Matematiske metoder - Opgavesæt
|
|
- Lotte Toft
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208
2 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller 2 stjerner. Antallet af stjerner fortæller dig om, hvor højt abstraktionsniveau en opgave kræver for at kunne blive løst. Antallet følger nogenlunde følgende skema: 0 stjerner: I disse opgaver skal du anvende kendte definitioner og sætninger direkte. stjerne ( ): Udover at du skal kunne anvende kendte defintioner og sætninger, kræver disse opgaver at du får en god idé - evt. en smart omskrivning af nogle udtryk eller lignende. 2 stjerner ( ): Meget lig opgaver med stjerne, kræver disse opgaver noget ekstra af dig; måske kræver opgaven adskillige og smarte tricks, eller måske kræver opgaven, at du selv finder frem til en indsigt i teorien, som ikke er blevet gennemgået på tavlen! Af ovenstående beskrivelse er det således klart, at jo flere stjerner en opgave har, desto sværere og længere tid kræver den at løse! Bemærk dog, at antallet af stjerner ikke er en direkte indikation af, hvor svær en opgave er - der kan sagtens være to opgaver med samme antal stjerner, der har forskellig sværhedsgrad, men kræver nogenlunde samme abstraktionsniveau! Inddeling i sværhedsgrader har til formål dels at fortælle dig, hvad du skal forvente, når du begynder på en opgave - både hvad angår de matematiske redskaber du skal bruge, men så sandelig også hvor lang tid, du bør forvente en opgave tager! Starter du på en opgave, der er en sværhedsgrad højere end tidligere, er det altså helt naturligt, hvis den tager væsentligt længere tid at løse - og i øvrigt kræver, at du oftere spørger om hjælp (det er derfor vi er her)! Rigtig god fornøjelse med opgaverne :-)
3 Logik Opgave Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn. Byt med din sidemand og forsøg at afgøre hvilke af hans/hendes udtalelser, der er udsagn. Diskuter jeres svar. Opgave 2 (øvelse fra slides) Opskriv sandhedstabeller for disjunktion, negation, implikation og biimplikation. Opgave 3 Opskriv sandhedstabeller for følgende sammensatte udtryk. a) (p p) b) p (p p) c) (p q) ( p q) Opgave 4 Vis, ved hjælp af sandhedstabeller, at følgende logiske ækvivalenser gælder. a) p p p b) (p q) p q c) p q p q d) (p q) r (p r) (q r) e) p q (p q) r r Opgave 5 Formaliser følgende sproglige sætninger med udsagnslogik. a) Hvis det regner bliver vi våde. b) Vi rejser hvis og kun hvis det er efterårsferie. c) Kurt spiser kun is når solen skinner. d) Hvis Anna ikke kommer til festen så bliver festen kedelig og Martin bliver skuffet. 2
4 Opgave 6 ( ) På en fjern ø er der to typer af mennesker: Sandsigere, som altid fortæller sandheden (alt hvad de siger er sandt) Løgnere, som altid lyver (alt hvad de siger er falsk) a) Engang besøgte en fremmed øen, her mødte han to af øens indbyggere, Peter og Signe. Han spurgte dem: Er nogen af jer løgnere?. Mindst en af os er løgner, svarede Peter. Bestem ved hjælp af en sandhedstabel, om Peter og Signe hver i sær er løgner eller sandsiger. Hint: Betegn udsagnet Peter er sandsiger med p og udsagnet Signe er sandsiger med s. Opstil et sammensat udsagn, der udtrykker at mindst en af dem er løgner. b) Senere mødte den fremmede to andre indbyggere, Anne og Bob. Han spurgte Anne: Er nogen af jer sandsigere?. Hvis Bob er en løgner, så er jeg også en løgner, svarede Anne. Bestem ved hjælp af en sandhedstabel, om Anne og Bob hver i sær er løgner eller sandsiger. Prædikater og kvantorer Opgave 7 Skriv i ord hvad følgende udsagn betyder. Afgør desuden om udsagnet er sandt eller falsk. a) x R : x 2 = 6 b) x R y R : y > x c) x Q : x > 0 x 2 > x d) x R : x = 0 (x + x = x) 3
5 Opgave 8 Oversæt følgende sætninger til udsagn (brug prædikater). a) Ikke alle reelle tal er positive. b) Der findes et rationalt tal, der er større end 0. c) For ethvert naturligt tal n findes der et reelt tal x, så x > n. d) Der findes et reelt tal x, som, når det multipliceres med et vilkårligt andet tal y, giver y. e) Ligningen x 2 2x 5 = 0 har ingen rational rod. f) Alle ligninger på formen ax + b = 0, a 0, har en reel løsning. Uanset hvad a og b er. Opgave 9 Skriv i ord hvad følgende to udsagn siger Er kvantorernes rækkefølge ligegyldig? Direkte beviser y R x R : x 2 > y x R y R : x 2 > y Lad p og q være udsagn. Vi skal i det følgende bevise udsagn på formen p q. Før du begynder på arbejdet med afsnittets opgaver bør du sætte dig grundigt ind i nedenstående definitioner. Bemærk at Sætning 3 kan benyttes uden bevis. Definition Lad n Z. Vi siger at n er lige, hvis der findes et andet heltal k Z så n = 2k. Definition 2 Lad n Z. Vi siger at n er ulige, hvis der n ikke er lige. Sætning 3 Lad n Z være et helt tal. Da gælder at n er ulige hvis og kun hvis der findes k Z så n = 2k + Definition 4 Lad n, d Z. Vi siger at d går op i n, hvis der findes et helt tal q Z så n = d q. Vi noterer dette d n. Definition 5 Lad n Z. Vi siger at n er et kvadrattal, hvis der findes k Z så n = k 2. 4
6 Produkter og summer af hele tal Ved begrebet paritet forståes den egenskab ved et helt tal n Z at n er lige eller ulige. Vi skal i det følgende undersøge, hvordan paritet opfører sig under de kendte regneoperationer multiplikation og addition. Opgave 0 Vis at produktet af to lige tal er lige. Opgave Vis at produktet af et lige og et ulige tal er lige. Opgave 2 Vis at produktet af to ulige tal er et ulige tal. Opgave 3 Vis at summen af to lige tal er lige. Opgave 4 Vis at summen af et lige tal og et ulige tal er ulige. Opgave 5 Vis at summen af to ulige tal er lige. Opgave 6 Vi betragter i denne opgave kvadrattals opførsel under multiplikation og addition. a) Afgør om produktet af to kvadrattal er et kvadrattal. b) Afgør om summen af to kvadrattal er et kvadrattal. Divisorer Vi skal i de følgende opgaver anvende mere matematiske formuleringer. Tilsvarende får vi brug lidt mere avanceret matematisk teori, nemlig Aritmetikkens Fundamentalsætning. Indledningsvis skal vi fastlægge en række grundlæggende resultater om divisorer. Opgave 7 Lad a, b, c Z. Vis at hvis a b og b c, så haves a c. Opgave 8 Lad a, b, c Z. Vis at hvis a b og a c, så haves a b ± c. Opgave 9 Lad a, n, m Z. Vis at hvis a n og a m, så vil a 2 nm. Gælder der også, at hvis a n og b m, så vil ab nm? Opgave 20 ( ) Lad n Z. 5
7 a) Vis at hvis 3 n + 2, så vil 3 n 2. b) Vis at hvis 3 n, så vil 3 n 2 (læs: 3 går ikke op i n 2 ). Opgave 2 ( ) Lad n Z. Vis at 3 n 3 n. Følgende sætning skal benyttes til opgave 22, 23 og 27. Læs derfor denne grundigt, inden du giver dig i kast med disse opgaver. Sætning 6 (Aritmetikkens Fundamentalsætning) Lad n Z +. Vi kan da skrive n som et produkt af primtal på én og kun én måde, dvs. hvor altså p i er primtal og a i Z + for alle i. n = p a p a p a k k Vi minder om, at de første primtal er følgende 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29,... Opgave 22 ( ) Lad x Z og lad n, m Z. a) Undersøg om der gælder, at hvis x nm, så haves x n eller x m. b) Formuler en sætning, der beskriver ovenstående med eventuelle yderligere antagelser. c) Bevis din sætning. Opgave 23 ( ) Lad x, y Z og lad n Z. a) Undersøg om der gælder, at hvis x n og y n, så haves xy n. b) Formuler en sætning, der beskriver ovenstående med eventuelle yderligere antagelser. c) Bevis din sætning. Opgave 24 Lad n Z. Vis at 2 n 3 n. Afgør om 6 n 3 n. Hint: Husk opgave 2. Opgave 25 Lad n Z. 6
8 a) Afgør om pariteten af 2n 2 afhænger af pariteten af n. Hvis ikke, bestem pariteten af udtrykket. b) Afgør om pariteten af n 2 5n + 7 afhænger af pariteten af n. Hvis ikke, bestem pariteten af udtrykket. c) Afgør om pariteten af 3n 2 + n + 4 afhænger af pariteten af n. Hvis ikke, bestem pariteten af udtrykket. Hint: Det kan være relevant først at betragte tilfældet n lige og derefter tilfældet n ulige. Opgave 26 ( ) Lad n være et naturligt tal. Vis at 9 går op i n 3, n 3 eller n 3 +. Opgave 27 ( ) Lad n Z. Vis at n er et kvadrattal hvis og kun hvis alle primfaktorerne indgår i en lige potens. Hint: Aritmetikkens Fundamentalsætning. Opgave 28 ( ) Lad k være et helt tal. a) Vis at k 2 divideret med 4 efterlader en rest på enten 0 eller. b) Vis at hvis k 2 efterlader en rest på 0 ved division med 4, så efterlader (k + ) 2 en rest på ved division med 4. c) Vis at hvis k 2 efterlader en rest på ved division med 4, så efterlader (k + ) 2 en rest på 0 ved division med 4. d) Vis at summen af 4 på hinanden følgende kvadrattal ikke et et kvadrattal. Uligheder Opgave 29 Lad x, y R +. Vis at x y + y x 2 (x y)2 0 Opgave 30 (AM-GM uligheden - ) Lad x, y R +. Vis at x + y 2 xy Hint: Udnyt at (x y) 2 0 Opgave 3 (Trekantsuligheden - ) ] Lad x, y R. Vis at x + y x + y Hint: Bemærk x + y 2 = (x + y) 2 og udled en ulighed heraf. 7
9 Bevis ved kontraposition Opgave 32 Vis, at hvis n 2 er ulige, så er n ulige. Opgave 33 Lad n, m Z. a) Vis, at hvis nm er ulige, så er både n og m ulige. b) Vis, at hvis nm er lige, så er enten n eller m lige. c) Vis, at hvis n + m er ulige, så er enten n eller m ulige. d) Vis, at hvis n + m er lige, så er både n og m enten ulige eller lige. Opgave 34 Vis, at hvis 3n + 2 er ulige, så er n ulige. Opgave 35 Vis, hvis x 2 6x + 5 er lige, så er x ulige. Opgave 36 ( ) Lad n N. Vis, at hvis 4 n er et primtal, så er n ulige. Opgave 37 Vis, at hvis 3 går op i n 2, så går 3 også op i n. Hint: Ethvert tal, som 3 ikke går op i, kan skrives som 3k eller 3k +, hvor k Z. 8
10 Modstridsbeviser Irrationale tal Opgave 38 Lad x Q og xy R \ Q. Vis ved modstrid at y R \ Q. Opgave 39 Lad x R \ Q, y Q. Vis ved modstrid at x + y er irrational. Opgave 40 ( ) Giv et modeksempel til følgende påstand Overvej om følgende påstand gælder Opgave 4 ( ) a) Vis at 3 er irrational. b) Afgør om 6 er irrational. Summen af to irrationale tal er irrational Summen af to positive irrationale tal er irrational c) Afgør om er irrational. Opgave 42 ( ) Lad p, q være primtal. a) Vis at p er irrational. b) Afgør om pq er irrational. Hvis ikke, angiv en ekstra antagelse der sikrer irrationalitet. c) Afgør om p + q er irrational. Hvis ikke, angiv en ekstra antagelse der sikrer irrationalitet. d) Lad n være et positivt helt tal. For hvilke n er n irrational? rational? Ligninger, blandede bevisteknikker Opgave 43 Vis at der ikke findes a, b Z så 30a + 2b = Opgave 44 Der findes ingen reelle talpar (x, y), der løser ligningen x 2 + = 2xy y 2 Hint: Prøv at omskrive ligningen, så du kan bruge en kvadratsætning. 9
11 Opgave 45 Lad n være et helt tal, der kan skrives på formen n = 2k +, hvor k Z. Vis at n er ulige. Opgave 46 Bestem alle løsninger x, y R til ligningen x y + y x = 2 Hint: Du kan med fordel bruge resultatet fra Opgave 29. Opgave 47 Vis at der ikke findes hele tal x og y, der løser ligningen Hint: Faktoriser venstresiden. Opgave 48 ( ) Vis at der ikke findes heltal k, n Z så Blandet Opgave 49 Lad x, y R +. Vis at x 2 y 2 = 2 4k + 3 = n 2 x + y 2 xy Bemærk: Dette er den samme opgave som Opgave 30. Kan du også vise resultatet med modstrid? Hvilken løsning er lettest? 0
12 Induktionsbeviser Summer af heltal Vi minder om at betydningen af sumtegnet er n a i = a + a a n i= Opgave 50 ( ) Vi undersøger summer af lige naturlige tal. a) Find en formel for summen af de n første lige naturlige tal. b) Vis formlen fra a) ved induktion. c) Bestem summen af de 50 første lige naturlige tal. (Svar: 2550) Opgave 5 ( ) Vi undersøger summer af ulige naturlige tal. a) Find en formel for summen af de n første ulige naturlige tal. b) Vis formlen fra a) ved induktion. c) Bestem summen af de 50 første ulige naturlige tal. (Svar: 2500) Opgave 52 ( ) Vi undersøger summer af brøker. a) Bestem følgende summer 2 = = = = = b) Bemærk at ovenstående er summer på formen n k= 2 k = n for et n. Find en formel, der bestemmer ovenstående sum.
13 c) Vis formlen fra b) ved induktion. d) Bestem summen (Svar: ) Opgave 53 ( ) Vi betragter lidt mere avancerede summer af brøker. a) Betragt summen n(n + ) Giv et fornuftigt gæt på en formel for ovenstående. b) Vis formlen fra a) ved induktion. Opgave 54 ( ) Find fejlen i følgende bevis. Vi udfører induktion over n dumme talentelever. Lad os definere vores påstand P n ved P n : Alle talentelever er lige dumme I tilfældet n = er udsagnet P oplagt sandt, da der blot findes én talentelev. Antag nu P n er sand for et fast n. Betragt en gruppe på n + talentelever. Hvis vi fjerner én elev fra gruppen, så er der netop n tilbage, som ifølge induktionshypotesen er lige dumme. Vi bytter nu den udvalgte elev med en anden, og får igen en gruppe på n talentelever, som alle er lige dumme. Vi bemærker nu at relationen dum er transitiv, altså hvis Erik er lige så dum som Glenn og Glenn er lige så dum som Bent, så er Erik lige så dum som Bent. Men så må alle de n + talentelever være lige dumme. Dette viser, at i en vilkårlig gruppe af talentelever er alle eleverne lige dumme. Opgave 55 Vi undersøger summer af kvadrat- og kubiktal. a) Der gælder at Vis dette ved induktion. n k 2 = k= n(n + )(2n + ) 6 2
14 b) Der gælder at n [ n(n + ) k 3 = 2 k= Vis dette ved induktion og argumenter at dette viser ] 2 ( n 2 k) = k= n k= k 3 c) Vis ved induktion at n k= ( ) k+ k 2 = ( ) n+ ( n(n + ) 2 ) Blandet Opgave 56 ( ) Vis at for alle n N går 5 op i n 6. Opgave 57 ( ) Vis at for alle n N går 5 op i 8 n 3 n. Opgave 58 (Bernoullis ulighed - ) Antag x R med x. Da gælder for ethvert n N. Vis dette ved induktion. Opgave 59 ( ) Lad n N og undersøg udtrykket ( + x) n + nx 4n < 2 n Hvornår gælder det? Formuler en sætning og vis den. 3
Matematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereLogik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.
Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2
Læs mereBOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik
ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereBevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse
Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereElementær Matematik. Tal og Algebra
Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul
Læs mereBevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)
Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereMatematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming
Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs meretal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel
Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs mereFortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P
Fortløbende summer NMCC 2018 Danmark Muldbjergskolen 8.P 1 Indholdsfortegnelse: S. 3 Vores første observationer S. 4 Ulige antal af fortløbende tal S. 6 Lige antal af fortløbende tal S. 8 Udvikling af
Læs mereAlgebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen - Talteori, Kirsten Rosenkilde. Opgave 1. Hvor mange af følgende fem tal er delelige med 9?
Tip til 1. runde af Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal er deleligt med et andet. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori, hvilket vi skal se
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis
Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11
Læs mereDM72 Diskret matematik med anvendelser
DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n
Læs mereDiskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem
Aalborg University Department of Computer Science. Fredrik Bajers Vej 7E, 9220 Aalborg Ø. Titel: Traveling Salesman Problem Projektperiode: 16. maj 2003 til 20. juni 2003 Semester: BOS03 Gruppebetegnelse:
Læs mereMatematisk Metode Notesamling
Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder 2. udgave. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder 2. udgave Jesper Lützen Juli 2019 ii Indhold Introduktion ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?..................
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereOM KAPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER LÆS OG SKRIV MATEMATIK. 6. Det vil derfor være relativt nyt for de fleste elever, at
OM KAPITLET I dette kapitel om tal i mængder skal eleverne arbejde med de naturlige tal N, de hele tal Z og de rationale tal Q. Eleverne skal ligeledes erfare, at der er brug for endnu flere tal end de
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereAlgebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet
Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7
Læs mereOM BEVISER. Poul Printz
OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De
Læs mereDifferentiation af Potensfunktioner
Differentiation af Potensfunktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereGrundlæggende matematik
Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Talteori. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Talteori Talteori handler om de hele tal, og særligt om hvornår et helt tal går op i et andet helt tal. Derfor spiller primtallene en helt central rolle i talteori,
Læs mereELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE FÆLLES MÅL FAGLIGE BEGREBER. Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne
ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne N, Z, Q og R. kan anvende de naturlige tal, hele tal, rationale tal og reelle tal i forskellige
Læs mereGrundlæggende matematik
Grundlæggende matematik Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste at mestre for at kunne begå sig i (samt
Læs mereSymbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med
Læs mereRettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde
Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til
Læs mereOpgave 1 Regning med rest
Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan
Læs mereEn uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12
7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mere3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder
3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereog til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereOpgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007
Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mere3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere