Projekt 7.5 Ellipser brændpunkter, brændstråler og praktisk anvendelse i en nyrestensknuser

Transkript

1 Hvad er maemaik? Projeker: fra kapiel 7 Projek 75 Ellipser brændpunker, brændsråler og prakisk anvendelse i en nyresensknuser Projek 75 Ellipser brændpunker, brændsråler og prakisk anvendelse i en nyresensknuser Ellipsens ligning har vi undersøg i den indledende forælling il kapiel 7 I de følgende skal vi undersøge ellipser som banekurver, og vise, hvorledes denne beskrivelse kan åbne for en indsig i, hvordan en nyresensknuser fungerer Selv om vi førs gennemfører en sysemaisk undersøgelse af vekorfunkioner og deres grafer, der kaldes banekurver, så er den symbolik vi anvender le genkendelig fra fx linjens parameerfremsilling Så projeke er således også en inrodukion il begrebe vekorfunkion Eksempel 1 Figuren viser banekurven for vekorfunkionen x 5cos( ) 3 = +, y sin( ) 4 hvor 0 Banekurven er en ellipse med cenrum i ( ) a = 5 = 10 og lilleakse b = = 4 3,4, sorakse Øvelse 1 Vi vil nu undersøge vekorfunkionen x acos( ) x0 = +, y bsin( ) y0 hvor 0, ved variabelkonrol, dvs ved på skif a lade a) Hold, og b fas Lad a,, a og b variere variere, plo en vandre linje igennem (, ) x y, aflæs skæringspunkerne med banekurven og aflæs afsanden mellem de o punker Hvilken beydning har a for banekurvens udseende? b) Hold, y0 og a fas Lad b 0 0 variere, plo en lodre linje igennem (, ) x y, aflæs skæringspunkerne med banekurven og aflæs afsanden mellem de o punker Hvilken beydning har b for banekurvens udseende? 0 0 c) Hold, a og b fas Lad variere, plo cenrum og aflæs Hvilken beydning har for banekurvens forløb? d) Hold, a og b fas Lad variere, plo cenrum og aflæs Hvilken beydning har for banekurvens forløb? Øvelse a) Besem en vekorfunkion for en ellipse med cenrum i ( 1,), sorakse på 14 og lilleakse 6 b) Tegn banekurven for ellipsen c) Beny kurvelængdeformlen il a besemme ellipsens omkreds Øvelse 3 x acos( ) x0 Vis a vekorfunkionen = + svarer il ligningen y bsin( ) y0 ( x x0) (y y0) + = 1 a b 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrudk

2 Hvad er maemaik? Projeker: fra kapiel 7 Projek 75 Ellipser brændpunker, brændsråler og prakisk anvendelse i en nyresensknuser Brændpunker Vi berager ellipsen med cenrum i (0,0) og sorakse a sam lilleakse b (se figur) Ellipsens brændpunker,, er definere som skæringspunkerne mellem ellipsens sorakse og cirklen med cenrum og radius a F P(0, b) F 1 og Afsanden fra koordinasysemes begyndelsespunk il brændpunkerne er derfor OF OF a b 1 = = Dvs brændpunkerne har koordinaerne F ( a b,0) og F ( a b,0) 1 Øvelse 4 Efervis, a OF OF a b 1 = = Berager vi i sede en ellipse med cenrum i C( x0, y 0), sorakse a og lilleakse b, så vil brændpunkerne naurligvis have koordinaerne F ( x a b, y ) og F ( x + a b, y ), 0 0 x0 svarende il a cenrum er parallelforskud med sedvekoren OC = y0 Hvis P( x, y) er e ilfældig punk på ellipsen kaldes linjesykkerne og PF 1 PF brændsrålerne fra P Øvelse 5 a) Besem F 1 og F for ellipsen i eksempel 1 b) Tegn ellipsen og afsæ e ilfældig punk P( x, y ) på banekurven c) Besem længden af brændsrålerne fra P d) Undersøg ved a variere P( x, y ), hvad der gælder for afsanden PF1 + PF Øvelse 6 Vi ser igen på en ellipse med cenrum i C( x0, y 0), sorakse a og lilleakse b, som jo har vekorfunkionen hvor 0 acos( ) x0 s () = +, bsin( ) y 0 Vis, a PF1 + PF = a 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrudk

3 Hvad er maemaik? Projeker: fra kapiel 7 Projek 75 Ellipser brændpunker, brændsråler og prakisk anvendelse i en nyresensknuser 3 Excenricie I forbindelse med ellipser opræder begrebe excenricie En ellipses excenricie beegnes e, og er definere ved FF 1 e =, a hvor og er ellipsens brændpunker, og a er ellipsens halve sorakse F 1 F Øvelse 7 Vis, a e = 1 b a hvor a, henholdsvis b, er ellipsens halve lilleakse henholdsvis halve sorakse Øvelse 8 Undersøg excenricieens beydning for ellipsens udseende, ide excenricieen defineres som en funkion af den halve lilleakse, dvs eb ( ) = 1 b, a og a varieres i inervalle b a 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrudk

4 Hvad er maemaik? Projeker: fra kapiel 7 Projek 75 Ellipser brændpunker, brændsråler og prakisk anvendelse i en nyresensknuser 4 Brændsrålernes vinkel med angenen og anvendelsen heraf i en nyresensknuser Øvelse 9 Vi ser igen på ellipsen fra eksempel 1 a) Tegn ellipsen, og afsæ e ilfældig punk P( x, y) på banekurven b) Tegn brændsrålerne fra P, og egn angenen i punke P c) Besem ved hjælp af di geomeriprogram vinklen mellem hver af brændsrålerne fra P figur) og angenen i P (se d) Undersøg, hvad der gælder om de o vinkler, når P( x, y ) varieres e) Hvad gælder der om en brændsråle, der sarer i e af brændpunkerne og reflekeres i angenen? Den egenskab vi opdagede eksperimenel i øvelse 9 vil vi nu bevise Egenskaben i øvelse 9e) udnyes i de såkalde nyresensknusere, ide en paien placeres så den nyresen, der skal pulveriseres, befinder sig i den ene brændpunk af en ellipsoide (en omdrejningsellipse), mens der i de ande brændpunk befinder sig en lydkilde, der kan udsende ulralyd Når lydbølgerne herfra rammer overfladen reflekeres de og samles i de ande brændpunk Derved opsår en høj koncenraion af lydenergi, som vil være i sand il a ødelægge nyresenen uden noge operaiv indgreb Øvelse 10 Vi berager ellipsen med cenrum i (0,0) og sorakse a sam lilleakse b Vis, a ellipsens brændpunker, F1 og F, har koordinaerne F ( e a,0) og F ( e a,0) 1 FF 1 (Vink: Udny fx formlen e = som kan omskrives il: F1F = e a, og udny ellipsens symmeriegenskab) a 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrudk

5 Hvad er maemaik? Projeker: fra kapiel 7 Projek 75 Ellipser brændpunker, brændsråler og prakisk anvendelse i en nyresensknuser Øvelse 11 x acos( ) Berag e ilfældig punk P på ellipsen med sedvekor OP = = Sedvekoren som funkion af y bsin( ) beegnes asin( ) a) er reningsvekor for angenen Vis, a r ( ) = bcos( ) b) Kald vinklen mellem brændsrålen og angenen for u, og vinklen mellem brændsrålen og angenen for v Bemærk, dee er vinkler mellem linjesykker Argumener ud fra egningen ovenfor eller ud fra din egen egning for, a vinkel u svarer il vinklen mellem vekorerne og, og a vinkel v svarer il vinklen mellem vekorerne r() FPog r() r () FP 1 PF 1 r() ea acos( ) acos( ) ea c) Vis, a disse vekorer har koordinaerne: PF1 = og FP = bsin( ) bsin( ) FP Vi ønsker a vise, a vinkel u er lig med vinkel v Dee gør vi ved a vise, a cos( u) = cos( v) Og i den sidse ligning kan vi udnye vores viden om sammenhæng mellem skalarproduk og vinkel: PF1 r() F P r() cos( u) = cos(v) = PF r() F P r() Vi udnyer nu formlen 1 e a a b =, som vi får fra øvelse 7, sam formlen ( ) ( ) gennemføre følgende udregninger: (de farvede udryk svarer il hinanden argumener for hver rin i omskrivningen) ( PF1 ) = ( ea acos( ) ) + ( bsin( ) ) ( cos( cos( ) ( sin( ) ) = e a + a + ea a + b ( ) ( a b ) a ( cos( ) ) ea acos( ) b 1 ( cos() ) = ( ) ( ) = a + a cos( ) b cos( ) + eaacos( ) ( a b ) ( ) = a + cos( ) + eaaco( s ) + e a ( ) ( a e a ( cos( ) = a Konklusion: = + cos( ) + eaacos( ) ( ) PF1 = a + ea cos( ) cos() + sin( ) = 1 il a 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrudk

6 Hvad er maemaik? Projeker: fra kapiel 7 Projek 75 Ellipser brændpunker, brændsråler og prakisk anvendelse i en nyresensknuser Øvelse 1 Vis efer samme opskrif følgende: a) ( F P ) = ( a ea ( cos( ), hvoraf: FP = a ea ( cos( ) ) b) PF1 r( ) = easin( ) ( a+ ea ( cos( ) c) = easin( ) ( a ea ( cos( ) F P r() Øvelse 13 Indsæ nu de fundne udryk i formlerne for cos( u) og cos( v ), og konkluder, a cos( u) = cos( v), hvoraf vi kan slue, a u= v: Brændsrålernes vinkel med angenen er lige sore Derfor vil e signal udsend fra de ene brændpunk og reflekere i overfladen af elipsoiden, samme ned i de ande brændpunk 018 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: info@lrudk