forskellige repræsentationer af situationerne og udnytte deres respektive fordele men for at være sikker på, at svaret er rigtigt. Der er imidlertid en anden mulig fortolkning af i hvert fald hendes arbejde med Som nævnt var det ikke en del af det oprindelige problem, men det er muligt, at Ellie i forlængelse af det første spørgsmål er blevet opmærksom på, at hun måske kunne finde et system, hvis hun prøvede flere tal. I den fortolkning kommer hun her tættere på Lamperts intention om at skulle arbejde med sammenhænge mellem fx multiplikation og division. Pointen i den sidste fortolkning er, at det således er muligt, at problemet for Ellie har ført til en interesse, der er bredere end bare at finde en løsning på spørgsmålene, som de er formuleret. Således kan de tre spørgsmål ses som et system af opgaver, der i fællesskab åbner for, at eleverne ikke bare producerer et svar, men kan komme til at lede efter bredere sammenhænge mellem faglige begreber og metoder. Matematikundervisning Vi har hidtil beskrevet den indledende opgave og elevernes arbejde med den ganske omhyggeligt. Det skyldes, at opgavens formulering får indflydelse på den faglige aktivitet, eleverne kan involveres i, og på den faglige læring, der kan komme ud af en undervisningssituation. Men det betyder ikke, at det er opgaven i sig selv, der foranlediger, at eleverne lærer med den form for forståelse, der var meningen. Graden og karakteren af forståelse afhænger mindre af selve opgaven end af, hvordan den bliver behandlet i undervisningen. Det første spørgsmål i opgaven fra Lamperts bog lød: grupper af 12 = 10 grupper af 6 Man kunne som lærer vælge at bruge denne indledningsopgave, eller en anden tilsvarende, til at introducere en procedure for, hvordan opgaven kunne løses. Der er flere muligheder, men en af dem kunne lyde sådan: Kig på det sidste tal på venstre side af lighedstegnet og på det sidste tal på højre side af lighedstegnet, her altså 12 og 6. Divider nu det største med det mindste af disse tal. I vores tilfælde giver det stykket 12 : 6 = 2. 12

13 Vi ser så på det første tal på hver side af lighedstegnet eller på pladsen, hvor det skal stå. I det betragtede spørgsmål er det altså og 10. Det ene af disse tal skal nu være 2 gange så stort som det andet ( 2 fordi det var resultatet af divisionen ovenfor). Og da der skal være balance i det, skal det største tal på første plads være på samme side af lighedstegnet som det mindste tal på sidste plads. Da 6 er mindre end 12, skal 10 altså være dobbelt så stort som det tal, der skal stå på. Der skal derfor stå 5 på. En sådan forklaring kan så suppleres af en skriftlig præsentation på tavlen, der fx kunne se sådan ud: Figur 2. grupper af 12 = 10 grupper af 6 12:6 = 2 Da 6 er mindre 12 (sammenlign de sidste tal) skal 10 være større end. Her: 10 er 2 gange så stor som ; så der skal stå 5. Med en sådan gennemgang af en procedure kan en del elever komme til at løse den type opgaver, der her er tale om. Problemet er bare, at det jo sådan set ikke var løsningen på det konkrete spørgsmål, der var problemet. I sig selv er det ikke vældig interessant, at der skal stå 5 som svar på den første opgave. Det interessante er, at der er en sammenhæng mellem regnearterne, som arbejdet med problemet måske kan foranledige, at eleverne udvikler en forståelse af. Men med en gennemgang som den viste, er der en overhængende risiko for, at elevernes interesse forskydes fra det interessante at udforske talmønstre for at finde sammenhænge mellem regneoperationer mod at memorere en procedure (sammenlign det sidste tal på de to sider, divider, hvor er sidste tal størst, find manglende tal). Resultatet er ikke målet Lampert har tidligere i en meget berømt artikel beskrevet ovennævnte faldgrube. Artiklen hedder When the question is not the problem and the solution is not the answer (Lampert, 1990). Som titlen antyder, er det pointen, at vi stiller spørgsmål i matematikundervisningen, som vi egentlig ikke er interesseret i svaret på. Alligevel stiller vi dem, fordi vi håber og tror, at eleverne ved at arbejde med dem engagerer sig i de problemer, vi egentlig gerne vil have dem til at arbejde med. I eksemplet var spørgsmålet, hvad der skal stå på stregerne i opgaveformuleringen. Men problemet, set fra Lamperts side, var bl.a., hvad sammenhængen er mellem multiplikation og division. Svaret på spørgsmålet ( 5 i det første tilfælde) er således ikke løsning på problemet. Det betyder ikke, at 5-tallet er ligegyldigt som svar, for hvis en elev har fået noget andet end 5, så kan det være udtryk for, at hun ikke har forstået den sammenhæng mellem multiplikation og division, som var intenderet. Men det betyder, at man i undervisningen kan lægge så meget vægt på svaret, at problemet aldrig bliver behandlet. Det er det, der kan ske i en undervisning som den, der er skitseret først i dette afsnit. I sammenhæng med det første af de omtalte perspektiver på læring læring som 13

14 tilegnelse kan der, hvis der gås meget målrettet til værks således ske det, at målet (set fra elevperspektiv) bliver at finde et svar på spørgsmålet, snarere end at undersøge det problem, der var den egentlige hensigt. Det at undervise består i at skabe så gode betingelser som muligt for, at eleverne kan lære med de forståelser, der er intenderet. Betingelser skal her forstås i en meget bred forstand. Nogle af dem skabes ved beslutninger, der tages uden for den pågældende undervisningssituation. Det gælder fx: - Valg af opgaver eller problemer, der gør det muligt for eleverne at engagere sig i den pågældende undersøgende aktivitet. - Simple organisatoriske beslutninger om, at eleverne skal tredele siderne i deres notesbog, så der bliver en umiddelbar forventning om, at der skal stå noget både under eksperimenter og ræsonnementer. - Beslutninger om balancen og sammenhængene mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og undervisning af hele klassen. Men som sagt, er der ingen opgave, der i sig selv sikrer, at eleverne engageres i den tilsigtede aktivitet. Tilsvarende er der heller ingen beslutning om organisation af klassen i grupper eller om at undervise hele klassen sammen, der i sig selv medfører, at elevernes udbygger deres forståelser og færdigheder (vores første perspektiv på læring, se ovenfor) samtidig med, at de lærer at deltage på nye måder i de værdifulde matematiske aktiviteter (vores andet perspektiv på læring). Hvorvidt eleverne lærer, afhænger mest af, hvilke spørgsmål der stilles af både lærer og elever i undervisningen, af hvilke svar på spørgsmålene der formuleres, og hvilken respons på svarene der gives. Lærerrespons Ellie lavede primært sin besvarelse af det indledende problem ved at arbejde individuelt. Man kunne efterfølgende bede hende om at præsentere sin besvarelse af fx spørgsmål b) for klassen. Hvis Ellie siger, at det giver 15, kan man så enten sige tak og gå videre med det næste spørgsmål. En anden mulighed er at spørge specielt til det indrammede felt i kopien af notesbogen: Hvad betyder den kolonne af 4-taller, og hvad betyder de to 2-taller øverst til højre i det indrammede felt. Det kunne være, at hun ville sige: Men de to 2-taller er fordi, det er dem, der er i det første 4-tal, og sådan er det hele vejen ned, så to 2- taller i hver, så det er 15 4-taller i alt. En mulig lærerrespons kunne da være: eller eller Ja, tak for det. Er der nogen der vil svare på det næste? Det var en spændende måde, jeg tror nok jeg forstod, men for at være sikker på, at vi alle sammen er med, er der så ikke en af jer andre, der kan prøve at forklare Ellies måde? Det var én god måde at gøre det på, er der nogen, der har gjort det anderledes? [ ] 14

15 [hvis en anden måde bliver foreslået:] Er der nogen, der kan forklare, hvordan den anden måde er forskellig fra Ellies? eller eller Hvad nu hvis der ikke havde stået 30 grupper af 2, men fx 16 grupper af 2, hvad var det så blevet? [ ] Er der en af jer andre, der vil prøve at bruge Ellies måde, hvis der nu var 36 grupper af 2? [ ] Kan man bare gøre sådan med alle mulige antal grupper af 2? Disse eksempler på en mulig respons fra læreren på Ellies forslag orienterer elevernes aktivitet i klassen på forskellig måde. I den første mulighed, hvor Ellie giver svaret 15, og man som lærer beslutter at gå videre, er det en lukket respons fra læreren, der afslutter kommunikationen om den pågældende opgave, fordi der er givet noget, der kan fortolkes som et korrekt svar. Det kan der være gode grunde til at gøre i nogle situationer, men det signalerer, at det faktisk var spørgsmålet, der var problemet, og at svaret derfor var løsningen. Nogle af de øvrige muligheder er eksempler på respons, der åbner for yderligere diskussion og undersøgelse. Oplæg 9 Analyser og diskuter de øvrige eksempler på mulig lærerrespons. Hvad betragter I som mulige læringspotentialer i dem? Prøv at finde andre mulige reaktioner på Ellies fremlæggelse, og beskriv, hvad der er fordele og ulemper ved hver af dem? I en klassesammenhæng er det altså afgørende for læring, hvilke gensidige forventninger der etableres gennem de typer af spørgsmål, af svar og af respons på svar, der bruges. Det samme gælder, når eleverne arbejder i grupper eller alene. Lampert beskriver selv sin kommunikation med en anden elev, Varouna, der som svar på det tredje spørgsmål har skrevet, at 1 gruppe af 7 er det samme som 3 grupper af 21. Varouna er ikke nem at få til at sige noget. Lampert tegner så billeder af nogle 7-stænger (af centicubes eller noget tilsvarende) i Varounas notesbog, mens hun fortæller, at nu vil hun lave grupper af syv og af 21, og hun vil have dem til at blive lige store. Hun forklarer sine intentioner sådan: Det var min hensigt både at finde ud af, hvordan Varouna tænkte, og at lære hende at arbejde selvstændigt med denne type problem. Jeg ville orientere hendes arbejde, men gøre det uden bare at give hende svaret direkte. Der var et særligt matematisk indhold i vores udveksling af idéer, der drejede sig om multiplikation som gruppering og omgruppering. Men samtidig prøvede jeg at lære Varouna, at det at lave en særlig slags tegning er en måde at løse denne slags problemer på. Jeg underviste hende i, at det at tegne og lave billeder er en mere generel strategi til at løse matematiske problemer, samt at det er i orden at bruge den metode i skolen, i vores klasse, for at studere faget matematik. Jeg underviste hende også i, hvad hendes notesbog er til, og hvordan den skal organiseres. Samtidig lærte jeg hende, at det, vi lavede dagen før, kunne være relevant for arbejdet her og nu. (Lampert, 2001, s. 125, vores oversættelse). Oplæg 10 Læs citatet ovenfor grundigt. Hvad er det, Lampert forsøger at opnå i sin interaktion med Varouna? Hvordan kan man fortolke det i relation til de syn på faget og på læring, der er beskrevet i de foregående afsnit? 15

16 En reform af skolematematik Matematik kan både ses som bestående af og som et resultat af menneskelig, skabende og undersøgende aktivitet. Traditionelt har skolematematikken lagt altovervejende vægt på resultaterne, det vi også har kaldt fagets produkter. Den grundlæggende tanke har således været, at eleverne skulle bruge deres kræfter på at træne de begreber og færdigheder, der kan betragtes som resultaterne af menneskelig aktivitet. Det gælder fx for måder at regne skriftlige gangestykker på. Det har altså indtil for ikke så forfærdelig mange år siden været en fast del af skolematematikken, at eleverne brugte en meget stor del af undervisningstiden og deres hjemmearbejde på at træne fx multiplikationsopgaver, som skulle løses efter en på forhånd opstillet algoritme, som læreren havde gennemgået. Når de arbejder med den opgave, som vi indledte kapitlet med, kan eleverne også træne deres færdigheder i multiplikation og division. Opgaven handler imidlertid ikke kun om det, og den kan faktisk løses helt uden at gange tal sammen i traditionel forstand. Men opgaven er også anderledes på andre måder. For det første er den anderledes, fordi læreren netop ikke til indledning gennemgår, hvordan eleverne kan løse opgaven. Eleverne skal selv undersøge nogle sammenhænge mellem tal og på den baggrund opstille en eller flere hypoteser, som de så må argumentere for. Det er således elevernes opgave både at formulere hypoteser og arbejde med de ræsonnementer, der skal til for at godtgøre, om hypoteserne har noget på sig. For det andet er den indledende opgave anderledes ved, at i det omfang eleverne kommer til at arbejde med multiplikationsalgoritmer, så tjener de et formål, der ligger ud over algoritmen i sig selv. Eleverne kan i forbindelse med den opgave stadig komme til at træne skriftlig multiplikation, hvis man da ikke som lærer beslutter, at de skal have mulighed for at eksperimentere ved at bruge en lommeregner, eller hvis de ikke som Ellie overvejende bruger gentagen addition. Til forskel fra mange andre opgaver, hvor træningen ikke har noget formål, der ligger ud over den selv, så tjener den her en funktion i forhold til den mere undersøgende del: Det er (for eleverne) nødvendigt at gange tallene sammen, hvis de skal kunne finde nogle af de sammenhænge, som opgaven lægger op til. På den måde kan tabeltræning og skriftlig multiplikation komme til at spille en rolle i forhold til at undersøge den situation, som opgaven beskriver. Og for det tredje er der i elevernes arbejde med den undersøgende aktivitet lagt op til, at der kan diskuteres nogle matematiske sammenhænge og begreber ja, det er disse sammenhænge og begreber, der er opgavens kerne. Lampert peger selv på elevernes arbejde med talmønstre, med sammenhænge mellem regningsarterne, med at skiptælle og med forskellige repræsentationsformer som væsentlige hensigter med opgaven. Derudover kunne man pege på en øget forståelse af hele tals delelighed som et væsentligt aspekt af deres arbejde. Og sidst, men ikke mindst, er der mulighed for, at eleverne får en fornemmelse af nogle af de processer, som faget også består af også i skolen. Procesorienteringen af skolematematikken betyder ikke, at det faglige indhold i mere traditionel forstand ikke længere betragtes som vigtigt. Tværtimod er det en væsentlig del af baggrunden for den øgede vægt af processerne, at eleverne før i tiden udviklede for svage begreber om fx multiplikation, hvis de blev undervist uden selv at være med til at undersøge og ræsonnere over multiplikative sammenhænge. Dertil kommer, at matematik ikke med rimelighed kan siges kun at bestå af nogle produkter i form af færdigudviklede begreber og procedurer, matematik er også en aktivitet, 16

17 en proces. Fra denne synsvinkel er det rimeligt, at skolefaget også omfatter sådanne processer, hvis det med rette skal bære sit navn. [Mathematics is the] science of quantitative relations and spatial forms in the real world. (Encyclopaedia of Mathematics, 1990, s. 148) Mathematics should be considered from two points of view: a) mathematics as a formal, deductive, rigorous body of knowledge, b) mathematics as a human activity a human activity, a process. (Fischbein, 1994, s. 231). Mathematics is a science of pattern and order. (MSEB, 1989, s. 31). Matematik är en levande mänsklig konstruktion och en kreativ och undersökande aktivitet som omfattar skapande, utforskande verksamhet och intuition. (De svenske kursusplaner for matematik i grundskolen, [ ] certainty has to be pursued, and in mathematics this is done by a quite peculiar mental activity. It is this activity rather than its subject matter that characterises mathematics. (Freudenthal, 1991, s. 1) Matematikken lever og utvikler seg, den har historiske røtter, og den griper inn i kultur og samfunn. Den er et redskapsfag i andre vitenskaper. Den reflekterer måter å tænke på, så vel i ulike vitenskaper som i det daglige liv. Matematikk har sammenheng med form, med mønster, den har estetiske sider. Faget reiser spørgsmål om riktig argumentasjon det har etiske sider. (Breiteig, T. & Venheim, R. 1999, s. 249). Oplæg 11 Ovenfor er der seks definitioner på matematik fra meget forskellige udgivelser. Den første er fra et internationalt matematikleksikon, den anden fra en artikel af en berømt israelsk matematikdidaktiker, Efraim Fischbein 6, den tredje fra en bog udgivet af det amerikanske Mathematical Sciences Education Board, den fjerde er fra en nu lidt ældre svensk læseplan, den femte fra en bog af en af de mest indflydelsesrige matematikdidaktikere nogensinde, tysk/hollænderen Hans Freudenthal 7, og den sjette er fra en norsk lærebog for lærerstuderende i matematik. Undersøg, hvordan forholdet mellem faglige processer og produkter er i hver af de seks definitioner. Den forståelse, at matematik både rummer et proces- og et produktaspekt, er blevet central i tidens matematikdidaktiske tænkning. Centralt står også den dobbelte forståelse af læring som tilegnelse og deltagelse tillige med forståelsen af undervisning som måder at understøtte en sådan læring på ved at planlægge elevernes matematiske aktiviteter og ved med Lamperts ord: at fokusere på problemet snarere end på spørgsmålet. Tilsammen er disse forståelser af fag, af læring og af undervisning blevet til det, der ofte omtales som tidens reform af matematikundervisningen. En sådan formulering om en reform og måske endda én reform kan naturligvis udfordres. Man kan med rette spørge, hvor den findes. Matematikundervisning ser ganske forskellig ud i forskellige klasserum i forskellige skoler og da ikke mindst i forskellige lande. Det ændrer imidlertid ikke ved, at en ganske stor del af den matematikdidaktiske debat orienterer sig imod den nævnte kombination af syn på fag, på læring og på undervisning. Det gælder også, hvis der ytres uenighed med nogle af de nævnte syn. I den forstand er der i hvert fald tale om en reformbevægelse, der på sin vis er en standardreference i matematikkens didaktik: Det er ofte den, man forholder sig til. 6 Vi har omtalt Fischbeins arbejde med intuition i matematikundervisningen i ϒ -bogen s Vi skal se nærmere på Freudenthals arbejde i kapitel

18 Også i en skandinavisk sammenhæng kan man se tydelige spor af reformen. På grundskoleniveau ser de centrale bestemmelser for skolefagene ud til at være inspireret af den, og også i en del lærebøger og i brugen af andre materialer kan man se tendenser, der kan forstås som praktiske fortolkninger af reformens anbefalinger. Vi vil i denne bog omtale denne bevægelse som reformen. Opsamling på kapitel 1. Matematik, matematiklæring og matematikundervisning Vi siger i introduktionen til dette kapitel, at kapitlet drejer sig om tre overordnede temaer, nemlig: - Udviklingen i skolefaget matematik over de seneste årtier: Faget må nu både ses som processer og som produkter. - Syn på elevers læring af matematik i skolen: Læring kan både ses som tilegnelse af faglig viden og kunnen og som et aspekt af deltagelse i fællesskaber, hvor der arbejdes med matematik. - Syn på undervisning i matematik i skolen: Undervisning består i at skabe så gode betingelser som muligt for, at eleverne kan lære med de forståelser, der er hensigten. Oplæg 12 Overvej og diskuter på den baggrund, om det syn på skolefaget, der er præsenteret i dette kapitel, er i overensstemmelse med det syn, I selv har udviklet på baggrund af jeres hidtidige uddannelse. Overvej og diskuter, hvordan jeres arbejde med matematik i de hidtidige uddannelser kan ses som: læring som tilegnelse og læring som deltagelse. Har der været en forventning om tilegnelse, og hvordan har den skullet foregå? Har der været en forventning om deltagelse, og hvad har I så skullet deltage i? Overvej, hvad dine erfaringer er med din matematikundervisning. Vi kan vist roligt gå ud fra, at dine lærere har haft til hensigt at gøre det lettere for dig at lære. Hvordan har de forsøgt det? Hvordan ligner og adskiller de spørgsmål, de stillede sig fra dem, vi så på s. x? 18

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Vejledning til forløb om regnestrategier med multiplikation og division

Vejledning til forløb om regnestrategier med multiplikation og division Vejledning til forløb om regnestrategier med multiplikation og division Denne lærervejledning beskriver i detaljer forløbets gennemførelse med fokus på lærerstilladsering og modellering. Beskrivelserne

Læs mere

Årsplan Matematrix 3. kl. Kapitel 1: Jubii

Årsplan Matematrix 3. kl. Kapitel 1: Jubii Årsplan Matematrix. kl. A Første halvår Kapitel : Jubii I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i. klasse. Dette er samtidig et redskab for

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Faglig læsning i matematik

Faglig læsning i matematik Faglig læsning i matematik af Heidi Kristiansen 1.1 Faglig læsning en matematisk arbejdsmåde Der har i de senere år været sat megen fokus på, at danske elever skal blive bedre til at læse. Tidligere har

Læs mere

Årsplan 2018/19 Matematik 3. årgang. Kapitel 1: Jubii

Årsplan 2018/19 Matematik 3. årgang. Kapitel 1: Jubii Årsplan 08/9 Matematik. årgang TriX A Kapitel : Jubii I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i. klasse. Kapitlet har især fokus på kerneområderne

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Årsplan for 2.kl i Matematik

Årsplan for 2.kl i Matematik Årsplan for 2.kl i Matematik Vi følger matematiksystemet "Matematrix". Her skal vi i år arbejde med bøgerne 2A og 2B. Eleverne i 2. klasse skal i 2. klasse gennemgå de fire regningsarter. Specielt skal

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

En anden tilgang til matematisk læring, hvorfor?

En anden tilgang til matematisk læring, hvorfor? En anden tilgang til matematisk læring, hvorfor? Fordi det vi plejer at gøre ikke virker godt nok Vi skal ikke uddanne menneskelige regnemaskiner 56,6% har problemer med algoritmer PISA Nationale test

Læs mere

Årsplan matematik 5. klasse. Kapitel 1: Godt i gang

Årsplan matematik 5. klasse. Kapitel 1: Godt i gang Årsplan matematik 5. klasse Kapitel : Godt i gang I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i 4. klasse. Kapitlet er udformet som en storyline

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC

Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Matematiske kompetencer - hvad og hvorfor? DLF-Kursus Frederikshavn 24.-25.9 2015 Eva Rønn UCC Komrapporten Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisningen

Læs mere

Årsplan for matematik

Årsplan for matematik Årsplan for matematik Målgruppe: 03A Periode: Oprettet af: BK Mål for undervisningen: Årsplan Matematik 3.klasse 2017/2018 Undervisningen i matematik tager udgangspunkt i Trix 3A og 3B, som består af 2

Læs mere

Læremiddelanalyser eksempler på læremidler fra fem fag

Læremiddelanalyser eksempler på læremidler fra fem fag Fra antologien Læremiddelanalyser eksempler på læremidler fra fem fag Den indledende artikel fra antologien Mål, evaluering og læremidler v/bodil Nielsen, lektor, ph.d., professionsinstituttet for didaktik

Læs mere

Årsplan Matematik 3.klasse 2016/2017

Årsplan Matematik 3.klasse 2016/2017 Årsplan Matematik 3.klasse 2016/2017 Undervisningen i matematik tager udgangspunkt i Trix 3A og 3B, som består af 2 grundbøger og en. Der vil derudover suppleres med opgaver i Pirana 3 samt opgaver på

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09

Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09 Vejledende årsplan for matematik 4.v 2008/09 Uge Emne Formål Opgaver samt arbejdsområder 33-35 Kendskab og skriftligt arbejde At finde elevernes individuelle niveau samt tilegne mig kendskab til deres

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

Mundtlighed i matematikundervisningen

Mundtlighed i matematikundervisningen Mundtlighed i matematikundervisningen 1 Mundtlighed Annette Lilholt Side 2 Udsagn! Det er nemt at give karakter i færdighedsregning. Mine elever får generelt højere standpunktskarakter i færdighedsregning

Læs mere

Årsplan for 2.klasse 2018/19 Matematik

Årsplan for 2.klasse 2018/19 Matematik Årsplan for 2.klasse 2018/19 Fagformål Stk. 1. Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse

MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe. tal, algebra og funktioner. 1. 6. klasse kristine JEss HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe tal, algebra og funktioner 1. 6. klasse Kristine Jess, Hans Christian Hansen, Joh n Schou og Jeppe Skott Matematik

Læs mere

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål:

Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formål: Skolens formål med faget matematik følger beskrivelsen af formål i folkeskolens Fælles Mål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i forstå og anvende matematik i sammenhænge,

Læs mere

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15

Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Årsplan for matematik i 4. klasse 2014-15 Klasse: 4. Fag: Matematik Lærer: Ali Uzer Lektioner pr. uge: 4(mandag, tirsdag, torsdag, fredag) Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at

Læs mere

Matematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole

Matematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole efter 3.klasse. e efter 6.klasse. e Skole efter 9.klasse. e indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence formulere sig skriftligt og mundtligt

Læs mere

Positionssystemet, 2 3 uger (7 lektioner), 2. klasse.

Positionssystemet, 2 3 uger (7 lektioner), 2. klasse. Positionssystemet, 2 3 uger (7 lektioner), 2. klasse. FRA FORENKLEDE FÆLLES MÅL Kommunikation vedrører det at udtrykke sig med og om matematik og at sætte sig ind i og fortolke andres udtryk med og om

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

Fagplan for faget matematik

Fagplan for faget matematik Fagplan for faget matematik Der undervises i matematik på alle klassetrin (0. - 7. klasse). De centrale kundskabs- og færdighedsområder er: I matematik skal de grundlæggende kundskaber og færdigheder i

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Hvordan vil vi regne den ud i 90 erne?

Hvordan vil vi regne den ud i 90 erne? Hvordan vil vi regne den ud i 90 erne? Ib Trankjær, Randers har följt diskussionen i Nämnaren om algoritmer och miniräknare. Han har sänt oss denna artikel, som också publicerats i danska Matematik 2/89.

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

Vejledning til forløbet: Hvad er chancen?

Vejledning til forløbet: Hvad er chancen? Vejledning til forløbet: Hvad er chancen? Denne lærervejledning beskriver i detaljer forløbets gennemførelse med fokus på lærerstilladsering og modellering. Beskrivelserne er blevet til på baggrund af

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers

Læs mere

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet

Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Om at løse problemer En opgave-workshop Beregnelighed og kompleksitet Hans Hüttel 27. oktober 2004 Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics.

Læs mere

Årsplan for 2. årgang. Kapitel 1: Jubii. Kapitel 2: Mere om positionssystemet

Årsplan for 2. årgang. Kapitel 1: Jubii. Kapitel 2: Mere om positionssystemet Årsplan for. årgang Trix A Kapitel : Jubii Det første kapitel i. klasse samler op på det matematiske stof, som eleverne har lært i. klasse. Jubii giver dermed læreren mulighed for at screene, hvor klassen

Læs mere

12 Bevisets stilling. Kapitel 12 Bevisets stilling 477

12 Bevisets stilling. Kapitel 12 Bevisets stilling 477 12 Bevisets stilling Det er en fundamental del af beskæftigelsen med matematik at ræsonnere om og bevise forhold, der handler om tal, symboler og geometri. Den vægt, der har været lagt på beviser og ræsonnementer

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Undersøgende og eksperimenterende matematikundervisning i indskolingen. Ole Freil Matematik i marts den 11. april 2018

Undersøgende og eksperimenterende matematikundervisning i indskolingen. Ole Freil Matematik i marts den 11. april 2018 Undersøgende og eksperimenterende matematikundervisning i indskolingen Ole Freil Matematik i marts den 11. april 2018 Program Kl. 14.30: Præsentation - Hvordan kan eleverne arbejde undersøgende og udvikle

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning

Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning Dansk-historieopgaven (DHO) skrivevejledning Indhold Formalia, opsætning og indhold... Faser i opgaveskrivningen... Første fase: Idéfasen... Anden fase: Indsamlingsfasen... Tredje fase: Læse- og bearbejdningsfasen...

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

Årsplan for 2. årgang Kapitel 1: Jubii. Kapitel 2: Mere om positionssystemet

Årsplan for 2. årgang Kapitel 1: Jubii. Kapitel 2: Mere om positionssystemet Årsplan for. årgang 08-9 Materialer: Trix A, Trix B samt tilhørende kopiark. Trix træningshæfte. Øvehæfte og 4. Andet relevant materiale. Trix A Kapitel : Jubii Det første kapitel i. klasse samler op på

Læs mere

Årsplan for 3.klasse 2018/19 Matematik

Årsplan for 3.klasse 2018/19 Matematik Fagformål Stk. 1. Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Årsplan for matematik 3.klasse 2019/20

Årsplan for matematik 3.klasse 2019/20 Fagformål Stk. 1. Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

2. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK!

2. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK! 2014-15 2. KLASSE UNDERVISNINGSPLAN MATEMATIK Lærer: Sussi Sønnichsen Forord til matematik i 2. Klasse. Vi vil arbejde med bogsystemet Matematrix 2A & 2B, Alinea, samt kopiark til systemet. Jeg vil differentiere

Læs mere

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009

Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Matematiske kompetencer. Matematiske emner (tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed). Matematik i anvendelse. Matematiske arbejdsmåder. Tankegangskompetence

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Årsplan matematik 1. klasse 2015/2016

Årsplan matematik 1. klasse 2015/2016 Årsplan matematik 1. klasse 2015/2016 Undervisningen vil tage udgangspunkt i systemet Matematrix. I 1. klasse får eleverne udleveret 2 arbejdsbøger (Trix 1a + Trix 1b). Den pædagogiske tankegang i dette

Læs mere

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter Regneregler Grundbogen side 7-19 Arbejdsbogen side 1-6

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter Regneregler Grundbogen side 7-19 Arbejdsbogen side 1-6 Årsplan Matematik 5.klasse 2016/2017 Undervisningen i matematik tager udgangspunkt i Matematrix 5, som består af en grundbog og en arbejdsbog. Der vil derudover suppleres med opgaver i Pirana 5 samt opgaver

Læs mere

Vejledende årsplan for matematik 5.v 2009/10

Vejledende årsplan for matematik 5.v 2009/10 Vejledende årsplan for matematik 5.v 2009/10 Uge Emne Formål Opgaver samt arbejdsområder 33-36 Geometri 1 Indlæring af geometriske navne Figurer har bestemte egenskaber Lære at måle vinkler med vinkelmåler

Læs mere

Årsplan for Matematik 3. klasse Skoleåret 2018/2019

Årsplan for Matematik 3. klasse Skoleåret 2018/2019 Uger Emne Materialer Evaluering 33 Kom godt i gang Hæfter fra matematikfessor.dk Repetition fra 2. klasse Eleverne arbejder med genopfriskning af matematik fra 2. klasse gennem blandede opgaver. 34 TAL

Læs mere

Årsplan for matematik

Årsplan for matematik Årsplan for matematik 2016-17 Uge Tema/emne Metode/mål 33 Brøker + talforståelse Matematiske arbejdsmåder(metode) 34 Brøker + procent 35 Excel 35 GeoGebra/Geometri 36 Geometri 37 Emneuge 38 Geometri 39

Læs mere

Der er ikke væsentlig niveauforskel i opgaverne inden for de fire emner, men der er fokus på forskellige matematiske områder.

Der er ikke væsentlig niveauforskel i opgaverne inden for de fire emner, men der er fokus på forskellige matematiske områder. Dette tema lægger forskellige vinkler på temaet biografen. Udgangspunktet er således ikke et bestemt matematisk område, men et stykke virkelighed, der bl.a. kan beskrives ved hjælp af matematik. I dette

Læs mere

Årsplan for 2. kl. matematik

Årsplan for 2. kl. matematik Undervisningen i 2. kl. tager primært udgangspunkt i matematikbøgerne Kolorit 2A og 2B. Årets emner med delmål Gange (kopiark) ræsonnerer sig frem til multiplikationsalgoritmen i teams, ved hjælp af additionsalgoritmer.

Læs mere

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål

MATEMATIK. GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål MATEMATIK GIDEONSKOLENS UNDERVISNINGSPLAN Oversigt over undervisning i forhold til trinmål og slutmål KOMMENTAR Vi har i det følgende foretaget en analyse og en sammenstilling af vore materialer til skriftlig

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11

Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Årsplan for matematik i 1. klasse 2010-11 Vanløse den 6. juli 2010 af Musa Kronholt Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Kompetencetræning i matematik - også til prøverne. KP 10. januar 2019

Kompetencetræning i matematik - også til prøverne. KP 10. januar 2019 Kompetencetræning i matematik - også til prøverne KP 10. januar 2019 Kompetencetræning i matematik - også til prøven Prøverne i matematik bliver i stadig højere grad kompetencebaseret, så det giver god

Læs mere

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet?

Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks nye værelser - maling eller tapet? Emmas og Frederiks familie skal flytte til et nyt hus. De har fået lov til at bestemme, hvordan væggene på deres værelser skal se ud. Emma og Frederik

Læs mere

2 Udfoldning af kompetencebegrebet

2 Udfoldning af kompetencebegrebet Elevplan 2 Udfoldning af kompetencebegrebet Kompetencebegrebet anvendes i dag i mange forskellige sammenhænge og med forskellig betydning. I denne publikation som i bekendtgørelse og vejledning til matematik

Læs mere

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik

10.klasse. Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi. Matematik. Formål for faget matematik 10.klasse Naturfaglige fag: Matematik, Fysik/kemi Matematik Formål for faget matematik Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Formativ brug af folkeskolens prøver årets resultater på landsplan Den skriftlige prøve i matematik med hjælpemidler, FP9 maj 2019

Formativ brug af folkeskolens prøver årets resultater på landsplan Den skriftlige prøve i matematik med hjælpemidler, FP9 maj 2019 Formativ brug af folkeskolens prøver årets resultater på landsplan Den skriftlige prøve i matematik med hjælpemidler, FP9 maj 2019 Skrevet af Klaus Fink på baggrund af oplysninger fra opgavekommissionen

Læs mere

Årsplan/aktivitetsplan for matematik i 6.c 2012-2013

Årsplan/aktivitetsplan for matematik i 6.c 2012-2013 Årsplan/aktivitetsplan for matematik i 6.c 2012-2013 Undervisere: Marianne Kvist (MKV) & Asger Poulsen (APO) Omfang: mandag kl. 10 00 11 20, onsdag kl. 10 00 11 20 4 lektioner pr. uge Matematikken i 6.c

Læs mere

Årsplan for 1.klasse 2018/19 Matematik

Årsplan for 1.klasse 2018/19 Matematik Fagformål Stk. 1. Eleverne skal i faget matematik udvikle matematiske kompetencer og opnå færdigheder og viden, således at de kan begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle

Læs mere

Matematik Delmål og slutmål

Matematik Delmål og slutmål Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse

Læs mere

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15

Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Årsplan for matematik 4. klasse 14/15 Status: 4.b er en klasse der består af ca. 20 elever. Der er en god fordeling mellem piger og drenge i klasser. Klassen har 5 matematiktimer om ugen. Vi fortsætter

Læs mere

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3

Talregning. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 VisiRegn ideer 1 Talregning Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Indledning til VisiRegn ideer 1-7 2 Oversigt over VisiRegn ideer 1-7 3 Vejledning til Talregning

Læs mere

Årsplan 2012/2013. 9. årgang: Matematik. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009

Årsplan 2012/2013. 9. årgang: Matematik. Lyreskovskolen. FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Årsplan 2012/2013 9. årgang: Matematik FORMÅL OG FAGLIGHEDSPLANER - Fælles Mål II 2009 Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler matematiske r og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

Matematik. Evaluering, orientering og vejledning

Matematik. Evaluering, orientering og vejledning Folkeskolens afsluttende prøver Matematik 2011 Evaluering, orientering og vejledning Udarbejdet på grundlag af censorers faglige feedback ved prøverne Institut for Læring Udarbejdet af: Konsulent Erik

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Aktionslæring som metode

Aktionslæring som metode Tema 2: Teamsamarbejde om målstyret læring og undervisning dag 2 Udvikling af læringsmålsstyret undervisning ved brug af Aktionslæring som metode Ulla Kofoed, uk@ucc.dk Lisbeth Diernæs, lidi@ucc.dk Program

Læs mere

Årsplan matematik 1.klasse - skoleår 12/13- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 1.klasse - skoleår 12/13- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer BASIS: Klassen består af 26 elever og der er afsat 5 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 1A og 1B, de tilhørende kopisider + CD-rom, Rema samt evt. ekstraopgaver. Derudover vil

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Hensigten har været at træne de studerende i at dele dokumenter hvor der er mulighed for inkorporering af alle former for multimodale tekster.

Hensigten har været at træne de studerende i at dele dokumenter hvor der er mulighed for inkorporering af alle former for multimodale tekster. Projekt edidaktik Forsøg med multimodal tekstproduktion På Viden Djurs er der I to klasser blevet gennemført et forsøg med anvendelse af Microsoft Office 365. Hensigten har været at træne de studerende

Læs mere

Guide til elevnøgler

Guide til elevnøgler 21SKILLS.DK Guide til elevnøgler Forslag til konkret arbejde Arbejd sammen! Den bedste måde at få de 21. århundredes kompetencer ind under huden er gennem erfaring og diskussion. Lærerens arbejde med de

Læs mere

Format 2 - Mål og årsplaner

Format 2 - Mål og årsplaner Format 2 - Mål og årsplaner Fælles Mål: Der angives 5-10 Fælles Mål per kapitel med angivelse af faser. Antallet inkluderer både færdigheds- og vidensmål samt kompetencer. Læringsmål: Der opstilles ét

Læs mere

Fælles Mål Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 8.A Lærer: Henrik Stillits Fagområde/ emne Færdighedsregning - Typer af opgaver - Systematik Periode Mål Eleverne skal: 32/33 Få kendskab til opgavetypen og få rutine.

Læs mere

Årsplan Matematik 1. klasse 2016/17

Årsplan Matematik 1. klasse 2016/17 Årsplan Matematik 1. klasse 2016/17 Undervisningen vil tage udgangspunkt i systemet Matematrix. I 1. klasse får eleverne udleveret 2 arbejdsbøger (Trix 1a + Trix 1b). Den pædagogiske tankegang i dette

Læs mere

Årsplan for matematik 2013/2014

Årsplan for matematik 2013/2014 33 Valg af regningsart Matematikundervisningen vil komme til at indeholde forskellige arbejdsformer med vægt på klasseundervisning, diskussion, gruppearbejde og selvstændigt arbejde. Derudover vil vi fortsætte

Læs mere

Matematik i 5. klasse

Matematik i 5. klasse Matematik i 5. klasse Igen i år benytter vi os af Faktor i femte. Systemet indeholder en grundbog, hvortil der er supplerende materiale i form af kopiark, som er tilpasset de gennemgåede emner. Grundbogen

Læs mere

M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE:

M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE: M A T E M A T I K FAGBESKRIVELSE FOR UNDERVISNING I MATEMATIK PÅ HARESKOVENS LILLESKOLE: Udgangspunktet for Hareskovens Lilleskoles matematikundervisning er vores menneskesyn: det hele menneske. Der lægges

Læs mere

HVAD ER SELV? Til forældre

HVAD ER SELV? Til forældre HVAD ER SELV Til forældre Indhold Indledning 3 Indledning 4 SELV 6 SELV-brikkerne 8 Gensidige forventninger 10 Motivation og dynamisk tankesæt 13 Sådan arbejder I med SELV derhjemme På Lille Næstved Skole

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere